apostila de matemÁtica...

GRUPO FISS BANCO DE DADOS

APOSTILA DE

MATEMÁTICA REVISÃO

APOSTILA DIGITALIZADA POR ALUNOS PARA ALUNOS SEM FIMS LUCRATIVOS COM AUTORIZAÇÃO DO PROFESSOR.

" -

GEOMETRIAProf.: Alexandre Coutinho

1- Noções primitivas

l-As noções geométricas sãoestabelecidas por meio de definições ..

Adotaremos sem definir as noçõesde:

PONTO, RETA E PLANO

2- Notação de ponto reta e plano

a) Com letras

Ponto -letras maiúsculas latinas: A, B, ..Reta -letras minúsculas latinas: a, b, ...Plano - Letras gregas minúsculas:a,p,y ....

b) Notações gráficas

p•

o ponto P. A reta r. o plano a.

Obs: As proposiçoes geométricas sãoaceitas mediante demonstrações

3- Postulados da existência.

a) Numa reta, bem com fora dela,há infinitos pontos.

b) Num plano há infinitos planos.

4- posições de dois pontos e deponto e reta

a) A e B coincidentes - é omesmo ponto, um só ponto,com dois nomes: A e B

A'B (A=B)

b) Pontos distinto:

• A • B (Ai B)

c)Ponto pertence a reta:r

•A

(A E r)

d)Pontos colineares são pontos quepertencem a uma mesma reta

A~-'

Os pontos A e B distintos deter--minam a reta que indicamos por AB.--(A ;é B, A E r, B E r) =* r = ABA expressão duas retas colnciden-

tes é equivalente a uma única reta. r = Ã8

5- Postulados da determinação

a) Da reta: Dois pontos distintosdeterminam uma única que passa poreles.

A

b)Se uma reta tem dois pontos distintosnum plano, então a reta está contidanesse mesmo plano.

(A ;é- B, r = ÃB, A E a, B E a) =- r C a

c) Três pontos não colinearesdeterminam um único plano que passapor eles

Os pontos A, B e C não colinea-res determinam um plano a que indica-mos por (A, B, C).

O plano a é O único plano que pas-sa por A. B e C.

A6,"

d) Pontos coplanares são todos ospontos que pertencem a um mesmoplano.

e)Retas concorrentes

a) Definição

Duas retas são CfJncorrentes se, esomente se, elas têm um único pontocomum.

r n s = IP]

6- Segmento de reta - Definição

Dados dois pontos distintos, a reunião do conjunto desses dois pon-tos com o conjunto dos pontos que estào entre elesé um segmento de ma.

'Assim, dados A e B, A t B, o segmento de retaAB (indicado por .4B) é oque segue:

x. ,BAA B

AR = IA, B1 U IX IX está emn A e Bl

ÂNGULOSI-Definição

29. Chama-se ângulo à reuniãode duas semi-retas de mesma ori-gem, não contidas numa mesmareta (não colineares).

3- .Ângulos adjacentes:

Dois ângulos consecutivos são ad-jacentes se, e somente se, não têm pon-tos internos comuns.

AÔB e BÔC são ângulos adja-centes.

4-Ângulos opostos pelo vértice:

Dois ângulos são opostos pelo vér-tice se, e somente se, os lados de um de-les são as respectivas semi-retas opostasaos lados do outro.

õÃ e õê opostas 1- - =>OB e OD opostas

O~~--------~--

D A

AÔB e CÔD são opostos pelo vértice.

Notemos que duas retas concorrentes determinam dois pares de ângnopostos pelo vértice.

5- Ângulo suplementar adjacentes: asoma é igual a 1800•

•a c o A

6- ângulos:

bAÔB = aÔb = ~h a)reto

. ~ •...•..AOB = OA U OB

O ponto O é o vértice do ângulo.~ 4.

As semí-retas OA e OB são oslados do ângulo.

2- Ângulos consecutivos:Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, um lado de um deles é

zmbém lado do outro (um lado de um deles coincide com um lado do outro).

,<o~'kA A

AÔB e AÔC são AÔC e BÔC são AÔB e BÔC sãoconsecutivos consecutivos consecutivos

õÃ. é o lado comum). (OC é o lado comum). (00 é o lado comum).

b

"_______ L·..J...:..L-.... __ •••.

a

ab é retoO ângulo é igual a 90°

b)agudo

c

cd é agudoO ângulo é menor de 900

c) obtuso

e

êré obtusoO ângulo é maior de 90°

d) Ângulo raso:

O ângulo é igual a 1800

e) Ângulos complementares: São osângulos cuja soma é igual a 900

•

a+ fJ =900

f) Ângulos suplementares: São osângulos cuja soma é igual a 1800

•

a + fJ = 1800

g) Ângulos replementares: São osângulos cuja soma é igual a 3600

•

a + fJ = 3600

7- Unidade de medida de ângulos

10Grau = 60' min

l'min = 60" segundos

Grau minuto segundo

EXERCíCIOS

1) Simplifique as seguintes medidas:a) 30°70' d) 110°58'300"b) 45°150' e) 30°56'240"c) 65°39'123"

2) Determine a soma:a) 30°40' + 15°35'b) 10°30'45" + 15°29'20"

3) Determine as diferenças:a) 20°50'45" - 5°45'30"b) 31°40' - 20"45'

c) 90°15'20" - 45°30'50"d) 90° - 50°30'45"

4) Determine os produtos:a) 2 x (10°35'45") b) 5 x (6°15'30")

5) Determine o valor de x nos casos:~ ~ ~

Áo. ••30· xx .

b) d)

- / 1"_"0 /'~ ~

Obs: Se dois ângulos são opostos pelovértice, então eles são iguais.

6) Determine o valor de x nos casos:~ ~

7) Determine o valor de a nos casos:a) b)

2x - 10·

I\a = x + 40°

8)Calcule O complemento dos seguintesângulos:a) 47° b) 25° c) 3r25'

9)Calcule o complemento dos seguintesângulos:a) 72° b) 141° c) 93°15'

10)Dado um ângulo de medida x,indique:a) seu complemento;b) seu suplemento;c) o dobro do seu complemento;d) o triplo do seu suplemento;e) a sétima parte do complemento;f) a quinta parte do suplemento;

11) Dê a medida do ângulo que vale odobro do seu complemento.

12) Determine a medida do ângulo igualao triplo do seu complemento;

13) Calcule um ângulo, sabendo que umquarto do seu suplemento vale 36° .

14) Qual é o ângulo que .excede o seusuplemento em 66° .

15) Na figura, o ângulo x mede a sextaparte do ângulo y, mais a metade doângulo z. Calcule o ângulo y.

TRIÂNGULOS

1- Definição : Dados três pontos A, B, eC não colineares, à reunião dos,

- -seguimentos AB, BC e AC chama-setriangulo ABC.Indicação:Triangulo ABC = MBC

c

B~L--------a------~~

2- Classificação:a) Quanto aos lados, os triângulospodem se classificar em:- eqüiláteros se, e somente se, tem ostrês lados congruentes;- isósceles se, e somente se, dois os trêslados congruentes;- escalenos se, e somente se, dois os trêslados congruentes;

MBC equílátero 6RST isósceles 6MNP escaleno

A R N

p

b) Quanto aos ângulos, os triângulospodem se classificar em:- retângulo se, e somente se, têm umângulo reto;- acutângulo se, e somente se, têm ostrês ângulos agudos;- obtusângulo se, e somente se, têm osum ângulo obtuso.

c o R

B F T

6ABC retângulo em A bJJEF acutârígulo 6RST obtusângulo em S

3- Congruência de triângulos

a) Definição: Um triângulo écongruente (congruente ==) a outro se,somente se, é possível estabelecer umacorrespondência entre seus vértices demodo que:

seus lados são ordenadamentecongruentes aos lados do outro e

seus ângulos são ordenadamentecongruentes aos ângulos do outro.

A A'

(

AB == A'B' ~ == ~')A ABC =- 1\ "B'C' AC A'C - -LVl ,_>ft Ç=> _ == _' e B == B'

BC == B'C ê == t:A congruência entre triângulos é reflexiva, simétrica e transitiva.

b) Casos de congruência:1°caso - LAL - postulado:

• Se dois triân~ulos têm ordenadamente congruentes dois lados e oangulo compreendIdo, então eles são congruentes.

2°caso-ALA

"Se dois triângulos têm ordenadament~. congrue~tes um lado e ~~dois ângulos a ele adjacentes, então esses tnangulos sao congruentes.

At; ~~

A' A' = X

B' C' B' C'

3°caso-LLL

Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados. er.-tão esses triângulos são congruentes.

4°caso - LAAo

Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ân-gulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos sãocongruentes.

C'

o1\

/~/ \

A / \

~Hipótese

BC == B'C (I), fi == fi' (2), Â == Ã' (3)

Tese===> .6ABC == ,t\,A'B'C

4- Mediana de um triângulo - definição

Mediana de um triângulo é umsegmento com extremidades num vérti- Ace e no ponto médio do lado oposto.

M( é o ponto médio do lado BC.AM( é a mediana relativa ao lado

BC.

AMJ é a mediana relativa aovértice A,

B M,

5- Bissetriz interna de um triângulodefinição

Bíssetriz interna de um triânguloé o segmento, com extremidades numvérticee no lado oposto, que divide oângulo desse vértice em dois ânguloscongruentes.

S( E BC, SjÂB == S(ÂC

_ AS( é a bissetriz relativa ao ladoBC.

AS( é a bissetriz relativa ao vér-tice A.

6- Teorema do ângulo externo

Dado um /',ABe e sendo a a=Heta oposta à semi-reta éB, o ân-.g;;jo

A

ê = ACX

= t:bgulo externo do /',ABe adjacente-t e não adjacente aos ângulos  e li. e~ -----..:.....\ ....•......

O ângulo ê é o suplementar adjacente de ê.,

Exercícios1- Se o MBC é isósceles de base BC,determine x.

A

2- o MBC é eqüilátero. Determine x ey.

A

3- Se o MBC é isósceles de base BC,determine BC .

A:;AsB 2x + 4 C

4- Se o MBC é isóscelesde base BC,determine x.

A

~B C

5- Se o MBC é isósceles de base AC ,determine x.

A

B

c

6- Se o MBC é isósceles de base AC,determine x e y.

A

2x - 40°

B

7- Determine o valor de x e y, sabendoque o MBC é eqüilátero.

a) b)A A

B y+4 c8 y

8- Se o perímetro de um triânguloequilátero é de 75 em, quanto medecada lado?

9- Se o perímetro de um triânguloisósceles é de 100cm e a base mede 40em, quanto mede cada um dos outroslados?

10- Determine o perímetro do MBCnos casos:a) TriânguloAB = x+2y,BC=x+y+3

eqüilátero comAC=2x- y e

b)Triângulo isósceles de bas~ BC comAR = 2x +3, AC = 3x - 3e ;0 = x +3

11- Num triângulo isósceles, osemiperímetro vale' '7,5 cm. Calcule oslados desse triângulo, sabendo que asoma dos lados congruentes é oquádruplo da base.

12- Na figura, o triângulo ABC écongruente ao triângulo DCE.Determine o valor de a e fi .

E

A'"""jf-;;-t--;-hL--I-....::J.i~D

B

13-Na figura ao lado, o triângulo ABCé congruente ao triângulo CBD. Calculex e y e os lados do triângulo ACD.

o

~A " Bx . ov C

14- Na figura, o triângulo CBA écongruente ao triângulo CDE. Calcule xe y e a razão entre os perímetros dessestriângulos.

B E

A D

PARALELISMO

1- 'Retas paralelas - definição - Duasretas são paralelas ( símbolo: Ii ) se, esomente se, são coincidentes ( iguais )ou' são coplanares e não têm nenhumponto em comum.aca,bca,anb={}

ba

2- Reta transversal - sejam a e b duasretas distintas, paralelas ou não, e t umareta concorrentes com a e b:a) t é uma transversal de a e b:

b

a 4 3

a 5 6b

t

1 2

8 75 6

8 7

b) Com mais detalhes podemos ter:- Alternos internos: 3 e 5 , 4 e 6- Alternos externos: 1 e 7 , 2 e 8- Colaterais internos: 3 e 6 , 4 e 5- Colaterais externos: 1 e 8 , 2 e 7

c) Ângulos congruentes:(1=3=5=7)(2 = 4 = 6 = 8)

ÂNGULOS1- Ângulo externo - Em todo triângulo,qualquer ângulo externo é igual à somados dois ângulos internos nãoadjacentes a ele.

A

G8 Ce=A+B

2- Soma dos ângulos internos de umtriângulo

A

I Â + B + ê = 1800

Exercícios

1- Sendo a reta a paralela a reta b,determine x nos casos:

a) b)

b

~ ~~\_w_·_ ~a ~~ _

b

2) Se as retas r e s são paralelas,determine x nos casos:

a) b)

3- Se as retas r e s são paralelas,determine x e y.

a) b)

s 2x

4- Na figura, sendo a // b, calculea+P-r·

a

b

5- Sendo a paralela a b, calcule x.

a

b

6- Sendo a paralela a b, calcule x.

ac

b

7- Na figura abaixo, sendo r Ii s,calcu1e x e y.

t

s

8- Sendo as retas r e s paralelas,determine x, y e z nos casos:

. a) b)

s

9- Determine y nos casos:

a) b)

10- Determine x nos casos:

a) b)

11- Determine x e y:

a)

100·

130·fi

12- Determine os ângulos do triângulonos casos:

ca)

x + 20·B<--.J. ~:::::.. A

b)

BU'--------'--""A

13- Calcule o valor de x, sendo r/I s.

40" r

s

14- Calcule o valor de x e y, sendo r I I s..

r

5

15- Se r Ii s, calcule a.

16- Se r Ii s, calcule a.

A

B

5

c

QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS

Definição: Os quadriláteros notáveis sãoos trapézios, os paralelogramos, osretângulos, os losangos e os quadradosque possuem duas diagonais e a somados ângulos internos igual a 3600•

1- Trapézio: Um quadrilátero planoconvexo é um trapézio, se somente se,possuem dois lados paralelos.ABCDé trapézio <=> (AB Ii CD)

a) Trapézio isósceles, se os lados nãoparalelos são iguais.

AB e CD são bases do trapézío isósceles == (ê == f> e  == fi

A B

QD C

b) Trapézio escaleno, se os lados nãoparalelos são diferentes.

Trapézio retângulo (ou bi-retângulo) é um trapézio que tem dois iin@;los retos.

OLJDDA BA B A B A atrapézlc eescees trepéztõ escaleno trapézlo escaleno trapézlo retâng

2- Paralelogramo- Possui ladosângulos opostos iguais dois a dois.

D C

L---/ ---::!./A BABCD é paralelogramo <=> AB II CD

--e co ADII BC

1'\ A '" 1\

A==C e B==D

e

3- Retânguloângulos iguaisdois.

Possui os quatrose lodos iguais dois a

D C

DA B

ABCD é retângulo <=> Â = Ê == ê == f>- As diagonais são iguais e se cortam aomeio.4- Losango - Possui quatro lados iguaise paralelos dois a dois e com isso osângulos opostos também são iguais.

D

cA

B

ABCD é losango <=> AB == BC = CD == DA1\ 1\ 1\ 1\

A==C e B==D

5- Quadrado - Possui quatro lados equatro ângulos iguais- As diagonais são iguais e se cortam aomeIO.

DD~c

. l-A B

ABCDéquadrado <=> (Â == B == ê == DeAB == BC == CD == DA)

Exercícios1) Determine o valor de x nos casos:

b)

2) Determine os ângulos do quadriláteroABCD nos casos:

aJ o

B ••••.•.----w

b) B

3) Determine O' valor de x nos casos:

a) PA = PB

c

D

B

b) AB = AD e CB = CD

A

B

4L Se AP e BP são bissetrizes,determine x nos casos:

a)',.-------" B

D

o,--,---...,.--,.

A--- _=:::::~fi

5) Se O' trapézio ABCD é isósceles deA

bases AB e CB determine A.

A B

2x - 15°D~L-------------L~C

6) Se ABCD é um paralelogramo eA A AA = 2x e C = x + 70° , determine B .

7) Calcule os lados de um retângulocujo perímetro mede 40 em, sabendoque a base excede a altura em 4 cm.

SEMELHANÇA DE TRIANGULOS

I-Definição: dois triângulos sãosemelhantes se, somente se, possuemtrês ângulos ordenadamentecongruentes e os lados homólogosproporcionais.

A

CAbc>.B C

A'

6B' a'

(Ã=Ã' )

AABC - AA'B'Ç' -= B es tl' e ~ = ~ = ~ê"" t' a' b' c'

Exercícios:l-Os triângulos ABC e A'B'C' das.figuras são semelhantes. Se a razão de

3semelhança do 10para ao 2o e -2

determine:a) a, b e C

b)a razão entre os seus perímetros:

c A

a C

A'

ÜB' 14 C'

2- Os triângulos ABC e PQRsemelhantes. Determine x e y.

Q

'~'~B 20 C

são

3-0s triângulos KLM e FGH sãosemelhantes. Determine x.

K

M

F

GG x42

4-0s três lados de um triangulo ABCmedem 8 em, 18 em e 16 cm.Determine os lados de um TrianguloA' B' C' semelhante a ABC, sabendoque a razão de semelhança do primeiropara o segundo é 3.

5-Se DE//Be, determine x nos casos:

a)

A

f-----~E

c

b) x = AD

E

6- O perímetro de um triângulo é 60 m eum dos lados tem 25 m. Qual operímetro do triangulo semelhante cujoo lado homólogo ao lado dado mede 15em?

7- Os lados de um triângulo medem 8,4em, 15,6cm e 18 em. Esse triângulo ésemelhante a um triângulo cujoperímetro mede 35cm. Calcule o maiorlado do segundo triângulo.

8-0s lados de um triângulo ABCmedem 4 em, Sem e 6 em. Calcule oslados de um triângulo semelhante aABC , cujo perímetro mede 20em.

9-Se os ângulos com marcas iguais sãocongruentes, determine as incógnitasnos casos:

a)

b)

9~X 2:1-~ y

6

10-Se a =p, determine x e y noscasos:

a)

b)

2 y

ll-Detennine x e y nos casos:

a)

b)

~A~~------------~~x

12-Sendo r e s retas paralelas, determinex.

a)

13- Nas figuras, determine x.

~17

b)

RELACÓESMÊTIDCASNOTRIÂNGULO RETÂNGULO

Sendo o triângulo ABC, retângulo emA, com altura AD.

A

~/ b

--_---"'...a.. CJ

A A!

!c jhL IL_RB n D 6

D

Explorando a semelhança de triângulos,temos que:

a c 2MBC ~ I1DBA => - = - => c = a.n ;c na b 2MBC ~ I1DAC => - = - => b = a.m ;b mh n 2I1DBA ~ I1DAC => - = - => c = a.n .m h

Essas são as principais relações dotriângulo retângulo, mas outras relaçõessão importantes, como:- a.h = b.c- e o teorema de Pitágoras a2 = b2 + c2

Exercícios:1- Determine o valor de x:a)

5

x

b)

3

2- Determine o valor de x nos casos:

a)

5

x

b)x+2

6

x

3-Num triângulo retângulo, os catetossão de 3 em e 4cm. Determine ahipotenusa, as projeções dos catetossobre a hipotenusa e a altura relativa àhipotenusa.

4-A altura relativa à hipotenusa de umtriangulo retângulo mede 4,8 e ahipotenusa mede 10cm. Calcule amedidas dos catetos.

5)Calcule x, y, z e t no trianguloretângulo abaixo.

,

,~x

15

6-Num triangulo retângulo a alturadetermina na hipotenusa dois segmentosde medidas 9 em e 16cm. Calcule ahipotenusa os catetos e a altura.

7- Determine o valor de x:

a)

b)x

~

(56 .

. . 34

8- Determine o valor de x e m cadacaso:

a)

b)

9- Determine o valor de x nos casos :

a) retângulo

5

12

b) quadrado

6

10 - O perímetro de um retângulo é de30 cm e a diagonal 5./5 m. Determineos lados desse retângulo.

11- Determine o valor de x e m cadacaso:

a)

4~

x

b}

~10

c)A

c

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

* Retângulo

*Quadrado: Dada um quadrado de ladoa.

a

a

Ao = a . a => , Ao::;: a2 I

*Parale1ogramo: Equivale a área doretângulo.

r-----

1,

DJ,,,h

II- b __ o-j f---b_

*Triângulo:

--------7I

r,- '---------:::.,'

--b----I

A--º--:...1L

T - 2

Obs: Área do triangulo eqüilátero delado a. um triângulo eqüilátero de lado

a-J3a tem altura h=-- e sua área é então:

2

s ~ + a af = l_s_=: a_2_f3=-3_

*Trapézio:

b2

I A ~ (b, + b,)· hTra 2

*Losango:

* hexágono: Temos em um hexágonoexatamente seis triângulos eqüiláteros.

1_ t __~1

Ahexásono = 6 . S

*Área do círculo

A 3lj 2hexágono = ~

*Área da coroa circular

EXERCÍCIOS1)Detennine a área das figuras abaixo,sendo o metro a unidades das medidasr---------------~ indicadas.ã)\ quadrado ~~ retângulo

ou (D)~ 1rDzAr = 'ir T = --4-

Obs: O comprimento da circunferênciaé dado pela seguinte fórmula C = 2w

*Área do setor

*Área do segmento circular

RA =(f-h)-segm 2

6 8

c) paralelogramo-;»

6

d) losango e) quadrado

g) trapézio h) paralelogramo

D/~ 2 ,/

" ~*t"

j)

2) A área do polígono é dada entreparênteses, em cada caso. Determine x.a) quadrado (36 m') b) quadrado (50 mZ)

<>d) trapézio (10 mZ) e) trapézio (18 m2)

x + 2 x + 2

3) Na figura temos um quadrado ABCDinscrito no triângulo PQR. Se QC éigual ao lado do quadrado, RD= 3cm, aaltura, relativa a AB, do triângulo PABé igual a 4cm e a área do triângulo PQRé de 75cm. Determine o lado doquadrado.

p

R '---:!:-__ .,!:-__ ~ Q

4) Determine a área do retângulo noscasos a seguir, sendo o metro a unidade

8 de medida.a) b)

o C5J15 12

c)

5) Determine a área dos paralelogramosnos casos a seguir, sendo o metro aunidade de medida.

a) b)

16 f3 4-

c)

6) Determine a área dos triângulos noscasos a seguir, sendo o metro a unidadede medida.

a) b)

17 12

d) e)

7)' Determine a área do triângulos noscasos a seguir, sendo o metro a unidadede medida.

a) b)

d) e)

6

~10

8) A área de um retângulo mede 40cm2

e sua base excede em 6 em a sua altura.Determine a altura do retângulo.

9) Um retângulo tem 24cm2 de área e20 em de perímetro. Determine suasdimensões.

lO)Uma das bases de um trapézioexcede a outra em 4cm. Determine asmedidas dessas bases, sendo 40cm 2 aárea do trapézio e Scm sua altura.

11)Determine a área de um losango,sendo 120cm o seu perímetro e 36cm amedida do diagonal menor.

12) Determina o lado de um quadrado,sabendo-se que, se aumentarmos seulado em 2cm, sua área aumenta em36cm2

•

13) Determine a área do círculo e ocomprimento da circunferência noscasos:

a) b)

e)

Q.: ~'\~/12m

14) Determine a área da coroa circularnos casos:

b)a)

IS)Determine a área do setor circularsombreado nos casos abaixo:~ W

d}

6m

c)

16) Determine a área da regiãosombreada nos casos:a) quadrado de lado 8 m

o

b) hexágono regular de lado 6 m

oc) triângulo equilátero de lado

12 m

d) quadrado de lado 8 m

oe) hexágono regular de lado 12 m

f) triângulo equilátero de 6 m delado

17) Calcule a área da superficiesombreada, sabendo-se que Oquadrilátero dado é um quadrado.

a) b)

18) Calcule a área da superficiesombreada.

a) quadrado ' b) retângulo c

19) Determine a área sombreada, nasfiguras abaixo, sendo AC o triplo de CBe AB igual a 32 cm.

a)

B

b)

AI------'*---+=:.....--fB

20) Calcule a área da superficiesombreada.