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Calculo Vectorial

Profesor: H. Fabian Ramirez Ospina. Edificio: 404 Ofic: 311.E-mail: hframirezo@unal.edu.co

Atencion: Lunes 9:30-12:30, Miercoles y Viernes 11:30-12:30Blog: notasfabian.wordpress.com

Allı encontraras el material de la signatura : Notas de clase y talleresEvaluacionTres Parciales (25% cada uno)I ExamenII ExamenIII Examen ((Final Conjunto))25% Acordar con los estudiantes.

Consejo I:Consejo II:

Calculo en Varias Variables

Calculo Vectorial

Consejo I: ESTUDIEN EN GRUPOConsejo II:

Calculo Vectorial

Consejo I: ESTUDIEN EN GRUPOConsejo II: Si estudia solo, pues REZAR BASTANTE

Coordenadas rectangulares

Un punto en el espacio se determina dando su localizacion relativa a tresejes coordenados perpendiculares entre ellos, que pasan por el origen O.

Usualmente se dibujan los ejes x , y , z cumpliendo por la siguientepropiedad:

Usualmente se dibujan los ejes x , y , z cumpliendo por la siguientepropiedad: Sistema de coordenadas de la mano derecha

Sistema de coordenadas de la mano derecha: Si doblamoslos dedos de la mano derecha con un giro de 90◦ a partir del ejepositivo de las x y hacia el eje y positivo, entonces el pulgarapuntara en la direccion del eje positivo de las z.

Coordenadas rectangularesSe dice que el punto P en el espacio tiene coorde-nadas rectangulares (a, b, c) si

a es su distancia al plano yz ,b es su distancia al plano xz ,c es su distancia al plano xy .

Observe tambien que a, b y c son los numeros realescorrespondientes a las intersecciones de los ejescon los planos que pasan por P y son perpendicu-lares a los ejes.

Las coordenadas (a, b, c) tambien se conocen comocoordenadas rectangulares, pues los ejes que lasdefinen se cortan en angulo recto.

Cualquier vector a = (a1, a2, a3) ∈ R3 se puede expresar como una

combinacion lineal de los vectores unitarios

i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1), a = a1i+ a2j+ a3k

donde a1i, a2j y a3k son llamados vectores componentes los cualesyacen a lo largo de los ejes origen como un punto inicial comun,

i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1), a = a1i+ a2j+ a3k

donde a1i, a2j y a3k son llamados vectores componentes los cualesyacen a lo largo de los ejes origen como un punto inicial comun,

y los escalares a1, a2 y a3 se denominan componentes de a en lasdirecciones x , y y z , respectivamente.

Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la

cual denotamos como

x1x2...xn

Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.

cual denotamos como

x1x2...xn

Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.¿Cual serıa el vector vector nulo o vector cero?

cual denotamos como

x1x2...xn

Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.¿Cual serıa el vector vector nulo o vector cero?

00...0

cual denotamos como

x1x2...xn

Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.

cual denotamos como

x1x2...xn

Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.EJEM: Los vectores

10...0

, e2 =

01...0

, · · · , en =

00...1

son vectores de Rn. A estos vectores los llamamos vectores

canonicos de Rn

cual denotamos como

x1x2...xn

Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.¿Cuando dos vectores x, y son iguales?

x = y ⇔

x1x2...xn

y1y2...yn

⇔ xi = yi

Geometricamente, a los vectores de Rn los podemos interpretar

como puntos;

Geometricamente, a los vectores de Rn los podemos interpretar

como puntos;

En las aplicaciones fısicas, es importante que pensemos en un vector,no como un punto, sino como algo que tiene magnitud, direccion ysentido. Estos vectores los llamaremos vectores libres.

SUMA: Dados u =

u1u2...un

v1v2...vn

, definimos

u+ v =

u1 + v1u2 + v2

...un + vn

PRODUCTO POR ESCALAR: Dados u =

u1u2...un

y λ ∈ R , definimos

λu1λu2...

RESTA: Definimos u− v = u+ (−v)

PR = OR − OP .

RESTA: Definimos u− v = u+ (−v)

PR = OR − OP .

Dados dos puntos A(a1, a2, a3) y B(b1, b2, b3)

en R3, el segmento de recta dirigido ~AB rep-

resenta el vector

~AB = B − A = (b1, b2, b3)− (a1, a2, a3)

‖ ~AB‖ =√

(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2 + (b3 − a3)2

Definicion (Producto escalar)

Dados u =

u1...un

v1...vn

n, definimos u · v el oproducto

escalar entre u y v, como el escalar dado por

u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

Dados u =

u1...un

v1...vn

u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

EJEM: Dados

21−5

−2−1−1

, Calcule u · v, u ·w, v · w,

(3u) · v, (u+ v) · w y v · u.

Dados u =

u1...un

v1...vn

u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

Teorema

Sean u, v y w vectores de Rn y sea α ∈ R. Entonces

1 u · v = v · u. Ley conm para ·.2 u · (v+w) = u · v+ u ·w. Ley dist

3 α(u · v) = (αu) · v = u · (αv).4 u · u = 0, si y solo si, u = 0.

Dados u =

u1...un

v1...vn

u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

Teorema

Sean u, v y w vectores de Rn y sea α ∈ R. Entonces

1 u · v = v · u. Ley conm para ·.2 u · (v+w) = u · v+ u ·w. Ley dist

3 α(u · v) = (αu) · v = u · (αv).4 u · u = 0, si y solo si, u = 0.

Note que no tiene sentido la prop. asociativa para ·

Definicion (Norma)

Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como

‖u‖ =√

u21 + · · ·+ u2n =√u · u

Definicion (Norma)

‖u‖ =√

u21 + · · ·+ u2n =√u · u

EJEM: Dados u =

21−5

, y los puntos P =

1−13

, Calcule

‖u‖ y ‖PQ‖,

Definicion (Norma)

‖u‖ =√

u21 + · · ·+ u2n =√u · u

Teorema (Interpretacion del producto punto)

Si θ es el angulo ((menor giro)) entre los vectores a yb, entonces

a · b = ‖a‖‖b‖ cos θ.

Definicion (Norma)

‖u‖ =√

u21 + · · ·+ u2n =√u · u

a · b = ‖a‖‖b‖ cos θ.

Dem: Al aplicar el T. del Coseno ((c2 = a2 + b2 −2ab cos θ)) de lados ‖a‖, ‖b‖ y ‖a− b‖, tenemos

‖a− b‖2 = ‖a‖2 + ‖b‖2 − 2‖a‖‖b‖ cos θ

Definicion (Norma)

‖u‖ =√

u21 + · · ·+ u2n =√u · u

a · b = ‖a‖‖b‖ cos θ.

‖a− b‖2 = ‖a‖2 + ‖b‖2 − 2‖a‖‖b‖ cos θ‖a‖2 − 2a · b+ ‖b‖2 = ‖a‖2 + ‖b‖2 − 2‖a‖‖b‖ cos θ

Definicion (Norma)

‖u‖ =√

u21 + · · ·+ u2n =√u · u

a · b = ‖a‖‖b‖ cos θ.

‖a− b‖2 = ‖a‖2 + ‖b‖2 − 2‖a‖‖b‖ cos θ‖a‖2 − 2a · b+ ‖b‖2 = ‖a‖2 + ‖b‖2 − 2‖a‖‖b‖ cos θ

De aquı deducimos que, cos θ =a · b

‖a‖‖b‖Calculo en Varias Variables

Definicion (Norma)

‖u‖ =√

u21 + · · ·+ u2n =√u · u

a · b = ‖a‖‖b‖ cos θ.

Corolario (Prueba de la perpendicularidad de vectores)

Los dos vectores diferentes de cero a y b son perpendiculares si y solo sia · b = 0.

Definicion (Norma)

‖u‖ =√

u21 + · · ·+ u2n =√u · u

OBS:1) La distancia euclidiana entre dos vectores u y v es d(u, v) = ‖u− v‖.2) Cuando ‖w‖ = 1, se dice que w es un vector unitario

Definicion (Norma)

‖u‖ =√

u21 + · · ·+ u2n =√u · u

OBS:1) La distancia euclidiana entre dos vectores u y v es d(u, v) = ‖u− v‖.2) Cuando ‖w‖ = 1, se dice que w es un vector unitario

1) Halle la distancia entre

−1230

−2020

2) Halle el vector unitario en la direccion v =

1−21

Definicion (Norma)

‖u‖ =√

u21 + · · ·+ u2n =√u · u

Teorema (Propiedades)

Dados los vectores u, v ∈ Rn, y λ ∈ R tenemos que

(a) ‖λu‖ = |λ|‖u‖(b) ‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2(u · v)(c) ‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2(u · v)

Definicion (Norma)

‖u‖ =√

u21 + · · ·+ u2n =√u · u

(a) ‖λu‖ = |λ|‖u‖(b) ‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2(u · v)(c) ‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2(u · v)(d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖. La igualdad se obtiene, si y solo si, u = λv para

algun λ ∈ R. Desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Definicion (Norma)

‖u‖ =√

u21 + · · ·+ u2n =√u · u

(a) ‖λu‖ = |λ|‖u‖(b) ‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2(u · v)(c) ‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2(u · v)(d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖. La igualdad se obtiene, si y solo si, u = λv para

algun λ ∈ R. Desigualdad de Cauchy-Schwarz.

(e) ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖. La igualdad se cumple, si y solo si, u = λvcon λ ≥ 0. Desigualdad triangular.

Dem (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0

0 ≤ ‖tu+ v‖2

0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)

= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)

0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)

= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)= p(t)

donde p(t) = at2 + bt + c es un polinomio cuadratico con

a = u · u, b = 2u · v, c = v · v.

0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)

= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)= p(t)

a = u · u, b = 2u · v, c = v · v.

Como a ≥ 0, la grafica de p(t) es una parabola concava hacıa arriba con

vertice(

2a , c − b2

en el semiplano superior.

0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)

= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)= p(t)

a = u · u, b = 2u · v, c = v · v.

vertice(

2a , c − b2

en el semiplano superior. entonces

0 ≤ c − b2

0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)

= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)= p(t)

a = u · u, b = 2u · v, c = v · v.

vertice(

2a , c − b2

0 ≤ c − b2

4a= ‖v‖2 − 4(u · v)2

4‖u‖2

0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)

= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)= p(t)

a = u · u, b = 2u · v, c = v · v.

vertice(

2a , c − b2

0 ≤ c − b2

4a= ‖v‖2 − 4(u · v)2

4‖u‖2

Ademas, si u = λv entonces

|u · v| = |λv · v| = |λ||v · v| = |λ|‖v‖2 = |λ|‖v‖‖v‖= ‖λv‖‖v‖ = ‖u‖‖v‖

Definicion (Angulos directores:)

Los angulos α, β y γ que forma el vector a = (a1, a2, a3) con los vectoresi, j y k, son llamados Los angulos directores.

Los cosenos de estos angulos se llaman cosenosdirectores del vector a, y estan dados por

cosα =a · i

‖a‖‖i‖ =a1‖a‖ cosβ =

a · j‖a‖‖j‖ =

a2‖a‖

cos γ =a · k

‖a‖‖k‖ =a3‖a‖

Los cosenos de estos angulos se llaman cosenosdirectores del vector a, y estan dados por

cosα =a · i

‖a‖‖i‖ =a1‖a‖ cosβ =

a · j‖a‖‖j‖ =

a2‖a‖

cos γ =a · k

‖a‖‖k‖ =a3‖a‖

Observe que,(cosα, cosβ, cos γ) = 1

‖a‖ (a1, a2, a3). y por ende,

cos2 α+ cos2 β + cos2 γ = 1

Definicion (Proyeccion)

Si a,b son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal ((sombra))

de a sobre b como el vector

Proyba =

( a · b‖b‖2

Llamamos ac = a⊥= a−Proy

ba la componente vectorial de a ortogonal

Proyba =

( a · b‖b‖2

Proyba =

( a · b‖b‖2

Proyba =

( a · b‖b‖2

Proyba =

( a · b‖b‖2

EJEM: Halle la proyuv y la componente vectorial de v ortogonal a u(Esto es vc), para cada uno de los siguientes casos:

(a) u =

1−1−1

1−11

(b) u = e1 y v =

2−103

Proyvu =( v · u‖v‖2

Definicion (Producto vectorial)

Dados dos vectores a = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3)de R

3, definimos el producto vectorial de a y b oProducto Cruz, como el vector

a× b =

a2b3 − a3b2−(a1b3 − a3b1)a1b2 − a2b1

i j ka1 a2 a3b1 b2 b3

Definicion (Producto vectorial)

Dados dos vectores a = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3)de R

3, definimos el producto vectorial de a y b oProducto Cruz, como el vector

a× b =

a2b3 − a3b2−(a1b3 − a3b1)a1b2 − a2b1

i j ka1 a2 a3b1 b2 b3

Teorema (Propiedades: Producto vectorial)

Si u, v y w son vectores de R3 y λ es un escalar, entonces:

1) u× v = −v× u 2) u× (v+w) = u× v+ u×w3) u+ v)×w = u×w+ v×w. 4) λ(u× v) = (λu)× v = u× (λv)5) u× 0 = 0× u = 0. 6) u× u = 0.7) u× (v×w) = (u · w)v− (u · v)w. 8) (u× v) · u = (u× v) · v = 0.9) w · (u× v) = u · (v×w)

Dem:(8)

u× v · u =

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

u1u2u3

Dem:(8)

u× v · u =

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

u1u2u3

= (u2v3 − u3v2)u1 − (u1v3 − u3v1)u2 + (u1v2 − u2v1)u3

= u2v3u1 − u3v2u1 − u1v3u2 + u3v1u2 + u1v2u3 − u2v1u3 = 0

Dem:(8)

u× v · u =

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

u1u2u3

De manera analoga u× v · v = 0

Dem:(8)

u× v · u =

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

u1u2u3

Teorema (Identidad de Lagrange)

Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si u es el angulo entre los

vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.

‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange

‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ.

Dem:(8)

u× v · u =

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

u1u2u3

‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ.

‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)

Dem:(8)

u× v · u =

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

u1u2u3

‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ.

‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)(9)= u · [v× (u× v)]

Dem:(8)

u× v · u =

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

u1u2u3

‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ.

‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)(9)= u · [v× (u× v)]

(7)= u · [(v · v)u− (v · u)v]

Dem:(8)

u× v · u =

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

u1u2u3

‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ.

‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)(9)= u · [v× (u× v)]

(7)= u · [(v · v)u− (v · u)v]

= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2

Dem:(8)

u× v · u =

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

u1u2u3

‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ.

‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)(9)= u · [v× (u× v)]

(7)= u · [(v · v)u− (v · u)v]

= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2

= ‖u‖2‖v‖2 − ‖u‖2‖v‖2 cos2 θ = ‖u‖2‖v‖2(1− cos2 θ) = ‖u‖2‖v‖2 sin2Calculo en Varias Variables

Corolario

Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.

Corolario

Dem: (⇒) si u es paralelo a v, v = λu,

Corolario

Dem: (⇒) si u es paralelo a v, v = λu, entonces,

u× v = u× (λu) = λ(u× u) = λ0 = 0.

Corolario

u× v = u× (λu) = λ(u× u) = λ0 = 0.

(⇐) Como u× v = 0, entonces ‖u× v‖ = 0,

Corolario

u× v = u× (λu) = λ(u× u) = λ0 = 0.

(⇐) Como u× v = 0, entonces ‖u× v‖ = 0, pero‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖ sin θ ahora, como u, v 6= 0 entonces sin θ = 0, por lotanto θ = 0 o θ = π, lo que implica que los vectores u y v son paralelos.

Corolario

u× v = u× (λu) = λ(u× u) = λ0 = 0.

Corolario (Area del paralelogramo)

El area A del paralelogramo PQRS generadopor los vectores a y b de R

3 esta dado

A = ‖a‖‖b‖ sin θ = ‖a× b‖.

Corolario

u× v = u× (λu) = λ(u× u) = λ0 = 0.

Corolario (Area del paralelogramo)

El area A del paralelogramo PQRS generadopor los vectores a y b de R

3 esta dado

A = ‖a‖‖b‖ sin θ = ‖a× b‖.Dem: Observe que la altura del paralelogramo PQRS, esta dada por‖b‖ sin θ. Por tanto tenemos

A = (base)x(altura) = ‖a‖‖b‖ sin θ (Teo.8)= ‖a× b‖

Corolario (Producto escalar triple y volumen)

El volumen V del paralelepıpedo determinadopor los vectores a, b y c es el valor absoluto deltriple producto escalar a · (b× c); esto es

V =∣

∣a · (b× c)∣

∣ =∣

∣det(a,b, c)∣

V =∣

∣a · (b× c)∣

∣ =∣

∣det(a,b, c)∣

Dem: Ahora sea α el angulo agudo formado por a y b× c que esperpendicular a la base.

V =∣

∣a · (b× c)∣

∣ =∣

∣det(a,b, c)∣

Dem: Ahora sea α el angulo agudo formado por a y b× c que esperpendicular a la base.La altura del paralelepıpedo es h = ‖a‖ cosα.

V =∣

∣a · (b× c)∣

∣ =∣

∣det(a,b, c)∣

Dem: Ahora sea α el angulo agudo formado por a y b× c que esperpendicular a la base.La altura del paralelepıpedo es h = ‖a‖ cosα.Si θ es el angulo (general) entre los vectores a y b× c entoncesθ = α o bien θ = π − α.

V =∣

∣a · (b× c)∣

∣ =∣

∣det(a,b, c)∣

Dem: Ahora sea α el angulo agudo formado por a y b× c que esperpendicular a la base.La altura del paralelepıpedo es h = ‖a‖ cosα.Si θ es el angulo (general) entre los vectores a y b× c entoncesθ = α o bien θ = π − α.Por lo que cosα = | cos θ|.

V =∣

∣a · (b× c)∣

∣ =∣

∣det(a,b, c)∣

Dem: Ahora sea α el angulo agudo formado por a y b× c que esperpendicular a la base.La altura del paralelepıpedo es h = ‖a‖ cosα.Si θ es el angulo (general) entre los vectores a y b× c entoncesθ = α o bien θ = π − α.Por lo que cosα = | cos θ|.Ademas el area A de la base es A = ‖b× c‖, por lo tanto

V =∣

∣a · (b× c)∣

∣ =∣

∣det(a,b, c)∣

Dem: Ahora sea α el angulo agudo formado por a y b× c que esperpendicular a la base.La altura del paralelepıpedo es h = ‖a‖ cosα.Si θ es el angulo (general) entre los vectores a y b× c entoncesθ = α o bien θ = π − α.Por lo que cosα = | cos θ|.Ademas el area A de la base es A = ‖b× c‖, por lo tanto

V = Ah =(

‖b× c‖)(

‖a‖ cosα)

∣‖v×w‖‖u‖ cos θ

def=∣

∣a · (b× v)∣

V =∣

∣a · (b× c)∣

∣ =∣

∣det(a,b, c)∣

Dem: Para demostrar la segunda igualdad escriba a = (a1, a2, a3),b = (b1, b2, b3) y c = (c1, c2, c3). Entonces

b× c = (b2c3 − b3c2)i− (b1c3 − b3c1)j+ (b1c2 − b2c1)k,

V =∣

∣a · (b× c)∣

∣ =∣

∣det(a,b, c)∣

a · (b× c) = a1(b2c3 − b3c2)− a2(b1c3 − b3c1) + a3(b1c2 − b2c1) =

a1 a2 ab1 b2 bc1 c2 c

V =∣

∣a · (b× c)∣

∣ =∣

∣det(a,b, c)∣

a · (b× c) = a1(b2c3 − b3c2)− a2(b1c3 − b3c1) + a3(b1c2 − b2c1) =

a1 a2 ab1 b2 bc1 c2 c

Corolario

Tres vectores u, v y w ∈ R3 son coplanares, si y solo si, u · (v×w) = 0

Rectas, Planos e Hiperplanos

DEF: Dado un punto P y un vector d no nulo de Rn, diremos que la

recta que contiene a P y tiene direccion d es

el conjunto de todos los puntos X que determinan vectores PX paralelosa d.

Rectas, Planos e Hiperplanos

DEF: Dado un punto P y un vector d no nulo de Rn, diremos que la

recta que contiene a P y tiene direccion d es

el conjunto de todos los puntos X que determinan vectores PX paralelosa d. Al vector d lo llamamos vector director de la recta.

x− p = td ⇒ x = p+ td

Formas de expresar una recta

Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta

x = p+ td

x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn

x = p+ td

Al despejar t de cada ecuacion e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d,

x1 − p1d1

=x2 − p2

d2= · · · = xn − pn

dnsiempre que di 6= 0

x = p+ td

x1 − p1d1

=x2 − p2

d2= · · · = xn − pn

EJEM Dada la ecuacion vectorial L :

x1x2x3

2−13

−105

1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.

x = p+ td

x1 − p1d1

=x2 − p2

d2= · · · = xn − pn

x1x2x3

2−13

−105

1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.

2 Determine si R =

3−1−2

4−10

pertenecen a la recta L.

x = p+ td

x1 − p1d1

=x2 − p2

d2= · · · = xn − pn

x1x2x3

2−13

−105

1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.2 Halle un vector d que sea un vector director de la recta L y verifique

que el vector PQ, de (a), es paralelo a d.

EJEM. Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos

−1201

21−11

−1201

21−11

DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2

−1201

21−11

EJEM Determine si las siguientes rectas son paralelas.

1 L1 es la recta que pasa por los puntos P =

3−21

L2 es la recta con ecuacion vectorial

0−43

410−2

−1201

21−11

EJEM Determine si las siguientes rectas son paralelas.

1 L1 es la recta que pasa por los puntos M =

3−21

y tiene vector

direccion v =

23−1

y L2 es la recta que pasa por los puntos

0−21

Rectas iguales y ortogonales

TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.

DEM: (⇒) Si L1 = L2 ⇒ L1||L2 y L1 ∩ L2 6= ∅.

Sean P ,Q ∈ L1 = L2 entonces L1 ∩ L2 6= ∅, y si d1 y d2 son los vectoresdirectores de L1 y L2 respectivamente, tenemos que PQ = α1d1 yPQ = α2d2. Luego igualando las ecuaciones es claro que las rectas son

paralelas pues d1 = βd2 donde β =α2

DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.

DEM: (⇒) Si L1 = L2 ⇒ L1||L2 y L1 ∩ L2 6= ∅.

Sean P ,Q ∈ L1 = L2 entonces L1 ∩ L2 6= ∅, y si d1 y d2 son los vectoresdirectores de L1 y L2 respectivamente, tenemos que PQ = α1d1 yPQ = α2d2. Luego igualando las ecuaciones es claro que las rectas son

paralelas pues d1 = βd2 donde β =α2

DEM: (⇐) Si L1||L2 y L1 ∩ L2 6= ∅ ⇒ L1 = L2.

Sea P ∈ L1 ∩ L2 y si L1||L2 entonces d1 = λd2.

⊆: Si X ∈ L1 por ende PX = αd1 = α(λd2) = βd2 luego X ∈ L2.

⊇: Si X ∈ L2 entonces PX = βd2 = β(1

λd1) = γd1 luego X ∈ L1.

EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:

1 L1 es la recta que pasa por los puntos P =

es la recta con ecuacion vectorial

5−41

22−2

1 L1 es la recta que pasa por los puntos M =

0−20

y tiene vector

direccion v =

13−1

y L2 es la recta que pasa por los puntos

1−21

23−1

PLANOS

DEF Sea un punto P ∈ Rn y dos vectores c,d ∈ R

n diferentes de cero yno paralelos. Diremos que el conjunto de puntos X que determinanvectores PX que son combinacion lineal de los vectores c y d, es el planoP que pasa por el punto P y tiene como vectores directores a c y d.

PLANOS

DEF Sea un punto P ∈ Rn y dos vectores c,d ∈ R

n diferentes de cero yno paralelos. Diremos que el conjunto de puntos X que determinanvectores PX que son combinacion lineal de los vectores c y d, es el planoP que pasa por el punto P y tiene como vectores directores a c y d.

Observe que PX = tc+ sd con t, s ∈ R. Ahora si x = OX y p = OP ,entonces para t, s ∈ R

x− p = tc+ sd x = p+ tc+ sd

Esta es la ecuacion vectorial del plano.Calculo en Varias Variables

Ecuaciones del plano

PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?

x = p+ tc+ sd

x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn

x = p+ tc+ sd

EJEM. Dadas las ecuaciones parametricas del plano Px1 = 2 + t − sx2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2

1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.

x = p+ tc+ sd

1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del

plano P

x = p+ tc+ sd

plano P3 ¿Los vectores PQ, PR y QR son combinaciones lineales de c y d?

x = p+ tc+ sd

plano P3 ¿Los vectores PQ, PR y QR son combinaciones lineales de c y d?

4 ¿Los puntos M =

221−2

64−9−2

se encuentran en el plano P?.

EJEM. Encontremos una ecuacion vectorial del plano que contiene los

puntos P =

−253

0−21

20−3

EJEM. Encontremos una ecuacion vectorial del plano que contiene los

puntos P =

−253

0−21

20−3

El plano que contiene los puntos P , Q y R tiene como vectores directoresa d1 = PQ y d2 = PR .

Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales

DEF: Diremos que dos planos son paralelos, si y solo si, los vectoresdirectores de uno de los planos son combinacion lineal de los vectoresdirectores del otro plano.

Teorema (Planos iguales)

Dos planos son iguales, si y solo si, los dos planos son paralelos y tienenal menos un punto comun

DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con

vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al

plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.

Teorema (Inclusion de una recta en un plano)

Una recta L esta totalmente incluida en un plano ¶ de Rn, si y solo si,

L||P y P ∩ L 6= ∅.

EJEM: Encuentre una recta contenida en el plano P:

0−21

20−3

L||P y P ∩ L 6= ∅.

EJEM: Encuentre una recta contenida en el plano P:

0−21

20−3

PREG: Existe otra recta contenida en P? Cuantas rectas contenidas enP existen?

Rectas y planos ortogonales

vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es ortogonal al

plano P, si y solo si, el vector d es ortogonal tanto a c1 y d1.

Rectas y planos ortogonales

vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es ortogonal al

plano P, si y solo si, el vector d es ortogonal tanto a c1 y d1.

Ejercicios

1. Determine si la recta L:

2−13

2−7−2

es paralela a P:

0−21

20−3

Ejercicios

2−13

2−7−2

es paralela a P:

0−21

20−3

. Rta: N000

Ejercicios

2−13

2−7−2

es paralela a P:

0−21

20−3

. Rta: N000

2. Determine si la recta L que contiene los puntos P =

1−11

es ortogonal al plano P:

5−23

0−21

20−3

Ejercicios

2−13

2−7−2

es paralela a P:

0−21

20−3

. Rta: N000

2. Determine si la recta L que contiene los puntos P =

1−11

es ortogonal al plano P:

5−23

0−21

20−3

. Rta: Sıii

Hiperplanos

DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n.

Hiperplanos

DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces

PX · n = 0.

Hiperplanos

PX · n = 0.

Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion

(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)

es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n.

Hiperplanos

PX · n = 0.

es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.

Hiperplanos

PX · n = 0.

PORQUE

(x − p) · n = 0 equivalentemente a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = d (2)

donde con d = a1p1 + a2p2 + · · ·+ anpn = n · p.

Hiperplanos

PX · n = 0.

PORQUE

(x − p) · n = 0 equivalentemente a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = d (2)

donde con d = a1p1 + a2p2 + · · ·+ anpn = n · p.A esta ecuacion lallamamos ecuacion general del hiperplano que pasa por P y es ortogonala n.

Hiperplanos

PX · n = 0.

Hiperplanos

PX · n = 0.

-Hiperplanos en R son puntos-Hiperplanos en R

2 son de la forma ax + by + d = 0 (Rectas)-Hiperplanos en R

3 son de la forma ax + by + cz + d = 0 (Planos)

Hiperplanos Ortogonales y Paralelos

EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto

2−351

y es ortogonal al Eje X .

2−351

SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es

0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)

o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.

2−351

0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)

DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.

2−351

0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)

EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R4 que pasa por el

origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.

2−351

0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)

SOL: Una ecuacion del hiperplano es (x − 0) · n2 = 0; es decir,3x1 − 2x3 + x4 = 0.

2−351

0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)

SOL: Una ecuacion del hiperplano es (x − 0) · n2 = 0; es decir,3x1 − 2x3 + x4 = 0.PREG: ¿Existe otro hiperplano H1 que cumpla con las mismas condiciones?Ejer. 82 Talle2parteC

DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.

EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R5 que pasa por

el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.

SOL: Aquı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =

. Como un

punto de H1 es el origen, su ecuacion es

(x − 0) · n1 = 0 ⇔ x1 + 2x5 = 0.

. Como un

punto de H1 es el origen, su ecuacion es

(x − 0) · n1 = 0 ⇔ x1 + 2x5 = 0.

PREG: ¿Existe otro hiperplano H1 que cumpla con las mismas condiciones?

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