apreçando opções utilizando a função característica

Apreçando Opções Utilizando a FunçãoCaracterística

Wilson N. de Freitas

21 de Setembro de 2010

Agenda

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Volatilidade Estocástica

Transformada de Fourier

Função Característica

Exemplos de Função Característica

Modelo de Heston com Saltos

Resultados

Black-Scholes com Volatilidade Estocástica

Dadas as equações diferenciais estocástica (EDE):

P :

{dSt = µtStdt+

√vtStdZ1

dvt = −λ(vt − v)dt+ η√vtdZ2

Temos a seguinte EDP

−∂V∂t

= −rV +AV

onde

A =

BSM Operator︷ ︸︸ ︷rS

∂

∂S+

1

2vS2 ∂

2

∂S2

SV Correction︷ ︸︸ ︷−λ(v − v)

∂

∂v+

1

2η2v

∂2

∂v2+ ρηvS

∂

∂v∂S

Preço de uma CALL Européia

−∂C∂t

= −rC +AC

Condições de contorno

C(S, v, T ) = (S −K)+ ≡ CT (S)

C(0, v, t) = 0

C(∞, v, t) = C(S,∞, t) = S

∂C

∂S(∞, v, t) = 1

Preço de uma CALL Européia

Mudança de variáveis

S = expx

t = T − τ

O preço da opção fica:

C(S, v, t) ≡ f(x, v, τ)

Preço de uma CALL Européia

A EDP∂f

∂τ= −rf + Af

onde

A =

BSM Operator︷ ︸︸ ︷(r − v

2)∂

∂x+v

2

∂2

∂x2

SV Correction︷ ︸︸ ︷−λ(v − v)

∂

∂v+η2v

2

∂2

∂v2+ ρηv

∂

∂x∂v

Transformada de Fourier (TF)

Seja uma função f(x, v, τ) que possui TF

Ff(x, v, τ) =

∫ ∞−∞

dx exp(ikx)f(x, v, t) = f(k, v, τ)

F−1f(k, v, τ) =1

2π

∫ ∞−∞

dke−ikxf(k, v, t) = f(x, v, τ)

temos portantof

T−−−−→ f

Fy xF−1

f −−−−→L

f

onde T : G→ G e L : F→ F são transformações lineares.

Resolvendo EDP com TF

Escrevendo a EDP como um operador linear[−1

r

( ∂∂τ− A

)]f = f

Xf = f

que admite inversaX−1f = f

existe um operador X tal que

fX−−−−→ f

Fy xF−1

f −−−−→X

f

Resolvendo EDP com TFAplicando TF na EDP de Black-Scholes

F[∂f

∂τ= −rf + (r − v

2)∂f

∂x

+v

2

∂2f

∂x2− λ(v − v)

∂f

∂v+η2v

2

∂2f

∂v2+ ρηv

∂f

∂x∂v

]∂

∂τFf = −rf + (r − v

2)F ∂f

∂x

+v

2F ∂

2f

∂x2− λ(v − v)

∂

∂vFf +

η2v

2

∂2

∂v2Ff + ρηv

∂

∂vF ∂f∂x

Temos uma EDP em f (as derivadas em x sumiram)

∂f

∂τ= (−r − ikr)f+

− v

2k(k − i)f + [−λ(v − v)− iρηvk]

∂f

∂v+

1

2η2v

∂2f

∂v2

Resolvendo EDP com TFEncontrar a solução para a EDP

∂f

∂τ= (−r − ikr)f+

− v

2k(k − i)f + [−λ(v − v)− iρηvk]

∂f

∂v+

1

2η2v

∂2f

∂v2

Utilizando separação de variáveis

f(k, v, τ) = exp[(−r − ikr)τ ]H(k, v, τ)h†(k)

onde

h†(k) = f(k, v, 0)

H(k, v, 0) = 1

Ficamos com a seguinte EDP em H(k, v, τ)

Hτ = −vk(k − i)2

H + [−λ(v − v)− ikvρη]Hv + vη2

2Hvv

Resolvendo EDP com TF

Vamos avaliar f no vencimento da CALL Européia

h†(k) = Ff(x, v, 0) = F(ex −K)+

assim

h†(k) =

∫ ∞−∞

dx exp(ikx)(ex −K)+

= limx→∞

(eikxex

ik + 1−Keikx

ik

)− Kik+1

k(k − i)

diverge em limx→∞ ex

Resolvendo EDP com TFÉ necessário assumir k = a+ ib ∈ C

h†(k) = limx→∞

(ei(a+ib)xex

ik + 1−Kei(a+ib)x

ik

)− Kik+1

k(k − i)

= limx→∞

(eiaxex(1−b)

ik + 1−Keiaxe−bx

ik

)− Kik+1

k(k − i)

não diverge quando b > 1.

h†(k) = − Kik+1

k(k − i)

Com essa restrição a TF inversa para a CALL Européia fica:

F−1f(k, v, τ) =1

2π

∫ +∞+ib

−∞+ibdke−ikxf(k, v, t)

Preço da CALL Européia

f(k, v, τ) = − exp[(−r − ikr)τ ]H(k, v, τ)Kik+1

k(k − i)Voltando para C(S, v, τ)

C(S, v, τ) =1

2π

∫ +∞+ib

−∞+ibdke−ikxf(k, v, τ)

= − 1

2π

∫ +∞+ib

−∞+ibdke−ikx exp[(−r − ikr)τ ]

Kik+1

k(k − i)H(k, v, τ)

= −Ke−rτ 1

2π

∫ +∞+ib

−∞+ibdke−ikX

H(k, v, τ)

k(k − i)(1)

para 1 < b <∞, X = log Serτ

K .

Preço da PUT Européia

Vamos avaliar f no vencimento de uma PUT Européia

h†(k) = Ff(x, v, 0) = F(K − ex)+

e

h†(k) =

∫ ∞−∞

dx exp(ikx)(K − ex)+

= − Kik+1

k(k − i)

para −∞ < b < 0.

P (S, v, t) = −Ke−rτ 1

2π

∫ +∞+ib

−∞+ibdke−ikX

H(k, v, τ)

k(k − i)

Paridade CALL e PUT Européias

A equação de paridade entre opções de compra e venda Européia.

S − C(S, v, t) = Ke−rτ − P (S, v, t)

só que 1 < bcall <∞ e −∞ < bput < 0. Para colocar C e P sobas mesmas é necessário calcular o prêmio da equação de paridade.Seja a paridade no vencimento

S − C(S, v, T ) = K − P (S, v, T )

S − (S −K)+ = K − (K − S)+

min(S,K) = min(S,K)

A carteira de ativos que apresenta este payoff é denominadacovered-call

C(S, v, T ) = min(S,K)

Paridade CALL e PUT Européias

Vamos avaliar f no vencimento de uma covered-call

h†(k) = Ff(x, v, 0) = F min(S,K)

e

h†(k) =

∫ ∞−∞

dx exp(ikx) min(S,K)

= − Kik+1

k(k − i)

para 0 < b < 1.

C(S, v, t) = Ke−rτ1

2π

∫ +∞+ib

−∞+ibdke−ikX

H(k, v, τ)

k(k − i)

Preço das opções CALL e PUT EuropéiasAtravés da covered-call temos o prêmio de opções de compra evenda sob as mesmas restrições.

C(S, v, τ) = S − C(S, v, τ)

= S −Ke−rτ 1

2π

∫ +∞+ib

−∞+ibdke−ikX

H(k, v, τ)

k(k − i)P (S, v, τ) = Ke−rτ − C(S, v, τ)

= Ke−rτ[1− 1

2π

∫ +∞+ib

−∞+ibdke−ikX

H(k, v, τ)

k(k − i)

]para 0 < b < 1.

Mas, ainda resta encontrar a solução para H(k, v, τ)!

Hτ = −vk(k − i)2

H + [−λ(v − v)− ikvρη]Hv + vη2

2Hvv

Preço das opções CALL e PUT EuropéiasAtravés da covered-call temos o prêmio de opções de compra evenda sob as mesmas restrições.

C(S, v, τ) = S − C(S, v, τ)

= S −Ke−rτ 1

2π

∫ +∞+ib

−∞+ibdke−ikX

H(k, v, τ)

k(k − i)P (S, v, τ) = Ke−rτ − C(S, v, τ)

= Ke−rτ[1− 1

2π

∫ +∞+ib

−∞+ibdke−ikX

H(k, v, τ)

k(k − i)

]para 0 < b < 1.

Mas, ainda resta encontrar a solução para H(k, v, τ)!

Hτ = −vk(k − i)2

H + [−λ(v − v)− ikvρη]Hv + vη2

2Hvv

Delta de Dirac payoffI Vamos considerar um instrumento que tenha o seguinte payoff

h†(k) = Ff(x, v, 0) = F 1

Kδ(x− logK)

este payoff paga uma unidade do ativo se ST = K e zerounidades caso contrário.

I O prêmio desse instrumento é calculado da mesma forma queas opções de compra e venda européias.

h†(k) =

∫ ∞−∞

dx exp(ikx)1

Kδ(x− logK)

= Kik−1

sem restrições para b.I O prêmio é dado por:

G(S,K, v, t) = e−rτ1

2πK

∫ +∞+ib

−∞+ibdke−ikXH(k, v, τ)

Delta de Dirac payoff

I Vamos considerar K → ST onde ST ∈ (0,∞)

G(S, ST , v, t) = e−rτ1

2πST

∫ +∞+ib

−∞+ibdke−ikXH(k, v, τ)

onde X = log SST

+ rτ

I Multiplicando por eik′X em ambos os lados e integrando em

ST∫ ∞0

dSTG(S, ST , v, τ)eik′X = e−rτ

∫ +∞+ib

−∞+ibdkei(k

′−k)[logS+rτ ]H∫ ∞−∞

dy

2πe−i(k−k

′)y︸ ︷︷ ︸y=logST

= e−rτH(k′, v, τ)

Função Característica

I

H(k, v, τ) =

∫ ∞0

dSTG(S, ST , v, τ)erτeikX

=

∫ ∞0

dST p(S, ST , v, τ)eikX

I Fazendo a mudança de variáveis ST → X na integral, dadoque X = log S

ST+ rτ

H(k, v, τ) =

∫ ∞−∞

dXp(S, ST , v, τ)ST eikX

=

∫ ∞−∞

dXp(X;S, v, τ)eikX

onde p(X; v, τ) = p(S, ST , v, τ)S exp(rτ − X)

Função Característica

I H(k, v, τ) é a Função Característica da densidade deprobabilidade p

H(k, v, τ) =

∫ ∞0

dST p(S, ST , v, τ)eikX

H(k, v, τ) =

∫ ∞−∞

dXp(X;S, v, τ)eikX

I Para k = 0

H(0, v, τ) =

∫ ∞0

dST p(S, ST , v, τ)

H(0, v, τ) =

∫ ∞−∞

dXp(X;S, v, τ)

I Se H(0, v, τ) = 1 a densidade de probabilidade p énormalizada.

Função Característica de BS vol. constante

Considerando λ = 0 e η = 0 na EDP de H temos

Hτ = −v2k(k − i)H

cuja solução

H(k, σ, τ) = exp

[− σ2

2k(k − i)τ

]Os prêmios das opções (b = 1

2)

C(S, σ, τ) = e−rτ(F −

√KF

2π

∫ +∞

−∞dke−ikX

1

k2 + 14

exp[− σ2

2(k2 +

1

4)τ])

P (S, σ, τ) = e−rτ(K −

√KF

2π

∫ +∞

−∞dke−ikX

1

k2 + 14

exp[− σ2

2(k2 +

1

4)τ])

Função Característica de BS vol. determinística

Considerando η = 0 na EDP de H temos

Hτ = −λ(v − v)Hv −v

2k(k − i)H

cuja solução

H(k, σ, τ) = exp

[− U2

τ

2k(k − i)τ

]onde

Uτ =

∫ τ

0vsds

edvt = −λ(vt − v)dt

Função Característica de HestonA EDP do modelo de Heston

Hτ = −vk(k − i)2

H + [−λ(v − v)− ikvρη]Hv + vη2

2Hvv

cuja solução

H(k, v, τ) = exp[W (k, τ) + vT (k, τ)]

onde

W (k, τ) = λv

[τT−(k)− 2

η2log

(1− g(k)e−d(k)τ

1− g(k)

)]T (k, τ) = T−(k)

(1− e−d(k)τ

1− g(k)e−d(k)τ

)e

g(k) =b(k)− d(k)

b(k) + d(k)

T±(k) =b(k)± d(k)

η2

d(k) =√b2(k) + η2k(k − i)

b(k) = λ+ iρηk

Modelo de Heston com Saltos

Seja a EDE

P :

{dSt = µtStdt+

√vtStdZ1 + (eα+δε − 1)Stdq

dvt = −λ(vt − v)dt+ η√vtdZ2

onde dq é o processo de Poisson

dq =

{0 com probabilidade 1− λ(t)dt

1 com probabilidade λ(t)dt

e ε ∼ N(0, 1)

Devemos encontrar a função característica H(k, v, τ) do log-price,x = logS.

Modelo de Heston com Saltos

Seja a EDE

P :

{dSt = µtStdt+

√vtStdZ1 + (eα+δε − 1)Stdq

dvt = −λ(vt − v)dt+ η√vtdZ2

onde dq é o processo de Poisson

dq =

{0 com probabilidade 1− λ(t)dt

1 com probabilidade λ(t)dt

e ε ∼ N(0, 1)

Devemos encontrar a função característica H(k, v, τ) do log-price,x = logS.

Modelo de Heston com Saltos

Se o processo de saltos é independente do processo de difusão dospreços temos a soma de variáveis aleatórias independentes.

Distribuição da soma de v.a. independentesSejam z ∼ Pz(Z) e w ∼ Pw(W ) variáveis aleatórias independentes. Adistribuição conjunta

Pzw(Z,W ) = Pz(Z)Pw(W )

Definindo u = z + w → w = u− z

Pzw(Z,W ) = Pz(Z)Pw(U − Z)

Obtemos a distribuição de u integrando em z

pu(U) =

∫ +∞

−∞dZPzw(Z,W ) =

∫ +∞

−∞dZPz(Z)Pw(U − Z)

A integral acima é uma integral de convolução.

Modelo de Heston com Saltos

Se o processo de saltos é independente do processo de difusão dospreços temos a soma de variáveis aleatórias independentes.

Distribuição da soma de v.a. independentesSejam z ∼ Pz(Z) e w ∼ Pw(W ) variáveis aleatórias independentes. Adistribuição conjunta

Pzw(Z,W ) = Pz(Z)Pw(W )

Definindo u = z + w → w = u− z

Pzw(Z,W ) = Pz(Z)Pw(U − Z)

Obtemos a distribuição de u integrando em z

pu(U) =

∫ +∞

−∞dZPzw(Z,W ) =

∫ +∞

−∞dZPz(Z)Pw(U − Z)

A integral acima é uma integral de convolução.

Modelo de Heston com Saltos

Integral de convoluçãoSeja a operação de convolução

f ⊗ g =

∫ +∞

−∞dxf(x)g(y − x)

A transformada de Fourier de uma operação de convolução é oproduto das transformadas de Fourier

F[f ⊗ g

]= F [f(x)]F [g(x)] = f(k)g(k)

A Função Característica do modelo de Heston com Saltos é oproduto da função característica do modelo de Heston com ado processo com Jumps.

Modelo de Heston com Saltos

Integral de convoluçãoSeja a operação de convolução

f ⊗ g =

∫ +∞

−∞dxf(x)g(y − x)

A transformada de Fourier de uma operação de convolução é oproduto das transformadas de Fourier

F[f ⊗ g

]= F [f(x)]F [g(x)] = f(k)g(k)

A Função Característica do modelo de Heston com Saltos é oproduto da função característica do modelo de Heston com ado processo com Jumps.

Modelo de Heston com Saltos

A função característica do modelo de Heston com Saltos

H(k, v, τ) = Hh(k, v, τ)Hj(k)

= exp[W (k, τ) + vT (k, τ)]︸ ︷︷ ︸Modelo de Heston

exp[ψ(k)T ]︸ ︷︷ ︸Termo com Saltos

onde

ψ(k) = −λJ ik(eα+δ2/2 − 1) + λJ(eikα−k

2δ2/2 − 1)

Calibrando na Superfície de preços

26002800

30003200

34003600

00.2

0.40.6

0.810

200

400

600

Figura: Superfície com os preços calibrados com o modelos de Heston(vermelho) e Heston com Saltos (azul)

Resultados para o Smile na volatilidade

2000 2050 2100 2150 2200 2250 2300 23500.16

0.165

0.17

0.175

0.18

0.185

0.19

0.195

0.2

0.205

BS Vol.Heston Vol.Heston w/ Jumps Vol.

Figura: Simulando processos com Saltos

Simulação de processo com saltos

0 50 100 150 200 250 3001800

1900

2000

2100

2200

2300

2400

2500

2600

Figura: Simulando processos com Saltos

Modelos de Volatilidade Estocástica no Processo deValidação

Const. Vol. Heston Heston w/ Jumps143

144

145

146

147

148

149

SimVanillaHestonHeston w/ Jumps

Figura: Simulação de uma opção plain–vanilla em azul com barra deerros.

Perguntas