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Amostragem e Distribuição Amostral

Tipos de amostragem, distribuição amostral de média, proporção e variância

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AMOSTRAGEM

Amostragem Probabilística ou Aleatória

Amostragem Não Probabilística

POPULAÇÃO

Amostra

Amostragem

Generalização

3

Quando usar Amostragem?

Economia

Rapidez de processamento

Confiabilidade

Testes destrutivos

4

Quando NÃO usar Amostragem?

População pequena

Característica de fácil mensuração

Necessidades políticas

Necessidade de alta precisão

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Amostragem Probabilística

Aleatória, Casual

Resultados provenientes de amostras probabilísticas podem ser generalizados ESTATISTICAMENTE para a população.

Associa-se uma probabilidade ao resultado.

Medida da confiabilidade do resultado obtido.

Amostra também precisa ser REPRESENTATIVA e SUFICIENTE!

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Condições para uso

Possibilidade de listar

elementos da população

Amostra selecionada por

sorteio NÃO VICIADO!

Todos na população têm

chance de pertencer à

amostra

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Tipos de amostragem probabilística

Aleatória Simples

Sistemática

Estratificada

Por conglomerados

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Amostragem aleatória simples

Sorteio não viciado

Amostra

População homogênea

em relação à variável

de interesse!

Existe listagem!

Números aleatórios

ou

pseudo-aleatórios

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Amostragem sistemática

Amostragem sistemática: semelhante à aleatória simples, mas a listagem é ORDENADA.

Divide-se o tamanho da população (N) pelo tamanho da amostra (n), obtendo um intervalo de retirada (k).

Sorteia-se o ponto de partida.

A cada k elementos retira-se um para a amostra.

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1...k ...N

k k k

1 n

População

Amostra

Aumentar n para deixar k inteiro.

Descartar elementos da população por sorteio.

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Amostragem Estratificada

Sorteio não viciado

População HETEROGÊNEA em

relação à variável sob estudo.

Homogeneidade DENTRO de cada

estrato.

Escolha dos elementos dos estratos:

aleatória simples ou sistemática.

TODOS os estratos precisam ser

representados na amostra!

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Amostragem Estratificada Uniforme

Sorteio

13

Amostragem Estratificada Proporcional

Sorteio

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Amostragem por Conglomerados

População considerada homogênea.

Divisão em subgrupos semelhantes: os conglomerados.

Sorteiam-se os conglomerados:

Analisam-se todos os sorteados;

Sorteiam-se elementos dos conglomerados previamente sorteados.

Poucos recursos, menor precisão.

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Observar todos os

elementos dos

conglomerados

sorteados.

Sortear alguns

elementos dos

conglomerados

sorteados.

Sorteio

de

conglomerados

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Amostragem Não Probabilística

Não há acesso a toda a população.

Se as características da população acessível forem semelhantes às da população alvo: resultados equivalentes a uma amostragem probabilística.

Amostragem a esmo, por julgamento, por cotas.

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Tamanho da amostra X Tamanho da População

Tamanhos mínimos de amostra:

erro amostral de 3%

0

200

400

600

800

1000

1200

0 5000 10000 15000 20000 25000

Tamanho da população

Ta

ma

nh

o d

a a

mo

str

a

Para

N =

200000

n = 1105.

Cerca de

0,55% da

populaçã

o.

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Amostragem e Inferência estatística

AMOSTRA: um subconjunto dos consumidores

inferência

amostragem POPULAÇÃO: todos

os possíveis consumidores

Ex.

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Conceitos

Parâmetro: alguma medida descritiva (média, variância, proporção, etc.) dos valores x1, x2, x3,..., associados à população.

Amostra aleatória simples: conjunto de n variáveis aleatórias independentes {X1, X2, ..., Xn}, cada uma com a mesma distribuição de probabilidades de uma certa variável aleatória X. Esta distribuição de probabilidades deve corresponder à distribuição de freqüências dos valores da população (x1, x2, x3, ...).

Estatística: alguma medida descritiva (média, variância, proporção, etc.) das variáveis aleatórias X1, X2, ..., Xn, associadas à amostra

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Parâmetros e Estatísticas

N

atributo o com elementos de np

o

População

(x1, x2, x3,..., xN)

n

atributo o com elementos de nP

o

ˆ

N

iix

N 1

1

n

iiX

nX

1

1

N

iix

N 1

22 1

n

ii XX

nS

1

22

1

1

Parâmetros Estatísticas

Proporção

Média

Variância

Amostra

(X1, X2, ..., Xn)

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Estatística

Uma estatística é uma variável aleatória e a sua distribuição de probabilidades é chamada de distribuição amostral.

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Distribuição amostral da média

Amostra:

(X1, X2, ..., Xn)

População: N elementos

X : variável quantitativa

Parâmetros:

= E(X), 2 = V(X)

Estatísticas:

Amostragem

aleatória simples

X pode ser vista como uma variável

aleatória se considerar a distribuição de

freqüências da população como uma

distribuição de probabilidades – a

distribuição da população.

n

iiX

nX

1

1

n

ii XX

nS

1

22

1

1

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Média e variância da média amostral

)(XE

n

XV2

)(

se a amostragem for com reposição,

ou N muito grande ou infinito

1)(

2

N

nN

nXV

se a amostragem for sem reposição e

N não muito grande, N < 20n

Seja a população com média e variância 2.

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Distribuição da média amostral

(Teorema limite central) Se o tamanho da amostra for razoavelmente grande, então a distribuição amostral da média pode ser aproximada pela distribuição normal.

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Ex. 7.2 População: {2, 3, 4, 5}

Parâmetros:

5,354324

11

1

N

iix

N

25,1)5,35()5,34()5,33()5,32(4

11 2222

1

22

N

iix

N

x

p(x)

2 3 4 5

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Distribuição da média amostral (Ex. 7.2)

Amostragem aleatória simples de tamanho n = 2.

Construção da distribuição amostral da média:

Amostras possíveis Probabilidade

(2, 2)

(2, 3), (3, 2)

(2, 4), (3, 3), (4, 2)

(2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2)

(3, 5), (4, 4), (5, 3)

(4, 5), (5, 4)

(5, 5)

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

116 216 316 416 316 216 116

X

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Distribuição da média amostral (Ex. 7.2)

)(xp

x

p(x)

2 3 4 5

Distribuição da

população

E(X) = 3,5

x 2 3 4 5

Distribuição da

média amostral

5,3)( XE

28

Média e variância da média amostral (Ex. 7.2)

5,316

15

16

25,4

16

34

16

45,3

16

33

16

25,2

16

12

XE

625,016

1)5,35(...

16

2)5,35,2(

16

1)5,32()( 222 XV

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Distribuição amostral da proporção

Amostra:

(X1, X2, ..., Xn)

A

0 ou 1 (0 = sem o atributo;

1 = com o atributo)

A

Parâmetro:

p = proporção dos elementos

que têm o atributo A

População: elementos AA NNN

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Distribuição da população (caso de proporção)

x p(x)

0

1

1 – p

p

= p

2 = p(1 – p)

Média e variância:

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Média e variância da proporção amostral

pPE )ˆ(

n

ppPV

)1()ˆ(

se a amostragem for com reposição, ou N

muito grande ou infinito

1

)1()ˆ(

N

nN

n

ppPV

ou:

se a amostragem for sem reposição e N

não muito grande, N < 20n

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Distribuição da proporção amostral

Se o tamanho da amostra for razoavelmente grande, então a distribuição amostral da proporção pode ser aproximada pela distribuição normal.

OBS. Se n for pequeno, a distribuição exata é binomial ou hipergeométrica (dependendo se a amostragem for com ou sem reposição)