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Revisão de Conhecimentosde Sistemas Lineares2

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2.1. Sistemas Lineares Invariantes no Tempo2.2. Transformada de Laplace2.3. Transformada Inversa de Laplace2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace2.5. Função de Transferência2.6. Polos e Zeros2.7. Exercícios

2. Revisão de Sistemas Lineares

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2. Revisão de Sistemas Lineares

2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 94

2.1. Sistemas Lineares Invariantes no Tempo2.2. Transformada de Laplace2.3. Transformada Inversa de Laplace2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace2.5. Função de Transferência2.6. Polos e Zeros2.7. Exercícios

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2.1. Classificação de Sistemas

Algumas distinções (somente o que vai interessar neste curso)

Sistemas Lineares x Não-LinearesSistemas Invariantes no Tempo x Variantes no TempoSistemas Causais x Não-Causais (Antecipativos)

Sistemas considerados neste curso: Lineares , Invariantes no Tempo e Causais !

2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 95

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2.1. Classificação de Sistemas

2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 96

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2.1. Classificação de Sistemas

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2.1. Classificação de Sistemas

2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 98

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2.1. Classificação de Sistemas

2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 99

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2. Revisão de Sistemas Lineares2.1. Sistemas Lineares Invariantes no Tempo2.2. Transformada de Laplace2.3. Transformada Inversa de Laplace2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace2.5. Função de Transferência2.6. Polos e Zeros2.7. Exercícios

2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 100

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2.2. Transformada de Laplace

2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 101

Ideia da Transformada de Laplace:Transformar uma equação diferencial ordinária linear no domínio do tempo t do tipo

em uma equação algébrica polinomial no domínio da variável complexa s, dada por

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Resolução de uma Equação Diferencial Ordinária por Laplace:1. Transformar a equação diferencial ordinária em uma equação algébrica (equação subsidiária).2. Resolver a equação subsidiária mediante manipulações puramente algébricas.

2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 102

3. Aplicar a transformada inversa na solução da equação subsidiáriapara obter a solução da equação diferencial original.

2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 103

Definição da Transformada:A transformada de Laplace de uma função é definida como:

onde:uma função do tempo tal que para uma variável complexa tal que a transformada de Laplace de

2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 104

Exemplo 1:

Exemplo 2:

2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 105

Conferindo no MATLAB :2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 106

Propriedade 1: Linearidade

Prova:

2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 107

TEOREMA DE EULER:cos sin ⇒ cos

sinExemplo 3:

Exemplo 4:

2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 108

Conferindo no MATLAB :2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 109

Propriedade 2: Derivada no Tempo

Prova:

2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 110

Propriedade 2: Derivada no Tempo2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 111

Exemplo 5:

Exemplo 6:

Exemplo 7:

2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 112

Conferindo no MATLAB :2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 113

Propriedade 3: Translação na Frequência

Prova:

2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 114

TRANSLAÇÃO NA FREQUÊNCIA: ⟺ Exemplo 8:

Exemplo 9:

2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 115

Conferindo no MATLAB :2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 116

Exemplo 10:

Exemplo 11:

Exemplo 12:

TRANSLAÇÃO NA FREQUÊNCIA: ⟺

2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 117

Conferindo no MATLAB :2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 118

Conferindo no MATLAB :2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 119

Propriedade 4: Translação no Tempo

Prova: ·

2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 120

Exemplo 13: Pulso Unitário

Exemplo 14: Impulso Unitário →

→ →

→ →

TRANSLAÇÃO NO TEMPO: ⇕

2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 121

Propriedade 5: Derivada na Frequência

Prova:

2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 122

Propriedade 5: Derivada na Frequência2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 123

DERIVADA NA FREQUÊNCIA:· Exemplo 15:

Exemplo 16:

2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 124

Conferindo no MATLAB :2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 125

Transformadas das funções básicas que compõemas respostas naturais dos sistemas dinâmicos lineares:

2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 126

2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 127

Resumo das Propriedades da Transformada de LaplaceHomogeneidade: Aditividade:

Derivada no tempo:

2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 128

Resumo das Propriedades da Transformada de LaplaceDerivada na frequência:

Translação na frequência:Translação no tempo:Escala no tempo:Convolução:

2.2. Transformada de Laplace

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Alguns pares de Transformada de Laplace:

2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 129

2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 130

Quando f(t) é multiplicada por e–t, substituir s por s+a :2.2. Transformada de Laplace

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Quando f(t) é multiplicada por e–t, substituir s por s+a :

2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 131

2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 132

Exemplo 17:

2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 133

Conferindo no MATLAB :2.2. Transformada de Laplace

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Quando f(t) é multiplicada por t, derivar F(s) e trocar o sinal :

2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 134

2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 135

2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Sistemas Lineares

2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 136

2.1. Sistemas Lineares Invariantes no Tempo2.2. Transformada de Laplace2.3. Transformada Inversa de Laplace2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace2.5. Função de Transferência2.6. Polos e Zeros2.7. Exercícios

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A transformada inversa de Laplace é dada por: 1( 0) ( )2

stf t F s e dsj

2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 137

Porém, um método bem mais fácil é:1. Expandir F(s) em uma soma de frações parciais2. Obter a transformada de Laplace de cada fração parcial isoladamente

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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Na resolução por frações parciais podem ocorrer:

2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 138

1 – Polos reais e distintos2 – Polos complexos3 – Polos repetidos

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 139

1 – Polos reais e distintos2 – Polos complexos3 – Polos repetidos

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 140

Caso 1 – Polos reais distintos2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 141

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 142

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 143

Exemplo 18:2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 144

Conferindo no MATLAB :2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 145

Exemplo 19:2.3. Transformada Inversa de Laplace

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Obtenha a Transformada inversa de Laplace da seguinte função:22 1( ) 3 2sF s s s

2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 146

Exemplo 20:2.3. Transformada Inversa de Laplace

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Solução:22 1( ) 3 2sF s s s

22 1 2 1( ) 3 2 (s 1)( 2)s sF s s s s 1 2

1 2r r

s s

22

2 1( 2) ( 1)(s 2 s

sr s s

2 1 2( 2) 1 3( 1) (( 2) 1)ss

11

2 1( 1) ( 1)(s 2) s

sr s s

2 1 2( 1) 1 1( 2) (( 1) 2)ss

2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 147

Exemplo 20:Obtenha a Transformada inversa de Laplace da seguinte função:

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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Portanto:1 3( ) ( 1) (s 2)F s s

Utilizando-se as tabelas de transformada inversa de Laplace:

2( ) 3t tf t e e 0t para

2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 148

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 149

Conferindo no MATLAB :2.3. Transformada Inversa de Laplace

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Dada a função F(s). Determine f(t): 5 3( ) ( 1)( 2)( 3)sF s s s s

2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 150

Exemplo 21:2.3. Transformada Inversa de Laplace

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Dada a função F(s). Determine f(t): 5 3( ) ( 1)( 2)( 3)sF s s s s

Solução:31 25 3( ) ( 1)( 2)( 3) ( 1) ( 2) ( 3)rr rsF s s s s s s s

1

1

5 3( 1) ( 1)( 2)( 3) s

sr s s s s 1

1

5 3( 2)( 3) s

sr s s

5( 1) 3 1(( 1) 2)(( 1) 3)

22

5 3 5( 2) 3 7(s 1)( 3) (( 2) 1)(( 2) 3)s

sr s 2

2

5 3( 2) (s 1)( 2)( 3) s

sr s s s

2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 151

Exemplo 21:2.3. Transformada Inversa de Laplace

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33

5 3( 3) (s 1)( 2)( 3) s

sr s s s 3

3

5 3(s 1)( 2) s

sr s

5( 3) 3 6(( 3) 1)(( 3) 2)

1 7 6( ) 1 2 3F s s s s Então:

Utilizando-se as tabelas de transformada inversa de Laplace:

2 3( ) 7 6t t tf t e e e para 0t

2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 152

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 153

Conferindo no MATLAB :2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 154

1 – Polos reais e distintos2 – Polos complexos3 – Polos repetidos

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 155

Para Polos complexos conjugados, temos 2 métodos: por Euler

Frações parciais de primeira ordem distintas para cadapólo complexo

por “arranjo matemático” Frações parciais de segunda ordem para cada par de

Polos complexos conjugados.

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 156

Exemplo 22:i) Resolução por Euler:

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 157

i) Resolução por Euler (continuação):

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 158

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 159

i) Resolução por Euler (continuação):

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 160

ii) Resolução por Arranjo Matemático:

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 161

ii) Resolução por Arranjo Matemático:

Aplicando a transformada inversa de Laplace:

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 162

Observação:

Logo,

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 163

Conferindo no MATLAB :2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 164

Exemplo 23:i) Resolução por Euler:

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 165

i) Resolução por Euler (continuação) :

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 166

ii) Resolução por Arranjo Matemático :

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 167

ii) Resolução por Arranjo Matemático ( continuação ) :

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 168

Conferindo no MATLAB :2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 169

Exemplo 24:2.2. Transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 170

Conferindo no MATLAB :2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 171

1 – Polos reais e distintos2 – Polos complexos3 – Polos repetidos

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 172

Exemplo 25:2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 173

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 174

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 175

Conferindo no MATLAB :2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 176

Exemplo 26:2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 177

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 178

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 179

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 180

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 181

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 182

2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 183

Conferindo no MATLAB :2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 184

Fórmula Geral para pólo de multiplicidade n:2.3. Transformada Inversa de Laplace

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2. Revisão de Sistemas Lineares

2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 185

2.1. Sistemas Lineares Invariantes no Tempo2.2. Transformada de Laplace2.3. Transformada Inversa de Laplace2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace2.5. Função de Transferência2.6. Polos e Zeros2.7. Exercícios

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 186

2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 187

2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 188

2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 189

2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 190

2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace

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2. Revisão de Sistemas Lineares

2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 191

2.1. Sistemas Lineares Invariantes no Tempo2.2. Transformada de Laplace2.3. Transformada Inversa de Laplace2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace2.5. Função de Transferência2.6. Polos e Zeros2.7. Exercícios

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 192

2.5. Função de Transferência

SistemaDinâmicoLinear

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 193

2.5. Função de Transferência

função de transferência estritamente própriafunção de transferência própriafunção de transferência imprópria (sistema não-causal)

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 194

2.1. Sistemas Lineares Invariantes no Tempo2.2. Transformada de Laplace2.3. Transformada Inversa de Laplace2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace2.5. Função de Transferência2.6. Polos e Zeros2.7. Exercícios

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 195

2.6. Polos e Zeros

Zeros pontos onde é nula

Polos pontos onde ou suas derivadas tendem ao infinito

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 196

2.6. Polos e Zeros Exemplo 27:

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2. Revisão de Sistemas Lineares

2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 197

2.1. Sistemas Lineares Invariantes no Tempo2.2. Transformada de Laplace2.3. Transformada Inversa de Laplace2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace2.5. Função de Transferência2.6. Polos e Zeros2.7. Exercícios

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 198

2.7. Exercícios 1) Determine a transformada de Laplace

a) f)b) g)c) h)d) i)e) j)

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 199

2.7. Exercícios 2) Determine a transformada inversa de Laplace

a) g)b) h)c) i)d) j)e) k)f) l)

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 200

2.7. Exercícios

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 201

2.7. Exercícios 4) Determine a transformada inversa de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 202

2.7. Exercícios 5) Encontre a solução usando a transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 203

2.7. Exercícios 6) Encontre a solução usando a transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 204

2.7. Exercícios 7) Encontre a solução usando a transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 205

2.7. Exercícios 8) Encontre a solução usando a transformada de Laplace

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 206

2.7. Exercícios 8) … continuação …

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2.7. Exercícios 8) … continuação …

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2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 208

2.7. Exercícios 8) … continuação …