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A Função de Modulação ideal na estabilização Pound-Drever-Hall Rafael de Queiroz Garcia - 10288891
Sumário
● Motivação○ História○ Aplicações
● Princípio de funcionamento da Técnica○ Modulação de frequência○ Interferômetro de Fabry-Perot○ Sinal PDH
● Encontrando a função de modulação ideal○ Cálculo variacional○ Aplicando cálculo variacional
Motivação
História
Pound-Drever-Hall
● Robert Pound, nos anos 40, desenvolveu uma técnica de estabilização de frequência de microondas
História
Pound-Drever-Hall
● Robert Pound, nos anos 40, desenvolveu uma técnica de estabilização de frequência de microondas
● Ronald Drever trabalhou com Pound por um ano nos anos 50 e foi dele que ele tirou a inspiração para fazer um análogo óptico
História
Pound-Drever-Hall
● Robert Pound, nos anos 40, desenvolveu uma técnica de estabilização de frequência de microondas
● Ronald Drever trabalhou com Pound por um ano nos anos 50 e foi dele que ele tirou a inspiração para fazer um análogo óptico
● John Hall foi chamado para ajudar Drever a realizar a ideia que tinha na cabeça. Era alguém com experiência em espectroscopia de alta resolução.
● Paper da técnica saiu em 1983
Aplicações
● Você quem escolhe○ Estabilização “sobre a frequência ou sobre o espaço”?
● Espectroscopia de alta resolução○ É possível obter uma resolução em frequência da ordem de dezenas de mHz○ Átomos frios○ Padrões de tempo
● Interferometria○ Controle sobre perturbações espaciais por meio de um interferômetro○ Interferometria para detecção de ondas gravitacionais (Drever trabalhou com isso)
● A base de outras técnicas
Introdução a PDH
Aparato de PDH mais simples possívelEstabilização de uma cavidade
Modulação de Fase● Onda E.M. ao passar por um meio ganha uma quantia de fase● Variando o índice de refração com o tempo, é possível variar essa fase
Modulação de Fase ● Variação no tempo, periódica e pelo menos em um eixo de polarização
Modulação de Fase● Exemplo : Célula Pockels
● Birrefringência induzida e variável
● Variação de fase proporcional à tensão aplicada
Modulação de Frequência
● Toda modulação de fase temporal induz uma modulação de frequência
Modulação de Frequência
● É possível decompor uma modulação de fase periódica em componentes de frequências distintas
Modulação de Frequência
● Na técnica de PDH:
Modulação de Frequência
● Na técnica de PDH:
● Funções de Bessel do primeiro tipo
Modulação de Frequência
● Na técnica de PDH:
● Funções de Bessel do primeiro tipo
Interferômetro de Fabry-Perot
● Interessa-nos o sinal refletido do Fabry-Perot, que cresce com a dessintonia da ressonância
Interferômetro de Fabry-Perot
● Cavidade com espelhos iguais e de comprimento L
Interferômetro de Fabry-Perot
● É possível expressar kL de uma outra maneira, com quantidades com unidade de frequência. Introduz-se o Free-Spectral-Range
● Terá-se então um fator de reflexão diferente para cada frequência
Sinal PDH
( Campo elétrico incidente )
( Campo elétrico refletido)
● Cálculo do campo refletido pela cavidade
Sinal PDH● Cálculo da intensidade de luz refletida
termos 0ᘯ
termos 1ᘯ
termos 2ᘯ
● Outros termos de 1ᘯ poderiam ser gerados por interferência entre J1 e J2 , mas são muito menores
Sinal PDH● Extração da componente 1ᘯ com o mixer
● O mixer introduz uma fase ajustável 𝜃. Com 𝜃= π/2 obtém-se o sinal de erro mais pronunciado
Sinal PDH
● O mixer introduz uma fase ajustável 𝜃. Com 𝜃= π/2 obtém-se o sinal de erro mais pronunciado
Sinal PDH - Análise
● Sabendo que (com J1=J-1) , como se maximiza o sinal?
Sinal PDH - Análise
● J0J1 tem máximo em
● Só escolher esse valor para ter o maior sinal de PDH com essa função de modulação.
Sinal PDH - Análise
● Porém, o que aconteceria ao se escolher uma função diferente ? Seria possível aumentar ainda mais o sinal?
● Como devem ser escolhidos os coeficientes da série? Existem infinitas combinações possíveis…
● Essa é uma pergunta para o cálculo de variações
Em busca da função otimizada
Reduzindo o problema
● Analisando as seguintes integrais, é possível eliminar os termos cossenoidais, pois eles no fim não mudam o módulo do valor obtido, só tornam Ak complexos. Essa fase gerada pelos cossenos pode ser corrigida pelos mixers.
Impondo Ak reaisFunção periódica pode ser qualquer soma de senos
Reduzindo o problema
Impondo Ak reais Integral mais simples
Reduzindo o problema
● Observando que as duas sidebands têm que ter intensidades iguais para que se obtenha um sinal de erro máximo, podemos nos restringir às soluções Ak= -A-k (k ímpar)
Termos pares diminuem o módulo de Ak em detrimento do de A-k e vice-versa
● Procuraremos a soma de senos ímpares que maximiza o sinal!
Cálculo de variações● Área que estuda problemas de maximização/minimização de funcionais do
seguinte tipo:
● Pode conter mais funções, de mais variáveis, e mais derivadas dessas funções. Ou também, diversos outros problemas parecidos que envolvam calcular essas integrais dependentes de funções.
● Solução para esse problema: Equação de Euler-Lagrange. Atenção, derivadas em relação a funções
Cálculo de variações - Usos● Mecânica Lagrangiana
● Princípio de Fermat
● Problemas de engenharia
Problema posto● Preciso maximizar A0A1 e minimizar A0A-1 simultaneamente. Para não precisar
utilizar multiplicadores de Lagrange, pode-se maximizar
● Esse funcional é um produto de 4 funcionais, mas só depende de uma função. É de um tipo muito especial chamado funcional produto.
Funcionais produto● Produto mais simples
● Equação equivalente de Euler-Lagrange
● Como a regra do produto do cálculo normal
Resolvendo o problema
● Equação de Euler-Lagrange, já simplificando um pouco
Resolvendo o problema
Usando A1=-A-1 :
Resolvendo o problema
● Equação final, a ser resolvida numericamente
● Equação funcional transcendental, dependendo de ø(t) dos dois lados
Solução numérica
Solução numérica
Resultado
● Mudou alguma coisa? Quase nada.
● Aumento de sinal seria de 0.6%
DiscussãoResultado desejável
Resultadorealizável
Discussão● Qual a diferença entre um shift de frequência (assimétrico) e a criação de sidebands
simétricos?
Discussão● Qual a diferença entre um shift de frequência e a criação de sidebands simétricos?
Dente de serra
Seno simples (funções de Bessel)
Discussão● Qual a diferença entre um shift de frequência e a criação de sidebands simétricos?
● Shift : coeficientes diminuem com 1/n● Solução otimizada : coeficientes diminuem com 1/n5
● Problema comum em se fazer shifts de frequência é com a capacidade limitada de um gerador de funções gerar altos harmônicos
Conclusão
Apontamentos finais● A melhora do sinal com a função de otimização nova
seria muito pequena (0,6%).
● Os termos da série de Fourier decrescem muito rapidamente, por isso a solução só com o primeiro termo já é suficiente. Isso não é sempre o caso (exemplo: shifts de frequência).
● Minimização via funcionais provavelmente pode ser aplicada a diversos problemas de modulação de fase para entender os comportamentos dela sobre as frequências da onda modulada.
● Cálculo variacional como uma ferramenta às vezes esquecida, acessível e poderosa
Obrigado!
Extra : Shot noise limit
● A função que otimiza a modulação piora o limite em que se consegue resolver o tamanho da cavidade ou a frequência do laser. A quantidade S acaba aumentando em 0,4% por conta da diminuição de intensidade da frequência central. Quanto menor a intensidade, maior o peso das flutuações estatísticas do campo eletromagnético
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