anÁlise aula 8: completeza em r, supremos e Ínfimos prof. mário alves
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ANÁLISE
Aula 8: Completeza em R, Supremos e ÍnfimosAula 8: Completeza em R, Supremos e Ínfimos
Prof. Mário AlvesProf. Mário Alves
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE IFUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
Propriedade de Completeza; Supremo e Ínfimo; Máximo e Mínimo de um conjunto; e Propriedade Arquimediana
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE IFUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
COTAS SUPERIORES E INFERIORES- Dado um subconjunto S de R. Um elemento u de R é
dito cota superior de S se , , isto é, se este elemento u de R for maior ou igual a qualquer elemento de S.
- Se um conjunto tem uma cota superior, então admite uma infinidade de cotas superiores.
Considere o conjunto :1)O elemento 4 é cota superior deste conjunto;2)O elemento 3 também é cota superior deste conjunto;3)Ainda, note que qualquer elemento maior que 3
também será cota superior deste conjunto.
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE IFUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
COTAS SUPERIORES E INFERIORES- Dado um subconjunto S de R. Um elemento é
dito uma cota inferior de S se , , isto é, se este elemento w, de R, for menor ou igual a qualquer elemento do subconjunto S.
Obs.: Nem sempre um subconjunto S de R possui cota superior.
Ex.:
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE IFUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
COTAS SUPERIORES E INFERIORES- Quando um conjunto possui cota inferior, dizemos
que este conjunto é cotado inferiormente;
- Quando um conjunto possui cota superior, dizemos que este conjunto é cotado superiormente; e
- Quando um conjunto possui cota superior e inferior, dizemos que ele é cotado.
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE IFUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
SUPREMOS E ÍNFIMOS- Se S for cotado superiormente, dizemos que uma
cota superior de S é o supremo de S se ela é menor do que qualquer outra cota superior de S.
- Ou ainda:
Um número é dito supremo de S se:1) , , ou seja u é uma cota superior; e2) Se , , então , ou seja, u é a menor das
cotas superiores Notação: sup S
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE IFUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
SUPREMOS E ÍNFIMOS- Agora, considere o subconjunto S de R. Se S for cotado
inferiormente, dizemos que uma cota inferior de S é o ínfimo de S se ela é a maior do que qualquer outra cota inferior de S.
Notação: inf S
Exemplos: Observe os conjuntos:
- Tanto no conjunto M, como no T, podemos perceber que o ínfimo é 0 e o supremo é 3.
- Quando se diz que um conjunto tem supremo, nada se pode afirmar sobre o supremo pertencer ou não ao conjunto.
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE IFUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
SUPREMOS E ÍNFIMOSUnicidade do Supremo:
- Considere S um subconjunto de R. Só pode haver um único supremo para S.
Prova:- Propondo u e v supremos de s. Logo, ambos são
cotas superiores de S.- Como u é supremo e v é cota superior de S, temos u
v;- Como v é supremo e u é cota superior de S, temos v
u;- Portanto u = v.
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≤≤
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE IFUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
SUPREMOS E ÍNFIMOSUnicidade do Ínfimo:
- Considere S um subconjunto de R. Só pode haver um único ínfimo para S.
Prova: Análoga. Deixamos como um exercício.
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE IFUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
SUPREMOS E ÍNFIMOSExercício: Determine o ínfimo e o supremo do conjunto
, sendo Y o conjunto das frações do tipo , .- Vamos ver quem são os elementos deste conjunto:
- Reparamos que o conjunto é decrescente, pois aumentamos o denominador. Logo, ½ é o supremo.
- Para o ínfimo, devemos utilizar a noção de limites:
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE IFUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
PROPRIEDADE ARQUIMEDIANADado um número real x, existe um número natural n
que é maior que x.Prova: - Suponha ; - Suponha, por absurdo, que não existe um natural
maior que x. Assim, x é cota superior de N. Pela propriedade do supremo, N tem um supremo u.
- Como x é cota superior de N, então .
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE IFUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
PROPRIEDADE ARQUIMEDIANA- Como u-1 < u, temos que existe , tal que
.- Assim, mas, como , temos que o
que contradiz a hipótese de que u é cota superior de N, já que descobrimos alguém ( ) maior que u e que pertence a N.
- Com isso, podemos afirmar que a Propriedade Arquimediana nos diz que o conjunto dos Naturais não é cotado superiormente nos Reais.
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FUNDAMENTOS DE ANÁLISE IFUNDAMENTOS DE ANÁLISE I
EXISTÊNCIA DE RAIZ DE 2Teorema: Existe um número positivo x pertencente a R
tal que .Prova: - O conjunto é cotado
superiormente por 2.- Caso contrário, tal que , ou ainda, , isto
é, - Como , pela definição de S, e .- Absurdo!
- Logo, há esse número positivo!
.
22 x
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