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Lista de Exercícios #9 Ass unto: Anális e de Re gres s ão – Mé todo de Mínimos Quadrados
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1. ANPEC 1991 - Questão 8
A capacidade de produção instalada (Y), em toneladas, de uma firma, pode ser função da potência instalada
(X), em 1000kW, ou da área construída (Z) em 100m2. Dados:
X = 38, Y = 80, Z = 100, X 2 = 182
Y 2 = 736, Z 2
= 1048 XY = 361, YZ = 848 Sendo n = 10, pode-se afirmar que:
(0) Ao fazer uma regressão da capacidade de produção instalada em função da potência instalada (Y =
+ X) obtém-se como estimativas de e , 2,24 e 1,52, respectivamente.
(1) O R2 da regressão em (0) é de 0,90.
(2) Ao fazer uma regressão da capacidade de produção instalada em função da área construída (Y = +
Z) obtém-se como estimativas de e , -2,00 e 1,00, respectivamente.
(3) O R2 da regressão em (2) é de 0,92.
(4) Pode-se dizer que o melhor (porque tem maior correlação) usar a potência instalada (X), do que a área construída (Z) para estimar a capacidade de produção.
2. ANPEC 1991 - Questão 14
O lucro Y de uma empresa em função do tempo, X, tem distribuição normal com média seguindo a estrutura
linear de regressão + X e variância, por pressuposição, constante. Ajustando-se esse modelo por mínimos quadrados a uma série de 5 anos obtiveram-se os somatórios abaixo:
X = 15, Y = 38, X 2 = 55, Y 2
= 362, XY = 141. Pode-se afirmar que, exceto por erro de arredondamento, (0) A estimativa do termo constante é -0,5.
(1) O quadrado do coeficiente de correlação múltipla R 2 é 80%.
(2) A estimativa do coeficiente de X é 1,4. (3) A estimativa da variância do erro estocástico é 0,10. (4) A soma dos quadrados explicada pelo modelo é 85,6.
3. ANPEC 1991 - Questão 15
Ainda em relação à questão anterior pode-se concluir que, exceto por erro de arredondamento:
(0) O erro padrão da estimativa de é igual a 0,77.
(1) O erro padrão da estimativa de é igual a 0,10. (2) A previsão do lucro para X = 10 é 26,5 milhões de cruzeiros. (3) O coeficiente do tempo é altamente significativo produzindo um valor observado da estatística t de
Student de 27. (4) A estatística F de adequação do modelo é 729.
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4. ANPEC 1992 - Questão 13
O custo total, C, de uma indústria e sua produção, X, têm uma relação linear do tipo C X 0 1 . Para se ajustar esse modelo por mínimos quadrados ordinários é preciso assumir certas hipóteses como: (0) A variável independente X seja aleatória. (1) Os erros tenham média zero. (2) A variância dos erros não seja constante. (3) Os erros sigam uma distribuição normal. (4) A variável independente X seja independente do temo erro.
5. ANPEC 1992 - Questão 14
Considere o modelo Y X ui i i , estimado pelo método dos Mínimos Quadrados Ordinários. Pode-se dizer que:
(0) Se o coeficiente estimado for igual a um ( 1), a correlação linear entre X e Y será perfeita. (1) A significância de será testada tanto por meio de teste t quanto do teste F.
(2) Se o R2 estimado for menor que 10%, o modelo deverá ser abandonado.
(3) Se for introduzida mais uma variável explicativa no modelo, o R 2 certamente não diminuirá.
(4) Se o coeficiente estimado for inferior à unidade ( 1), a reta passará pela origem.
6. ANPEC 1993 - Questão 3
Suponha que se tenha usado dados de 12 plantações para estimar a função de produção:
Y = 2,10 + 0,32 X (0,3) (0,08)
em que Y é medido em toneladas de café por hectare de X em centenas de quilo de fertilizante por hectare. O
erro-padrão das estimativas sb0 e sb1 são dados entre parênteses. Pode-se afirmar que: (0) Ao nível de 5% ambas estimativas são significantes.
(1) Se o desvio-padrão da variável X ( sX ) é 1 e o desvio-padrão da variável Y (sY ) é 1 então o coeficiente de correlação entre X e Y, r, é 0,32.
(2) Para fazer a análise de variância dessa regressão precisa-se conhecer apenas a variação explicada pela regressão um vez que os graus de liberdade já são conhecidos.
(3) Se o café custar $15 por tonelada e o fertilizante $3 por 100 quilos, não vale a pena ao fazendeiro usar mais fertilizante para aumentar a produção, pois o custo marginal excede a receita marginal.
(4) Um aumento de 100 quilos de fertilizante provoca um aumento de 2,42 toneladas na produção de café.
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7. ANPEC 1994 - Questão 4
Quanto ao modelo de regressão linear simples da forma
Y a bX ui i i em que
Y representa a produção de parafusos; X a quantidade de trabalho, medida em homens/hora de trabalho; e u a perturbação aleatória; podemos afirmar que:
(0) O valor da variável Y nunca pode ser previsto exatamente devido à presença da perturbação
ocasionada pela variável independente X.
(1) Para cada valor de X i , temos como pressuposto básicos que o correspondente ui tem distribuição normal com média zero.
(2) O pressuposto de homocedasticidade significa que cada perturbação tem a mesma variância cujo valor é desconhecido.
(3) Pelos seus pressupostos básicos, as perturbações ui são não correlacionadas e estatisticamente dependentes.
8. ANPEC 1996 - Questão 15
Suponha que, num modelo de regressão linear simples, o regressor (variável independente) seja
correlacionado com o termo erro. Sobre o estimador de MQO, podemos afirmar:
(0) É, em geral, viesado.
(1) Não é possível de ser obtido.
(2) É não viesado, porém não é eficiente.
(3) É consistente.
9. ANPEC 2000 - Questão 11
Considere o seguinte modelo de regressão linear clássico, relacionando as variáveis quantidade demandada (Q) e preço do produto (P). Admita que as duas variáveis sejam medidas em Reais, e que a estimação será efetuada por MQO (ln é logaritmo natural)
lnQi = 1 + 2 lnPi + ui i = 1,2,..., 100.
É correto afirmar que:
(0) Variando-se o preço em 1%, a quantidade demandada variará 102%, ceteris paribus.
(1) Ignorando-se o termo aleatório, se o preço ultrapassar determinado limite, será possível obter quantidades demandadas negativas.
(2) Se mudarmos as unidades de Q e P para dólares americanos, então a estimativa de 2 na nova equação será igual a sua estimativa obtida na equação em Reais.
(3) Se a variável ln Y (Y = renda) for acrescentada ao modelo o coeficiente R2 desta nova regressão será
maior ou igual ao coeficiente R2 da regressão original.
(4) Se o coeficiente R2 ajustado da regressão com a variável ln Y for maior do que o coeficiente R
2 ajustado
da regressão original, então necessariamente, o coeficiente de ln Y é estatisticamente significante, ao nível de significância de 5%, em um teste bi-lateral.
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10. ANPEC 2001 - Questão 5
Ao testar a significância do coeficiente angular ß de um modelo de regressão linear simples encontrou-se
valor-p = 3x10 3 . Pode-se afirmar que:
(0) O erro tipo II será igual a 3x10 3 .
(1) A probabilidade de o verdadeiro valor do parâmetro encontrar-se no intervalo
ˆ2ˆ S é 99,7%.
(2) O mais baixo nível de significância ao qual a hipótese nula pode ser rejeitada é 3x10 3 .
(3) O coeficiente é significante a 99% de confiança.
(4) A potência do teste é definida por (1 – 0,003).
11. ANPEC 2001 - Questão 9
A partir de uma amostra de n elementos, foi estimada uma regressão linear simples, pelo método de mínimos quadrados, obtendo-se os resultados:
tt XY 1ˆˆˆ 0ˆ
121 KR
A seguir, a mesma regressão foi estimada sabendo-se que a reta de regressão da população passa pela origem das coordenadas (termo constante = 0), obtendo-se os resultados:
tt XY 2ˆˆ
222 KR
Pode-se afirmar que:
(0) ̂ 1 = ̂ 2
(1) ) de padrão (desvio ) de padrão (desvio 12 12 ss
(2) A reta Xˆ2 passa pelo ponto médio da amostra ( Y,X )
(3) (K2 / K1) > 1
(4) A soma dos resíduos de mínimos quadrados de ambas equações estimadas é zero.
12. ANPEC 2005 - Questão 12
Um pesquisador estima o seguinte modelo de regressão simples: iii eXY 10 . Outro pesquisador
estima o mesmo modelo, mas com escalas diferentes para iY e iX . O segundo modelo é:
***
1
*
0
*
iii eXY , em que: ii YwY 1
* , ii XwX 2
* e 1w e 2w são constantes maiores que zero.
(0) Os estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários de 0 e 1 são iguais aos de *
0 e *
1 .
(1) Se 2*̂ é a variância estimada de
*
ie e 2̂ é a variância estimada de ie , então
22
1
2* ˆˆ w .
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(2) As variâncias dos estimadores dos parâmetros do primeiro modelo são maiores do que as variâncias dos estimadores do segundo modelo.
(3) Os coeficientes de determinação são iguais nos dois modelos.
(4) A transformação de escala de (iY ,
iX ) para ( *
iY , *
iX ) não afeta as propriedades dos estimadores de
Mínimos Quadrados Ordinários dos parâmetros.
13. ANPEC 2011 - Questão 05
Considere o seguinte modelo de regressão:
yi = β1+ β2xi + ui, i = 1,...,n
Suponha que xi é não estocástico e que
E[ui] = 0, E[ui²] = σ², E(ui, uj) = 0 para todo i ≠ j
Considere os dois estimadores alternativos de β2:
n
ii
n
iii
x
yxb
1
2
12
e
n
i i
n
i ii
xx
yyxx
1
2
12̂
Onde
n
i
ixnx1
1 e
n
i
iyny1
1 são as médias amostrais de x e y respectivamente.
É correto afirmar que:
Ⓞ b2 em geral é um estimador não viesado de β2.
①2̂ é um estimador não viesado de β2 se e somente se β1 = 0.
②2̂ é mais eficiente do que b2 se β1 = 0.
③ b2 é um estimador não viesado de β2 se, para qualquer amostra de tamanho n, 0x .
④ b2 é um estimador não viesado de β2 se, para qualquer amostra de tamanho n, 0y .
14. ANPEC 2011 - Questão 13
Considere o seguinte modelo de regressão linear clássico em que as variáveis são expressas como desvios em relação às respectivas médias:
yi = αxi + ui, i = 1,...,n e
E[ui] = 0, E[ui²] = σ², E(ui, uj) = 0 para todo i ≠ j Suponha, por simplicidade, que xi é um regressor escalar não estocástico. Propõe-se estimar α através da razão entre as médias amostrais de yi e xi:
Calcule a variância de . Multiplique o resultado por 100. (Sabe-se que σ² = 100, n = 100 e
5/1
nxx
n
i i ).
x
y
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15. ANPEC 2012 - Questão 12 Considere o seguinte modelo de regressão:
yi = β0 + β1x1i + εi
Em que β0 e β1 são parâmetros estimados pelo método dos mínimos quadrados ordinários e εi representa o erro do modelo. Julgue as seguintes afirmativas:
Ⓞ A hipótese de que E[y|x1]=0 assegura que a soma dos resíduos da regressão é igual a zero. ① Nesse modelo, a soma dos quadrados total é igual a soma dos quadrados explicada mais a soma dos
quadrados dos resíduos da regressão.
② A covariância amostral entre a variável independente x1i e os resíduos da regressão é zero se a hipótese de que E[y|x1]=0 for verdadeira.
③ Neste modelo, a covariância amostral entre os valores preditos pela regressão, , e os resíduos da
regressão é sempre igual a zero. ④ Para verificar quão bom é o ajuste da regressão podemos usar o R
2, que é igual ao quadrado do coeficiente
de correlação entre yi o observado e o predito, .
16. ANPEC 2013 - Questão 04
Um pesquisador tem dados de 50 países das seguintes variáveis: N, número médio de jornais comprados durante um ano; Y, PIB per capita medido em dólares. Ele roda a seguinte regressão (desvios padrões entre
parênteses, RSS = soma dos quadrados dos resíduos, F = estatística F para a equação, R² = coeficiente de determinação):
(10,0) (0,010)
Suponha que você rode a mesma regressão com Y medido em reais. Assuma, por simplicidade, que a taxa de câmbio seja dois reais por dólar. É correto afirmar que:
Ⓞ A estimativa do coeficiente de Y permanecerá inalterada.
① A estimativa do intercepto permanecerá inalterada.
② RSS permanecerá inalterado.
③ A estimativa do desvio padrão do coeficiente de Y permanecerá inalterada.
④ R² permanecerá inalterado.
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17. ANPEC 2014 - Questão 01 Neste exemplo, queremos prever o peso do indivíduo i usando somente sua altura,
iii XY 10,
no qual Y é o peso do indivíduo e X a altura. Assumimos que Niii XY
1,
é uma amostra aleatória,
0][ ii XE , 0][ iXVar , ][ 4
iXE , ][0 4
iuE e 2
][ ii XVar . Após coletar a informação de
peso e altura de 100 indivíduos, obtemos a seguinte tabela:
N
i
iY1
N
i
iX1
2
1
N
i
i YY 2
1
N
i
i XX XXYY i
N
i
i 1
18 8 95 1200 4800
Estimando o modelo por Mínimos Quadrados Ordinários, calcule o valor da estimativa obtida para 1̂ .
Multiplique o resultado por 10.
18. ANPEC 2015 - Questão 08
Considere o modelo de regressão abaixo:
Considere os seguintes estimadores de β1:
É correto afirmar que:
Ⓞ é um estimador não tendencioso de ;
① Se é um estimador consistente de ;
② Se não é um estimador consistente de ;
③ é um estimador não tendencioso de ;
④ Se .
19. ANPEC 2015 - Questão 13 O governo gostaria de estimar o efeito do Programa Saúde da Família sobre a taxa de internação por difteria das crianças entre 0 e 4 anos de idade. Para isso, ele gostaria de estimar o seguinte modelo de regressão:
no qual é a taxa de internação do município i, é uma variável binária que é igual a 1, se o município i participa do programa, e 0, caso contrário. Usando os dados para o Brasil em 2013, temos os seguintes
Lista de Exercícios #9 Ass unto: Anális e de Re gres s ão – Mé todo de Mínimos Quadrados
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resultados: . Neste caso, é a média da taxa de internação para os municípios que
participaram do Programa e é a média da taxa de internação para os municípios que não participaram do Programa. Além disso, 70% dos municípios brasileiros participam do Programa Saúde da Família. Você estima o modelo acima por Mínimos Quadrados Ordinários. Qual o valor obtido para o coeficiente associado
a ?
20. ANPEC 2016 - Questão 01
Um economista deseja avaliar o consumo de carne bovina em 2 estados brasileiros: Rio Grande do Sul (RS) e
Rio Grande do Norte (RN). Para tanto, ele seleciona uma amostra de 50.000 unidades de consumo, 35.000
localizadas no Rio Grande do Sul (primeira sub-amostra) e 15.000 no Rio Grande do Norte (segunda sub-
amostra). Inicialmente, o economista preferiu trabalhar com as sub-amostras em separado.
Para as duas sub-amostras ele estima a Curva de Engel para o consumo de carne bovina pelo método de
Mínimos Quadrados Ordinários. Os resultados das regressões estão abaixo, em que os erros-padrão estão
entre parênteses:
[Para a resolução desta questão talvez lhe seja útil saber que se Z tem distribuição normal padrão, então
P(|Z|>1,645)=0,10 e P(|Z|>1,96)=0,05]
(0,25) (0,04)
R² = 0,45 e n=35.000
(0,65) (0,07)
R² = 0,38 e n=15.000
em que ln(consumo) é o logaritmo natural do consumo de carne bovina, em quilogramas, e ln(renda) é o
logaritmo natural da renda total do domicílio, em milhares de reais. Todas as suposições usuais acerca do
modelo de regressão linear clássico são satisfeitas.
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Com base nos resultados acima, e supondo que a amostra é suficientemente grande para que aproximações
assintóticas sejam válidas, é correto afirmar que:
Ⓞ Na equação (1), mantendo os preços constantes, com um aumento de 1% na renda das unidades de
consumo, o consumo de carne bovina terá um aumento esperado de 1,15%;
① De acordo com os resultados das regressões, para um nível de renda igual a R$ 1,00, o consumo de carne
no Rio Grande do Sul será maior do que no Rio Grande do Norte, mantendo todas as demais condições
constantes;
② É possível afirmar, ao nível de significância de 10%, que no Rio Grande do Norte a carne bovina depende
exclusivamente do nível de renda, portanto, não é um bem de primeira necessidade;
③ É possível afirmar, com 1% de significância, que a demanda de carne bovina no estado do Rio Grande do
Sul é superior a do Rio Grande do Norte em 67%, para um nível de renda média igual R$ 1.000,00;
④ O economista decidiu trabalhar apenas com a amostra completa, agregando as informações dos dois
estados e indicando a localização da unidade de consumo por meio de uma variável dummy, nos parâmetros
em que 1 indica o estado do Rio Grande do Sul. Dado um aumento de 1% na renda a diferença média de
consumo de carne bovina entre as unidades localizadas no Rio Grande do Sul e no Rio Grande do Norte será a
diferença entre os dois parâmetros da ln(renda) das equações (1) e (2).
21. ANPEC 2016 - Questão 08
Foram obtidos os seguintes resultados via análise de regressão linear:
com R² =0,50 (5,45) (-9,06)
Na pressa, o pesquisador se esqueceu de incluir a estatística F nos resultados. Este pesquisador precisa verificar se a regressão é significante. Ajude-o, calculando o valor da estatística F do teste a ser empregado. Marque somente a parte inteira.
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22. ANPEC 2017 - Questão 06
Considere o modelo de regressão linear simples:
Para uma amostra de 10 observações são encontrados os seguintes resultados:
Sendo o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários de , calcule o valor da estimativa de
usando os resultados da amostra.
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1. ANPEC 1994 - Questão 15
Em relação ao modelo de regressão múltipla
Y X X X e ii i i k ki i 0 1 1 2 2 12 , , ,
Pode-se afirmar que: (0) O método, dos mínimos quadrados ordinários (MQO), usado para estimar os coeficientes
j j k, , , , 0 1 exige que o erro tenha distribuição normal.
(1) Se adicionarmos um novo regressor X k1 à equação acima então o coeficiente de determinação, R 2
pode ou não aumentar. (2) Os estimadores de MQO dos coeficientes j j k, , , , 0 1 são não viciados (ou não viesados).
(3) Os coeficientes j j k, , , , 0 1 podem ser interpretados como as elasticidades entre os regressores
X j e a variável Y.
2. ANPEC 1995 - Questão 15
Em um modelo clássico de regressão linear múltipla: (0) Uma das hipóteses estabelece que as variáveis explicativas são linearmente independentes. (1) Os testes t e F não são equivalentes. (2) A comparação do poder explicativo de modelos envolvendo número diferente de variáveis
explicativas deve ser feita com base no R 2 ajustado.
(3) Cada uma das variáveis explicativas tem distribuição normal. (4) A variância da variável dependente é igual à variância do termo aleatório.
3. ANPEC 1997 - Questão 15
Uma implementação empírica do modelo de capital humano é feita com a seguinte especificação:
lnY =i 0 1 2 3 XPR XPR Si i i i
2,
onde Yi representa a renda do trabalho do i-ésimo indivíduo, S i
o número total de anos de sua escolaridade,
A i sua idade medida em anos, e, XPR = Ai i Si
, sua experiência de trabalho, medida pela
diferença entre sua idade e o total de anos de escolaridade. Finalmente, i é um distúrbio aleatório do
modelo de regressão associado ao i-ésimo indivíduo de uma amostra de N indivíduos. Pode-se afirmar que: (0) se os erros são independentes e identicamente distribuídos, a razão entre os estimadores de mínimos
quadrados ordinários dos i’s e seus respectivos desvios-padrão têm distribuição assintótica Normal.
(1) o sinal do coeficiente 2 indica a presença de retornos decrescentes ou crescentes à experiência de
trabalho. (2) mesmo em presença de heterocedasticidade na estrutura de erros, o estimador de mínimos quadrados
ordinários é consistente. (3) mesmo em presença de heterocedasticidade na estrutura de erros, o estimador de mínimos quadrados
ordinários é relativamente eficiente.
4. ANPEC 1999 - Questão 5
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Foram encontrados os seguintes resultados para estimar uma regressão linear com duas variáveis explicativas para uma amostra de tamanho 10.
Variáveis preditoras
Coeficiente Desvio padrão
Estatística
“t’
p-valor
Constante 223,3 254,8 0,88 0,410
X1 -1,26 0,8263 -1,52 0,172
X2 -1,03 3,213 -0,32 0,752
R2 = 81,2%; R
2 ajustado = 76,1%; Valor calculado da estatística F=15,1
Podemos afirmar que:
(0) A equação de regressão estimada é , , . , .Y X X 223 3 1 26 1 031 2
.
(1) A um nível de significância de 5% podemos afirmar que a regressão existe. Porém, após elaborarmos os testes de hipóteses para os coeficientes individuais, aceitamos a hipótese (a um nível de significância de
1%) de que o coeficiente para a variável X2 é zero.
(2) O coeficiente de determinação indica que 81,2b% da variação amostral de Y podem ser atribuídos as
variações de X1 e X2.
(3) O valor estimado para Y quando X1 = 15 e X2 = 80 é 220.
(4) Os valores teóricos das estatísticas “t” utilizadas para testar os coeficientes das variáveis explicativas devem ser calculados para 7 graus de liberdade.
5. ANPEC 2002 - Questão 10
É correto afirmar a respeito do modelo de regressão linear clássico multivariado: XY , com n
observações e k > 2 variáveis explicativas, incluindo-se o intercepto. (0) Os coeficientes de inclinação não se alteram quando se modif icam as unidades de medida de Y e X
multiplicando-os por uma constante, por exemplo, transformando-se seus valores de reais para dólares.
(1) Se o modelo for estimado com apenas k-1 variáveis explicativas (mas mantendo o intercepto), os coeficientes estimados poderão ser viesados e inconsistentes.
(2) Quando os coeficientes ’s estimados forem altamente significativos, individualmente, mas a estatística F
e o R2 indicarem que o modelo como um todo tem um baixo poder explicativo, pode-se desconfiar da
presença de multicolinearidade.
(3) Para testar a hipótese conjunta de que 0...32 k , pode-se utilizar o teste
)])(1[(
)1(2
2
)(),1(;knR
kRF knk
, em que R
2 é o coeficiente de determinação do modelo.
(4) Sempre que o modelo tiver pelo menos duas variáveis explicativas além do intercepto, o R2 será maior ou
igual ao R2 ajustado.
Lista de Exercícios #9 Ass unto: Anális e de Re gres s ão – Mé todo de Mínimos Quadrados
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6. ANPEC 2003 - Questão 6
Considere o modelo de regressão linear múltipla para dados seccionais
.,,1,22110 niuxxxy ikikiii
É correto afirmar que: (0) para que os estimadores de mínimos quadrados sejam os melhores estimadores lineares não-tendeciosos é
necessário que os erros sejam normalmente distribuídos;
(1) a hipótese que nixxxuVar kiiii ,,1,),,,|( 2
21 , não é necessária para que os estimadores de
mínimos quadrados sejam consistentes;
(2) a inclusão de uma nova variável explicativa no modelo reduzirá o coeficiente de determinação R2 ;
(3) para que as estatísticas t e F sejam válidas assintoticamente é necessário que os erros sejam normalmente distribuídos;
(4) se nixxCov ii ,,1,0),( 31 os estimadores de mínimos quadrados ordinários da regressão
niuxxxy ikikiii ,,1,22110 , serão tendenciosos.
7. ANPEC 2003 - Questão 7
O método dos mínimos quadrados ordinários foi empregado para estimar o modelo de regressão abaixo, cujo objetivo é explicar as variações de renda entre 526 indivíduos:
,526,441,0
,00058,0029,0080,0297,0417,0)log(
2
2
)00010,0()005,0()007,0()036,0()099,0(
nR
uexperexpereducsexorenda
em que
sexo é uma variável dicotômica (valor 1, se for homem e 0, caso contrário), educ é o número de anos de escolaridade, exper é experiência profissional, também medida em anos. Os números entre parênteses
são os erros-padrão das estimativas )4.,,.,..1,0( isib .
Com base nos resultados acima, é correto afirmar:
(0) a regressão não é estatisticamente significante pois o coeficiente de determinação é menor do que 0,5;
(1) a diferença de renda entre homens e mulheres não é estatisticamente significante;
(2) um ano a mais de escolaridade, mantidos constantes todos os demais fatores, aumenta em 0,08% a renda
de um indivíduo do sexo feminino;
(3) a significância conjunta das variáveis educ e exper não pode ser medida por meio da estatística t. Para
isto, o teste F deve ser utilizado;
(4) o modelo é incapaz de captar diferenças nos retornos da educação entre homens e mulheres.
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8. ANPEC 2004 - Questão 11
Considere o modelo de regressão linear múltipla para dados seccionais:
.,,1,22110 niuxxxy ikikiii
É correto afirmar que:
(0) Para que os estimadores de mínimos quadrados sejam lineares não-tendeciosos de menor variância (BLUE) é necessário que os erros sejam homocedásticos.
(1) A hipótese que nixxxuVar kiiii ,,1,),,,|( 2
21 , é necessária para que os estimadores de
mínimos quadrados sejam não-tendenciosos.
(2) As estatísticas t e F continuam válidas assintoticamente mesmo que os erros da regressão sejam heterocedásticos.
(3) Se nixxCov ii ,,1,0),( 31 , os estimadores de mínimos quadrados ordinários da regressão
niuxxxxy ikikiiii ,,1,4422110 , serão consistentes.
(4) Se nixxCov ii ,,1,0),( 31 os estimadores de mínimos quadrados ordinários da regressão
niuxxxxy ikikiiii ,,1,4422110 , serão consistentes.
9. ANPEC 2004 - Questão 14
Um pesquisador estimou uma regressão múltipla com 5 variáveis independentes e n = 56, mas na pressa, não imprimiu os resultados e anotou apenas o valor do R
2 = 0,90, o coeficiente de determinação. Este pesquisador
precisa verificar se a regressão é significante. Ajude-o, calculando o valor da estatística do teste a ser empregado.
10. ANPEC 2005 - Questão 14
Considere o seguinte modelo para a população: Y = 2 + 4X – 5Z + u, em que u é o termo aleatório e
0)(),|( uEZXuE . A partir de uma amostra de n indivíduos, estimaram-se os parâmetros deste
modelo, tendo, todavia, sido omitida a variável Z. Ou seja, o modelo estimado foi: ii XY 10ˆˆˆ . Suponha
ainda que, para amostra em questão, tenham sido obtidos os seguintes resultados:
7,0
)(
))((
1
2
1
n
i
i
n
i
ii
XX
XXZZ
, em que
n
i
iXn
X1
1 e
n
i
iZn
Z1
1.
Calcule XE |ˆ1 . Multiplique o resultado por 10.
Lista de Exercícios #9 Ass unto: Anális e de Re gres s ão – Mé todo de Mínimos Quadrados
5
11. ANPEC 2006 - Questão 9
O método dos mínimos quadrados ordinários foi empregado para estimar o modelo de regressão abaixo, cujo objetivo é explicar as variações de renda entre 526 indivíduos de uma amostra aleatória:
ln(renda) = 0,362+ 0,094 educ + 0,014 exper – 0,178 sexo – 0,010 exper x sexo + u (0,128) (0,008) (0,002) (0,058) (0,002)
R2 = 0,368 n = 526
em que sexo é uma variável dicotômica (valor 1, se for mulher e 0, caso contrário), educ é o número de anos de escolaridade (0 ≤ educ ≤ 17), exper são anos de experiência profissional (0 ≤ exper ≤ 40) e u é a estimativa do erro. Os números entre parênteses são os erros-padrão das estimativas, robustos à heterocedasticidade.
Com base nos resultados acima, é correto afirmar: (0) Ao nível de significância de 5%, o efeito de um ano a mais de experiência profissional para indivíduos
do sexo masculino é estatisticamente maior do que o efeito para mulheres. (1) Para um indivíduo com 10 anos de escolaridade, 1 ano adicional de estudo acarreta um aumento da renda
de aproximadamente 9%. (2) O efeito na renda de um aumento de 1 ano na experiência profissional para as mulheres é 1% menor do
que para os homens. (3) Pela inspeção dos resultados da estimação fica claro que os erros do modelo são heterocedásticos. (4) Se a um nível de significância de 5%, o valor crítico do teste F para a regressão for 2,37, os coeficientes
angulares serão conjuntamente diferentes de zero.
12. ANPEC 2007 - Questão 8
Julgue as afirmativas:
Ⓞ Heterocedasticidade ocorre quando o erro aleatório em um modelo de regressão é correlacionado com uma das variáveis explicativas.
① Quando o erro aleatório em um modelo de regressão é correlacionado com alguma variável explicativa, os estimadores de mínimos quadrados não são consistentes.
② Na presença de heterocedasticidade, estimadores de mínimos quadrados ordinários são ineficientes.
③ Os testes t e F usuais não são válidos na presença de heterocedasticidade.
④ Na presença de heterocedasticidade, estimadores de mínimos quadrados ordinários são não viesados, mas são inconsistentes.
13. ANPEC 2007 - Questão 15
A regressão abaixo foi estimada com o objetivo de explicar a diferença de salários entre homens e mulheres. As seguintes variáveis foram utilizadas:
sal = salário médio por hora, em Reais; homecas = 1 se homem e casado; = 0, caso contrário; mulhcas = 1 se mulher e casada; = 0, caso contrário; mulhsol = 1 se mulher e solteira; = 0, caso contrário; edu = número de anos de educação formal; exper = número de anos de experiência profissional; empre = número de anos com o atual empregador.
Lista de Exercícios #9 Ass unto: Anális e de Re gres s ão – Mé todo de Mínimos Quadrados
6
Entre parênteses, encontram-se os erros-padrão calculados por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO).
sal) (̂log = 0,300+0,200homecas – 0,200mulhcas – 0,100mulhsol + 0,0800edu + 0,0200exper + 0,0300empre
(0,100) (0,055) (0,050) (0,050) (0,006) (0,005) (0,006) Suponha que um indivíduo do sexo masculino, com 15 anos de experiência profissional, se case. Ceteris paribus, qual a variação percentual esperada no seu salário dois anos após seu casamento em relação ao seu salário de solteiro? Suponha que o número de anos de educação formal do indivíduo não se tenha alterado e que ele não tenha trocado de emprego.
14. ANPEC 2008 - Questão 6
Um econometrista estimou o seguinte modelo de regressão para explicar a renda de 526 indivíduos:
log(renda) = 0,510 − 0,310 genero + 0,080 educ + 0,030 exper − 0,001 exper2 + u ,
(0,099) (0,036) (0,03) (0,005) 0,00010) R
2 = 0,441, n = 526
em que
genero é uma variável dicotômica ( = 1 se mulher, = 0, caso contrário), educ é o número de anos gastos com educação, exper é a experiência profissional do indivíduo, medida em anos. Os desvios padrões dos coeficientes estão entre parênteses.
Com base nesses resultados, julgue as afirmativas:
Ⓞ O efeito de um ano a mais de experiência profissional na renda média de um indivíduo do sexo masculino é, 0,030 unidades monetárias.
① As mulheres recebem salários 31% mais baixos que os dos homens, em média. ② De acordo com o modelo estimado e, a hipótese de que o efeito médio de um ano a mais de educação na
renda dos indivíduos seja diferente de 10% é rejeitada ao nível de significância de 5%.
③ Se V(u|genero, educ, exper) = a2 + b
2educ, então os estimadores de mínimos quadrados são tendenciosos.
Nota: V(u|X) é a variância de u condicionada a X, a e b são parâmetros.
④ Em uma regressão do resíduo u em função de educação e gênero, o R2 será zero.
15. ANPEC 2008 - Questão 7
Considere a regressão múltipla: y = β0 + β1x1+ β2x2+ β3x3 + u
cujos parâmetros tenham sido estimados pelo método dos mínimos quadrados ordinários. Julgue as afirmativas:
Ⓞ Se E(u| x1, x2, x3)=0 e o modelo não é perfeitamente colinear, então os estimadores não são viesados. ① Se o R
2 = 1, então y é uma combinação linear de x1, x2 e x3.
② O R2 ajustado aumenta ao se incluir uma variável adicional, caso tal variável seja significativa ao nível de
5%.
③ Se o modelo satisfaz as hipóteses do teorema de Gauss-Markov, então 1̂ é o estimador linear não
viesado de β1 com menor variância possível.
④ Se omitirmos x3 da regressão, os estimadores de β0, β1 e β2 podem ser viesados.
Lista de Exercícios #9 Ass unto: Anális e de Re gres s ão – Mé todo de Mínimos Quadrados
7
16. ANPEC 2009 - Questão 11 Suponha que o modelo linear abaixo descreva as relações entre quatro variáveis aleatórias escalares: y, X, Z e
.
2 Equação0||,|,
1 Equação,|
10
210
EXEZEXZEZX
ZXZXyE
Suponha ainda que 0e0,0,0,0 10210 .
Indique se cada umas das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa:
(0) ZZyE 20| .
(1) Seja uZXy 210 . Então 0,| ZXuE .
(2) ZZXE 10| .
(3) Seja Zy 10, em que
0100 e 2111 . Portanto, 0| ZE .
(4) Considere uma amostra de n observações das variáveis aleatórias y, X e Z. O estimador
2
1
1
n
i
i
n
i
ii
ZZ
ZZy
T é um estimador não-tendencioso para o parâmetro2111 .
17. ANPEC 2009 - Questão 14 O método dos mínimos quadrados ordinários foi empregado para estimar o modelo de regressão abaixo cujo objetivo é explicar as variações de renda entre 487 indivíduos:
487458,0
002,0002,00003,0059,0073,0
ˆexp009,0exp01,0004,0169,0883,0log
2
nR
ugeneroerereducgenerorenda
em que gênero é uma variável dicotômica (valor 1 se for mulher e 0 caso contrário), educ é o número de anos de escolaridade e exper é a experiência profissional também medida em anos. Os números entre parênteses são os erro-padrão das estimativas. Com base nos resultados acima, é correto afirmar: (0) A 5%, o efeito de uma ano a mais de escolaridade para os indivíduos do sexo masculino é
estatisticamente maior do que o efeito para as mulheres. (1) O efeito na renda de um ano a mais de experiência profissional para as mulheres é 0,9% menor do que
para os homens. (2) O modelo acima não pode ser estimado por mínimos quadrados, pois há uma interação entre as variáveis
exper e gênero. (3) Para um mesmo nível de escolaridade e experiência profissional, a renda média dos homens é superior a
das mulheres. (4) Para um individuo com 10 anos de escolaridade, 1 ano adicional de estudo acarreta um aumento da renda
de aproximadamente 14%.
18. ANPEC 2011 - Questão 10
Lista de Exercícios #9 Ass unto: Anális e de Re gres s ão – Mé todo de Mínimos Quadrados
8
[Para a resolução desta questão talvez lhe seja útil saber que se Z tem distribuição normal padrão, então Pr(|Z|>1,645)=0,10 e Pr(|Z|>1,96)=0,05.] Considere as seguintes estimativas obtidas pelo método de mínimos quadrados ordinários para o modelo de regressão abaixo (desvios-padrões entre parênteses):
ln(salário) = 0,600+ 0,175sindicato + 0,090sexo+0,080educ+0,030 exper – 0,003 exper2+ ûi
(0,201) (0,100) (0,050) (0,032) (0,009) (0,001)
R2 = 0,36
em que educ e exper denotam, respectivamente, o número de anos de estudo e o número de anos de experiência profissional, sindicato é uma variável dummy que assume o valor 1 se o trabalhador for sindicalizado e 0 caso contrário e sexo é uma variável dummy igual a 1 se o trabalhador for do sexo masculino e igual a 0 se for do sexo feminino. O resíduo da regressão é o termo ûi. Todas as suposições usuais acerca do modelo de regressão linear clássico são satisfeitas.
É correto afirmar que:
Ⓞ Supondo que o tamanho da amostra seja grande o suficiente para que aproximações assintóticas sejam válidas, é possível rejeitar, ao nível de significância de 5%, a hipótese nula de que os salários de trabalhadores sindicalizados e não sindicalizados são iguais. A hipótese alternativa é que os trabalhadores sindicalizados ganham mais do que os não sindicalizados.
① Supondo que o tamanho da amostra seja grande o suficiente para que aproximações assintóticas sejam válidas, é possível rejeitar, ao nível de significância de 5%, a hipótese nula de que os salários de homens e mulheres são iguais. A hipótese alternativa é que os salários de homens e mulheres são diferentes.
② Um ano adicional de experiência eleva o salário em 3,00%. ③ Se incluirmos um regressor adicional entre as variáveis explicativas, o R² não diminuirá. ④ Supondo que os erros tenham distribuição normal e que o tamanho da amostra seja 206, é possível
rejeitar, ao nível de significância de 5%, a hipótese de que os coeficientes da regressão, com exceção do intercepto, são simultaneamente iguais a zero (F0,95; 5, 200 = 2.2592).
19. ANPEC 2012 - Questão 3 Usando uma base de dados que têm informação de 65.535 trabalhadores, queremos verificar se existe desigualdade salarial entre os setores da economia. Consideremos que a economia está dividida em 4 setores: indústria, comércio, serviços e construção. Cada um dos trabalhadores está em um dos quatro setores e eles são mutuamente exclusivos. Seja Yi o salário mensal do trabalhador i e definimos para cada setor uma variável binária que é igual a 1 se o trabalhador está em determinado setor e 0 caso contrário. Estimando um modelo linear de regressão, obtemos o seguinte resultado:
= 4,0 + 0,12educi + 0,03idadei + 0,40homemi -0,05DIi - 0,15DCi – 0,25Dconsi
(0,02) (0,008) (0,0001) (0,0005) (0,001) (0,003) (0,005)
R2 = 0,83
em que
educ representa o número de anos de estudos de cada trabalhador, idade é medida em anos, homem é uma variável binária que assume valor igual a 1 se i é homem e 0 caso contrário, DI representa a
Lista de Exercícios #9 Ass unto: Anális e de Re gres s ão – Mé todo de Mínimos Quadrados
9
dummy para indústria, DC para o comércio e DCons para o setor de construção. Entre parênteses encontra-se o erro padrão.
Baseado nas informações acima julgue as seguintes afirmativas: [Para a resolução desta questão talvez lhe seja útil saber que se Z tem distribuição normal padrão, então Pr(|Z|>1,645) = 0,10 e Pr(|Z|>1,96) = 0,05.]
Ⓞ Com base nos resultados acima, é possível rejeitar ao nível de 5% de significância a hipótese nula de que o salário do setor da indústria é igual ao salário do setor de serviços para trabalhadores com o mesmo nível educacional, a mesma idade e do mesmo sexo. A hipótese alternativa é que os salários nestes setores sejam diferentes.
① Com base nos resultados acima, é possível rejeitar ao nível de 5% de significância a hipótese nula de que o salário no setor de construção é igual ao salário no setor de comércio, mantendo educação, idade e sexo fixos. A hipótese alternativa é que os salários nestes setores sejam diferentes.
② Com base nos resultados acima, é possível rejeitar ao nível de 5% de significância a hipótese nula de que o salário nos 4 setores da economia são iguais, mantendo constante educação, idade e sexo.
③ Os resultados do modelo acima permitem testar a hipótese de que o retorno salarial entre homem e mulher é diferente para cada nível educacional, ao nível de 5% de significância.
④ Com base nos resultados acima, podemos testar a hipótese de que o intercepto do modelo linear de salário em função da educação, idade e setor para homem é diferente do intercepto do mesmo modelo linear de salário para mulher.
20. ANPEC 2012 - Questão 11 Suponha que um pesquisador esteja interessado em investigar os determinantes da delinquência juvenil e tenha acesso aos seguintes dados provenientes de 100 cidades de um dado país: A, o número de internações por 1000 adolescentes; P, o número de residências por 1000 domicílios na cidade com renda abaixo da linha da pobreza; S, o número de residências por 1000 domicílios na cidade com apenas um dos pais. O pesquisador estima a seguinte regressão:
A = β1 + β2P + β3S + u em que
u é um termo de erro que satisfaz todas as hipóteses usuais do modelo de regressão. A correlação populacional entre P e S é 0,96.
Julgue as seguintes afirmativas:
Ⓞ A alta correlação populacional entre P e S dará origem ao problema conhecido como multicolineariedade. ① Multicolineariedade não torna viesados os estimadores de mínimos quadrados ordinários dos coeficientes,
mas faz com que eles sejam inconsistentes.
② As estimativas dos desvios padrões serão viesadas e provavelmente subestimarão os valores verdadeiros. ③ Na presença de multicolineariedade, os testes t e F não são válidos. ④ Se ao invés de uma alta correlação populacional entre P e S, houvesse uma alta correlação populacional
entre A e P ou entre A e S, o problema de multicolineariedade seria ainda pior.
21. ANPEC 2013 - Questão 15
Lista de Exercícios #9 Ass unto: Anális e de Re gres s ão – Mé todo de Mínimos Quadrados
10
Usando uma base de dados que contém informação sobre 437 firmas, estimamos uma função de produção Cobb-Douglas:
(0,003) (0,035) (0,023)
em que
denota o produto (em logaritmo), representa o insumo trabalho (em logaritmo) e , o insumo capital (em logaritmo).
Os números entre parênteses representam o erro-padrão associado a cada coeficiente. Baseado no resultado acima, julgue as afirmativas:
Ⓞ Considerando que o tamanho da amostra é grande o suficiente para que aproximações assintóticas sejam válidas, é possível rejeitar a hipótese de que o retorno marginal do insumo capital, mantendo o insumo trabalho constante, é igual a zero ao nível de significância de 5%. [Nesta questão, pode ser útil saber que a 5% de significância a estatística é t = 1,645].
① Mantendo o capital em dado nível, um aumento de 10 para 11 unidades de trabalho causa um aumento no produto de 0,99 + 0,64 = 163.
② Com base nas informações acima, podemos testar a hipótese de retornos constantes de escala, isto é, a hipótese nula de que
③ Com base nos dados acima, construímos um intervalo de 95% de confiança para , [0,41, 0,495].
Supondo que o tamanho da amostra seja grande o suficiente para que aproximações assintóticas sejam
válidas, com base neste intervalo, podemos rejeitar a hipótese nula de
ao nível de significância de
5%.
④ Suponha que estimamos uma nova função de produção que relaciona o produto com capital, trabalho e
uma medida das condições climáticas enfrentadas por cada firma. Podemos afirmar que R² deste modelo será maior que 0,91.
22. ANPEC 2014 - Questão 04
Usando dados de uma amostra aleatória da população com 80.000 indivíduos, é estimada uma
regressão pelo método de Mínimos Quadrados Ordinários. Os resultados dessa regressão são mostrados abaixo, em que os erros-padrão são mostrados entre parênteses:
[Para a resolução desta questão talvez lhe seja útil saber que se Z tem distribuição normal padrão, então P(|Z|>1,645)=0,10 e P(|Z|>1,96)=0,05]
ln(salário) = 0,30+ 0,10 escol + 0,03 idade - 0,15 mulher – 0,05(mulher x escol)
(0,10) (0,04) (0,01) (0,03) (0,05) R
2 = 0,45 e n=80.000,
em que escol representa o número de anos de estudo, idade é a idade do indivíduo em anos e mulher é uma variável dummy igual a 1 se o trabalhador for do sexo feminino e igual a 0 se for do sexo
Lista de Exercícios #9 Ass unto: Anális e de Re gres s ão – Mé todo de Mínimos Quadrados
11
masculino. Todas as suposições usuais acerca do modelo de regressão linear clássico são satisfeitas.
Com base nos resultados acima, e supondo que a amostra é suficientemente grande para que aproximações assintóticas sejam válidas, é correto afirmar que:
Ⓞ É possível rejeitar, ao nível de significância de 10%, a hipótese nula de que o coeficiente associado a variável escol é igual a zero. A hipótese alternativa é a de que o coeficiente
associado a variável escol é diferente de zero;
① A média dos salários dos homens é maior do que a média dos salários das mulheres;
② Cada ano adicional de escolaridade deve elevar os salários em 10%;
③ O coeficiente de interação (mulher x escol) é significante (hipótese alternativa de que é diferente de zero) ao nível de 10%;
④ É possível rejeitar, ao nível de significância de 5%, a hipótese nula de que o coeficiente
associado a variável idade é igual a zero. A hipótese alternativa é que o coeficiente associado a variável idade é maior do que zero.
23. ANPEC 2014 - Questão 06
Suponha que queremos estimar como a renda de um indivíduo varia ao longo do ciclo de vida.
Queremos testar a teoria de que a renda do indivíduo cresce a partir do momento que ele entra no
mercado de trabalho até uma idade média, e depois começa a decrescer até o final do ciclo de vida.
Usando dados de uma pesquisa anual para 14.368 trabalhadores, estimamos o seguinte modelo:
iiiiii XXXXY 2
143322110 ,
em que
iY é o logaritmo da renda mensal do indivíduo i, iX1 é a idade do indivíduo i, iX 2 é uma
variável binária que é igual 1 se o indivíduo é homem e iX3 representa o número de anos de
estudo do indivíduo i.
Estimando o modelo por Mínimos Quadrados Ordinários, obtemos o seguinte resultado, em que os valores em
parênteses abaixo dos coeficientes representam os erros-padrão: [Para a resolução desta questão talvez lhe
seja útil saber que se Z tem distribuição normal padrão, então P(|Z|>1,645)=0,10 e P(|Z|>1,96)=0,05]
2
1)0009,0(
3)08,0(
2)46,0(
1)08,0()67,1(
06,010,155,945,066,49ˆiiiii XXXXY .
Ⓞ Se a teoria descrita acima é verdadeira, esperamos que o sinal de 1 seja positivo e o sinal de 4
negativo;
① Neste modelo, o intercepto do modelo para homens é 0 + 2 , e o do modelo para mulheres é somente
0 ;
Lista de Exercícios #9 Ass unto: Anális e de Re gres s ão – Mé todo de Mínimos Quadrados
12
② O resultado indica que, mantendo tudo mais constante, o aumento de 1 ano da idade do indivíduo aumenta a sua renda em 45%;
③ Temos evidência de que a equação de salários dos homens apresenta um intercepto diferente do modelo para mulheres;
④ Com os resultados do modelo, podemos afirmar que idade e educação têm um efeito conjunto significativo no logaritmo do salário, isto é, temos evidência para rejeitar a hipótese nula
0,0: 320 H .
24. ANPEC 2015 - Questão 09
Julgue as seguintes afirmativas:
Ⓞ Colinearidade quase perfeita na matriz de variáveis explicativas causa um viés no estimador de Mínimos Quadrados Ordinários;
① Colinearidade quase perfeita na matriz de variáveis explicativas causa um viés no estimador da variância do estimador de Mínimos Quadrados Ordinários;
② Colinearidade quase perfeita na matriz de variáveis explicativas gera uma perda da propriedade de eficiência do estimador de Mínimos Quadrados Ordinários;
③ Colinearidade quase perfeita faz com que o erro-padrão de algumas estimativas dos coeficientes de Mínimos Quadrados Ordinários seja grande;
④ Colinearidade quase perfeita faz com que o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários deixe de ser linear.
25. ANPEC 2016 - Questão 10
Considere as seguintes afirmativas sobre os estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários em um modelo de
regressão múltipla:
Ⓞ A presença de colinearidade imperfeita entre as variáveis explicativas gera estimadores viesados;
① Se a hipótese de homoscedasticidade for violada, os estimadores de MQO serão viesados;
② Assuma que todas as suposições de Gauss Markov foram satisfeitas, então os estimadores de MQO serão
os melhores estimadores na classe dos lineares;
③ Se o valor esperado dos erros estimados do modelo for diferente de zero, então os estimadores de todos os
parâmetros, inclusive o intercepto, não serão viesados;
Lista de Exercícios #9 Ass unto: Anális e de Re gres s ão – Mé todo de Mínimos Quadrados
13
④ As estimativas de modelos cross-section com a presença de correlação serial geram estimadores viesados.
26. ANPEC 2017 - Questão 5 Considere o modelo de regressão linear:
Com base nesse modelo, é correto afirmar:
Ⓞ A hipótese não é necessária para que o estimador de Mínimos
Quadrados Ordinários (MQO) de seja consistente.
① Se , o estimador de MQO de tem distribuição normal.
② Se , o estimador de MQO de é tendencioso.
③ Se a correlação entre e é igual a 0,95, o estimador de MQO de não é
eficiente.
④ Suponha que os parâmetros do modelo tenham sido estimados por MQO. Se
, a estatística t não é válida para testar a significância dos
parâmetros do modelo.
Lista de Exercícios #9 Ass unto: Anális e de Re gres s ão – Mé todo de Mínimos Quadrados
1. ANPEC 1993 - Questão 7
Considerando o modelo de regressão múltipla
Y X X Xj j j k kj j 0 1 1 2 2
pode-se afirmar que: (0) A análise de variância da regressão testa se todos os coeficientes estimados da regressão
( j) são significantes simultaneamente.
(1) O vetor de soluções para os parâmetros j é expresso por ( ' ) ' X X X Y1
.
(2) Para estimar os parâmetros j da regressão é necessário que as variáveis explicativas
sejam independentes entre si.
(3) O coeficiente de determinação múltipla corrigido para graus de liberdade ( R 2) pode ser
negativo.
2. ANPEC 1997 - Questão 14
Considere o seguinte modelo de regressão, em forma matricial, com T observações amostrais e k regressores (X):
T T k k T
y X
1 1 1
,
(0) com regressores não-estocásticos, o estimador de mínimos quadrados ordinários de é uma
função linear das observações amostrais.
(1) o estimador de máxima verossimilhança de requer o pressuposto de média zero e de
variância finita na estrutura de erros, dispensando a especificação de uma distribuição paramétrica da mesma.
(2) o estimador de máxima verossimilhança de é enviesado mas consistente.
(3) os estimadores de mínimos quadrados ordinários de e de máxima verossimilhança de
coincidem quando os erros são independentes e identicamente distribuídos com distribuição Normal.
(4) caso tenha distribuição multivariada Normal, com média zero, e matriz de covariância
dada por 2 IT, o estimador de máxima verossimilhança de 2
é viesado para amostras
finitas.
3. ANPEC 1999 - Questão 4
Seja o seguinte modelo de regressão linear múltipla na forma matricial:
Y X . ,
onde as dimensões das matrizes e dos vetores envolvidos são: Y => (n 1); X => (n k);
=> (k 1); e => (n 1).
Então, podemos fazer as seguintes afirmações:
(0) Um dos pressupostos básicos do modelo é: Os elementos da matriz X são estocásticos com
valores fixados em amostras repetidas.
Lista de Exercícios #9 Ass unto: Anális e de Re gres s ão – Mé todo de Mínimos Quadrados
(1) Outro pressuposto básico é: nenhuma das variáveis independentes deve estar perfeitamente
correlacionada com qualquer outra variável independente ou com qualquer combinação
linear de outras variáveis independentes.
(2) As equações normais de mínimos quadrados para o modelo dado podem ser apresentadas em
notação matricial como ( ' ) ( ' ) X Y X X e a solução para será
( ' ) ( ' ) X X X Y
1.
(3) Quando testamos a existência do modelo de regressão, fazemos as seguintes hipóteses sobre
os coeficientes da regressão (admitindo que 1
0 , ou seja, a regressão não passa pela
origem):
Hipótese nula => H0: 2 3
0 ...k
Hipótese alternativa => H1: Todos os i 0 , para i = 2, 3,…, k.
(4) Os intervalos de confiança dos coeficientes da regressão podem ser calculados da seguinte
maneira:
( . ; . ) i n k i n k
t s t si i
onde
i = estimativa do coeficiente i; tn k = abcissa de uma distribuição “t” com (n -
k) graus de liberdade, fixado o grau de confiança de intervalo; e si
= erro padrão estimado
de
i .
4. ANPEC 2010 - Questão 13 Considere a regressão
y = Xβ + Suponha que tenhamos uma amostra de tamanho 4 e que
;
e
.
Compute a estimativa eficiente de β.
5. ANPEC 2011 - Questão 14
Considere a seguinte regressão
y = Xβ +
em que y, X e são vetores de dimensão nx1 e β é um escalar. Adicionalmente, suponha que
E( |X) = 0 e que
Lista de Exercícios #9 Ass unto: Anális e de Re gres s ão – Mé todo de Mínimos Quadrados
0
0
5
7
0
1
1
1
1
1
,
80000
06000
00400
00030
00001
|' yeXXE
Compute a variância condicional em X do estimador de mínimos quadrados ordinários de β. Multiplique o resultado por 100.
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