a matemática do renascimento ao seculo xvii

( P R O F E S S O R A E L I S A B E T E –E G U E R A T O @ G L O B O . C O M )

A matemática do Renascimento ao século XVII: as aritméticas, o simbolismo algébrico,

Tartaglia, Cardano e Viète, Dürer e Copérnico

As primeiras Aritméticas

Com o início do Renascimento cresce o interesse pela

educação e a atividade comercial. Isso faz com que

apareçam muitos textos populares de aritmética;

Antes do século XVII, três centenas desses livros foram

impressos na Europa;

Haviam dois tipos de obras: as escritas em latim por

intelectuais de formação clássica e as escritas em

vernáculo por professores práticos interessados em

formar jovens para carreiras comerciais.

A Aritmética de Treviso

Publicada em 1478 na cidade de Treviso, próximo a Veneza,

é a mais antiga aritmética impressa;

Trata-se de uma aritmética amplamente comercial,

dedicada a explicar a escrita dos números, a efetuar

cálculos com eles e que contém aplicações envolvendo

sociedades e escambo;

Inclui também questões recreativas;

Foi o primeiro livro de matemática a ser impresso no

mundo ocidental.

Outras Aritméticas

1484 – Aritmética comercial, escrita por Piero Borghi. Publicado em

Veneza, atingiu pelo menos 17 edições;

1491 – Aritmética menos importante publicada por Filippo Calandri em

Florença. Contém o primeiro exemplo impresso do moderno processo

de divisão e também os primeiros problemas ilustrados a aparecerem na

Itália;

1494 – publicada a Süma de Pacioli que tem uma parte dedicada à

aritmética;

1489 – Aritmética de Widman, publicada em Leipzig, na Alemanha;

1514 – Aritmética publicada na Alemanha por Jacob Köbel (1470 –

1533). Teve 22 edições;

Adam Riese(1489 – 1559)

Publicou em 1522 a mais influente de

todas as aritméticas comerciais alemãs.

Esse trabalho conseguiu uma reputação

tão alta que, ainda hoje na Alemanha,

nach Adam Riese significa cálculo

correto.

Conta-se uma anedota jocosa de que

teria ganhado uma disputa com um

desenhista de quem desenharia mais

ângulos retos em menos tempo.

Cuthbert Tonstall(1474 – 1559)

Publicou na Inglaterra em 1552 o primeiro

trabalho dedicado inteiramente à Matemática

Este livro baseado na Süma de Pacioli foi escrito

em latim;

Durante sua vida agitada, Tonstall ocupou

grande número de postos eclesiásticos e

diplomáticos;

Seus contemporâneos o consideravam tanto que

a primeira edição impressa dos Elementos de

Euclides (1533) escrita em grego foi dedicada a

ele.

Robert Recorde(1510 – 1558)

Robert Recorde(1510 – 1558)

Foi o mais influente autor inglês de textos escolares no século XVI;

Escreveu em inglês e seus trabalhos tinham a foram de diálogos entre

um mestre e um estudante;

Deixou pelo menos 5 livros, o primeiro deles uma aritmética

chamada The Ground of Arts, publicada em por volta de 1542 e que

atingiu pelo menos 29 tiragens;

Estudou em Oxford e depois em Cambridge, onde formou-se médico;

Deu aulas de matemática nessas duas Universidades e foi médico de

Eduardo VI e da rainha Maria;

Robert Recorde(1510 – 1558)

Recorde passou seus últimos dias numa prisão da Irlanda, talvez

devido a alguma contravenção ligada a seu trabalho nesse país;

Além da aritmética, Robert Recorde escreveu também alguns

outros texto, sendo que provavelmente alguns trabalhos se

perderam;

O seu texto de astronomia The Castle of Knowledge (1551) é uma

das primeiras abordagens do assunto a apresentar o sistema de

Copérnico para os ingleses;

O texto de geometria The Pathwaie to Knowledge (1551) contém

uma condensação dos Elementos de Euclides;

O Início do Simbolismo Algébrico

Historicamente, a álgebra de Robert Record, The

Whetstone of Witte (1557) tem interesse particular. Nesta

obra se faz, pela primeira vez, o uso do moderno símbolo

de igualdade (=);

O símbolo de radical (√‾) foi introduzido por Christoff

Rudolff em 1525 no seu livro de álgebra Die Coss. Este

livro teve muita influência na Alemanha;

Michael Stifel publicou uma edição melhorada da obra de

Christoff Rudolff em 1553.

Michael Stifel(1486 – 1567)

Michael Stifel(1486 – 1567)

Costuma-se apresentá-lo como o maior algebrista alemão do século XVI;

Sua obra matemática mais conhecida foi Arithmetica Integra, publicada

em 1544;

Dividida em três partes dedicadas respectivamente aos números

racionais, números irracionais e álgebra;

Na primeira parte salienta as vantagens de relacionar uma progressão

aritmética a uma geométrica antecipando os logaritmos;

Na segunda parte apresenta uma versão algébrica do livro X de Euclides;

A terceira parte se ocupa das equações. As raízes negativas das equações

são descartadas, mas se usam os sinais: +, - e √‾ e se representa a

incógnita muitas vezes por uma letra.

Michael Stifel(1486 – 1567)

Originalmente foi um monge, mas após a conversão por

Martinho Lutero, tornou-se um reformador ferrenho;

Após a análise de certos textos bíblicos, profetizou o fim

do mundo para 3 de outubro de 1533;

Alguns camponeses, acreditando nele, venderam tudo o

que tinham para acompanhá-lo ao céu. O rebate falso

provocou indignação e obrigaram-no a refugiar-se

numa prisão para se salvar.

Interpretações do Número 666

Michael Stifel, após cálculos com o uso da aritmografia provou que o Papa

Leão X seria a “besta” do apocalipse;

Alguns anos mais tarde Napier mostrou que 666 representa o papa de Roma;

Na mesma época de Napier o jesuíta Bongus concluiu que 666 representa

Martinho Lutero;

Durante a Primeira Guerra Mundial chegou-se à conclusão, através da

aritmografia era o número do cáiser Guilherme e mais tarde se mostrou que

esse número representaria Hitler;

E, finalmente, já se provou que o nome César Nero, quando escrito em

Aramaico, idioma em que foi escrito o Apocalipse originalmente, se traduz

numericamente por 666.

Equações Cúbicas e Quárticas

Provavelmente o feito matemático mais extraordinário do

século XVI foi a descoberta, por matemáticos italianos, da

solução algébrica das equações cúbica e quártica;

Em 1515 Scipione del Ferro (1465 – 1526) professor de

matemática da Universidade de Bolonha, resolveu

algebricamente a equação x³ + mx = n, baseando seu

trabalho provavelmente em fontes árabes;

Ele não publicou o resultado mas revelou o segredo a seu

discípulo Antonio Fior;

Equações Cúbicas e Quárticas

Por volta de 1535, Nicolo Fontana de Brescia (Tartaglia)

anunciou ter descoberto uma solução algébrica para a equação

cúbica x³ + px² = n;

Achando que era blefe, Fior desafiou Tartaglia para uma disputa

pública envolvendo a resolução de equações cúbicas;

Com muito empenho Tartaglia conseguiu, faltando poucos dias

para a disputa, resolver equações cúbicas desprovidas do termo

quadrático vencendo a disputa;

Mais tarde Giordano Cardano conseguiu arrancar de Tartaglia a

chave da solução da equação cúbica;

Equações Cúbicas e Quárticas

Em 1545, apareceu em Nuremberg a Ars Magna de Cardano, um

grande tratado em latim de álgebra, lá estava a solução de

Tartaglia da cúbica;

Os protestos veementes de Tartaglia foram rebatidos por

Ludovico Ferrari, o mais brilhante dos discípulos de Cardano, que

argumentou ter seu mestre recebido informações de del Ferro,

através de um terceiro personagem, ao mesmo tempo que acusava

Tartaglia de ter plagiado a mesma fonte;

Seguiu-se uma polêmica acerca da qual Tartaglia, com certeza,

deu-se por feliz de sair vivo.

Equações Cúbicas e Quárticas

Pouco tempo depois da resolução da equação cúbica,

encontrou-se, também, a solução da equação quártica geral;

Em 1540, o matemático italiano Zuanne de Tonini da Coi

propôs um problema a Cardano que recaía numa equação

quártica;

Embora não conseguisse resolver essa equação, seu

discípulo Ferrari teve êxito nessa tarefa;

Cardano teve o prazer de publicar também essa solução em

sua Ars Magna.

Equações Cúbicas e Quárticas(outras soluções através do tempo)

Século XVI – François Viete;

1637 – Descartes;

1750 – Euler falhou ao tentar resolver uma equação quíntica geral;

1780 – Lagrange também falhou ao tentar resolver uma equação

quíntica;

1803, 1805 e 1813 – o médico italiano Paolo Ruffini tentou provar,

sem conseguir de maneira suficiente, que as raízes das equações

gerais de grau 5, ou maior, não podem ser expressas por meio de

radicais em termos dos coeficientes respectivos embora saiba-se

hoje que é um fato verdadeiro;

Equações Cúbicas e Quárticas(outras soluções através do tempo)

Este resultado foi provado conclusivamente pelo famoso

matemático norueguês Niels Henrik Abel (1802 – 1829);

1858 – Charles Hermit (1822 – 1901) deu uma solução

da equação quíntica por meio de funções elípticas;

Outros matemáticos como Bring, Jerrard, Ischirnhausen,

Galois, Jordan e outros, encontraram soluções

fascinantes através da teoria das equações, mas muito

sofisticadas e avançadas para o nosso nível de curso.

Girolamo Cardano(1501 – 1557)

Girolamo Cardano(1501 – 1557)

Nasceu em Pávia e é um dos personagens mais

extraordinários da História da Matemática;

Filho ilegítimo de um jurista com uma personalidade

extremamente contraditória e arrebatada;

Começou sua tumultuada vida profissional como médico,

mas paralelamente, dedicava-se à matemática, estudando,

ensinando e escrevendo;

Após viajar à Escócia ocupou cadeiras importantes nas

Universidades de Pávia e Bolonha;

Girolamo Cardano(1501 – 1557)

Esteve preso por algum tempo, acusado de heresia por

ter feito e publicado um horóscopo de Jesus Cristo;

Ao renunciar à sua cadeira em Bolonha, mudou-se para

Roma, onde se notabilizou como astrólogo, inclusive do

Papa, pelo que recebia uma pensão;

Faleceu em Roma e segundo uma versão, pôs fim à

própria vida para não contrariar previsão astrológica

feita por ele mesmo sobre a data da sua morte.

Obras de Cardano

Deixou uma obra vasta, abrangendo aritmética, astronomia, física,

medicina e outros assuntos;

Dentre os seus muitos livro, o mais importante é o Ars Magna, o primeiro

grande tratado em latim dedicado exclusivamente à Álgebra;

Nele se dá alguma atenção às raízes negativas de uma equação e ao

cálculo com números imaginários;

Tem um método tosco para a obtenção do valor aproximado de uma raiz

de uma equação de grau genérico;

Há sinais que ele tinha conhecimento da regra de sinais de Descartes;

Como jogador inveterado, escreveu um manual do jogador em que

abordou algumas questões interessantes de probabilidade.

Nicolo Fontana de Bréscia (Tartaglia)(1499 – 1557)

Nicolo Fontana de Bréscia (Tartaglia)(1499 – 1557)

Nasceu em Bréscia e teve uma infância difícil, pois seus pais eram muito

pobres e presenciou a tomada de sua cidade natal pelos franceses em 1512;

Durante a invasão refugiou-se com seu pai em uma catedral que foi

invadida, vindo seu pai a falecer. Ele foi dado como morto, mas sua mãe

conseguiu curá-lo lambendo seus machucados;

Ficou com um problema de fala que lhe valeu a alcunha de “o gago” (em

italiano: Tartaglia);

Freqüentou a escola por apenas 15 dias o que não o impediu de se tornar

um matemático muito talentoso. Aprendeu a ler e escrever sozinho muitas

vezes usando lápides de cemitério como quadro-negro.

Tartáglia e a Matemática

Chegou a soluções para as equações cúbicas (já

mencionado anteriormente);

Foi o primeiro matemático a usar matemática na ciência

dos tiros de artilharia;

Escreveu o que se considera a melhor aritmética do século

XVI, um tratado em dois volumes que inclui uma discussão

ampla das operações numéricas e da aritmética mercantil

de seu tempo;

Publicou também edições de Euclides e Arquimedes.

Françoise Viète(1540 – 1603)

Françoise Viète(1540 – 1603)

Maior matemático francês do século XVI. Nasceu em Fontenay,

estudou advocacia e foi membro do parlamento provincial da

Bretanha, mas dedicava a maior parte de seu tempo de lazer à

matemática;

Há algumas anedotas divertidas sobre Viète:

Disputa com o rei Henrique IV dos Países Baixos na resolução de

uma equação de grau 45;

Quebra do código secreto da Espanha durante a guerra da França

com esse país. O rei Filipe II acusou a França de uso de magia,

pois pensava que seu código era indecifrável.

Obra de Viète

Sua obra é vasta compreendendo trabalhos de trigonometria, álgebra e

geometria. A maioria dos seus trabalhos foram impressos e distribuídos a

suas expensas;

Em 1579 publicou Canon mathematicus seu ad triangula que trouxe

contribuições notáveis á trigonometria. Foi o primeiro livro na Europa

Ocidental a desenvolver sistematicamente métodos para resolver triângulos

planos e esféricos com o auxílio das seis funções trigonométricas;

Em 1591 publicou In artem analyticam isagoge que promoveu o

desenvolvimento do simbolismo algébrico. Neste texto, ele introduz a

prática de usar as vogais para representar incógnitas e consoantes para

representar constantes;

Obra de Viète

Obs: A convenção atual de usar as últimas letras para as

incógnitas e as primeiras para as constantes foi introduzida por

Descartes em 1637.

Viète introduz as potências das variáveis que antes eram indicadas

por símbolos diferentes. Para Viète a² era a quadratum e a³ era a

cubum;

Em 1600, escreveu De numerosa potestatum resolutione que

introduziu um processo sistemático de aproximações sucessivas da

raiz de uma equação. Este método era muito trabalhoso e esteve

em uso até por volta de 1680. ;

Obra de Viète

Viète foi um algebrista excelente e, inclusive, aplicou

a álgebra à trigonometria e à geometria;

Em 1594, Viète ganho uma certa notoriedade

negativa ao se envolver numa polêmica inflamada

com o astrônomo Clavius sobre a reforma gregoriana

do calendário. A atitude de Viète nesse episódio não

se revestiu de caráter científico.

Outros matemáticos do Século XVI

Outros nomes que se destacaram no século

XVI foram:

Na matemática: Clavius, Cataldi e Stevin;

Na astronomia: Copérnico, Rhaeticus e

Pitiscus;

Christopher Clavius(1537 – 1612)

Christopher Clavius(1537 – 1612)

Nasceu em Bamberg, Alemanha e faleceu em Roma;

Embora tenha contribuído pouco para a matemática,

provavelmente nenhum intelectual alemão do século fez mais

do que ele para a promoção dessa ciência;

Era um professor inspirado e escreveu textos de aritmética

(1583) e álgebra (1608) dignos de respeito;

Em 1574, publicou uma edição dos Elementos de Euclides;

Também escreveu sobre trigonometria e astronomia e

desempenhou um papel importante na reforma gregoriana do

calendário.

Simon Stevin(1548 – 1620)

Simon Stevin(1548 – 1620)

Foi o mais destacado e influente matemático dos Países Baixos

do século XVI;

Foi intendente geral da armada holandesa;

É conhecido principalmente por ter dado uma das exposições

mais antigas da teoria das frações decimais;

Na física é conhecido pelas suas contribuições à estática e à

hidrostática;

Fez também trabalhos ligados às fortificações e à engenharia

militar e inventou um veículo movido a velas e que era capaz de

transportar 28 pessoas ao longo de uma praia ultrapassando a

velocidade de um cavalo a galope.

Nicolau Copérnico(1473 – 1543)

Nicolau Copérnico(1473 – 1543)

A astronomia contribuiu muito para a matemática; de fato, houve época

em que matemático significava astrônomo;

O polonês Copérnico foi um dos astrônomos que mais impulsionou a

matemática;

Depois de se formar na Universidade de Cracóvia, estudou leis, medicina

e astronomia em Pádua e Bolonha;

Sua Teoria do Universo ficou pronta em 1530, mas só foi publicada em

1543, ano de sua morte;

O trabalho de Copérnico precisou de alguns desenvolvimentos em

trigonometria e ele próprio tratou de implementá-los em um tratado

sobre a matéria.

Georg Joachim Rhaeticus(1514 – 1576)

Georg Joachim Rhaeticus(1514 – 1576)

Foi discípulo de Copérnico e também o principal

astrônomo matemático teutônico do século XVI;

Dedicou 12 anos da sua vida, auxiliado por calculadores, à

construção de duas tábuas trigonométricas úteis até hoje;

Foi o primeiro a definir as funções trigonométricas como

razões entre lados de um triângulo retângulo;

Deve-se à insistência dele o fato da obra máxima de

Copérnico ter sido publicada com o autor já em seu leito

de morte.