condução bidimensional em regime estacionário · 2009-05-17 · nodal. para condução...
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Condução Bidimensional em
Regime Estacionário
1 – Equações de Diferenças Finitas
• Em certos casos os métodos analíticos podem ser usados na obtenção de soluções
matemáticas exatas para problemas de condução bidimensional em regime estacionário.
Essas soluções foram obtidas para um conjunto de geometrias e condições de contorno
simples.
• Contudo, é muito comum problemas bidimensionais que envolvem geometrias e/ou
condições de contorno que impedem tais soluções. Nesse caso, a melhor alternativa é a
utilização de uma técnica numérica para a solução da equação diferencial parcial resultante
e suas condições de contorno.
• As técnicas numéricas mais comuns são: elementos finitos, volumes finitos e diferenças
finitas.
1.1 – A Rede Nodal
• Uma solução analítica permite a determinação da temperatura em qualquer ponto de
interesse do meio e uma solução numérica permite a determinação da temperatura em
somente pontos discretos.
• A primeira etapa do processo de solução consiste na escolha desses pontos, conforme a
figura abaixo a esquerda:
• Isso pode ser feito com a subdivisão do meio de interesse em um número de pequenas
regiões e especificando para cada uma um ponto de referência localizado no seu centro.
• O ponto de referência é freqüentemente chamado de ponto nodal (ou nó) e o agregado de
pontos é chamado de rede (ou malha).
• Os pontos nodais são identificados por um esquema de numeração que, para um sistema
bidimensional, pode assumir a forma da figura acima à esquerda.
• As posições x e y são identificadas pelos índices m e n, respectivamente.
• Cada nó representa uma certa região e a sua temperatura é uma medida da temperatura
média da região.
• A seleção dos pontos nodais depende da conveniência geométrica e precisão desejada.
• A precisão numérica desejada depende fortemente do número de pontos nodais utilizados.
Se este número for grande (malha fina), soluções precisas podem ser obtidas.
1.2 – Formas das Diferenças Finitas da Equação de Calor
• A determinação numérica da distribuição de temperatura exige que uma equação de
conservação apropriada seja escrita para cada um dos pontos nodais de temperatura
desconhecida.
• O conjunto resultante de equações deve ser resolvido simultaneamente para as temperaturas
de cada nó.
• Para qualquer nó interno em um sistema bidimensional sem geração e com k constante, a
forma exata da conservação da energia é dada pela equação do calor:
02
2
2
2
=∂
∂+
∂
∂
y
T
x
T
• Se o sistema for caracterizado em termo de uma rede nodal, é necessário trabalhar com a
equação do calor em diferenças finitas.
• As derivadas primeiras de T com relação a x nas posições 2
1+m e
2
1−m são:
x
TT
x
T nmnm
nm ∆
−=
∂
∂ +
+
,,1
,21
e x
TT
x
T nmnm
nm ∆
−=
∂
∂ −
−
,1,
,21
• As derivadas primeiras de T com relação a y nas posições 2
1+n e
2
1−n são:
y
TT
y
T nmnm
nm∆
−=
∂
∂ +
+
,1,
21,
e y
TT
y
T nmnm
nm∆
−=
∂
∂ −
−
1,,
21,
• A derivada segunda de T com relação à x no ponto m, n é:
( )2
,,1,1
,1,,,1
,21,21
,
2
2 2
x
TTT
x
x
TT
x
TT
x
x
T
x
T
x
T nmnmnm
nmnmnmnm
nmnm
nm∆
−+=
∆
∆
−−
∆
−
=∆
∂
∂−
∂
∂
≈∂
∂ −+
−+
−+
• A derivada segunda de T com relação à y no ponto m, n é:
( )2
,1,1,
1,,,1,
21,21,
,
2
2 2
y
TTT
y
y
TT
y
TT
y
y
T
y
T
y
T nmnmnm
nmnmnmnm
nmnm
nm∆
−+=
∆
∆
−−
∆
−
=∆
∂
∂−
∂
∂
≈∂
∂ −+
−+
−+
• Utilizando uma malha com yx ∆=∆ a substituindo nm
xT,
22 ∂∂ e nm
yT,
22 ∂∂ na equação
do calor obtém-se:
( ) ( )
04
022
,1,1,,1,1
2
,1,1,
2
,,1,1
=−+++
=∆
−++
∆
−+
−+−+
−+−+
nmnmnmnmnm
nmnmnmnmnmnm
TTTTT
y
TTT
x
TTT
• Assim, para o ponto nodal m e n, a equação do calor, que é uma equação diferencial exata,
é reduzida a uma equação algébrica aproximada.
• A forma em diferenças finitas da equação do calor pode ser aplicada em qualquer ponto
nodal interior que esteja eqüidistante de seus quatro pontos nodais vizinhos.
• Ela simplesmente exige que a temperatura de um ponto nodal interior seja igual à média das
temperaturas dos quatro pontos nodais vizinhos.
1.3 – O Método do Balanço de Energia
• Método alternativo para a obtenção das equações de diferenças finitas. A equação de
diferenças finitas para um ponto nodal é obtida pela aplicação da conservação da energia
em um volume de controle no entorno da região nodal.
• Por convenção, admite-se que todos os fluxos térmicos estão dirigidos para dentro do ponto
nodal. Para condução bidimensional em regime estacionário com geração de energia, a
forma apropriada do balanço de energia é:
0=+ ge EE &&
( ) ( ) ( ) 01..4
1, =∆∆+∑
=→
inmi yxqq &
• i se refere aos nós vizinhos, ( ) ( )nmiq ,→ é a taxa de condução entre os nós e a está admitido
profundidade unitária.
• As equações da taxa de condução são:
( ) ( ) ( )x
TTykq
nmnmnmnm
∆
−∆=
−→−
,,1,,1 1. e ( ) ( ) ( )
x
TTykq
nmnmnmnm
∆
−∆=
+→+
,,1,,1 1.
( ) ( ) ( )y
TTxkq
nmnmnmnm
∆
−∆=
+→+
,1,,1, 1. e ( ) ( ) ( )
y
TTxkq
nmnmnmnm
∆
−∆=
−→−
,1,,1, 1.
• Substituindo essas equações no balanço de energia e utilizando uma malha com yx ∆=∆
obtém-se:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )04
01..
1.1.1.1.
,
2
1,1,,1,1
,1,,1,,,1,,1
=−∆
++++
⇓
=∆∆+
∆
−∆+
∆
−∆+
∆
−∆+
∆
−∆
−+−+
−++−
nmnmnmnmnm
nmnmnmnmnmnmnmnm
Tk
xqTTTT
yxq
y
TTxk
y
TTxk
x
TTyk
x
TTyk
&
&
• Se ,0=q& a equação acima se reduz a 04 ,1,1,,1,1 =−+++ −+−+ nmnmnmnmnm TTTTT .
• Os resultados acima são válidos para pontos interiores e dessa forma é necessário a
obtenção de equação de diferenças finitas para fronteiras sujeitas a diferentes condições
térmicas. Essas equações podem ser obtidas pela conservação da energia. Seja por exemplo
um vértice interno de um sólido com convecção na superfície:
( ) ( ) ( ) ( ) 0,
4
1, =+∑∑ →∞
=→ nm
inmi qq
( ) ( ) ( )x
TTykq
nmnmnmnm
∆
−∆=
−→−
,,1,,1 1.
( ) ( )x
TTykq
nmnmnmnm
∆
−
∆=
+→+
,,1,,1 1.
2
( ) ( ) ( )y
TTxkq
nmnmnmnm
∆
−∆=
+→+
,1,,1, 1.
( ) ( )y
TTxkq
nmnmnmnm
∆
−
∆=
−→−
,1,,1, 1.
2
( ) ( ) ( ) ( )nmnmnm TTy
TTx
hq ,,, 1.2
1.2
−
∆+−
∆= ∞∞→∞
( ) ( )
( ) ( ) 01.2
1.2
1.2
1.1.2
1.
,,
,1,,1,,,1,,1
=−
∆+−
∆
+∆
−
∆+
∆
−∆+
∆
−
∆+
∆
−∆
∞∞
−++−
nmnm
nmnmnmnmnmnmnmnm
TTy
TTx
h
y
TTxk
y
TTxk
x
TTyk
x
TTyk
( ) 032
1,1,,11,,1 =
∆+−
∆++++ ∞−++− nmnmnmnmnm T
k
xhT
k
xhTTTT
• Equações de balanço de energia em regiões nodais para várias geometrias comuns e
situações nas quais não há geração de energia são apresentadas na tabela abaixo:
• Dedução do caso 3:
( ) ( ) ( )x
TTykq
nmnmnmnm
∆
−∆=
−→−
,,1,,1 1.
( ) ( )y
TTxkq
nmnmnmnm
∆
−
∆=
+→+
,1,,1, 1.
2
( ) ( )y
TTxkq
nmnmnmnm
∆
−
∆=
−→−
,1,,1, 1.
2
( ) ( ) ( ) ( )nmnmnm TTy
hTTy
hq ,,, 1.2
1.2
−
∆+−
∆= ∞∞→∞
( ) ( )( ) 01.1.2
1.2
1. ,,1,,1,,,1
=−∆+∆
−
∆+
∆
−
∆+
∆
−∆ ∞
−+−nm
nmnmnmnmnmnmTTyh
y
TTxk
y
TTxk
x
TTyk
( ) 022
1,1,1,,1 =
+
∆−
∆+++ ∞−+− nmnmnmnm T
k
xhT
k
xhTTT
• Dedução do caso 4:
( ) ( )x
TTykq
nmnmnmnm
∆
−
∆=
−→−
,,1,,1 1.
2
( ) ( )y
TTxkq
nmnmnmnm
∆
−
∆=
−→−
,1,,1, 1.
2
( ) ( ) ( ) ( )nmnmnm TTy
hTTx
hq ,,, 1.2
1.2
−
∆+−
∆= ∞∞→∞
( ) ( ) 01.2
1.2
1.2
1.2
,,,1,,,1
=−
∆+−
∆+
∆
−
∆+
∆
−
∆∞∞
−−nmnm
nmnmnmnmTT
yhTT
xh
y
TTxk
x
TTyk
( ) 012
1,,11, =
+
∆−
∆++ ∞−− nmnmnm T
k
xhT
k
xhTT
• Dedução do caso 5:
( ) ( ) ( )x
TTykq
nmnmnmnm
∆
−∆=
−→−
,,1,,1 1.
( ) ( )y
TTxkq
nmnmnmnm
∆
−
∆=
+→+
,1,,1, 1.
2
( ) ( )y
TTxkq
nmnmnmnm
∆
−
∆=
−→−
,1,,1, 1.
2
( )1." yqq ∆=
( ) ( ) 01."1.2
1.2
1.,1,,1,,,1
=∆+∆
−
∆+
∆
−
∆+
∆
−∆
−+−yq
y
TTxk
y
TTxk
x
TTyk
nmnmnmnmnmnm
( ) 02"
2
1,1,1,,1 =−
∆+++ −+− nmnmnmnm T
k
xqTTT
* Casos 3 e 5, para uma superfície adiabática (superfície de simetria), faça 0=h ou .0"=q
2 – Soluções por Diferenças Finitas
• Uma vez estabelecida a rede nodal e escrita uma equação de diferenças finitas apropriada
para cada ponto nodal, a distribuição de temperaturas pode ser determinada.
• O problema se reduz a solução de um sistema de equações algébricas lineares.
• Métodos diretos: adequados quando o número de equações é pequeno (grande memória no
computador e longo tempo de processamento) – “Método da Inversão Matricial”.
• Métodos iterativos: adequados quando o número de equações é grande (pequena memória
no computador e pouco tempo de processamento) – “Método de Gauss-Seidel”.
2.1 – O Método da Inversão Matricial
• Seja um sistema composto por N equações de diferenças finitas correspondente a N
temperaturas desconhecidas. Dessa forma, as equações de diferenças finitas são:
NNNNNNN
NN
NN
CTaTaTaTa
CTaTaTaTa
CTaTaTaTa
=++++
=++++
=++++
...
..............................................................
...
...
332211
22323222121
11313212111
• As grandezas ,...,...,, 11211 Caa são coeficientes e constantes conhecidos, que envolvem
grandezas tais como hkx ,,∆ e .∞T Usando a notação matricial, essas equações podem ser
representadas como:
[ ][ ] [ ]
=
⇒=
NNNNNN
N
N
C
C
C
T
T
T
aaa
aaa
aaa
CTA......
.
...
............
...
...
2
1
2
1
21
22221
11211
• O vetor solução pode ser expresso como:
[ ] [ ] [ ]CAT1−
=
• [ ] 1−A é a inversa da matriz de [ ]A e é definida como:
[ ]
=−
NNNN
N
N
bbb
bbb
bbb
A
...
............
...
...
21
22221
11211
1
• Dessa forma, as temperaturas podem ser calculadas como:
NNNNNN
NN
NN
CbCbCbT
CbCbCbT
CbCbCbT
+++=
+++=
+++=
...
.................................................
...
...
2211
22221212
12121111
Exemplo 1: Usando o método do balanço de energia, deduza a equação de diferenças finitas
para o ponto nodal m, n localizado em uma superfície plana e isolada de um meio onde há
geração uniforme de calor.
Dados: rede de pontos nodais vizinhos a uma superfície isolada.
Achar: equação de diferenças finitas para o ponto nodal da superfície.
Considerações: regime estacionário, condução bidimensional, propriedades constantes, geração
interna de calor uniforme.
Análise: Aplicando a equação da conservação da energia na superfície de controle ao redor da
região ( )1..2 yx ∆∆ associado ao nó m, n, tem-se que, com geração volumétrica de calor a uma
taxa :q&
01..2
4321 =
∆
∆++++ y
xqqqqq &
( )x
TTykq
nmnm
∆
−∆=
− ,,11 1.
y
TTxkq
nmnm
∆
−
∆=
− ,1,2 1.
2 03 =q
y
TTxkq
nmnm
∆
−
∆=
+ ,1,4 1.
2
( ) 01..2
1.2
01.2
1.,1,,1,,,1
=
∆
∆+
∆
−
∆++
∆
−
∆+
∆
−∆
+−−y
xq
y
TTxk
y
TTxk
x
TTyk
nmnmnmnmnmnm&
( ) ( )0
2
.2
2
1,1,1,,1 =
∆∆+−++ +−−
k
yxqTTTT nmnmnmnm
&
Comentários: 1. O mesmo resultado poderia ser obtido usando-se a condição de simetria, ,,1,1 nmnm TT −+ = na
equação de diferenças finitas ( )
04 ,
2
1,1,,1,1 =−∆
++++ −+−+ nmnmnmnmnm Tk
xqTTTT
& válida para
pontos internos. Se 0=q& o resultado desejado também poderia ser obtido fazendo-se 0=h na
equação de diferenças finitas do caso 3.
2. Como uma aplicação da equação de diferenças finitas anterior, considere o sistema
bidimensional a seguir, no qual energia térmica é uniformemente gerada a uma taxa
desconhecida .q& A condutividade térmica do sólido é conhecida, assim como as condições
convectivas em uma das superfícies. Além disso, foram medidas temperaturas em locais
correspondentes aos pontos nodais de uma malha de diferenças finitas.
9,235=aT oC
6,227=bT oC
9,230=cT oC
1,220=dT oC
4,222=eT oC
0,200=∞T oC
50=h W/m2.K
1=k W/m.K
10=∆x mm
10=∆y mm
• A taxa de geração de energia pode ser determinada pela aplicação da equação de diferenças
finitas no ponto nodal c:
( ) ( )
( )( )
( )( )
35
2
,1,1,,1
W/m1001,1
01.2
01,09,230.29,2354,222
2
16,227
02
.2
2
1
02
.2
2
1
×=
=+−++
=∆∆
+−++
=∆∆
+−++ +−−
q
q
k
yxqTTTT
k
yxqTTTT
caeb
nmnmnmnm
&
&
&
&
• A partir das condições térmicas especificadas e do conhecimento de ,q& nós podemos
também determinar se a exigência de conservação da energia é satisfeita para o ponto nodal
e. Fazendo um balanço de energia em um volume de controle ao redor desse nó, tem-se
que: ( ) 01.2.24321 =∆∆++++ yxqqqqq &
( ) 01.2
.2
1.2
1.2
01.2
=
∆∆+
∆
−
∆+−
∆++
∆
−
∆∞
yxq
x
TTykTT
xh
y
TTxk ed
eec
&
( )
0 W 025,0
01.2
01,0.
2
01,01001,1
01,0
4,2221,2201.
2
01,01
4,2220,2001.2
01,050
001,0
4,2229,2301.
2
01,01
5
≈
⇓
=
×
+−
+−
++−
• A incapacidade de satisfazer precisamente o balanço de energia pode ser atribuída a erros
de medida das temperaturas, às aproximações empregadas no desenvolvimento das
equações de diferenças finitas e ao uso de uma malha relativamente grossa.
Exemplo 2: Um grande forno industrial é suportado por uma longa coluna de tijolos refratários,
com 1 m por 1 m de lado. Durante a operação em regime estacionário, as condições são tais que
três superfícies na coluna são mantidas a 500 K, enquanto a superfície restante é exposta a uma
corrente de ar com 300=∞T K e 10=h W/m2.K. Usando uma malha com 25,0=∆=∆ yx m,
determine a distribuição de temperaturas bidimensional na coluna e a taxa de transferência de
calor para a corrente de ar, por unidade de comprimento da coluna.
Dados: dimensões e condições nas superfícies de uma coluna de sustentação.
Achar: distribuição de temperaturas e a taxa de transferência de calor por unidade de
comprimento.
Considerações: regime estacionário, condução bidimensional, propriedades constantes, ausência
de geração interna.
Propriedades: tijolo refratário ( 1=k W/m.K)
Análise: a malha especificada possui 12 pontos nodais nos quais as temperaturas são
desconhecidas. Contudo, devido à simetria do sistema, o número de incógnitas é reduzido para 8,
pois as temperaturas dos pontos nodais localizados à esquerda da linha de simetria devem ser
iguais às temperaturas dos pontos equivalentes localizados à direita. Os nós 1, 3 e 5 são pontos
interiores cujas equações de diferenças finitas são representadas pelo Caso 1:
04 ,1,1,,1,1 =−+++ −+−+ nmnmnmnmnm TTTTT
Nó 1: ⇒=−+++ 04 132 TTTTT ss 041000 132 =−++ TTT
Nó 3: ⇒=−+++ 04 3514 TTTTT s 04500 3541 =−+++ TTTT
Nó 5: ⇒=−+++ 04 5736 TTTTT s 04500 5763 =−+++ TTTT
• As equações para os nós 2, 4 e 6 podem ser obtidas de maneira semelhante ou, como eles se
encontram sobre a adiábata de simetria, pode-se utilizar o Caso 3 com :0=h
042 ,1,1,,1 =−++ −+− nmnmnmnm TTTT
Nó 2: ⇒=−++ 042 241 TTTT s 045002 241 =−++ TTT
Nó 4: ⇒=−++ 042 4623 TTTT 042 4632 =−++ TTTT
Nó 6: ⇒=−++ 042 6845 TTTT 042 6854 =−++ TTTT
• As equações para os nós 7 e 8 podem ser obtidas utilizando o Caso 3 com
:5,2125,0.10 ==∆ kxh
0222
2 ,1,1,,1 =
+
∆−
∆+++ ∞−+− nmnmnmnm T
k
xhT
k
xhTTT
Nó 7: ( ) ⇒=+−+++ 025,22300.5,2.22 785 TTTT s 0920002 785 =−++ TTT
Nó 8: ( ) ⇒=+−+++ 025,22300.5,2.22 8776 TTTT 09150022 876 =−++ TTT
• De posse das equações de diferenças finitas necessárias, uma solução por inversão de
matrizes pode ser obtida ordenando-as do nó 1 ao nó 8, como segue:
150092200000
20009020000
0042000
50004000
0000420
50000040
5000000042
1000000004
876
875
8654
7653
6432
5431
421
321
−=−++++++
−=+−+++++
=++−++++
−=+++−+++
=++++−+++
−=+++++−+
−=++++++−
−=+++++++−
TTT
TTT
TTTT
TTTT
TTTT
TTTT
TTT
TTT
• Em notação matricial, essas equações têm a forma [ ][ ] [ ],CTA = onde:
−
−
−
−
−
−
−
−
=
92200000
19020000
10421000
01140100
00104210
00011401
00001042
00000114
A
=
8
7
6
5
4
3
2
1
T
T
T
T
T
T
T
T
T
−
−
−
−
−
−
=
1500
2000
0
500
0
500
500
1000
C
• Utilizando um algoritmo padrão para inversão de matrizes ou uma calculadora
programável, calcula-se a inversa de [ ],A [ ] ,1−
A fornecendo [ ] [ ] [ ].1CAT
−=
[ ]
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
=−
1251,00359,00897,00728,00358,00402,00131,00166,0
0179,01251,00364,00897,00201,00358,00083,00131,0
0448,00364,03671,02381,01408,01453,00506,00616,0
0182,00448,01191,03671,00727,01408,00308,00506,0
0179,00201,01408,01453,03820,02595,01277,01287,0
0101,00179,00727,01408,01297,03820,00644,01277,0
0065,00083,00506,00616,01277,01287,03314,01979,0
0042,00065,00308,00506,00644,01277,00989,03314,0
1A
−
−
−
−
−
−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
=
1500
2000
0
500
0
500
500
1000
.
1251,00359,00897,00728,00358,00402,00131,00166,0
0179,01251,00364,00897,00201,00358,00083,00131,0
0448,00364,03671,02381,01408,01453,00506,00616,0
0182,00448,01191,03671,00727,01408,00308,00506,0
0179,00201,01408,01453,03820,02595,01277,01287,0
0101,00179,00727,01408,01297,03820,00644,01277,0
0065,00083,00506,00616,01277,01287,03314,01979,0
0042,00065,00308,00506,00644,01277,00989,03314,0
8
7
6
5
4
3
2
1
T
T
T
T
T
T
T
T
[ ] K
T
T
T
T
T
T
T
T
T
=
=
05,339
99,356
74,418
95,436
01,462
07,472
15,485
30,489
8
7
6
5
4
3
2
1
• A taxa de transferência de calor da coluna para a corrente de ar pode ser calculada pela
expressão:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) W/m88330005,3392
25,030099,35625,0300500
2
25,010.2
222 87
=
−
+−+−
=
⇓
−
∆+−∆+−
∆= ∞∞∞
L
q
TTx
TTxTTx
hL
qs
Comentários: Para garantir a inexistência de erros na formulação das equações de diferenças
finitas ou na execução de suas soluções, uma verificação deve ser efetuada no que se refere ao
fato de os resultados satisfazerem a conservação da energia na rede nodal. Para condições de
regime estacionário, a exigência dita que a taxa de entrada de energia deve ser igual à taxa de
saída para uma superfície de controle que circunda as regiões nodais cujas temperaturas foram
determinadas.
Para a meia-seção simétrica mostrada no
esquema, tem-se que a condução para o
interior das regiões nodais deve ser equilibrada
pela convecção a partir dessas regiões. Assim:
( ) ( ) ( ) ( )
82
71
75322
11
1 qqqqqqqq +=+++++
• A soma das taxas condutivas é, então:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∆
−∆+
∆
−∆+
∆
−∆+
∆
−∆+
∆
−∆+
∆
−∆=
x
TTy
x
TTy
x
TTy
y
TTx
x
TTy
y
TTxk
L
q sssssscond 753211
22
( )( )
( ) ( )( )
W/m31,191
2
99,35650095,43650007,472500
2
15,48550030,48950021
=
⇓
−+−+−+
−+−=
L
q
L
q
cond
cond
• A soma das taxas convectivas é:
( ) ( ) ( ) ( )
W/m29,191
30005,3392
25,030099,35625,010
287
=
⇓
−+−=
−
∆+−∆= ∞∞
L
q
TTx
TTxhL
q
cond
conv
• A concordância entre as taxas condutiva e convectiva é excelente (dentro do erro de
arredondamento), confirmando que não foram cometidos erros na formulação e na
resolução das equações de diferenças finitas. Note que a transferência de calor por
convecção em toda a superfície inferior (883 W/m) é obtida pela adição da taxa de
transferência no nó da extremidade a 500 K (250 W/m) com a taxa nos nós interiores (191,3
W/m) e a sua multiplicação por 2 em função da simetria.
• Embora as temperaturas calculadas satisfaçam às equações de diferenças finitas, elas não
nos fornecem o campo de temperaturas exato. Lembre-se de que as equações são
aproximações cuja precisão pode ser melhorada pela redução do tamanho da malha
(aumentando-se o número de pontos nodais).
• Utilizando o Software FEHT (Finite Element Heat Transfer) resultados gráficos podem ser
visualizados.
(a) (b) (c)
• (a) malha com elemento triangular e temperaturas nodais calculadas.
• (b) contorno de temperaturas (isotermas)
• (c) vetor fluxo de calor
Exemplo: Considere uma longa barra com seção transversal quadrada (0,8 m de lado) e
condutividade térmica de 2 W/m.K. Três laterais da barra são mantidas a uma temperatura
uniforme de 300 oC. A quarta superfície está exposta a um fluido a 100 oC com um coeficiente
de transferência de calor por convecção igual a 10 W/m2K. Usando a técnica das diferenças
finitas com um espaçamento na malha de 0,2 m, determine a temperatura no ponto central e a
taxa de transferência de calor, por unidade de comprimento da barra, entre a barra e o fluido.
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