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Matemática

FRAÇÕES

Professor Dudan

Frações Fração é um modo de expressar uma quantidade a partir de uma razão de

dois números inteiros. A palavra vem do latim fractus e significa "partido", dividido ou "quebrado (do verbo frangere: "quebrar"). Também é considerada parte de um inteiro, que foi dividido em partes exatamente iguais. As frações são escritas na forma de números e na forma de desenhos. Na fração, a parte de cima é chamada de numerador e indica quantas partes do inteiro foram utilizadas. A parte de baixo é chamada de denominador, que indica a quantidade máxima de partes em que fora dividido o inteiro e nunca pode ser zero.

Observe alguns exemplos:

Frações

Exemplo: Uma professora tem que dividir três folhas de papel de seda entre quatro alunos, como ela pode fazer isso? Se cada aluno ficar com 3/4(lê-se três quartos) da folha. Ou seja, você vai dividir cada folha em 4 partes e distribuir 3 para cada aluno. Agora se ela desejasse dividir as mesmas 3 folhas entre 7 alunos, teríamos cada aluno ficando com 3/7 da folha pois ela dividiria cada folha em 7 partes e daria 3 a cada aluno ja que são três folhas no total.

Frações

Relação entre frações decimais e os números decimais Para transformar uma fração decimal em número decimal, escrevemos o numerador da fração e o separamos com uma vírgula, deixando tantas casas decimais quanto forem os zeros do denominador. Exemplo: Para transformar um número decimal em uma fração decimal, colocamos no denominador tantos zeros quantos forem os números depois da vírgula do número decimal. Exemplo:

Frações

Simplificação de frações Simplificar uma fração , como o próprio termo diz, é torna-la mais simples facilitando o uso das operações básicas. Para simplificar uma fração, divide-se o numerador e o denominador da fração por um mesmo número. Exemplo: • 32 / 6 e dividindo ambos por 2 teremos 16/3 ; • 27 / 12 e dividindo ambos por 3 teremos 9/4 ; • 35/15 e dividindo ambos por 5 teremos 7/3

Frações

Simplificação de frações Quando o numerador é divisível pelo denominador, efetua-se a divisão e se obtém um número inteiro. Exemplo: • 100 = – 4 -25 • 299 = 13 23

Frações

Simplifique as frações, aplicando a regra de sinais da divisão: a) 75 15 b) 38 12 c) 100 25 d) 144 18

Frações

Comparação entre Frações Se duas frações possuem denominadores iguais, a maior fração é a que possui maior numerador. Como comparar as frações 3 e 4 ? 5 5 Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido por meio do menor múltiplo comum. Nesse caso como ambas já estão escritas com o mesmo denominador fica fácil perceber que a fração 4/5 émaior que 3/5 pois foram divididas em 5 partes o que torna a comparsção simples.

Frações

Comparação entre Frações Mas e se as frações tivessem denominadores distintos como 2 e 3 ? 5 7 Nessa comparação entre frações com denominadores diferentes, devemos usar frações equivalentes a elas e de mesmo denominador para, assim, compará-las. Para isso divide-se o m.m.c pelo denominador original de cada fração e multiplica-se o resultado pelo numerador, obtendo assim, uma fração equivalente.O MMC entre 5 e 7 é 35, logo: 2 x 7 = 14 5 x 7 35 3 x 5 = 15 logo como 14 é menor que 15, 2 < 3 . 7 x 5 35 5 7

Frações

Frações Adição e Subtração

Sendo os denominadores iguais, basta somar ou subtrair os numeradores e manter o denominador.

Frações Adição e Subtração

Para efetuar as operações de soma ou subtração com frações temos duas opções: 1) Podemos usar o clássico m.m.c e transformar as frações dadas em

suas frações equivalentes (proporcionais) que sejam escritas no mesmo denominador comum entre 3 e 5 é 15, logo:

Assim divide-se o m.m.c pelo denominador original de cada fração e

multiplica-se o resultado pelo numerador, obtendo assim, uma fração equivalente.

e com isso:

Frações Adição e Subtração

2) Outro método muito prático é o “método da borboleta”

Frações Adição e Subtração

Outros exemplos: 2/5 + 3/10 -3/7 -1/2

Frações Adição e Subtração

Calcule o valor das expressões e simplifique quando for possível: a) 3 + 2 - 5

7 3 2

Frações Adição e Subtração

Calcule o valor das expressões e simplifique quando for possível: c) 4 - 7 - 8

3 5 6

Frações Multiplicação

Para multiplicar frações, basta multiplicar os numeradores entre si e fazer o mesmo entre os denominadores, independentemente de serem iguais ou não. Exemplo:

Outro exemplo: 3 x 5 10 6

Frações Divisão

Para dividir frações, basta multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fração. Exemplo:

Outro exemplo: 3 : 5 10 6

Frações Exemplos:

Frações Exemplos:

Frações Potenciação

Para elevarmos uma fração a determinada potência, basta aplicarmos a potência no numerador e também no denominador, respeitando as regras dos sinais da potenciação. Exemplos:

Frações Radiciação

Caso seja necessário aplicar um radical numa fração, basta entender que: “a raiz da fração é a fração das raízes.” Exemplos:

Frações Expoente Negativo

Todo número diferente de zero elevado a um expoente negativo é igual ao inverso do mesmo número com expoente positivo. Mas fica mais interessante entendermos que se invertermos uma fração, somos obrigados a mudar o sinal do seu expoente. Exemplos:

Frações Outros exemplos:

Matemática

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM

Professor Dudan

O mínimo múltiplo comum entre dois números é representado pelo menor valor comum (excetuando-se o “0”) pertencente aos múltiplos dos números. Observe o MMC entre os números 20 e 30: M(20) = 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, .... M(30) = 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, ... Logo o MMC entre 20 e 30 é equivalente a 60. Outra forma de determinar o MMC entre 20 e 30 é através da fatoração, em que devemos escolher os fatores comuns de maior expoente e os termos não comuns. Observe: 20 = 2 * 2 * 5 = 2² * 5 e 30 = 2 * 3 * 5 = 2 * 3 * 5 logo MMC (20; 30) = 2² * 3 * 5 = 60

Definição

A terceira e melhor opção consiste em realizar a decomposição simultânea dos números, multiplicando os fatores obtidos. Observe:

Dica: Apenas números naturais tem M.M.C

Um método rápido e fácil para se determinar o MMC de um conjunto de números naturais é a FATORAÇÃO. Nela iremos decompor simultaneamente os valores, de forma que ao menos um deles possa ser dividido pelo fator primo apresentado, até que não sobrem valores maiores que 1. O produto dos fatores primos utilizados nesse processo é o Mínimo Múltiplo Comum. Para que possamos fazer uma comparação, vamos tomar os números 6, 8 e 12 como exemplo.

MÉTODO PRÁTICO

Da fatoração destes três números temos: O M.M.C será calculado pelo produto desses fatores primos usados na decomposição dos valores dados. Logo: M.M.C (6 , 8 , 12) = 2.2.2.3 = 24

MÉTODO PRÁTICO

Qual é o MMC(15, 25, 40)? Fatorando os três números temos: Assim o MMC(15, 25, 40) = 2. 2 . 2 . 3 . 5 . 5 = 600

EXEMPLO

Todo múltiplo comum de dois ou mais números inteiros é múltiplo do m.m.c. destes números. Exemplo: os múltiplos comuns positivos de 2 , 5 e 6 são exatamente os múltiplos positivos de 30 (m.m.c. (2 ,5 , 6) = 30), ou seja, são 30 , 60, 90,...

PROPRIEDADE

Como identificar questões que exigem o cálculo do M.M.C?

Para não ficar em dúvida quanto à solicitação da questão (M.M.C ou M.D.C ?), basta entender que o M.M.C por ser um “múltiplo comum”, é um número sempre será maior ou igual ao maior dos valores apresentados , logo sempre um valor além dos valores dados, criando uma ideia de “futuro”. Já o M.D.C por ser um divisor desses valores, será sempre menor ou igual ao menor valor apresentado , logo um valor aquém dos dados na questão, dando uma ideia de corte, divisão.

CUIDADO Apesar do nome Mínimo Múltiplo Comum é equivocado pensar que o “mínimo” indica um número pequeno, talvez menor que os valores apresentados. Na verdade ele é o menor dos múltiplos e quase sempre maior que todos esses valores de quem se busca o cálculo do M.M.C.

Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feita na máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a cada 4 dias, e na máquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção nas três máquinas, após quantos dias as máquinas receberão manutenção no mesmo dia?

EXEMPLO

Um médico, ao prescrever uma receita, determina que três medicamentos sejam ingeridos pelo paciente de acordo com a seguinte escala de horários: remédio A, de 2 em 2 horas, remédio B, de 3 em 3 horas e remédio C, de 6 em 6 horas. Caso o paciente utilize os três remédios às 8 horas da manhã, qual será o próximo horário de ingestão dos mesmos?

EXEMPLO

Em uma arvore de natal, três luzes piscam com frequência diferentes. A primeira pisca a cada 4 segundos, a segunda a cada 6 segundos e a terceira a cada 10 segundos. Se num dado instante as luzes piscam ao mesmo tempo, após quantos segundos voltarão, a piscar juntas?

EXEMPLO

MÁXIMO DIVISOR COMUM

O máximo divisor comum entre dois números é representado pelo maior valor comum pertencente aos divisores dos números. Observe o MDC entre os números 20 e 30: D(20) = 1, 2, 4, 5, 10, 20. e D(30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. O maior divisor comum dos números 20 e 30 é 10. Podemos também determinar o MDC entre dois números através da fatoração, em que escolheremos os fatores comuns de menor expoente. Observe o MDC de 20 e 30 utilizando esse método. 20 = 2 * 2 * 5 = 2² * 5 e 30 = 2 * 3 * 5 = 2 * 3 * 5 Logo MDC (20; 30) = 2 * 5 = 10

Definição

A terceira opção consiste em realizar a decomposição simultânea e conjunta dos números, multiplicando os fatores obtidos. Observe: Logo o M.D.C (20 , 30) = 10

Um método rápido e fácil para se determinar o MDC de um conjunto de números naturais é a FATORAÇÃO. Nela iremos decompor simultaneamente os valores, de forma que todos eles devem ser divididos, ao mesmo tempo, pelo fator primo apresentado, até que se esgotem as possibilidades dessa divisão conjunta. O produto dos fatores primos utilizados nesse processo é o Máximo Divisor Comum. Para que possamos fazer uma comparação, vamos tomar novamente os números 6, 8 e 12 como exemplo.

MÉTODO PRÁTICO

Da fatoração destes três números temos: O MDC(6, 8, 12) será calculado pelo produto desses fatores primos usados na decomposição dos valores dados. Logo: M.D.C (6 , 8 , 12) = 2

MÉTODO PRÁTICO

Qual é o MDC(15, 25, 40)? Fatorando os três números temos: Assim o MDC(15, 25, 40) = 5

EXEMPLO

Qual é o MDC(15, 75, 105)? Fatorando os três números temos: MDC(15, 75, 105) = 3 . 5 = 15 Note que temos que dividir todos os valores apresentados, ao mesmo tempo, pelo fator primo . Caso não seja possível seguir dividindo todos , ao mesmo tempo, dá-se por encerrado o cálculo do M.D.C.

EXEMPLO

Existe uma relação entre o m.m.c e o m.d.c de dois números naturais a e b. • m.m.c.(a,b) . m.d.c. (a,b) = a . b

Ou seja, o produto entre o m.m.c e m.d.c de dois números é igual ao produto entre os dois números.

PROPRIEDADE

Se x é um numero natural em que m.m.c. (14, x) = 154 e m.d.c. (14, x) = 2, podemos dizer que x vale. (A) 22 (B) -22 (C) +22 ou -22 (D) 27 (E) -27

EXEMPLO

Como identificar questões que exigem o cálculo do M.D.C? Para não ficar em dúvida quanto à solicitação da questão, M.M.C ou M.D.C, basta entender que o M.D.C por ser um “divisor comum”, é um número sempre será menor ou igual ao menor dos valores apresentados , logo sempre um valor aquém dos valores dados, dando ideia de corte, fração. Já o M.M.C por ser um “múltiplo comum”, é um número sempre será maior ou igual ao maior dos valores apresentados , logo sempre um valor além dos valores dados, criando uma ideia de “futuro”.

CUIDADO Apesar do nome MÁXIMO Divisor Comum, é equivocado pensar que esse “máximo” indica um número grande. Na verdade ele é o maior dos divisores apresentados mas por ser divisor é quase sempre menor que todos os valores de quem se busca o cálculo do M.D.C.

Uma indústria de tecidos fabrica retalhos de mesmo comprimento. Após realizarem os cortes necessários, verificou-se que duas peças restantes tinham as seguintes medidas: 156 centímetros e 234 centímetros. O gerente de produção ao ser informado das medidas, deu a ordem para que o funcionário cortasse o pano em partes iguais e de maior comprimento possível. Como ele poderá resolver essa situação?

EXEMPLO

Uma empresa de logística é composta de três áreas: administrativa, operacional e vendedores. A área administrativa é composta de 30 funcionários, a operacional de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma integração entre as três áreas, de modo que todos os funcionários participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo número de funcionários com o maior número possível. Determine quantos funcionários devem participar de cada equipe e o número possível de equipes.

EXEMPLO

Para a confecção de sacolas serão usados dois rolos de fio de nylon. Esses rolos, medindo 450cm e 756cm serão divididos em pedaços iguais e do maior tamanho possível. Sabendo que não deve haver sobras, quantos pedaços serão obtidos? (A) 25 (B) 42 (C) 67 (D) 35 (E) 18

EXEMPLO

FRAÇÕES

COMO A FCC

COBRA ISSO?

O resultado de 3/7 + 7/3 é: a) 10/10 b) 10/21 c) 58/21 d) 42/10 e) 42/21

AL - 2013

Sabendo que x dividido por y é igual a 12, então o dobro de x dividido pelo triplo de y é igual a:

a) 8. b) 4. c) 9. d) 12. e) 24.

AL - 2013

Seja A o quociente da divisão de 8 por 3. Seja B o quociente da divisão de 15 por 7. Seja C o quociente da divisão de 14 por 22.O produto A .B . C é igual a

a)3,072072072 . . . b)3,636363 . . . c)3,121212 . . . d)3,252525 . . . e)3,111 . . .

TRF - 2016

O quociente entre a menor e a maior fração do conjunto nessa ordem, é igual a) ao triplo de uma fração pertencente à C. b) à metade de uma fração pertencente à C. c) ao dobro de uma fração pertencente à C. d) a uma fração pertencente à C. e) à terça parte de uma fração pertencente à C.

AL - 2013

Um dos significados da divisão é indicar quantas vezes o divisor “cabe” no dividendo. A divisão, 6 ÷ 2 = 3, pode significar que o divisor 2 “cabe” 3 vezes no dividendo 6. O número de vezes que o divisor 2/3 "cabe" no dividendo 12 , é:

a) 8. b) 1/12 c) 1/18 d) 18. e) 2.

AL - 2013

Somando-se um mesmo número ao numerador e ao denominador da fração 3/5, obtém-se uma nova fração, cujo valor é 50% maior do que o valor da fração original. Esse número está entre:

a) 1 e 4. b) 5 e 8. c) 9 e 12. d) 13 e 16. e) 17 e 20.

TRT - 2013

Um número natural é tal que a soma entre a quarta parte de seu triplo, a terça parte de seu dobro e sua metade é também um número natural menor que 25 e maior que 21. Sendo assim, é correto afirmar que esse número natural é

a) múltiplo de 5. b) múltiplo de 6. c) divisor de 22. d) divisor de 8. e) múltiplo de 48.

METRÔ - 2015

Dos funcionários do departamento administrativo de uma repartição pública, 5/8 trabalham diretamente com computadores. Se o total de funcionários desse departamento que não trabalham diretamente com computadores é igual a 120 pessoas, então esse departamento tem um total de funcionários igual a

a) 285. b) 200. c) 195. d) 320. e) 192.

TRT - 2015

Em dado instante, o marcador de combustível de um carro indicava que o tanque estava com 5/8 de sua capacidade. A partir desse instante, foram consumidos 25,5 litros de combustível, passando o marcador a indicar 1/4 da capacidade do tanque. A capacidade do tanque desse carro , em litros, é igual a:

a) 60 b) 64 c) 66 d) 68 e) 72

TRT - 2013

No aniversário de Clarice, seu avô queria dar parte de R$ 1.400,00 de presente para ela. Ele propôs as seguintes opções: ou Clarice escolhia 2/5 dos 3/4 dos 1.400,00 reais ou escolhia 4/5 dos 3/7 dos 1.400,00 reais. Ao escolher a opção na qual ganharia mais dinheiro Clarice receberia a mais do que na outra opção a quantia, em reais, de:

a) 60,00. b) 420,00. c) 45,00. d) 125,00. e) 900,00.

TRT - 2013

Um viajante percorreu 420 km.Desse percurso, 3/4 ele fez de trem, e o restante de carro e de bicicleta. Se o percurso feito por ele de carro correspondeu a 4/15 do percurso feito de trem, então, o viajante percorreu, em km, de bicicleta:

a) 14. b) 49. c) 63. d) 21. e) 15.

TRT - 2013

Dois amigos foram a uma pizzaria. O mais velho comeu 3/8 da pizza que compraram. Ainda da mesma pizza o mais novo comeu 7/5 da quantidade que seu amigo havia comido. Sendo assim, e sabendo que mais nada dessa pizza foi comido, a fração da pizza que restou foi:

a) 3/5 b) 7/8 c) 1/10 d) 3/10 e) 36/40

METRÔ - 2013

Alzira e Thaís têm, juntas, R$ 1.230,00. Alzira gastou 2/5 do dinheiro total das duas juntas e Thaís gastou 5/9 do que sobrou. Comparando o dinheiro que sobrou ao final dos gastos com o dinheiro que elas tinham juntas antes dos gastos, houve uma redução de

a) R$ 902,00. b) R$ 492,00. c) R$ 410,00. d) R$ 328,00. e) R$ 738,00.

DPE - 2015

Renato aplicou R$ 1.800,00 em ações e, no primeiro dia, perdeu 1/2 do valor aplicado. No segundo dia Renato ganhou 4/5 do valor que havia sobrado no primeiro dia, e no terceiro dia perdeu 4/9 do valor que havia sobrado no dia anterior. Ao final do terceiro dia de aplicação, Renato tinha, em R$,

a) 820,00. b) 810,00. c) 800,00. d) 900,00. e) 1.200,00

BB - 2013

O cadastro dos pacientes que se consultaram em uma clínica odontológica, em janeiro, indica que apenas 2/5 eram homens. Desses pacientes homens, 2/7 fizeram tratamento que se estendeu até depois de janeiro, e os demais, que totalizaram 140 homens, concluíram seu tratamento no próprio mês de janeiro. De acordo com essas informações, o total de homens e mulheres que se consultaram nessa clínica em janeiro foi igual a a) 420.

b) 520. c) 490. d) 380. e) 350.

TRT - 2015

Para produzir peças de melhor qualidade, uma indústria promove 3 testes de qualidade, ao final de sua linha de produção. Ao ser aplicado o primeiro teste, em um determinado lote de peças, verificou-se a aprovação de 3/4 das peças do lote. As peças aprovadas foram para a segunda testagem, que aprovou 7/9 das peças testadas. O teste final reprovou 1/5 das peças e aprovou 252 delas. Dessa maneira, o número de peças reprovadas no lote todo é igual a

a) 420. b) 252. c) 225. d) 288. e) 720.

SABESP - 2014

Um funcionário de uma empresa deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2a semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 4a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4a semana é igual a

a) 5/16. b) 1/6. c ) 8/24. d) 1/4. e) 2/5.

CÂMARA MUNICIPAL - 2014

Dentre os 696 participantes de um congresso de saneamento básico 3/4 deles são engenheiros. Sabe-se que 1/6 desses engenheiros também são químicos. Do grupo de todos os participantes 1/12 não são nem engenheiros nem químicos. Os demais participantes do congresso são todos químicos. O número total de químicos que participam desse congresso é igual a.

a) 522. b) 435. c) 116. d) 203. e) 174

SABESP - 2014

O número de times que compõem a liga de futebol amador de um bairro, que é menor do que 50, permite que as equipes sejam divididas em grupos de 4, 6 ou 8 componentes, sem que sobrem times sem grupo. Tendo apenas essas informações, é possível concluir que a liga é composta por x ou por y times. A soma x + y é igual a:

a) 96 b) 72 c) 60 d) 120 e) 80

PGE - 2013

Ao se dividir 95 por x obtém-se o quociente inteiro y e resto da divisão igual a 11. Ao se dividir 210 por x a divisão é exata e o quociente é inteiro e maior do que 10. Sendo assim, pode-se afirmar corretamente que a diferença entre x e y, nessa ordem, é igual a

a) 14. b) 11. c) 5. ‘ d) 21. e) 8.

CÂMARA MUNICIPAL - 2014

• Questoes FCC : C-A-B-D-D-D-B-D-D-A-D-C-A-B-D-C-D-D-B-E

GABARITOS