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Universidade Federal do ABC

Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica

Circuitos Elétricos II

José Azcue, Prof. Dr.

Aplicação da Transformada de Laplace

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Resistor no domínio de Laplace • No domínio do tempo:

• No domínio da frequência:

sendo: e

( ) ( )R Rv t Ri t

( ) ( )R RV s RI s

R vR(t)

iR(t)

R VR(s)

IR(s)

𝑉𝑅 𝑠 = ℒ*𝑉𝑅(𝑡)+ 𝐼𝑅 𝑠 = ℒ*𝐼𝑅(𝑡)+

3

Teorema da derivada

Teorema da Derivada

ℒ𝑑𝑓 𝑡

𝑑𝑡= 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓(0−)

4

Capacitor no domínio de Laplace • No domínio do tempo:

• No domínio da frequência:

( )( ) C

C

dv ti t C

dt

( ) ( ) (0 )C C CI s C sV s v

( ) ( ) (0 )C C CI s sCV s Cv

sendo: C vC(t)

iC(t)

(Teorema da Derivada)

𝐼𝐶 𝑠 = ℒ*𝑖𝐶(𝑡)+

𝑉𝐶 𝑠 = ℒ*𝑣𝐶(𝑡)+

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fonte equivalente da condição inicial

Tempo Frequência

( )( ) C

C

dv ti t C

dt

( ) ( ) (0 )C C CI s sCV s Cv

0( ) ( )C CI s sCV s CV

6

fonte equivalente da condição inicial nula

Tempo Frequência

0 0V ( )

( ) CC

dv ti t C

dt

( ) ( )C CI s sCV s

7

Capacitor no domínio de Laplace

• No domínio do tempo:

• No domínio da frequência:

( ) (0 )( ) C C

C

I s vV s

sC s C vC(t)

iC(t)

Isolando 𝑽𝒄(𝒔), tem-se:

( ) ( ) (0 )C C CI s sCV s Cv

( )( ) C

C

dv ti t C

dt

8

C - fonte equivalente da condição inicial

Tempo Frequência

( ) (0 )( ) C C

C

I s vV s

sC s

0( )( ) C

C

I s VV s

sC s

1( ) ( )

t

C Cv t i dC

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fonte equivalente da condição inicial nula

Tempo

Frequência

00 V

t

CC diC

tv )(1

)(

sC

sIsV C

C

)()(

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Indutor no domínio de Laplace • No domínio do tempo:

• No domínio da frequência:

(Teorema da Derivada)

( )( ) L

L

di tv t L

dt

( ) ( ) (0 )L L LV s L sI s i

( ) ( ) (0 )L L LV s sLI s Li

sendo: L vL(t)

iL(t)

𝑉𝐿 𝑠 = ℒ*𝑣𝐿(𝑡)+

𝐼𝐿 𝑠 = ℒ*𝑖𝐿(𝑡)+

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L - fonte equivalente da condição inicial

( )( ) L

L

di tv t L

dt

( ) ( ) (0 )L L LV s sLI s Li

0( ) ( )L LV s sLI s LI

Tempo Frequência

12

fonte equivalente da condição inicial nula

Tempo Frequência

( )( ) L

L

di tv t L

dt

0(0 ) 0i I

( ) ( )L LV s sLI s

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Indutor no domínio de Laplace

• No domínio do tempo:

• No domínio da frequência:

( ) (0 )( ) LV s i

I ssL s

L vL(t)

iL(t)

( )( ) L

L

di tv t L

dt

( ) ( ) (0 )L L LV s L sI s i

Isolando I(𝒔), tem-se:

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L - fonte equivalente da condição inicial

( ) (0 )( ) LV s i

I ssL s

0( )( ) L

IV sI s

sL s

1( ) ( )

t

Li t v dL

Tempo Frequência

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fonte equivalente da condição inicial nula

0 0I 1

( ) ( )t

Li t v dL

( )

( ) LV sI s

sL

Tempo Frequência

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Lei de Ohm no domínio de Laplace Se não houver nenhuma energia armazenada no indutor ou capacitor, a relação entre a tensão e a corrente em cada elemento é dado por:

Sendo:

Z(s) = impedância do elemento no domínio da frequência

Impedância do resistor = R []

Impedância do indutor = sL []

Impedância do capacitor = 1/sC []

( ) ( ) ( )V s Z s I s

(Lei de Ohm no domínio de Laplace)

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Lei de Ohm no domínio de Laplace Se não houver nenhuma energia armazenada no indutor ou capacitor, a relação entre a tensão e a corrente em cada elemento é dado por:

(Lei de Ohm no domínio de Laplace)

Sendo:

Y(s) = admitância do elemento no domínio da frequência

Admitância do resistor = G=1/R [S]

Admitância do indutor = 1/sL [S]

Admitância do capacitor = sC [S]

( ) ( ) V( )I s Y s s

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Análise de circuitos no domínio de Laplace 1. Transformar o circuito do domínio do tempo para o

domínio da frequência complexa s.

2. Substituir as condições iniciais pelas fontes equivalentes.

3. Resolver o circuito usando análise de malhas, análise nodal, transformação de fontes, superposição ou qualquer outra técnica de análise de circuitos.

4. Efetuar a transformada inversa da resposta de interesse, obtendo a solução no domínio do tempo.

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Análise de circuitos no domínio de Laplace As regras para associações e simplificações valem no

domínio da frequência s. As Leis de Kirchhoff continuam válidas no domínio s, ou

seja:

Todos os métodos de análise podem ser aplicados no domínio de Laplace (para circuitos lineares!).

( ) 0I s ( ) 0V s

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Problema prático 16.1 Determine vo(t) no circuito da Figura abaixo supondo condições

nulas.

Rpta: 40*(1-exp(-2t)-2*t*exp(-2t))*u(t) V

A

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Problema prático 16.1

Vo(t)=40*(1-exp(-2t)-2*t*exp(-2t))*u(t) V v0(t) [V]

tempo [s]

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Problema prático 16.3 A chave na figura abaixo esteve na posição b por muito tempo.

Ela é comutada para a posição a em t=0. Determine v(t) para t>0.

Rpta: v(t)=(Vo-Io*R)*exp(-t/Tau) + Io*R ; para t>0, onde Tau=R*C

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Problema 16.63 Considere o circuito RLC em paralelo da figura abaixo. Determine

v(t) e i(t) dado que v(0)=5 V e i(0)=-2 A.

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Próxima Aula

Leitura: Cap 16 – livro texto

1. Aplicações da Transformada de Laplace.

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Referências

1. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. “Fundamentos de

Circuitos Elétricos”, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, 2013.

2. Slides da prof. Denise,

https://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-

denise/aulas, acesso em fevereiro de 2018.

3. ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. “Curso de Circuitos Elétricos”, Vol.

1( 2ª Ed. – 2002 ), Ed. Blücher, São Paulo.

4. CONSONNI, D. “Transparências de Circuitos Elétricos I”, EPUSP.

5. NILSSON, J.W., RIEDEL, S. A. “Circuitos Elétricos”, 8ª Ed.,

Editora Pearson, 2009.