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MATEMÁTICA
MÓDULO 15ELIPSE
Professor Haroldo Filho
1. ELIPSEDados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que, F2F1 = 2c ≠ 0,chamamos elipse ao lugar geométrico dos pontos deste plano, cuja somadas suas distâncias aos dois pontos F2 e F1 é constante igual a 2a > 2c.
2. ELEMENTOS DA ELIPSE
Pontos principais:
• A2, A1, B2 e B1 - vértices
• F2 e F1 - focos
• C - centro
Segmento
• A2A1 – eixo maior – m(A2A1) = 2a
• B2B1 – eixo menor – m(B2B1) = 2b
• F2F1 – distância focal – m(F2F1) = 2c
III. Relações:
IV. Retas
Diretrizes:
Diretrizes da elipse são duas retas, (D1) e (d2), perpendiculares ao suporte
do eixo maior, distandoae
do centro da curva.
ce 1 Excentricidade
a
2 2 21 1a b c Relação notável tirada do triângulo retângulo B CF
3. EQUAÇÃO REDUZIDA3.1. Eixo maior no eixo x
2 1|F P| |F P| 2a
2 2 2 2(x c) y (x c) y 2a
2 2 2 2 2 2x 2cx c y 2a x 2cx c y
2 2 2 2 2 2 2x 2cx c y 4a 4a x 2cx c y
2 2 2 2a x 2cx c y a cx
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2a x 2a cx a c a y a 2a cx c x
3.2. Se Se C = (0,0), porém o eixo maior está no eixo y.
2 2 2 2 2 2 4 2 2a x c x a y a a c
2 2 2 2 2 2 2 2(a c )x a y a (a c )
2 2 2 2 2 2b x a y a b
2 2
2 2
x y1
a b
2 2
2 2
x y1
b a
3.3. Equação da elipse quando há translação de sistema.
1o caso: Elipse com centro O (m , n) e eixo maior horizontal.
2 2
2 2
(x m) (y n)1, a b
a b
2o caso: Elipse com centro O (m, n) e eixo maior vertical.
2 2
2 2
(x -m) (y -n)1 , a b
b a
4. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E ELIPSESejam uma elipse de focos F1 e F2 , cujo eixo maior mede 2a, e P umponto do ponto do plano de .
• 1o caso: A é ponto da elipse.
A pertence à elipse se, e somente se:
PF1 + PF2 = 2a
• 2o caso: A é interior à elipse .
PF1 + PF2 < 2a
• 3o caso: A é exterior à elipse .
PF1 + PF2 > 2a
5. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E ELIPSESendo uma elipse e r uma reta, contidas em mesmo plano, temos:
1o caso: a reta r é exterior à elipse se, e somente se, r =
2o caso: a reta r é tangente à elipse se, e somente se, r = {P}
3o caso: a reta r é secante à elipse se, e somente se r = {P1 , P2}
PROCESSO PRÁTICOA quantidade de pontos de interseção entre a reta r e a elipse é dadapelo número de soluções do sistema formado pelas equações de r e ,resolvido substituindo-se uma variável previamente isolada na equaçãode r na equação de . Com isso, se:
I. Δ > 0 : r é secante a ;
II. Δ = 0 : r é tangente a ;
III. Δ < 0 : r é exterior a .
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