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Dinâmica Estocástica

Instituto de Física, outubro de 2016

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 1

2

Dinâmicas estocásticas para o modelos definidos em redes

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

Sistema definido em um reticulado em um espaço de d dimensões

i variável estocástica associada ao sítio i -> assume 2 valores

Exemplo: rede quadrada (d=2) em que cada sítio pode estar em 2 estados

Rede tem N sítios

i

Cada sítio pode estar em um número de 2 de estados

Valor assumido por fornece o estado do sítio i

Estado do sistema )...,,...,,,( 21 Ni

i=1, 2, ..., N

1i

i

1

1

3

1i

Dinâmicas estocásticas em redes com mudança de um único sítio

1( ,...., ,...., )i N

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

)...,,...,,,(' 21 Ni

' Transição com mudança de um único sítio e

O sítio i mudou do estado para o estado ii

Todos os outros sítios permaneceram no mesmo estado

Equação mestra para dinâmicas em rede com mudança de um único sítio

)...,,...,,( 1 Ni )...,,...,,( 1 Ni

i

)()()()(),(1

PwPwtPdt

di

ii

i

N

i

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 4

1iCaso:

Obtida na aula

passada

Equação Mestra

)(iw = taxa de transição por sítio

5

Regime estacionário

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

0)()()()(1

PwPw i

ii

i

N

i

)(P distribuição de probabilidades estacionária

0/ dtdP

6

Balanceamento detalhado

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

0)()()()( PwPw i

ii

ipara qualquer par

),( i

Condição de balanceamento detalhado

)(P é a probabilidade de equilíbrio associada ao estado

Se BDé obedecida

(BD)

7

Balanceamento detalhado

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

)(

)(

)(

)(i

i

i

i

P

P

w

w

para qualquer par ),( i

Condição de balanceamento detalhado

)(P é a probabilidade de equilíbrio associada ao estado

(BD)

)...,,...,,( 1 Ni )...,,...,,( 1 Ni

i

Dinâmica de Metropolis para o modelo de Ising

Dinâmica de Glauber para o modelo de Ising

Dinâmicas com mudança de um único sítio e algoritmo de Metropolis

Duas das dinâmicas famosas que levam o modelo para o estado estacionário (que é de equilíbrio) são:

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 8

Dinâmica de Metropolis

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 9

O algoritmo de Metropolis foi apresentado em 1953 em artigo de Nicholas Metropolis,Arianna Rosenbluth, Marshal Rosenbluth, Augusta Teller e Edward Teller [1].

[1] N. Metropolis, A. Rosenbluth, M. Rosenbluth, A. Teller, E. Teller, Equation of StateCalculations by Fast Computing Machines, Journal of Chemical Physics 21, 1087 (1953)

Algoritmo de Metropolis

Método de Monte Carlo – Algoritmo de Metropolis

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 10

11

Taxa de transição por sítio - Dinâmica de Metropolis

Algoritmo de Metropolis

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

)exp(,1min)( Ewi )()( EEE i

)...,,...,,( 1 Ni )...,,...,,( 1 Ni

i

)(iw

)exp( E

0E

0E

se

se

i

Taxa de transição por sítio

12

Dinâmica de Metropolis estado estacionário possui balanceamento detalhado -> demonstração a seguir

Dinâmica de Metropolis & Balanceamento detalhado

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

)()( EE i ))()((exp[)( EEw i

i

)( i

iw

i

Nesse caso, na transição inversa a energia diminui i

)()( iEE

i

Seja )()( EE i

13

Dinâmica de Metropolis & Balanceamento detalhado

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

))]()((exp[)(

)(

EEw

wi

i

i

i

Se )()( iEE

))()((exp[)( EEw i

i

)( i

iw

A razão entre as taxas de transição é:

i

i

))()(exp(

1iEE

14

Dinâmica de Metropolis & Balanceamento detalhado

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

)(

)(

w

w i

i

A razão entre as taxas de transição é:

))()(exp(

1iEE ))(exp())(exp(

1

EE i

)(

)(

w

w i

i

))(exp(

))(exp(iE

E

15

Dinâmica de Metropolis & Balanceamento detalhado

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

Mas,

Z

EP

))(exp()(

Z

EP

ii ))(exp()(

distribuição de probabilidades de Gibbs associada ao estado

distribuição de probabilidades de Gibbs associada ao estado i

Z é a função de partição

Portanto,

))(exp(

))(exp(

)(

)(ii E

E

P

P

16

Dinâmica de Metropolisestado estacionário possuibalanceamento detalhado –demonstração finalizada.

Dinâmica de Metropolis & Balanceamento detalhado

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

)(

)(

w

w i

i

))(exp(

))(exp(iE

E

))(exp(

))(exp(

)(

)(ii E

E

P

P

)(

)(

w

w i

i

)(

)(iP

P

Modelo de Ising & Dinâmica de Metropolis

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 17

Energia de um estado

i

i

ij

ji HJE )(

)(

1i

i =1, 2, 3, ... , Nvariável associada ao sítio i da rede

),...,,...,,( 21 Ni

)(

...ij

soma sobre os pares de átomos vizinhos na rede

H constante proporcional ao campo

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 18

Modelo de Ising

J constante relacionada à interação entre dipolos magnéticos

19

Modelo de Ising a campo nulo

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

)(

)(ij

jiJE

(campo nulo)Energia associada ao estado

20

Taxa de transição por sítio - Dinâmica de Metropolis

Dinâmica de Metropolis para o modelo de Ising a campo nulo

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

)exp(,1min)( Ewi

)(

)(ij

jiJE

)()( EEE i

)...,,...,,( 1 Ni )...,,...,,( 1 Ni

i

.const

TkB/1

i

)(iw

21

Dinâmica de Metropolis para o modelo de Ising

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

)(

)(ij

jiJE

)()( EEE i

(...)

soma sobre os primeiros vizinhos do sítio i

Modelo de Ising / energia do estado (campo nulo)

)()( EEE i

Portanto, na transição a variação de energia é i

iiJ2

Obtida na última aula

22

Dinâmica de Metropolis para o modelo de Ising

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

iii Jw 2exp(,1min)(

iiJE 2 (...)

soma sobre os primeiros vizinhos do sítio i

TkB/1

i

Taxa de transição por sítio / Metropolis / Ising

Simulação do modelo de Ising

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 23

24

Simulação do modelo de Ising

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

Transformar processo markoviano a tempo contínuo em processo markoviano a tempo discreto

tdiscretizar em intervalos de tempo

taxa de transição -Dinâmica de Metropolis

e tal que )()( ii pw 1)(0 ip

)

2exp(,1min)(

ii

B

iTk

Jw

25

Simulação do modelo de Ising

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

Probabilidade de transição -Dinâmica de Metropolis

)()( ii pw

)exp(,1min)( Epi

iiJE 2 (...)

soma sobre os primeiros vizinhos do sítio i

i

)(ip

26

Simulação do modelo de Ising

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

Probabilidade de transição -Dinâmica de Metropolis

)exp(,1min)( Epi

]2exp[)(

iii Jp

1)( ip

)()( EE i

)()( EE i 0E

0E

se

se

isto é,

isto é,

iiJE 2

27

Dinâmica de Metropolis para o modelo de Ising

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

)exp( Ep

Simulação de Monte Carlo para o modelo de Ising com a dinâmica de Metropolis

Gera-se um número aleatório e escolhe-se um sítio para ser atualizado sítio i foi escolhido ao acaso

Calcula-se

Gera-se um número aleatório no intervalo [0,1]

Se então o estado (em que a variável está invertida ) é o novo estado do sistema

p

ii

i

Se então a variável não é invertida e o sistema e o estado do sistema é p i

i

)...,,...,,( 1 Ni

)...,,...,,( 1 Ni

i )()( EEE i

Se: 0E então o estado (em que a variável é invertida ) será o novo estado do sistemai

i

Se: 0E calcula-se

ii JE 2

ii JE 2

ii

Vamos supor que o sistema esteja no estado

Dinâmica de Glauber para o modelo de Ising

Modelo de Glauber-Ising

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 28

29

Dinâmica de Glauber

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

iii Jw tanh12

)(

)(

)(ij

jiJE

Dinâmica de Glauber para o modelo de Ising – Modelo de Glauber-Ising

R. J. Glauber, J. Math. Phys. 4, 294 (1963)

(...)

soma sobre os primeiros vizinhos do sítio i

Modelo de Glauber-Ising

.constTkB/1

30

Estado estacionário: possui balanceamento detalhado para essa dinâmica

em que é a probabilidade estacionária associada ao modelo de Ising:

( ) ( )

( ) ( )

i

i

i

i

w P

w P

Dinâmica de Glauber

Dinâmicas com mudança de um único sítio para o modelo de Ising

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

)()()()( ii

ii PwPw

Z

eP

ji

ji

J

),(

)(

)(P

iii Jw tanh12

)(

MOSTRAR!

31

Simulação do modelo de Ising

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

Transformar processo markoviano a tempo contínuo em processo markoviano a tempo discreto

tdiscretizar em intervalos de tempo

taxa de transição -Dinâmica de Glauber

e tal que )()( ii pw 1)(0 ip

iii Jw tanh12

)(

32

Dinâmica de Glauber para o modelo de Ising – Modelo de Glauber-Ising

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

i

B

iTk

Jp tanh1

2

1

Simulação de Monte Carlo para o modelo de Glauber-Ising

Gera-se um número aleatório e escolhe-se um sítio para ser atualizado sítio i foi escolhido

Calcula-se

Gera-se um número aleatório no intervalo [0,1]

Se então o estado (em que a variável está invertida ) é o estado do sistema

p ii i

Se então a variável não é invertida e o estado do sistema é p i

i

)...,,...,,( 1 Ni )...,,...,,( 1 Ni

i

i

Vamos supor que o sistema esteja no estado

Considerações sobre o

método de Monte Carlo

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 33

Método de Monte Carlo

Realização computacional de um processo estocástico markoviano

distribuição de probabilidades estacionária

Simulação computacional de um modelo definido por uma dinâmica estocástica

Trajetória estocástica no espaço de configurações gerado pela

34Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

Estados (configurações) do sistema

Médias de grandezas de estado )(F

)()()2()1( ,...,,...,, Rk

R número total de estados gerados pela dinâmica (*)

35

Método de Monte Carlo

)(...)(...)()()( )()3()2()1( Rk FFFFF

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

(*) (descartados os estados iniciais)

Médias de grandezas de estado )(F

)()(...)(...)()(1 )()()2()1( FFFFFR

Rk

Se o número de estados gerados for muito grande então espera-se queR

36

Método de Monte Carlo

(*) Deve-se sempre descartar os estados iniciais. Portanto R aqui significa o número de estados gerados depois de descartar os passos iniciais.

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

)()(1

1

)( FFR

R

Se for muito grande então espera-se queR

Ou seja se gerarmos, por meio de simulações de Monte Carlo,

uma sequência de configurações muito grande

então

a soma acima é uma estimativa para a média de F (valor esperado)

)(

37

Método de Monte Carlo

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

Problema: como gerar estados com probabilidade ? )(P

Método de Monte Carlo

Construir um processo estocástico em que a probabilidade estacionária é atingida para tempos longos (regime estacionário)

)'()',()('

PTP

Processo markoviano: no regime estacionário a distribuição de probabilidades obedece:

)',( T probabilidade de transição do estado para o estado

)(P

38

Método de Monte Carlo

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

'

gerar estados com probabilidade

No regime estacionário teremos uma série de configurações (estados )

)(P

)(P

)(P

39

Método de Monte Carlo

A probabilidade associada a um estado qualquer deve ser a probabilidade

estacionária

Se escolhermos ao acaso uma delas então estaremos escolhendo essa configuração com a probabilidade estacionária

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

Relaxação para o equilíbrio termodinâmico

a probabilidade estacionária é dada por uma distribuição de probabilidades de equilíbrio

40

Método de Monte Carlo

Nesse caso (estado estacionário de equilíbrio) a construção do processo markovianodeve se basear no fato de que no regime estacionário:

a condição de balanceamento detalhado deve ser obedecida

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

Z

eP

E )(

)(

Distribuição de Gibbs de equilíbrio

41

Distribuição de probabilidades de Gibbs

Probabilidade do estado

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

Z

eP

E )(

)(

)(EeZ função de partição

TkB/1 Bk Tconstante de Boltzmann temperatura

Distribuição de Gibbs

soma sobre todos os possíveis estados microscópicos(...)

)(E energia do estado

42

Distribuição de probabilidades de Gibbs

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

Estado estacionário descrito por uma distribuição de Gibbs

( , ') ( ') ( ', ) ( )T P T P

( , ') ( )

( ', ) ( ')

T P

T P

A condição de balanceamento detalhado

Z

eP

E )(

)(

Construção do processo markoviano para um sistema que relaxa para o equilíbrio termodinâmico

43

deve ser obedecida

Método de Monte Carlo

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

FIM

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 44