análise de desempenho n n analíticos – –determinísticos n n melhor e pior casos –...

Análise de DesempenhoAnálise de Desempenho Analíticos

– Determinísticos Melhor e pior casos

– Probabilisticos Valores prováveis

Simulação Análise exaustiva

Implementação real– Medidas obtidas do sistema real– Benchmarks– Protótipos

Redes de PetriRedes de Petri

Espaço dosFormalismos

NíveisdeAbstração

Interpretações

Temporizado Dados Interpretados

Obj.RdP

Pr/T, CPN

CE, EN

Redes TemporizadasRedes Temporizadas Extensões

Temporizadas

Token-TimedPN

Transition-TimedPN

Place-TimedPN

StochasticPN

TimePN

……

TimedPN

Redes TemporizadasRedes Temporizadas Extensões

Temporizadas

Token-TimedPN

Transition-TimedPN

Place-TimedPN

StochasticPN

TimePN

……

TimedPN

Redes TemporizadasRedes Temporizadas

Ramchandani, 1973 - Transition Timed Ramchandani, 1973 - Transition Timed NetNet

Merlin, 1976 - Transition Time NetMerlin, 1976 - Transition Time Net Sifakis, 1977 - Place Timed NetSifakis, 1977 - Place Timed Net

Redes Temporizadas Redes Temporizadas EstocásticasEstocásticas

Natkin -1980Natkin -1980 Molloy - 1981Molloy - 1981 Marsan et al. - 1984Marsan et al. - 1984

É uma rede temporizada onde o É uma rede temporizada onde o delaydelay associado à transição é uma variável associado à transição é uma variável aleatória de distribuição exponencialaleatória de distribuição exponencial

Redes TemporizadasRedes Temporizadas Redes de Petri com Lugares Temporizados Redes de Petri com Lugares Temporizados

(PTPN) (Sifakis77)(PTPN) (Sifakis77) Definição: PTPN=(P,T,F,K,W,MDefinição: PTPN=(P,T,F,K,W,M00,,,,), onde ), onde P é o conjunto de lugares,P é o conjunto de lugares,T o conjunto de transições, T o conjunto de transições, F F (P (P T) T) (T (T P) uma relação que representa os arcos P) uma relação que representa os arcosWW – Valoração (peso dos arcos) - W: F – Valoração (peso dos arcos) - W: F N NMM00- Marcação inicial - M- Marcação inicial - M00:P :P N N={={11, , 22,…, ,…, ii,…} números reais denominada base de tempo.,…} números reais denominada base de tempo.:P :P um mapeamato que um mapeamato que (p) = (p) = jj

Redes TemporizadasRedes Temporizadas - - PTPN -PTPN -

t0 p0 t1

Regra de DisparoRegra de Disparo

(p0) = 3(p0) = 3

t0 p0 t1

Instante=0

(p0) = 3(p0) = 3

t0 p0 t1

Instante=1

(p0) = 3(p0) = 3

t0 p0 t1

Instante=2

(p0) = 3(p0) = 3

t0 p0 t1

Instante=3

(p0) = 3(p0) = 3

Redes de Petri Redes de Petri TemporizadasTemporizadas

- - Tempo Associado às Tempo Associado às TransiçõesTransições - -

Conceitos Básicos:Conceitos Básicos:– Duração (disparo em três fases)Duração (disparo em três fases)

Marcas são consumidas dos lugares de entradaMarcas são consumidas dos lugares de entrada Há uma duraçãoHá uma duração Marcas são geradas no lugares de saídaMarcas são geradas no lugares de saída

– Disparo atômicoDisparo atômico As marca permanecem nos lugares de entrada As marca permanecem nos lugares de entrada

pelo período igual ao pelo período igual ao delaydelay associada à transição. associada à transição. Após o Após o delaydelay as marcas são consumidas e as marcas são consumidas e geradas nos lugares de saída imediatamente.geradas nos lugares de saída imediatamente.

Conceitos Básicos:Conceitos Básicos:– Duração (disparo em três fases)Duração (disparo em três fases)

Pode ser representada por uma rede com disparo Pode ser representada por uma rede com disparo atômicoatômico

Modelo mais compactoModelo mais compacto O estado é uma informação mais complexa do O estado é uma informação mais complexa do

que o modelo não-temporizadoque o modelo não-temporizado– Disparo atômicoDisparo atômico

Pode representar o modelo com duraçãoPode representar o modelo com duração O conjunto de marcações alcançáveis é um sub-O conjunto de marcações alcançáveis é um sub-

conjunto das marcações do modelo não-conjunto das marcações do modelo não-temporizado.temporizado.

Conceitos Básicos:Conceitos Básicos:

– Regras de Seleção:Regras de Seleção: Pré-seleção:Pré-seleção: (duração e (duração e delaydelay))

– PrioridadePrioridade– ProbabilidadeProbabilidade

Race Race (corrida):(corrida): ( (delaydelay))– Transições habilitadas com menor Transições habilitadas com menor delaydelay são são

disparadasdisparadas

Conceitos Básicos:Conceitos Básicos:– Quando uma das transições Quando uma das transições

conflitantes é desabilitada pelo conflitantes é desabilitada pelo disparo da outra, o que acontece disparo da outra, o que acontece com o com o timertimer da que ficou da que ficou desabilitada quando a mesma desabilitada quando a mesma tornar-se habilitada outra vez?tornar-se habilitada outra vez?

Como fica a memorização Como fica a memorização do tempo de habilitação do tempo de habilitação anterior?anterior?

ContinueContinue– O O timertimer associado à transição associado à transição

mantem o valor atual e mantem o valor atual e quando a transição se tornar quando a transição se tornar novamente habilitada o valor novamente habilitada o valor do do timertimer iniciará daquele valor. iniciará daquele valor.

Restart– Quando a transição for

novamente habilitada o timer será re-iniciado.

Conceitos Básicos:Conceitos Básicos:– O que acontece com o O que acontece com o timertimer das das

transições habilitadas após o transições habilitadas após o disparo de uma transição? disparo de uma transição?

Todas as transições. Não somente Todas as transições. Não somente as transições conflitantes.as transições conflitantes.

•Algumas políticas de memória podem ser construídas

– ResamplingResampling Após cada disparo os Após cada disparo os timers timers de de TODASTODAS as as

transições são re-iniciadotransições são re-iniciado ( (restartrestart)) Não há memóriaNão há memória Após descartar todos os Após descartar todos os timerstimers, os valores , os valores

iniciais são associados a todas as transições iniciais são associados a todas as transições que se tornarem habilitadas na nova que se tornarem habilitadas na nova marcaçãomarcação..

– Enabling MemoryEnabling Memory Após cada disparo os Após cada disparo os timers timers das das

transições que ficaram desabilitadastransições que ficaram desabilitadas são re-iniciados (são re-iniciados (restartrestart))

As As transições que permaneceram transições que permaneceram habilitadashabilitadas com o disparo matêem com o disparo matêem seus valores presentes(seus valores presentes(continuecontinue))

– Age MemoryAge Memory Após cada disparo os Após cada disparo os timerstimers de de

todas todas as transições são mantidos as transições são mantidos em seus valores presentes em seus valores presentes ((continuecontinue))

Conceitos Básicos:Conceitos Básicos:– Grau de Habilitação Grau de Habilitação

((Enabling Degree)Enabling Degree) É o número de vezes que É o número de vezes que

uma determinada uma determinada transição pode ser transição pode ser disparada, antes de se disparada, antes de se torna desabilitada.torna desabilitada.

Quando o grau de Quando o grau de habilitação é habilitação é maior que maior que umum, atenção especial à , atenção especial à semântica de semântica de temporização deve ser temporização deve ser considerada.considerada.

Conceitos Básicos:Conceitos Básicos:– Semântica de TemporizaçãoSemântica de Temporização

Single-serverSingle-server firing semantics firing semantics

Infinite-serverInfinite-server firing semantics firing semantics

Multiple-serverMultiple-server firing semantics firing semantics– K é o máximo grau de paralelismo. Quando K é o máximo grau de paralelismo. Quando

kk , Multiple-server firing semantics , Multiple-server firing semantics é igual a é igual a infinite-server firing semantics.infinite-server firing semantics.

Conceitos Básicos:Conceitos Básicos:– Single-serverSingle-server firing firing

semanticssemantics

d=3 t=3 t=6 t=9 t

Conceitos Básicos:Conceitos Básicos:– Infinite-serverInfinite-server firing firing

semanticssemantics

d=3 t=3 t

Conceitos Básicos:Conceitos Básicos:– Multiple-serverMultiple-server

firing semantics firing semantics k=2k=2

d=3 tt=3 t=6

Redes TemporizadasRedes Temporizadascom Transições com Transições TemporizadasTemporizadas

Time Petri Nets Time Petri Nets (Merlin76)(Merlin76) Definição: TPN=(P,T,F, W,MDefinição: TPN=(P,T,F, W,M00,I), onde ,I), onde P é o conjunto de lugares,P é o conjunto de lugares,T o conjunto de transições, T o conjunto de transições, F F (P (P T) T) (T (T P) uma relação que representa os arcos P) uma relação que representa os arcosWW – Valoração (peso dos arcos) - W: F – Valoração (peso dos arcos) - W: F MM00- Marcação inicial - M- Marcação inicial - M00::PP

I:(DI:(Dminmin,D,Dmaxmax))DDminmin: : ((+ + {0}) {0})TT , D , Dmaxmax:(:(+ + {0}) {0})TT, onde I(t, onde I(tii)=(d)=(dii

minmin, d, diimaxmax), ),

ddiimaxmax d dii

minmin

TC: T TC: T é uma função parcial que associa as transições um é uma função parcial que associa as transições um timer timer clockclock

Semântica de Disparo de TransiçãoSemântica de Disparo de Transição Uma transição Uma transição ttjj é é disparáveldisparável se estiver habilitadase estiver habilitada

– Regras de habilitaçãoRegras de habilitação M[tM[tjj > , M(pi) > , M(pi) pi, tpi, tjj)) pi pi PPdurantedurante o intervalo I(t o intervalo I(tjj)=(d)=(djj

minmin, d, djjmaxmax), ),

Ou seja,Ou seja, t tj j só será disparável só será disparável se tc(tse tc(tjj) ) d djjminmin

e terá e terá que disparar que disparar antes queantes que tc(ttc(tjj) > d) > djjmaxmax ((strong semanticsstrong semantics) )

ouou e poderá e poderá disparar disparar antes queantes que tc(ttc(tjj) > d) > djj

maxmax ((weak semanticsweak semantics) ) Resampling Resampling (Merlin76)/(Merlin76)/Enabling MemoryEnabling Memory(Starke87)(Starke87) Regras de disparoRegras de disparo Se M[tSe M[tjj >M’ >M’ M’(pi)=M0(pi) - I(pi, tM’(pi)=M0(pi) - I(pi, tjj)+O(pi, t)+O(pi, tjj), ), pi pi PP

p0 t0 p1 t1 p2

[3,5] [1,3]

tc(t0)=1tc(t1)= indefinido

p0 t0 p1 t1 p2

[3,5] [1,3]

p0 t0 p1 t1 p2

[3,5] [1,3]

t0 pode disparar

p0 t0 p1 t1 p2

[3,5] [1,3]

p0 t0 p1 t1 p2

[3,5] [2,4]

tc(t0)= indefinidotc(t1)=1

p0 t0 p1 t1 p2

[3,5] [2,4]

tc(t0)= indefinidotc(t1)=2

t1 pode disparar

p0 t0 p1 t1 p2

[3,5] [2,4]

tc(t0)= indefinidotc(t1)= indefinido

M1t0 M2t1

[2,3] [2,4]

M0 tc(t0)= 1tc(t1)= indefinidotc(t2)= indefinido

[2,3] [2,4]

M0 tc(t0)= indefinidotc(t1)= 1tc(t2)= 1

[2,3] [2,4]

M0 tc(t0)= indefinidotc(t1)= 2tc(t2)= 2

[2,3] [2,4]

M0 tc(t0)= 1tc(t1)= 1tc(t2)= 1

[2,3] [2,4]

M0 tc(t0)= 2tc(t1)= 2tc(t2)= 2

[2,3] [2,4]

tc(t0)= 1tc(t1)= indefinidotc(t2)= indefinido

[2,3] [2,4]

tc(t0)= indefinidotc(t1)= 1tc(t2)= 1

Grafo de AlcançabilidadeGrafo de Alcançabilidade- - Untimed Model -Untimed Model -

Definição:Grafo de Alcançabilidade- seja Definição:Grafo de Alcançabilidade- seja uma rede marcada uma rede marcada N=(R,MN=(R,M00)). . RG(R, RG(R, MM00)=(RS,ARCS))=(RS,ARCS) define o grafo de define o grafo de alcançabilidade (alcançabilidade (Reachability GraphReachability Graph), onde ), onde RSRS é o conjunto de vértice e representa o é o conjunto de vértice e representa o conjunto de alcançabilidade. conjunto de alcançabilidade. ARCS ARCS RS RS T T RS RS é uma relação representando os arcos. é uma relação representando os arcos.

Time Petri Nets Time Petri Nets Definição:Definição: Grafo de Alcançabilidade Grafo de Alcançabilidade

TemporizadoTemporizado- seja uma rede marcada - seja uma rede marcada TTN=(R,MN=(R,M00,I),I). . TRG(TN)=(S,ARCS)TRG(TN)=(S,ARCS) define o grafo define o grafo de alcançabilidade temporal (de alcançabilidade temporal (Time Reachability Time Reachability GraphGraph), onde ), onde SS é o conjunto de vértice e é o conjunto de vértice e representa o conjunto de alcançabilidade. representa o conjunto de alcançabilidade. ARCS ARCS S S S S é uma relação representando os arcos. é uma relação representando os arcos. S = (M,TC)S = (M,TC), onde , onde M: M: PP e e TC: T TC: T é uma é uma função parcial que associa as transições um função parcial que associa as transições um timer clock, timer clock, que representa o tempo passado que representa o tempo passado (desde a sua habilitação) até atingir-se (desde a sua habilitação) até atingir-se M.M.

S S RS RS

Timed Petri Nets Timed Petri Nets (Ramchandani74,Zuberek87)(Ramchandani74,Zuberek87) Definição: TPN=(P,T,F, W,MDefinição: TPN=(P,T,F, W,M00,c,D), onde ,c,D), onde P é o conjunto de lugares,P é o conjunto de lugares,T o conjunto de transições, T o conjunto de transições, F F (P (P T) T) (T (T P) uma relação que representa os arcos P) uma relação que representa os arcosWW – Valoração (peso dos arcos) - W: F – Valoração (peso dos arcos) - W: F MM00- Marcação inicial - M- Marcação inicial - M00: P : P D: T D: T + + {0} {0}c:T c:T 0 01 função de probabilidade de escolha, tal que1 função de probabilidade de escolha, tal quettii c(t) = 1, c(t) = 1, TTiiFree(T), onde Free(T)={TFree(T), onde Free(T)={T11,..., T,..., Tnn} conjunto } conjunto

de conjuntos de transições de conjuntos de transições free-choice.free-choice.

TPN=(P,T,F, W,MTPN=(P,T,F, W,M00,c,D),,c,D),p0

Timed Petri Nets Timed Petri Nets Definição: Definição: Estado Estado - Seja - Seja TPN=(P,T,F, W,MTPN=(P,T,F, W,M00,c,D),c,D) uma uma Timed Petri Timed Petri

netnet. Um estado é definido por uma tupla . Um estado é definido por uma tupla s=(ms=(m11,m,m22,r),r), onde , onde MM11: P : P é a marcação é a marcação MM22: T : T é uma função que mapeia cada transição em natural, é uma função que mapeia cada transição em natural, onde este natural representa o número de vezes que aquela onde este natural representa o número de vezes que aquela transição está sendo disparada naquele estado transição está sendo disparada naquele estado SS..R: TR: Tk k + + {0} {0} se mse m22(t(tii) ) 0 0

indefinidaindefinida se mse m22(t(tii) = 0) = 0 onde onde k k é o número de vezes que é o número de vezes que ttii está sendo está sendo

disparada em disparada em SS ( (mm22(t(tii)= k)= k ) ) r(tr(tii): (): (+ + {0}) {0})kk é um vetor que associa a cada disparo de é um vetor que associa a cada disparo de ttii um um número real que representa o número real que representa o remaining firingremaining firing timetime de cada de cada disparo de disparo de ttii naquele estado naquele estado SS. . rrjj(t(tii) ) é j-ésimo componente de é j-ésimo componente de R(tR(tii))

Timed Petri Nets Timed Petri Nets Definição: Definição: Regra de Habilitação e Disparo Regra de Habilitação e Disparo - Seja - Seja TPN=(P,T,F, W,MTPN=(P,T,F, W,M00,c,D),c,D)

uma uma Timed Petri net Timed Petri net e e s=(ms=(m11,m,m22,r),r) um estado em algum instante um estado em algum instante + + {0} {0}..Um Um step step st: T st: T está habilitado se está habilitado se mm11(pi) (pi) ttTTst(t).W(pi,t), st(t).W(pi,t), pi pi PPSe um Se um stepstep stst está habilitado em um instante está habilitado em um instante (vamos tratar nos (vamos tratar nos )), , dispara-se dispara-se stst em em ..Em Em +1+1, tem-se: , tem-se: m’m’11(pi) (pi) m’m’1 1 - - ttC0C0st(t).W(pi,t)st(t).W(pi,t)

+ + ttC1C1st(t).W(t,pi) + st(t).W(t,pi) + ttC2C2 mm22(t).W(t,pi), (t).W(t,pi), pi pi PP, onde, ondeCC00={t ={t T | st(t) > 0} T | st(t) > 0}CC11={t ={t T | st(t) > 0 T | st(t) > 0 D(t) =1} D(t) =1}CC22={t ={t T | R T | Rjj(t) =1 (t) =1 t t st}, 0< j st}, 0< j K K m’m’22(t) = (t) = mm22(t) - (t) - m’m’2,2,+1+1(t), (t), m’m’2,2,+1+1(t) (t) representa que “sairam” da representa que “sairam” da transição no instantetransição no instante +1+1 r’r’jj(t)= r(t)= rjj(t)-1, t (t)-1, t m m22 t t st st (transições pertencentes ao (transições pertencentes ao stepstep stst ou as ou as que já se encontravam “dentro” (que já se encontravam “dentro” (mm22) das transições)) das transições)

d1=2d2=3

No instante =1, r1(t0) = 1, m2(t0) = 1

d1=2d2=3

•No instante =1, r1(t0) = 1, m2(t0) = 1•No instante =2, r(t1) = 2, m2(t1) = 1 r(t1) = 3, m2(t1) = 1

d1=2d2=3

•No instante =1, r1(t0) = 1, m2(t0) = 1•No instante =2, r(t1) = 2, m2(t1) = 1 r(t2) = 3, m2(t2) = 1•No instante =3, r(t1) = 1, m2(t1) = 1 r(t2) = 2, m2(t2) = 1

d1=2d2=3

•No instante =1, r1(t0) = 1, m2(t0) = 1•No instante =2, r(t1) = 2, m2(t1) = 1 r(t2) = 3, m2(t2) = 1•No instante =3, r(t1) = 1, m2(t1) = 1 r(t2) = 2, m2(t2) = 1•No instante =4, r(t2) = 1, m2(t2) = 1

d1=2d2=3

•No instante =1, r1(t0) = 1, m2(t0) = 1•No instante =2, r(t1) = 2, m2(t1) = 1 r(t2) = 3, m2(t2) = 1•No instante =3, r(t1) = 1, m2(t1) = 1 r(t2) = 2, m2(t2) = 1•No instante =4, r(t2) = 1, m2(t2) = 1•No instante =5, r(t3) = 3, m2(t3) = 1

d1=2d2=3

•No instante =1, r1(t0) = 1, m2(t0) = 1•No instante =2, r(t1) = 2, m2(t1) = 1 r(t2) = 3, m2(t2) = 1•No instante =3, r(t1) = 1, m2(t1) = 1 r(t2) = 2, m2(t2) = 1•No instante =4, r(t2) = 1, m2(t2) = 1•No instante =5, r(t3) = 3, m2(t3) = 1•No instante =8, m1(p5) = 1

t0 p2t2

d1=2d2=3

d5=2t5

c(t2)=0.5 c(t5)=0.5

t0 p2t2

d1=2d2=3

d5=2t5

c(t2)=0.5 c(t5)=0.5

•No instante =1, r1(t0) = 1, m2(t0) = 1

t0 p2t2

d1=2d2=3

d5=2t5

c(t2)=0.5 c(t5)=0.5

•No instante =1, r1(t0) = 1, m2(t0) = 1•No instante =2,

t0 p2t2

d1=2d2=3

d5=2t5

c(t2)=0.5 c(t5)=0.5

t0 p2t2

d1=2d2=3

d5=2t5

c(t2)=0.5 c(t5)=0.5

•No instante =1, r1(t0) = 1, m2(t0) = 1•No instante =2, r(t1) = 2, m2(t1) = 1 r(t2) = 3, m2(t2) = 1•No instante =3, r(t1) = 1, m2(t1) = 1 r(t2) = 2, m2(t2) = 1

t0 p2t2

d1=2d2=3

d5=2t5

c(t2)=0.5 c(t5)=0.5

•No instante =1, r1(t0) = 1, m2(t0) = 1•No instante =2, r(t1) = 2, m2(t1) = 1 r(t2) = 3, m2(t2) = 1•No instante =3, r(t1) = 1, m2(t1) = 1 r(t2) = 2, m2(t2) = 1•No instante =4, r(t2) = 1, m2(t2) = 1

t0 p2t2

d1=2d2=3

d5=2t5

c(t2)=0.5 c(t5)=0.5

t0 p2t2

d1=2d2=3

d5=2t5

c(t2)=0.5 c(t5)=0.5

Timed Petri Nets Timed Petri Nets

Definição:Definição: Grafo de Alcançabilidade Grafo de Alcançabilidade TemporizadoTemporizado- seja uma rede marcada - seja uma rede marcada TPN=(P,T,F, W,MTPN=(P,T,F, W,M00,c,D),c,D) . . TRG(TPN)=(S,D,h,q)TRG(TPN)=(S,D,h,q) define define o grafo de estados temporal (o grafo de estados temporal (Timed State Timed State GraphGraph), onde ), onde SS é o conjunto de vértice e é o conjunto de vértice e representa o conjunto de estados. representa o conjunto de estados. D D S S S S é é uma relação representando arcos dirigidos. uma relação representando arcos dirigidos. h : S h : S ++ {0} {0} é uma função que associa o é uma função que associa o holding holding timetime a cada estado a cada estado ssii=(m=(m11,m,m22,r),r), onde , onde h(sh(sii)=min)=minttT T

m2(t)>0 m2(t)>0 (r(rii(t)[1])(t)[1]) e e q : D q : D [0,1] [0,1] é uma função que é uma função que associa uma probabilidade aos arcos do grafo.associa uma probabilidade aos arcos do grafo.

t1d1=0

t5d=20

p6t7d7=0

si M1 M2 h(si) M’2 sj q

1 p=0 t1=1 0 t2=t5=1 2 12 p=0 t2=t5=1 10 t4=1 3 0,9 t3=1 4 0,13 p=0 t4=t5=1 5 t1=1 5 14 p=0 t3=t5=1 0 t=0 6 15 p6=1 t1=t5=1 0 t2=t5=1 7 16 p=0 t5=1 10 t7=1 8 17 p6=1 t2=1,t5=2 5 t6=1 9 18 p=0 t7=1 0 t1=1 1 19 p=0 t2=t5= 0 t=0 10 1 t6=110 p=0 t2=t5=1 5 t4=1 3 0,9 t3=1 4 0,1

t2d2=10

t1d1=0

t5d=20

p6t7d7=0

t2d2=10

t1d1=0

t5d=20

p6t7d7=0

t2d2=10

t1d1=0

t5d=20

p6t7d7=0

t2d2=10

t1d1=0

t5d=20

p6t7d7=0

t2d2=10

Tempo de ExecuçãoTempo de Execução– Análise do grafo de estados + Algorítmo de Análise do grafo de estados + Algorítmo de

Procura de CaminhosProcura de Caminhos (Redes Genéricas)(Redes Genéricas)

– Métodos EstruturalMétodos Estrutural (sub-classes: grafo-marcado)(sub-classes: grafo-marcado)

t1d1=0

t5d=20

p6t7d7=0

1 p=0 t1=1 0 t2=t5=1 2 12 p=0 t2=t5=1 10 t4=1 3 0,9 t3=1 4 0,13 p=0 t4=t5=1 5 t1=1 5 14 p=0 t3=t5=1 0 t=0 6 15 p6=1 t1=t5=1 0 t2=t5=1 7 1

...• D(s1,s5) = 0 + 10 + 5 + 0 = 15

t2d2=10

Métodos Algébricos Aplicados aos Grafos Métodos Algébricos Aplicados aos Grafos MarcadosMarcados

– CCmm = max = maxkk {D {Dkk/N/Nkk} k=1,...,q} k=1,...,q q q é o número de circuitosé o número de circuitos DDk k é a soma dos tempos associados às transições é a soma dos tempos associados às transições

do circuitodo circuito k k NNkk é o somatório de marcas no circuito é o somatório de marcas no circuito k k

t1 d1=5

C Dt2 t3d2=20 d3=4E F t4 d4=3

•P-minimum semiflows:SP1={A,C,E,G}SP2={A,D,F,G}SP3={B,C,E}SP4={B,D,F}

•Circuito:•c1={t1,t2,t4,t5}•c2={t1,t3,t4,t5}•c3={t1,t2,t4}•c4={t1,t3,t4}

t1 d1=5

C Dt2 t3d2=20 d3=4E F t4 d4=3

Cm = maxk {Dk/Nk} k=1,...,4

C1=(5+20+3+2)/2= 15

C2=(5+4+3+2)/1= 14

C3=(5+20+3)/2= 14

C4=(5+4+3)/1= 12

•Cm = maxk {15,14,14,12} = 15

Estedendo o Método Anterior para Redes Estedendo o Método Anterior para Redes Free-Free-ChoiceChoice sem Compartilhamento de Recursos sem Compartilhamento de Recursos

Seja Seja N=(P,T,I,O,MN=(P,T,I,O,M00,D),D) uma rede e uma rede e SNSNii=(P=(PSNiSNi,T,TSNiSNi,I,ISNiSNi,O,OSNiSNi,M,M00

SNiSNi,D,DSNiSNi)) e uma rede e uma rede SNSNii NN obtida pelos obtida pelos p-minimum semiflowsp-minimum semiflows.. Seja Seja SNSNkk=(P=(PSNkSNk,T,TSNkSNk,I,ISNkSNk,O,OSNkSNk,M,M00

SNkSNk,D,DSNkSNk)) uma rede tal uma rede tal que que SNSNkk SN SNii onde onde TTSNkSNk pertence a um único pertence a um único t-t-minimum semiflowsminimum semiflows..

Tempo do Caminho CríticoTempo do Caminho Crítico

– CTCTmm = max = maxkk {D {Dkk/N/Nkk} k=1,...,q} k=1,...,q q q é o número de sub-redes é o número de sub-redes SNSNkk DDk k é a soma dos tempos associados às transições é a soma dos tempos associados às transições

da sub-rededa sub-rede k. k. NNkk é o somatório de marcas no circuito é o somatório de marcas no circuito k k

Tempo MínimoTempo Mínimo

– MTMTmm = max = maxkk {min{D {min{Djj/N/Njj},D},Dii/N/Nii} i=1,...,q. } i=1,...,q. j=1,...,rj=1,...,r q q é o número de sub-redes é o número de sub-redes SNSNi i obtidas diretamente obtidas diretamente

dos dos p-minimum semiflowsp-minimum semiflows e cujos e cujos TTSNiSNi pertence a pertence a um único um único t-minimum semiflowst-minimum semiflows..

r r é o número de sub-redes é o número de sub-redes SNSNj j obtidas dos obtidas dos p-p-minimum semiflowsminimum semiflows e por sua decomposição tal e por sua decomposição tal que que TTSNjSNj pertence a um único pertence a um único t-minimum semiflowst-minimum semiflows..

DDk k é a soma dos tempos associados às transições é a soma dos tempos associados às transições da sub-rededa sub-rede k. k.

NNkk é o somatório de marcas no circuito é o somatório de marcas no circuito k k

[2] [5][2]

0 0 2 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17

T-minimum semiflowsT-minimum semiflows

st = {t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t }

1 0 2 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 18= {t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t } st

[2] [5] [2]

P-minimum semiflowsP-minimum semiflows sp = {p ,p ,p ,p ,p ,p }sp = {p ,p ,p ,p ,p ,p } sp = {p ,p ,p ,p ,p ,p ,p ,p }sp = {p ,p ,p ,p ,p ,p ,p ,p } sp = {p ,p ,p ,p ,p }sp = {p ,p ,p ,p ,p } sp = {p ,p ,p ,p ,p }sp = {p ,p ,p ,p ,p } sp = {p ,p ,p ,p ,p ,p }sp = {p ,p ,p ,p ,p ,p } sp = {p ,p ,p ,p ,p ,p ,p }sp = {p ,p ,p ,p ,p ,p ,p }

8 16 18

12 15 17 19 20

11 13 14 17

Transition paths sn = {t ,t ,t ,t ,t ,t } sn = {t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t } sn = {t ,t ,t ,t ,t } sn = {t ,t ,t ,t ,t } sn = {t ,t ,t ,t ,t ,t } sn = {t ,t ,t ,t ,t ,t ,t }

16 17 18

Decomposição dos Caminhos

sn = {t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t ,t } sn = {t ,t ,t ,t ,t ,t ,t } sn = {t ,t ,t ,t ,t ,t ,t }

10 11 12 13 14 16 17 18

Tempo do Caminho CríticoTempo do Caminho Crítico CT(N) = max {T(sn ),T(sn ),T(sn ),T(sn ),CT(N) = max {T(sn ),T(sn ),T(sn ),T(sn ), T(sn ),T(sn ),T(sn )} = 22T(sn ),T(sn ),T(sn )} = 22 Tempo MínimoTempo Mínimo MT(N) = max {T(sn ),min {T(sn ),MT(N) = max {T(sn ),min {T(sn ), T(sn )},T(sn ),T(sn ),T(sn ),T(sn )},T(sn ),T(sn ),T(sn ), T(sn )} = 20T(sn )} = 20

1 21 22 3

22 3 4 5

Redução de Transição em SeqüênciaRedução de Transição em SeqüênciaSeja uma rede Seja uma rede N=(P,T,I,O,MN=(P,T,I,O,M00,D), p,D), pii P P um um

lugar, onde lugar, onde I(pI(pii)=[t)=[tjj] O(p] O(pii)=[t)=[tkk].]. NN pode ser pode ser transformada em transformada em N’=(P’,T’,I’,O’,M’N’=(P’,T’,I’,O’,M’00,D’),D’) pela pela fusão de fusão de ttjj e e ttkk e eliminação dee eliminação de p pii. A . A transição transição ttj/k j/k T’ T’ representa as transições representa as transições fundidas tal que fundidas tal que I(tI(tj/kj/k) = I(t) = I(tjj)) e e O(tO(tj/kj/k) = O(t) = O(tkk)) e e ddj/kj/k= d= djj + ddkk

Redução de Transição em SeqüênciaRedução de Transição em Seqüência

tj pi tk

......

dj/k= dj + dk

Redução de Transição de um EscolhaRedução de Transição de um EscolhaSeja uma rede Seja uma rede N=(P,T,I,O,MN=(P,T,I,O,M00,D), p,D), pii, p, pll P P lugares, lugares,

onde onde O(pO(pii)=[t)=[tjj, t, tkk] e I(p] e I(pll)=[t)=[tjj,t,tkk].]. NN pode ser pode ser transformada em transformada em N’=(P’,T’,I’,O’,M’N’=(P’,T’,I’,O’,M’00,D’),D’) pela pela fusão de fusão de ttjj e e ttkk. A transição . A transição ttj/k j/k T’ T’ representa as representa as transições fundidas tal que transições fundidas tal que I(tI(tj/kj/k) = I(t) = I(tjj)) e e O(tO(tj/kj/k) = ) = O(tO(tkk)) e o tempo mínimo é e o tempo mínimo é ddj/kj/k= min{d= min{djj, ddkk} } e o e o tempo máximo é tempo máximo é ddj/kj/k= max{d= max{djj, ddkk} }

Redução de Transição de um EscolhaRedução de Transição de um Escolha

......

pi pl pi pl

dj/k= min{dj, dk}dj/k= max{dj, dk}

Redução de LaçoRedução de LaçoSeja uma rede Seja uma rede N=(P,T,I,O,MN=(P,T,I,O,M00,D), p,D), pii, p, phh P P

lugares, onde lugares, onde O(pO(pii)=[t)=[tjj, t, tkk] e O(t] e O(tjj)=[p)=[pii], ], I(pI(phh)=[t)=[tkk] .] . NN pode ser transformada em pode ser transformada em N’=(P’,T’,I’,O’,M’N’=(P’,T’,I’,O’,M’00,D’),D’) pela eliminação de pela eliminação de ttjj. O . O tempo associado a transição tempo associado a transição ttk k T’ T’ é é ddkk

N’N’= m = m d dj j + ddkk ..

Redução de LaçoRedução de Laço

... ......

dkN’= m dj + dk

Redução de Transições ParalelasRedução de Transições ParalelasSeja uma rede Seja uma rede N=(P,T,I,O,MN=(P,T,I,O,M00,D), t,D), tii, t, tjj , t , thh, t, tll T T

transições, onde transições, onde I(I(tI(I(tii))=I(I(t))=I(I(tjj)) )) ee O(O(t O(O(tii))=O(O(t))=O(O(thh)) .)) . NN pode ser transformada em pode ser transformada em N’=(P’,T’,I’,O’,M’N’=(P’,T’,I’,O’,M’00,D’),D’) pela eliminação da estrutura pela eliminação da estrutura SN=(PSN=(PSNSN,T,TSNSN,I,ISNSN,O,OSNSN,M,M00

SNSN,D,DSNSN)), onde , onde PPSNSN={I(t={I(tii), I(t), I(tjj)), )), O(tO(tii), O(t), O(tjj)}, T’={t)}, T’={tii, t, tj, j, I(I(tI(I(tii))=t))=thh, O(O(t, O(O(tii))=t))=tll}. t}. th/l h/l T’ T’ representa a estrutura reduzida, tal que representa a estrutura reduzida, tal que I(tI(th/lh/l)= )= I(I(I(tI(I(I(tii)))= I(I(I(t)))= I(I(I(tjj))), O(O(O(t))), O(O(O(tii)))= O(O(O(t)))= O(O(O(tjj)))))) e e ddi/ji/j

N’N’= = ddI(I(ti)) I(I(ti)) + max{ddii, ddjj}+ ddO(O(ti))O(O(ti))..

Redução de Transições ParalelasRedução de Transições Paralelaspa

......

di/jN’= dI(I(ti)) + max{di, dj}+ dO(O(ti))

Classificação da Técnicas Classificação da Técnicas de Avaliação de de Avaliação de

DesempenhoDesempenhoAvaliação de DesempenhoAvaliação de Desempenho

Avaliação DeterminísicaAvaliação Determinísica Modelagem EstocásticaModelagem Estocástica

MediçãoMedição PrototipaçãoPrototipação MétodosMétodos Simulação de EventosSimulação de Eventos MétodosMétodos AnalíticosAnalíticos DiscretosDiscretos

AnalíticosAnalíticos

SistemaSistema BenchmarksBenchmarks SimulaçãoSimulação RealReal Modelagem

Modelagem para Análise Modelagem para Análise de Desemde Desemppenhoenho

Algumas MedidasAlgumas Medidas

– Tempo de ManufaturaTempo de Manufatura– ThroughputThroughput– UtilizaçãoUtilização– CapacidadeCapacidade– ConfiabilidadeConfiabilidade

Modelagem para Análise de Modelagem para Análise de DesemDesemppenhoenho

– Modelos para SimulaçãoModelos para Simulação

– Modelos AnalíticosModelos Analíticos Cadeias de MarkovCadeias de Markov Teoria das FilasTeoria das Filas Redes de Petri EstocásticasRedes de Petri Estocásticas

Proriedade MarkovianaProriedade Markoviana– Ausência de MemóriaAusência de Memória

Variáveis Aleatórias com Variáveis Aleatórias com ProPropriedade Markovianapriedade Markoviana

– Variável Aleatória GeométricaVariável Aleatória Geométrica– Variável Aleatória ExponencialVariável Aleatória Exponencial

Probabilidade Condicional Probabilidade Condicional Seja Seja AA um evento um evento

arbitrário em um espaço arbitrário em um espaço amostral amostral SS. A . A probabilidade de que probabilidade de que ocorra um evento ocorra um evento A A uma uma vez que vez que MM tenha ocorrido tenha ocorrido é denotado por é denotado por P(P(A/MA/M)) que é definido por:que é definido por:

P(P(A/MA/M)=)=P(P(A A MM)) P(P(MM))

A MA M

Caso Caso M M A A então então P(P(A/MA/M)=1)=1 Caso Caso A A M M então então

P(P(A/MA/M)= )= P(P(AA)) P(P(MM) )

Distribuição ExponencialDistribuição Exponencial fdp exponencialfdp exponencial ffXX(t)(t)

ttFD FD - - Função de DistribuiçãoFunção de Distribuição

ffXX(t) = (t) = ee--tt

FD(t) = 1 - eFD(t) = 1 - e--tt

Valor EsperadoValor Esperado E(X) = 1E(X) = 1 Propriedade:Propriedade: Não possui memóriaNão possui memória

Variável Aleatória Exponencial

Distribuição ExponencialDistribuição ExponencialVariável Aleatória ExponencialVariável Aleatória ExponencialP{X>t}P{X>t} = e = e--tt

P{X>t+u | X > t} = P{X>t+u P{X>t+u | X > t} = P{X>t+u X>t} X>t} P{X>t}P{X>t} P{X>t+u | X > t} = P{X>t+u}P{X>t+u | X > t} = P{X>t+u} P{X>t}P{X>t}P{X>t+u | X > t} = P{X>t+u | X > t} = ee--(t+u) (t+u) = e= e--uu = = P{X>u}P{X>u} ee--tt

ProbabilidadeCondicional

Processos EstocásticosProcessos Estocásticos Processo EstocásticoProcesso Estocástico é definido por um conjunto de variáveis é definido por um conjunto de variáveis

aleatórias, aleatórias, {{X(t) : t X(t) : t T T}, onde }, onde X(t)X(t) é uma variável aleatória para cada é uma variável aleatória para cada t t T T..t t é denominado parâmetro e cada valor de é denominado parâmetro e cada valor de X(t)X(t) são estados. são estados. Processo Estocástico MarkovianoProcesso Estocástico Markoviano é um processo estocástico onde as é um processo estocástico onde as

variáveis aleatórias não dependem da história passada.variáveis aleatórias não dependem da história passada. Tipos de Processos EstocásticosTipos de Processos Estocásticos

– Processos de espaço de estados e tempo discretos Processos de espaço de estados e tempo discretos ((Discret Time Markov ChainDiscret Time Markov Chain - - DTMCDTMC))– Processos de espaço de estados contínuo e tempo discretoProcessos de espaço de estados contínuo e tempo discreto– Processos de espaço de estados discreto e tempo contínuo Processos de espaço de estados discreto e tempo contínuo

((Continuos Time Markov Chain - Continuos Time Markov Chain - CTMCCTMC))– Processos de espaço de estados e tempo contínuosProcessos de espaço de estados e tempo contínuos

Continuos Time Markov Continuos Time Markov ChainChain

O comportamento de O comportamento de uma rede estocástica uma rede estocástica é representado por é representado por CTMCCTMC

0 1 0 1

0 10 1 -(-(++) ) 0 0Q = Q = -(-(++) 1) 1

++ ++ 0 0P = P = ++ ++ 1 1

Matriz de Taxas

Matriz de Propabilidadesde Próximo Estados

Redes EstocásticasRedes Estocásticas Soluções para Soluções para Steady-StatesSteady-States aa1111 a a1212 a a13 13 UU11=(a=(a1111 a a1212 a a1313)) P = P = aa2121 a a2222 a a23 23 UU22=(a=(a2121 a a2222 a a2323)) aa3131 a a3232 a a33 33 UU33=(a=(a3131 a a3232 a a3333)) aaijij - probabilidadeprobabilidade Mi Mi RSRS a aijij=1=1 Y . P = YY . P = Y , , si si SS y yii=1=1, onde , onde yyii fornece o fornece o

número relativo de visitas ao estado número relativo de visitas ao estado ssii

Redes EstocásticasRedes Estocásticas Soluções para Soluções para Steady-StatesSteady-States Q = Q = 00 MiMiRS(N)RS(N) [M[Mii]=1]=1Onde Onde [M] [M] fornece a fornece a steady-state probabilitysteady-state probability de de

um sistema estar no estado um sistema estar no estado ssii Soluções TransientesSoluções Transientesdd(t)(t) = Q = Q (t) (t) dtdtOnde Onde (t) [M(t) [Mii] ] é probabilidade de se estar na é probabilidade de se estar na

estado estado ssii no instante no instante tt

Redes EstocásticasRedes Estocásticas Definição:Definição: SPN=(P,T,I,O,W,MSPN=(P,T,I,O,W,M00))

p1p1 s t1s t1 p2p2 p t2 f t3p t2 f t3 p3 p3

t4 r t4 r

PP é o conjunto de lugares, é o conjunto de lugares,TT o conjunto de transições, o conjunto de transições, I: PI: PT T é a função de é a função de

mapeamento de que mapeamento de que representam as pré-condições,representam as pré-condições,

OO : P: PT T é a função de é a função de mapeamento de que mapeamento de que representam as pós-condiçõesrepresentam as pós-condições

W : T W : T ( (ou ou W : TW : TM M )) é é uma função que associa taxas uma função que associa taxas de distribuição exponencial às de distribuição exponencial às transiçõestransições

MM00-- Marcação inicial - Marcação inicial - MM00: P : P

Redes EstocásticasRedes Estocásticas Definição:Definição: SPN=(P,T,I,O,H,W,MSPN=(P,T,I,O,H,W,M00))

PP é o conjunto de lugares, é o conjunto de lugares,TT o conjunto de transições, o conjunto de transições, I: PI: PT T é a função de é a função de

mapeamento de que mapeamento de que representam as pré-condições,representam as pré-condições,

OO : P: PT T é a função de é a função de mapeamento de que mapeamento de que representam as pós-condições representam as pós-condições

H : PH : PT T é a função de é a função de mapeamento de que mapeamento de que representam os arcos inibidoresrepresentam os arcos inibidores

W : T W : T ((ou ou W : TW : TM M )) é é uma função que associa taxas uma função que associa taxas de distribuição exponencial às de distribuição exponencial às transiçõestransições

Redes EstocásticasRedes EstocásticasSemântica de Disparo de TransiçãoSemântica de Disparo de Transição Uma transição Uma transição ttjj é é disparáveldisparável se estiver habilitadase estiver habilitada

– Regras de habilitaçãoRegras de habilitação M[tM[tjj > , M(pi) > , M(pi) pi, tpi, tjj)) pi pi PP Transições com Transições com delays delays menoresmenores disparam primeiro disparam primeiro

((RaceRace)) Enabling MemoryEnabling Memory Regras de disparoRegras de disparo Se M[tSe M[tjj >M’ >M’ M’(pi)=M0(pi) - I(pi, tM’(pi)=M0(pi) - I(pi, tjj)+O(pi, t)+O(pi, tjj), ), pi pi PP

Redes EstocásticasRedes Estocásticas Definição:Definição: SPN=(P,T,I,O,W,MSPN=(P,T,I,O,W,M00)) W : T W : T p1p1 s t1s t1

p2p2 p t2 f t3p t2 f t3 p3 p3

t4 r t4 r

Grafo de MarcaçõesGrafo de Marcações

M0M0 t2 t1 t4t2 t1 t4 M1 M1

t3 t3 M2M2

t4 r t4 r

M0M0 t2 t1 t4t2 t1 t4 M1 M1

t3 t3 M2M2

t4 r t4 r

M0M0 t2 t1 t4t2 t1 t4 M1 M1

t3 t3 M2M2

t4 r t4 r

M0M0 t2 t1 t4t2 t1 t4 M1M1

t3 t3 M2M2

t4 r t4 r

M0M0 t2 t1 t4t2 t1 t4 M1 M1

t3 t3 M2M2

t4 r t4 r

M0M0 t2 t1 t4t2 t1 t4 M1 M1

t3 t3 M2M2

Redes Estocásticas Redes Estocásticas Generalizada (GSPN)Generalizada (GSPN)

Definição:Definição: GSPN=(P,T,I,O,H,GSPN=(P,T,I,O,H,,W,M,W,M00))

P,T,I,OP,T,I,O definidos como usualmente. definidos como usualmente.H : PH : PT T é a função de é a função de

mapeamento de que mapeamento de que representam os arcos inibidoresrepresentam os arcos inibidores

: T : T 0 0 se se tt for temporizada for temporizada(Prioridade)(Prioridade) ++ se se tt for imediata for imediata

W : T W : T ((ou ou W : TW : TM M )) é é 1.1.uma função que associa uma função que associa taxas taxas de distribuição exponencialde distribuição exponencial às às transições temporizadastransições temporizadas e e

2.2.pesospesos usados na computação usados na computação das probabilidades de disparo das probabilidades de disparo das das transições imediatastransições imediatas

Semântica de Disparo de TransiçãoSemântica de Disparo de Transição Uma transição Uma transição ttjj é é disparáveldisparável se estiver habilitadase estiver habilitada

– Regras de habilitaçãoRegras de habilitação M[tM[tjj > , M(pi) > , M(pi) pi, tpi, tjj)) pi pi PP Transições com Transições com delays delays menoresmenores disparam primeiro ( disparam primeiro (RaceRace)) Transições Transições imediatasimediatas disparam disparam instantaneamenteinstantaneamente com com

prioridades sobre as temporizadasprioridades sobre as temporizadas Diferentes Diferentes níveis de prioridade níveis de prioridade são associados às são associados às transições transições

imediatas.imediatas. Transições imediatas Transições imediatas comcom mesmo nível de prioridade mesmo nível de prioridade

associadaassociada disparam disparam de acordo com ode acordo com o peso associado peso associado a cada a cada uma.uma.

Enabling MemoryEnabling Memory Regras de disparoRegras de disparo Se M[tSe M[tjj >M’ >M’ M’(pi)=M0(pi) - I(pi, tM’(pi)=M0(pi) - I(pi, tjj)+O(pi, t)+O(pi, tjj), ), pi pi PP

Redes EstocásticasRedes Estocásticas Lema: seja Lema: seja N=(P,T,I,O,W,MN=(P,T,I,O,W,M00)) uma SPN. Dadas uma SPN. Dadas

MMii,M,Mjj RS(N),RS(N), existe uma probabilidade de existe uma probabilidade de se atingir se atingir MMjj imediatamente de imediatamente de MMi i . .

Probabilidade de se atingir Probabilidade de se atingir MMjj de de MMii

ppijij= = ijij//i,i,, , ijij= = ttijij(t), (t), ii= = ttii (t)(t) (t)(t) é a taxa associada a transição através da é a taxa associada a transição através da W W TTijij = {t = {t TT : M: Mii[t > M[t > Mjj}, T}, Tii = {t = {t TT : M: Mii[t >}[t >}

Grafo de Grafo de MarcaçõesMarcações

1,0,0,0

0,1,0,00,0,1,0

0,0,0,1

t4 t1 t5

1,0,0,0

0,0,1,0 0,0,0,1

Tangiblemarking

Vanishingmarking

Redes EstocásticasRedes Estocásticas Tempo esperado de permanência num Tempo esperado de permanência num

sub-conjunto de marcações sub-conjunto de marcações (mean sojourn (mean sojourn time)time)

tm(tm(MM,t)=1/t ( ,t)=1/t ( MMMM 00tt (z)[M]dz)(z)[M]dz)

M M RS (N) RS (N)Se Se MM = {M} = {M}, então: , então:

tm(tm(MM,t)=1/t (,t)=1/t (00tt (z)[M]dz)(z)[M]dz)

Redes EstocásticasRedes Estocásticas Tempo de permanência numa Tempo de permanência numa

marcação marcação ((sojourn timesojourn time)) tmtmii = min = min ttjjTTii(1/(1/j j ))

TTii = {t = {tjj TT : M: Mii[t[tjj >} >}

Redes EstocásticasRedes Estocásticas

TT00 = {t = {t11}, T}, T0101 = {t = {t11}} TT11= {t= {t22,t,t33}, T}, T1010={t={t22}} TT1212={t={t33}} TT22={t={t44}, T}, T2020={t={t44}} M0 M1 M2M0 M1 M2 0 1 0 M00 1 0 M0P = p 0 f M1P = p 0 f M1 p+f p+fp+f p+f 1 0 0 M21 0 0 M2

Redes EstocásticasRedes Estocásticas Para garantir a existência de uma distribuição de Para garantir a existência de uma distribuição de

probabilidade estacionária, a rede deve ser:probabilidade estacionária, a rede deve ser: limitadalimitada (bounded)(bounded) reversívelreversível e e livre de bloqueiolivre de bloqueio (deadlock-free) (deadlock-free)

Y . P = YY . P = Y |RS||RS|

yyii=1 Y : M=1 Y : Mii ++

i=1 yi=1 yii é o numero relativo de visitas à marcaçãoé o numero relativo de visitas à marcação MMii

Redes EstocásticasRedes Estocásticas Probabilidade estacionária Probabilidade estacionária

de uma marcação de uma marcação MMii

ppii = = yyii . tm . tmii / / yyj j .tm.tmjj

j=1j=1 Probabilidade que um lugar Probabilidade que um lugar

ppjj tenha tenha kk marcas marcas

p(pj,k) = p(pj,k) = iiSS1 1 ppii SS 1 1 = { i = { i {1,2,..,S} : M{1,2,..,S} : Mii(p(pjj)=k})=k}

Número esperado de Número esperado de marcas no lugar marcas no lugar ppjj

KK Em(pEm(pjj) = ) = k .p(pj,k) k .p(pj,k) k=1k=1 K K é o número máximo de é o número máximo de

marcas que o lugar marcas que o lugar pj pj pode pode conter conter

Redes EstocásticasRedes Estocásticas Throughput rateThroughput rate de uma transição de uma transição TR(tTR(tjj) = ) = p pii . . (t(tjj,W) . q,W) . qij ij iiSS2 2 SS 2 2 = { i = { i {1,2,..,S} : M{1,2,..,S} : Mii[t[tjj>}>} ppii é a probabilidade estacionária de uma marcaçãoé a probabilidade estacionária de uma marcação Mi Mi que que

habilitahabilita t tjj

(t(tjj)) é a taxa associada a transição é a taxa associada a transição 1, se #O(I(t1, se #O(I(tjj))=1 ))=1 (se (se ttjj não é conflitante) não é conflitante) qij= qij= x,x, caso contrário ( caso contrário (probabilidade de disparo d probabilidade de disparo d ttj j entre as entre as

transições conflitantes)transições conflitantes)

Redes EstocásticasRedes Estocásticas ConclusõesConclusões Redes de Petri estocásticas são uma Redes de Petri estocásticas são uma

representação compacta de alto nível das CTMCrepresentação compacta de alto nível das CTMC Isomorfismo com CTMCIsomorfismo com CTMC Análise quantitativaAnálise quantitativa Análise qualitativaAnálise qualitativa Modelagem de sistemas concorrentes, não-Modelagem de sistemas concorrentes, não-

determinísticos e assíncronos. Modelagem de determinísticos e assíncronos. Modelagem de sincronismo, escolha, mútua exclusão etcsincronismo, escolha, mútua exclusão etc

Redes EstocásticasRedes Estocásticas Extensões às SPNExtensões às SPN

GSPN (Marsan et al.)GSPN (Marsan et al.)

DSPN (Lindermann, Ciardo)DSPN (Lindermann, Ciardo)

Redes EstocásticasRedes Estocásticas BibliografiaBibliografia

Modelling with Generalized Stochastic Petri Nets, Modelling with Generalized Stochastic Petri Nets, A. Marsan et al, John Wiley & Sons, 1995.A. Marsan et al, John Wiley & Sons, 1995.

Performance Modelling with Deterministic and Performance Modelling with Deterministic and Stochastic Petri Nets, C. Lindermann, John Wiley & Stochastic Petri Nets, C. Lindermann, John Wiley & Sons, 1998.Sons, 1998.

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