andré fernandes vasconcelos 21 de julho de 2007calves/an/lmac/projecto/... · bem como...

Detecção de cavidades ou inclusões através damedição de condutividade na superfície

exterior -O Problema Directo

André Fernandes Vasconcelos

21 de Julho de 2007

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Conteúdo1 Introdução 3

2 Formulação e Teoria 42.1 Formulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Problema Directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2 Problema Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Existência e Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Resultados de Análise Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 O Método das Soluções Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5.1 Solução aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5.2 Escolha dos pontos fonte . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5.3 Métodos dos Mínimos Quadrados . . . . . . . . . . . . 132.5.4 Regularização de Tikhonov . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Simulações 153.1 Concretização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1.1 O Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.1.2 O Método das Soluções Fundamentais . . . . . . . . . 153.1.3 Ruído e Erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.1.4 Introdução da fronteira Γ∗2 . . . . . . . . . . . . . . . . 183.1.5 Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.1 Previsões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.2 Domínio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.3 Proximidade das fronteiras auxiliares . . . . . . . . . . 223.2.4 Introdução da fronteira auxiliar Γ∗2 . . . . . . . . . . . 243.2.5 Ruído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.6 Oscilação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Conclusões 28

5 Anexo 305.1 ProblemaDirecto.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

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1 IntroduçãoA capacidade de detectar danos internos ou anomalias numa estrutura

sem a destruir ou afectar de qualquer forma é de uma extrema importânciapara campos como os da Medicina e da Engenharia Civil. Nesse sentido, éimportante não só aperfeiçoar o equipamento que se utiliza para ler dados,bem como aperfeiçoar os métodos numéricos que nos permitem prever a na-tureza, localização, e/ou forma das anomalias a partir dos dados fornecidos.

Esse é o tema que abordamos no ramo de Problemas Inversos para asEquações Diferenciais Parciais; no nosso caso, o Problema Inverso (a razãodeste nome será evidente mais tarde) será a detecção de uma cavidade (porexemplo, numa viga), medindo a condutividade (de calor) na superfície ex-terna. No entanto, para abordarmos o Problema Inverso deveríamos primeiroter um entendimento completo do Problema Directo, que consiste em, dadaa cavidade, descobrirmos a condutividade gerada.

Neste Projecto estudamos o Problema Directo. No capítulo ‘Formulação eTeoria’ definiremos o Problema Directo, o Problema Inverso, e definiremos osmétodos numéricos utilizados para resolver o Problema Directo, estando entreestes o Método das Soluções Fundamentais, e a Regularização de Tikhonov;ainda provamos um resultado de densidade que prova a validade do nossométodo. Finalmente, no capítulo ’Simulações’ pomos em prática tudo o quefoi introduzido e são apresentados os resultados, que são depois discutidosnas Conclusões.

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2 Formulação e Teoria

2.1 Formulação

2.1.1 Problema Directo

O nosso Problema Directo consiste no seguinte: Temos um domínio Ω (biou tridimensional), que representa o nosso meio homogéneo, e um domínio ω,com ω ∈ Ω, que representa a cavidade no nosso domínio. O nosso problemaé determinar u tal que

∆u = F, Ω\ωu = g, γ = ∂ω

u = G, Γ = ∂Ω

onde F ∈ L2(Ω), g ∈ C(γ), G ∈ C(Γ), são funções dadas. De agora emdiante, considera-se F = 0.

2.1.2 Problema Inverso

O Problema Inverso é formulado da seguinte forma: seja u tal que

∆u = F, Ω\ωu = c, c ∈ R

e tal que conhecemos ∂nu(x) = g1(x) sobre parte de Γ, e temos o domínioΩ (bi ou tridimensional) conhecido. Temos como incógnita ω (a sua local-ização e forma), e o nosso problema é determiná-lo. No nosso Projecto nãoiremos examinar este problema, apresentando-o apenas porque o Projectoestá inserido no contexto deste Problema.

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2.2 Existência e Unicidade

É necessário saber se temos condições para que a solução exista e sejaúnica, no nosso Problema Directo. Vemos que, segundo a teoria clássica dasEDP’s, é esse o caso:

Teorema 1 Consideremos o Problema Directo definido acima. Se Γ e γforem C1, então a solução clássica para o Problema Directo existe, é única,e pertence a C(Ω) ∩ C2(Ω).

Temos ainda que:

Teorema 2 Suponhamos que estamos nas condições do Teorema 1, e aindaque g ∈ C∞(γ), G ∈ C∞(Γ). Então a solução clássica para o ProblemaDirecto existe, é única, e é de classe C∞(Ω).

No entanto a teoria clássica de EDP’s pode ser muito restritiva para onosso contexto. Incluímos no grupo das nossas soluções as soluções fracas(ver [2]), e obtemos o seguinte resultado:

Teorema 3 Suponhamos que g ∈ H1/2(γ) e G ∈ H1/2(Γ). Então a soluçãofraca ∈ H1(Ω\ω) existe, e é única.

Introduzimos ainda a Solução Fundamental da equação de Laplace (∆u =0). Esta é dada por Φ(x) = 1

2πlog |x|, se estivermos em 2 dimensões, e

Φ(x) = 14π|x| , se estivermos em 3 dimensões (as Soluções Fundamentais são

tratadas em detalhe em [2]).

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2.3 Resultados de Análise Funcional

Na secção seguinte, na qual introduziremos o Método das Soluções Fun-damentais, necessitaremos de algumas noções de Análise Funcional, bemcomo do Teorema da Continuação Analítica. Introduzimo-los a todos aqui,podendo esta subsecção ser lida apenas como referência para a próxima sub-secção.

Definição 1 Sejam X, Y espaços de Hilbert e T : X → Y um operadorlinear limitado. Então o operador adjunto T ∗ de T é o operador T ∗ : Y → Xtal que, para quaisquer x ∈ X e y ∈ Y ,

< Tx, y >X=< x, T ∗y >Y

onde < ., . >X e < ., . >Y são os produtos internos definidos em X e de Y ,respectivamente. Regra geral omite-se o X e o Y no produto interno, sendoeles identificados pelo contexto.

Definição 2 Sejam X um espaço de Hilbert e A um seu subconjunto nãovazio. Designamos por ortogonal de A o conjunto A⊥ formado pelos elemen-tos de X que são ortogonais a todos os elementos de A, i.e.

A⊥ = x ∈ X : x ⊥ A

Proposição 4 ker T ∗ = (r(T ))⊥

Demonstração:Dados x ∈ X e y ∈ ker T ∗ temos

0 =< x, T ∗y >=< Tx, y >

pelo que ker T ∗ ⊂ (r(T ))⊥ (porque qualquer elemento de ker T ∗ é ortogonala Tx, x ∈ X). Por outro lado, se y ∈ (r(T ))⊥, e x = T ∗y, tem-se

0 =< TT ∗y, y >=< T ∗y, T ∗y >= ‖T ∗y‖,

o que significa que y ∈ ker T ∗, o que conclui a nossa demonstração.

2

Teorema 5 Dado um subespaço vectorial A 6= ∅ de um espaço de Hilbert X,A é denso em X sse A⊥ = 0.

Acabamos a secção com o seguinte Teorema, útil para provar um resultadode densidade:

Teorema 6 (Teorema de Continuação Analítica) Seja u uma funçãoanalítica em W ⊃ ω (ω aberto). Os valores de u em ω determinam u em Wde forma única.

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2.4 Densidade

Nesta secção provamos um resultado acerca da densidade das SoluçõesFundamentais (definidas no final da subsecção 2.2). Esta subsecção podeser lida após a introdução do Método das Soluções Fundamentais, na secçãoseguinte. O nosso resultado usa o seguinte lema:

Lema 7 Sejam Ω, Γ, γ definidos como no Problema Directo, e ainda umaberto U ⊂ Rn\(Ω\ω). Definimos o operador A : L2(∂U) → L2(Γ ∪ γ),tal que

Af(x) =

∫∂U

f(y)Φ(x− y)dy.

Então A∗g(y) =∫

Γ∪γg(x)Φ(x− y)dx.

Demonstração:O nosso objectivo é encontrar A∗ tal que < Af, g >L2(Γ∪γ)=< f, A∗g >L2(∂U),

f ∈ L2(∂U), g ∈ L2(Γ ∪ γ). Temos que

< Af, g >L2(Γ∪γ) =

∫Γ∪γ

g(x)

∫∂U

f(y)Φ(x− y)dydx

=

∫∂U

f(y)

∫Γ∪γ

Φ(x− y)g(x)dxdy

=< f,

∫Γ∪γ

Φ(x− y)g(x)dx >L2(∂U)

2

Note-se que spanΦ(x− y)|Γ∪γ, y ∈ ∂U

= r(A). O resultado de densidade

para 3D é dado pelo seguinte teorema:

Teorema 8 Considere-se o Problema Directo formulado, e consideremosum aberto U tal que U ⊂ Rn\(Ω\ω) (n = 3), tal que U tem pelo menosum ponto em cada componente conexa de Rn\(Ω\ω). Então L2(Γ ∪ γ) =

spanΦ(x− y)|Γ∪γ, y ∈ ∂U

.

Demonstração:Queremos provar que r(A) é denso em L2(Γ ∪ γ). Segundo o Teorema 5,

para isso temos que provar que r(A)⊥ = 0, o que, segundo o Proposição 4é equivalente a provar ker A∗ = 0. Recordemos que temos, pelo nosso Lema,que A∗g(y) =

∫Γ∪γ

g(x)Φ(x− y)dx.Então temos a provar que, se ug := A∗g ≡ 0 em Γ∗ ∪ γ∗, temos que

ug ≡ 0 em todo o R2, o que implica g ≡ 0. A conclusão desta demonstraçãoé semelhante à do teorema seguinte.

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2

Se este teorema se verificasse em 2D, saberíamos que basta escolhermos pon-tos yi em curvas envolvendo o nosso domínio Ω\ω.

No entanto, este teorema só se aplica no caso 3D, porque a solução fun-damental nessa dimensão decresce para zero no infinito. No caso 2D, a nossasolução fundamental tem crescimento logarítmico, e há pelo menos um passoda demonstração do teorema anterior que falha; necessitamos de enfraquecero resultado.

Teorema 9 Considere-se o Problema Directo formulado, e consideremosum aberto U tal que U ∈ Rn\(Ω\ω) (n = 2), tal que U tem pelo menosum ponto em cada componente conexa de Rn\(Ω\ω). Então [L2(Γ ∪ γ)] =

spanΦ(x− y)|Γ∪γ, y ∈ ∂U

, onde [L2(Γ ∪ γ)] é o espaço L2 onde introduz-

imos a relação de equivalência f ≡ g sse f = g + C, C ∈ R.

Temos que alterar o produto interno em função do novo espaço introduzido,e em consequência teremos também que alterar A∗.

Proposição 10 O funcional bilinear definido por

< [f ], [g] >=

∫Γ∪γ

f ∗(x)g∗(x)dx,

com f ∗ o representante de [f ] tal que∫

Γ∪γf ∗(x)dx = 0, define um produto

interno em [L2](Γ ∪ γ).

Note-se que o representante de f ∗ de [f ] está bem definido, bem como oproduto interno. Sendo assim, o funcional A é mantido inalterado, e A∗

toma a seguinte forma:

A∗[g](y) =

∫Γ∪γ

g∗(x)Φ(x− y)dx

. Demonstração (Teorema 9):Semelhantemente ao Teorema 8, temos a provar que, se u[g] := A∗[g] ≡ 0

em Γ∗ ∪ γ∗, temos que u[g] ≡ 0 em todo o R2, o que implica [g] ≡ 0. Sejaentão [g] tal que A∗[g](x) =

∫Γ∪γ

Φ(x− y)g∗(x)dx ≡ 0. A nossa resoluçãodepende do aberto U escolhido: supomos sem perda de generalidade que U écomposto pelos abertos A e E (representados abaixo), sendo a sua fronteiracomposta por Γ∗ e γ∗. Note-se que Ω = C ∪D ∪ E, ω = D ∪ E.

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Figura 1: O domínio considerado para a nossa demonstração

i. Comecemos por provar que u[g] é nulo em E. Temos que u[g] obedece àseguinte equação:

∆u[g] = 0, E

u[g] = 0, ∂E

Então pelo Teorema 1 existe apenas uma solução, que é dada por u[g] ≡0 em E.

ii. Provamos que u[g] é nulo em D. u[g] é analítica em R2\(Γ∪ γ), e esta énula em E; logo temos pelo Teorema da Continuação Analítica que sepode estender u[g] ≡ 0 para D.

iii. Provamos que u[g] é nulo em A. Temos que u[g] obedece à seguinteequação:

∆u[g] = 0, A

u[g] = 0, Γ∗

u[g](x) = α log(|x|) + O(1), α =

∫γ∪Γ

g∗(y)dy, |x| → ∞

Para cada α fixo (é este o caso), temos que este problema tem soluçãoúnica. No nosso caso, e devido a todo o trabalho que tivemos a definirA∗, temos que α = 0. Então temos u[g] ≡ 0 como solução única destaequação.

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iv. Provamos que u[g] é nulo em B. Mais uma vez utilizamos o Teoremada Continuação Analítica, para, a partir de A, “estendermos” a funçãonula u[g] ≡ 0 para B.

v. Resta-nos provar que u[g] é nulo em C. Repare-se que do lado de “fora”de C, temos u[g] ≡ 0 em γ e Γ; chamamos à solução exterior u−[g] (àinterior u+

[g]). u[g] é o que se chama um Potencial de Camada Simples,e existem resultados que garantem que este é contínuo através de γ eΓ (ver [fonte]). Logo u+

[g] ≡ 0, e temos que

∆u[g] = 0, C

u[g] = 0, Γ ∪ γ

o que evidentemente só tem solução nula u[g] ≡ 0.

Logo temos u[g] ≡ 0, em R2\(Γ ∪ γ), o que significa que g ≡ 0 e portanto[g] ≡ 0. Logo ker A∗ = 0.

2

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2.5 O Método das Soluções Fundamentais

2.5.1 Solução aproximada

Recordemos que o nosso problema é dado por

∆u = 0, Ω\ωu = g, γ = ∂ω

u = G, Γ = ∂Ω,

em que vamos definir ω e Ω como sendo elipses (tal como na Figura 1).Nós sabemos que, se y /∈ Ω\ω, então uy(x) := Φ(x− y) é uma solução da

equação de Laplace. Então será natural pensar que poderemos aproximar anossa solução por u(x) =

∑ni=1 αiuyi

(x) =∑n

i=1 αiΦ(x− yi), com yi /∈ Ω\ω(aos quais chamaremos pontos fonte) - restaria escolher as constantes αi demodo a escolhermos a melhor aproximação da solução exacta na fronteira.Este raciocínio está de acordo com os resultados de densidade da secçãopassada, pois span

Φ(x− y)|Γ∪γ, y ∈ ∂U

= r(A) (com U definido como no

Teorema 8).Para ser preciso, pretendemos minimizar o erro da nossa aproximação na

norma L2(Γ ∪ γ): esta surge como a maneira natural de medir o erro, nocontexto dos resultados de densidade dados anteriormente, e esta reflecte aqualidade da aproximação da solução exacta no domínio inteiro; pelo Princí-pio do Máximo, para a equação de Laplace o máximo do erro tem que estarna fronteira.

Para minimizar o erro da solução aproximada na fronteira, na normaL2(Γ ∪ γ), recorremos ao Método dos Mínimos Quadrados.

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2.5.2 Escolha dos pontos fonte

Uma questão crucial para a formulação do nosso Método dos MínimosQuadrados é a seleção dos pontos yi, e das fronteiras Γ∗ e γ∗ (ver a sub-secção 2.4) sobre as quais se situam esses pontos. Necessitamos de escolherU para sabermos a forma das nossas fronteiras Γ∗ e γ∗, tal que estejamos nascondições do Teorema 9.

A nossa primeira escolha é escolher Γ∗ e γ∗ como na Figura 1; embora nãotenhamos um resultado de densidade completa, consideramos que o facto determos densidade a menos de constante é tão bom como ter densidade.

Se escolhermos Γ∗ = Γ∗1 ∪ Γ∗2, em que Γ∗1 é um anel que envolve Γ, eΓ∗2 é um anel que envolve Γ∗1, conseguimos um resultado de densidade emL2(Γ∪ γ), o que poderá significar melhores resultados para o mesmo númerode pontos fonte utilizados.

É de notar que não temos quaisquer resultados sobre a convergência donosso método em função do número de pontos fonte utilizados. Veremosmais tarde que, mesmo havendo qualquer convergência, esta seria anuladapor erros de mau condicionamento.

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2.5.3 Métodos dos Mínimos Quadrados

Escolhemos então nx +nz valores conhecidos (digamos, g(x1), . . . , g(xnx),G(z1), . . . , G(znz)), tão equidistribuídos quanto os domínios nos permitam.Utilizamos o MMQ para determinar as constantes αi, i = 1, . . . , n, tal que oerro da nossa solução aproximada u na norma discreta l2 seja mínimo; paraisso temos que deduzir o sistema linear correspondente. Suponhamos queera possível interpolarmos os nx + nz pontos com valores conhecidos. Entãoteríamos o seguinte sistema linear sobredeterminado:

Φ(x1 − y1) . . . Φ(x1 − yn)...

...Φ(xnx − y1) . . . Φ(xnx − yn)Φ(z1 − y1) . . . Φ(z1 − yn)

......

Φ(znz − y1) . . . Φ(znz − yn)

α1

...αn

=

g(x1)...

g(xnx)G(z1)

...G(znz)

No entanto o sistema é, geralmente, impossível (especialmente se tiver-

mos introduzido ruído nos dados). Chamando à matriz M , o nosso MMQ éaplicado ao multiplicarmos o sistema por MT à esquerda. Desta forma obte-mos um sistema possível (as funções Φ(x− yi), i = 1, . . . , n são linearmenteindependentes: ver a página 130 de [1]) com matriz quadrada MT M , e quecorresponde a uma minimização das distâncias na norma l2. Temos entãoque resolver o sistema

MT M

α1...

αn

= MT

g(x1)...

g(xnx)G(z1)

...G(znz)

No entanto o sistema resultante poderá ser mal condicionado, gerando errosnuméricos relevantes. Para isso utilizamos a Regularização de Tikhonov.

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2.5.4 Regularização de Tikhonov

A Regularização de Tikhonov está inserida no contexto dos EsquemasRegularizadores, que procuram aproximar a inversa de um operador injectivoe compacto, mesmo que geralmente este seja não sobrejectivo e portanto nãotenha uma inversa definida em todo o espaço de chegada.

No nosso caso o nosso operador é o operador linear M : Rn → Rnx+nz .A Regularização de Tikhonov aplicada ao nosso sistema linear é definida daseguinte forma:

(αI + MT M)

α1...

αn

= MT

g(x1)...

g(xnx)G(z1)

...G(znz)

, α > 0

A Regularização de Tikhonov reduz-se ao MMQ quando escolhemos α =0, i.e., reduz-se à solução exacta (caso esta exista!) que pretendíamos.

Encontrar um α óptimo é uma tarefa não trivial. Por um lado, um αmuito pequeno deixa o sistema mal condicionado, e, caso tenhamos intro-duzido ruído nos dados da fronteira, este estraga a nossa solução; mas afidelidade à solução exacta é mantida. Por outro lado, um α grande tornao sistema bem condicionado e diminui os efeitos do ruído, mas afastamo-nosda solução que procuramos.

Existe um resultado que nos garante que existe um resultado óptimo:

Teorema 11 (Princípio da Discrepância aplicado a Tikhonov) Seja A :X → Y um operador linear, injectivo, compacto, e A(X) = Y . Seja g ∈A(X) e gδ ∈ Y tais que ‖g− gδ‖ ≤ δ < ‖gδ‖. Então existe um único α(δ) talque ‖ARα(δ)gδ − gδ‖ ≤ δ e temos Rα(δ)gδ → A−1gδ, quando δ → 0.

No entanto, não existe nenhuma maneira determinística de escolher o α óp-timo; no nosso caso fazemos experimentação não exaustiva até obter umα tão pequeno quanto possível que nos dê um sistema bem condicionado;entendemos por bem condicionado um sistema linear que tenha número decondição de ordem superior a 108.

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3 Simulações

3.1 Concretização

Uma vez definido o método, é preciso definir mais concretamente o prob-lema; de seguida iremos implementar o algoritmo.

3.1.1 O Problema

Primeiro que tudo é necessário definir o problema:

• Os abertos Ω e ω;

• As funções g e G.

Os abertos Ω e ω serão dados por elipses, de eixos variáveis, respectivamente,(Rx, Ry) e (rx, ry). Iremos testar se o algoritmo sofre diferenças significativascom os diferentes domínios, e depois fixaremos um domínio para estudaroutras variáveis.

Por outro lado g e G serão gerados de duas maneiras: utilizando soluçõesexactas harmónicas já conhecidas, ou utilizando qualquer função (o que sig-nifica que não poderemos comparar visualmente as soluções exactas com asaproximadas, em todo o domínio). No primeiro grupo das funções temos

• h1(x, y) = x2 − y2

• h2(x, y) = log(x2 + y2)

No segundo grupo temos

• i1(r, θ) = 1 + r cos(θ)

• i2(r, θ) = 1 + r cos(2θ)

• i3(r, θ) = 1 + r cos(3θ)

3.1.2 O Método das Soluções Fundamentais

Precisamos de definir:

• As fronteiras auxiliares γ∗ (elipse de eixos rx e ry) e Γ∗ (elipse de eixosRx e Ry);

• O número de pontos nx e nz utilizados em γ e Γ, respectivamente;

• O número de pontos n1 e n2 utilizados em γ∗ e Γ∗, respectivamente;

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As fronteiras auxiliares γ∗ e Γ∗ irão ser, respectivamente, proporcionais a γ(por um factor q1) e Γ (por um factor q2). Escolheremos n1 = n2 = n, e nx =nz = 2n, variando o n, e a a distribuição de pontos ao longo de cada fronteiraserá equidistante. Por exemplo, temos xi = (rx cos(2(i−1)π/nx), ry sin(2(i−1)π/nx)), e zi = (Rx cos(2(i−1)π/nz), Ry sin(2(i−1)π/nz)), com i não nec-essariamente inteiro. O caso será ligeiramente diferente quando adicionarmosmais fronteiras auxiliares.

3.1.3 Ruído e Erro

Iremos também introduzir ruído nos nossos valores lidos. O ruído intro-duzido será proporcional, por um factor ε, a ‖G‖2

L2(Γ), para Γ, e ‖g‖2L2(γ),

para γ.O erro relativo irá ser dado por

‖u− u‖L2(Γ∪γ)

‖u‖L2(Γ∪γ)

=

√√√√∫Γ∪γ

(u(x)− u(x))2dx∫Γ∪γ

u(x)2dx

que por sua vez também terá que ser aproximado numericamente. Poderíamosser tentados a aproximar

∫Γ∪γ

(u(x)− u(x))2dx por

n∑i=1

ci

2((u(xi+1)− u(xi+1))

2 + (u(xi)− u(xi))2)

+n∑

i=1

Ci

2((u(zi+1)− u(zi+1))

2 + (u(zi)− u(zi))2)

onde xi e zi são os pontos com valores conhecidos, e ci = |xi+1 − xi| eCi = |zi+1 − zi|; corresponde à utilização da regra dos trapézios numa curvaaproximada por segmentos de recta. No entanto esta aproximação não é cor-recta, pois estamos a aproximar o integral do erro usando exactamente ospontos onde o tentamos minimizar (pois estamos a utilizar Mínimos Quadra-dos, ou a Regularização de Tikhonov). Uma melhor aproximação será dadapor

n∑i=1

ci+1/2

2((u(xi+1/2)− u(xi+1/2))

2 + (u(xi−1/2)− u(xi−1/2))2)

+n∑

i=1

Ci+1/2

2((u(zi+1/2)− u(zi+1/2))

2 + (u(zi−1/2)− u(zi−1/2))2)

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onde ci+1/2 = |xi+1/2 − xi−1/2| e Ci+1/2 = |zi+1/2 − zi−1/2|. Esta continua aser uma aproximação de primeira ordem do integral.

A aproximação para∫

Γ∪γu(x)2dx é semelhante à anterior.

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3.1.4 Introdução da fronteira Γ∗2

No capítulo sobre Densidade, ficou sugerido que melhores resultados pode-riam ser obtidos se introduzíssemos uma terceira fronteira auxiliar Γ∗2, envol-vendo Γ∗2. Criamo-la proporcional a Γ∗, por um factor de 3/2. Os pontosfonte colocados em Γ∗2 estarão colocados com um ângulo adicional de π/n2(em que n2 é o número de pontos em Γ∗, e em Γ∗2). A diferença entre as duasabordagens é representada graficamente no exemplo da figura abaixo.

Figura 2: Temos Γ a azul, Γ∗ a vermelho (com 20 pontos fonte, ’+’), ea segunda abordagem com Γ∗ e Γ∗2 a verde (com 20 pontos fonte ’o’). Afronteira γ não está representada.

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3.1.5 Matlab

A implementação em Matlab de tudo o que estivemos a preparar atéesta secção é realizada na função ProblemaDirecto, com auxílio das funçõesgeragG, e funcaoteste. A função recebe os argumentos (rx, ry, q1, n1, g, Rx,Ry, q2, n2, G, ruido, alpha, anel):

• (rx,ry) são os comprimentos do eixo de γ, e (Rx,Ry) são os comprimen-tos do eixo de Γ;

• ’q1’ e ’q2’ são as proporções respectivas de γ∗ em relação a γ, Γ∗ emrelação a Γ.

• ’n1’ e ’n2’ são o número de pontos em γ∗ e Γ∗, respectivamente; são ospontos yi;

• ’g’ e ’G’ são as listas de (’nx’ e ’ny’) valores em γ e Γ, respectivamente.São construídas pela função geragG, que deverá ser corrida antes dafunção ProblemaDirecto.

• ’ruido’ é a proporção de ruído introduzida nos dados iniciais;

• ’alpha’ é o parâmetro de regularização de Tikhonov;

• ’anel’ define se utilizamos uma segunda fronteira auxiliar (Γ∗2), caso noqual valerá 1, ou se não a utilizamos, caso no qual valerá 0.

A partir desses dados, a função ProblemaDirecto devolve os valores da soluçãoaproximada nos pontos xi+1/2, zi+1/2, i = 1, . . . , n, da solução exacta nos mes-mos pontos, a lista de valores de αi, e o erro relativo da solução aproximada.Para ver mais detalhes da função, dever-se-á consultar o código comentadono Anexo.

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3.2 Resultados

3.2.1 Previsões

Esperamos obter os seguintes resultados:

• O erro deverá diminuir com o número de pontos, a menos de maucondicionamento. A velocidade de decrescimento é desconhecida;

• Variações do domínio não afectarão demasiado a eficiência do algo-ritmo;

• A proximidade das fronteiras auxiliares deverá afectar o resultado, emtermos de erro e mau condicionamento;

• O algoritmo deverá ser bastante sensível ao ruído;

• Funções com grandes oscilações na fronteira deverão piorar os resulta-dos;

• A introdução da fronteira Γ∗2 deverá dar melhores resultados.

3.2.2 Domínio

Testamos os domínios com as seguintes características:

i. (rx, ry) = (2, 1), (Rx, Ry) = (4, 4);

ii. (rx, ry) = (2, 2), (Rx, Ry) = (4, 4);

iii. (rx, ry) = (2, 1), (Rx, Ry) = (6, 6);

iv. (rx, ry) = (3, 2), (Rx, Ry) = (4, 4);

O primeiro exemplo será o nosso exemplo padrão; o segundo exemplo testase concentricidade dos domínios afectará os resultados, o terceiro e o quartotestam se a distância entre domínios afecta os resultados.

Recorde-se que nx = nz = 2n, n1 = n2 = n. Utilizamos q1 = 1/8, q2= 4, ruido = 0, e alpha variável. Os resultados são apresentados na seguintetabela de erros relativos. Marcamos soluções resultantes de sistemas malcondicionados, e que utilizaram portanto a Regularização de Tikhonov, comum asterisco (*).

20

h1(x, y) = x2 − y2

Domínio \ n 5 10 20 401 1.6324e-001 6.0501e-005 4.5829e-008* 3.3080e-008*2 1.6199e-001 5.9947e-005 2.2874e-008* 4.9989e-008*3 1.6402e-001 6.0826e-005 9.7172e-008* 2.5831e-008*4 1.5903e-001 5.7598e-005 2.8989e-007 5.0824e-008*

h2(x, y) = log(x2 + y2)Domínio \ n 5 10 20 40

1 1.6458e-004 3.0388e-007 2.2657e-009* 1.3877e-009*2 9.1427e-011 5.4182e-012 2.7761e-010* 7.3562e-010*3 4.5561e-003 1.4519e-004 1.1784e-007* 1.1522e-009*4 3.7945e-003 9.8468e-005 3.4963e-008 1.0542e-009*

i1(r, θ) = 1 + r cos(θ)Domínio \ n 5 10 20 40

1 3.3442e-003 1.4365e-006 4.3518e-009* 3.6235e-009*2 3.2709e-003 1.4042e-006 5.2553e-009* 4.4106e-009*3 3.5793e-003 1.5382e-006 1.2698e-008* 1.2085e-008*4 3.0723e-003 1.3037e-006 2.2990e-008 4.5366e-009*

Examinando as tabelas, chegamos à conclusão de que, com uma excepção,os resultados são qualitativamente invariantes pelo domínio, embora umamenor distância entre Γ e Γ∗ torne as matrizes mais bem condicionadas (nocaso 4). A única excepção ocorre no caso em que os domínios são concêntricos(caso 2), o que proporciona excelentes resultados para uma função radial(h2). Nota-se também que a convergência em função do número de pontos éestragada pelo mau condicionamento.

21

3.2.3 Proximidade das fronteiras auxiliares

Fixamos (rx, ry) = (2, 1), (Rx, Ry) = (4, 4) como exemplo canónico, eintroduzimos ruído nulo. Vimos que as distâncias entre fronteira interior eexterior podem provocar mau condicionamento; o mesmo se poderá passarcom as fronteiras auxiliares. Testamos vários pares de q1 e q2.

h1(x, y) = x2 − y2

(q1, q2) \ n 5 10 20 40(1/32, 16) 4.1414e-002 3.6544e-007* 1.2644e-006* 4.3600e-007*(1/16, 8) 8.2601e-002 1.4136e-006 3.0348e-007* 8.7480e-008*(1/8, 4) 1.6324e-001 6.0501e-005 4.5829e-008* 3.3080e-008*(1/4, 2) 3.0809e-001 3.7204e-003 1.5988e-006 1.0710e-008*

(1/2, 3/2) 3.8913e-001 1.8950e-002 1.4095e-004 1.9722e-008(2/3, 4/3) 4.3489e-001 3.5175e-002 8.2026e-004 1.1866e-006(3/4, 5/4) 4.7087e-001 4.9089e-002 2.0674e-003 1.0684e-005(7/8, 9/8) 5.6601e-001 1.0241e-001 8.7110e-003 3.2809e-004

h2(x, y) = log(x2 + y2)(q1, q2) \ n 5 10 20 40(1/32, 16) 2.2436e-006 1.0005e-008* 2.8822e-008* 1.9021e-008*(1/16, 8) 1.8568e-005 4.6173e-009 3.1752e-008* 9.3939e-009*(1/8, 4) 1.6458e-004 3.0388e-007 3.6549e-008* 5.9002e-008*(1/4, 2) 1.5727e-003 2.1213e-005 1.3764e-009 7.1665e-008*

(1/2, 3/2) 1.3480e-002 1.0159e-003 1.0048e-005 1.1373e-009(2/3, 4/3) 3.1415e-002 1.4299e-003 3.0676e-004 1.4233e-006(3/4, 5/4) 4.5199e-002 1.6122e-003 8.8652e-004 1.6922e-005(7/8, 9/8) 7.9931e-002 1.8980e-002 3.0681e-003 4.5907e-004

i1(r, θ) = 1 + r cos(θ)(q1, q2) \ n 5 10 20 40(1/32, 16) 5.4383e-005 1.4172e-008* 2.2572e-008* 7.5409e-009*(1/16, 8) 4.3166e-004 7.4017e-009 1.2436e-008* 3.3641e-009*(1/8, 4) 3.3442e-003 1.4365e-006 4.3518e-009* 3.6235e-009*(1/4, 2) 2.3307e-002 3.0829e-004 1.3873e-007 2.4474e-009*

(1/2, 3/2) 4.9562e-002 2.4663e-003 1.9013e-005 2.7210e-009(2/3, 4/3) 7.4099e-002 5.4618e-003 1.3012e-004 1.9032e-007(3/4, 5/4) 1.0007e-001 8.6495e-003 3.5681e-004 1.8604e-006(7/8, 9/8) 1.8670e-001 2.8060e-002 1.9145e-003 6.4884e-005

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Figura 3: Evolução do logaritmo do erro relativo em função de q1, para h1

(verde), h2 (azul), i1 (vermelho), com n = 20. Valores mais baixos significammenor erro relativo.

Os resultados mais consistentes parecem pertencer aos pares (q1, q2) =(1/16,8), (1/8, 4), e (1/4,2), mesmo tendo sistemas mal condicionados. Parafronteiras mais próximas deixamos de ter sistemas mal condicionados, masos erros relativos são piores (os valores das funções de base são muito altosnos pontos zi e xi); para fronteiras mais longínquas o mau condicionamentocomeça a estragar os resultados. Escolheremos como valores padrão para orestante trabalho (q1, q2) = (1/8, 4).

23

3.2.4 Introdução da fronteira auxiliar Γ∗2

Continuamos com (rx, ry) = (2, 1), (Rx, Ry) = (4, 4), e fixamos (q1,q2)= (1/8, 4). Testamos a influência da introdução da fronteira auxiliar Γ∗2nos resultados. Note-se que no caso em que utilizamos a fronteira Γ∗2, temosn1 = n, e n2 = n/2 (arredondado para cima).

h1(x, y) = x2 − y2

Γ∗2 \ n 5 10 20 40Não 1.6324e-001 6.0501e-005 4.5829e-008* 3.3080e-008*Sim 2.4163e-002 9.3116e-005* 1.7550e-005* 2.3432e-008*

h2(x, y) = log(x2 + y2)Γ∗2 \ n 5 10 20 40Não 1.6458e-004 3.0388e-007 2.2657e-009* 1.3877e-009*Sim 1.6578e-004 3.0387e-007* 2.2970e-009* 5.8547e-009*

i1(r, θ) = 1 + r cos(θ)Γ∗2 \ n 5 10 20 40Não 3.3442e-003 1.4365e-006 4.3518e-009* 3.6235e-009*Sim 7.7690e-004 1.8447e-005* 9.0224e-007* 1.7813e-009*

Figura 4: Comparação (do logaritmo) dos resultados em função de n, semΓ∗2 (vermelho), e com Γ∗2 (verde)

A introdução de Γ∗2 chega a dar melhores resultados para alguns casos,mas regra geral o pior condicionamento do sistema faz com que a introduçãoda segunda fronteira auxiliar dê resultados inferiores. Confirma-se que ésuficiente uma fronteira auxiliar.

24

3.2.5 Ruído

No contexto do Problema Inverso, muitas vezes temos de lidar com erroe ruído nos dados introduzidos (pois está associado a leituras de dados emaplicações). Devido a esse facto, consideramos que estudar o efeito de ruídono nosso método para o Problema Directo pode ser útil.

Para este efeito utilizamos (rx, ry) = (2, 1), (Rx, Ry) = (4, 4), (q1, q2)= (1/8, 4).

h1(x, y) = x2 − y2

Ruído \ n 5 10 20 400% 1.6324e-001 6.0501e-005 4.5829e-008* 3.3080e-008*5% 1.7779e-001 8.7092e-002 7.5944e-002* 6.3250e-002*10% 3.0744e-001 1.9938e-001 2.1415e-001* 1.2847e-001*25% 4.9256e-001 5.1212e-001 3.3830e-001* 3.8702e-001*50% 1.1083e+000 1.2439e+000 1.0062e+000* 4.9568e-001*

h2(x, y) = log(x2 + y2)Ruído \ n 5 10 20 40

0% 1.6458e-004 3.0388e-007 2.2657e-009* 1.3877e-009*5% 1.2121e-001 9.0003e-002 1.0437e-001* 8.4144e-002*10% 2.7779e-001 1.9373e-001 1.6319e-001* 8.8492e-002*25% 5.3958e-001 3.3072e-001 3.2361e-001* 2.7017e-001*50% 1.0492e+000 1.1189e+000 9.7539e-001* 8.1795e-001*

i1(r, θ) = 1 + r cos(θ)Ruído \ n 5 10 20 40

0% 3.3442e-003 1.4365e-006 4.3518e-009* 3.6235e-009*5% 1.0738e-001 1.2923e-001 9.7343e-002* 4.9166e-002*10% 2.6581e-001 3.1264e-001 1.5064e-001* 1.3792e-001*25% 6.0225e-001 4.8895e-001 4.7257e-001* 2.6347e-001*50% 1.1796e+000 9.3189e-001 9.3325e-001* 6.8799e-001*

Analisando as tabelas, vê-se que mesmo pequeno ruído reduz drasticamentea qualidade da aproximação. Uma vez introduzido o ruído, o erro aumentaproporcionalmente com o ruído.

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Figura 5: Evolução do erro relativo em função do ruído, para h1 (verde), h2

(azul), i1 (vermelho), com n = 20.

Figura 6: Soluções aproximada (vermelho) e exacta (azul), para h1, 10% deruído

26

3.2.6 Oscilação

Testamos o nosso método para funções radiais de oscilação crescente.

Ruído \ n 5 10 20 40i1 3.3442e-003 1.4365e-006 4.3518e-009* 3.6235e-009*i2 1.8238e-001 2.8844e-002 1.8742e-002* 1.9044e-002*i3 9.1462e-001 2.6751e-001 5.4497e-002* 4.6487e-002*

Figura 7: Soluções aproximada (ver-melho) e exacta (azul), para i2

Figura 8: Soluções aproximada (ver-melho) e exacta (azul), para i3

Figura 9: Soluções aproximada (ver-melho) e exacta (azul), para i2

Figura 10: Soluções aproximada (ver-melho) e exacta (azul), para i3

As oscilações pioram a qualidade do algoritmo muito rapidamente. Intuiti-vamente, tal deve-se a termos “menos” informação sobre a função (devido àcrescente oscilação) para os mesmos pontos.

27

4 ConclusõesNo nosso trabalho tirámos as seguintes conclusões acerca do Método das

Soluções Fundamentais (MSF):

• O MSF é um método de convergência muito rápida, a menos de maucondicionamento;

• Os resultados não dependem dos domínios escolhidos;

• A proximidade das fronteiras auxiliares afecta tanto o condicionamentocomo a qualidade da aproximação;

• A introdução da fronteira auxiliar Γ∗2 não melhora os resultados, aocontrário da expectativa teórica;

• O método é muito sensível ao erro;

• O método é sensível à oscilação nas funções dadas;

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Referências[1] Alves, C.J.S., Chen, C.S.: A new method of fundamental solutions ap-

plied to nonhomogeneous elliptic problems, Advances in ComputationalMathematics (2005) 23 (’05)

[2] Evans, L.C.: Partial Differential Equations, AMS (2005)

[3] Alves, C.J.S.: Apontamentos de Problemas Inversos e Equações Difer-enciais Parciais, IST (2006)

[4] Isakov, Victor: Inverse Problems for Partial Differential Equations,Springer-Verlag New York, Inc. (1998)

[5] Colton, David, Kress, Rainer: Inverse Acoustic and ElectromagneticScattering Theory (Second Edition), Springer-Verlag New York

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5 Anexo

5.1 ProblemaDirecto.m

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