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Prof.Dr. Edmilson J.T. Manganote
Aula 05 – Matemática Financeira
Seqüências de Capitais
Prof.Dr. Edmilson J.T. Manganote
Introdução
• Vimos de que forma conjuntos de capitais podiam ser transformados em outros equivalentes, para efeito de comparação.
• Na prática, é comum que esses conjuntos tenham algumas características como periodicidade, uniformidade, crescimento, etc. de acordo com certas leis matemáticas
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Seqüência Uniforme
• Consideremos a seqüência de capitais y1, y2, ..., yn, respectivamente nas datas 1, 2, 3, ..., n. Dizemos que este conjunto constitui uma seqüência uniforme se
• Isto é, se todos os capitais forem iguais
Ryyy n 21
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Seqüência Uniforme
• Por definição, o valor atual (na data 0) da seqüência uniforme, a uma taxa de juros i, na unidade de tempo considerada, é:
n
n
iiiiRV
i
R
i
R
i
R
i
RV
1
1
1
1
1
1
1
1
1111
321
321
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Seqüência Uniforme
• Simplificações podem ser feitas se notarmos que a expressão entre colchetes é a soma dos termos de uma progressão geométrica (PG) cujo primeiro termo (a1) é igual a
E cuja razão éi1
1
iq
1
1
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Seqüência Uniforme
• A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, em que a razão é diferente de 1, é dada por
1
11
q
qaS
n
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Seqüência Uniforme
• Logo, a expressão do valor atual fica:
1
1
1
11
1
1
1
i
iiRV
n
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Seqüência Uniforme
• E, após algumas manipulações, chegamos a seguinte expressão
ii
iRV
n
n
1
11
Fator de Valor Atual (pode ser indicado pelo símbolo an|i)
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Seqüência Uniforme
Exemplo:
• Um eletrodoméstico é vendido a prazo,em quatro pagamentos mensais e iguaisde $ 550,00 cada, vencendo o primeiroum mês após a compra. Se a loja opera auma taxa de juros de 5% a.m., qual o seupreço a vista?
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Seqüência Uniforme
Exemplo:
n = 4, i = 5% a.m. e R = 550, assim:
27,950.105,005,1
105,1550
4
4
V
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• Exercícios– Um automóvel usado é vendido à vista por $
30.000,00, mas pode ser vendido a prazo em 12prestações mensais iguais, vencendo a primeira ummês após a compra. Sabendo-se que a taxa de jurosdo financiamento é de 2% a.m., obtenha o valor daprestação.
– Um terreno é vendido em quatro prestaçõesmensais e iguais a $ 150.000,00 cada uma, sendo aprimeira dada como entrada. Se a taxa dofinanciamento for 4% a.m., qual o preço a vista?
Seqüência Uniforme
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Montante de Seqüência Uniforme
• Chamamos de montante da seqüência, na data n, a soma dos montantes de cada capital R, aplicado desde a data considerada até a data n.
RiRiRSnn
21
11
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Montante de Seqüência Uniforme
• O segundo membro da expressão é a soma dos termos de uma progressão geométrica (PG) finita. Fazendo as manipulações necessárias chegamos a,
i
iRS
n11
Fator de Acumulação de Capital sn|i
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Montante de Seqüência Uniforme
Exemplo:• Um investidor aplica mensalmente $ 2.000,00
em um fundo de investimentos que remunera as aplicações à taxa de juros compostos de 2% a.m. Se o investidor fizer sete aplicações, qual o montante no instante do último depósito?
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Montante de Seqüência Uniforme
Exemplo:• R = 2.000, i = 2% a.m. e n = 7, assim
57,868.14
02,0
102,1000.2
7
S
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Montante de Seqüência Uniforme
Exercícios• Uma pessoa deposita mensalmente, durante
sete meses, $ 3.500,00 em um fundo que remunera seus depósitos à taxa de 2,1% a.m. Qual o montante no instante do último depósito
• Quanto uma pessoa deve depositar mensalmente, durante 15 meses, em um fundo de investimentos que rende 1,8% a.m., para que, no instante do último depósito, tenha um montante de $ 60.000,00
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Seqüência Uniforme Diferida
• Chamamos de seqüência uniforme diferida de m períodos toda seqüência de capitais nas datas (m+1), (m+2), ..., (m+n), em que todas as parcelas são iguais.
• Ocorrem situações como essa em vendas a prazo em que o comprador só começa a pagar após um período de carência.
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Seqüência Uniforme Diferida
Cálculo do Valor Atual (V)• Capital único equivalente à seqüência na data m
• Calculamos o capital V (na data 0) equivalente a Vm
ii
iRV
n
n
m
1
11
m
mm
m
i
VVViV
11
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Seqüência Uniforme Diferida
Exemplo:
• Um terreno é vendido à vista por $ 50.000,00 ou a prazo em seis prestações mensais iguais, vencendo a primeira três meses após a compra. Se a taxa de juros do financiamento for de 2% a.m., qual o valor de cada prestação?
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Seqüência Uniforme Diferida
Exemplo:
91,286.9601431,5020.52
02,002,1
102,1
020.5202,1000.50
6
6
2
2
2
RR
RV
V
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Seqüência Uniforme Diferida
Exercícios:• A venda de uma moto é anunciada em dez prestações
mensais e iguais a $ 2.000,00 cada, vencendo a primeira dois meses após a compra. Qual o preço à vista se a taxa de financiamento for de 3,5% a.m.
• O preço à vista de um carro é de $ 36.000,00. No entanto, há um plano de venda a prazo em que se exige 30% de entrada, financiando o saldo em 24 parcelas mensais iguais, com três meses de carência, isto é, a primeira prestação vence daqui a quatro meses. Sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 5% a.m., qual o valor de cada prestação?
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Seqüência Uniforme com Parcelas Adicionais
• Muitas vezes ocorrem situações de financiamento em que, além da seqüência uniforme de prestações, existem prestações extra (ou de reforço). Nesse caso o valor atual do conjunto é a soma do valor atual da seqüência uniforme com o valor atual das prestações de reforço.
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Seqüência Uniforme com Parcelas Adicionais
Exemplo:• Um terreno é vendido a prazo em 12
prestações mensais de $ 5.000,00 cada uma, postecipadas, mais duas prestações de reforço vencíveis em seis e doze meses após a compra, cada uma $ 20.000,00. Qual o preço à vista se a taxa de juros do financiamento for de 3,2% a.m.
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Seqüência Uniforme com Parcelas Adicionais
Exemplo:
71,441.7983,704.1386,555.1602,181.49
032,1
000.20
032,1
000.20
032,0032,1
1032,1000.5
12612
12
V
V
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Seqüência Uniforme com Parcelas AdicionaisExercícios:• Um financiamento de $ 60.000,00 deve ser pago em
18 prestações mensais iguais postecipadas, mais seis prestações trimestrais postecipadas de $ 5.000,00 cada uma. Determine o valor das prestações mensais, sabendo-se que a taxa de juros do financiamento é de 1,5% a.m.
• Um terreno é vendido à vista por $ 30.000,00. A prazo, o pagamento poderá ser feito em doze prestações mensais sem entrada, sendo cada uma das seis primeiras de valor X e cada uma das seis últimas iguais a 2X. Calcule as prestações para uma taxa de 3,5% a.m.
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