algoritmo shell sort

Algoritmo Shell Sort

Gabriel RamalhoTúlio Lemes

Vinicius Rodrigues

Dado certo número de elementos, informações ou dados, e a necessidade de termos que ordená-los em uma ordem predefinida, se faz necessária a utilização de algoritmos de ordenação. Dentre as várias razões para se ordenar uma sequência, uma delas é a possibilidade de acessar seus dados de uma maneira mais eficiente.

Motivação

Questão: Dado um vetor de elementos não ordenados deve-se ordená-los de acordo com uma função de comparação predefinida.

Entrada: Vetor de elementos não ordenados: L[n] = {e1, e2, e3, …, en}.

Saída: Vetor ordenado.

Descrição:

Visão Geral● Dividir o vetor em vetores menores, ordenando-os e fazendo isso

novamente para ter um único vetor praticamente ordenado e então trabalhar em cima dele, que seria mais prático e rápido

● O Shell Sort se baseia em uma variável chamada de incremento de sequência, ou incremento de shell, que é dado por h e ao decorrer da execução do algoritmo, é decrementada até 1

● Utilizando o incremento de shell, o algoritmo compara elementos distantes em um vetor, em vez de comparar os adjacentes

Visão Geral● No algoritmo, a ordenação é realizada em vários passos, usando

uma sequência de valores do incremento de shell <h1, h2, h3…hN> onde começando por hN selecionamos apenas os valores que estão hN elementos distantes um do outro, então ordenamos esses elementos com algum algoritmo de ordenação simples como bolha, seleção ou inserção. Deste modo, apenas os elementos selecionados serão ordenados, os outros são todos ignorados.

Algoritmo Donald ShellFunção ShellSort(A, n)

aux, i, j, h = n/2;Enquanto h > 0

i = h;Enquanto i < n

aux = A[i]j = i;

Enquanto j >= h && aux < A[j - h]

A[j] = A[j - h];j = j - h;

A[j] = aux;i = i +1;

h = h/2;

Exemplo (Donald Shell):

n = 8h = 4

Exemplo (Donald Shell):

n = 8h = 2

Exemplo (Donald Shell):

n = 8h = 1

Exemplo (Donald Shell):

Resultado Final:

● Como escolher valores para h?○ Existem vários modos de escolher valores para h baseados em

estudos de eficiência○ O método de seleção de valores para h proposto por Donald

Shell foi h = n/2 onde n é o número de elementos do vetor, mas já foi provado que sua eficiência é baixa

○ O método de seleção de Donald Knuth, explicado como: h = 3 * h + 1

E a sequência gerada: 1, 4, 13, 40, 121, 364, 1093, 3280…

Algoritmo KnuthFunção ShellSort(A, n)

i, j , h = 1;

aux;

Enquanto h < n

h = h * 3 + 1;

Enquanto h > 1

h = (h – 1) / 3;

i = h;

Enquanto i < n

aux = A[i];

j = i – h;

Enquanto(j >= 0 && aux < A[j])

A[j + h] = A[j];

j = j – h;

A[j + h] = aux;

i = i + 1;

Prova de CorretudeSendo L uma lista de n elementos, com n >= 0:L[n] = { e0, e1, …, en }

Queremos demonstrar que qualquer que seja o valor dos elementos da lista L, através do algoritmo de inserção, a lista L será ordenada de acordo com uma função de comparação predefinida.

Para qualquer que seja o valor de h:

- sugerido por Shell: n/2, n/4, …, 1- sugerido por Knuth: …, 40, 13, 4, 1

o último valor de h será sempre 1, logo, para provar a corretude do algoritmo precisamos apenas que para em h = 1 o algoritmo esteja correto.

Prova de CorretudeConsiderando o algoritmo de inserção abaixo:

para j = 1 até n key = L[j] i = j - 1 enquanto i >= 0 e compara(L[i], key) L[i + 1] = L[i] i = i + 1 L[i+1] = key

Considere que L[0] é um valor já ordenado.Sendo assim, a cada iteração L[j] é colocado na posição correta e nenhum elemento de L[0..j] se move além de j.Logo, quando j = n + 1 então L[n] estará ordenado, como queríamos demonstrar.

Complexidade Pior Caso● Método de seleção de Donald Shell:

O(n²)

● Método de seleção de Donald Knuth:

O(n^3/2)

Conclusão:

Vantagens:•  Shell Sort é uma ótima opção para arquivos de tamanho moderado. •  Sua implementação é simples e requer uma quantidade de código

pequena.

Desvantagens:•  O tempo de execução do algoritmo é sensível à ordem inicial do arquivo.

•  O método não é estável.

Bibliografia:● http://cadernogeek.wordpress.com/tag/shell-sort/

● http://www.decom.ufop.br/toffolo/site_media/uploads/2011-2/bcc202/slides/19._shellsort.pdf

● http://www.lia.ufc.br/~valdisio/ed/PO2.pdf

● http://www.dsc.ufcg.edu.br/~lbmarinho/slides/atal_2012_1/corretude_2012_1.pdf