aula de física ii - a segunda lei da termodinâmica · mostra que o calor passa do corpo quente...

IntroduçãoTransformações Reversíveis e Irreversíveis

Máquinas TérmicasEntropia

Aula de Física II - A Segunda Lei da Termodinâmica

Prof.: Leandro Aguiar Fernandes(lafernandes@iprj.uerj.br)

Universidade do Estado do Rio de JaneiroInstituto Politécnico - IPRJ/UERJ

Departamento de Engenharia Mecânica e EnergiaGraduação em Engenharia Mecânica/Computação

6 de outubro de 2010

Prof.: Leandro Aguiar Fernandes(lafernandes@iprj.uerj.br) Aula de Física II - A Segunda Lei da Termodinâmica

Introdução

A primeira lei da Termodinâmica impõe uma condiçãofundamental aos processos energéticos, isto é, não pode havergeração ou desaparecimento espontâneo de energia. ASegunda Lei adiciona outras restrições, quanto aocomportamento e ao modo de utilização das transformações.Se os dois corpos são colocados em contato entre si numsistema isolado, um com temperatura TA (corpo quente) eoutro com temperatura TB < TA (corpo frio), a experiênciamostra que o calor passa do corpo quente para o corpo frio atéque as temperaturas de ambos se estabilizem no equilíbrio TE .Observamos que, se o processo fosse inverso, isto é, se o calorpassasse do corpo frio para o quente (aumentando atemperatura do quente e diminuindo a do frio), não haverianenhuma violação da primeira lei (a mesma quantidade decalor retirada de um é adicionada ao outro).

Introdução

A primeira lei da Termodinâmica impõe uma condiçãofundamental aos processos energéticos, isto é, não pode havergeração ou desaparecimento espontâneo de energia. ASegunda Lei adiciona outras restrições, quanto aocomportamento e ao modo de utilização das transformações.

Se os dois corpos são colocados em contato entre si numsistema isolado, um com temperatura TA (corpo quente) eoutro com temperatura TB < TA (corpo frio), a experiênciamostra que o calor passa do corpo quente para o corpo frio atéque as temperaturas de ambos se estabilizem no equilíbrio TE .Observamos que, se o processo fosse inverso, isto é, se o calorpassasse do corpo frio para o quente (aumentando atemperatura do quente e diminuindo a do frio), não haverianenhuma violação da primeira lei (a mesma quantidade decalor retirada de um é adicionada ao outro).

Introdução

A primeira lei da Termodinâmica impõe uma condiçãofundamental aos processos energéticos, isto é, não pode havergeração ou desaparecimento espontâneo de energia. ASegunda Lei adiciona outras restrições, quanto aocomportamento e ao modo de utilização das transformações.Se os dois corpos são colocados em contato entre si numsistema isolado, um com temperatura TA (corpo quente) eoutro com temperatura TB < TA (corpo frio), a experiênciamostra que o calor passa do corpo quente para o corpo frio atéque as temperaturas de ambos se estabilizem no equilíbrio TE .

Observamos que, se o processo fosse inverso, isto é, se o calorpassasse do corpo frio para o quente (aumentando atemperatura do quente e diminuindo a do frio), não haverianenhuma violação da primeira lei (a mesma quantidade decalor retirada de um é adicionada ao outro).

Introdução

A primeira lei da Termodinâmica impõe uma condiçãofundamental aos processos energéticos, isto é, não pode havergeração ou desaparecimento espontâneo de energia. ASegunda Lei adiciona outras restrições, quanto aocomportamento e ao modo de utilização das transformações.Se os dois corpos são colocados em contato entre si numsistema isolado, um com temperatura TA (corpo quente) eoutro com temperatura TB < TA (corpo frio), a experiênciamostra que o calor passa do corpo quente para o corpo frio atéque as temperaturas de ambos se estabilizem no equilíbrio TE .Observamos que, se o processo fosse inverso, isto é, se o calorpassasse do corpo frio para o quente (aumentando atemperatura do quente e diminuindo a do frio), não haverianenhuma violação da primeira lei (a mesma quantidade decalor retirada de um é adicionada ao outro).

Mas isso nunca acontece. Assim, pode-se dizer que,expontaneamente, o calor só pode passar de um corpo detemperatura mais alta para outro de temperatura mais baixa.E esse é um dos enunciados da Segunda Lei daTermodinâmica.

Um exemplo comum da segunda lei é dado pela e�ciência deuma máquina térmica. Uma máquina térmica ideal funcionariada seguinte forma: Todo o calor Q1 de uma fonte quente(exemplo: a combustão de uma substância) seria transformadoem trabalho W . Assim, W = Q1 e haveria e�ciência de 100por cento. Mas é claro que isso nunca ocorre. Numa máquinareal, há sempre uma parcela de calor Q2 que é trocada comuma fonte fria (o próprio ambiente na maioria dos casos).

Mas isso nunca acontece. Assim, pode-se dizer que,expontaneamente, o calor só pode passar de um corpo detemperatura mais alta para outro de temperatura mais baixa.E esse é um dos enunciados da Segunda Lei daTermodinâmica.

Um exemplo comum da segunda lei é dado pela e�ciência deuma máquina térmica. Uma máquina térmica ideal funcionariada seguinte forma: Todo o calor Q1 de uma fonte quente(exemplo: a combustão de uma substância) seria transformadoem trabalho W . Assim, W = Q1 e haveria e�ciência de 100por cento. Mas é claro que isso nunca ocorre. Numa máquinareal, há sempre uma parcela de calor Q2 que é trocada comuma fonte fria (o próprio ambiente na maioria dos casos).

E o enunciado a seguir é outra forma da Segunda Lei:

É impossível converter todo o calor de uma fonte em trabalho.Sempre haverá uma parcela trocada com o ambiente.

Transformações Reversíveis e Irreversíveis

Transformações termodinâmicas são processos que produzemalterações em variáveis que de�nem o estado termodinâmicode um corpo ou sistema. A reversibilidade ou não de umatransformação é uma propriedade importante, que tem relaçãocom a segunda lei.

Como exemplo de transformação reversível, pode-se citar oescoamento de um gás ideal em uma tubulação com umestrangulamento. Desde que a condição é supostamente ideal,não há atritos nem trocas de calor através da parede do tubo.Devido à redução de seção, o estado termodinâmico do gás édiferente do estado nos extremos. Passado o estrangulamento,o estado termodinâmico é o mesmo, caracterizando areversibilidade do processo.

Agora, sejam dois corpos em contato mútuo dentro de umsistema isolado. Depois de algum tempo, a troca de calortermina e os corpos atingem uma temperatura comum deequilíbrio TE (TA > TE > TB). Se os corpos são afastados e�sicamente dispostos na mesma situação inicial, as suastemperaturas não retornam espontaneamente aos valoresanteriores. Há, portanto, uma transformação irreversível.

O equacionamento da Segunda Lei é descrito através doconceito de entropia que está relacionado ao número decon�gurações de mesma energia que um dado sistema podepossuir. Podemos nos valer do conceito subjetivo de desordempara facilitar a compreensão da Segunda Lei (embora entropianão seja essencialmente caracterizada como desordem). Ouseja, a segunda lei a�rma, à grosso modo, que a desordem deum sistema isolado só pode crescer ou permanecer igual.

Agora, sejam dois corpos em contato mútuo dentro de umsistema isolado. Depois de algum tempo, a troca de calortermina e os corpos atingem uma temperatura comum deequilíbrio TE (TA > TE > TB). Se os corpos são afastados e�sicamente dispostos na mesma situação inicial, as suastemperaturas não retornam espontaneamente aos valoresanteriores. Há, portanto, uma transformação irreversível.

O equacionamento da Segunda Lei é descrito através doconceito de entropia que está relacionado ao número decon�gurações de mesma energia que um dado sistema podepossuir. Podemos nos valer do conceito subjetivo de desordempara facilitar a compreensão da Segunda Lei (embora entropianão seja essencialmente caracterizada como desordem). Ouseja, a segunda lei a�rma, à grosso modo, que a desordem deum sistema isolado só pode crescer ou permanecer igual.

Rendimento TérmicoO Ciclo de CarnotE�ciência de uma Máquina Térmica

Rendimento Térmico

Um motor térmico produz trabalho a partir de calor, operandociclicamente. Pela Segunda Lei, são precisos dois reservatóriostérmicos a temperaturas diferentes T1 > T2. Sendo Q1 o calorabsorvido da fonte quente, Q2 o calor transferido à fonte fria emcada ciclo e W o trabalho realizado pelo motor num ciclo, então,pela Primeira Lei, temos:

W = Q1 − Q2 (1)

Desta forma, podemos de�nir o rendimento de um motor térmicocomo sendo:

Q1 − Q2

Q1= 1− Q2

Logo, vemos que Q2 > 0 ⇐⇒ η < 1, o que implica que orendimento é inferior a cem por cento.

Rendimento Térmico

W = Q1 − Q2 (1)

Q1 − Q2

Q1= 1− Q2

Rendimento Térmico

W = Q1 − Q2 (1)

Q1 − Q2

Q1= 1− Q2

Rendimento Térmico

W = Q1 − Q2 (1)

Q1 − Q2

Q1= 1− Q2

Rendimento Térmico

W = Q1 − Q2 (1)

Q1 − Q2

Q1= 1− Q2

Rendimento Térmico

W = Q1 − Q2 (1)

Q1 − Q2

Q1= 1− Q2

O Ciclo de Carnot

Se de�ne Ciclo de Carnot como um processo cíclico reversível queutiliza um gás perfeito, e que consta de duas transformaçõesisotérmicas e duas adiabáticas.

O Ciclo de Carnot

Partindo de 1, o gás realiza uma expansão isotérmica 1-2,recebendo calor de Q1 (fonte quente). A seguir, ocorre a expansãoadiabática 2-3, durante a qual não há troca de calor. A compressãoisotérmica 3-4 se veri�ca à temperatura T2 da fonte fria, e nestaetapa o gás rejeita a quantidade Q2 que não foi transformada emtrabalho. A compressão adiabática 4-1 se completa sem a troca decalor. Pela Equação Fundamental da Calorimetria, temos:

T2=⇒ η = 1− T2

Este é o rendimento máximo de uma máquina térmica, e comonunca podemos ter T1 = 0 e |T2| < |T1| constatamos que umamáquina térmica jamais terá rendimento de cem por cento, ou seja,transformar todo o calor fornecido em trabalho.

=⇒ η = 1− T2

T2=⇒

η = 1− T2

T2=⇒ η = 1− T2

Teorema (Carnot)

Nenhuma máquina térmica que opere entre uma dada fonte quentee uma dada fonte fria pode ter rendimento superior ao de umaMáquina de Carnot. Todas as Máquinas de Carnot que operementre essas duas fontes terão o mesmo rendimento.

Demonstração.

Para demonstrar o teorema, consideremos duas máquinasreversíveis A e B, com rendimentos η e η′, respectivamente.Suponhamos que o rendimento da máquina A é menor do que orendimento da máquina B (η < η′). Então:

W >W ′; Q1 < Q ′1 (4)

Como as máquinas são reversíveis, podemos acoplar uma à outramas com a máquina A operando como refrigerador. Logo:

Teorema (Carnot)

Demonstração.

W >W ′; Q1 < Q ′1 (4)

Teorema (Carnot)

Demonstração.

W >W ′; Q1 < Q ′1 (4)

Teorema (Carnot)

Demonstração.

W >W ′; Q1 < Q ′1 (4)

Teorema (Carnot)

Demonstração.

W >W ′; Q1 < Q ′1 (4)

Teorema (Carnot)

Demonstração.

W >W ′; Q1 < Q ′1 (4)

Demonstração.

A fonte quente �ca inalterada.

A fonte fria perde a quantidade Q1 − Q ′1 de energia na formade calor.

É produzido um trabalho W ′ −W .

Assim, o único efeito é a produção de trabalho às custas da energiaretirada na forma de calor de uma única fonte térmica. Isso viola aSegunda Lei da Termodinâmica. Portanto, a condição η < η′ nãopode ser verdadeira. Suponhamos, agora que o rendimento damáquina A é maior do que o rendimento da máquina B (η > η′).Então:

W <W ′; Q1 > Q ′1 (5)

Como as máquinas são reversíveis, podemos acoplar uma à outramas com a máquina B operando como refrigerador. Logo:

Demonstração.

W <W ′; Q1 > Q ′1 (5)

Demonstração.

W <W ′; Q1 > Q ′1 (5)

Demonstração.

W <W ′; Q1 > Q ′1 (5)

Demonstração.

W <W ′; Q1 > Q ′1 (5)

Demonstração.

W <W ′; Q1 > Q ′1 (5)

Demonstração.

A fonte fria perde a quantidade Q ′1 − Q1 de energia na formade calor.

É produzido um trabalho W −W ′.

Assim, novamente, o único efeito é a produção de trabalho àscustas da energia retirada na forma de calor de uma única fontetérmica. Isso viola a Segunda Lei da Termodinâmica. Portanto, acondição η > η′ não pode ser verdadeira. Como η não pode sermaior nem menor do que η′, resta apenas a possibilidade de η = η′.Isto demonstra o Teorema de Carnot.

Demonstração.

E�ciência de uma Máquina Térmica

Considerando que a substância de trabalho é um gás ideal, a suaenergia interna depende explicitamente apenas da temperatura, edesse modo ela se mantém constante ao longo de umatransformação isotérmica. Ou seja:{

E (T2) = E1 = E2E (T1) = E3 = E4

Tendo em conta a Primeira Lei da Termodinâmica dE = dQ − dW ,encontramos:{

∆E12 = Q12 −W12 =⇒ Q2 ≡ Q12 = W12

∆E34 = Q34 −W34 =⇒ Q3 ≡ Q34 = W34(7)

Considerando que a substância de trabalho é um gás ideal, a suaenergia interna depende explicitamente apenas da temperatura, edesse modo ela se mantém constante ao longo de umatransformação isotérmica. Ou seja:

{E (T2) = E1 = E2E (T1) = E3 = E4

∆E12 = Q12 −W12 =⇒ Q2 ≡ Q12 = W12

∆E34 = Q34 −W34 =⇒ Q3 ≡ Q34 = W34(7)

E (T2) = E1 = E2E (T1) = E3 = E4

∆E12 = Q12 −W12 =⇒ Q2 ≡ Q12 = W12

∆E34 = Q34 −W34 =⇒ Q3 ≡ Q34 = W34(7)

E (T2) = E1 = E2E (T1) = E3 = E4

Tendo em conta a Primeira Lei da Termodinâmica dE = dQ − dW ,encontramos:

{∆E12 = Q12 −W12 =⇒ Q2 ≡ Q12 = W12

∆E34 = Q34 −W34 =⇒ Q3 ≡ Q34 = W34(7)

E (T2) = E1 = E2E (T1) = E3 = E4

∆E12 = Q12 −W12

=⇒ Q2 ≡ Q12 = W12

∆E34 = Q34 −W34 =⇒ Q3 ≡ Q34 = W34(7)

E (T2) = E1 = E2E (T1) = E3 = E4

∆E12 = Q12 −W12 =⇒

Q2 ≡ Q12 = W12

∆E34 = Q34 −W34 =⇒ Q3 ≡ Q34 = W34(7)

E (T2) = E1 = E2E (T1) = E3 = E4

∆E12 = Q12 −W12 =⇒ Q2 ≡ Q12 = W12

∆E34 = Q34 −W34 =⇒ Q3 ≡ Q34 = W34(7)

E (T2) = E1 = E2E (T1) = E3 = E4

∆E12 = Q12 −W12 =⇒ Q2 ≡ Q12 = W12

∆E34 = Q34 −W34

=⇒ Q3 ≡ Q34 = W34(7)

E (T2) = E1 = E2E (T1) = E3 = E4

∆E12 = Q12 −W12 =⇒ Q2 ≡ Q12 = W12

∆E34 = Q34 −W34 =⇒

Q3 ≡ Q34 = W34(7)

E (T2) = E1 = E2E (T1) = E3 = E4

∆E12 = Q12 −W12 =⇒ Q2 ≡ Q12 = W12

∆E34 = Q34 −W34 =⇒ Q3 ≡ Q34 = W34(7)

nRT1 ∗ ln(V2V1

nRT3 ∗ ln(V4V3

Agora, considerando as propriedades de um gás ideal, quandosubmetido a uma transformação adiabática, temos que:

TV γ−1 = cte =⇒

γ−12 = T1V

γ−13

T2Vγ−11 = T1V

γ−14

Dividindo membro a membro, obtemos:

V γ−12

V γ−11

=V γ−13

V γ−14

=⇒ ln

)= −ln

Por �m, assim como na equação (8), temos:

nRT1 ∗ ln(V2V1

nRT3 ∗ ln(V4V3

)= −T1

T2(11)

Logo:Q1

nRT1 ∗ ln(V2V1

nRT3 ∗ ln(V4V3

γ−12 = T1V

γ−13

T2Vγ−11 = T1V

γ−14

V γ−12

V γ−11

=V γ−13

V γ−14

=⇒ ln

)= −ln

nRT1 ∗ ln(V2V1

nRT3 ∗ ln(V4V3

)= −T1

T2(11)

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nRT1 ∗ ln(V2V1

nRT3 ∗ ln(V4V3

γ−12 = T1V

γ−13

T2Vγ−11 = T1V

γ−14

V γ−12

V γ−11

=V γ−13

V γ−14

=⇒ ln

)= −ln

nRT1 ∗ ln(V2V1

nRT3 ∗ ln(V4V3

)= −T1

T2(11)

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nRT1 ∗ ln(V2V1

nRT3 ∗ ln(V4V3

γ−12 = T1V

γ−13

T2Vγ−11 = T1V

γ−14

V γ−12

V γ−11

=V γ−13

V γ−14

=⇒ ln

)= −ln

nRT1 ∗ ln(V2V1

nRT3 ∗ ln(V4V3

)= −T1

T2(11)

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nRT1 ∗ ln(V2V1

nRT3 ∗ ln(V4V3

TV γ−1 = cte

γ−12 = T1V

γ−13

T2Vγ−11 = T1V

γ−14

V γ−12

V γ−11

=V γ−13

V γ−14

=⇒ ln

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nRT1 ∗ ln(V2V1

nRT3 ∗ ln(V4V3

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T2(11)

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γ−12 = T1V

γ−13

T2Vγ−11 = T1V

γ−14

V γ−12

V γ−11

=V γ−13

V γ−14

=⇒ ln

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nRT3 ∗ ln(V4V3

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T2(11)

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nRT3 ∗ ln(V4V3

γ−12 = T1V

γ−13

T2Vγ−11 = T1V

γ−14

V γ−12

V γ−11

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V γ−14

=⇒ ln

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T2(11)

Logo:Q1

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γ−12 = T1V

γ−13

T2Vγ−11 = T1V

γ−14

V γ−12

V γ−11

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=⇒ ln

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T2(11)

Logo:Q1

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γ−12 = T1V

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T2Vγ−11 = T1V

γ−14

V γ−12

V γ−11

=V γ−13

V γ−14

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)= −T1

T2(11)

Logo:Q1

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γ−12 = T1V

γ−13

T2Vγ−11 = T1V

γ−14

V γ−12

V γ−11

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V γ−14

)= −ln

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)= −T1

T2(11)

Logo:Q1

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γ−12 = T1V

γ−13

T2Vγ−11 = T1V

γ−14

V γ−12

V γ−11

=V γ−13

V γ−14

=⇒ ln

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nRT3 ∗ ln(V4V3

)= −T1

T2(11)

Logo:Q1

nRT1 ∗ ln(V2V1

nRT3 ∗ ln(V4V3

γ−12 = T1V

γ−13

T2Vγ−11 = T1V

γ−14

V γ−12

V γ−11

=V γ−13

V γ−14

=⇒ ln

)= −ln

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nRT3 ∗ ln(V4V3

)= −T1

T2(11)

Logo:Q1

nRT1 ∗ ln(V2V1

nRT3 ∗ ln(V4V3

γ−12 = T1V

γ−13

T2Vγ−11 = T1V

γ−14

V γ−12

V γ−11

=V γ−13

V γ−14

=⇒ ln

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nRT1 ∗ ln(V2V1

nRT3 ∗ ln(V4V3

)= −T1

T2(11)

O Teorema de ClausiusVariação da Entropia para um Gás Ideal

O Teorema de Clausius

Considerando agora as relações de e�ciência em (11), temos:

Q1= 1 +

Q1= 1− T2

T1(12)

Simpli�cando e reagrupando as duas últimas expressões, obtemos:

T2(13)

Essa soma pode ser entendida como a soma das relações entre calortrocado e temperatura em cada parte de um ciclo reversível, quepode ser generalizada para parcelas in�nitesimais do ciclo, ou seja:

∼=∮δQ

T= 0 (14)

A expressão (14) é conhecida como Teorema de Clausius.

Q1= 1 +

Q1= 1− T2

T1(12)

T2(13)

∼=∮δQ

T= 0 (14)

Q1= 1 +

Q1= 1− T2

T1(12)

T2(13)

∼=∮δQ

T= 0 (14)

Q1= 1 +

Q1= 1− T2

T1(12)

T2(13)

∼=∮δQ

T= 0 (14)

Q1= 1 +

Q1= 1− T2

T1(12)

T2(13)

∼=∮δQ

T= 0 (14)

Q1= 1 +

Q1= 1− T2

T1(12)

T2(13)

∼=∮δQ

T= 0 (14)

Q1= 1 +

Q1= 1− T2

T1(12)

T2(13)

∼=∮δQ

T= 0 (14)

Q1= 1 +

Q1= 1− T2

T1(12)

T2(13)

∼=∮δQ

T= 0 (14)

A expressão (14) é conhecida como Teorema de Clausius.Prof.: Leandro Aguiar Fernandes(lafernandes@iprj.uerj.br) Aula de Física II - A Segunda Lei da Termodinâmica

Para um ciclo irreversível, a e�ciência é menor que a do ciclo deCarnot (no limite, isto é, se for reversível, igual). Assim, a relação(12) deve ser modi�cada para:

Q1= 1 +

Q1≤ 1− T2

T1(15)

Usando procedimento similar, chega-se a:

∼=∮δQ

T≤ 0 (16)

A grandeza δQT, conforme (14), deve ser uma propriedade do

processo, uma vez que, sendo nula no caminho fechado, nãodepende do caminho, mas apenas dos estados do processo.

Q1= 1 +

Q1≤ 1− T2

T1(15)

∼=∮δQ

T≤ 0 (16)

Q1= 1 +

Q1≤ 1− T2

T1(15)

∼=∮δQ

T≤ 0 (16)

Q1= 1 +

Q1≤ 1− T2

T1(15)

∼=∮δQ

T≤ 0 (16)

Q1= 1 +

Q1≤ 1− T2

T1(15)

∼=∮δQ

T≤ 0 (16)

Seja o exemplo de um ciclo formado por dois processos reversíveisconforme a �gura a seguir:

Por (14), temos:

)A(rev)

)B(rev)

A grandeza entre parênteses é uma propriedade do processo, que édenominada entropia S.

Por (14), temos:

)A(rev)

)B(rev)

Por (14), temos:

)A(rev)

)B(rev)

Por (14), temos:

)A(rev)

)B(rev)

Por (14), temos:

)A(rev)

)B(rev)

Portanto, a variação de entropia em um processo reversível é:

=⇒ S2 − S1 =

Considera-se agora um ciclo com a parte A irreversível. Então, deacordo com (16), temos:

)A(irev)

)B(rev)

≤ 0 (19)

Mas a segunda parcela é o negativo da variação da entropiasegundo (18). Desta forma:

S2 − S1 ≥2∫

=⇒ dS ≥ δQ

=⇒ S2 − S1 =

)A(irev)

)B(rev)

≤ 0 (19)

S2 − S1 ≥2∫

=⇒ dS ≥ δQ

S2 − S1 =

)A(irev)

)B(rev)

≤ 0 (19)

S2 − S1 ≥2∫

=⇒ dS ≥ δQ

=⇒ S2 − S1 =

)A(irev)

)B(rev)

≤ 0 (19)

S2 − S1 ≥2∫

=⇒ dS ≥ δQ

=⇒ S2 − S1 =

)A(irev)

)B(rev)

≤ 0 (19)

S2 − S1 ≥2∫

=⇒ dS ≥ δQ

=⇒ S2 − S1 =

)A(irev)

)B(rev)

≤ 0 (19)

S2 − S1 ≥2∫

=⇒ dS ≥ δQ

=⇒ S2 − S1 =

)A(irev)

)B(rev)

≤ 0 (19)

S2 − S1 ≥2∫

=⇒ dS ≥ δQ

=⇒ S2 − S1 =

)A(irev)

)B(rev)

≤ 0 (19)

S2 − S1 ≥2∫

=⇒ dS ≥ δQ

=⇒ S2 − S1 =

)A(irev)

)B(rev)

≤ 0 (19)

S2 − S1 ≥2∫

dS ≥ δQ

=⇒ S2 − S1 =

)A(irev)

)B(rev)

≤ 0 (19)

S2 − S1 ≥2∫

=⇒ dS ≥ δQ

Portanto, a relação (20) indica, de forma genérica, a variação daentropia de um processo. Se for reversível, ocorre a igualdade; seirreversível, vale a desigualdade. Pode-se introduzir uma parcelapara eliminar a desigualdade anterior. Assim:

S2 − S1 =

+ Sg (21)

Onde Sg ≥ 0 é a parcela de entropia gerada devido airreversibilidades. Naturalmente, para um processo reversível, deveocorrer Sg = 0.

S2 − S1 =

+ Sg (21)

S2 − S1 =

+ Sg (21)

Variação da Entropia para um Gás Ideal

Pode-se usar a Primeira Lei da Termodinâmica para o valor de δQem (18). Portanto:

S2 − S1 =

(dU + pdV

(22)Lembrando que, para um mo de gás ideal, temos as relações:

dU = CV dT ; p =nRT

Daí, (22) �ca:

S2 − S1 =

(CV dT

S2 − S1 =

(dU + pdV

dU = CV dT ; p =nRT

Daí, (22) �ca:

S2 − S1 =

(CV dT

S2 − S1 =

(dU + pdV

Lembrando que, para um mo de gás ideal, temos as relações:

dU = CV dT ; p =nRT

Daí, (22) �ca:

S2 − S1 =

(CV dT

S2 − S1 =

(dU + pdV

dU = CV dT ; p =nRT

Daí, (22) �ca:

S2 − S1 =

(CV dT

S2 − S1 =

(dU + pdV

dU = CV dT ; p =nRT

Daí, (22) �ca:

S2 − S1 =

(CV dT

S2 − S1 =

(dU + pdV

dU = CV dT ; p =nRT

Daí, (22) �ca:

S2 − S1 =

(CV dT

S2 − S1 =

(dU + pdV

dU = CV dT ; p =nRT

Daí, (22) �ca:

S2 − S1 =

(CV dT

Integrando, encontramos:

S2 − S1 = CV ∗ ln(T2

)+ nR ∗ ln

Como T2T1

=(p2p1

)(V2V1

), então:

S2 − S1 = CV ∗ ln(p2p1

)+ CV ∗ ln

)+ nR ∗ ln

E �nalmente, como cp = cV + R , obtemos, assim:

S2 − S1 = CV

)]+ Cp

)](27)

S2 − S1 = CV ∗ ln(T2

)+ nR ∗ ln

Como T2T1

=(p2p1

)(V2V1

), então:

S2 − S1 = CV ∗ ln(p2p1

)+ CV ∗ ln

)+ nR ∗ ln

S2 − S1 = CV

)]+ Cp

)](27)

S2 − S1 = CV ∗ ln(T2

)+ nR ∗ ln

Como T2T1

=(p2p1

)(V2V1

), então:

S2 − S1 = CV ∗ ln(p2p1

)+ CV ∗ ln

)+ nR ∗ ln

S2 − S1 = CV

)]+ Cp

)](27)

S2 − S1 = CV ∗ ln(T2

)+ nR ∗ ln

Como T2T1

=(p2p1

)(V2V1

), então:

S2 − S1 = CV ∗ ln(p2p1

)+ CV ∗ ln

)+ nR ∗ ln

S2 − S1 = CV

)]+ Cp

)](27)

S2 − S1 = CV ∗ ln(T2

)+ nR ∗ ln

Como T2T1

=(p2p1

)(V2V1

), então:

S2 − S1 = CV ∗ ln(p2p1

)+ CV ∗ ln

)+ nR ∗ ln

S2 − S1 = CV

)]+ Cp

)](27)

S2 − S1 = CV ∗ ln(T2

)+ nR ∗ ln

Como T2T1

=(p2p1

)(V2V1

), então:

S2 − S1 = CV ∗ ln(p2p1

)+ CV ∗ ln

)+ nR ∗ ln

S2 − S1 = CV

)]+ Cp

)](27)

Podemos representar a entropia como função de estado de um gásideal através de seus parâmetros (p,V,T). Para um mol de gásideal, temos que:

dS =dQ

CV (t)

T=⇒ S2 − S1 =

T2∫T1

CV (T )

V2∫V1

(28)Se CV for constante no intervalo de temperatura considerado,temos:

S2 − S1 = CV ln

)+ R ln

Logo, a entropia molar de um gás ideal, como função de V e T, é:

S(V ,T ) = CV ln T + R ln V + cte (30)

dS =dQ

CV (t)

=⇒ S2 − S1 =

T2∫T1

CV (T )

V2∫V1

S2 − S1 = CV ln

)+ R ln

dS =dQ

CV (t)

S2 − S1 =

T2∫T1

CV (T )

V2∫V1

S2 − S1 = CV ln

)+ R ln

dS =dQ

CV (t)

T=⇒ S2 − S1 =

T2∫T1

CV (T )

V2∫V1

Se CV for constante no intervalo de temperatura considerado,temos:

S2 − S1 = CV ln

)+ R ln

dS =dQ

CV (t)

T=⇒ S2 − S1 =

T2∫T1

CV (T )

V2∫V1

S2 − S1 = CV ln

)+ R ln

dS =dQ

CV (t)

T=⇒ S2 − S1 =

T2∫T1

CV (T )

V2∫V1

S2 − S1 = CV ln

)+ R ln

dS =dQ

CV (t)

T=⇒ S2 − S1 =

T2∫T1

CV (T )

V2∫V1

S2 − S1 = CV ln

)+ R ln

dS =dQ

CV (t)

T=⇒ S2 − S1 =

T2∫T1

CV (T )

V2∫V1

S2 − S1 = CV ln

)+ R ln

Agora, fazendo:

pdV = −Vdp + RdT (31)

então, a entropia pode ser escrita como:

dS =CV + R

TdT − V

Cp(T )

TdT − R

pdp (32)

S2 − S1 =

T2∫T1

Cp(T )

p2∫p1

p= Cp ln

)+ R ln

Logo, a entropia molar de um gás ideal, como função de p e T, é:

S(p,T ) = Cp ln T + R ln p + cte (34)

Agora, fazendo:pdV = −Vdp + RdT (31)

dS =CV + R

TdT − V

Cp(T )

TdT − R

pdp (32)

S2 − S1 =

T2∫T1

Cp(T )

p2∫p1

p= Cp ln

)+ R ln

dS =CV + R

TdT − V

Cp(T )

TdT − R

pdp (32)

S2 − S1 =

T2∫T1

Cp(T )

p2∫p1

p= Cp ln

)+ R ln

dS =CV + R

TdT − V

=Cp(T )

TdT − R

pdp (32)

S2 − S1 =

T2∫T1

Cp(T )

p2∫p1

p= Cp ln

)+ R ln

dS =CV + R

TdT − V

Cp(T )

TdT − R

pdp (32)

S2 − S1 =

T2∫T1

Cp(T )

p2∫p1

p= Cp ln

)+ R ln

dS =CV + R

TdT − V

Cp(T )

TdT − R

pdp (32)

S2 − S1 =

T2∫T1

Cp(T )

p2∫p1

p= Cp ln

)+ R ln

dS =CV + R

TdT − V

Cp(T )

TdT − R

pdp (32)

S2 − S1 =

T2∫T1

Cp(T )

p2∫p1

= Cp ln

)+ R ln

dS =CV + R

TdT − V

Cp(T )

TdT − R

pdp (32)

S2 − S1 =

T2∫T1

Cp(T )

p2∫p1

p= Cp ln

)+ R ln

dS =CV + R

TdT − V

Cp(T )

TdT − R

pdp (32)

S2 − S1 =

T2∫T1

Cp(T )

p2∫p1

p= Cp ln

)+ R ln

dS =CV + R

TdT − V

Cp(T )

TdT − R

pdp (32)

S2 − S1 =

T2∫T1

Cp(T )

p2∫p1

p= Cp ln

)+ R ln

E ainda, fazendo a substituição V = RTp

em (30), obtemos:

S(p,V ) = CV ln

)+ R ln V + cte =

= CV ln (pV ) + R ln V − CV ln R + cte︸︷︷︸cte

= CV ln p + (CV + R)︸︷︷︸Cp

ln V + cte =

ln p +CpCV︸︷︷︸γ

em (30), obtemos:

S(p,V ) = CV ln

)+ R ln V + cte =

= CV ln p + (CV + R)︸︷︷︸Cp

ln V + cte =

em (30), obtemos:

S(p,V ) = CV ln

)+ R ln V + cte =

= CV ln p + (CV + R)︸︷︷︸Cp

ln V + cte =

em (30), obtemos:

S(p,V ) = CV ln

)+ R ln V + cte =

= CV ln p + (CV + R)︸︷︷︸Cp

ln V + cte =

em (30), obtemos:

S(p,V ) = CV ln

)+ R ln V + cte =

= CV ln p + (CV + R)︸︷︷︸Cp

ln V + cte =

Daí, obtemos:

S(p,V ) = CV (ln p + γ ln V ) + cte = CV (ln p + ln V γ) + cte

Portanto, a entropia molar de um gás ideal, como função de p e V,é:

S(p,V ) = CV ln(pV γ) + cte (35)

o que nos mostra explicitamente que um processo adiabáticoreversível é isentrópico, ou seja, a entropia não se altera em talprocesso.

Daí, obtemos:

S(p,V ) = CV (ln p + γ ln V ) + cte

= CV (ln p + ln V γ) + cte

Daí, obtemos:

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