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Análise e Complexidade d Al itde Algoritmos

Métodos de Ordenação- seleção e inserção- seleção e troca (bubble sort)

i k t- merge e quick sort- radix- hashing

http://www.bolinhabolinha.comProf. Rodrigo Rochaprof.rodrigorocha@yahoo.com

Onde Estamos

Ementa• Revisão:

Estrutura de dados;Crescimento de funções;

Indução matemática e métodos matemáticos Indução matemática e métodos matemáticos.

Medidas de complexidade, análise assintótica de limites de complexidades.

Exemplos de análise de algoritmo iterativos e recursivos.

Análise de desempenho de alguns algoritmos clássicos de busca e ordenação.

Introdução aos principais paradigmas do projeto de algoritmos.

Complexidade do Problema: Limites de Complexidade, Intratabilidade, Classes P, NP, problemas Np completos e NP-difíceis.

Introdução

Atividade fundamental na computação

Método de rearranjar um conjunto de dados em ordem crescente ou decrescente

Métodos estudados:• Seleção (Selection sort)• Inserção (Insertion sort)• Seleção e Troca (Bubble Sort)• Intercalação (Merge Sort)• Particionamento (troca) (QuickSort)• Radix

Ordenação Interna• Simples

Adequados para pequenos arquivos O(n2)• Eficientes

Arquivos maiores que requerem n(log n)

Seleção - Selection Sort

Um dos métodos mais simples

Funcionamento• Selecione o menor valor do vetor

• Troque com o item que está na 1. posição do vetor

• Repita esta operação para os n-1 itens restantes

• Depois repita para n-2, até restar apenas um elemento

Animaçãoç• http://www.cs.pitt.edu/~kirk/cs1501/animations/Sort3.html

Exemplo

Algortimo

Complexidade• (números de troca)

• Melhor casoentrada já ordenada O(n)

• Pior casoentrada na ordem inversa O(n2)

C édi• Caso médioO(n2)

Inserção - Insertion Sort

Dividir os valores a serem ordenados em:• coleção U de valores desordenados (a serem ordenados)

• coleção S de valores ordenados

Remover um a um os valores de U e inserí-los em S• Mantendo S ordenado

Início:• U = conjunto desordenado de valores

• S = vazio

Termino:• U = vazio

• S = conjunto ordenado de valores

Inserção - Insertion Sort Para ordenar n valores, no vetor A[0:n-1]

• Utilize A contendo subvetor S e U “lado-a-lado”• S inicia no lado esquerdo de A• U inicia no lado direito de A• retire um valor V do final a esquerda de U

criará um espaço entre S e U

• mova todos os valores em S que forem maiores que V um espaço a direita

• insira V no espaço remanescente em S

Repetir até todos os valores em U estarem inseridos em S

No final, S ocupa o mesmo espaço que A

Algoritmo

Complexidade• Melhor casoentrada já ordenada O(n)entrada já ordenada O(n)

• Pior casoentrada na ordem inversa O(n2)

• Caso médioO(n2)

Animação na web

http://www cs oswego edu/ mohammad/classes/c• http://www.cs.oswego.edu/~mohammad/classes/csc241/samples/sort/Sort2-E.html

• http://www.ece.unb.ca/brp/lib/java/insertionsort/

• http://www.oopweb.com/Algorithms/Documents/AnimatedAlgorithms/VolumeFrames.html

Seleção e Troca - Bubble sort

Funcionamento• Varrer o vetor V comparando os elementos

adjascentes v[i], v[i+1]adjascentes v[i], v[i 1]

• Se v[i]>v[i+1] troque v[i] por v[i+1]

• até nenhuma troca ser necessária

Em cada passo• maior valor é empurrado para o fim

• item(s) no final do vetor estão ordenados

• menor valor é movido uma posição a menos no final

Vetor A =18 26 3 9 34 5 21 14 6 Passo 1:

A =(18 26) 3 9 34 5 21 14 6 okA = 18 (26 3) 9 34 5 21 14 6 trocaA = 18 3 (26 9) 34 5 21 14 6 trocaA = 18 3 9 (26 34) 5 21 14 6 okA = 18 3 9 26 (34 5) 21 14 6 trocaA = 18 3 9 26 5 (34 21) 14 6 trocaA = 18 3 9 26 5 21 (34 14) 6 troca( )A = 18 3 9 26 5 21 14 (34 6) trocaA = 18 3 9 26 5 21 14 6 | 34

Entre parênteses estão as comparações SubLista contém o último valor 34, e está ordenado

subLista que contém os dois últimos valores 26 34 estão ordenados

Passo 3:A = (3 18) 9 5 21 14 6 | 26 34 okA = 3 (18 9) 5 21 14 6 | 26 34 trocaA 3 9 (18 5) 21 14 6 | 26 34 tA = 3 9 (18 5) 21 14 6 | 26 34 trocaA = 3 9 5 (18 21) 14 6 | 26 34 okA = 3 9 5 18 (21 14) 6 | 26 34 trocaA = 3 9 5 18 14 (21 6) | 26 34 trocaA = 3 9 5 18 14 6 (21 | 26) 34 okA = 3 9 5 18 14 6 21 | (26 34) okA = 3 9 5 18 14 6 | 21 26 34

subLista que contém os dois últimos valores 21 26 34 estão ordenados

Depois do passo i, o último valor de i está ordenado

(Após) Passo 4:• A =3 5 9 14 6 | 18 21 26 34

(Após) Passo 5: (Após) Passo 5:• A =3 5 9 6 | 14 18 21 26 34

(Após) Passo 6:• A = 3 5 6 | 9 14 18 21 26 34

(Após) Passo 7:(Após) Passo 7:• A = 3 5 6 | 9 14 18 21 26 34

Terminado !!! nenhuma troca é necessária

Seleção e Troca - Buble Sort

static void bubbleSort(int vet[]){

int passo,j,temp;p ,j, p;//contador dos passos de 1 até o tamanho do vetorfor (passo=1;passo<vet.length;passo++)

// passa por todos comparando o menorfor (j=0;j<vet.length-passo;j++)

if (vet[j]>vet[j+1]) {// troca os elementostemp = vet[j+1];vet[j+1] = vet[j];vet[j]=temp;

Número de comparações• Para 9 valores: 8 primeiro passo, 7 no segundo, 6

no terceiro, ….no terceiro, ….

• 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 (comparações)

• Para n valores: (n-1) primeiro passo, (n-2) segundo passo, …

• (n-1) + (n-2) + …. + 1 = n * (n+1)/2 (comparações)(comparações)

• Número de comparações: n * (n+1)/2 = (n2 + n)/2

Melhor Caso• vetor já ordenado

• (n-1) comparações nenhuma troca• (n-1) comparações, nenhuma troca

Caso médio• metade do tempo

• n(n+1)/4 proporcional a n2

Pior Casoo Caso• vetor ordenado decrescente

• uma troca por comparação

• n(n+1)/2 = O(n2)

Animação na web• http://www.cs.oswego.edu/~mohammad/classes/c

sc241/samples/sort/Sort2-E.htmlsc241/samples/sort/Sort2 E.html

• http://www.ece.unb.ca/brp/lib/java/bubblesort/

• http://www.cosc.canterbury.ac.nz/people/mukund/d l/BS t ht lan/dsal/BSort.html

Merge sort

Refinamento da estretégia de dividir para conquistar

Para ordenar n valores em um vetor A[0:n-1], na ordem ascendente:1. Dividir a seqüência A em duas metades, esquerda E e

direita D

2. MergeSort a seqüência esquerda E

3. MergeSort a seqüência direira D

• Unir as seqüências direita e esquerda em um resultado S

• Utilizar recursividade para ordenar os dois lados

• O “coração” do MergeSort é o passo de união

Merge sort

Passo de união• Assumimos duas seqüências ordenadas D e E

• Para juntar os valores de D e E em uma nova• Para juntar os valores de D e E em uma nova seqüência ordenada Srepetidamente

1. compare os valores iniciais de D e E

2. coloque o menor em S

3. (Se uma das seqüências estiver vazia, copiar os elementos restantes dentro de Srestantes dentro de S

• Resultado:S contém todos os elementos de D e E ordenados

Merge sort

MergeSort A =18 26 3 9 34 5 21 14 6Divide A: E = 18 26 3 9 e D =34 5 21 14 6MergeSort E:

Divide E: EE = 18 26 e ED =3 9MergeSort EE:

Divide EE: EEE = 18 e EED = 26MergeSort EEE: ( já está ordenado)MergeSort EED: (já está ordenado)Merge 18 (EEE ordenado) e 26 (EED ordenado): Resultado: 18 26

MergeSort ED: ... Resultado: 3 9Merge 18 26 (EE ordenado) e 3 9(ED ordenado): Resultado: 3 9 18 26

MergeSort D: ... Resultado: 5 6 14 21 34

Merge 3 9 18 26(E ordenado) e 5 6 14 21 34(D ordenado):Resultado: 3 5 6 9 14 18 21 26 34

Merge sort - exemplo

Merge Sortvoid mergesort(int a[ ], int low, int high) {

if(low == high) return;

int length = high-low+1;int pivot = (low+high) / 2;mergesort(a, low, pivot);mergesort(a pivot+1 high);mergesort(a, pivot+1, high);int working[ ] = new int[length];for(int i = 0; i < length; i++)

working[i] = a[low+i];int m1 = 0; int m2 = pivot-low+1;for(int i = 0; i < length; i++) {

if(m2 <= high-low) if(m1 <= pivot-low)

if(working[m1] > working[m2]) ( g[ ] g[ ])a[i+low] = working[m2++];

else a[i+low] = working[m1++];

Merge sort

Estratégia• Dividir um vetor A de “n” elementos em duas metades

(vetores) E[0:meio] e D[meio+1:n-1]• Combinar as metades ordenadas E e D unindo-as em um

único resultado ordenado • Atenção

requer um vetor adicional de tamanho igual ao que irá ser ordenado

se somente o vetor original ocupa toda memória, merge sort não irá funcionar

se você tem bastante espaço, merge sort é a melhor escolha

Complexidade• Caso médio

O(n log n)

• Pior casoO(n log n)

Merge sort

Animações na web• http://www.geocities.com/SiliconValley/Program/2

864/File/Merge1/mergesort.html864/File/Merge1/mergesort.html

• http://www-cse.uta.edu/~holder/courses/cse2320/lectures/applets/sort1/mergesort_df.html

Merge Sort

1-) Simular o processo do algoritmo de ordenação Merge Sort para o seguinte conjunto de valores:conjunto de valores:• 10,3,6,12,33,21,56,2,13,1

2-) Implementar o algoritmo de merge sort e testá-lo.

Quick sort

QuickSort foi descoberto em 1962. Refinamento do algoritmo de dividir para conquistar Para ordenar n valores em um vetor A[0:n-1], na

ordem ascendente:ordem ascendente:• 1. Particionar a seqüência A em direita D e esquerda E

utilizando um valor de A como pivô• 2. QuickSort a porção esquerda E.• 3. QuickSort a porção direita D.

Utilizar recursividade para ordenar os dois lados• Até uma seqüência de 1 elemento que está ordenadaAté uma seqüência de 1 elemento, que está ordenada

o “coração” do QuickSort é o passo de Particionar partir o vetor em dois sub vetores, tal que todos os

elementos do primeiro sejam menores ou iguais a todos os elementos do segundo

Particionamento dos dados

Particionando• Para particionar os dados, dividimos em dois grupos

• selecionamos um pivôpodemos utilizar diversas técnicas (exemplo: meio do vetor)

• percorro o vetor de baixo para cima até achar um valor que seja maior que o pivô

• percorro o vetor de cima para baixo até achar um valor que seja menor que o pivô

• troca-se os dois elementos (aquele que não era menortroca se os dois elementos (aquele que não era menor que o pivô com aquele que não era maior que o pivô)

• término = quando os percursos se cruzarem:dois grupos, um abaixo do pivô, com elementos menor que este

outro acima do pivô, com elementos maiores que este

Quick sort - particionamento

Exemplo

Quick sort

Algoritmovoid quicksort (int[] a, int lo, int hi) {// lo é o índice mais baixo, hi é o índice mais alto// da região do vetor que irá ser ordenada

int i=lo j=hi h;int i=lo, j=hi, h;int x=a[(lo+hi)/2];// particionamentodo {

while (a[i]<x) i++; while (a[j]>x) j--;if (i<=j) {

h=a[i]; a[i]=a[j]; a[j]=h;i++; j--;

}} while (i<=j);// recursãoif (lo<j) quicksort(a, lo, j);if (i<hi) quicksort(a, i, hi);

Quick sort

Complexidade• melhor caso (a)

cada particionamento produz duas partes de tamanhos iguais O(n log n) - log n cada metade

• Caso médio O(n log n)

• Pior Caso (c) Pivo é o maior ou menor valor da partição

– Passo de particionamento separa n valores em “grupos” de um valor, e os grupos contém n-1 valores)O(n2)

QuickSort é muito sensível a escolha do Pivo

Animações na web

• http://www cs oswego edu/~mohammad/classes/c• http://www.cs.oswego.edu/~mohammad/classes/csc241/samples/sort/Sort2-E.html

• http://www-t d / h ld / / 2320/l t /cse.uta.edu/~holder/courses/cse2320/lectures/ap

plets/quicksort/

Radix sort

Rearranjar o vetor baseado na representação inteira dos dígitos individuais

• inteirosinteiros

• caracteres

• decimais (preparados)

• datas

dois tipos• least significant digit (LSD) dígito menos significativo

• most significant digit (MSD) dígito mais significativo

Radix sort

Processo do LSD• Pegue o último digito mais significativo de cada chave• Agrupe as chaves baseado no dígito, mantendo a ordem

original das chavesg• repita o processo para os outros dígitos mais

significativos Exemplo

• Original, lista desordenada: 170, 45, 75, 90, 2, 24, 802, 66

• Ordenando pelo último digito (unidade) 170 90 2 802 24 45 75 66 170, 90, 2, 802, 24, 45, 75, 66

• Atenção: 2 está antes do 802, pois ele ocorre antes na lista original. Assim como o 170 e 90.

• Ordenando o próximo dígito (dezena) 2, 802, 24, 45, 66, 170, 75, 90

• Ordenando pelo próximo dígito (centena) 2, 24, 45, 66, 75, 90, 170, 802

Radix sort

Complexidade• temosn total de elementosn total de elementos

m o valor máximo de um conjunto de elementos– exemplo sistemá decimal de 0 a 9, logo 10 digitos m=10

p é o número de iterações, depende da quantidade de dígitos, de 0 a 999 p=3

• O(m*p) e O(n*p) = O(p(n+m))m e p são pequenos

no caso de sistema decimal m=10 e p<=10

• O(n)

Radix sort

Animações na web• http://www-

cse.uta.edu/~holder/courses/cse5311/lectures/apcse.uta.edu/ holder/courses/cse5311/lectures/applets/radix/RadixSort.html

• http://www.cse.iitk.ac.in/users/dsrkg/cs210/applets/sortingII/radixSort/radixSort htmls/sortingII/radixSort/radixSort.html

• http://www.cs.umass.edu/~immerman/cs311/applets/vishal/RadixSort.html

Exercícios

Modifique o programa selection sort para sempre jogar o maior elemento para o final, ao invés do menor para o começo. Aao invés do menor para o começo. A complexidade mudou? Justifique.

Modifique o programa selection sort para ordenar de forma decrescente

Exercícios

1-) Considerando os vetores abaixo: a-) [ 10, 1, 9, 2, 8, 3 ] b-) [ 8,9,7,9,3,2,3,8,4,6 ] c-) [ 1,4,6,8,12,11 ] d-) [ 13,33,43,53,63 ]

• Desenhe a seqüência de passos realizados para ordená-los, utilizando os métodos de busca insertion sort e bubble sort.

• Qual a complexidade de cada ordenação para cada vetor?

2-) Se para cada comparação feita no algoritmo de ordenação bubble sort, você realiza-se uma busca seqüencial, com que complexidade ficaria este novo algoritmo?

3-) Se a busca implementada no exercício 2 fosse binária, a complexidade mudaria? Justifique.

4-) Um programador desconfiado, achou melhor implementar em cada iteração do insertion sort (no vetor parcialmente ordenado S), uma verificação, para isso, executa o procedimento de ordenação bubble sort na parte ordenada pelo insertion sort.

Você acredita que foi uma boa escolha ? Justifique ?

Exercícios

1-) Simular a ordenação por quick sort no seguinte conjunto de valores:• 7 1 3 9 8 4 2 7 4 2 3 57, 1, 3, 9, 8, 4, 2, 7, 4, 2, 3, 5.

2-) Implementar o algoritmo de quick sort e testá-lo.

Radix sort

Exercício• Ordenar utilizando radix sort os seguintes conjuntos:

a-) 45 93 38 74 39 32 72 14 92 5 91 66

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Radix sort

Exercício• Ordenar utilizando radix sort os seguintes conjuntos:

b-) 111 12 11 1 33 22 112 2 96 55 14 66

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Radix sort

Exercício

c ) Como ficaria a implementação do Radix para• c-) Como ficaria a implementação do Radix para ordenação de palavras?

Dê um exemplo de ordenação de palavras com até 3 letras.

Como ficou a complexidade, ela mudou ?

Bibliografia

Livro texto• ZIVIANI, Nivio. Projeto de Algoritmos : com implementação em Pascal

e C.. 2ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004.

• VELOSO, Paulo A. S.. Estrutura de Dados. 1ª ed. São Paulo: Campus, , p ,1983.

• CORMEN, Thomas H. Algoritmos : teoria e prática. 1ª ed. Rio de Janeiro: CAMPUS, 2002.

Complementar• SCHILDT, Herbert. C Completo e Total. 3ª ed. São Paulo: Pearson

Education, 2005.Education, 2005.

• CELES, Waldemar; CERQUEIRA, Renato. Introdução a Estruturas de Dados : com técnicas de programação em C. 4ª ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004

• WIRTH, Niklaus. Algoritmos e Estruturas de Dados. 1ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 1989

• TENENBAUM, Aaron M; SOUZA, Tereza Cristina Félix de. Estruturas de Dados usando C. 1ª ed. São Paulo: Makron Books,1995.

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