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Acetato 1- Interpolação Polinomial
CAP. IV – INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
INTRODUÇÃO
Muitas funções são conhecidas apenas num conjunto finito e discreto de pontos de
um intervalo [a,b].
Exemplo:
A tabela seguinte relaciona calor específico da água e temperatura:
temperatura (ºC) 20 25 30 35
calor específico 0.99907 0.9985 0.9982 0.9918
Suponhamos que se queira calcular:
a) calor específico da água a 27.5ºC;
b) a temperatura para a qual o calor específico é 0.9983.
INTERPOLAÇÃO
quando são conhecidos somente os
valores numéricos da função para
um conjunto de pontos e é
necessário calcular o valor da
função num ponto não tabelado
quando a função em estudo
tem uma expressão tal que
operações como a integração e
diferenciação sejam difíceis
Acetato 2- Interpolação Polinomial
Tendo-se que trabalhar com esta função e sem se dispôr da sua forma analítica,
substitui-se esta, por outra função, que é uma aproximação da função dada, deduzida
a partir dos pontos conhecidos.
FUNÇÃO APROXIMANTE
Estas funções podem ser de vários tipos tais como exponencial, logarítmica,
trigonométrica e polinomial.
Aqui vamos estudar apenas as funções polinomiais.
CONCEITO DE INTERPOLAÇÃO
Consideremos (n+1) pontos distintos, x0, x1, ..., xn, no intervalo [a, b] e os valores da
função f(x) nesses pontos, f(x0), f(x1), ... , f(xn).
Uma das formas de interpolação de f(x) que iremos ver consiste em se obter uma
função g(x) tal que:
função aproximante
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
==
)f(x)g(x......
)f(x)g(x)f(x)g(x
nn
11
00
Acetato 3- Interpolação Polinomial
GRAFICAMENTE:
Função aproximante → polinómio → interpolação polinomial
Conhecidos os pontos (suporte da interpolação)
(x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ... , (xn, f(xn)) com xi <xi+1, i=0,...,n-1 e x0=a e xn=b,
pretende-se aproximar f(x), por um polinómio
pn(x) = anxn + an-1xn-1 + … +a2x2 + a1x1 + a0 = ∑=
n
0i
ii xa
tal que
pn(xi) = f(xi), i= 0, …,n.
Os coeficientes a0, a1, ...., an são determinados à custa da resolução do seguinte
sistema:
Acetato 4- Interpolação Polinomial
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⇔
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=+++++
=+++++
=+++++
⇔
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
==
−
−
−
)f(x....
)f(x)f(x
aaa....aa
.
1 x x..... xx
..........1 x x...... xx
1 x x...... xx
)f(xaxaxa ... xaxa
......)f(xaxa xa ... xa xa
)f(xaxaxa ... xaxa
)f(x )(xp.......
)f(x )(xp)f(x )(xp
n
1
0
0
1
2
1-n
n
n2
n1-n
nn
n
12
11-n
1n
1
02
01-n
0n
0
n0n12
n21n
n1-nn
nn
10112
121n
11-nn
1n
00012
021n
01-nn
0n
nnn
11n
00n
A solução do sistema anterior é única se o determinante da matriz for diferente de
zero, o que acontece se os (n+1) pontos, x0, x1, ..., xn forem todos distintos.
Temos o seguinte teorema:
TEOREMA 1:
Sejam dados (n+1) pontos distintos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ... , (xn, f(xn)).
Então existe um único polinómio pn(x) de grau inferior ou igual a n
que satisfaz pn(xi) = f(xi) , i=0, ... ,n.
Acetato 5- Interpolação Polinomial
FORMAS DE OBTER O POLINÓMIO:
resolução do sistema linear obtido anteriormente;
interpolação de Newton com diferenças divididas;
interpolação de Newton com diferenças finitas.
FÓRMULA DO ERRO (TRUNCATURA)
Os cálculos anteriores estão afectados de dois tipos de erros:
a) erro de arredondamento
b) erro de truncatura - cometido quando decidimos aproximar a função
f por um polinómio de grau n.
teoricamente, conduzem ao mesmo polinómio
] [n0
1)(n
n10n x,x algum para , 1)!(n
)(f). x-.(x ... ). x-).(x x-(x (x)E ∈ξ+
ξ=
+
Acetato 6- Interpolação Polinomial
4.1 RESOLUÇÃO DO SISTEMA LINEAR
EXEMPLO 1 (INTERPOLAÇÃO LINEAR) :
Determinar o polinómio interpolador para a função f conhecida pelos seguintes
pontos e calcular o valor de f(1.5).
xi 1 2 yi 0.84 0.91
EXEMPLO 2 (INTERPOLAÇÃO QUADRÁTICA):
Determinar o polinómio interpolador para a função conhecida pelos pontos:
xi -1 0 2 yi 4 1 -1
Acetato 7- Interpolação Polinomial
[ ] [ ] [ ]ini
1-ni ini1ini1iiy
n
xx x..., ,xf x, ... ,xf
x,..., x,xfi −−
==∇+
+++++
[ ] [ ] [ ]i1i
y0
y0
i1i
i1i1iiy xx
xx
xfxf x,xf i1ii −
∇−∇=
−−
==∇++
++
+
[ ] iiiy0 y)f(xxfi ===∇
ini
y1-n
y1-n
yn
xxi1 i
i −
∇−∇=∇
+
+
4.2 INTERPOLAÇÃO COM DIFERENÇAS DIVIDIDAS
Conceito de Diferença Dividida
Seja f uma função da qual se conhecem os (n+1) pontos (xi, f(xi)), i=0 ,..., n.
A 1ª derivada de f(x) no ponto x0 é por definição:
0
0
0xx0
´
x-x )f(x - f(x)lim )(xf
→= .
A diferença dividida de 1ª ordem é definida como uma aproximação da 1ª derivada:
0 x-x
)0f(x-f(x)x,0xf =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ (1)
Se fizer x=x1 em (1), tem-se a diferença dividida de 1ª ordem em relação aos
argumentos x0 e x1 : 0 x- 1x0y -1y
0 x- 1x)0f(x-)1f(x
x,0xf 0y ===∇ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
1
4.2.1 OPERADOR DE DIFERENÇAS DIVIDIDAS
Ordem
0
1
...
n
Acetato 8- Interpolação Polinomial
TABELA DE DIFERENÇAS DIVIDIDAS:
xi ∇0yi ∇1yi ∇2yi .... ∇nyi x0 f[x0]
f[x0,x1] x1 f[x1] f[x0,x1,x2]
f[x1,x2] x2 f[x2] f[x1,x2,x3] f[x0,x1,...,xn] f[x2,x3]
.... ... ... ... f[xn-2,xn-1,xn] f[xn-1,xn]
xn f[xn]
EXEMPLO:
Determinar a tabela das diferenças divididas da função f definida pelos seguintes
pontos:
xi 0.3 1.5 2.1 yi 3.09 17.25 25.41
Resolução: Começamos por construir a tabela das diferenças divididas
xi f(xi)= 0iy∇ 1
iy∇ 2iy∇
0.3 3.09 1.5 17.25 2.1 25.41
Acetato 9- Interpolação Polinomial
4.2.2 POLINÓMIO INTERPOLADOR DE NEWTON PARA DIFERENÇAS DIVIDIDAS
Consideremos os (n+1) pontos (xi, f(xi)), i=0 ,..., n, e pn(x) o polinómio interpolador
de f(x) nesses pontos x0, x1, ... , xn :
f(xi) = pn(xi) = ∑=
n
0j
jij )(xa
Pela definição de diferença dividida de 1ª ordem, tem-se que:
Pela definição de diferença dividida de 2ª ordem, tem-se que:
Substituindo pn [x, x0] em (1), obtém-se:
[ ] [ ]10n1010n00nn x, xx,).px(x.)x(xx,xp).xx()(xp (x)p −−+−+=
Continuando assim sucessivamente, obtemos:
[ ] [ ] [ ]
[ ] (1) xx,p).xx()(xp (x)p
xx)(xp)(xp
xxxpxp xx,p
0n00nn
0
n0n
0
n0n0n
−+=⇔
−−
=−−
=
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]10n110n0n
1
0n10n10n
x, xx,).px(xx,xp xx,p
xx
xx,px,xpx, xx,p
−+=⇔
−−
=
Acetato 10- Interpolação Polinomial
[ ] [ ]
[ ] [ ]nx..., ,1x,0 xx,n).pnx)...(x1x(x.)0x(xnx..., ,1 x,0xn).p1-nx)...(x1x(x.)0x(x...
....2x,1 x,0xn).p1x(x.)0x(x1x,0xnp).0xx()0(xnp (x)np
−−−+−−−+
+−−+−+=
Como
pn(x) é de grau n, então [ ] 0x..., , x,xx,p n10n =
pn (x0) =f(x0) = y0
pn [x0, …, xi] = f [x0, …, xi] = ∇i y0
podemos escrever:
0yn).1-nx)...(x1x(x.)0x(x....0y2).1x(x.)0x(x0y1.)0x(x0y(x)np ∇−−−++∇−−+∇−+=
)1-nx)...(x1x(x.)0x(x0yn....)1x(x.)0x(x0y2)0x(x0y10y −−−∇++−−∇+−∇+=
Ou ainda,
EXEMPLO:
Determinar o polinómio interpolador de Newton para a função f definida pelos
seguintes pontos:
xi 0.3 1.5 2.1 yi 3.09 17.25 25.41
∑ ∏= =∇+=
n
1i
1-i
0jj0
i0n )x-(x y y(x)P
Polinómio Interpolador
de Newton para
diferenças divididas
Acetato 11- Interpolação Polinomial
hxx
z 0−=
PONTOS IGUALMENTE ESPAÇADOS:
Admitamos que os pontos xi são igualmente espaçados, isto é:
xi+1 = xi + h, i=0, ...,n, sendo h uma constante denominada passo.
Consideremos a variável auxiliar, z, dada por .
Tem-se que:
x-x0 = h.z
x-x1 = x-(x0+h) = x-x0-h = h.z-h = h.(z-1)
x-x2 = x-(x1+h) = x-x1-h = h.(z-1)-h = h.(z-2) ..... x-xn-1= x-(xn-2 +h) = x- xn-2-h = h.(z-(n-2))-h = h.(z-(n-1))
Substituindo os valores anteriores no polinómio interpolador de Newton para
diferenças divididas
0yn).1-nx)...(x1x(x)0x(x0y).1x(x)0x(x0y)0x(x0y(x)np ∇−−−++∇−−+∇−+= ....... 21
obtém-se:
0yn1)).(n2)...h(zh(z 1).h(z hz.....0y21).-h(z hz.0y1hz.0y(x)np ∇−−−−++∇+∇+= ,
isto é,
,1))(n(z...2)(z1)(zz0ynnh....1)-(zz0y22h z0y11h0y(x)np −−⋅⋅−⋅−⋅⋅∇⋅++⋅⋅∇⋅+⋅∇⋅+=
Ou ainda:
∑ ∏∇+== =
n
1i
1-i
0j0
ii0n j)-(z y.h y(x)p
Polinómio Interpolador de Newton
para pontos igualmente espaçados
Acetato 12- Interpolação Polinomial
4.3 INTERPOLAÇÃO COM DIFERENÇAS FINITAS
Seja f uma função da qual se conhecem os (n+1) pontos (xi, f(xi)), i=0 ,..., n,
onde os pontos xi são igualmente espaçados:
xi+1 = xi + h, i=0, ...,n
4.3.1 OPERADOR DE DIFERENÇAS FINITAS
Ordem
0
1
...
n
EXEMPLO:
Determinar a tabela das diferenças finitas da função f definida pelos seguintes pontos:
xi 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 yi 9.82 10.84 12.88 13.98 16.99
Resolução: Começamos por construir a tabela das diferenças finitas
xi f(xi)= 0iy∆ 1
iy∆ 2iy∆ 3
iy∆ 4iy∆
3.5 9.82 1.02 1.02 -1.96 4.81 4.0 10.84 2.04 -0.94 2.85 4.5 12.88 1.10 1.91 5.0 13.98 3.01 5.5 16.99
iiy0 y)f(xi ==∆
i1ii y0
y0
i1iy1 yy ∆−∆=−=∆ ++
i1ii y1-n
y1-n
yn ∆−∆=∆ +
Acetato 13- Interpolação Polinomial
4.3.2 POLINÓMIO INTERPOLADOR DE NEWTON PARA DIFERENÇAS FINITAS
Nesta secção vamos considerar que os (n+1) pontos xi são igualmente
espaçados: xi+1 = xi + h, i=0, ...,n.
Segue-se um teorema que relaciona as diferenças divididas com as diferenças finitas.
TEOREMA 2:
Seja f uma função definida nos pontos (xi, yi), i=0, ... ,n tais que,
xi+1 - xi = h, i=0, ..., n.
Tem-se que:
f[xi, xi+1,...,xi+k] =
Considere-se o polinómio interpolador de Newton para pontos igualmente espaçados:
∑=
∏=
∇+=n
i
1-i
0jj)-(z 0yiih 0y(x)np
1.
Substituindo n ..., 1,i ,i!.h
ypor y i0
i
0i =
∆∇ , obtém-se:
0k kk!.hiyk
iyk ≥∀∆
=∇ ,
∑ =∏∆
+== =
n
1i
j1-i
0j
0i
0n hx-x
j-z com j)-(z i!y y(x)p
Polinómio Interpolador
Gregory-Newton
para diferenças finitas
Acetato 14- Interpolação Polinomial
EXEMPLO:
Dada a função f, conhecida nos pontos abaixo tabelados, calcule f(0.25).
xi 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 yi 0.125 0.064 0.027 0.008 0.001
Resolução: Começamos por construir a tabela das diferenças finitas
xi 0yi∆ 1
yi∆ 2yi∆ 3
yi∆ 4yi∆
0.1 0.125 -0.061 0.024 -0.006 0 0.2 0.064 -0.037 0.018 -0.006 0.3 0.027 -0.019 0.012 0.4 0.008 -0.007 0.5 0.001
Acetato 15- Interpolação Polinomial
4.4 ESTUDO DO ERRO NA INTERPOLAÇÃO
Como já observamos, ao se aproximar uma função real f(x) em [a, b],
nos nós distintos x0, x1, ..., xn ∈[a, b], por um polinómio de grau ≤n, pn(x),
comete-se um erro de interpolação (erro de truncatura) da função f pelo
polinómio pn , ou seja,
[ ] b a, xo todopara (x),pf(x) (x)e nn ∈= -
EXEMPLO:
Temos que:
p1(x) interpola f1(x) e f2(x) em x0 e x1;
e1=f1(x)-p1(x) > e2=f2(x)-p1(x), para todo o x∈[x0,x1].
...
Acetato 16- Interpolação Polinomial
Fórmulas para o erro de interpolação:
TEOREMA 3
Seja f uma função com derivadas contínuas até à ordem n+1 em [a, b] e
pn um polinómio de grau ≤ n interpolador de f nos pontos distintos
x0, x1, ..., xn ∈[a, b], então, para todo o x∈[a, b], temos
en(x)=(x - x0). (x - x1). (x - x2)...(x - xn). 1)!(n)(f 1)(n
+ξ+
(A)
em que ( )∈ξ=ξ x ] min.{ x0, x1, ..., xn, x }, máx.{ x0, x1, ..., xn, x } [
i.é, ( )∈ξ=ξ x X, sendo X⊂ [a, b] um intervalo que contém x0, x1, ..., xn e x.
A fórmula (A), do teorema anterior, tem interesse limitado do ponto de vista prático
uma vez que requer o conhecimento da derivada de ordem n+1 da função a interpolar.
Se ( ) ( )X x
1n1n xf M
∈
++ =majr
podemos calcular um limite superior do erro de interpolação:
( )( )! 1nM)x-(x ... )x-(x)x-(x)x-(xxe 1n
n210n+
⋅⋅⋅⋅⋅≤ +
Acetato 17- Interpolação Polinomial
4.4.1 ERRO PARA O POLINÓMIO DE NEWTON
Vimos, na dedução da fórmula do polinómio de Newton, que a diferença dividida
de ordem n está relacionada com a derivada de ordem n da função f, e que en(x) = f(x) - pn(x) = (x - x0).(x - x1).(x - x2)...(x - xn).f [x0, x1,..., xn, x] (B) Comparando (A) e (B) podemos concluir o
4.4.2 ERRO PARA O POLINÓMIO DE GREGORY-NEWTON
Efectuando a mudança de variável h
xxzx 0−=→
e atendendo a que xi = x0 + ih, i=0,1,...,n ,
temos que ( )izhx x h
xxi-z ii −=−⇒
−= .
Substituindo, x - xi para i=0, ..., n, na fórmula (B)
en(x) = f(x) - pn(x) = (x - x0).(x - x1).(x - x2)...(x - xn).f [x0, x1,..., xn, x]
obtemos o erro de interpolação:
1)!(n
)(fn)-(z ...3)-(z2)-(z1)-(zzh(x)e1)(n
1nn
+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
++ ξ
Teorema 4: f [x0, x1,..., xn, x] = ( ) ( )( )! 1nf 1n
+ξ+
,
com ( )∈ξ=ξ x X, sendo X um intervalo que contém x0, x1, ..., xn e x,
e f ( )X1n+∈C .
Acetato 18- Interpolação Polinomial
4.5 OUTRA FORMA DE INTERPOLAÇÃO
INTERPOLAÇÃO COM SPLINES
Há casos em que o polinómio interpolador de grau elevado conduz a resultados
erróneos. Uma aproximação alternativa consiste em ajustar polinómios de ordem
mais baixa a subconjuntos dos dados. Tais polinómios chamam-se funções splines.
EXEMPLO :
Consideremos uma função f(x) tabelada nos pontos a =x0 < x1 < ... < xn= b.
DEFINIÇÃO (FUNÇÃO SPLINE)
Uma função s(x) é denominada spline de grau m com nós nos pontos xi, se
satisfaz as seguintes condições:
i) em cada subintervalo [xi-1, xi], i=1, ..., n, si(x) é um polinómio de grau m;
ii) s(x) é contínua e tem derivada contínua até à ordem (m-1) em [a,b].
DEFINIÇÃO ( FUNÇÃO SPLINE INTERPOLADORA)
Função spline que verifica:
s(xi) = f(xi), i=0, ..., n
Acetato 19- Interpolação Polinomial
SSPPLLIINNEESS LLIINNEEAARREESS::
A função spline linear interpolante de f(x) pode ser escrita em cada subintervalo
[xi-1, xi], i=1, ..., n como
EXEMPLO:
Calcule a função spline linear que interpola a função tabelada.
xi 1 2 5 7 yi 1 2 3 2.5
Desvantagem: primeira derivada descontínua nos nós xi
⇓⇓ SPLINES DE ORDEM SUPERIOR ( QUADRÁTICOS E CÚBICOS )
[ ]i1-i1ii
1ii
1ii
i1ii x,x x,
xxxx)f(x
xxxx)f(x(x)s ∈
−−
+−−
=−
−
−−
[ ]
[ ] [ ]5,7 x8.5),0.5x(21 ;2,5 x4),(x
31
2 1, x x, xxxx)f(x
xxxx)f(x
01
01
01
10
∈+−=∈+=
∈=−−
+−−
=
(x)s (x)s
(x)s
32
1
Acetato 20- Interpolação Polinomial
SSPPLLIINNEESS QQUUAADDRRÁÁTTIICCOOSS
A função spline quadrática interpolante de f(x) pode ser escrita em cada
subintervalo como
(n+1) pontos ⇒ n subintervalos ⇒ 3n constantes desconhecidas
As 3n equações para determinar as 3n constantes são:
O valor das splines quadráticas tem que ser igual nos nós interiores,
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=
+ )f(x )(xs1-n ..., 1,i ,
)f(x )(xs
ii1i
iii
A primeira e a última spline têm que passar nos nós finais,
s1(x0)=f(x0) e sn(xn)=f(xn)
A primeira derivada nos nós interiores tem de ser igual,
si´(xi) = si+1´(xi), i=1, ..., n-1
Escolha arbitrária num conjunto de opções.
Consideremos que a segunda derivada é nula no primeiro ponto:
s1´´(x0)=0 ⇔ a1=0
EXEMPLO: Calcular splines quadráticos que interpolam a função tabelada.
xi 3 4.5 7 9 yi 2.5 1 2.5 0.5
n ..., 1,i ,cxbxa (x)s ii2
ii =++=
(2n-2) condições
1 condição
(n-1) condições
2 condições
Acetato 21- Interpolação Polinomial
SSPPLLIINNEESS CCÚÚBBIICCOOSS
A função spline cúbica interpolante de f(x) pode ser escrita em cada subintervalo
como
(n+1) pontos ⇒ n subintervalos ⇒ 4n constantes desconhecidas
As 4n equações para determinar as 4n constantes são:
O valor das splines cúbicas tem que ser igual nos nós interiores;
A primeira e a última spline têm que passar nos nós finais;
A primeira derivada nos nós interiores tem de ser igual;
A segunda derivada nos nós interiores tem de ser igual;
A segunda derivada é nula nos nós finais (spline natural). 2 condições
n ..., 1,i ,dxcxbxa (x)s ii2
i3
ii =+++=
(2n-2) condições
2 condições
(n-1) condições
(n-1) condições
Acetato 22- Interpolação Polinomial
Outra técnica - resolução de (n-1) equações:
Cada spline cúbico pode ser escrito em cada subintervalo [xi-1, xi], i=1, ..., n como
equação (3)
Esta equação contém dois parâmetros desconhecidos (2ª derivada no final de cada
subintervalo), que podem ser determinados usando a equação:
Para todos os nós interiores, temos (n-1) condições com (n-1) incógnitas
EXEMPLO:
Ajustar splines cúbicos aos dados. Utilizar os resultados para estimar o valor em x=5.
xi 3 4.5 7 9 yi 2.5 1 2.5 0.5
)x(x6
)x)(x(xfxx
)f(x x)(x6
)x)(x(xfxx
)f(x
)x(x)x6(x
)(xfx)(x
)x6(x)(xf
(x)
1i1iii
''
1ii
ii
1ii1i''
1ii
1i
31i
1ii
i''
3i
1ii
1i''
i
−−
−
−−
−
−
−−−
−
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−
−+−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−
−+
+−−
+−−
=
s
( ) ( ))f(x)f(xxx
6)f(x)f(xxx
6
)(x)fx(x)(x)fx2(x)(x)fx(x
i1i1ii
i1ii1i
1i''
i1ii''
1i1i1i''
1-ii
−−
+−−
=
=−+−+−
−−
++
++−+−equação (4)
Acetato 23- Interpolação Polinomial
3)0.2469(xx)1.6667(4.53)-0.1866(x
)x(x 6
)x)(x(xfxx)f(x x)(x
6)x)(x(xf
xx)f(x
)x(x)x6(x
)(xfx)(x)x6(x
)(xf(x)s
3
0011
''
01
11
010''
01
0
30
01
1''
31
01
0''
1
−+−+=
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−
−+−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−
−+
+−−
+−−
=
4.5)-1.6388(xx)0.2996(74.5)-0.1022(xx)-0.1119(7
)x(x 6
)x)(x(xfxx)f(x x)(x
6)x)(x(xf
xx)f(x
)x(x)x6(x
)(xfx)(x)x6(x
)(xf(x)s
33
1122
''
12
22
121''
12
1
31
12
2''
32
12
1''
2
+−−+=
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−
−+−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−
−+
+−−
+−−
=
7)-0.25(xx)-1.7610(9x)-0.1278(9-
)x(x 6
)x)(x(xfxx)f(x x)(x
6)x)(x(xf
xx)f(x
)x(x)x6(x
)(xfx)(x)x6(x
)(xf(x)s
3
2233
''
23
33
232''
23
2
32
23
3''
33
23
2''
3
−+=
−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−
−+−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−
−+
+−−
+−−
=
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