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DES-FEC-UNICAMP

IC301- MECÂNICA DAS ESTRUTURAS I

RELAÇÕES CONSTITUTIVAS(TENSÃO-DEFORMAÇÃO)

PROF. DR. NILSON TADEU MASCIA

RELAÇÕES CONSTITUTIVAS(TENSÃO-DEFORMAÇÃO)

INTRODUÇÃO

Condições a serem satisfeitas na resolução de problemas de elasticidade

1- Equações de equilíbrio ou de movimento;

2- Condições de compatibilidade entre deslocamentos e deformações;

3- Relações tensões-deformações.

FIGURA 01 - Inter-relações das variáveis na mecânica dos sólidos

=−−+

ikjljlikijklklij

ijjiij uu

εεεε

Incognitas x Equações

6 3 equações de equilíbrio

6 6 equações desloc/deform.

3 6 equações constitutivas

Hípoteses Básicas

1- Comportamento do material é independente do tempo;

2- Condições isotérmicas são consideradas;

3- Pequenos deslocamentos.

ESTADO DE TENSÃO EM UM PONTO

FIGURA 02 - Componentes de um vetor tensão .

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

333231

232221

131211

σσσσσσσσσ

ESTADO DE DEFORMAÇÃO EM UM PONTO

333231

232221

131211

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

εεεεεεεεε

ELASTICIDADE

Todo sólido quando submetido a ações externas apresenta, como resposta a

nível interno, tensões e deformações. Se essas ações cessarem e se o sólido

voltar as suas condições iniciais, ou seja, tamanho e forma idênticos àqueles

antes das ações atuarem sobre ele, não guardando deformações residuais, o

sólido é chamado elástico.

A função resposta do material pode ser linear ou não linear como é

mostrada pelos gráficos tensão-deformação:

FIGURA 03 - Gráficos função resposta do material. (a) resposta não linear (b) resposta linear

Pode-se concluir, então, que as tensões e as deformações nestes sólidos são totalmente reversíveis. Além disto, baseando-se em hipóteses que as ações são independentes de tempo e estes sólidos estão sob condições adiabáticas e isotérmicas, (Love), é possível defini-los matematicamente como:

)( klijij F εσ =

onde Fij é uma função resposta do material.

ENERGIA DE DEFORMAÇÃO

Considerando este sólido elástico sob ação de forças, conforme mostra a figura

09, e impondo ao mesmo deslocamentos virtuais infinitesimais δUi , compatíveis

com as condições.de equilíbrio, é possível, através do princípio dos trabalhos

virtuais (P.T.V.) inter-relacionar uma série de equilíbrios iii u T F δ , , com uma série

de compatibilidade virtual iji u δεδ , .

FIGURA 04 - Sólido elástico em equilíbrio.

Assim,

dVdVuFdAuT ijijViiViiA δεσδδ ∫=∫+∫

onde o conjunto de termos, à esquerda na equação , exprime o trabalho externo δW , e o conjunto de termos, à direita, o trabalho interno δU . Então:

UW δδ =

dVU ijijV δεσδ ∫=

Mas, simplificando:

dVUU V 0δδ ∫= ,

deste modo tem-se:

ijijU δεσδ =0

Como U0 é função somente das componentes de deformação:

UU δε

∂ε∂

δ 00 =

substituindo-se δU0 , tem-se:

U∂ε∂

Esta equação é conhecida como Modelo Elástico de Green ou lei constitutiva hiperelástica. (Desai)

Em contrapartida, pode-se relacionar σ εij ij U, , 0 por variações de δσ δ δij i iF T , , . Assim a equação do P.T.V. torna-se:

dVdVuFdAuT ijijViiViiA εδσδδ ∫=∫+∫

WU δδ =

Assim:

dVdVU ijijVcoV εδσδ ∫=∫

então:

ijijcoU δσεδ =

Sendo Uco função das componentes de tensão σij e conhecida como

energia complementar de deformação tem-se:

UU δσ

∂σ∂

Portanto:

U∂σ∂

ε = .

A figura mostra as quantidades Uco e U0 .

FIGURA 05 - Energia de deformação e energia complementar de deformação no gráfico tensão - deformação .

Por outro lado, é possível observar que em um modelo linear, a energia de deformação U0 é igual à energia complementar de deformação Uco .

RELAÇÕES TENSÃO DEFORMAÇÃO OU LEIS CONSTITUTIVAS DOS MATERIAIS ELASTICAMENTE ANISOTRÓPICOS

Sendo assim, com o uso de uma série polinomial:

klijijklijijijCU εεβεαδ ++= 00 ,

onde C ij ijkl0 , ,α β são constantes. Aplicando-se a equação relativa à do modelo

elástico de Green, e considerando que a energia de deformação tenha um valor estacionário em relação ao tensor de deformação, tem-se:

klklijijklijij εββασ )( ++= .

Da expressão anterior, designando ( )β βijkl klij+ de Cijkl e, além disto,

supondo que as tensões estão associadas e atuando em todo sólido, ou seja, αij = 0, tem-se:

klijklij C εσ =

Desta expressão, sendo Cijkl uma matriz não singular, pode-se escrever:

klijklij S σε =

Caracterizando-se que C S= −1,

jrisjsirijrsklrsijkl SC δδδδδ +==

e também

ijrsklrsijkl CS δ=

onde: δij é o delta de Kroneker, e δijkl é um tensor unitário.

Com os índices i j k l, , , , variando de 1 a 3, pode-se discretizar um dos termos. Por exemplo σ13:

331333321332311331231323221322

21132113131312131211131113

εεεεεεεεεσ

CCCCCCCCC

+++++++++=

Como os tensores Cijkl e Sijkl são tensores de 4ª ordem, é de se prever

que sejam constituídos de 81 (oitenta e um) elementos (coeficientes elásticos). Mas este número de elementos pode ser reduzido pela seguinte análise:

Derivando a equação :

klijklij C εσ =

tem-se:

ijklijklkl

==∂ε∂ε

∂∂ε∂σ 0

e alterando a ordem de derivação:

ijklklij

UU∂ε∂ε

∂∂ε∂ε

∂ 022

Pode-se concluir, portanto,que:

klijijkl CC =

demonstrando-se, assim, a existência da simetria nos pares de índices ( )(i j k l, , ) do tensor Cijkl .Semelhante análise pode ser feita para os termos Sijkl :

klijijkl SS =

• Em primeiro lugar,a simetria de tensores de deformação εij , ou

jiij εε =

desta maneira obtém-se:

klijkllkijklij CC εεσ ==

resultando em:

ijlkijkl CC =

Ou seja, dos 81 (oitenta e um) elementos em Cijkl sobraram 54

(cinquenta e quatro) diferentes (independentes).

• Em segundo lugar, devido a simetria dos tensores de tensão σij ,

jiij σσ =

desta maneira obtém-se:

kljikljiklijklij CC εσεσ ===

resultando em:

jiklijkl CC =

Ou seja, dos 54 (cinquenta e quatro) elementos em Cijkl passa-se a ter

36 (trinta e seis) elementos diferentes.

• Em terceiro lugar,como foi mencionado, o tensor Cijkl é simétrico em relação aos pares de índices,(i j, ) e (k l, ).

Então, em lugar dos 36 (trinta e seis) elementos existem apenas 21 (vinte e um) elementos diferentes no tensor Cijkl , e também no tensor Sijkl .

Na forma matricial, tem-se:

⎪⎪⎪

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎪⎪⎪

313131233112313331223111

233123232312233323222311

123112231212123312221211

333133233312333333223311

223122232212223322222211

113111231112113311221111

εεε

σσσσσσ

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

De modo análogo:

⎪⎪⎪

σσσσσσ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎪⎪⎪

εεε

313131233112313331223111

233123232312233323222311

123112231212123312221211

333133233312333333223311

223122232212223322222211

113111231112113311221111

444222444222444222222222222

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

Com o objetivo de simplificar as operações com os elementos dos tensores aqui mencionados, pode-se utilizar uma notação indicial reduzida, apresentada por Lekhnitskii, onde a simetria dos tensores ε σij kl ijklC , e permite

a redução dos seus índices, os quais podem ser contraídos da seguinte maneira:

σ σij m= → para quaisquer índices

ε εij m m= → =se 1,2,3

2ε εij m m= → =se 4,5,6

C ijkl mnC= → para quaisquer índices

S S m nijkl mn= → =se , 1,2,3

2S S m nijkl mn= → =se , 4,5,6

4S S m nijkl mn= → =se , 4,5,6.

A partir do que demonstrou-se, observa-se que os índices variam de 1 a 6.

Assim:

, , , , , , , , ,,

, , , ,,

113116112315111214113313111212111111

316235124333222111

CCCCCCCCCCCC ============

======εεεεεεεεεεεεσσσσσσσσσσσσ

Com esta convenção, pode-se escrever:

nmnm C εσ =

e assim:

nmnm S σε = ,

resultando, matricialmente:

⎪⎪⎪

σσσσσσ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

⎪⎪⎪

εεεεεε

SOBRE O NÚMERO DE CONSTANTES INDEPENDENTES NO TENSOR Sij

Lekhnitskii cita que o número de termos independentes no tensor

compliance Sil , para materiais elásticos anisotrópicos, não é 21 (vinte e um) mas

sim 18 (dezoito).

Esta afirmação pode ser comprovada através das seguintes considerações

(Se o tensor εij for diagonalizado, ou seja, referido às novas direções principais,

por meio de uma conveniente mudança de base, ele passa a ter 3 (três)

elementos nulos, ou seja:

0654 === εεε

Nestas condições tem-se:

⎪⎪⎪

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎪⎪⎪

666564536261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

σσσσσσ

εεε

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

SIMETRIA ELÁSTICA NOS MATERIAIS

TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS

É fato que os tensores constitutivos C Sijkl ijkle são tensores de 4a ordem,

estando assim sujeitos à seguinte lei de transformação de coordenadas,

mnopepkojmimijkl SllllS =′

onde ′Sijkl são os coeficientes do tensor compliance no novo sistema da

coordenadas, Sijkl são os coeficientes do tensor compliance no antigo

sistema da coordenadas e lij os cossenos diretores

Os cossenos diretores lij em uma rotação de eixos coordenados, em um

sentido anti-horário, em torno do eixo x3 ,tornam-se:

lij = −⎡

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

cos sensen cos

θ θθ θ

FIGURA 06 - Rotação dos eixos x x1 2e de um sistema de eixos ortogonais

Deste modo, pode-se apresentar, por exemplo, o coeficiente ′S11 :

( )( ) ( )

( )[ ]( )[ ]

( )[ ]21312233311

2122231

21111311211

2133333

21212312223

21111231113

2133311

5122211

211233111121312

21131311122

21123231133

21212122233

4133333

4122222

41111111111

lSSlSlSll

lSlSSlSll

lSlSlSSll

llSSllSS

llSSlSlSlSS

+++++=′

Como alternativa, pode-se utilizar os coeficientes com os índices reduzidos ( )S Cij ij e ,para os quais Lekhnitskii apresenta os termos escritos por qij ,

para se efetuar a transformação do tensor constitutivo.

Assim, a lei de transformação torna-se:

mninimij SqqS =′

onde os termos qij estão apresentados na tabela 01, sendo que o primeiro

subscrito indica a linha e, o segundo a coluna na tabela.

Tabela 01 - Relação dos termos qij e os cossenos diretores lij para transformação de coordenadas com subscrito reduzido Fonte: Lekhnitskii

1 2 3 4 5 6

1 l112 l12

2 l132 l l11 12 l l12 13 l l31 11

2 l212 l22

2 l232 l l22 21 l l23 22 l l23 21

3 l312 l32

2 l332 l l32 31 l l33 32 l l33 31

4 2 21 11l l 2 12 22l l 2 13 23l l l l l l11 22 12 21+ l l l l13 22 12 23+ l l l l13 21 11 23+ 5 2 31 21l l 2 32 22l l 2 33 23l l l l l l31 22 32 21+ l l l l33 22 32 23+ l l l l33 21 31 23+ 6 2 31 11l l 2 32 12l l 2 33 13l l l l l l31 12 32 11+ l l l l33 12 32 13+ l l l l33 11 31 13+

Com o exposto é possível apresentar os novos termos do tensor constitutivo ′Sij , após transformação de coordenadas.

Observa-se que as parcelas que contribuem para cada termo de ′Sij estão

relacionadas às funções trigonométricas do ângulo de rotação θ :

( )( ) θθθθ

θθθθ

cos sen sen cos2

sen cos sen2 cos2

226612

++++=′

( )( )( ) θθθθ

cos sen sen cos +

cos sen222

6612221112

−−

++−−+=′

SSSSSS

( )( ) θθθθ

θθθθ

cos sen cos sen2

cos cos sen2 sen2

226612

++++=′

CLASSIFICAÇÃO DOS MATERIAIS SEGUNDO O NÚMERO DE PLANOS DE SIMETRIA ELÁSTICA

Voigt, apud Cowin, sintetizou os estudos desenvolvidos por Voigt, Love e Gurtin,

os quais apresentaram 9 (nove) quantidades distintas de coeficientes do tensor

Cijkl para 32 classes de cristais, enquanto que para os não cristais, ele

mencionou a existência de somente 3 (três) tipos tradicionais conhecidos como

isotrópico, monotrópico e ortotrópico.

A seguir, será desenvolvido um estudo mais aprofundado da simetria elástica

para os 3 (três) tradicionais tipos de não cristais.

A nomenclatura aqui utilizada pode sofrer alterações em função dos diversos

autores que abordaram este assunto.

MATERIAL COM SIMETRIA ELÁSTICA EM UM PLANO

Admitindo um sólido referido a um sistema de coordenadas xi

FIGURA 07 - Simetria elástica em um plano

O plano x x1 2 − é de simetria elástica, ou seja, duas direções quaisquer passando por um ponto neste plano são equivalentes no que concerne às propriedades de elasticidade. Além disto, a direção normal a este plano é chamada de direção principal de elasticidade.

Promovendo rotações de 180o em torno do eixo x3 , conforme esquema da figura :

FIGURA 08 - Rotação de 180o em torno do eixo x3

têm-se os seguintes cossenos diretores:

lij =−

−⎡

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

1 0 00 1 00 0 1

Com o uso da transformação tensorial de S11 tem-se:

mnnm SqqS 1111 =′

resultando:

1141111 SlS =′

devido às demais parcelas que contribuem para ′S11 serem nulas. Assim:

1111 SS =′

De semelhante análise para os outros termos do tensor, conclui-se que:

04645363526251615 ======== SSSSSSSS

Então, o tensor Sij terá a seguinte configuração:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

44434241

34333231

24232221

14131211

00000000

SSSSSSSSSSSSSSSS

O tensor Sij passa a ter 13 elementos diferentes, sendo que apenas

11(onze) são independentes, devido à dependência linear entre os termos .

MATERIAL COM SIMETRIA ELÁSTICA EM TRÊS PLANOS

Um sólido referido a um sistema de eixos coordenados xi e agora sob uma

rotação de 180o em torno do eixo x1 (um dos eixos de simetria)

FIGURA 09 - Rotação de 180o em torno do eixo x1

tem-se, analogamente ao item anterior:

056342414 ==== SSSS

Efetuando semelhante rotação nos eixos x x2 3e , um de cada vez:

56352515

54362616

sendo que Sij fica com a seguinte forma:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

332313

232212

131211

000000000000000000000000

SSSSSSSSSS

Neste momento pode-se expressar os coeficientes do tensor compliance, em termos dos coeficientes elásticos usuais de engenharia ,ou seja, através do módulo de elasticidade longitudinal ou módulo de Young Ei , do coeficiente de Poisson νij e do módulo de elasticidade transversal ou de rigidez Gij . Assim Sij torna-se:

100000

010000

001000

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−−

onde devido à simetria existente pode-se escrever: j

EEνν

−=−

Como observou-se anteriormente, é mais simples trabalhar com os coeficientes

do tensor compliance Sij , ao invés dos coeficientes do tensor de constantes de

elasticidade Cij . A título de ilustração, pode-se comparar os coeficientes a

seguir :

322321123113312312

)2332111 21

)1(ννννννννν

νν−−−−

MATERIAL TRANSVERSALMENTE ISOTRÓPICO

Considera-se o plano x x1 2− de isotropia, ou seja, todas as direções contidas

neste plano são elasticamente equivalentes, o eixo x3 é o eixo de simetria

elástica.

FIGURA 10- Plano de isotropia - material transversalmente isotrópico

Baseando-se nas operações dos ítens anteriores, de simetria elástica, tem-se:

( ) 441211665523132211 2 ; ; ; SSSSSSSSS =−===

Assim, com a utilização da notação usual de engenharia

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

′′′

−′

′′

−−

′−−

100000

010000

001000

onde E E, ′= módulo de elasticidade no plano de isotropia e na direção normal a ele,ν ν , ′= coeficiente de Poisson no plano de isotropia e na direção normal a ele e G G , ′=módulo de elasticidade transversal no plano de isotropia e, também,

( ) 2 441211 SSS =− ou

( )ν+=

Portanto, apenas 5 (cinco) coeficientes de Sij são independentes.É importante

salientar que a expressão do módulo de elasticidade transversal G indica a

isotropia no plano.

MATERIAL ISOTRÓPICO

Um material isotrópico é aquele em que todos os planos que passam por

um ponto são isotrópicos (planos de simetria), ou seja, todas as direções são

elasticamente equivalentes e principais. Assim:

νν =′=′=′ e , GGEE ,

tornando-se o tensor Sij , com o uso dos coeficientes de engenharia:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

−−

100000

010000

001000

Portanto, o tensor Sij passa a ter apenas 2 (dois) coeficientes

independentes, ou seja, o módulo de elasticidade longitudinal E e o coeficiente de Poisson ν , sendo que o módulo de elasticidade transversal G é definido como:

( ) 12 ν+=

Alguns autores utilizam as constantes de Lamé λ μ e para caracterizar um

material isotrópico e seus coeficientes do tensor constitutivo, como por exemplo

( )jkiljlikklijijklC δδδδμδλδ ++= ,

ijiijj CC ==λ ; ( ) ( )ijiiiijjiiii CCCC −=−=21

Ainda a respeito dos materiais isotrópicos, mais particularmente ao coeficiente de

Poisson , tem-se:

0 1 ; 21 0 <<−<< νν ,

BIBLIOGRAFIA

CHEN, W.F., SALLEB. A. Constitutive equations for engineering materials.

New York, John Wiley e Sons, 1982. V.1 : Elasticity and Modeling ... p. 1-181 .

COWIN, S. C. Identification of materials symmetry for anisotropic elastic

materials. Quaterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, V.40, n.4,

p.451-476, Nov 1987.

DESAI, C. S.; SIRIWARDANE, H. J. Constitutive laws for engeeniring materials

with emphasis on geologic materials. New Jersey, Prentice-Hall, p.1-168, 1984.

LEKHNITSKII, S.G. Theory of elasticity of an anisotropic body. Moscou, Mir,

p.10-98, 1981.

LOVE, A. E. A treatise on the theory of elasticity. New York, Dover

Publications, p. 1-182. 1944.

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