aula zero - Álgebra linear

Matrizes eSistemasLineares

Aula Zero - Algebra Linear

Professor: Juliano de Bem Francisco

Departamento de MatematicaUniversidade Federal de Santa Catarina

agosto de 2011

Outline

Matrizes

Sistemas Lineares

Capıtulo 1Matrizes

Capıtulo 2SistemasLineares

Part I

Capıtulo 1 - Matrizes

Capıtulo 1Matrizes

Definicao:

Consideremos o conjunto de 5 alunos que fizeram 4 avaliacoes.Para representar esses dados de maneira organizada, podemosfazer uso de uma tabela:

Ana 4,5 6,2 7,0 5,5

Beatriz 7,2 6,8 8,0 10,0

Carlos 8,0 7,5 5,9 7,2

Daniela 9,2 8,5 7,0 8,0

Edson 6,8 7,2 6,8 7,5

O tratamento por linhas, por colunas, por elementos fazemdesses objetos matematicos instrumentos valiosos naorganizacao e manipulacao de dados.

Capıtulo 1Matrizes

Definicao:

Uma matriz e um arranjo de numeros, sımbolos, letras, etc,dispostos em linhas e colunas.

Se uma matriz possui m linhas e n colunas diremos que amatriz tem ordem m × n.

Exemplos:

0 −2 1 43 −1 0 02 5 −1 2

(2 −1√3 5

A matriz A e de ordem 3× 4 e a matriz B e de ordem 2× 2.

Capıtulo 1Matrizes

Definicao:

Uma matriz A de ordem m × n e representada por:

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

Abreviadamente podemos escrever, A = [aij ]m×n, com1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n e i , j ∈ N.

Na matriz A do exemplo anterior tem-se que a14 = 4 ea22 = −1.

Capıtulo 1Matrizes

Tipos de Matrizes

Matriz Nula e aquela em que todos os seus elementos saonulos.

Exemplo:

(0 0 00 0 0

(0 00 0

Matriz Linha e aquela que possui uma unica linha (m = 1).

Exemplo:A =

(2−1 1 3

Capıtulo 1Matrizes

Tipos de Matrizes

Matriz Coluna e aquela que possui apenas uma coluna(n = 1).

Exemplos:

10−1

(5−4

Um vetor no plano ou no espaco pode ser considerado comouma matriz coluna. Usaremos essa forma ao representar asolucao de um sistema de equacoes.

Capıtulo 1Matrizes

Tipos de Matrizes

Matriz Quadrada e aquela cujo numero de linhas e igual aonumero de colunas (m = n).

Exemplo:

2 1 00 −1 −2

2 π√

Matriz Identidade e uma matriz quadrada cujos elementosaij = 0 se i 6= j e aij = 1 se i = j .

Exemplo:

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Capıtulo 1Matrizes

Tipos de Matrizes

Matriz Triangular Superior e uma matriz quadrada de ordemn cujos elementos aij sao nulos quando i > j , isto e:

a11 a12 · · · a1n

0 a22 · · · a2n...

.... . .

...0 0 · · · ann

Matriz Triangular Inferior e uma matriz quadrada de ordemn cujos elementos aij sao nulos quando i < j , isto e:

a11 0 · · · 0a21 a22 · · · 0

......

. . ....

an1 an2 · · · ann

Capıtulo 1Matrizes

Tipos de Matrizes

Matriz Simetrica e uma matriz quadrada de ordem n, em queaij = aji , ∀ 1 ≤ i , j ≤ n.

Exemplo:

4 3 −13 2 0−1 0 5

Matriz Anti-Simetrica e uma matriz quadrada de ordem n,em que aij = −aji , ∀ 1 ≤ i , j ≤ n.

Exemplo:

−3 0 −1 10 1 0 −2

−√

2 −1 2 0

Capıtulo 1Matrizes

Tipos de Matrizes

Matriz Elementar Uma matriz e denominada elementar se forobtida por meio de uma unica mudanca na matriz identidade.Essa mudanca pode ser de um dos seguintes tipos:

1) A troca de uma linha (ou coluna) por outra linha (oucoluna);

2) A multiplicacao de uma linha (ou coluna) por um valorα ∈ R;

3) A soma de uma linha (ou coluna), multiplicada pelo valorα ∈ R, com outra linha (ou coluna).

Capıtulo 1Matrizes

Tipos de Matrizes

Exemplos:

a) A matriz elementar de ordem 2 obtida ao trocarmos a linha1 pela linha 2 da matriz identidade de ordem 2 e dada por:

(0 11 0

b) A matriz elementar de ordem 3 obtida ao multiplicar a linha3 por -3 e somar com a linha 2 da matriz identidade (de ordem3) e dada por:

1 0 00 1 00 1 −3

Capıtulo 1Matrizes

Igualdade de Matrizes

Definicao

Duas matrizes A = [aij ]m×n e B = [bij ]m×n sao iguais quandoaij = bij , ∀ i , j .

Exemplo:

(9 1 log 12 22 5

)e B =

(9 sen (π/2) 02 4 5

)sao iguais.

Capıtulo 1Matrizes

Operacoes com Matrizes - Adicao

Definicao

Sejam A = [aij ]m×n e B = [bij ]m×n, a matriz A somada com a matrizB, resulta numa matriz C = [cij ]m×n, cujos elementos sao:cij = aij + bij , ∀ i , j . Denotamos por: C = A + B = [aij + bij ]m×n.

Exemplo:

1 −14 02 5

0 4−2 51 0

1 32 53 5

Propriedades:

(a) Comutatividade: A + B = B + A.

(b) Associatividade: (A + B) + C = A + (B + C ).

(c) Elemento Neutro da Adicao: A + 0 = 0 + A = A, onde0 denota a matriz nula.

(d) Elemento Simetrico: A + (−A) = 0.

Capıtulo 1Matrizes

Produto de uma matriz por um escalar

Definicao

Seja k um numero qualquer. Para multiplicar k por uma matrizA de ordem m × n, basta multiplicar cada entrada aij de A pork. Assim, a matriz resultante B sera tambem m × n e seuselementos serao bij = k aij .

Exemplo: −2

2 10 11 −3 00 −2 3

−4 −20 −2−2 6 00 4 −6

Capıtulo 1Matrizes

Produto de uma matriz por um escalar

Propriedades:

(a) Associativa: k1(k2A) = (k1k2)A.

(b) Distributiva a direita em relacao as matrizes:k(A + B) = kA + kB.

(c) Distributiva a esquerda em relacao aos escalares:(k1 + k2)A = k1A + k2B.

(d) Elemento Neutro: 1.A = A.

(e) 0.A = 0.

Capıtulo 1Matrizes

Matriz transposta

Definicao

Dada uma matriz A = [aij ]m× n, podemos obter uma outramatriz A′ = [bij ]n×m, cujas linhas sao as colunas de A, isto e,bij = aji . A′ e denominada a transposta de A.

Exemplo: Seja A =

(3 −2 51 7 0

A transposta de A e a matriz A′ =

3 1−2 75 0

Propriedades:

(a) (A′)′ = A.

(b) (A + B)′ = A′ + B ′.

(c) A e simetrica se, e somente se, A = A′.

(d) (kA)′ = kA′, k e um escalar qualquer.

Capıtulo 1Matrizes

Produto de Matrizes

Definicao

Sejam, A = [aij ]m×n e B = [brs ]n×p, entao, seu produto A.B ea matriz m × p dada por: C = [cuv ]m×p. Os elementos da

matriz produto cuv sao dados por: cuv =n∑

auk bkv .

Propriedades:

(a) AI = IA = A, onde I e a matriz identidade.

(b) Associativa: (AB)C = A(BC ).

(c) Distributiva: A(B + C ) = AB + AC .

(d) (A + B)C = AC + BC .

(e) k(AB) = (kA)B = A(kB).

(f) (AB)′ = B ′ A′.

Capıtulo 1Matrizes

Traco de uma Matriz

Dada A = [aij ]n, o traco de A, denotado por Tr (A), e o numerodado pela soma dos elementos da diagonal principal. Isto e:

Tr (A) =n∑

Propriedades:

(a) Tr (A + B) = Tr (A) + Tr (B);

(b) Tr (αA) = αTr (A);

(c) Tr (A′) = Tr (A);

(d) Tr (AB) = Tr (BA).

Capıtulo 1Matrizes

Determinantes

Cofator de uma Matriz: O cofator Aij do elemento naposicao (i , j) de uma matriz A e dado pelo valor dodeterminante Mij , vezes o valor (−1)i+j . Isto e:

Aij = (−1)i+j det(Mij)

onde Mij e a matriz obtida eliminando a i-esima linha e aj-esima coluna da matriz A.

Definicao

Seja A uma matriz de ordem n, o calculo do determinante damatriz referido a linha k e dado por:

|A| = ak1Ak1 + ak2Ak2 + ...+ aknAkn.

Similarmente e possıvel fazer o desenvolvimento por colunas.

Capıtulo 1Matrizes

Propriedades do Determinante

Considere A e B matrizes quadradas. Entao, valem aspropriedades dos determinantes.

Propriedades:

(a) Se A possui uma linha (ou colunas) de zeros,entao, det (A) = 0;

(b) Se A possui duas linhas (ou colunas) iguais,entao, det (A) = 0;

(c) Se B e obtida de A multiplicando-se uma linha(ou coluna) por um escalar α, entao,det (B) = α det (A);

Capıtulo 1Matrizes

Propriedades do Determinante

Propriedades:

(d) Se B e obtida por troca das posicoes relativas deduas linhas (ou colunas) da matriz A, entao,det (B) = −det(A);

(e) Se B e obtida de A, substituindo-se a linha i (oucoluna) por ela somada a um multiplo escalar deoutra linha j (ou coluna) (j 6= i) entao,det (B) = det (A);

(f) det (A) = det (A′);

(g) det (AB) = det (A) det(B).

Capıtulo 1Matrizes

Matriz Adjunta

Dada A = [aij ]n, a matriz adjunta de A e dada por

Adj (A) = (Cof (A))′,

onde Cof (A) e a matriz cujos elementos sao os cofatores Aij

da matriz A, ou seja, e a matriz onde cada elemento aij e igualao cofator Aij da matriz A.

Teorema

Se A e uma matriz de ordem n,

Adj (A) · A = A · Adj (A) = det (A) · In.

Capıtulo 1Matrizes

Matriz inversa

Definicao

Uma matriz e dita singular se o seu determinante e nulo. Casocontrario, dizemos que a matriz e nao singular.

Definicao

Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir umamatriz A−1, de mesma ordem, tal que A.A−1 = A−1.A = In,entao dizemos que A e inversıvel e que A−1 e matriz inversade A.

Propriedades:

Se A e inversıvel, entao, A e nao singular.

Capıtulo 1Matrizes

Matriz inversa

Se det (A) 6= 0 entao

A−1 =adj (A)

det (A)·

Propriedades:

Se A e B sao inversıveis, entao:

(a) (AB)−1 = B−1A−1.

(b) (A−1)−1 = A.

(c) (A′)−1 = (A−1)′.

(d) det (A−1) =1

det (A)·

Capıtulo 1Matrizes

Operacoes Elementares

Operacoes elementares sao realizadas na matriz com o objetivode inverte-la, reduzi-la ou simplesmente coloca-la num formatoespecificado previamente. Elas podem ser de tres tipos:

1) A troca de uma linha (ou coluna) por outra linha (oucoluna);

2) A multiplicacao de uma linha (ou coluna) por um valorα ∈ R, com α 6= 0;

3) A soma de uma linha (ou coluna) multiplicada pelo valorα ∈ R (α 6= 0) numa outra linha (ou coluna).

Capıtulo 1Matrizes

Forma Escada de uma Matriz

Dizemos que uma matriz A = (aij)m×n esta na sua formaescada quando:

a) se o primeiro elemento nao nulo da linha i ocorre na colunaki , entao aij = 0 para todo i > ki . Em outras palavras, oselementos da coluna ki que estao abaixo do primeiro elementonao nulo da linha i sao todos iguais a zero;

b) Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas nao nulas;

c) Se as linhas 1, ..., r sao linhas nao nulas, e se o primeiroelemento nao nulo da linha i ocorre na coluna ki , entao,k1 < k2 < ... < kr .

Capıtulo 1Matrizes

Forma Escada de uma Matriz

Exemplos:

(0 1 00 0 0

0 1 5 0 30 0 0 1 20 0 0 0 0

1 −1 00 1 00 0 1

Capıtulo 1Matrizes

Part II

Capıtulo 2 - Sistemas Lineares

Capıtulo 1Matrizes

Sistemas de Equacoes Lineares

Definicao

Um sistema da formaa11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm

e chamado de sistema de equacoes lineares de ordem m × n.

Capıtulo 1Matrizes

Forma Matricial de um Sistema Linear

O sistema de equacoes (1) pode ser escrito na forma matricial:a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

am1 am2 · · · amn

ou ainda,AX = B, (2)

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

am1 am2 · · · amn

Capıtulo 1Matrizes

Exemplo

Exemplos:

x1 + 2x2 = 1

2x1 + x2 = 0

x1 − x2 = −1

Forma matricial:

], A =

1 22 11 −1

10−1

Capıtulo 1Matrizes

Interpretacao Geometrica

Considere o seguinte sistema:{a11x + a12y = b1

a21x + a22y = b2

Geometricamente temos as seguintes possibilidades:

Capıtulo 1Matrizes

Combinacao Linear de Vetores

O sistema: {x + 2y = 5

3x + y = 5

pode ser escrito da forma

Capıtulo 1Matrizes

Posto e Nulidade de uma Matriz

Definicao

Dada uma matriz A de ordem m × n, o posto da matriz, p(A),e dado pela ordem da maior submatriz nao singular da matrizdada.

Exemplo:

1 22 41 2

, temos que p(A) = 1

Definicao

Dada uma matriz A de ordem m × n, a nulidade da matriz,nul(A), e dada pela diferenca entre o numero de colunas e oseu posto (nul(A) = n − p(A)).

Capıtulo 1Matrizes

Posto e Nulidade de uma Matriz

Definicao

As linhas linearmente independentes (L.I.) de uma matriz Asao as linhas nao nulas de sua forma escada.

Exemplo: Seja A tal que sua forma escada e

1 ∗ ∗ ∗ ∗0 0 2 ∗ ∗0 0 0 0 −10 0 0 0 0

numeros de linhas L.I. de A??

Capıtulo 1Matrizes

Propriedades:

(a) Se A e m × n, entao p(A) = (num. de linhas L.I.)

(b) p(A) ≤ min{m, n}

Conclusao: Achar p(A) basta achar o posto de sua formaescada!

Assim, se A e tal que sua forma escada e

1 ∗ ∗ ∗ ∗0 0 −3 ∗ ∗0 0 0 0 20 0 0 0 0

Entao, posto de A e 3 e sua nulidade e 2.

Capıtulo 1Matrizes

Mais exemplos:

2 ∗ ∗ ∗ ∗0 0 0 3 ∗0 0 0 0 00 0 0 0 0

p(A) =?? nul(A) = ??

2 ∗ ∗ ∗ ∗0 0 3 ∗ ∗0 0 0 1 10 0 0 0 −2

p(A) =?? nul(A) = ??

Exercıcio

Encontre o posto e nulidade de A =

1 2 −1 02 −1 1 11 −3 2 10 −5 3 1

Capıtulo 1Matrizes

Matrizes Equivalentes e Sistemas Equivalentes

Definicao

Duas matrizes A e A sao ditas matrizes equivalentes se umadelas e obtida ao fazermos operacoes elementares na outra.

Exemplo:

1 2 1 40 0 2 1−1 −2 −1 −4

e equivalente a

1 2 1 40 0 1 1/20 0 0 0

Capıtulo 1Matrizes

Propriedade. Matrizes equivalentes possuem o mesmo posto.

Definicao

Dado um sistema AX = B, com A m × n, definimos a matrizaumentada/ampliada do sistema por Au = [A : B] (de ordemm × (n + 1))

Capıtulo 1Matrizes

Definicao

Dois sistemas, AX = B e AX = B, sao ditos equivalentes se asmatrizes aumentadas dos mesmos, Au = [A : B] eAu = [A : B], sao matrizes equivalentes.

Exemplo: Os sistemasx + 2y + z − t = 1

2z − 2t = 2

−x − 2y − z + 2t = −1

x + 2y + z − t = 1

z − t = 1

sao equivalentes.

Capıtulo 1Matrizes

Propriedades:

Sistemas equivalentes possuem o mesmo conjunto solucao.

Ideia para resolver sistemas lineares: Aplicar operacoeselementares em [A : B] e obter [A : B] na forma escada, eentao resolver AX = B (mais simples)

Capıtulo 1Matrizes

Caracterizacao dos Sistemas Lineares

Seja o sistema linear de m equacoes com n incognitas

da forma: AX = B. O sistema linear pode ser:

a) Possıvel, se possui solucao. Neste caso, p(Au) = p(A).

Determinado: quando a solucao e unica. Neste caso,p(A) = n;

Indeterminado: quando ha infinitas solucoes. Neste caso,p(A) < n.

b) Impossıvel, se nao possui solucao (p(Au) > p(A)).

Capıtulo 1Matrizes

Exemplo:Considere o sistema AX = B onde

1 ∗ ∗ ∗ ∗0 0 1 ∗ ∗0 0 0 0 10 0 0 0 0

∗∗∗z

Qual valor de z para que o sistema seja possıvel? eimpossıvel? Pode ser determinado?

Capıtulo 1Matrizes

Graus de Liberdade

Definicao

Considere um sistema indeterminado AX = B, com A m × n.O numero de graus de liberdade do sistema eg = n − p(A) > 0 (que e o numero de variaveis livres).

Exemplo:

1 2 −1 3 00 0 1 2 −10 0 0 0 10 0 0 0 0

−1010

entao, g =?? e as variaveis livres sao ??

Capıtulo 1Matrizes

Metodo de Gauss

O Metodo de Gauss para sistemas lineares: escolhervariaveis livres e, a partir delas, encontramos as outras variaveisusando o sistema equivalente na forma escada.

Capıtulo 1Matrizes

Exemplo

Encontre o grau de liberdade, as variaveis livres e oconjunto de solucoes para o sistema, indicando o posto e anulidade da matriz do sistema :

x + 2y − 3z − 2s + 4t = 1

2x + 5y − 8z − s + 6t = 4

x + 4y − 7z + 5s + 2t = 8

Escreva as solucoes como combinacao linear de vetores.

Capıtulo 1Matrizes

Sistemas Homogeneos

Definicao

Quando B = 0 dizemos que o sistema e homogeneo. Nestecaso, AX = 0.Notacao: SLh.

Observacao

Ao aplicar operacoes elementares no sistema aumentado [A : 0]a ultima coluna vai ser sempre 0, ou seja, teremos [A : 0].

Propriedades:

Em um sistema AX = B, a solucao geral e X = Xp + Xh, ondeXp e uma solucao particular do sistema e Xh e a solucao geraldo sistema homogeneo Ax = 0.

Capıtulo 1Matrizes

Exemplo

Encontre o conjunto de solucoes para o sistema homogeneo:x + 2y − 3z − 2s + 4t = 0

2x + 5y − 8z − s + 6t = 0

x + 4y − 7z + 5s + 2t = 0

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