conexidade e conectividade prof. m.sc. fábio francisco da costa fontes março - 2009

Conexidade e Conectividade

Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes

Março - 2009

Conexidade

A noção de conexidade está relacionada à possibilidade da passagem de um vértice a outro em um grafo através das ligações existentes.

Um grafo qualquer (orientado ou não) é não-conexo, ou desconexo, se existir ao menos um par de vértices não unidos por uma cadeia.

Conexidade

Portanto, um Grafo G = (V, E) é conexo se para todo par de vértices existe pelo menos uma cadeia entre eles.

Conexidade

G1 G2 G3 G4 G5

Os grafos G1, G2 e G3 não admitem a passagem de um vértice dado a qualquer outro vértice.

Os grafos G4 e G5 ela é sempre possível, G4 sendo minimal em relação a essa propriedade (como se pode observar, ao se tentar suprimir qualquer aresta).

Conexidade G1 G2 G3 G4 G5

Esta propriedade só existe em G5, embora desde G3 os vértices estejam unidos. Além disso, pode-se observar que, tanto em G4 como em G5, nenhum par de vértices é mutuamente não atingível: ao menos uma das duas direções é viável. Isto já não ocorre em G3, pois os dois vértices da direita são mutuamente inatingiveis.

Conectividade

Dois vértices u e v em um dígrafo são mutuamente alcançáveis (atingíveis) se existe um caminho de u para v e outro de v para u

v

y

w x

u

Conexidade

Grafo simplesmente conexo (s-conexo) - Todo par de vértices é ligado por ao menos uma cadeia. A definição é a mesma do caso não orientado

Grafo semi-fortemente conexo (sf-conexo) - Para todo par de vértices u, v, ou existe um caminho de u até v ou existe um caminho de v até u.

Grafo fortemente conexo (f-conexo) - Para todo par de vértices u, v existe um caminho de u até v e existe um caminho de v até u.

Conexidade

Conectividade

Um dígrafo fortemente conectado

v

y

w x

u

Conexidade

Obs.: todo grafo f-conexo é também sf-conexo e s-conexo e que todo grafo sf-conexo é também s-conexo

Um dígrafo é conexo se seu grafo base (não direcionado) é conexo

Conexidade

Sub-grafos conexos de um grafo não conexo recebem o nome de componentes conexos

O grafo abaixo tem 3 componentes conexos

v x

w y

u

z

q

r

Exercício

Suponha que o grafo abaixo representa as ruas do centro da cidade. Torne todas as ruas em sentido único, de tal forma que todo ponto seja alcançável a partir de qualquer outro ponto

ab

c

dg e

f

Conectividade

A conectividade de vértices k(G) de um grafo G =(V,E) é o menor número de vértices cuja remoção desconecta G ou o reduz a um único vértice.

A conectividade de arestas k’(G) de um grafo G = (V, E) é o menor número de arestas cuja remoção resulta em um grafo não conexo

Árvores

Uma árvore é um grafo conectado que não tem ciclos

Árvore Não é árvore Não é árvore

Aplicações de Grafos

Diretórios do Sistema Operacional: os diretórios e subdiretórios que contém os arquivos do usuário são normalmente representados pelo sistema operacional como vértices em uma árvore com raiz

Drive C

Softs Docs Utils

Draw Write Comm Geral Aulas

Word

Aplicações de Grafos

Redes minimamente conectadas: suponha que uma rede deve ser criada a partir de n computadores. A figura abaixo mostra uma rede com um número mínimo de arestas.

Aplicações de Grafos

Problema do caminho mais curto: considere que cada aresta contém o tempo necessário para atravessá-la, ache o menor tempo para ir se s para t

s

t

3 8

2

3

97 4 2

9

63

81

4

25

5

7

Aplicações de Grafos

Problema do caixeiro viajante: suponha que um vendedor deve visitar várias cidades no próximo mês. Ache a seqüência de visitas (ciclo hamiltoniano) de forma a minimizar o custo da viagem.

711 9

10 965

10

6

7

7

95

6

7