entrelaçamento 4 a 6 qubits

CÁLCULO DO ENTRELAÇAMENTO DE

ESTADOS PUROS COM QUATRO E SEIS

QUBITS

David Sena Oliveira

Rubens Viana Ramos

SUMÁRIO

1. Conceitos Básicos.

2. Entrelaçamento Groveriano.

3. Entrelaçamento Residual.

4. Aplicações com estados de 4 qubits.

5. Extensibilidade de p4.

6. Medida g6.

7. Conclusões e trabalhos Futuros.2

1.ConceitosAceitamos muitos conceitos porque eles parecem ser as respostas lógicas a nossas questões. Mas será que fizemos as questões certas?“

Harold L. Klawans”

3

ENTRELAÇAMENTO BIPARTE

Entropia de Von Neumman

Concurrencia

Negatividade

4

*

1 2 3 4max 0, y y y yC

†

2 max 0,

1A A

j

j

T T

AB AB AB

N

N Tr

ln lnA B A A B BS S tr tr

NOMECLATURAS

Nível de entrelaçamento Nível de Separabilidade Descrição

Desentrelaçado Completamente

separável

Não há qualquer tipo de entrelaçamento no

estado quântico

Parcialmente

entrelaçado ou apenas

entrelaçado

Parcialmente separável

ou apenas separável

Possui algum tipo de entrelaçamento, porém

não é completamente entrelaçado

Completamente

entrelaçado

Inseparável Todos as partes estão entrelaçadas entre si.

Também é equivalente a afirmar que o estado

possui entrelaçamento genuíno

5

TIPOS DE ENTRELAÇAMENTO

Um estado puro de N partes

Ele é completamente desentrelaçado quando

Ele é parcialmente entrelaçado quando

Não é completamente entrelaçado, mas pode possuir

entrelaçamento em alguns subsistemas

Ele é completamente entrelaçado quando

Todas as partições tomadas dois a dois são mistas

6

......

AB N A B N

REPRESENTAÇÃO VISUAL

O cálculo da Entropia

7

A B

CD

1 AD BC

REPRESENTAÇÃO VISUAL

Estados reduzidos de um qubits

8

A B

CD

1 AD BC

REPRESENTAÇÃO VISUAL

Pares de qubits

9

A B

CD

1 AD BC

REPRESENTAÇÃO VISUAL

Pares de qubits

10

A B

CD

1 AD BC

PURO COMPLETAMENTE SEPARÁVEL

Exemplo

11

A B

CD

1 A B C D

PURO SEPARÁVEL

Exemplo

12

A B

CD

1 A BC D

PURO INSEPARÁVEL

Exemplo

13

A B

CD

1 ABCD

COMPLETAMENTE ENTRELAÇADO

4 qubits

14

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B

D

C

A

B

D

C

K-SEPARABILIDADE E

NÚMERO DE VIAS

K-Separabilidade número de partições puras

mínimas no qual se pode particionar um estado.

Número de vias de um entrelaçamento é o número

de qubits na maior das subpartições puras.

15

A

B

C

D

E

F

2 ABCDEF AF BCD E

2.Entrelaçamento: Um Problema de BuscaO homem na ânsia de buscar a felicidade, se esquece de ser feliz.

Autor: Desconhecido

16

ENTRELAÇAMENTO GROVERIANO

Como relacionar

probabilidade de se resolver um problema de busca

quantidade de entrelaçamento existente da base

17

Entrelaçamento Groveriano (EG)

Entropia relativa de entrelaçamento

ENTRELAÇAMENTO GROVERIANO

A base de dados é definida como um estado quântico.

Se a base de dados é uma composição

Se a base de dados é separável, a probabilidade de se encontrar a resposta Pmax=1.

Quanto maior o entrelaçamento da entrada menor o Pmax.

2

max

max

1

( ) maxS

G P

P

18

1

0

1 N

i

iN

minED

E S S

18

CALCULANDO O ENTRELAÇAMENTO (1/3)

Seja um estado se-

parável

Maximizar em rela-

ção aos ângulos

Derivar em função

dos 2n2 ângulos que

definem a função

Dificuldade em em-

contrar fórmulas

analíticas19

2

1 1

1 2

1 2

max 1 1,..., , ,...,

2

...

cos 0 sin 1

00..0 00..1 11..1

max ,..., , ,..., ,

0 para k=1,..,

k

n n

nn

i

k k kk k

n n nn

n n

k k

e e e e

e e

a a a

P P

P Pn

CALCULANDO O ENTRELAÇAMENTO (2/3)

20

Função avaliação: F(,)

Codificação do indivíduo

Crossover: dois pontos

Elitismo: dois indivíduos

Mutação: flip no gene

Várias combinações e implementações foram tentadas Tipos de crossover

Variação nas taxas

Métodos auxiliares de aproximação

Não obtendo grande variação de melhora, deixou-se a versão mais simples do GA

1 1 2 2

[0101000011010010 11110010]

n n

CALCULANDO O ENTRELAÇAMENTO (3/3)

21

Estados W Estados GHZ

0 1

2

n n

GHZ n

2 2

40000 1111a b

1

00 01 00 10 01 00 10 002

n nW

1

11

n

n

nG W

n

3.ENTRELAÇAMENTO

RESIDUAL

Se você se acha muito pequeno para fazer a diferença, você nunca esteve na cama com um mosquito.

Betty Reese

22

Desigualdade de CKW

Residual Concurrencia

Tangle 3 (t3)

ENTRELAÇAMENTO TRIPARTE

23

2 2 2

AB AC A BCC C C

2 2 2

( )

2 2 2

( )

2 2 2

( )

ABC A BC AB AC

B AC BA BC

C AB CA CB

C C C

C C C

C C C

t

Residual Negatividade

2 2 2

AB AC A BCE E E

2 2 2

AB AC A BCN N N

2 2 2

( )

2 2 2

( )

2 2 2

( )

A A BC AB AC

B B AC BA BC

C C AB CA CB

N N N

N N N

N N N

p

p

p

1

3ABC A B Cp p p p

COMPARAÇÃO

24

t3(GHZ3)=1

t3(W3)=0

Porém W3, é completa-

mente entrelaçamento.

p3(GHZ3)=1

p3(W3)>0

t3 E p3

1ABC

p GHZ p W

RESIDUAL PARA MÚLTIPLOS QUBITS

Extensão p4

25

4

2 2 2 2

_

2 2 2 2

_

2 2 2 2

_

2 2 2 2

_

1

4A B C D

A A BCD AB AC AD

B B ACD AB BC BD

C C ABD AC BC CD

D D ABC AD BD CD

N N N N

N N N N

N N N N

N N N N

p p p p p

p

p

p

p

RESIDUAL PARA MÚLTIPLOS QUBITS

c00

26

En

tre

laça

me

nto

p2

G

p4

0

10000 0011 0101 0110

2

1

11001 1010 1100 1111

2

O p3 (Y 3)>0 apenas se Y possuir entrelaçamento

triparte

O residual p4 detecta entrelaçamento p4 (Y)>0 para

qualquer estado que possui entrelaçamento no mínimo

triparte.

O p4G altera o p4 para utilizar a média geométrica de

forma a mensurar apenas entrelaçamento genuíno

RESIDUAL GEOMÉTRICO p4G

44 4

1

4A B C D G A B C Dp p p p p p p p p p

27

ENTRELAÇAMENTO P4G

Mensurando entrelaçamento em 4 vias

28

0 1

2

c

0 cos 0000 sin 0011

sin 0101 cos 0110

1 cos 1001 sin 1010

sin 1100 cos 1111

Comparação p4G e p4

Estado p4 p4G

W4 0,6213 0,621

GHZ4 1 1

c 1 1

1 0,75 0

2 0,75 0

W30 0,412 0

GHZ30 0,75 0

GHZ2GHZ2 0 0

GHZ200 0 0 29

Comparação p4G e EG

30

Estado Quântico EG π4

1=(01+10)/21/2(0+1)/21/2(0+1)/21/2 0.707 0

2=(00+11)/21/2(00+11)/21/2 0.866 0

3=(000+111)/21/2(0+1)/21/2 0.707 0

4=(001+010+100)/31/2(0+1)/21/2 0.745 0

ξ0=(0000-0011-0101+0110)/2

ξ1=(1001+1010+1100+1111)/2

5≡χ00=(ξ0+ξ1)/21/2

0.707

0.707

0.866

0

0

1

6=(0000+1111)/21/2 0.707 1

7=(0001+0010+0100+1000)/2 0.76 0.6213

8=(0000+0101+1000+1110)/2 0.707 0.7140

9=(0000+1011+1101+1110)/2 0.81 0.9306

ENTRELAÇAMENTO EM ESTADOS GRAFOS

31

Codificação 0 3 51 2 4

4

12 13 14 23 24 34

0 1

2

b b bb b bG U U U U U U

Estados Maximamante entrelaçados

em quatro viasEstados desentrelaçados em 4

vias

1

2

3

4

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

3

4

3

4

3

4

3

4

3

4

0 0 1 0 1 1b

0 0 1 1 0 1b

0 1 1 0 1 0b

0 0 0 1 1 1b

0 0 1 1 0 0b

1 0 0 0 1 0b

0 1 2 3 4 5b b b b b b b

ESTADOS MAXIMAMENTE ENTRELAÇADOS

32

2

4

[BSSB05]

11100 0011 1010 0101 1001 0110 ,

6

1 3 2,

0 1 0 110000 011 1101 110 ,

2 2 2

0000 0111 1011 1101 1110.

3 6

HS

m

i

3.Aplicações

Para 4 Qubits

A aplicação das leis é mais importante que a sua elaboração.

Thomas Jefferson

33

APLICAÇÃO: TELEPORTAÇÃO DE

CIRCUITO

Alice, Bob e Charlie compartilham o estado de 4

qubits maximamente entrelaçado

34

H

H

ZXZ

X ZPortas de um qubit controladas

classicamente

Informação

Clássica

00 01 10 11EF

g A

B

C

D

E

ZZ

Z

0000 0101 1010 1111

2

ABCD

00 01 10 11 g

F

Informação

Clássica

Z

ZSW

00 01 10 11 g 00 01 10 11 g

APLICAÇÃO: CANAL RUIDOSO

35

Enviando o estado

Canal modelado por

Como varia o

entrelaçamento?00 11

2

AB AB

AB

Y

AU

BU

0

0

00 11

2

A

B

e1

e2

AB

1 2e ABeY

APLICAÇÃO: ENVIO DE INFORMAÇÃO

Estados grafos localmente equivalentes

36

H

H

Classicaly controlled single-qubit gates

Classical

Information

Classical

Information

00 11EF

A

B

C

D

F

X

0000 0111 1000 1111

2

ABCD

00 11

E

Z

ZZXz

11

1 2 3 4

0000 0111 1000 1111

2I H H Hc

CRIANDO E DESTRUINDO

ENTRELAÇAMENTO(1)

37

I

i Z Ze

0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1

6

A B C D

A

B

C B C Y

D

I

CRIANDO E DESTRUINDO

ENTRELAÇAMENTO(2)

38

I

i X Xe

2

ABCD

Y Y Y Y

A

B

C

AC Y

D

I

BD

5. O futuro de p4

O futuro não é mais incerto que o presente.

Walt Whitman

39

NÚMERO DE VIAS E VALOR DO

ENTRELAÇAMENTO EG

40

V=1V=2

V=3

E()=0 E()>0

Monótono EG

NÚMERO DE VIAS E VALOR DO

ENTRELAÇAMENTO

41

V=1V=2

V=3

E()=0 E()>0

t3

WGHZ

NÚMERO DE VIAS E VALOR DO

ENTRELAÇAMENTO

42

V=1V=2

V=3

E()=0 E()>0

p3

NÚMERO DE VIAS E VALOR DO

ENTRELAÇAMENTO

43

V=1V=2 V=3

E()=0 E()>0

p4

V=4

p4G

ENTRELAÇAMENTO

Se o qubit X possui entrelaçamento em mais de 3 vias então p4X>0

44

1

2

3

4

A B C D

AB CD

ABC D

ABCD

p4G

ENTRELAÇAMENTO

45

1

2

3

4

5

A B C D E

AB CDE

ABC DE

ABCD E

ABCDE

p5

ENTRELAÇAMENTO

46

1

2

3

4

5

6

A B C D E F

AB CDEF

ABC DEF

ABCD EF

ABCDE F

ABCDEF

p6

3 ABC DEF

6 3 0p

6. Medida para 6

qubits

Há seis requisitos necessários para um casamento ser feliz: o primeiro chama-se Fé, e os outros cinco, Confiança.

Elbert Hubbard

47

EQUIVALÊNCIAS

Para o caso de falha de p6 tem-se:

48

6 3

6 3

6 3

6 3

6 3

6 3

,

,

,

,

,

.

A A

B B

C C

D D

E E

F F

abcdef abc

abcdef abc

abcdef abc

abcdef def

abcdef def

abcdef def

p p

p p

p p

p p

p p

p p

ABCDEFABC DEF

6, uma nova medida

49

66

6 3

6 3

6 3

6 3

6 3

6 3

,

( ),

( ),

( ),

( ),

( ),

( ).

A B C D E F

A A A

B B B

C C C

D D D

E E E

F F F

abc

abc

abc

def

def

abc

p p

p p

p p

p p

p p

p p

6, uma nova medida

50

2 2 2 2 2

_ _

2 2 2 2 2

_ _

2 2 2 2 2

_ _

2 2 2 2 2

_ _

2 2 2 2 2

_ _

2 2 2

_ _

,

,

,

,

,

A A BCDEF A BC AD AE AF

B B ACDEF B AC BD BE BF

C C ABDEF C AB CD CE CF

D D ABCEF D EF AD BD CD

E E ABCDF E DF AE BE CE

F F ABCDE F DE AF

N N N N N

N N N N N

N N N N N

N N N N N

N N N N N

N N N

g

g

g

g

g

g

2 2 .BF CFN N

51

1

2

3

4

5

6

A B C D E F

AB CDEF

ABC DEF

ABCD EF

ABCDE F

ABCDEF

3 ABC DEF

6 3 0

6, uma nova medida

NÚMERO DE VIAS E VALOR DO

ENTRELAÇAMENTO

52

V=11<V<6

V=6

E()=0 E()>0

6

Composição de 6

A A B C D E F

B A B C D E F

C A B C D E F

D A B C D E F

E A B C D E F

F A B C D E F53

A medida não é invariante sob permutação

de qubits

Isso é bom ou mal, certo ou errado?

Utilidade de um estado de seis qubits para

teleportação [YMQW09]

Entrelaçamento Operacional ou Global?

Circuitos Quânticos

Teleportação

Solução

Trabalhar com todas as permutações 54

Complicações 6

55

1 1 2 3 4 5 6

34

2 1 1 2 4 3 5 6

35

3 1 1 2 5 4 3 6

36

4 1 1 2 6 4 5 3

24

5 1 1 4 3 2 5 6

25

6 1 1 5 3 4 2 6

26

7 1 1 6 3 4 5 2

14

8 1 4 2 3 1 5 6

15

9

,

.

. ,

. ,

. ,

. ,

. ,

. ,

.

SW

SW

SW

SW

SW

SW

SW

SW

a b c d e f

U a b c d e f

U a b c d e f

U a b c d e f

U a b c d e f

U a b c d e f

U a b c d e f

U a b c d e f

U

1 5 2 3 4 1 6

16

10 1 6 2 3 4 5 1

,

. .SW

a b c d e f

U a b c d e f

Permutações de 6

56

Matriz de Permutações

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A A A A A A A A A A

B B B B B B B B B B

C C C C C C C C C C

D D D D D D D D D D

E E E E E E E E E E

F F F F F F F F F F

M

57

Configurações da Matriz

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A A A A A A A A A A

B B B B B B B B B B

C C C C C C C C C C

D D D D D D D D D D

E E E E E E E E E E

F F F F F F F F F F

M

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A A A A A A A A A A

B B B B B B B B B B

C C C C C C C C C C

D D D D D D D D D D

E E E E E E E E E E

F F F F F F F F F F

M

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A A A A A A A A A A

B B B B B B B B B B

C C C C C C C C C C

D D D D D D D D D D

E E E E E E E E E E

F F F F F F F F F F

M

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A A A A A A A A A A

B B B B B B B B B B

C C C C C C C C C C

D D D D D D D D D D

E E E E E E E E E E

F F F F F F F F F F

M

Entrelaçados em 6 vias

Operacionais Não Operacionais

Partições com 1 ou 2 vias Estados 3x3

a bcdef

ac bdef

abc def

abf cdf

MENSURANDO ESTADOS QUÂNTICOS

58

6 6max . ,ii

Cg

6 000000 111111 2 ,GHZ

6

100000 010000 001000 000100 000010 000001 6 .W

g6(|GHZ6)=1, g6(|W6)0.5019, g6(|6)=1

6 0 1 0 1

0

1

4 4

0 0 1 1

1,

2

0000 0011 0101 0110 2,

1001 1010 1100 1111 2,

, ,X X

SIMULAÇÕES: SMOLIN

59

6

00 014 4

.3

10 1 114 4

EF EFAB CD AB CD

EF EFAB CD AB CD

p p

pp p

Y Y Y Y

2 2 2

_ _ _

2 2 2

6 _ _ _

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1.

6

2

A BCDEF B ACDEF C ABDEF

ms D ABCEF E ABCDF F ABCDE

AB AC AD AE AF BC BD

BE BF CD CE CF DE DF EF

N N N

E p N N N

N N N N N N N

N N N N N N N N

22 .ms N k ij

k i j

E C N t

SIMULAÇÕES: SMOLIN

60

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

p

I

II

IIIEnt

rela

ça

me

nto

Entrelaçamento do estado versus p: I) g6; II) Ems; III) .

SIMULAÇÕES: GRAFOS

61

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

q

I

II

III

IV

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

6

1 12 16 23 34 45 56 cos 0 sin 1G U U U U U U

6

2 12 13 16 23 25 34 45 46 56 cos 0 sin 1G U U U U U U U U U

0 0 1 1ij j ji iU I Z

,

,

.

GERANDO ENTRELAÇAMENTO

62

1

2

3

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

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0 0 0 0 n

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1

2 ,

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t p

3 2log 1 .

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t p

GRAFO CONECTADO

63

Variação do entrelaçamento 6(6) versus t. I - f1, II - f2, III - f3.

GRAFO CONECTADO E 3X3

64

Figura 6.5 – Variação do entrelaçamento e 6(6) (I) e 6(3_3) (II) versus t.

CONTRIBUIÇÕES

Um algoritmo genético para cálculo de EG.

Uma medida de 4 qubits para calcular o

entrelaçamento genuíno de estados puros de 4

qubits.

Aplicações que utilizam estados puros

maximamente entrelaçados em 4 vias.

Uma medida para medição de entrelaçamento

operacional de estados puros de 6 qubits.

Uma medida para medição de entrelaçamento

genuíno em estados puros de 6 qubits.

65

PERGUNTAS?

66

FIM

67