a matematica dos ornamentos e a cultura arica · da por duas retas paralelas; ... de uma regiao...

,A MATEMATICA DOS ORNAMENTOS E

A CULTURA ARICARodney C. BassaneziMaria Salett B. Faria

UNICAMP

Como analisar matematicamente a arte decorativa?Havera rela~c5es entre a historia de um povo e a matematica de sua arte

decorativa?

Em 1986, 0 professor Rodney Bassanezi participou de um congresso de Analise Matematicaem uma universidade do Chile. La, ele p6de apreciar 0 povo da singular regiao de Arica e asriquezas de sua arte.

Voltando ao Brasil, ele encontrou na professora Salett Faria uma interlocutora entusiasmada.De infcio, analisaram matematicamente a arte decorativa de Arica e discutiram a hist6ria desuas relal;oes com a matematica. Este artigo foi 0 primeiro resultado do contato com a arte de umpovo e a matematica dessa arte.

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;'ldestilizada de condor (aproximadamente do seculo XII)

A regiioArica e uma regiao situada no extremo norte

do Chile fazendo limite com 0 Peru, a Bolivia eoOceano Pacifico. Podemos dividi-Ia em tras areasecol6gicas: a costa, a serra e a puna.

A costa e uma faixa de apenas 60km de largu-ra, em geral bastante arida e quente, apesar dooceano gelado. A serra e a parte central do territ6-rio, ocupada por um macic;o montanhoso da cordi-Iheira dos Andes. Faz muito frio na serra mas,como ocorrem chuvas, ha alguma vegetac;ao adap-tad a a altitude. Avanc;ando para 0 interior, chega-sea puna, com altitude media de 4 OOOme noites taogeladas que impedem 0 crescimento de qualquertipo de planta.

Essa singular regiao de Arica, apesar do climain6spito e dos eventuais terremotos, foi ocupadapelo homem ha cerca de 10 000 anos. Seu povoadaptou-se harmoniosamente aos parcos recursos,conseguindo tirar 0 sustento do mar e da dificilagricultura. Em Arica, as pessoas parecem amar aterra e viver intensamente cad a dia.

Os grupos humanos que viveram na costa,serra e puna, at raves de um intercambio permanen-te e secular, produziram como sintese uma culturabastante expressiva. As primeiras manifestac;6esdessa cultura antecedem a construc;ao das pirami-des do Egito. E mesmo a chegada dos espanh6is,em 1535, nao impediu que ainda hoje encontremostrac;os da cultura Arica no artesanato e nos costu-mes dos habitantes do lugar.

A arte da regiioNa cultura Arica destacou-se a arte do tecido.

A func;ao do tecido ia muito alem da protec;aocontra 0 clima desfavoravel. Ele estava intimamen-te relacionado com a posic;ao economica, social,politica e, principalmente, religiosa das pessoasdaquela sociedade. Isso se reflete nas vestimentase adornos, na qualidade dos tecidos, em suas corese desenhos.

No museu San Miguel de Azapa, da Universida-de de Tarapaca, encontramos tecidos de todos osperfodos da cultura Arica. Sao fragmentos de man-tas, gorros, bolsas, adornos em cores vivas e dese-nhos variados. Ha indicios de que essa variedadereflete a diversidade dos grupos etnicos que habi-taram a regiao.

Os tipos de desenhos dos tecidos sac caracte-risticos de epocas hist6ricas determinadas, pois,como toda forma de arte, ados tecidos de Aricatambem passou por uma evoluc;ao hist6rica.

Portanto, elementos de uma estrutura social,particularidades etnicas e epocas hist6ricas, tudopode ser visto em uma simples pec;ade tecido. Masha ainda um pouco mais.

Como veremos adiante,e possivel classificar ostecidos a partir de um estudo matematico de seusdesenhos. E a partir dai que podemos ver umpouco mais e levantar quest6es como estas: haverarelac;ao entre as etapas culturais de um povo e 0tipo matematico dos ornamentos utilizados em seuartesanato? Sera possivel visualizar a influancia de

uma cultura sobre outra analizando matematica-mente seus ornamentos?

As respostas a essas quest6es nao sac simplese, neste artigo, ficarao incompletas. Vamos, noentanto, apontar algumas caracteristicas matema-ticas dos ornamentos de Arica e relaciona-Ios comcada epoca hist6rica. Para isso, antes precisamosesclarecer 0 conceito matematico de ornamentoplano e mostrar como e possivel estuda-Io.

Na decorac;ao de paredes, nos pisos ladrilha-dos, nas estampas dos tecidos, nas grades dasjanelas e em diversos outros lugares, e frequenteencontrarmos ornamentos pianos construfdos apartir de uma figura (motivo) que se repete.

Na matematica, consideramos tn3s tipos deornamentos como esses:- as barras decorativas, nas quais 0 motivo serepete indefinidamente, dentro de uma faixa limita-da por duas retas paralelas;

Barra decorativa extrafda de urn vasa grego de antesde Cristo

- os mosaicos, nos quais 0 motive se repete demaneira a recobrir 0 plano todo;

- as rosetas, nas quais a repetic;ao ocorre dentrode uma regiao limitada do plano.

Consideramos os motivos repetidos como fi-guras planas congruentes (ou seja, de medidasiguais)que ocupam posic;6es distintas. Isto equiva-Ie a fazer desenhos em posic;6es diferentes a partirde um mesmo mol de.

Consideramos ainda que a figura passa deuma posic;ao para outra atraves de um movimentoque nao a deforma. Aparentemente, esses movi-mentos podem ocorrer de infinitas maneiras. Noentanto, matematicamente ha apenas quatro movi-mentos basicos e qualquer outro movimento podeser decomposto nesses quatro movimentos. Va-mos descrever resumidamente cada um deles.

Um primeiro movimento basico e a translaf;io.Nesse caso, a figura desliza sobre uma reta s.Todos os pontos da figura percorrem segmentosparalelos de mesmo comprimento.

Na proxima ilustrac;:ao encontramos um segun-do movimento basico: a rotacrio. A figura toda giraum certo angulo em torno de um ponto 0 (quepode ou nao pertencer a figura). Todos os pontosda figura percorrem arcos de circunferencias comcentro em 0 e todos esses arcos correspond em auma mesma medida de angulo.

oa b c

Considere a roseta da figura (a). Apos umarotac;:ao de 20°, esse ornamento nao permaneceigual, pois muda de posic;:ao,como vemos na figura(b). Mas, se a roseta sofrer uma rotac;:ao de 90°,como na figura (c), ela "cai" sobre si mesma per-manecendo igual ao que era. Portanto, uma dassimetrias desse ornamento e produzida por umarotac;:aode 90° (1).

Vejamos outro exemplo.

o movimento ilustrado a seguir e um poucomais diffcil de explicar. Neste caso, podemos ima-ginar que a figura foi refletida pela reta e, a qualfunciona como um espelho. A figura obtida nachegada corresponde a imagem especular da figu-ra inicial. Este movimento e chamado reflexio. 0eixo e da reflexao pode ou nao interceptar a figura.Esse eixo e a mediatriz de cada segmento determi-nado por um ponto da figura inicial e seu corres-pondente na figura obtida no final.

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(b)

Considere a barra decorativa da figura (a), semesquecer que, matematicamente, ela e uma figurailimitada. a direita e a esquerda. Assim, percebe-mos que se ela sofrer uma translac;:ao de compri-mento x sobre a reta s, ela permanecera igual, pois"cai" sobre si mesma. (Note que uma translac;:ao decomprimento x/2 ja nao teria 0 mesmo efeito, comomostra a figura (b).) Portanto, uma das simetriasdessa barra e produzida pela translac;:ao de compri-mento x , sobre a reta s.

Como ultimo exemplo. considere 0 mosaico dafigura (a). Lembre-se que devemos imagina-Io semlimites, estendendo-se por todo 0 plano. Com essa

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e e mediatriz de AA'Finalmente, consideremos 0 movimento com-

posta por uma reflexao de eixo e e uma translac;:aocom direc;:aoe, tambem. Esse movimento e chama-do translacrio refletida (ou reflexao transladada).

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Agora, ja conhecemos os movimentos que pro-duzem a repetic;:ao dos motivos das barras, mosai-cos e rosetas. Podemos entao passar a etapa finalda analise matematica de um ornamento. Isto e,dado um ornamento, devemos descobrir quais mo-vimentos estao presentes nele.

Fazendo isto, estamos determinando as sime-trias do ornamento. Na matematica, dizemos queum ornamento possui simetria quando. aplicando aele algum dos movimentos basicos, ele permaneceigual ao que era antes do movimento. Para enten-der isso, vamos ver exemplos.

(1) A palavra simetria costuma ser utilizada apenas re-ferindo-se as reflex6es. Note que estamos usando essapalavra com um sentido bem mais amplo.

condi9ao, encontramos aqui simetrias produzidasde varias maneiras. As simetrias produzidas portransla90es sac as mais imediatas. Por exemplo, seo mosaico deslizar horizontalmente um compri-mento x(transla9ao horizontal) ou deslizar vertical-mente um comprimento y (transla9ao vertical) ve-mos que ele permanece igual.

Mas temos ainda simetria produzida por trans-la9ao refletida. Para visualizar essa transla9ao re-fletida, mostramos na figura (b) um trecho de mo-saico que deslizou um comprimento y/2 para baixo.Agora, com a reflexao de eixo 8,0 mosaico voltara aficar igual ao que era antes.

Agora dispomos de informa90es suficientespara uma classifica9ao matematica dos ornamen-tos. Podemos observar quais as simetrias que umornamento contem e verificar como foram produzi-das, ou seja, podemos estabelecer quais os movi-mentos que as produziram.

Podemos ainda falar sobre ornamentos demaior ou menor complexidade: quanto maior aquantidade de simetrias de um ornamento, maior ea sua complexidade.

A matematiea dos ornamentosna hist6 ria de Ariea

Voltemos aos ornamentos da cultura Arica pa-ra analisar alguns exemplos relacionando-os comsua epoca historica. Nessa analise, nao levaremosem conta as cores.

o perfodo arcaico (8000 a. C. - 1 000 a. C.)Nessas epocas remotas, a regiao obrigava uma

sociedade de pescadores (na costa) e ca9adores(na serra). Uma agricultura rudimentar surgiu naserra, apenas no final do periodo, quando ocorreuum certo aumento da popula9ao.

Por cerca de 4 000 anos permaneceu a praticada mumifica9ao indicando que 0 povo de Aricadominou esta tecnica antes mesmos dos egipcios.

Nesta fase, a tecelagem ainda nao havia nasci-do. Os adornos, tang as, mantos etc. eram feitos depenas e fibras vegetais.

o perfodo formativo (1 000 a. C. - 300 d. C.)Nesse perfodo, desenvolve-se a agricultura e

surgem as primeiras aldeias. E quando aparecemos tecidos e seus motivos ornamentais. Aparecemtambem as ceramicas, mas sem ornamentos.

Os ornamentos predominantes nos tecidoseram as rosetas e as barras dos gorros e mantas.Esses ornamentos eram bastante simples, tanto emrela9ao aos motivos, quanta em rela9ao as sime-trias. Estas eram produzidas, nas barras, por trans-la90es e reflexoes perpendiculares a dire9ao datransla9ao e, nas rosetas, por reflexoes. Vemosabaixo um exemplo tipico.

Roseta do per(odo formativo. Desenho dofragmento de uma manta

Nesta roseta, a (mica simetria e a reflexao deeixo vertical v. 0 lade direito da roseta e refletidono esquerdo e vice-versa.

o perfodo Tiwanaku (300-1100)A sociedade de Arica continua progredindo.

Expande-se a agricultura, intensifica-se 0 inter-cambio entre os habitantes da costa, da serra e dapuna.

Na arte, observa-se que as ceramicas ganhamornamentos e cores. Os tecidos, em geral feitosdos pelos dos Ihamas e das alpacas (2), ganhamcores vivas, motivos ornamentais mais elaboradose simetrias mais complexas.

Nas rosetas encontramos simetrias produzidaspor rotac;:oes; nas barras, alem das translac;:oes ereflexoes do periodo anterior, temos agora reflexaocom eixo na dire9ao da translac;:ao. Observemos,por exemplo, a barra da figura a seguir. Temos trastipos de simetria: uma produzida pela translac;:aoindicada pela flecha; outra produzida pela reflexaode eixo horizontal; uma terceira produzida pelareflexao de eixo vertical.

Barra do periodo Tiwanaku. Desenho do detalhede um gorro

No periodo Tiwanaku aparecem ainda os mo-saicos, dos quais mostramos um exemplo a seguir.

(2) Os_lhamas SaD animais t(picos da regiao: fornecemleite e la,alem de servirem de montaria. As alpacas pa-recem-se com os Ihamas, mas SaD urn pouco menores.

Mosaico do perfodo Tiwanaku.Fragmento de uma tela de Iii.

Neste mosaico, uma das simetrias e produzidapor rotac;:6es de 90° em torno de seu centro.

o perfodo de desenvolvimento regional(1 100-1 470).

as historiadores assinalam nessa epoca umgrande aumento populacional na costa e conflitosentre os habitantes da costa e das regi6es altas.

Mas a arte vai se tornando mais rica ainda,como pod emos ver nos ornamentos de ceramicas etecidos. Eis um belo exemplo: 0 mosaico da ilustra-c;:aoe extremamente elaborado e as mudan9as decolorac;:ao aumentam sua complexidade visual.Destacamos 0 motivo do mosaico e uma das sime-trias, produzida por uma rotac;:ao de 180°.

Mosaico do perfodo de desenvolvimento regional.Decorat;ii.o de uma balsa de Iii.

Nesse perfodo, 0 use de figuras estilizadas deanimais, especial mente 0 condor (passaro - sim-bolo dos Andes), torna-se frequente. Do ponto devista matematico, chama a atenc;:ao 0 aparecimentode simetrias produzidas por translac;:6es refletidas,aumentando a complexidade dos ornamentos.

o perfodo inca (1470 - 1535)

Em 1 470,0 Imperio Inca domina a regiao e trazconsigo sua bem estruturada organizac;:ao social,politica e econ6mica. Muitos camponeses incasestabelecem-se em Arica, trazendo novas tecnicasde ceramica e tecelagem.

Esta transformac;:ao profunda pode ser visual i-zada tambem na arte do tecido. Por um lado, astecnicas de tecelagem introduzidas pelos incas sacmais avanc;:adas; por outro lado, em termos deriqueza e complexidade, nao se nota evoluc;:ao nosornamentos.

Mosaico do perfodo inca. Decorat;ii.o de umabolsa de Iii.

Aqui, aparecem translac;;oes refletidas e reflexoes.As translac;;oes refletidas podem indicar um altograu de desenvolvimento na arte dos ornamentos.No entanto, 0 mosaico apresentado e bem menosrico que os exemplos encontrados no perfodo an-terior.

Na verdade, 0 exame de varios outros exem-plos do perfodo Inca revela uma grande similarida-de com os ornamentos do periodo Tiwanaku: hamotivos parecidos e as simetrias predominantessac as mesmas. Em resumo, do ponto de vistaartistico (e matematico) 0 perfodo Inca parece re-presentar uma involuc;;ao.

Por que isso teria ocorrido? Seria por queforam introduzidas novas tecnicas? Ou por que aarte dessa epoca e a arte de um povo dominado?Estas questoes ficam para os historiadores.

As conclusoesNeste artigo, examinamos a matematica dos

ornamentos em geral e destacamos os ornamentosde uma sociedade bem distante da nossa. Fizemosum estudo incompleto de nosso tema, mas acredi-tamos ter mostrado significativas relac;;oesentre 0desenvolvimento cultural de um povo e a matemati-ca de seus ornamentos. Acreditamos ainda que,aprofundando este tipo de estudo, deve ser possi-vel obter conclusoes mais fortes e surpreendentes.

Os ornamentos aqui e agoraNo entanto, ao escrever este artigo nao tive-

mos apenas intenc;;oes de natureza hist6rica ouarqueol6gica.

A matematica e os ornamentos que estavampresentes na cultura de Arica e de outros povosdo passado continuam nos acompanhando hoje emdia. 0 leitor pode encontrar arte ornamental logoao despertar: e s6 observar as ramagens de len90ise toalhas de rosto. Alem disso, as rota90es, transla-90es e reflexoes dos ornamentos sac cada vezmais estudadas. Sabe-se que e possivel construirtoda a Geometria Plana, que faz parte dos currfcu-los de 7" e 8" series, a partir de rota90es, transla-90es e reflexoes. E muito especialistas supoem queseja esse 0 caminho mais eficaz e interessante parao ensino da Geometria.

Estas ideias revelam as segundas intenc;;oesdeste artigo: atrair professores de matematica paraum tema novo, importante, repleto de situac;;oesatraentes.

Alguns terao sua curiosidade despertada parao estudo dos movimentos das figuras planas, paraa analise dos ornamentos e suas simetrias e leva-rao esses temas a sala de aula. Com isso, ficaremosfelizes.

Dissemos que este artigo foi um primeiro resu/-tado das conversas e reflexoes dos professoresRodney e Sa/ett sobre a arte de Arica.

Tudo isso teve uma continuay8.o: a professoraSa/ett /evou a sa/a de au/a 0 estudo dos movimen-tos e a construy8.o de ornamentos, obtendo apren-dizado matematico e rea/izayoes artisticas.

Mas esta e uma hist6ria que fica para umDr6ximo numero desta revista.

Maringa (PR), cidade bela e acolhedora, foi a sededo 2° Encontro Nacional de Educayao Matematica (2°ENEM), no mes de jaheiro deste ano. Cerca de 1.200professores,pesquisadores e interessados em educac;:aomatematica reuniram-se para 60 minicursos e 200comu-nicac;:6escientificas, alt~mde palestras e mesas-redon-das que debateramos temas mais importantes da educa-c;:aomatematica desde a pre-escola ate 0 3° grau. Aorganizac;:ao,praticamente perfeita, esteve a cargo daUniversidade Estadual de Maringa.

Alem da qualidade cientlfica do acontecimento, este

2° ENEM deixou mais uma marca: a fundac;:aoda Socie-dade Brasileira de Eduyac;:aoMatematica (SBEM).A pri-meira diretoria da SBEM foi eleita por aclamayao e ecomposta pelos professores Nilza Bertoni (UnB/RN -secretaria-geral), Cristiano Alberto Muniz (UFRN/RN),Antonio Pinheiro Araujo (UFRN/RN),Tadeu Oliver Gon-c;:alves(UFPAlPA)e Daniel de F. Barbosa (UEM/PR).Sevoce quiser entrar em contato com a SBEM,escrevaparaProf" Nilza Bertoni - UnB - Depto. de Matematica -CAMPUS UNIVERSITAAIOS- Brasilia OF- 70910.

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