apostila de conjuntos (6 páginas, 36 questões)
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1 . CONCEITO É qualquer coleção de objetos, pessoas,
números, etc.
Exemplos: Uma sala de aula é um conjunto de alunos;
Um bairro é um conjunto de casas;
O universo é um conjunto de estrelas, pla-
netas, etc.
2 . ELEMENTOS DE UM CONJUNTO São objetos que formam esse conjunto.
3 . REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS Os conjuntos são representados por
letras maiúsculas e quando os elementos são
letras, essas são letras minúsculas.
3.1 Por chaves:
Exemplos: 1ª) Conjunto A dos dias da semana:
A = {domingo, segunda, terça, quarta, quinta,
sexta, Sábado}.
2ª) Conjunto B dos números pares:
B = {0, 2, 4, 6, ...}
Observação: o conjunto A é finito (tem nº
limitado de elementos) e o conjunto B é infini-
to (tem nº ilimitado de elementos).
3.2 Por diagrama (Venn):
Exemplo: Conjunto C das vogais:
C
a
e
io
u
Observação: não se repre-
senta conjuntos
infinitos em dia-
gramas.
3.3 Por propriedade:
Exemplos:
1ª) A = {x/ x é vogal}
2ª) B = {x/ x é um número natural menor que 6}
4 . SÍMBOLO DE PERTINÊNCIA Entre elementos e conjunto utiliza-se os
símbolos (pertence) ou (não pertence).
Exemplo: Seja A = {1, 3, 5, 6}, segue que,
1 A, 2 A, 3 A, 4 A, 5 A, 6 A.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Escreva o conjunto expresso pela proprie-
dade:
a) A = {x/ x é um número natural menor do
que 8}
b) B = {x / x é ímpar}
c) C = {x/ x é um número múltiplo de 5 e me-
nor do que 31}
d) D = {x/ x é letra da palavra “conjunto”}
5 . IGUALDADE DE CONJUNTOS Dois conjuntos são iguais quando pos-
suem os mesmos elementos.
Exemplo: Conjunto A das letras da palavra arte.
A = {a, r, t, e}
Conjunto B das letras da palavra reta.
B = {r, e, t, a}
Logo A = B.
6 . CONJUNTO UNITÁRIO É o conjunto que possui um único ele-
mento.
Exemplo:
A = {x/ x é dia da semana que começa com a
letra D}
A = {domingo}
7 . CONJUNTO VAZIO É o conjunto que não possui elementos.
O conjunto vazio é representado por { } ou .
Exemplo:
B = {x/ x é mês do ano com 25 dias}
B =
Observação: é diferente de { }, pois { }
é um conjunto unitário que tem como único
elemento o conjunto vazio.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
2) Classifique o conjunto como unitário ou
vazio:
a) A = {x / x é um número natural menor do
que 1}
b) B = {x / x é maior do que 10 e menor
do que 11}
c) C = {x/ x é número par maior do que 3 e
menor do que 5}
d) D = {x/ x é número primo maior do que 7
e menor do que 11}
e) E = {x / x + 7 = 4}
f) F = {x / x < 0}
g) G = {x / 5x = 60}
h) H = {x/ x é uma figura plana de três lados}
8 . SUBCONJUNTOS Quando todos os elementos de um con-
junto A qualquer pertencem a um outro con-
junto B, diz-se, então, que A é um subcon-
PROF. GILBERTO SANTOS JR
CONJUNTOS
E. E. E. F. M. MIN.
ALCIDES CARNEIRO
Turma:
Aluno:
2
2
5
9
6
1
A
8
4
7
3
junto de B ou A está “dentro” de B ou A está
contido em B, simbolicamente A B.
E ainda, por A está “dentro” de B, B
contém A, simbolicamente B A.
Observações:
Todo conjunto de A é subconjunto dele pró-
prio, ou seja, A A;
O conjunto vazio, por convenção, é subcon-
junto de qualquer conjunto, ou seja, A.
Exemplos:
1ª) A = {1, 3, 7} é subconjunto de B = {1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8}, pois cada elemento que per-
tence a A também pertence a B, A B.
2ª) Consideramos P o conjunto dos números
naturais pares e o conjunto dos números
naturais, temos:
P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...} e
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}
Neste caso P , pois todos os ele-
mentos de P pertencem a .
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
3) Dados os conjuntos A = {1, 2}, B = {1, 2,
3, 4, 5}, C = {3, 4, 5} e D = {0, 1, 2, 3, 4,
5}, classifique como verdadeiro(V) ou falso(F):
a) A B
e) C A i) A
b) C A
f) A D j) D A
c) B D
g) B C l) B
d) D B h) B B m) C D
4) Considerando que:
A é o conjunto dos números naturais ímpa-
res menores do que 10;
B é o conjunto dos dez primeiros números
naturais;
C é o conjunto dos números primos meno-
res do que 9; use os símbolos ou e re-
lacione esses conjuntos na ordem dada:
a) A ..... B b) C ..... A c) C ..... B d) A ..... C
9 . UNIÃO DE CONJUNTOS Dado os conjunto A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto represen-
tado por A B, formado por todos os elementos pertencentes a A ou B. Simbolicamente,
A B = {x/ x A e x B}
Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e
B = {3, 4, 5, 6}, A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Em diagramas,
1 53
A B
2 64
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
5) Sendo A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 2, 3, 5}, C
= {x/ x é número par menor que 10} e
D = {x/ x é número ímpar compreendido entre
4 e 10}, determine:
a) A B =
b) A C =
c) B C =
d) C D =
e) (A B) C =
6) Considere os diagramas a seguir:
Determine:
a) A B =
b) A C =
c) B C =
d) A B C =
10 . INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS Dados os conjuntos A e B, define-se
como intersecção dos conjuntos A e B ao con-
junto representado por A B, formado por
elementos pertencentes a A e B, ao mesmo
tempo, isto é, elementos comuns, que se repe-
tem em A e B. Simbolicamente,
A B = {x/ x A e x B}
Observação: Quando A B = , os conjun-
tos A e B são chamados disjuntos.
Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e
B = {3, 4, 5, 6}, A B = {3, 4}.
Em diagramas,
1 53
A B
2 64
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
7) Sendo A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {0, 1, 2},
C = {x/ x é par menor que 10} e D = {x/ x é
ímpar compreendido entre 0 e 6}, determine:
a) A B =
b) A C =
c) B C =
d) (A B) C =
e) (A C) D =
3
3
5
2
6
1
X
4
7
8) Dados os conjuntos A = {x/ x é natural
ímpar menor que 10}, B = {x/ x é par entre 3
e 11} e C = {x/ x é natural menor do que 5},
determine:
a) A B =
b) A C =
c) A C =
d) A B =
e) (A B) C =
f) (A C) B =
9) Considere os diagramas:
Determine:
a) X Y =
b) X Z =
c) Y Z =
d) X Y Z =
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR
10)(UEPA-2009) A Teoria dos Conjuntos nos
ajuda a interpretar situações como o comparti-
lhamento de arquivos de música entre apare-
lhos móveis. Os arquivos do FolkMusic, um
software de aparelhos
móveis, representam
conjuntos e as músicas
são elementos desses
conjuntos. O diagrama
abaixo representa uma
situação de comparti-
lhamento de músicas
entre arquivos do
FolkMusic. Com base
no diagrama, é correto afirmar que:
(a) O arquivo A, o arquivo B e o arquivo C
possuem músicas em comum.
(b) O arquivo A, o arquivo B, o arquivo C e o
arquivo D possuem músicas em comum.
(c) O arquivo B e o arquivo D possuem músi-
cas em comum.
(d) O arquivo C só possui músicas em comum
com o arquivo B.
(e) O arquivo C só possui músicas em comum
com o arquivo A.
11 . DIFERENÇA DE CONJUNTOS Dados os conjuntos A e B, define-se
como diferença entre A e B (nesta ordem) ao
conjunto representado por A - B, formado por
todos os elementos pertencentes a A, mas que
não pertencem a B. Ou seja, A – B é um con-
junto formado por elementos que pertencem
somente a A. Simbolicamente,
A – B = {x/ x A e x B}
Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e
B = {3, 4, 5, 6}, A - B = {1, 2}.
Em diagramas,
1 53
A B
2 64
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
11) Dados A = {0, 1, 2, 3,}, B = {1, 2, 3} e
C = {2, 3, 4, 5}, determine:
a) A – B =
b) A – C =
c) B – C =
d) (A B) – C =
e) (A – C) (B – C) =
f) A - =
12) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d, e, f, g},
B = {b, d, g, h, i} e C = {e, f, m, n}, determine:
a) A – B =
b) A – C =
c) B – C =
d) B – A =
13) Considere os diagramas:
9
7
84
E F
5
13
Escreva os seguintes conjuntos:
a) E =
b) F =
c) E F =
d) E F =
e) E – F =
f) F – E =
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR
14)(UFPI) Considerando os conjuntos A, B
e C na figura ao lado, a região hachurada
representa:
(a) B – (A – C)
(b) B (A – C)
(c) B (A C)
(d) B (A C)
(e) B – (A C)
4
12 . PROBLEMAS QUE ENVOLVEM CONJUNTOS
15) Numa escola de 630 alunos, 350 deles
estudam inglês, 210 estudam espanhol e 90
deles estudam as duas matérias (inglês e es-
panhol). Pergunta-se:
a) Quantos alunos estudam somente inglês?
b) Quantos alunos estudam somente espanhol?
c) Quantos alunos estudam inglês ou espanhol?
d) Quantos alunos estudam inglês e espanhol?
e) Quantos alunos não estudam nenhuma das
duas matérias?
16) Numa pesquisa sobre preferência em re-
lação a dois jornais, foram consultadas 470
pessoas e o resultado foi o seguinte: 250 lêem
o jornal A, 180 lêem o jornal B e 60 lêem os
jornais A e B. Pergunta-se:
a) Quantas pessoas lêem apenas o jornal A?
b) Quantas pessoas lêem apenas o jornal B?
c) Quantas pessoas lêem jornais?
d) Quantas pessoas não lêem jornais?
17) Uma prova com duas questões foi dada a
uma classe de 40 alunos. Dez alunos acerta-
ram as duas questões, 25 acertaram a primei-
ra questão e 20 acertaram a segunda questão.
Quantos alunos erraram as duas questões?
18) Na porta de um ginásio esportivo foi feita
uma pesquisa com 100 pessoas, sobre o gosto
de dois esportes. As respostas foram: 60 pes-
soas gostam de vôlei, 50 pessoas gostam de
basquete e 20 gostam de vôlei e basquete.
Faça o que se pede:
a) O esboço em diagramas.
b) Quantas pessoas gostam somente de vôlei?
c) Quantas pessoas gostam somente de bas-
quete?
d) Quantas pessoas gostam de vôlei e bas-
quete?
e) Quantas pessoas gostam de vôlei ou bas-
quete?
f) Quantas pessoas responderam que não gos-
tam desses esportes?
19) Um professor de Português sugeriu em
uma classe a leitura dos livros Helena, de Ma-
chado de Assis, e Iracema de José de Alencar.
Vinte alunos leram Helena, 15 leram só Ira-
cema, 10 leram os dois livros e 15 não leram
nenhum deles.
a) Quantos alunos leram Iracema?
b) Quantos alunos leram só Helena?
c) Qual o número de alunos dessa classe?
20) Numa pesquisa feita com 1000 famílias
para se verificar a audiência dos programas de
televisão, os seguintes resultados foram en-
contrados: 510 famílias assistem ao programa
A, 305 assistem ao programa B e 386 assis-
tem ao programa C, sabe-se ainda que 180
famílias assistem aos programas A e B, 60
assistem aos programas B e C, 25 assistem a
A e C, e 10 famílias assistem aos três progra-
mas.
a) Quantas famílias assistem somente ao pro-
grama A?
b) Quantas famílias não assistem a nenhum
desses programas?
c) Quantas famílias não assistem nem ao pro-
grama A nem ao programa B?
21) Na porta de um supermercado foi realiza-
da uma enquete, com 100 pessoas, sobre três
produtos. As respostas foram: 10 pessoas
compram somente produto A, 30 pessoas
compram somente produto B, 15 compram
somente produto C, 8 pessoas compram A e
B, 5 compram A e C, 6 compram B e C, e 4
compram os três produtos.
a) Quantas pessoas compram pelo menos um
dos três produtos?
b) Quantas pessoas não compram nenhum
desses três produtos?
c) Quantas pessoas compram os produtos A e
B e não compram C?
d) Quantas pessoas compram o produto A?
e) Quantas pessoas compram o produto B?
f) Quantas pessoas compram os produtos A ou B?
22) Em uma pesquisa realizada com 50 pes-
soas para saber que esporte elas apreciavam
entre futebol, basquete e vôlei, o resultado foi
o seguinte: 23 gostam de futebol, 18 de bas-
quete e 14 de vôlei; 10 gostam de futebol e
basquete; 9 gostam de futebol e vôlei; 8 gos-
tam de basquete e vôlei e 5 gostam das três
modalidades.
a) Quantas pessoas gostam somente de futebol?
b) Quantas pessoas não gostam de nenhum
desses esportes?
c) Quantas gostam só de basquete?
d) Quantas gostam apenas de vôlei?
e) E quantas não gostam nem de basquete
nem de vôlei?
f) Quantas pessoas gostam só de futebol ou só
de basquete ou de ambos?
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES
23)(PRISE-2006) Uma pesquisa realizada
com 50 famílias sobre o consumo de dois tipos
de peixes, A e B apresentou os seguintes resul-
tados: 25 famílias consomem o peixe A, 15
famílias consomem o peixe B, e 5 famílias
5
consomem os dois tipos de peixes. O número
de famílias que não consomem nenhum tipo de
peixe é:
(a) 5 (b) 10 (c) 15 (d) 35 (e) 45
24)(Unifenas-MG) O tipo sanguíneo de uma
pessoa é classificado segundo a presença, no
sangue, dos antígenos A e B. Podemos ter:
Tipo A: pessoas que têm só o antígeno A.
Tipo B: pessoas que têm só o antígeno B.
Tipo AB: pessoas que têm A e B.
Tipo O: pessoas que não têm A nem B.
Em 55 amostras do sangue, observamos que
20 apresentam o antígeno A, 12 apresentam B
e 7 apresentam ambos os antígenos. O número
de amostras de sangue tipo O é:
(a) 516 (b) 25 (c) 30 (d) 7
25)(UEPA-2007, Modificada) Os carros po-
dem ser adquiridos dentre três alternativas em
termo de combustíveis. Podem ser movidos a
gasolina, a álcool ou aos dois combustí-
veis(flex). Desta forma, foi verificado que no
pátio de uma concessionária de veículos há:
120 automóveis que podem ser movidos a ga-
solina; 112 que podem ser movidos a álcool e
93 que podem ser movidos com os dois com-
bustíveis(flex). O número de carros existente
no pátio dessa concessionária é:
(a) 325 (b) 232 (c) 213 (d) 205 (e) 139
26)(UEPA–2005) "Cabelo e o vestuário são
itens que se destacam no rol de preocupações
das adolescentes que costumam frequentar as
baladas belenenses", é o que aponta a pesquisa
realizada com 650 meninas, na faixa etária
entre 15 e 19 anos. Destas 205 comparecem a
esse tipo de festa se adquirem um traje inédi-
to; 382 se fazem presentes após uma boa es-
cova no cabeleireiro; 102 aparecem nos locais
onde acontecem as baladas com traje inédito e
depois de uma escova no cabeleireiro. Pergun-
ta-se: quantas são as adolescentes consultadas
que não se preocupam em ir ao cabeleireiro
fazer escova, nem em vestir uma roupa inédi-
ta?
(a) 39 (b) 63 (c) 102 (d) 165 (e) 177
27)(UEPA) Um município do interior foi
acometido de um surto de dengue e cólera.
De um grupo de 560 pessoas consultadas
verificou-se que 330 haviam contraído cóle-
ra, 210 contraído dengue e 100 nenhuma
das duas doenças. Quantas pessoas contraí-
ram as duas doenças?
(a) 80 (b) 130 (c) 250 (d) 460 (e) 20
28)(UEPA-2011) Imagine que, após uma
reunião sobre o tema “degradação do meio
ambiente”, da qual participaram 20
empresários do setor supermercadista da
região metropolitana de Belém, todos tenham
tomado suas decisões sobre as ações que
iriam adotar. Se 8 deles decidiram pelo
incentivo ao uso das sacolas retornáveis, 9
decidiram pela adoção da coleta seletiva e 3
disseram que iriam aderir às duas iniciativas
propostas, o número de empresários que
decidiu não adotar nenhuma das iniciativas
foi de:
(a) 1 (b) 3 (c) 6 (d) 11 (e) 13
29)(UEPA-2011) Em uma determinada
cidade, os moradores de 30% das
residências existentes possuem carro, 15%
possuem moto e 8% possuem carro e moto.
Em nenhuma das residências há mais de um
veículo da mesma espécie e em 630
residências não existe nenhum desses
veículos. O consumo médio diário de um
carro nessa cidade é de 4 litros e o de uma
moto, 2 litros. Sabe-se que, para cada litro
de gasolina consumida por um veículo, é
lançado na atmosfera aproximadamente 3kg
de dióxido de carbono (CO2). Em um
determinado dia, nessa cidade, todos os
veículos foram utilizados. A emissão de CO2
na atmosfera, resultante do consumo desses
veículos nesse dia foi de:
(a) 1 500 kg (c) 3 000 kg (e) 6 780 kg
(b) 2 260 kg (d) 4 500 kg
30)(UNAMA-2004/1) Em 2000, quase a
metade dos municípios brasileiros não dispu-
nha de sistema de coleta de esgoto, fato que
favorece a propagação de parasitoses, sendo
mais frequentes as causadas por Ascaris lum-
bricóides (lombriga) e Enterobius vermicula-
res (tuxina). Numa comunidade de 560 habi-
tantes, onde o saneamento básico é precário
e a população não recebe orientações sobre
como se prevenir, constatou-se, após exame
em todos os habitantes, que 308 apresenta-
vam ovos de lombriga; 280 apresentavam
ovos de tuxina e 20% dos habitantes não
apresentavam infestação por estes vermes. O
número de habitantes desta comunidade que
estavam infestados pelos dois vermes é:
(a) 112 (b) 140 (c) 160 (d) 168
31)(PROSEL-2006) A Câmara dos Deputa-
dos reuniu-se extraordinariamente para decidir
sobre a instalação de duas comissões Parla-
mentares de inquéritos CPI: A do FUTEBOL e
a do CAIXA 2. Dos 320 Deputados presentes,
190 votaram a favor da CPI do FUTEBOL;
200 pela instalação da CPI do CAIXA 2; 90
votaram a favor da CPI da duas comissões e X
deputados foram contrários à instalação das
6
CPIs. O número X de deputados que votaram
contra a instalação das CPIs é:
(a) 160 (b) 90 (c) 70 (d) 50 (e) 20
32)(CEFET-PR) Num colégio de segundo
grau com 2000 alunos, foi realizada uma
pesquisa sobre o gosto dos alunos pelas dis-
ciplinas de Física e Matemática. Os resultados
da pesquisa se encontram na tabela a seguir:
Número de alunos
Gostam de Matemática 1000 Gostam de Física 800
Não gostam de Matemática nem de Física
500
O número de alunos que gostam de Mate-
mática e Física simultaneamente é:
(a) 700 (b) 500 (c) 300 (d) 200 (e) 100
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES
EXTRAS
33)(PRISE-2004) Na tentativa de elevar os
índices de audiência de seus programas, uma
emissora de rádio decidiu realizar uma pesqui-
sa para conhecer a preferência musical dos
moradores de diferentes bairros de Belém.
“PAGODE”, “AXÉ” e “BREGA” foram as opções
musicais mais citadas pelos 1000 entrevista-
dos, conforme indicam os dados tabelados a
seguir:
Quantidade de en-
trevistados Opção Musical
290 Preferem Pagode
375 Preferem Axé
425 Preferem Brega
160 Preferem Pagode e Axé
120 Preferem Pagode e Brega
145 Preferem Axé e Brega
65 Preferem Pagode, Axé e
Brega.
Sem esquecer a existência daqueles que mani-
festaram outras opções musicais, quantos são
aos que não preferem nem “BREGA” e “AXÉ”?
(a) 75 (b) 130 (c) 260
(d) 265 (e) 345
34)(PRISE-2001) Durante o Círio de Nossa
Senhora de Nazaré de 2001, em Belém, con-
sultamos 1500 fiéis acerca dos motivos que os
levaram a acompanhar aquela procissão de fé.
“SAÚDE”, “CASA PRÓPRIA” e “PAZ MUNDIAL”
foram as razões apresentadas por aqueles que
responderam a nossa pergunta. Destes, 860
oravam por SAÙDE; 850 agradeciam a CASA
PRÓPRIA; 800 clamavam pela PAZ MUNDIAL;
350 rogavam por SAÚDE e CASA PRÓPRIA;
400 pediam SAÚDE e PAZ MUNDIAL; 500 que-
riam CASA PRÓPRIA e PAZ MUNDIAL, e 150
rezavam por SAÚDE, CASA PRÓPRIA e pela
PAZ MUNDIAL. Diante destes resultados, quan-
tos fiéis consultados não responderam a nossa
pergunta?
(a) 80 fiéis (b) 90 fiéis (c) 100 fiéis
(d) 110 fiéis (e) 120 fiéis
35)(PSS-2008) Feita uma pesquisa entre
100 alunos, do Ensino Médio, acerca das disc i-
plinas português, geografia e história, consta-
tou-se que 65 gostam de português, 60 gos-
tam de geografia, 50 gostam de história, 35
gostam de português e geografia, 30 gostam
de geografia e história, 20 gostam de história e
português e 10 gostam dessas três disciplinas.
O número de alunos que NÃO gosta de ne-
nhuma dessas disciplinas é:
(A) 0 (B) 5 (C) 10 (D) 15 (E) 20
36)(PSS-2004) Ao final de sua aula, o pro-
fessor realizou uma enquête sobre os acertos
nas três questões anteriores com seus 100
alunos. Pelas respostas recebidas verificou: 44
alunos acertaram a 1ª questão; 26 acertaram
a 2ª questão; 37 acertaram a 3ª questão; 10
acertaram a 1ª e a 2ª; 8 acertaram a 1ª e a
3ª; 9 acertaram a 2ª e a 3ª e 5 acertaram as
três questões. NÃO acertaram nenhuma ques-
tão:
(A) 20 alunos (B) 22 alunos (C) 10 alunos
(D) 12 alunos (E) 15 alunos
“Você constrói a sua vitória.”
“A perseverança alimenta a esperança.”
Gostou da Apostila? Você a en-
contra no Blog:
http://professorgilbertosantos.blogspot.com.br/
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gestão. É importante para o nosso trabalho.
Um grande abraço!
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