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Acadêmico(a) __________________________________________________________
Turma: _______________________________________________________________
Capítulo 5: Trigonometria
5.1. Triangulo Retângulo
Definição: Todo triângulo que tenha um ângulo de 90º (ângulo reto)
Figura 1: Ângulos e catetos de um triangulo retângulo.
Os catetos são denominados oposto ou adjacente, de acordo com a sua posição
em relação a um dado ângulo do triângulo retângulo: se o cateto está junto ao ângulo de
referência, é chamado adjacente; se está oposto a este ângulo, é chamado oposto.
5.1.1. Relações trigonométricas no triângulo retângulo:
Figura 2. Exemplo de relações trigonométricas.
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A divisão entre o cateto oposto de um ângulo em relação a sua hipotenusa é
igual ao seno desse ângulo, logo:
𝑠𝑒𝑛 𝑎 =𝐵𝐶
𝐴𝐵 Equação 1
Para os demais triângulos: 𝑠𝑒𝑛 𝑎 =𝐷𝐸
𝐴𝐷=
𝐹𝐺
𝐴𝐹
Logo:
𝐵𝐶
𝐴𝐵=
𝐷𝐸
𝐴𝐷=
𝐹𝐺
𝐴𝐹
Já a divisão do cateto adjacente de um ângulo em relação a hipotenusa é igual ao
cosseno do ângulo:
cos 𝑎 =𝐴𝐶
𝐵𝐴 Equação 2
Assim:
𝐴𝐶
𝐵𝐴=
𝐴𝐸
𝐷𝐴=
𝐴𝐺
𝐹𝐴
E por último, tem –se a tangente que é a divisão entra o cateto oposto e o cateto
adjacente:
tan 𝑎 =𝐵𝐶
𝐴𝐶 Equação 3
Logo:
𝐵𝐶
𝐶𝐴=
𝐷𝐸
𝐸𝐴=
𝐹𝐺
𝐺𝐴
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5.1.2 Demais relações:
A secante de α representa o inverso do cosseno de α.
sec 𝑎 =1
cos 𝑎 Equação 4
A cossecante de α representa o inverso do seno de α.
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑎 =1
𝑠𝑒𝑛 𝑎 Equação 5
A cotangente de α representa o inverso da tangente de α.
𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑎 =1
tan 𝑎 Equação 6
5.1.3 Relações entre seno, cosseno e tangente:
Sabe-se que 𝛼 + 𝛽 = 90ᵒ, logo:
𝑠𝑒𝑛 𝑎 =𝐵𝐶
𝐴𝐵= cos 𝛽;
cos 𝑎 =𝐴𝐶
𝐴𝐵= 𝑠𝑒𝑛 𝛽;
tan 𝑎 =𝐴𝐵
𝐶𝐴=
1
tan 𝛽;
tan 𝑎 =𝑠𝑒𝑛 𝑎
cos 𝑎
5.1.4 Relação fundamental da trigonometria:
𝑠𝑒𝑛2 𝑎 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑎 = 1
Lembrando que: 𝐴𝐵2 = 𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 (Teorema de Pitágoras)
Ângulos notáveis:
30ᵒ 45ᵒ 60ᵒ
Sen 1
2 √2
2
√3
2
Cos √3
2
√2
2
1
2
Tan √3
3
1 √3
4
5.2. Ciclo trigonométrico
Define-se como 1 (um) grau a medida do ângulo central cujo arco
correspondente representa 1
360 partes da circunferência.
Exemplo:
Figura 3. Representação do clico trigonométrico.
O comprimento do arco AB indica que 60
360 partes de uma circunferência, sendo
que o ângulo central corresponde a 60ᵒ.
O comprimento do arco AB é igual à medida do raio da circunferência. Conclui-
se, pela definição acima, que o ângulo central em radiano representa a razão entre o
comprimento de seu arco correspondente e a medida do raio.
𝑎 =𝑐𝑜𝑚𝑝(𝐴𝐵)
𝑅
5.2.1 Elementos do ciclo trigonométrico:
Figura 4. Representação do ciclo trigonométrico com ângulos de 0, 90º, 180º, 270º e
360º.
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1º quadrante: arcos entre 0º e 90º, 0 e π
2, medidos a partir da origem.
2º quadrante: arcos entre 90º e 180º, π
2 e π, medidos a partir da origem.
3º Quadrante: arcos entre 180º e 270º, π e 3π
2, medidos a partir da origem.
4º Quadrante: arcos entre 270º e 360º, 3π
2 e 2 π, medidos a partir da origem.
5.2.2. Arcos côngruos:
Arcos côngruos são os arcos cujas extremidades são coincidentes, quer sejam
tomadas no sentido anti-horário como no sentido horário.
De forma geral:
𝑥 = 𝑎 + 2𝑘𝜋 ; 𝑘 ∈ 𝑍
Em que:
x: é a medida real de qualquer uma das medidas dos arcos côngruos.
: é a primeira medida não negativa dos arcos côngruos.
k: é um contador inteiro de razões.
r: é a razão, ou seja, a distância entre duas medidas consecutivas da sequência dos arcos
côngruos.
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5.3 Função Seno
Define-se como seno do arco AP (indicado por sen α) a medida algébrica do
segmento OP’, em que P’ é a projeção ortogonal do ponto P no eixo vertical. O eixo
vertical será chamado de eixo dos senos.
Figura 5. Representação da função seno no ciclo trigonométrico.
Logo: 𝑠𝑒𝑛 𝑎 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑔é𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑂𝑃′
Propriedades da função seno:
1) Os valores máximo e mínimo da função seno são, respectivamente, iguais a 1 e –1.
2) A função seno é positiva no 1º e 2º quadrante e negativa no 3º e 4º quadrante.
3) A função seno e periódica de período igual a 2π.
Gráfico da função seno:
Figura 6. Gráfico de função seno.
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5.4 Função cosseno
Define-se como cosseno do arco AP (indicado por cosα) a medida algébrica do
segmento OP’’, em que P’’ é a projeção ortogonal do P no eixo horizontal. O eixo
horizontal será chamado de eixo dos cossenos.
Figura 6. Representação do cosseno no ciclo trigonométrico.
Logo: cos 𝑎 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑔é𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑂𝑃′′
Propriedades da função cosseno:
1) Os valores máximo e mínimo da função cosseno são, respectivamente, 1 e – 1.
2) A função cosseno é positiva no 1º e 4ºquadrante e negativa no 2º e 3º quadrante.
3) A função cosseno é periódica de período igual a 2π.
Gráfico da função cosseno:
Figura 7. Gráfico da função cosseno.
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5.5 Função tangente
Define-se como tangente do arco AP (indicado por tan α) a medida algébrica do
segmento AT, em que T é o ponto de intersecção da reta suporte do raio OP com a reta
t. O eixo t será chamado de eixo das tangentes.
Figura 8. Representação da tangente no ciclo trigonométrico
Logo: tan 𝑎 = 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎 𝐴𝑇.
Propriedades da função tangente:
1) A tangente é positiva nos quadrantes 1º e 3º e negativa no 2º e 4º quadrante.
2) O período da função tangente é π.
3) A imagem da função tangente é o conjunto dos reais.
Gráfico da função tangente:
Figura 9. Gráfico da função tangente
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5.6 Redução ao 1ᵒ quadrante:
Reduzir um arco do 2º, 3º ou 4º Quadrante ao 1º Quadrante, é obter um novo
arco, entre 0º e 90º (1ºQ), que possui os mesmos valores para as funções
trigonométricas que o arco dado ao mesmo sinal.
Arco no segundo quadrante: Quanto falta
para 180ᵒ e verificar o sinal da função.
Arco no terceiro quadrante: Quanto
passa de 180ᵒ e verificar o sinal da função.
Arco no quarto quadrante:
Quanto falta para 360ᵒ e verificar sinal.
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5.7 Relações fundamentais auxiliares:
𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 → cos2 𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑒 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 1 − cos2 𝑥
cotan 𝑥 =1
tan 𝑥=
cos 𝑥
sen 𝑥
sec 𝑥 =1
cos 𝑥
cossec 𝑥 =1
sen 𝑥
sec2 𝑥 = 1 − tan2 𝑥
cossec2𝑥 = 1 − cotan2𝑥
tan 𝑎 = cotan 𝛽
sec 𝑎 = cossec 𝛽
sen 2𝑎 = 2 sen 𝑎 ∗ cos 𝑎
cos 2𝑎 = cos2 𝑎 − sen2𝑎
tan 2𝑎 =2 tan 𝑎
1 − tan2 𝑎
cos 2𝑎 = 1 − sen2𝑎 ou 2 cos2 𝑎 − 1
5.8 Soma e diferença de arcos:
sen (𝑎 + 𝛽) = sen 𝑎 ∗ cos 𝛽 + sen 𝛽 ∗ cos 𝑎
sen (𝑎 − 𝛽) = sen 𝑎 ∗ cos 𝛽 − sen 𝛽 ∗ cos 𝑎
cos(𝑎 + 𝛽) = cos 𝑎 ∗ cos 𝛽 − sen 𝛽 sen 𝑎
cos(𝑎 − 𝛽) = cos 𝑎 ∗ cos 𝛽 + sen 𝛽 sen 𝑎
tan(𝑎 + 𝛽) =tan 𝑎 + tan 𝛽
1 − tan 𝑎 ∗ tan 𝛽
tan(𝑎 − 𝛽) =tan 𝑎 − tan 𝛽
1 + tan 𝑎 ∗ tan 𝛽
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Lista de Exercícios – Trigonometria
1. Qual o valor de x para a figura abaixo?
2. Um observador vê um edifício, construído em terreno plano, sob um ângulo de 60º.
Se ele se afastar do edifício mais 30 m, passará a vê-lo sob ângulo de 45º. Qual a altura
do edifício?
3. (UFRS) Um barco parte de A para atravessar o rio. A direção de seu deslocamento
forma um ângulo de 120º com a margem do rio. Sendo a largura do rio 60m, qual a
distância, em metros, percorrida pelo barco?
4. (UFPA) Num triângulo retângulo ABC tem-se A= 90, AB=45 e BC=6. Pede-se a
tangente do ângulo B.
5. (FAAP-SP) Um arame de 18 metros de comprimento é esticado do nível do solo
(suposto horizontal) ao topo de um poste vertical. Sabendo que o ângulo formado pelo
arame com o solo é de 30º, calcule a altura do poste.
6. Converta em radianos:
a) 210ᵒ
b) 270ᵒ
c) 315ᵒ
d) 330ᵒ
e) 15º
f) 12º
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7. Represente no ciclo trigonométrico a imagem de cada número:
a) 3𝜋
4
b) −5𝜋
4
c) −3𝜋
d) 25𝜋
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8. Qual o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 12 horas e 15
minutos?
9. (UFPA) Quantos radianos percorre o ponteiro dos minutos de um relógio em 50
minutos?
10. Simplifique as expressões:
a) 𝑦 =tan 𝑥
cotan 𝑥∗
cos2 𝑥
sen 𝑥
b) cos2 𝑥−cotan 𝑥
sen2𝑥−tan 𝑥
11. Qual o valor número da expressão abaixo, sabendo que 𝑥 =𝜋
2?
𝑦 = cos 4𝑥 + sen 2𝑥 + tan 2𝑥 − sec 4𝑥
12. Reduza tan 300 º ao primeiro quadrante:
13. (UFPA) Qual a menor determinação positiva de um arco de 1000º?
14. Sendo 𝑥 =𝜋
2, calcule o valor da expressão:
𝑦 =3 cos 𝑥 − 2 sen 𝑥 + tan 2𝑥
tan 𝑥 − 2 sen 𝑥 + cos 4𝑥
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