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Fundamentos Tecnológicos

Sistemas de equações de 1º Grau

Início da aula 07

Sistemas de Equações de 1º Grau – Forma Geral de um sistema com duas variáveis.

A forma genérica de um sistema de equações de 1º grau é dada por:

Onde a, b, m e n são os coeficientes da equação, c e p são os termos independentes da equação e , x e y são as variáveis (incógnitas).

ቊ𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑚𝑥 + 𝑛𝑦 = 𝑝

Sistemas de Equações de 1º Grau – Forma Geral de um sistema com duas variáveis.

Resolver um sistema de equações, consiste de determinar os valores dex e y que satisfaçam simultaneamente às duas equações.

Por exemplo, o sistema:

, pois apenas estes valores satisfazem ambas as igualdades.

൝5𝑥 + 𝑦 = 162𝑥 − 3𝑦 = 3

tem solução para ቊ𝑥 = 3𝑦 = 1

൜5𝑥 + 𝑦 = 5 . 3 + 1 = 15 + 1 = 162𝑥 − 3𝑦 = 2 . 3 − 3 .1 = 6 − 3 = 3

Problema envolvendo sistema de equação de 1º Grau

Antônio e Gustavo vão disputar uma partida de lançamento dedardos.

Combinaram só valer ponto quando acertassem o centro doalvo.

Cada um lançaria dez vezes.

Terminada a partida, os dois, juntos, marcaram 12 pontos eAntônio ganhou por uma diferença de 8 pontos.

Quantos pontos fez cada um?

Exemplo

Problema envolvendo sistema de equação de 1º Grau

O primeiro passo é montar o sistema onde representamos ospontos feitos por Antônio por x e os pontos feitos por Gustavopor y.

Definidas as variáveis o próximo passo, consiste de montar osistema de equações com duas variáveis:

൜𝑥 + 𝑦 = 12𝑥 − 𝑦 = 8

Problema envolvendo sistema de equação de 1º Grau

Este sistema pode ser resolvido de duas maneiras:

A primeira é através do método da substituição, método queconsiste em isolar uma das incógnitas, numa das equações esubstituir a expressão encontrada na outra equação.

A segunda é através do método da adição, método que consisteem somar as equações anulando uma das variáveis.

Método da Substituição

Dado o sistema:

1º) Escolhe-se uma das equações e isola-se um dos termos (x ou y).

2º) Substitui o valor do termo isolado na outra equação edetermina-se o valor da outra variável.

൜𝑥 + 𝑦 = 12𝑥 − 𝑦 = 8

𝑥 + 𝑦 = 12𝑥 = 12 − 𝑦

𝑥 − 𝑦 = 812 − 𝑦 − 𝑦 = 8−2𝑦 = 8 − 12−2𝑦 = −4

𝑦 =−4

−2= 2

𝑦 = 2

Método da Substituição

4º) Substituindo y=2 , em uma das equações tem-se:

Portanto temos que a solução do sistema é dada por x=10 e y = 2ou seja:

𝑆 = {(10 , 2)}

Após ter resolvido o sistema de equações, podemos concluir queAntônio fez 10 pontos e Gustavo fez 2 pontos durante o jogo dedardos.

𝑥 + 𝑦 = 12𝑥 = 12 − 𝑦𝑥 = 12 − 2 = 10𝑥 = 10

Exercícios – Método da Substituição

Resolva os seguintes sistemas de equações utilizando o métododa substituição:

a) ൜𝑥 = 5𝑦

𝑥 + 𝑦 = 12

b) ൜𝑥 − 𝑦 = 10

2𝑥 + 3𝑦 = 10

c) ൜𝑥 = 𝑦 + 3

4𝑥 + 𝑦 = −3

𝑆 = {(10 , 2)}

𝑆 = {(8 , −2)}

𝑆 = {(0 , −3)}

Método da Adição

Dado o sistema do problema anterior (Jogo de dardos).

1º) Somando-se as equações temos:

2º) Isolando o termo anterior tem-se que:

൜𝑥 + 𝑦 = 12𝑥 − 𝑦 = 8

2𝑥 = 20

𝑥 =20

2= 10

𝑥 = 10

+𝑥 + 𝑦 = 12𝑥 − 𝑦 = 8

2𝑥 = 20

Método da Adição

4º) Substituindo x=10 , em uma das equações tem-se:

Portanto temos que a solução do sistema é dada por x=10 e y = 2ou seja:

𝑆 = {(10 , 2)}

Como no método anterior, também podemos concluir queAntônio fez 10 pontos e Gustavo fez 2 pontos durante o jogo dedardos ou seja foram obtidos os mesmos resultados quesatisfazem o sistema da equação.

𝑥 + 𝑦 = 12𝑦 = 12 − 𝑥𝑦 = 12 − 10𝑦 = 2

Exercícios – Método da Adição

Resolva os seguintes sistemas de equações utilizando o métododa adição:

a) ൜𝑥 + 𝑦 = 6

2𝑥 − 𝑦 = 24

b) ൜𝑥 + 2𝑦 = 5𝑥 + 3𝑦 = 8

c) ൜3𝑥 + 4𝑦 = −5𝑥 − 2𝑦 = 5

𝑆 = {(10 , −4)}

𝑆 = {(−1 , 3)}

𝑆 = {(1 , −2)}

Exercícios – Extraclasse

Resolva os seguintes sistemas de equações utilizando qualquerum dos métodos de resolução vistos em sala de aula.

a) ൜𝑥 + 𝑦 = 5𝑥 − 𝑦 = 1

b) ൜3𝑥 − 𝑦 = −22𝑥 − 𝑦 = −4

c) ൜𝑥 + 𝑦 = 20

𝑥 − 3𝑦 = −12

𝑆 = {(3 , 2)}

𝑆 = {(12 , 8)}

𝑆 = {(2 , 8)}

Exercícios – Extraclasse

Resolva os seguintes sistemas de equações utilizando qualquerum dos métodos de resolução vistos em sala de aula.

d) ቐ3𝑥 − 𝑦 = 4

2𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −1−𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = 2

e) ቐ−𝑦 + 2𝑥 − 6𝑧 = 2−4𝑧 + 2𝑥 − 3𝑦 = 4−𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 3

𝑆 =47

3,10

3,13

3

𝑆 =1

4, −

13

4,−

5

2

Exercícios – Extraclasse Problemas envolvendo sistemas de equações

de 1º Grau

1. Um motorista quer fazer uma viagem de 780 km em duasetapas, de modo que na primeira etapa percorra 60 km a maisque na segunda. Quantos quilômetros ele deverá percorrer emcada etapa? R: (420 Km e 360 Km).

2. A soma de dois números é 15, e a diferença entre eles é 3.Determinar esses números. R: (9 e 6).

3. Num pátio existem automóveis e bicicletas. O número total derodas é 130, e o número de bicicletas é o triplo do número deautomóveis. Qual é o números de automóveis e bicicletas quese encontram no pátio? R: (13 carros e 39 bicicletas).

Exercícios – Extraclasse

Dado o sistema abaixo resolva o seguinte sistema de frutas:

R: (uva = 12, banana=2 e maça+banana+uva=21)

Exercícios – Extraclasse

Considerando as balanças em equilíbrio, monte o sistema deequações correspondente e determine o peso em gramas dapera e da maçã.

R: (pera=270g e maça=170g)

Exercícios – Desafio

Qual é o valor da corrente e da tensão no resistor de 4 para ocircuito mostrado abaixo sendo as seguintes equações de malha.

ቐ

2𝐼1 − 𝐼2 = −2−𝐼1 + 6𝐼2 − 3𝐼3 = 4−3𝐼2 + 7𝐼3 = 5 𝐼1=−0,39A, 𝐼2=1,22A, 𝐼3=1,24A

V4=4,94V

𝑆 = −0.39, 1.22, 1.24

Exercício para pensar

Um bêbado disse a seguinte frase:

“ Se ontem fosse amanhã, hoje seria sexta-feira”.

a) Qual foi o dia em que ele fez esta afirmação?

Utilizando os conceitos de sistema de equações vistos em salade aula como que este problema poderia ser resolvido?

Fim da Aula 07