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Elementos de MatematicaExercıcios de Relacoes e Funcoes para as atividades de 2007

Versao compilada no dia 27 de Abril de 2007.

Departamento de Matematica - UEL

Prof. Ulysses SodreE-mail: ulysses@matematica.uel.br

Matematica Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/

Resumo: Notas de aulas construıdas com materiais usados emnossas aulas na UEL. Elas devem ser usadas como roteiro paraas aulas e nao espero que elas venham a substituir qualquer livrosobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros citadosna Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Emportugues, ha pouco material de domınio publico, mas em inglesexiste muito material que pode ser obtido na Internet. Sugiroque o leitor pesquise para obter materiais gratuitos para os seusestudos.

Mensagem: ‘Ele enxugara de seus olhos toda lagrima; e nao haveramais morte, nem havera mais pranto, nem lamento, nem dor;porque ja as primeiras coisas sao passadas. E o que estava as-sentado sobre o trono disse: Eis que faco novas todas as coisas. Eacrescentou: Escreve; porque estas palavras sao fieis e verdadeiras.Disse-me ainda: esta cumprido: Eu sou o Alfa e o Omega, oprincıpio e o fim. A quem tiver sede, de graca lhe darei a be-ber da fonte da agua da vida. Aquele que vencer herdara estascoisas; e eu serei seu Deus, e ele sera meu filho. Mas, quanto aosmedrosos, e aos incredulos, e aos abominaveis, e aos homicidas, eaos adulteros, e aos feiticeiros, e aos idolatras, e a todos os men-tirosos, a sua parte sera no lago ardente de fogo e enxofre, que ea segunda morte.’ A Bıblia Sagrada, Apocalipse 21:4-8

Secao 1 Exercıcios de Relacoes e Funcoes 1

1 Exercıcios de Relacoes e Funcoes

1. Mostrar que as relacoes definidas abaixo sao relacoes de equivalencia:

(a) A relacao R ⊂ N ×N definida por (a, b)R(c, d) ⇔ a.d = b.c.

(b) A relacao R ⊂ N ×N definida por (a, b)R(c, d) ⇔ a + d = b + c.

(c) A relacao R ⊂ N ×N definida por xRy ⇔ x− y ∈ Z.

(d) A relacao S ⊂ R×R definida por (x, y)S(z, w) ⇔ x = z.

(e) Sejam a, b ∈ R A relacao S ⊂ R×R definida por

(x, y)S(z, w) ⇔ ∃k ∈ Z : x− z = k.a, y − w = k.b

2. Mostrar que as relacoes definidas abaixo sao relacoes de ordem:

(a) A relacao definida sobre A ⊂ R por “x ≤ y”.

(b) A relacao definida sobre N por x e multiplo de y.

(c) A relacao definida sobre N por x divide y.

(d) A relacao definida sobre o conjunto F de todos os conjuntos por “Xe um subconjunto de Y ”.

3. Sera que a relacao R = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1), (4, 4)} definida sobreo conjunto A = {1, 2, 3, 4} e reflexiva?

4. Verificar se sao Reflexivas as relacoes definidas sobre N por:

(R1) x ≤ y

(R2) x + y = 10

(R3) MDC(x, y) = 1

5. Verificar se sao Reflexivas as relacoes definidas sobre A = {1, 2, 3} por:

(R4) {(1, 2), (3, 2), (2, 2), (2, 3)}(R5) {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}(R6) {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)}(R7) {(1, 2)}(R8) A× A

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Secao 1 Exercıcios de Relacoes e Funcoes 2

6. Verificar se sao Simetricas as relacoes definidas sobre N por:

(R1) x ≤ y

(R2) x + 2y = 10

7. Verificar se sao Simetricas as relacoes definidas sobre A = {1, 2, 3} por:

(R3) {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3)}(R4) {(1, 1)}(R5) {(1, 2)}(R6) {(1, 1), (3, 2), (2, 3)}(R7) A× A

8. Apresentar um exemplo de uma relacao que nao e Simetrica e tambemnao e Anti-simetrica.

9. Verificar se sao Anti-simetricas as relacoes definidas sobre N por:

(R1) x ≤ y

(R2) x < y

(R3) x + 2y = 10

10. Verificar se sao Anti-simetricas as relacoes definidas sobre A = {1, 2, 3}por:

(R4) {(1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2), (2, 3)}(R5) {(1, 1)}(R6) {(1, 2)}(R7) {(1, 1), (3, 2), (2, 3)}(R8) A× A

11. Verificar se sao Transitivas as relacoes definidas sobre N por:

(R1) x ≤ y

(R2) x divide y

(R3) x + 2y = 5

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12. Verificar se sao Transitivas as relacoes definidas sobre A = {1, 2, 3} por:

(R4) {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (2, 1), (1, 1)}(R5) {(1, 2), (2, 2)}(R6) {(1, 2)}(R7) {(1, 1), (3, 2), (2, 3)}(R8) A× A

13. Demonstrar que se a relacao R e transitiva, entao a relacao inversa R−1

tambem e transitiva.

14. Indicar qual das relacoes abaixo, definidas sobre A = {1, 2, 3, 4}, e Re-flexiva (R), Simetrica (S), Transitiva (T) e Anti-simetrica (AS).

(R1) {(1, 1), (1, 2)}(R2) {(1, 1), (2, 3), (4, 1)}(R3) {(1, 3), (2, 4)}(R4) {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}(R5) A× A

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