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ANÁLISE COMBINATÓRIA

Ao produto dos números naturais começando em n e decrescendo até 1 denominamos de fatorial de n e representamos por n!.

DEFINIÇÃO

Exemplo:7! = 7.6.5.4.3.2.1 12! = 12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1

Determine:

a) 5! b) 6! c) 4! + 2!

Os primeiros passos da humanidade na matemática estavam ligados a necessidade de contagem de objetos de um conjunto, enumerando seus elementos. Mas as situações se tornavam mais complexas, ficando cada vez mais difícil fazer contagens a partir da enumeração dos elementos.

Problema: Para eleição de uma comissão de ética, há quatro candidatos a presidente (Adolfo, Márcio, Bernardo e Roberta) e três a vice-presidente (Luana, Diogo e Carlos).Quais os possíveis resultados para essa eleição? Para facilitar, vamos montar um esquema...

Princípio da Contagem

O esquema que foi montado recebe o nome de árvore das possibilidades, mastambém podemos fazer uso de tabela de dupla entrada:

Novamente podemos verificar que são 12 possibilidades deresultado para eleição.

PRINCÍPIO MULTIPLICATIVOVocê sabe como determinar o número de possibilidades de ocorrência de um evento, sem necessidade de descrever todas as possibilidades? Vamos considerar a seguinte situação:

Edgar tem 2 calças (preta e azul) e 4 camisetas (marrom, verde, rosa e branca). Quantas são as maneiras diferentes que ele poderá se vestir usando uma calça e uma camiseta?

Edgar tem duas possibilidades de escolher uma calça, para cada uma delas, são quatro as possibilidades de escolher uma camiseta. Logo, o número de maneiras diferentes de Edgar se vestir é 2.4 = 8. Como o número de resultados foi obtido por meio de uma multiplicação, dizemos que foi aplicado o PRINCIPIO MULTIPLICATIVO.

De maneira mais simples poderíamos dizer que: Se um evento é determinado por duas escolhas ordenadas e há “n” opções para primeira escolha e “m” opções para segunda, o número total de maneiras de o evento ocorrer é igual a n.m.

De acordo com o princípio fundamental da contagem, se um evento é composto por duas ou mais etapas sucessivas e independentes, o número de combinações será determinado pelo produto entre as possibilidades de cada conjunto.

EVENTO = etapa1 x etapa2 x etapa3 x ... etapa n

Vamos supor que uma fábrica produza motos de tamanhos grande, médio e pequeno, com motores de 125 ou 250 cilindradas de potência. O cliente ainda pode escolher as seguintes cores: preto, vermelha e prata. Quais são as possibilidades de venda que a empresa pode oferecer?

Tipos de venda: 3 . 2 . 3 = 18 possibilidades

1. Durante uma aula para o concurso do Sefaz, o professor Edgar decidiu sortear umaviagem a Bahia e um jantar romântico com o professor Carlos Zambeli entre os alunospresencias do curso.O primeiro sorteado ganharia a viagem e o segundo o jantar.Conferindo a lista de chamada da aula daquele dia, havia 17 alunos presentes na sala. Assim o número de maneiras diferentes que esses prêmios poderiam ser sorteados entre os presentes é .a) 136b) 210c) 272d) 289e) 306

2. O professor Zambeli estava reformando sua casa e pediu ajuda a um amigo decorador.Feitas as analises do ambiente a ser modificado, o decorador sugeriu que as paredesfossem pintadas com uma única cor, textura e tom. Ele ofereceu ao professor 7 opções de cores, cada uma em 3 tons e ainda 2 texturas diferentes. Com todas as ofertas feitas, o numero de maneiras distintas que podem ser pintadas as paredesdo professor Zambeli é de.a) 21b) 35c) 42d) 50e) 64

3. Estava marcada uma reunião dos professores da Casa do Concurseiro, para que o professor Ravazolo mostrasse vários resultados positivos de aprovações ao redor do Brasil de alunos da Casa.Assim que chegaram à sala de reuniões, 8 professores tentavam se acomodar em um sofá, com lugar para 5 pessoas. O numero de maneiras diferentes dos 8 professores acomodarem-se nesse sofá é de.a) 4200b) 5400c) 6000d) 6320e) 6720

4. O Professor Dudan estava se arrumando para ir dar suas aulas e percebeu que no seuguarda-roupas havia 8 opções de camisas distintas (vermelha, preta, azul, amarela, rosa, branca, cinza e verde), 5 opções de calças (preta, azul, branca, laranja e marrom) e 4 opções de sapatos (preto, branco, marrom e azul). Sendo assim, o número de maneirasdistintas do Dudan se vestir para ir à aula é de.a) 120b) 144c) 150d) 160e) 180

5. Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja umasalada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. O numero de maneirasdistintas de uma pessoa fazer o seu pedido é de.a) 60b) 80c) 100d) 120e) 140

6. Os números pares com 4 algarismos distintos, que podemos obter com oselementos do conjunto {0; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, são em número de.a) 300b) 340c) 375d) 400e) 420

Análise Combinatória

Permutação Simples

É caracterizada por envolver todos os elementos , nunca deixando nenhum de fora.Muito comum em questões que envolvem anagramas de palavras.Usa muito o aspecto visual.

Fórmula: Pn = n!

Dica: A PERMUTAÇÃO embaralha TUDO!

Exemplo ResolvidoQuantos anagramas possui a palavra AMOR.

Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer permutação dessas letras, de modo a formar ou não palavras. Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição. Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 . 3 . 2 . 1 = 24 possibilidades ou 24 anagramas. Pela própria fórmula faremos P4 = 4! = 4.3.2.1= 24 anagramas.Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA . . .

7. O numero de anagramas da palavra BANCOS de modo que as vogaisfiquem juntas é de.a) 720b) 600c) 240d) 120e) 100

8. O numero de anagramas da palavra CONCURSEIRO que tem todas as letras repetidas estejam fixadas nas suas posições originais é de.a) 120b) 100c) 80d) 60e) 40

ØE se houver elementos repetidos?Assim temos a Permutação com Repetição na qual deveremos “descontar “ os elementos repetidos pois a troca de posição entre dois elementos repetidos não evidencia uma nova estrutura.

9. A quantidade de anagramas distintos da palavra BANANA é de.a) 720b) 120c) 60d) 45e) 30

10. O Professor Dudan foi redigir um texto no qual havia a frase: “Os melhores alunos são

da Casa do Concurseiro” e por descuido acabou digitando errado a palavra

CONCURSEIRO, invertendo a ordem de algumas letras.

Sabe-se que a parte “seiro” ficou intacta, portanto foi no inicio da palavra que houve o

erro.

Sendo assim, o numero de maneiras diferentes que essa palavra poderia ser digitada de

forma equivocada é de.

a) 720

b) 719

c) 360

d) 359

e) 120

Arranjo

É uma seleção (não se usam todos ao mesmo tempo), em que a ordem FAZ diferença.Muito comum em questões de criação de senhas, números, telefones, placas de carro, competições, disputas, onde houver hierarquia.

Fórmula:

Dica: O ARRANJO ordena !

èDica: DEVE ser resolvido usando o P. F da Contagem

Exemplo ResolvidoUm cofre possui um disco marcado com os dígitos 0, 1, 2, ..., 9. O segredo do cofre é marcadopor uma sequência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativasdeverá fazer (no máximo) para conseguir abri-lo?Solução:As sequências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas; paraa segunda, 9; e para a terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípiofundamental de contagem, chegaremos ao mesmo resultado:10. 9. 8 = 720. Observe que 720 = A10,3

11. Foi feita uma pesquisa entre os alunos da Casa do Concurseiro quedeveriam escolher dentre 10 professores, os 3 mais competentes.Sendo assim, o número de maneiras distintas de eleger os professores é de. a) 720b) 360c) 180d) 90e) 45

12. Numa turma da Casa do Concurseiro, seriam escolhidos 2 dentreseus 18 alunos para assumirem o papel de monitor da turma e câmera. O número de maneiras distintas dessa escolha ser feita é de.a) 324b) 306c) 272d) 153e) 150

Combinação

É uma seleção (até pode usar todos ao mesmo tempo), em que a ordem NÃO faz diferença.Muito comum em questões de criação de grupos, comissões, agrupamentos onde não há distinção pela ordem dos elementos escolhidos.

Fórmula:

Dica: A COMBINAÇÃO agrupa !

Exemplo Resolvido

Uma prova consta de 5 questões das quais o aluno deve resolver 2. De quantas formas ele poderá escolher essas questões?

Solução: Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que se trata de um problema de combinação.

Aplicando a fórmula chegaremos a:C5,2 = 5! / [(5-2)! . 2!] = 5! / (3! . 2!) = 5.4.3.2.1. / 3.2.1.2! = 20/2 = 10

E não tem um atalho?

Método Prático

Esse método agilizará a resolução das questões.Para isso basta usar a regra: rebobinar o “n” até o total de “p” itens e divide pelo “p” fatorial.

Exemplos: C5, 2 =

C10, 4 =

C8, 1 =

C7, 5 =

Combinação ComplementarSão combinações que têm o mesmo resultado final.

13. Os alunos do curso preparatório decidiram homenagear seus professores da Casa do Concurseiro e para isso dentre os seus 7 professores: Zambeli, Edgar, Márcio , Tati, Giuliano, Lucas Silva e Dudan, seriam escolhidos 3 para ir com os alunos a umachurrascaria após a prova. As maneiras distintas dos professores serem escolhidospara esse é de.a) 210b) 105c) 50d) 35e) 21

14. O professor Dudan adora sucos naturais e decidiu ir a uma lanchonete. Se essalanchonete dispõe de seis frutas tropicais diferentes para a venda de sucos e só é possível escolher sucos com três ou quatro frutas misturadas. O número máximo de sucos distintos que o professor Dudan podera tomar é de.a) 45b) 35c) 25d) 15e) 7

15. No departamento de vídeo aulas da Casa do Concurseiro trabalham 8 funcionários, sendo 5 homens e 3 mulheres. . O numero de grupos distintos quepodem ser formados com 3 desses funcionários, havendo em cada equipe pelomenos uma mulher é de.a) 56b) 48c) 46d) 35e) 20

16. Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja umasalada, dois pratos de carne distintos, uma bebida e uma sobremesa. O numero de maneiras distintas de a pessoa fazer o seu pedido é de.a) 240b) 200c) 180d) 120e) 60

17. Numa turma da Casa do Concurseiro há 6 gaúchos, 5 baianos e 4 cariocas. O número de grupos de 7 alunos que podem ser formados, devendo cada grupo ser constituído de 3 gaúchos, 2 baianos e 2 cariocas é igual aa) 1200b) 1500c) 1800d) 2100e) 2450