a tabuada geométrica

Margarida Uva Nunes Silva margaridasilvaani@gmail.com

Agrupamento de Escolas de Pinhal de Frades PROFMAT 2011 - Lisboa

Tábua da multiplicação

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Uma visão geométrica…

Tábua da multiplicação

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Um encontro com elementos geométricos

I. Construção da tabuada geométrica

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Construindo…(1)

Desenhar e pintar um quadrado de lado 1 com um lápis de cor;

Sucessivamente, a partir do vértice inferior direito do quadrado anterior, desenhar e pintar sempre com a cor escolhida quadrados de lado 2, 3, 4,….

Com a folha quadriculada na horizontal, e começando no ponto A:

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5

Com um lápis de carvão, traçar rectas sobre os lados

dos quadrados, quer na horizontal, quer na vertical.

Construindo …(2)

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6

Pintar as figuras geometricamente iguais ou

congruentes utilizando lápis da mesma cor.

Construindo …(3)

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Escrever o número das linhas e das colunas;

Escrever nos rectângulos o produto que representa o número de quadrículas.

Construindo …(4)

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Tabuada Geométrica C

on

stru

ída

pel

os

alu

no

s

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9

Tabuada Geométrica R

eali

zad

a n

o c

om

pu

tad

or

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Uma perspectiva algébrica

II. Regularidades no padrão geométrico da

tabuada

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Que figuras geométricas se encontram no padrão?

Por que podemos considerar um padrão?

O que acontece às figuras ao longo das linhas e das colunas?

Qual a particularidade dos produtos das figuras da diagonal? Que números especiais temos aí?

Onde se situam as figuras congruentes?

Onde se encontram as figuras de lado 1?

E os números primos?

Pistas

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Todas as figuras equivalentes são congruentes?

Exemplifica!

Indica os produtos das figuras de área 12. Que números são os das linhas e das colunas?

Indica duas figuras justapostas (ligadas por um dos lados). Qual é a área do rectângulo composto pelas duas figuras?

Pistas

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Todo o padrão é composto por figuras geométricas que são

rectângulos; o quadrado é um rectângulo especial em que a medida do comprimento e da largura é a mesma;

As medidas: largura e comprimento do quadrado estão representadas pela número das linhas e das colunas; o seu produto representa a área do rectângulo;

Quando o rectângulo é quadrado, a área representada pelo produto de factores iguais pode ser representada na forma de uma potência de expoente 2;

Os quadrados estão situados na diagonal esquerda; a sua área representada por potências de expoente 2 são os números quadrados, ou quadrados perfeitos;

O padrão tem um eixo de reflexão sobre a diagonal sendo por isso, as figuras simétricas em relação ao eixo (dobrar o papel pela diagonal dos quadrados e pôr à janela…)

Regularidades

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As figuras congruentes estão pintadas da mesma cor; As áreas dos rectângulos representadas por números

primos encontram-se na linha 1 ou coluna 1; Figuras com a mesma área podem ser congruentes ou

não: há sempre um par de figuras congruentes; Os números primos têm um e um só par de figuras

equivalentes e essas figuras são congruentes; Um número não primo, pode ser representado por figuras

equivalentes que não são congruentes; Os números das linhas e das colunas são divisores dos

números representados pelas áreas. …

Regularidades

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A tabuada geométrica como um “modelo para pensar”

III. Potencialidades

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Depois de construída a tabuada geométrica ela pode ser “desconstruída”;

Os rectângulos desconstruídos ajudam a pensar em situações diversas em que possam ser feitas conexões com as áreas;

Permite trabalhar bem a propriedade distributiva associada ao conceito de área (Modelo de área de Van Hiele);

Permite trabalhar o conceito de área composta;

Ajuda a compreender a composição e decomposição dos números em parcelas e em factores;

Ajuda a compreender o algoritmo da multiplicação e a encontrar outras formas de multiplicar desenvolvendo o sentido de número e de operação.

“Modelo para pensar”

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Problema 1 Na tabuada geométrica encontra todas as figuras de perímetro 20 e descobre qual a de maior área.

Perímetro 20 Semi-perímetro 10 Figuras ( C ; L) Área 1 9 9 2 8 16 3 7 21 4 6 24 5 5 25 Quadrado

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Tarefa 2 Dados quatro algarismos, forma dois números, de forma a que o produto seja o maior possível.

1, 3, 4, 5

Valor de posição: algarismo mais forte nas dezenas: 1) 53 x 41 = 2) 51 x 43 =

50 x 40 + 40 x 1 + 50 x 3 + 3 x 1 = 2000 + 40 + 150 + 3 = 2193

50 x 40 + 40 x 3 + 50 x 1 + 3 x 1 = 2000 + 120 + 50 + 3 = 2173

Maior produto Margarida Uva Nunes Silva PROFMAT

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Tarefa 2 Dados quatro algarismos, forma dois números, de forma a que o produto seja o maior possível.

1, 3, 4, 5

Valor de posição: algarismo mais forte nas dezenas: 1) 53 x 41 = 2) 51 x 43 =

Maior produto

Porquê?

Como generalizar para qualquer número?

Diferença 12

Diferença 8 Rectângulo mais quadrado

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Generalizando… Quando é que o produto de dois números é máximo?

Tarefa 2

Quando a diferença entre os lados é mínima, ou seja, quando o

“rectângulo é mais quadrado”. Margarida Uva Nunes Silva PROFMAT

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Tarefa 3 O João e a Anita, enquanto a mãe fazia compras no supermercado, entretinham-se a contar o número de caixas de bombons de uma prateleira. Nessa prateleira estavam 15 caixas como as da figura. De imediato… toca a pensar… Quantos bombons estão ao todo nessa prateleira?

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Tarefa 3 – Possível resolução (I)

3 x 5 x 3 x 4 =

= 9 x 20 =

= 180

15 caixas de 12 bombons

15 x 12 5

3

4

3 15 12

6

2 3

5

15 12

3 x 5 x 2 x 6 =

= 10 x 18 =

= 180

Decompondo em produtos e voltando a compor Utilizando a PROPRIEDADE ASSOCIATIVA

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Tarefa 3 – Possível resolução (II)

15 x (10 + 2) =

= 150 + 30 =

= 180

15 caixas de 12 bombons

15 x 12

15

10 12

10

Decompondo um dos números em parcelas Transformação de uma área simples numa composta por 2 rectângulos Utilizando a PROPRIEDADE

DISTRIBUTIVA

2

150 30

5

120

60

12 x (10 + 5) = = 120 + 60 =

= 180

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Tarefa 3 – Possível resolução (III)

(10 + 5) x (10 + 2) =

= 150 + 30 =

= 180

15 caixas de 12 bombons

15 x 12

10

Decompondo os dois números em parcelas Transformação de uma área simples numa área composta por 4 rectângulos Utilizando a PROPRIEDADE

DISTRIBUTIVA

50 10

2

10

5

120

150

100 20

+

60

+ 30 180

=

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Tarefa 3 – Possível resolução (III)

15 caixas de 12 bombons

15 x 12

A compreensão do ALGORITMO!

5x2

10

5x10

2

10

5

120

150

10 x 10 10x2

+

60

+ 30 180

=

15 x 12 =

=(10+5) x (10+2)

10 x 10 = 100

2 x 10 = 20

5 x 10 = 50

2 x 5 = 10 (Modelo de Área deVan Hiele, 1998)

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Que aprendizagens matemáticas? Que conteúdos?

Que capacidades?

Que conexões?

E não matemáticas?

Qual o papel da tabuada geométrica?

Reflexão

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Quais as características das tarefas propostas?

Que tarefas para cada ano de escolaridade?

Que papel o do professor na utilização deste recurso?

Quais as características do ambiente de sala de aula de um trabalho desta natureza?

Qual o papel do aluno?

Qual a perspectiva do ensino da matemática?

Reflexão

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Fuys, D., Geddes, D., & Tischler, R. (1988). The Van Hiele

model of thinking in geometry among adolescents. Reston, VA: NCTM.

Ministério da Educação (2007). Programa de Matemática do Ensino Básico. Lisboa: DGIDC/ Ministério da Educação.

Mousley, J. (2004). An aspect of mathematical understanding: The notion of "connected knowing". In M. J. Høines & A. B. Fuglestad (Eds.), Proceedings of the 28th conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3, pp.377-384). Bergen, Norway: Bergen University College.

Van de Walle, J. A. (2006). Teaching Student-Centered Mathematics. New York: Longman

Bibliografia

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Obrigada pela vossa participação!

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