capitulo 4 capitulo 4 escoamentoescoamento
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Capitulo 4
Escoamento
Aulas do Prof Jos Antonio
FENMENOS DE TRANSPORTES - A
ANO : 2015
-
4.1 - Introduo
Os elementos de um fluido em escoamento podem possuir
diferentes velocidades e podem estar sujeitos a diferentes
aceleraes.
Estudaremos os comportamentos de um fluido em uma condio de
movimento.
Os fluidos contm um nmero de particulas cujas caracteristicas
podem variar continuamente.
4.1.1 - Campo de acelerao
Esta equao representa a variao da acelerao de um fluido no
espao e no tempo.
-
4.1. 2 - Os tres principios Fundamentais
A teorias da mecnica dos fluidos se baseia em tres principios
consideradods fundamentais para a explicao dos fenmenos a
que esto submetidos os fluidos.;
1. O Principio da Conservao da Massa
A massa que atravessa todas as seces de um tubo de
corrente fluida por unidade de tempo sempre a mesma.
Este principio permite deduzir a equao da continuidade.
representada matemticamente por : = 0
2 A segunda Lei de Newton que diz que a somatria das foras
que agem em uma particula em movimento relativo a um
sistema de referncia fixo, igual taxa de variao da
quantidade de movimento linear.
Matemticamente podemos escrever:
Onde p = m v quantidade de movimentio ou momentum
linear.
3 Primeira Lei da Termidinmica ou lei da conservao da
Energia. Esta lei diz que a energia total do sistema
conservada.
Isto significa dizer que esta lei deve ser satisfeita para todo e
qualquer instante de tempo t (taxas) isto , em qualquer
instante precisaremos ter um equilibrio entre todas as taxas
de energias , medidas em [Joules;/segundo], ou [ Watt ].
Deve satisfazer um equilibrio para qualquer intervalo de tempo
t, ou seja, um equilibrio entre as trocas de quantidades de
energia medidas em Joule.
A nivel de taxas podemos escrever a primeira lei da
termodinamica matemticamente da seguinte forma:
-
Esta equao nos diz o segjuinte:
A energia que entra no sistema aberto, menos a energia que sai
do sistema aberto, mais a energia gerada dentro do sistema, igual
energia armazenada no sistema.
Se (dE/dt)ARMAZENADA = 0 EARMAZENADA = cte o sistema
chamado de estacionrio ou permanente.
4.1.2.1 - SISTEMA FECHADO
Podemos imaginar um sistema fechado como sendo um volume
com massa M, no espao, e que no troca massa com o meio
exterior, mas podendo trocar energia atravs de suas fronteiras. No
sistema fechado temos uma situa o no instantnea, mas a
variao de energia ocorre em um intervalo de tempo.
Matemticamente para um sistema fechado podemos escrever a
primeira lei da termodinmica da seguinte forma: dQ dW = dE
-
Esta equao nos diz que a energia que entra menos a que sai,
igual energia armazenada total E do sistema.
Figura 1 - Sistenma Fechado
4.1.2.2 - Sistema Aberto
O sistema aberto tambm chamado de Volume de Controle,
pode ser uma quantidade de volume e massa no espao,
porm ele se comunica com o meio ambiente podendo trocar
massa e energia com o meio,
Aqui no sistema aberto, temos situaao instantnea, isto ; a
energia varia por unidade de tempo.
A equao da primeira lei aplicada a este sistema aberto,
ficar da seguinte forma:
-
Figura 2 - Sistema Aberto
Lembrete:
-
Esta equao nos traduz que a energia que est entrando no
sistema junto com a massa por unidadde de tempo, menos a que
est saindo, tambm junto com a massa por unidade de tempo,
mais a energia gerada dentro do sistema, igual energia
acumulada
Na equao acima, :
m = a massa por unidade de tempo (vazo massica)
u = energia interna
pV = energia devida presso
V/S = Energia Cintica
gz = energia potencial em relao a um sistema de referncia.
Se e dE/dt = 0 O sistema estacionrio ou
permanente.
4..2 Classificao dos Escoamentos
Diz-se que um fluido est em escoamento, quando ele est em
movimento. de translao., ou seja, possue velocidade.
O escoamento pode ser:
- Permanente (ou estacionrio)
- Uniforme ou no uniforme
- Laminar ou Turbulento
- Uni bi e tridimensional
-
Figura 3 Esquema para classificao dos escoamentos
Do diagrama acima, tiramos uma classificao para fluidos e para
escoamentos, a saber:
FLUDOS
Newtonianos e No Newtonianos -
Nesta defini o, separamos os que seguem ( Newtonianos) e os
que no seguem ( No Newtonianos) a Lei de Newton da
viscosidade
Compressiveis e incompressiveis
Nos fluidos compressiveis a massa especifica no constante .
So os gases e vapores.
Nos fluidos incompressiveis (liquidos em geral) podemos considerar
a massa especifica como constante ao longo do escoamento.
Viscosos e No viscosos
Nos viscosos a viscosidade dinmica ( ) n o nula., ou seja
diferente de zero.
-
Nos fluidos no viscosos esta considera o s feita para
aqueles casos onde a viscosidade tem um valor muito baixo.
Por exemplo: gua.
A viscosidade tabelada. Todos os fluidos t m viscosidade.
Portanto, no existe fluido sem viscosidade. O que se faz ao afirmar
que ela zero apenas para aproxima es permitidas por n o
oferecer resultados que tem influ ncia nos problemas. Portanto, o
uso e considera o de = 0 apenas simplifica o.
ESCOAMENTOS
Permanente -
Uniforme e no uniforme
Uni dimensional, Bi dimensional e tridimensional
Laminar ou Turbulento
4.3 Escoamentos Unidimensionais e Bidimensionais
unidimensional ou unidirecional, quando apenas uma
coordenada suficiente para descrever as propriedades do fluido.
Hipteses prticas:
1 a varia o da sec o transversal muito pequena
2 - o perfil de velocidades no varia ao longo do tubo.
3 - - a velocidade, a press o, e a massa especifica t m varia
es despreziveis para cada seco em cada instante
Figura 4 Escoamento unidimensional
-
A dire o e a intensidade da velocidade a mesma em cada sec
o e em cada ponto da sec o. Observar que em sec es
diferentes podemos ter velocidades diferentes, porm , na secc o
ela no varia.
No escoamento bidimensional temos a varia o de velocidade em
dois eixos de coordenadas cartesianas.
Figura 5 -Escoamento bidimensional
4.3 Escoamentos Uniformes
Quando a velocidade no varia em dire o e intensidade de ponto
a ponto, ou seja; em cada sec o ela constante.
Figura 6 - Escoamento Uniforme
Observar que o escoamento uniforme unidimensional ou
unidirecional.
Uma forma de entender o escomento uniforme a an lise da
equa o geral da acelera o, que nos mostra como varia a
velocidade num escoamento.
De uma forma generalizada:
-
No movimento uniforme as derivadas em x , y e z so zero, pois a
velocidade constante na dire o do escoamento e n o tem
componentes nas outras duas dire es.
Observe que no movimento uniforme a velocidade pode variar com
o tempo.
Matemticamente podemos escrever para o movimento uniforme:
a velocidade constante na dire o X
a velocidade n o tem componente em Y
a velocidade n o tem componente em Z
a velocidade varia com o tempo
Consequentemente,
a press o constante na dire o X
a massa especifica constante na dire o X
4.5 Escoamentos Permanentes
Regime em escoamento permanente aquele no qual as condi
es do fluido so invariaveis em cada ponto em rela o ao tempo.
Em cada ponto a velocidade de sucessivos espaos de tempo
constante.
-
v = constante com o tempo, ou seja, n o muda com o
tempo.
Implica es:
a presso no varia com o tempo.
a massa especifica no varia com o tempo.
Exemplo pr tico, o do tanque de gua que alimentado por um
registro e tem uma saida de tal forma que a vazo de gua que
entra igual vaz o de gua que sai, conforme figura abaixo:
Figura 7 - Tanque alimentado por vazo constante
A quantidade de gua que entra a mesma que est saindo.
Assim, as configura es das propriedades deste fluido em
qualquer ponto, no tempo, so iguais. Portanto, presso, massa
especifica, velocidade, etc. so as mesmas em qualquer instante.
Note que, em cada ponto, as propriedades so diferentes, mas,.no
tempo elas no mudam.
-
Podemos matemticamente, para um escoamento tridimensional,
escrever:
a velocidade muda com a posi o X
a velocidade muda com a posi o Y
a velocidade muda com a posi o Z
Se fecharmos a torneira ter um movimento VARIADO, pois haver
trambm variao das propriedades com o tempo.
Novamente, tomando-se a equao geral da acelerao:
Agora, a acelerao convectiva diferente de zero, mas a
acelerao total = 0
A velocidade no muda com o tempo.
OS ESCOAMENTOS TRIDIMENSIONAIS E VARIADOS SO
MUITO COMPLICADOS E NO SO OBJETOS DE NOSSO
ESTUDO.
-
4.6 - A experincia de Reynolds
Osborn Reynolds Fisico e Engenheiro irlandes , em 1883, fez o
seguinte experimento:
Figura 8 - Experimento de Reynolds
Ao abrir um pouco a vlvula (pequenas velocidades de descarga)
forma-se um filete continuo de fluido colorido no eixo do tubo (3). Ao
abrir mais a valvula (5) o filete comea a apresentar ondulaes e
finalmente desaparece.
Como o nvel continua descendo no recipiente (2), conclui-se que o
fluido colorido injetado e totalmente diluido na gua. do tubo (3) .
Estes fatos denotam a existncia de dois tipos de escoamento
separados por um escoamento de transio.
No primeiro caso, (filete colorido) as particulas viajam sem agitao
transversal mantendo-se em lminas sobrepostas sem trocas de
particulas.
No segundo caso as particulas apresentam velocidades
transvesrsais, j que o filete desaparece pela diluio de suas
particulas no volume de gua.
-
Figura 9 - Escoamentos laminar transio e turbulento
Escoamento Laminar: aquele no qual as particulas se deslocam
em lminas individualizadas, sem troca de massa entre si.
Escoamento turbulento aquele no qual as particulas apresentam
um movimento catico, isto , a velocidade apresenta componentes
transversais ao movimento.
4.6.1. O nmero de Reynolds
Reynolds verificou com seu experimento que para o escoamento
ser laminar ou turbulento dependia do valor de um nmero
adimensional dado por:
lembrete:
onde:
Re nmero de Reynolds
V velocidade do fluido [m/s]
D dimetro do tubo [ m]
viscosidade cinemtica [ m/s]
viscosidade absoluta [ N/ms] ou [ kgf/s.m]
-
Nota-se que Re depende do conjunto de grandezas V, D e e de
e no somente de cadas um deles.
Assim, Reynolds verificou que:
Re 2000 Escoamento Laminar
2000 < Re < 2300 escoamento de transio
Re 2300 escoamento turbulento
No escoamento turbulento temos flutuaes da velocidade em
cada ponto.
A Tabela abaixo fornece alguns valores para a viscosidade
dinamica de alguns fluidos importantes e usuais na prtica de
engenharia.
-
Um artificio s vezes possivel de se utilizar na engenharia tirar em
cada ponto uma medida da velocidade ( em vrios pontos) e
considerar que ela no varia no tempo, caracterizando o
escoamento em laminar ou permanente..
Figura 10 - Artificio usado na pratica
A importncia fundamental do Re a possibilidade de se avaliar a
estabilidade do escoamento, podendo obter uma indicao se o
escoamento flui de forma laminar ou turbulenta. O Re constitui a
base do comportamento de sistemas reais, baseado em modelos de
tamanhos reduzidos.
Exemplo: Tunel aerodinmico medem-se esforos em modelos
de asas de avio.
Dois sistemas so dinamicamente semelhantes se o Re for o
mesmo para ambos.
Para aplicaes aerodinmicas o nmero de Reynolds toma a
forma:
Onde
massa especifica do ar
-
V velocidade da aeronave
corda area mdia do perfil
viscosidade dinamica ou absoluta
Figura 11 Tuinel de Vento com modelos de asas em teste (EMBRAER)
4.7 Tenses de cisalhamento turbulentas Consideremos dois dutos de mesmo dimetro, sendo que em um
temos escoamento turbulento e no outro temos escoamento laminar
Figura 12 Perfil de velocidades laminar e turbulento
-
Pelo principio da aderncia nas paredes, em ambos os casos v =0.
No caso (a,) - laminar, v (r ) = VMAX ( 1 - r/R ) equao da
curva de velocidades para o caso laminar.
No caso (b) turbulento v(r) = V MAX [1 r/R ]1/7 equao da
curva de velocidades para o caso turbulento.
Vimos na experincia de Reynolds que, para o caso de escoamento
laminar, vimos um movimento retilineo, indicando a no passagem
de particulas na direo transversal, embora a velocidade V
varie com o raio r .
No caso turbulento, houve passagem de particulas na direo
transversal entre as camadas ( aqui falamos em camadas e no em
laminas) ocasionando a turbulncia ( movimento desgovernado
das partriculas ).
Ocorre que, no h passagem apenas de particulas, mas de
quantidade de movimento.
Quando uma particula fluida se desloca de uma camada de menor
velocidade para outra de maior velocidade , ela causa uma
desacelerao nas particulas que a hospedaram, e, vice versa,
aceleram quando migram para uma de maior velocidade,
ocasionando uma certa compensao, e uma certa uniformidade
no perfil deas velocidades., conforme mostrado na figura 13.
-
Conforme a segunda lei de Newton, a variao de quantidade de
movimento na camada, da origem a uma fra, que, por unidade
de rea tranversal atravessada pelas particulas fluidas, resulta em
uma tenso de cisalhamantoo TURBULENTA.
Tendo em vista a definio de tenso de cisalhamento em funo
de viscosidade e do gradiente de velocidades.
Esta no propriedade do fluido porque depende das condies do
escoamento.
Ela depende da velocidade na camada com valor variando de zero
na parede, at o valor mximo no centro do duto, para voltar a ser
zero na outra parede devido ao principio da aderncia. Como ela
depende de velocidades ela aumenta com o nmero de Reynolds.
Asssim, a tenso de cisalhamento total num escoamento turbulento
dada pela soma da tenso viscosa com a turbulenta.
+
Figura 13 - Variao das tenses viscosas e turbulentas
-
Figura 14 - Representao Grfica das Tenses no fluido
4.8 - Linhas de Corrente e Tubos de Corrente Trajetria o caminho percorrido por uma particula em instantes sucessivos.
Ligamos cada ponto ocupado pela particula em cada instante, e teremios a
trajetria desta particula. [
A equao da trajetria ser uma funo do ponto inicial e do
tempo inicial (incio da contagemdos tempos)
Figura 15-Representao da trajetria com espao e tempo
Onde tn - t0 = intervalo de tempo de exposio.
-
LINHA DE CORRENTE A LINHA IMAGINRIA TANGENTE AOS VETORES
VELOCIDADES DE DIFERENTES PARTICULAS NO MESMO INSTANTE.
TRATA-SE DE UM FENOMENO INSTANTNEO.
A visualisao pode ser feita jogando serragem em diversos pontos ao longo
do escoamernto ( utilizando um tubo transparente) e batendo-se uma foto
instantnea .
A serragem, num curto intervalo de tempo, deixar marcado um espao
percorrido que representar o vetor velocidade em cada ponto.
Na trajetria traamos linhas tangentes aos traos de velocidade marcados
pela serragem, e ai teremos uma linha de corrente.
Figura 16 -Resultado de uma foto instantnea
Na equao de uma linha de corrente, diferentemente da trajetria da particula,
o tempo no seria uma variavel, porque o fenomeno se d em um
determinado instante de tempo.
O tubo de corrente um tubo imaginrio formado por n , linhas de corrente..
Ele pode ter a forma que se desejar, porm, com a nica condio de ser
construido por linhas de corrente , num mesmo instante t .
-
Figura 17 - Representao de um tubo de corrente
As linhas de corrente so consrtruidas a partir de pontos fixos no espao,
atravessados pelo fluido, e , potanto, no acompanham o fluido em seu
movimento.
As particulas fluidas, pelo fato de terem suas velocidades sempre tangentes s
linhas de corrente, elas nunca atravessaro as paredes do tubo de corrente,
ou seja, nunca haver movimento de particulas transversais ao tubo de
corrente. ]
Vale observar que, quando um fluido em movimento ocupa todo o volume
interno de um tubo de paredes rigidas, esse duto pode ser naturalmente
considerado um tubo de corrente.
Num regime permanente (ou estacionrio ) as linhas de corrente podem ser
consideradas linhas fixas no espao formando um tubo de corrente . O fluido
escoa sempre com os mesmos valres de detererminada grandeza associada
partcula fluida, quer seja esta grandeza um escalar, como a presso, a
massa especifica, etc... ou vetorial , como a velocidade, a quantidade de
movimento, a acelerao, etc... sem mudanas com o passar do tempo.
Essas linhas imaginarias, tomadas atravs do fluido, servem para indicar a
direo da velocidade nas diversas seces do escoamento. Uma tangente
curva em qualquer ponto representar a direo instantnea da velocidade das
particulas fluidas naquele ponto.
-
4.9 Conceito de Vazo
4.9.1 - Vazo em Volume ou Vazo volumtrica
Define-se vazo em volume ou volumtrica Q, como sendo o volume de fludo
que atravessa determinada seco do escoamento, na unidade de tempo.
Matemticamente:
no sistema SI [m/s]
Outras unidades tambm so usuais para vazo: [ m/h] , [ m/min] , [l/s] , [
l/min]
Se uma torneira encher 1 [l] em 5 [s] ; ento a vazo na seco de descarga
da torneira ser de 0.2 [l/s], pos Q = 1/5 [l/s] = 0.2 [l/s]
4.9.2 Vazo em massa ( Qm) e Vazo em Peso ( QG )
a massa de fluido que atravessa uma certa seco do tubo de corrente na
unidade de tempo.
A vazo em peso (QG ) o peso do fluido que atravessa uma certra seco do
tubo de corrente na unidade de tempo.
Asssim temos:
Vazo em massa:
No sitema internacional SI [kg/s]
Vazo em peso:
No sistema internacional SI [ N/s]
As vazes se relacionam entre si segundo a seguinte expresso:
-
4.10 - Velocidade mdia no escoamento
A velocidade mdia na seco do escoamento uma velocidade ficticia e
uniforme na seco que, quando substitue o perfil real de velocidade na
seco, produzir a mesma vazo em volume.
Asssim, se conhecermos a vazao em volume numa dada seco de area A,
podemos obter a velocidade mdia V pela relao:
Consideremos agora uma seco de um tubo de corrente qualquer em
escoamento..
:
Figura 18 - Elemento infinitesimal de um tubo de corrente
Figura 19 - O Perfil da Velocidade Mdia
-
Seja dV o volume de fluido que atravessa a area dA no intervalo de tempo dt.
Podemos escrever:
dv = dl. dA
A vazo volumtrica de um elemento infinitesimal ser:
dQ = dV/dt = (dl / dt ) dA
Mas (dl / dt) a velocidade da particula de volume dV que atravessa a area
dA .
Logo:
Onde:
Usamos a integral porque a velocidade varia para cada dA.
Se a velocidade fosse uniforme Q = V.A
Aplicando o conceito de velocidade mdia podemos escrever:
onde
Onde V o perfil de velociodade real.
As seguintes relaes entre vazes podem ainda ser consideradas:
=
-
EXEMPLO 4.1
Dado um perfil de velocidades, determinar a velocidade mdia.
Esquema:
Supor que no haja variao da velocidade, segundo a direo normal ao
plano do papel.
Soluo
Sendo o diagrama linear, temos a seguiinte representao para esta
distribuio de velocidades:
V = C1y + C2 ( 1 )
Precisaremos agora calcular C1 e C 2 , que so duas constantes.
Aplicando as condies de contorno temos:
Para y = 0 V = 0 C2 = 0
Para y = h V = V0 V0 = C1 h C1 = V0/ h
Substituindso em (1 ) ficar :
Nestas condies a velocidade mdia ser dada por :
, pois dA = b.dy , j substituido dentro da
integral.
Assim,
-
Em uma representao grfica, teremos:
4.11 - Equao da Continuidade para regime permanente
Esta equao resulta do principio da conservao da Massa. Para o
escoamento permanente, a massa de fluido que passa por todas as seces
de uma corrente de fluido por unidade de tempo a mesma.
Em A1 passa uma vazo massica de valor:
Em A2 passa a vazo
Aplicando para fluidos compressiveis teremos:
definio matemtica da equao da continuidade
= = constante no sistema SI [ kg/s] em unidades inglesas [ lb/s]
-
Ou, utilizando o peso especifico:
[kgf/s] ou em unidades inglesas [ lbf/s]
Para fluidos incompressiveis, a massa especifica no varia com a distncia
nem com o tempo: , ento podemos cortar a massa especifica, ficando a
equao:
Q = = [ m/s] ou [ft/s] 1 = 2 e w1 = w2
De uma forma geral, para escoamentos permanentes , de um fluido
incompressivel, a equao da continuidade dada por:
An1 V1 = An2 V2 = An3V3 = cte, onde An1, An2,...... etc, representam reas
normais aos respectivos vetores velocidade.
4.11.1. Caso mais complexo. Equao da continuidade para
escoamento tridimensional e varivel
Vamos deduzir a equao continuidade para fluido compressivel, e depois
para incompressivel.
Consideremos tres eixos de coordenmadas cartesianas como referncia para
um sistema infinitesimal de um fluido em movimento, conforme a figura
abaixo :
Figura 20 - Paralelepipedo infinitesimal para deduo da
equao da continuidade
-
Para o fluido montante, ( lado 1 ) , aplicando a equao da continuidade
temos:
u (dy dz)
Para o fluido jusante (lado 2) , anlogamente , teremos:
+
A diferena entre os fluxos a montante e a jusante ( Qm1 Qm2 ) nos
fornecer o acmulo de energia e massa dentro do volume considerado,
resultando:
[ ( u dy dz dx) ] ( A )
Utilizando o mesmo raciocinio para os eixos y e z, teremos respectivvemente:
Y : [ ( v dy dz dx) ] ( B )
Z : [ ( w dy dz dx) ] ( C )
Lembrando que:
u = dx v = dy w = dz
Somando (A ) + ( B ) + ( C ) teremos o fluxo resultante com os eixos X,Y
e Z.
Ento ficar:
{ [ ( u dy dz dx) ] + [ ( v dy dz dx) ] + [ ( w dy
dz dx) ] } =
u + v + w ] dx dy dz representa o fluxo de massa
resultante.
Considerando agora variao com o tempo, a real variao de massa com o
tempo dentro do paralelepipedo ser:
( dx dy dz ) = ( dx dy dz ) representa a variao de
massa com o tempo.
-
Pelo principio da conservao da massa, o fluxo resultante igual variao
da massa.
Igualando os termos, vem:
u + v + w ] dx dy dz = ( dx dy dz )
A parcela referente ao volume ( dxdydz ) pode ser cancelada, porque aparece
multiplicando ambos os membros da equao
+ u + v + w = 0 Equao da Continuidade para
um escoamento de fluido compressivel, tridimensional e variado ( no
permanente).
4.11.2 - Equao da continuidade para escoamento em regime
permanente , fluido compressivel e tridimensional
No escoamento permanenente as propriedades no variam com tempo
Logo: = 0 a massa especifica constante porque o escoamento
permanente.
A equao da continuidade ento resulta:
u + v + w = 0
Note que aparece na equao porque ele no varia com o tempo, porm varia com
x,y e z.
Caso dos fluidos compressiveis (gases e vapores).
4.11.3. - Equao da continuidade para fluidos
incompressiveis em regime de escoamento permanente
Como temos fluido incompressivel, no varia, portanto podemos cancelar na
equao acima.
u + v + w = 0
-
Observar que no temos o termo variando com o tempo. Por se tratar de
escoamento em regime permanente.,.
4.11.4 Equao da Continuidade para escoamento bi-
dimensional, fluido incompressivel e escoamento em regime
permanente
Agora o termo w/z = 0 e novamente no temos variao com o tempo, por
isto /t = 0 porque o fluxo em regime permanente,.
u + v = 0
Notar que no aparece na equao, porque o fluido incompressivel.
4.11.5 Equao da continuidade para escoamento em regime
permanente, fluido incompressivel e unidirecional,
S temos velocidade na direo x e ela constante.
u = 0 significa que a componentre de V em x, ( u ) a prpria
velocidade total que cosntanmte.
v = 0 significa que no tem componente em y
w = 0 significa que no tem componente em z.
EXEMPLO 4.2
Dadas as componentes de velocidade para um fluido incompressivel em
escoamento permanente, verificar se a condio de continuidade satisfeita.,
sendo este escoamento tridimensional.
Dados:
u = 2x - xy + z
v = x - 4 xy + y
w = -2xy yz + y
-
Soluo
Para escoamento de fluido incompressivel e em regime permanente, e
tridimensional, a equao deduzida para este caso :
u + v + w = 0
= 4x y
= -4x + 2y
= -y
Somando os termos conforme manda a equao da continuidade acima:
( 4x y ) + ( - 4x + 2 y ) + ( -y) = 0
0 = 0 Satisfaz a condio da continuidade.
EXEMPLO 4.3 - Exercicio proposto
Para um escoamento permanente de fluido incompressivel as componentes de
velocidade so dadas por:
U = ( 2x 3y )t
V= (x 2y) t
W =0
Verificar se a condio de continuidade- satisfeita.
Exemplo 4.4
Quando 1800 [l/min] escoam atravs de um tubo de = 200 mm de dimetro ,
que converge para = 100 mm , qual a velocidade mdia em cada uma destas
seces?
Esquema
-
Soluo
Para operar com unidades coerentes, precisaremos passar a vazo
volumetrica Q de [ l/min] ra [ m/s]
Q = 1800 [l] / [min] = 1800 [l]/60 [s] = (1800/60) x 10-3 [m/s] = 0.030 [m/s]
Velocidade do fluido na seco de diametro de 200 mm
V200 = Q/A = 0.030/(D)/4 = 0.030 x 4 / x (020) [m/s/m] = 0.955 [m/s]
Velocidade do fluido na seco de dimetro 100 mm
V100 = Q/A = 0.030 x 4 / x (0.1) = 3.82 [m/s]
EXEMPLO 4.5 PROPOSTO
Se a velocidade em um tubo de dimetro 350 mm de 0.5 [m/s] qual ser a
velocidade em um jato de = 70 mm de dimetro saindo de um bocal fixado
no tubo?
Esaquema
Soluo
Aeqwuao da contionuidade diz que a vazo que entre igual que sai.
Logo:
A350 .v350 = A0 v70
-
Substituindo os valores:
[ x(0.350) /4 ]x 0.5 = [ (0.0700\0 x /4 v70
V70 = 12.5 [ m/s]
EXEMPLO 4.6
Em um tubo de 150 mm de dimetro escoa ar sob uma presso manomtrica
de 2 [kgf/cm] e uma temperatura de 27C. Se a presso baromtrica for de 1
[kgf/cm] e a velocidade for de 3 [m/s] quantos quilos de ar por segundo
estaro escoando?
Dado : constante universal para o ar ( tabelado ) a 27C
R = 29.3 [ m/K]
Esquema
Soluo
Queremos a massa por segundo, que a vazo massica.
Pelo principio da continuidade a vazo que entra igual que sai.
Precisaremos da massa especifica nas condies de presso e temperatura
que o ar se encontra.
-
V = 1/ ( o volume especifico igual ao inverso da massa especifica (Cap 1)
Substituindo P/ = RT P = R T
Como w nmericamente igual , podemos substituir e fazer as contas com
w
P = w R T w = P/RT = (2 +1 ) x 104 / 29.3 x 300 = 3.41 [kgf/m]
A vazo massica ser ento
Qm = w Q = 3.41 var A
Qm = 3.41 [kgf/m] x 3 [m/s] x x ( 0.150) /4 = 0.181 kg/s
Portanto Qm = 0.181 [ kg/s]
Obs . Como o kgf numricamente igual ao kg , ele foi simplesmente
substituido para haver coerncia na resposta do problema.
EXEMPLO 4.7
Ar escoa num tubo convergente,. A rea de maior seco do tubo 20 cm e
a de menor rea de 10 cm. A massa especifica do ar na seco (1) de
0.12 [utm/m], enquanto que na seco (2 ) de 0.09 [utm/m].
Sendo a velocidade na seco (1) 10 m;/s determinar a velocidade na seco (
2) e a vazo em massa.
Dado
1 utm = [ 1 kgf.s/m]
Figura
-
Soluo
A1 = 20 cm
A2 = 10 cm
1 = 0.12 [ utm/m]
2 = 0.09 utm/ m
V1 = 10 [m/s]
Calculo de v2
Pela equao da continuidade
Qm1 = Qm2
Mas
Qm1 = 1 v1A1
Qm2 = 2v2A2
Iguaalando as vazes massicas teremos:
1 v1A1 = 2v2A2 v2 = 1 v1 A1 / 2 A2
V2 = 0.12 [kgf.s/m4] x 10 [m/s] x 20 x10-4 [m] / 0.09 [kgf.s/m4]x10 x10 -
4[m]
V2 = 26.67 [m/s]
Calculo da vazo massica
Qm1 = 1 v1A1
Substituindio os valores, teremos:
Qm1 = 0.12 [kgfs/m4] x 10 [m/s] x20 x10-4 [m]
Qm1 = 0.023 [kg/s]
-
4.12 Tubo de Venturi ( Tubo Convergente-divergente)
Consideremos um fluido incopmpressivel escoando por um Vengturi conforme
a figura abaixo:
Figura 21 Tubo de Venturi e as linhas de corrente
Vamos determinar a velocidade mdia na garganta do Venturi.
Pela Contionuidade
Q =QG
Sendo v e vG as ve.locidades mdias nas seces de entrada e na garganta
respectivamente e sendo A e AG as areas nas respectivas seces
transversais, tgeremos:
vA = vGAG
vG = vA/AG
Anlise
A presso na garganta menor devido conservao da Energia, Na
garganta a velocidade maior, As linhas de correnmte convergem para a
garganta e divergem ao passar pela garganta, diminuindo a velocidade at se
normalizar novamente em v ,
-
Ento, quando as linhas de corrente convergem, haver um aumento de
velocidasde e onde deivergem haver uma reduo de velocidade.
Apicao apropriada para medir vazo de liquido, gas ou vapor. Fabricado em
ao carbono, ou ao inoxidavel
Para se medir vazes se procede da segjuinte forma:
Pela equao da Conservao da Energia (a ser estudado no Capitulo 5)
demonstra-se que
[ m/s]
Assim, a partir de valres geomtricos do tubo, podemos calcular a velocidade
corrente e a vazo volumtrica no tubo.
Uma outra aplicao , usada com os VENTURIS , pelo fato de a presso
diminuir na garganta., (porque aumenta a velocidade e consequetemente
aumenta a energia cintica, logo, para manter a energia tiotal constante
conforme a lei da conservao da enegia, a presso deve diminuir ). a
aplicao como dosador de produtos quimicos em tratamento de gua , pois se
-
a presso diminue na garganta, o fluxo pode puxar o fluido que passa em
comuinicao com o Venturi, conforme a figura abaixo:
Figura 22 -Aplicao de Venturi em tratamento de gua
FIM
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