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APLICAÇÕES DE FT

Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

Aplicações de FT

Resposta em Freqüência Analisar o comportamento de um sistema

no domínio da freqüência Convolução no tempo Modulação em

freqüência

Propriedades usadas Comutação/cascata Distribuição/paralelismo

Aplicações de FT

Resposta em freqüência Filtros

Conseqüência natural da convolução temporal Modulação espectral

Conceitualmente Dispositivo que amplifica a potência de algumas

faixas de freqüência e atenua a potência de outras faixas de freqüência para um sinal de entrada

Aplicações de FT

Filtros Classificação padrão

Passa-baixas (low-pass) Passa-altas (high-pass) Passa-bandas (band-pass) Rejeita-bandas (band-stop)

Outros Passa-tudo (all-pass) Notch (notch) Equalizador (equalizer)

Aplicações de FT

Filtros ideais Elementos de um filtro

Banda passante Banda de rejeição

Filtro ideal Componentes da banda passante não sofrem

distorção |H(jΩ)| = 1 na banda passante <H(jΩ) = –Ω t0

Fase linear

Aplicações de FT

Filtros ideais Filtros passa-baixa (LP) e passa-alta (HP)

Com fase linear

ΩcΩc

Aplicações de FT

Filtros ideais Filtros passa-banda e rejeita banda

Com fase linear

ΩHΩH ΩLΩL

Aplicações de FT

Filtros ideais O mais desejado Fase zero

Não causal

Segundo mais desejado Fase linear Segundo mais desejado Não causal

Pode ser aproximado por truncamento

Filtro ideal = filtro irrealizável

Aplicações de FT

Filtros ideais Resposta ao impulso h(t)

Fase zero e fase linear

Aplicações de FT

Filtros ideais Resposta ao impulso h(t)

Fase zero e fase linear

Aplicações de FT

Filtros Passa-baixa (LP)

Mantém as componentes espectrais (sem distorção) do sinal até Ωc e elimina as demais componentes

Exemplo de primeira ordem

∫

Ωc Ωc y(t)

+–

x(t)

Aplicações de FT

Filtros Passa-alta (HP)

Mantém as componentes espectrais (sem distorção) do sinal acima de Ωc e elimina as demais componentes

Exemplo de primeira ordem

∫

Ωc

y(t)+–

x(t)

Aplicações de FT

Filtros Passa-banda

Mantém as componentes espectrais (sem distorção) do sinal entre Ωca e Ωcb , e elimina as demais componentes

Exemplo de combinando HPLP

Ωca > Ωcb

∫

Ωcb Ωcb y(t)

+–

∫

Ωca

+–

x(t)

Aplicações de FT

Filtros Rejeita-banda

Elimina as componentes espectrais (sem distorção) do sinal entre Ωca e Ωcb , e mantém as demais

Exemplo de combinando HP e LP em paralelo

∫Ωc Ωc

y(t)

+–

Ωc

+–

x(t)

∫

+

Aplicações de FT

Filtros Passa-baixa (LP)

j

)j(Hc

c

Aplicações de FT

Filtros Passa-alta (HP)

j

j)j(H

c

Aplicações de FT

Filtros Passa-banda

cacb

cbcacbca2

c

jj

j)j(H

Aplicações de FT

Filtros Rejeita-banda

cbca

cbcacbca2

cbcacb2

jj

j2j)j(H

Aplicações de FT

Filtros Equalizador via Biquadrática

A equalização compreende a manipulação diversos blocos de freqüência em um intervalo total específico.

Manipulação atenuação ou amplificação Seleção dos blocos seletividade dos filtro

Aplicações de FT

Filtros Equalizador via Biquadrática

A função biquadrática possui dois parâmetros Ω0 e β

Amplifica/atenua um conjunto de componentes espectrais ao redor de Ω0

β controla a largura de banda e a amplificação/atenuação

2

002

200

2

j10

2j

j102j)j(H

Aplicações de FT

Filtros Equalizador via Biquadrática

Aplicações de FT

Filtros Equalizador via Biquadrática

Aplicações de FT

Filtros Equalizador via Biquadrática

Ω em escala log e linear

Aplicações de FT

Filtros Equalizador via Biquadrática

Q-constante Q = F0 / ΔF = Ω0 / ΔΩ No caso, aumentando-se Ω0, aumenta-se ΔΩ

Notações F0 freqüência central ΔΩ largura de banda

Aplicações de FT

Filtros Largura de banda

Bandwidth (BW) Modo para representar um intervalo de

freqüências Restringe-se a freqüências positivas

Razões históricas

Aplicações de FT

Filtros Largura de banda

Tipos: Largura de banda absoluta

Intervalo de freqüências com magnitude não-nula

Largura de banda nula Intervalo de freqüências com magnitude não-

nula máximo Largura de banda em meia potência

Intervalo de freqüências com magnitude superior a metade da potência máxima

Aplicações de FT

Filtros reais teóricos Filtro passa-baixa realizável

Aplicações de FT

Filtros reais teóricos Filtro passa-alta realizável

Aplicações de FT

Filtros reais teóricos Filtro passa-banda realizável

Aplicações de FT

Filtros reais teóricos Filtro rejeita-banda realizável

Aplicações de FT

Exemplos Usando componentes RLC Usando componentes mecânicos

Aplicações de FT

Diagrama de Bode Considere os seguintes filtros

Qual a sua resposta em freqüência?

22

1

30)j(31

1)j(H

1j

1)j(H

Aplicações de FT

Diagrama de Bode Resposta em freqüência obtida

Aplicações de FT

Diagrama de Bode Resposta em freqüência obtida

Aplicações de FT

Diagrama de Bode Resposta em freqüência obtida

Sistemas distintos podem apresentar similaridade gráfica em suas respostas em freqüência

Alterando escala (Linear logarítmica) Melhorar distinção entre sistemas Análise rápida de sistemas Diagrama de Bode

Aplicações de FT

Diagrama de Bode Decibel (dB)

Razão entre potências de sinais Um dos sinais serve de referência

Psinal potência de um sinal qualquer Preferência potência de referência

Se não conhecida, assumimo Preferência = 1

referência

sinal10dB P

Plog10P

Aplicações de FT

Diagrama de Bode Decibel (dB)

Psinal = 2 Preferência PdB = +3 dB Psinal = 0,5 Preferência PdB = -3 dB

Psinal = 10 Preferência PdB = +10 dB Psinal = 0,1 Preferência PdB = –10 dB

Psinal = 100 Preferência PdB = +20 dB Psinal = 0,01 Preferência PdB = –20 dB

Aplicações de FT

Diagrama de Bode Oitava

Freqüência atual = 2 Freqüência de referência

Década Freqüência atual = 10 Freqüência de

referência

Aplicações de FT

Diagrama de Bode Do teorema de Parseval

Então, a magnitude de X(jΩ) em dB é

2

sinal )j(XP

)j(Xlog20)j(X

)j(Xlog10

Plog10P

10dB

2

10

sinal10dB

Aplicações de FT

Diagrama de Bode Como utilizar em sistemas contínuos?

Equações diferenciais lineares comcoeficientes constantes

Aplicações de FT

Diagrama de Bode Equações diferenciais lineares com

coeficientes constantes Após a aplicação da FT

zl zeros de H(jΩ) pk pólos de H(jΩ)

N

1k k

M

1l lN

0k

kk

M

0l

ll

pj

1

zj

1

Aja

jb)j(H

Aplicações de FT

Diagrama de Bode Análise de H(jΩ) = (1 – jΩ/pk)-1

Pólo real negativo único (sem repetição)

Aplicações de FT

Diagrama de Bode Análise de H(jΩ) = (1 – jΩ/pk)-1

Pólo real positivo único (sem repetição) – se existisse

Aplicações de FT

Diagrama de Bode Análise de H(jΩ) = (1 – jΩ/zl)

Zero real negativo único (sem repetição)

Aplicações de FT

Diagrama de Bode Análise de H(jΩ) = (1 – jΩ/zl)

Zero real positivo único (sem repetição)

Aplicações de FT

Diagrama de Bode Características:

Pólo e Zero definem freqüência de quebra Curva de magnitude

Encontro de duas assíntotas na freqüência de quebra

Uma das assíntotas possui inclinações (“roll-off”) ±6 dB/oitava ±20 dB/década

Curva de fase Assíntota passa por ±π/4 em freqüência de quebra

Aplicações de FT

Diagrama de Bode Diferenciador e Integrador

Zero e Pólo em jΩ = zero

Aplicações de FT

Diagrama de Bode Ganho constante (em freqüência)

H(jΩ) = +A Magnitude A Fase zero

H(jΩ) = –A Magnitude A Fase +π (ou –π)

Aplicações de FT

Diagrama de Bode Pares complexos de pólos

p1 e p1*, naturalmente conjugados complexos

Aplicações de FT

Diagrama de Bode Pares complexos de zeros

z1 e z1*, naturalmente conjugados complexos

Aplicações de FT

Diagrama de Bode Pares complexos de pólos e zeros

Transformação em ζ e ωn

“Overshoot” Amortecimento e tempo de decaimento

Aplicações de FT

Exemplos

Aplicações de FT

Exemplos Usando amplificadores operacionais

Aplicações de FT

Exemplos Sistemas de comunicação

Processo para transmissão de múltiplos sinais de banda base em vários canais de comunicação

Sinal de banda base Ineficiência para transmissão direta

Comunicação Caminhos distintos para sinais distintos

Aplicações de FT

Exemplos Sistemas de comunicação

Modulação DSB-SC y(t) = x(t) cos(Ωp t)

y(t) sinal modulado Mensagem ou sinal banda-base cos(Ωp t) sinal cuja envoltória carrega a

mensagem

x(t) sinal a ser transmitido Ωp freqüência da portadora

Ωp > 2 maior freqüência com amplitude não nula

Aplicações de FT

Exemplos Sistemas de comunicação

Modulação DSB-SC Aplicando a TF, temos

Modulação no tempo convolução na freqüência

)(jX)(jX2

1

)tcos(FT)j(X)j(Y

pp

p1

Aplicações de FT

Exemplos Sistemas de comunicação

Modulação DSB-SC

Aplicações de FT

Exemplos Sistemas de comunicação – Modulação

Demodulação DSB-SC x’(t) = [y(t) cos(Ωp t)] * [filtro passa-baixa]

x’(t) sinal reconstruído x’(t) = m(t)

Largura de banda de m(t) deve ser restrita Permitir que o filtro passa-baixa isole a

mensagem desejada. Sinal da portadora não é transmitido

Aplicações de FT

Exemplos Sistemas de comunicação

Demodulação DSB-SC

Aplicações de FT

Exemplos Sistemas de comunicação

Modulação DSB-TC Transmissão de informação relativa à portadora

Permite o uso de circuitos detectores de envoltória

m/K < 1

)(jX)(jX2

m

K)j(Y

)tcos()t(xmK)t(y

pp

pp

p

Aplicações de FT

Exemplos Amostragem por Impulso

Corresponde a um trem de impulsos isolando amostras de x(t) a cada kTs segundos.

kss

ksT

)kTt()kT(x

)kTt()t(x)t()t(x)t(ys

Aplicações de FT

Exemplos Amostragem por Impulso

Sua FT é a repetição de réplicas de X(Ω) a intervalos de Ωs radianos/seg.

ks

s

ks

ss

)(X2

)()j(X2

)()j(X2

)j(Ys

Aplicações de FT

Exemplo Amostragem por Impulso

Teorema da amostragem (Teorema de Nyquist) Para que haja reconstrução correta do sinal

original com freqüência máxima com amplitude não-nula Ωm (= 2π fm), a amostragem deve ser de no mínimo Ωs (= 2π fs) igual a 2 Ωm (ou 2 fm)

ms 2

Aplicações de FT

Exemplo Amostragem por Impulso

Aliasing Espalhamento de informações de alta-freqüência

sobre informações de baixa-freqüência devido a problemas de amostragem

Aplicações de FT

Exemplos Amostragem por Impulso

A reconstrução se dá a partir de um filtro passa-baixas com ganho Ts e freqüência de corte Ωs/2

Reconstrução ideal Impraticável

Na prática, filtros passa-baixas aproximados

)nTt(2

2sinc)nT(x2)t(x sc

ks

s

c