elaboração: anita lima pimenta orientação: eliane … · o origami pode ser simples ou modular,...

Apêndice B - Produto

Elaboração: Anita Lima Pimenta

Orientação: Eliane Scheid Gazire

Este paradidático é o resultado aplicado da dissertação de Mestrado “Construindo

Poliedros Platônicos com Origami: uma perspectiva axiomática”. A escolha de esse ser um

livro paradidático se deu, pois esse tipo de material não se limita ao conteúdo de um único

tema e nem a um único ciclo de ensino.

Ele traz assuntos relacionados à Geometria de uma forma lúdica e concreta, a fim de

levar o leitor a se envolver com a confecção de figuras que ele mesmo produz seguindo uma

orientação do passo-a-passo. Assim, o leitor se torna um participante ativo na construção do

seu conhecimento que, nesta proposta, surge através de suas próprias mãos.

Seu objetivo principal é auxiliar o professor, oferecendo a ele um apoio para

complementar suas aulas de Geometria através do uso de material manipulável. As propostas

didáticas aqui apresentadas sugerem o uso do Origami na construção de figuras geométricas

planas e espaciais.

O livro está organizado em cinco unidades:

Unidade I: Axiomas do Origami;

Unidade II: Triângulos e Esquadros;

Unidade III: Quadriláteros;

Unidade IV: Tangram;

Unidade V: Poliedros.

Cada unidade é estruturada a partir de um texto informativo seguido de um convite à

confecção de uma figura geométrica através da dobradura de papel. As instruções do Origami

estão organizadas em uma tabela composta por duas colunas: a da esquerda apresenta as

orientações por escrito e a da direita mostra o desenho dos diagramas.

Após essa abordagem, são apresentadas algumas atividades relacionadas ao tema

proposto a fim de garantir e verificar a aprendizagem dos conteúdos apresentados.

ESTRUTURA PADRONIZADA DAS UNIDADES

Título do texto informativo

Convite à dobradura

Apresentação das atividades

Agora que você conhece o material, bons estudos e mãos à dobra!

UNIDADE I ................................................................................................................. 77

AXIOMAS DO ORIGAMI ................................................................................................ 77

UNIDADE II ............................................................................................................. 1515

TRIÂNGULOS E ESQUADROS ..................................................................................... 1515

UNIDADE III ............................................................................................................. 3030

QUADRILÁTEROS ..................................................................................................... 3030

UNIDADE IV ............................................................................................................. 4141

TANGRAM ........................................................................................................... 4141

UNIDADE V ............................................................................................................. 5050

POLIEDROS .......................................................................................................... 5050

REFERÊNCIAS ............................................................................................................. 6868

SUGESTÕES DE LEITURA .......................................................................................... 6868

SÍMBOLO

SIGNIFICADO

Linha vale (dobra para frente)

Linha montanha (dobra para trás)

Dobrar para frente

Dobrar para trás

Dobrar e abrir novamente (vincar)

Encaixar

Dividir em partes iguais

UNIDADE I AXIOMAS DO ORIGAMI

De origem japonesa, a palavra Origami significa dobrar papel. Prieto (2002) explica que

Ori: dobrar – deriva do desenho de uma mão – e Kami: papel – provêm da representação de

uma seda. Essa arte foi estabelecida por todo o mundo. No Brasil, é conhecida com dobradura,

na língua espanhola como papiroflexia, no inglês como paperfolding.

Acredita-se que essa arte seja tão antiga quanto à origem do próprio papel. O Origami

pode ser simples ou modular, sendo o primeiro feito a partir de dobras em uma única folha

de papel, e o segundo consiste no encaixe de diversas peças geometricamente iguais sem o

uso de tesouras ou colas.

Atualmente, está cada vez mais comum o uso de folhas retangulares para a construção

de modelos poliédricos. O retângulo, cuja razão do lado maior para o menor é 1 √2⁄ , é muito

utilizado neste tipo de construção, uma vez que ele permite ampliações dos modelos com

muita facilidade. Um exemplo bem popular desse retângulo é a folha A4, que, além de ideal,

se torna acessível por ser facilmente encontrada no mercado e possuir baixo custo.

As construções geométricas tradicionais feitas por dobraduras também são regidas por

um conjunto de axiomas que permite provar a existência de cada dobra possível de ser

realizada. Rafael (2011) destaca o matemático ítalo-japonês Humiaki Huzita, da universidade

de Pádua na Itália – nasceu no Japão mas viveu muitos anos na Itália – que, na década de 70,

criou as seis operações que ficaram conhecidas como axiomas de Huzita. Em 2001, Koshiro

Hatori mostrou uma dobragem diferente dos axiomas existentes, surgindo, então, o sétimo

axioma. Os créditos deste último axioma também podem ser atribuídos ao francês Jacques

Justin, que o apresentou em uma publicação no ano de 1989. Isso nos leva a refletir que

pesquisas independentes expressaram as mesmas leis universais na linguagem matemática.

Vejamos, na prática, como reproduzir os “Axiomas do Origami”.

AXIOMAS DO ORIGAMI

Orientações Diagramas

01- Dados dois pontos distintos P1 e P2, há uma

única dobra que passa por eles.

02- Dados dois pontos distintos P1 e P2, há uma

única dobra que os torna coincidentes.

03- Dadas duas retas, r1 e r2, há uma única dobra

que as torna coincidentes.

04- Dados um ponto P e uma reta r, há uma única

dobra perpendicular à r que passa por P.

05- Dados dois pontos, P1 e P2, e uma reta r, se a

distância de P1 a P2 for igual ou superior à

distância de P2 a r, há uma única dobra que faz

incidir P1 em r e que passa por P2.

06- Dados dois pontos P1 e P2, e duas retas r1 e r2,

se as retas não forem paralelas e se a distância

entre as retas não for superior à distância entre

os pontos, há uma única dobra que faz incidir

P1 em r1 e P2em r2.

07- Dado um ponto P e duas retas r1 e r2, se as retas

não forem paralelas, há uma única dobra que

faz incidir P em r1 e é perpendicular a r2.

DIVISÃO DE UMA FOLHA QUADRADA EM TRÊS PARTES IGUAIS

01- Utilize uma folha quadrada e obtenha

sua diagonal.

02- Sobreponha os dois vértices superiores e

faça uma pequena marca obtendo o

ponto médio deste lado do quadrado.

03- Posicione uma régua entre o ponto

médio e o vértice inferior direito.

Marque a interseção da régua com a

diagonal.

04- Dobre o lado esquerdo do quadrado

sobre o ponto de interseção que

representa 1

3 da folha quadrada.

05- Dobre o lado direito sobre o último

vinco obtido.

06- Pronto! A folha quadrada está dividida

em três partes iguais.

DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS

01- Divida uma folha quadrada como

mostramos anteriormente.

02- Leve o lado inferior do quadrado até o

ponto de interseção.

03- Repita o procedimento com o lado

superior do quadrado.

04- Dobre os segmentos que fazem a união

dos pontos como indicado na figura ao

lado e obtenha triângulos.

05- Observe que os triângulos obtidos são

congruentes. Dobre para trás os dois

triângulos da parte superior do

quadrado.

06- Note, nesta figura, 3 quadrados formados

a partir dos lados dos triângulos (a, b e c):

Um quadrado formado pelo cateto a;

Um quadrado formado pelo cateto b;

Um quadrado formado pela hipotenusa c.

07- Colora o quadrado de lado b.

08- Colora com cor distinta o quadrado de

lado a

09- Com o auxílio de uma tesoura,

destaque os dois triângulos inferiores.

10- Agora, coloque os triângulos

recortados sobre a parte branca do

quadrado de lado c, sem sobreposição

de cores.

11- Observe que a soma dos quadrados dos

catetos (a e b) é igual ao quadrado da

hipotenusa (c).

01- Você acaba de constatar a consequência do quarto axioma do Origami na divisão de

uma folha quadrada em três partes iguais. Refaça o passo-a-passo e mostre onde

esse axioma é encontrado. Apresente sua solução em forma de desenho:

02- Relacione algum axioma do Origami que, para você, mais se assemelham aos

Postulados de Euclides:

UNIDADE II TRIÂNGULOS E ESQUADROS

As civilizações antigas já faziam o uso de algumas noções geométricas, por assim dizer,

em suas atividades diárias, como agricultura, construções e movimento dos astros. Por

necessidade e sobrevivência, os indivíduos que habitavam os arredores do Nilo se viam em

grande conflito quando o rio transbordava e alagava os campos danificando as demarcações

dos limites das propriedades. Para remarcar esses limites, os agrimensores utilizavam cordas

esticadas formando triângulos retângulos que os auxiliavam nos cálculos de extensão dos

terrenos.

O triângulo é considerado uma das figuras mais importantes no estudo da Geometria.

Ele é o menor polígono que pode ser formado, sendo composto por três lados e três ângulos

que são responsáveis por sua classificação. A ele são atribuídas várias relações métricas e a

mais importante delas é o famoso Teorema de Pitágoras. Este revela que:

As principais propriedades de um triângulo são:

A medida de um lado deve ser sempre menor que a soma das medidas dos outros dois

lados;

A soma das medidas dos ângulos internos é igual a 180°.

A medida de um ângulo externo de um triângulo é a soma dos dois internos opostos

a ele.

Agora, para você compreender melhor como classificar e conferir a aplicabilidade das

propriedades dessa figura geométrica que acabamos de apresentar, vamos confeccioná-las

com o Origami.

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da

hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos

catetos.

CONSTRUÇÃO DO TRIÂNGULO ISÓSCELES

01- Utilize uma folha quadrada e obtenha sua

diagonal.

02- Leve dois lados deste quadrado sobre a

diagonal obtida.

03- Dobre para cima o vértice inferior.

04- Marque bem o vinco a fim de obter os

vértices da base do triângulo (vire).

05- Está pronto seu Triângulo Isósceles

(triângulo que possui dois lados e dois

ângulos congruentes).

Classificando este Triângulo quanto aos ângulos, damos a ele o nome de Acutângulo, pois

ele possui três ângulos agudos.

CONSTRUÇÃO DO TRIÂNGULO ESCALENO

diagonal.

diagonal obtida.

03- Dobre sobre a diagonal.

04- Está pronto seu Triângulo Escaleno

(triângulo que possui os três lados e

ângulos com medidas distintas).

Classificando este Triângulo quanto aos ângulos, damos a ele o nome de Obtusângulo,

pois ele possui um ângulo obtuso.

CONSTRUÇÃO DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO

01- Utilize uma folha retangular e dobre-a ao

meio no sentido horizontal.

02- Leve o vértice superior esquerdo até a

marca central de modo que se obtenha

um novo vértice inferior esquerdo.

03- Sobreponha o lado superior ao lado

esquerdo da figura.

04- Dobre para trás a ponta excedente e em

seguida a introduza dentro do módulo

(vire).

05- Está pronto seu Triângulo Equilátero

(triângulo que possui os três lados e

ângulos congruentes).

Classificando este Triângulo quanto aos ângulos, damos a ele o nome de Acutângulo, pois

ele possui três ângulos agudos.

CONSTRUÇÃO DO TRIÂNGULO RETÂNGULO

diagonal.

02- Está pronto seu Triângulo Retângulo

(triângulo que possui um ângulo de 90°)

Classificando este Triângulo quanto aos lados, damos a ele o nome de Isósceles, pois ele

possui dois lados congruentes.

O par de esquadros é composto por duas peças geralmente triangulares: um triângulo

retângulo escaleno e um triângulo retângulo isósceles.

Este é um instrumento muito utilizado nas aulas de Geometria e Desenho Geométrico.

Os esquadros possuem muitas utilidades, dentre as quais se destacam o traçado de linhas

perpendiculares / paralelas e a demarcação de ângulos.

Contudo, esta ferramenta didática preferencialmente graduada, pode auxiliar o

traçado de cevianas em um triângulo. Observe:

Cevianas são os segmentos que unem um vértice de um triângulo ao seu lado oposto

ou ao seu prolongamento. Todavia, existem três tipos de cevianas especiais chamadas de

segmentos notáveis de um triângulo, que recebem os nomes de altura, bissetriz e mediana.

Que tal aprender a fazer o par de esquadros com Origami?

CONSTRUINDO ESQUADRO ESCALENO

01- Utilize uma folha retangular A4 e

dobre-a ao meio no sentido horizontal.

02- Leve o vértice superior esquerdo até a

marca central de modo que se obtenha

um novo vértice inferior esquerdo.

03- Sobreponha o lado superior ao lado

esquerdo da figura e em seguida

introduza-o sob a “aba” obtida.

04- Dobre para trás a ponta excedente e

em seguida a introduza dentro do

módulo (gire 90°).

05- Encaixe a “aba” do lado direito no

“bolso” do lado esquerdo da figura.

06- Está pronto seu Esquadro de 30º e

07- Com o auxílio de uma régua faça as

devidas marcações de medida.

CONSTRUINDO ESQUADRO ISÓSCELES

01- Utilize uma folha retangular A4 e dobre-

a ao meio no sentido horizontal.

02- Agora dobre-a ao meio no sentido

vertical.

03- Leve os vértices superior direito e

inferior esquerdo até o centro da figura.

04- Leve também ao centro os outros dois

vértices.

05- Encaixe as “abas”, como indica a figura

ao lado.

06- Está pronto seu Esquadro de 45º.

07- Com o auxílio de uma régua, faça as

devidas marcações de medida.

01- Utilize os triângulos que confeccionou através do Origami e preencha a cruzadinha

abaixo:

1. Triângulo que possui um ângulo de 90°.

2. O ângulo principal do triângulo retângulo.

3. O triângulo equilátero têm ângulos...

4. Que triângulo possui os três lados congruentes?

5. Qual o menor polígono possível de ser formado?

6. Qual o nome dos ângulos do triângulo acutângulo?

7. Qual Triângulo possui um ângulo obtuso?

8. Triângulo que possui três lados diferentes.

9. Triângulo com dois lados congruentes.

02- Analise as duas afirmativas abaixo, assinale a correta e justifique:

a) Todo triângulo isósceles também é equilátero.

b) Todo triângulo equilátero também é isósceles.

03- Utilize sua criatividade e as dobraduras que aprendeu para demonstrar as

propriedades dos ângulos internos e do ângulo externo de um triângulo. Desenhe,

colora ou faça uma colagem com sua solução:

04- Analise as figuras e escreva o significado de cada ceviana traçada:

05- Dobre um triângulo equilátero como mostrado anteriormente e com a ajuda do

esquadro que você confeccionou vinque as três alturas relativas a cada lado desse

triângulo. Escreva abaixo suas conclusões a respeito das cevianas marcadas.

06- Repita o procedimento da questão anterior, porém, agora, utilize o triângulo

isósceles. O que você pode concluir?

07- Utilize seu par de esquadros e diga quanto mede os ângulos �̂� ,�̂�, �̂� 𝑒 �̂�:

08- Veja como fazer um paralelogramo utilizando o par de esquadros que você acabou

de produzir.

1. Com o auxílio do esquadro isósceles, trace uma reta e marque um segmento

2. Marque dois segmentos de mesma medida e mesma inclinação sobre os

pontos A e B.

3. Ligue os pontos C e D e estará pronto seu paralelogramo.

4. Informe as medidas de cada ângulo interno dessa figura.

09- Utilize a técnica que você aprendeu, na atividade anterior, e faça um quadrado com

os lados medindo 5 cm.

UNIDADE III QUADRILÁTEROS

Quadriláteros são polígonos formados por quatro lados. Alguns deles são especiais e

com características importantes, é o caso dos paralelogramos e os trapézios que pertencem

ao grupo dos quadriláteros convexos. Essas figuras planas possuem, respectivamente, dois

pares e um par de lados paralelos.

Os trapézios podem ser classificados como isósceles, quando possuem dois lados não

paralelos congruentes; escaleno, quando possui os lados com medidas diferentes e retângulo,

quando possuem dois ângulos retos. Já nos paralelogramos, podemos destacar os retângulos,

os losangos e os quadrados.

Todo quadrilátero possui duas diagonais. Essas, por sua vez, são segmentos que unem

dois vértices não consecutivos. Observe suas propriedades no quadro abaixo:

Depois de conhecer um pouco sobre os quadriláteros, é hora de realizar, na prática,

dobras que resultarão em cada uma das figuras aqui apresentadas.

CONSTRUÇÃO DO PARALELOGRAMO

diagonal.

02- Dobre os lados superior e inferior rente à

diagonal.

03- Vinque bem as laterais de modo que

“abas” não se sobreponham no centro da

figura (vire).

04- Está pronto seu Paralelogramo

(quadrilátero que possui lados e ângulos

opostos congruentes e paralelos).

CONSTRUÇÃO DO RETÂNGULO

01- Utilize uma folha quadrada e dobre-a ao

meio no sentido vertical.

02- Está pronto seu Retângulo

(paralelogramo que possui ângulos

internos iguais a 90°)

CONSTRUÇÃO DO LOSANGO

diagonal.

diagonal obtida.

03- Leve um vértice ao outro como indica a

figura.

04- Retorne a dobra, trazendo consigo as

aberturas nas laterais como indica a

figura ao lado.

05- Reforce bem os vincos (vire).

06- Está pronto o seu Losango

(paralelogramo que possui lados

congruentes e ângulos opostos com a

mesma medida).

CONSTRUÇÃO DO QUADRADO

01- Utilize uma folha retangular e dobre o

vértice superior esquerdo rente ao lado

inferior da folha retangular.

02- Recorte o excesso como indica a figura

ao lado.

03- Está pronto seu Quadrado

(paralelogramo que possui lados

congruentes e ângulos internos iguais a

CONSTRUÇÃO DO TRAPÉZIO

01- Utilize uma folha quadrada e dobre-a ao

meio no sentido horizontal.

02- Dobre ao meio novamente no sentido

horizontal.

03- Dobre os vértices superiores até o vinco

formado, obtendo as trissetrizes dos

respectivos ângulos inferiores.

04- Está pronto seu Trapézio (quadrilátero

que possui apenas dois lados paralelos)

01- Utilize os quadriláteros que confeccionou através do Origami e preencha a

cruzadinha abaixo:

1. Polígono formado por quatro lados.

2. Aberturas formadas pelos lados dos quadriláteros.

3. Paralelogramo de lados paralelos congruentes e ângulos retos.

4. Paralelogramo de quatro lados e quatro ângulos congruentes.

5. Pontos de interseção de lados consecutivos de um quadrilátero.

6. Quadrilátero que tem apenas um par de lados paralelos.

7. Quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.

8. Trapézio de quatro lados com medidas diferentes.

9. Trapézio que tem dois ângulos retos.

10. Trapézio que tem os dois lados não paralelos congruentes.

11. Distância medida na perpendicular entre as bases do trapézio.

12. Paralelogramo de quatro lados congruentes e ângulos opostos congruentes, sendo

dois agudos e dois obtusos.

02- Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas.

( ) Todo trapézio também é paralelogramo.

( ) Todo quadrado também é losango.

( ) Todo losango também é quadrado.

( ) Nem todo retângulo é quadrado.

( ) Existem losangos que também são retângulos.

( ) Todo retângulo também é quadrado.

( ) Nem todo retângulo é paralelogramo.

( ) Existem paralelogramos que também são trapézios.

03- Recorra às orientações das dobraduras e descubra as medidas dos ângulos internos

do paralelogramo, do losango e do trapézio que você confeccionou. Registre, nos

quadros abaixo, os procedimentos que o levou a esta conclusão:

04- Utilize os quadriláteros que produziu para identificar os eixos de simetria de cada um

deles. Marque os eixos sobre as figuras abaixo e sinalize com um X quando os

mesmos se coincidirem com a diagonal.

UNIDADE IV TANGRAM

Existem várias lendas sobre a história do Tangram, e, em uma delas, conta-se que um

imperador chinês, cansado de tanto tédio, chamou um de seus servos e ordenou que este

saísse por seu império e desenhasse em uma cerâmica quadrada toda a beleza que ele

encontrasse em seu caminho.

Então, lá se foi o servo em sua importante missão. Porém, antes mesmo que ele

deixasse o palácio, por um pequeno e fatal descuido, a cerâmica caiu de suas mãos e se dividiu

em sete pedaços. O desespero tomou conta daquele pobre homem que, temendo ser

castigado pelo imperador, tentou, imediatamente, reunir as peças e formar novamente o

quadrado.

Para sua surpresa a cada tentativa de montar o quadrado o servo percebia que se

formava ali uma figura diferente. Ele tentou várias vezes e ficou maravilhado com tantas

imagens que conseguira retratar.

Percebeu, então, que sua missão não estava perdida. E foi de encontro ao temido

imperador mostrar-lhe sua grande descoberta. Ao se aproximar, o imperador estranhou

tamanha agilidade do servo, porém, percebeu que em suas mão haviam apenas pedaços da

cerâmica que lhe fora entregue.

Os soldados foram chamados, mas antes que fosse ordenada qualquer sentença, o

humilde servo mostrou ao imperador que ele não precisava percorrer toda a china para

retratar-lhe as belezas daquele lugar; bastava que aquelas sete peças fossem unidas com

criatividade e as mais belas figuras se formariam. O imperador ficou encantado com tamanha

descoberta e deu o nome de Tangram àquele mágico quebra-cabeças.

E foi assim que o Tangram, um quebra-cabeças diferente do convencional, ficou

conhecido por todo o mundo. Ele é composto por 7 peças geométricas: 2 Triângulos Grandes,

1 Triângulo Médio, 2 Triângulos Pequenos, 1 Quadrado e 1 Paralelogramo. E a única regra do

jogo é que as peças sejam unidas sem que haja sobreposição das mesmas.

Este jogo se tornou um grande aliado da Matemática, pois permite o estudo da

Geometria de uma forma bem divertida. Com ele, é possível reconhecer, compor e decompor

figuras; explorar o cálculo de áreas e perímetros; incentivar o estudo dos ângulos; demonstrar

o Teorema de Pitágoras; dentre outros.

Agora que você já conhece a história e a utilidade do Tangram, vamos confeccionar

este jogo dobrando uma simples folha de papel. É hora de aprender se divertindo!

CONSTRUÇÃO DO TANGRAM

01- Utilize uma folha quadrada e obtenha

sua diagonal.

02- Sobreponha os vértices superior

esquerdo e inferior direito e marque o

vinco até o limite da diagonal obtida.

03- Encontre o vértice inferior esquerdo

com o centro do quadrado e obtenha a

dobra.

04- Sobreponha, novamente, os vértices

superior esquerdo e inferior direito e

marque o vinco até o limite da última

dobra obtida.

05- Leve o vértice inferior direito até o

centro da figura e marque o vinco entre

as duas dobras existentes.

06- Encontre o lado esquerdo do quadrado

com seu centro e faça um vinco entre as

dobras existentes.

07- Está pronto seu Tangram (quebra-

cabeças chinês composto por sete peças

geométricas).

08- Utilize diversas folhas coloridas, recorte

as sete peças e troque entre si para obter

um quebra cabeça bem divertido.

EXISTE UMA SÉRIE DE FIGURAS POSSÍVEIS DE SEREM FORMADAS COM O TANGRAM, VEJA

ALGUMAS IDEIAS:

http://espacotangram.com.br/nome-tangram/

01- Monte um quadrado utilizando apenas as cinco menores peças do jogo e desenhe as

soluções:

02- Mantenha o quadrado acima montado e, agora, utilizando os 2 triângulos maiores,

obtenha:

03- Antes de utilizar seu quebra-cabeças geométrico para formar diversas figuras,

marque os ângulos internos de cada uma das 7 peças que o compõem.

04- Este hexágono foi construído com as sete peças do Tangram. Informe as medidas dos

ângulos internos deste polígono:

05- Utilize o jogo que você acabou de confeccionar para preencher a tabela abaixo,

indicando os triângulos e quadriláteros possíveis de serem formados com as peças do

Tangram e desenhe as soluções:

N° de

peças do

Tangram

Triângulos

Quadrados

Retângulos

Paralelogramos

Trapézios

06- (ENEM – 2008) O Tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-cabeça,

constituído de sete peças: 5 triângulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1

quadrado. Essas peças são obtidas recortando-se um quadrado de acordo com o

esquema da figura 1. Utilizando-se todas as sete peças, é possível representar uma

grande diversidade de formas, como as exemplificadas nas figuras 2 e 3.

Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2 cm, então, a área da figura 3, que

representa uma “casinha”, é igual a:

a) 4 m2

b) 8 m2

c) 12 m2

d) 14 m2

e) 16 m2

07- Agora que você já explorou bastante seu Tangram, utilize-o para demonstrar o famoso

Teorema de Pitágoras.

UNIDADE V POLIEDROS

Os Poliedros Regulares são conhecidos desde a antiguidade. O livro XIII de Os

Elementos de Euclides é inteiramente dedicado a esses sólidos especiais. Na última proposição

deste livro fica comprovada a existência de apenas cinco Sólidos Regulares.

Mas, de acordo com Dante (2005), foi Platão, um filósofo grego, que deu ênfase e um

destaque místico a estes sólidos. Em sua obra Timaeus, ele explana seus pensamentos sobre

os sólidos em um possível encontro com o pitagórico Timeu de Locri. Neste diálogo, ele expôs

suas ideias sobre os Poliedros Regulares, que ficaram conhecidos como Poliedros Platônicos.

Dante (2005) conta que:

Neste trabalho de Platão, Timeu misticamente associa o tetraedro, o octaedro, o icosaedro e o cubo aos quatro “elementos” primordiais de todos os corpos materiais: fogo, ar, água e terra. Ele associou o quinto poliedro, o dodecaedro, ao Universo que nos cerca. E então? Você acha justo chamar esses poliedros de poliedros de Platão? (DANTE, 2005, p.98).

Assim, devido à associação dos poliedros aos elementos da natureza e ao Universo,

eles ficaram conhecidos também como “figuras cósmicas”. O matemático Johannes Kepler

explicou essa associação feita por Platão. Em uma relação de volume entre o tetraedro e o

icosaedro verificou-se que o primeiro possui um volume menor que o segundo. De acordo

com essa correspondência, se tem a ideia de seco e úmido, ligando, respectivamente, os

sólidos aos elementos fogo e água. O hexaedro e o octaedro foram tidos como mais e menos

instável, logo, se associando o hexaedro à terra, por sua estabilidade e o octaedro ao ar. O

dodecaedro foi associado ao Universo por suas doze estações zodiacais.

Depois desse pequeno resgate histórico sobre os Poliedros Platônicos, vamos aprender

a confeccioná-los através da arte de dobrar papel, o Origami.

CONSTRUÇÃO DO TETRAEDRO

01- Utilize uma folha retangular.

02- Dobre a folha ao meio.

03- Dobre o lado esquerdo da folha até o

vinco central obtendo1

4 da folha.

04- Leve o vértice superior direito à

marca de 1

4 obtida, tendo como limite

o ponto médio superior.

05- Sobreponha o vértice superior

esquerdo na dobra obtida.

06- Marque bem o vinco e abra a folha

novamente.

07- Leve o vértice inferior direito à

marca de 1

4 obtida, tendo como limite

o ponto médio inferior.

08- Sobreponha o vértice inferior

esquerdo na dobra obtida.

novamente.

10- Dobre os vértices superior direito e

inferior esquerdo rente ao primeiro

vinco.

11- Dobre os segmentos obtidos sobre o

segundo vinco.

12- Leve os seguimentos de encontro ao

centro.

13- Dobre as pontas de excesso para trás

e as introduza para dentro do

módulo.

14- Dobre a peça ao meio sobre seu

vinco central. Sobrepondo dois dos

quatro triângulos obtidos.

15- Observe os quatro triângulos

equiláteros e sobreponha os dois das

pontas sobre os dois centrais.

16- Para obter o outro módulo simétrico,

pegue outra folha e repita o

procedimento a partir do 10° passo,

porém com os vértices opostos.

17- Introduza os módulos como indicado.

18- Encaixe a segunda ponta sem que a

primeira se solte.

19- Realize os encaixes das duas pontas

restantes formando uma figura

tridimensional.

20- Está pronto seu Tetraedro (poliedro

regular com quatro faces

triangulares).

CONSTRUÇÃO DO HEXAEDRO

01- Partindo de uma folha retangular, dobre o

vértice superior esquerdo rente ao lado

inferior da folha retangular.

02- Recorte o excesso obtendo, assim, um

quadrado.

03- Divida a folha em três partes iguais (como

mostrado anteriormente). Dobre uma das

partes para frente e outra para trás, obtendo

um efeito sanfona.

04- Dobre os vértices superior direito e inferior

esquerdo sobre os respectivos lados

opostos.

05- Dobre as pontas sobre o quadrado central

obtido.

06- O módulo finalizado possui duas pontas e,

nas laterais do quadrado central, dois

“bolsos” que servirão de encaixes para a

montagem do sólido. Produza seis

módulos.

07- Pegue três módulos e encaixe como mostra

a figura.

08- Introduza outros dois no módulo central.

09- Encaixe as pontas laterais de modo a

iniciar a formação de um sólido.

10- Agora, introduza a última peça como se

estivesse colocando a tampa em uma

caixa.

11- Está pronto seu Hexaedro (poliedro

regular com seis faces quadradas).

CONSTRUÇÃO DO OCTAEDRO

03- Dobre o lado esquerdo da folha até o vinco

central obtendo1

4 da folha.

04- Leve o vértice superior direito à marca de

4 obtida, tendo, como limite, o ponto

médio superior.

05- Sobreponha o vértice superior esquerdo na

dobra obtida.

novamente.

07- Leve o vértice inferior direito à marca de 1

obtida, tendo como limite o ponto médio

inferior.

08- Sobreponha o vértice inferior esquerdo na

dobra obtida.

novamente.

esquerdo rente ao primeiro vinco.

segundo vinco.

12- Leve os segmentos de encontro ao centro.

13- Dobre as pontas de excesso para trás e as

introduza para dentro do módulo.

14- Dobre a peça ao meio sobre seu vinco

central, sobrepondo dois dos quatro

triângulos obtidos.

15- Observe os quatro triângulos equiláteros e

sobreponha os dois das pontas sobre os

dois centrais. (confeccione dois módulos)

16- Para obter os módulos simétricos, pegue

outra folha e repita o procedimento a partir

do 10° passo, porém com os vértices

opostos. (confeccione dois módulos)

17- Introduza os módulos como indicado na

figura ao lado. Inicie pelos idênticos.

18- Encaixe as pontas, de modo a obter

vértices com quatro arestas.

19- Realize os encaixes das duas pontas

restantes formando uma figura

tridimensional.

20- Está pronto seu Octaedro (poliedro regular

com oito faces triangulares)

CONSTRUÇÃO DO DODECAEDRO

01- Utilize uma folha retangular e dobre-a ao

meio na vertical.

02- Dobre ao meio na horizontal.

03- Leve ao centro os vértices superior direito

e inferior esquerdo.

04- Leve os vértices superior esquerdo e

inferior direito até o centro.

05- Dobre sobre o vinco central, obtendo dois

pentágonos irregulares idênticos. Utilize

apenas um deles no próximo passo.

06- Leve os lados superiores do pentágono, um

a um, sobre sua base.

07- Posicione uma régua entre as marcas

obtidas nas laterais superiores do

pentágono. Marque o ponto de interseção.

08- Leve os vértices superior aos da base, um a

um, sobre o ponto de interseção, obtendo

um pentágono regular.

09- Encaixe os dois pentágonos irregulares no

meio do módulo para que ele fique mais

firme. O módulo finalizado possui dois

“bolsos” nas laterais superiores do

pentágono que servirão de encaixe para a

montagem do sólido. Produza doze

módulos.

10- Inicie com três módulos e encaixe-os,

como mostra a figura.

11- A partir daí encaixe os outros módulos um

12- Encaixe o último módulo, finalizando o

sólido.

13- Está pronto seu Dodecaedro (poliedro

regular com doze faces pentagonais).

CONSTRUÇÃO DO ICOSAEDRO

03- Dobre o lado esquerdo da folha até o vinco

central, obtendo1

4 da folha.

04- Leve o vértice superior direito à marca de

4 obtida, tendo, como limite, o ponto

médio superior.

05- Sobreponha o vértice superior esquerdo na

dobra obtida.

novamente.

07- Leve o vértice inferior direito à marca de 1

obtida, tendo como limite o ponto médio

inferior.

08- Sobreponha o vértice inferior esquerdo na

dobra obtida.

novamente.

esquerdo rente ao primeiro vinco.

segundo vinco.

12- Leve os seguimentos de encontro ao

centro.

13- Dobre as pontas de excesso para trás e as

introduza para dentro do módulo.

14- Dobre a peça ao meio sobre seu vinco

central. Sobrepondo dois dos quatro

triângulos obtidos.

15- Observe os quatro triângulos equiláteros e

sobreponha os dois das pontas sobre os

dois centrais. (confeccione cinco módulos)

16- Para obter os módulos simétricos, pegue

outra folha e repita o procedimento a partir

do 10° passo, porém com os vértices

opostos. (confeccione cinco módulos)

17- Introduza os módulos como indicado na

figura ao lado. Inicie os encaixes pelos

módulos simétricos.

18- Encaixe as pontas de modo a obter vértices

com cinco arestas.

19- Realize os encaixes das pontas restantes

formando uma figura tridimensional.

20- Está pronto seu Icosaedro (poliedro regular

com vinte faces triangulares)

01- Utilize os sólidos que acabou de confeccionar para preencher a tabela abaixo.

Considere F como face, V como vértice e A como aresta.

Denominação do

Poliedro

Tipo de Face

TETRAEDRO

HEXAEDRO

OCTAEDRO

DODECAEDRO

ICOSAEDRO

02- Faça os cálculos e verifique se Euler tinha razão, ao afirmar essa relação para os

poliedros regulares.

03- Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação.

( ) O cubo é um poliedro de Platão.

( ) As faces de um icosaedro são triângulos equiláteros.

( ) As faces de um dodecaedro são hexágonos regulares.

( ) A Relação de Euler é válida somente para poliedros convexos.

( ) Se as faces de um poliedro convexo são polígonos regulares congruentes entre si, então

o poliedro também será regular.

( ) O hexaedro possui 12 vértices.

04- Considere o poliedro regular cujo número de faces é igual ao número de vértices e

responda:

a) Quantas faces, vértices e arestas possuem esse poliedro?

b) Que nome recebe esse poliedro?

c) Qual o formato das faces desse poliedro?

05- Preencha a cruzadinha de acordo com os conhecimentos adquiridos sobre os poliedros

regulares.

1. Filósofo que associou os sólidos regulares aos elementos da natureza.

2. Poliedro regular com faces pentagonais.

3. Sólido geométrico cujas superfícies são compostas por um número finito de

faces.

4. Polígono que compõe as faces do tetraedro, octaedro e icosaedro.

5. Poliedro com mesmo número de vértices e faces.

6. Número de arestas do octaedro.

7. Poliedro com todas as faces regulares iguais e que contém o mesmo número

de aresta em todos os vértices.

8. Poliedro regular também conhecido como cubo.

9. Poliedro regular composto por 12 vértices e 30 arestas.

REFERÊNCIAS E SUGESTÕES DE LEITURA

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Geometria Euclidiana na Educação Básica. 2013. 86 f. Dissertação (Mestrado

Profissional em Matemática) – Universidade Federal de Sergipe, São Cristóvão, 2013.

BRASIL, Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática / Secretaria de Educação

Fundamental. Brasília: MEC / SEF, 1997.

CAVACAMI, E.; FURUYA, Y. K. S. Explorando Geometria com Origami – Apostila

OBMEP, 2010.

COSTA, E. M. Matemática e Origami: Trabalhando Frações. Rio de Janeiro: Ciência

Moderna Ltda., 2007.

DANTE, L. R. Tudo é Matemática: 6ª série. São Paulo: Ática, 2005.

______. Projeto Teláris – Matemática – 6º ano, São Paulo: Ática, 2015.

ENGEL. P. Origami: from Angelfish to Zen. New York: Dover, 1994.

FUSE. T. Unit Origami: Multidimensional Transformations. Tokyo: Japan Publications,

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GIOVANNI, J. R.; FERNANDES, T. M. OGASSAWARA, E. L. Desenho geométrico:

novo. São Paulo: FTD, 2002. (Obra completa – 4v.)

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novo: atividades. São Paulo: FTD, 2002. (Obra completa – 4v.)

IMENES, L. M. Geometria das Dobraduras – Vivendo a Matemática. 7. ed. São Paulo:

Scipione, 2003.

KALEFF, A. M. M. R. Vendo e Entendendo Poliedros: do desenho ao cálculo do

volume através de quebra-cabeças geométricos e outros matérias concretos. 2. ed.

Niterói: UFF, 2003.

KANEGAE, M., IMAMURA, P. Origami Arte e Técnica da Dobradura de Papel. São

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MACHADO, N. J. Os Poliedros de Platão e os dedos da mão – Vivendo a Matemática.

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MANSO, R, L, D. Origami: Uma Abordagem Pedagógica para o Ensino da Geometria no

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MITCHEL, D. Origami Matemáticos. Lisboa: Replicação, 2008.

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Atividades de ensino através de dobraduras. João Pessoa: Universitária/UFPB, 2003.

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