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Analise Matemática I

Tema I: Introdução

Aula 6: Equações e inequações.

Sistemas de equações.

Ano académico 2017

Aula 06

Sistemas de duas equações lineares com dois variáveis.

Sistema de duas equações com dois variáveis

quadrático

Ano académico 2017

Analise Matemática I

Sumário

Definição de sistemas de duas equações lineares com dois

variáveis.

Métodos de solução

Tipos de solução

Sistema de duas equações com dois variáveis quadrático

Bibliografia

Autor Título Editorial Data

Barnett, Ziegler y Byleen

Pré-Cálculo, funciones y gráficas Mc.Graw-Hill 2000

Zuma Medeiros , Valéria

Pré-Cálculo 2ª edição revista r atualizada

CENGAGE Learning

2012

Demana Pré-Cálculo PEARSON

Addison Wesley 2010

Stewart Pré-Cálculo CENGAGE Learning

5ta Edição

Aplicação dos sistemas de equações lineares

São inúmeros os problemas de engenharia onde se recai na solução de um sistema de equações lineares. Como exemplos, podemos citar: • O cálculo de esforços em problemas de estática; • O cálculo de tensões e correntes em um circuito elétrico composto por elementos lineares; • O balanço de massa em sistemas físicos lineares; • A solução de equações diferenciais lineares por métodos numéricos como elementos finitos e diferenças finitas, etc.

Definição. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis

Um sistema de duas equações lineares com dois variáveis é

um conjunto de equações do tipo:

Onde x e y são variáveis e a, b, c, d, h e k são

constantes reais.

Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis

Uma solução de um sistema de duas equações lineares

com duas variáveis é um par ordenado de números reais

que satisfaz cada uma das equações.

Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis

Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis

Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis

Contudo, sabemos também que nem todos os sistemas lineares tem solução. Como por exemplo,

Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis

Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis

Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis

Solução. Método da substituição

1. Isolar uma variável: Escolher uma equação e isolar uma das variáveis.

2. Substituir: substitua a expressão que determinou no passo 1 na outra

equação para obter uma equação com uma variável. Logo resolva-a para

obter o valor dessa variável.

3. Substituir na equação da variável isolada. Substitua o valor que

encontrou no passo 2 na expressão que encontrou no passo 1 para

determinar a variável que falta.

Calcule as soluções do sistema:

Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis. Suporte gráfico

Calcule as soluções do sistema:

Solução. Método do cancelamento

1. Ajustar os coeficientes: Multiplica-se uma ou mais das equações por

quantidades adequadas de modo que o coeficiente de uma variável de

uma equação seja o negativo de seu coeficiente na outra equação.

2. Adicionar as equações: Adicionam-se as duas equações para eliminar

uma variável, logo resolve para determinar o valor da variável restante.

3. Substituir: Substitui-se o valor que determinou no passo 2 em uma das

equações originais, e resolve-se para determinar o valor da variável

restante.

Método do cancelamento. Exemplo

Calcule as soluções do sistema:

***** As soluções são independentes do método

Método de Cramer

***** As soluções são independentes do método

Gabriel Cramer (31 de Julho de 1704 - 4 de janeiro de 1752) foi um matemático

suizo nascido em Ginebra.

O MÉTODO DE CRAMER É UTILIZADO NA PROCURA DE SOLUÇÕES A SISTEMAS

DE EQUAÇÕES COM N EQUAÇÕES E N VARIÁVEIS.

O método consiste em representar os coeficientes de cada variável de todas

as equações em forma de matrizes e calculam-se discriminantes da seguinte

forma:

Método de Cramer. Exemplo

PARA UM SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES COM DUAS VARIÁVEIS

Sistema:

Representação Matricial:

Solução:

Método de Cramer. Exemplo

PARA UM SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES COM DUAS VARIÁVEIS

Sistema:

Representação Matricial:

Solução:

Método de Cramer. Exemplo

PARA UM SISTEMA DE TRÊS EQUAÇÕES COM TRÊS VARIÁVEIS

Sistema:

Representação Matricial:

Solução:

Método de Cramer. Exemplo

Calcular um discriminante de 3x3:

=(j.e.i + b.f.l + k.h.c) – (l.e.c + k.b.i + h.f.j)

Método de Cramer. Exemplo

PARA UM SISTEMA DE TRÊS EQUAÇÕES COM TRÊS VARIÁVEIS

Método de Cramer. Exemplo

PARA UM SISTEMA DE TRÊS EQUAÇÕES COM TRÊS VARIÁVEIS

Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis. Classificação

De acordo com sua conjunto solução, os sistemas lineares

podem ser de três tipos:

Compatíveis

• Determinados: Quando possuem apenas uma solução.

• Indetermináveis: Quando possuem infinitas soluções.

Incompatíveis: Quando não possuem nenhuma solução.

Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis . Exemplo 1

Calcule as soluções do sistema:

*****O sistema neste caso não tem solução e podemos dizer

que é incompatível

Calcule as soluções do sistema:

Solução. Sistema de duas equações lineares com dois variáveis . Exemplo 1

Sistema de duas equações com dois variáveis quadrático

5x2 – 4y = 5,3

x + 3y = 7 A

5x2 – 4xy = 5,3

x + 3y = 7 C

x + 3y = 7 x·y = 40

B*

D 5x2 – 4y2 = 5,3

x2 + 3y2 = 7

Sistema de duas equações com dois variáveis

quadrático. Soluções. Exemplo 2

Aplican-se os mesmos métodos que nos sistemas de duas

equações lineares com dois variáveis.

Exemplo:

Sistema de duas equações com dois variáveis

quadrático. Soluções. Exemplo 2

Exemplo:

Sistema de duas equações com dois variáveis

quadrático. Soluções. Exemplo 2

Exemplo:

Solução. S.2.E.L com dois variáveis. Suporte gráfico. Exemplo 2

(7;43)

(43;7)

Historia

Os babilônios estudavam problemas que conduziam a equações, há muitos anos. Um exemplo disso foi encontrado em um bloco de barro que data cerca de 300 a. C. , contendo o seguinte problema:

Dois campos tem área total de 1800 jardas quadradas. Um produz grãos em 2/3 de um alqueire por jarda quadrada, enquanto o outro produz grãos em 1/2 de um alqueire por jarda quadrada. Se o lucro total é de 1100 alqueires. Qual o tamanho de cada campo?

Historia

Historia

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