“a física moderna no ensino secundário: a teoria da...

Acção de Formação de Professores

“A Física Moderna no “A Física Moderna no Ensino Secundário:

A Teoria da Relatividade”7 de Julho de 20087 de Julho de 2008

Paulo CrawfordDepartamento de Física da FCUL

Centro de Astronomia e Astrofísica da UL

1

Resumo:

• A equivalência entre massa e energia • A equivalência entre massa e energia (a energia tem inércia)Po t l do d RR• Postulados da RR

• Simultaneidade de acontecimentos distantes

• Dilatação do tempo e contracção do ç p çespaço: duas faces da mesma moeda

• O Princípio da Equivalência e a O Princípio da Equivalência e a génese da Relatividade Geral. 2

1905: Einstein “annus mirabilis”

• Publica 4 artigos no Annalen der Physik e termina uma tese de doutoramentotermina uma tese de doutoramento

1. 17 de Março: HIPÓTESE DO QUANTUM DE LUZ (publicado a 9 de Junho)

2. 30 de Abril: DISSERTAÇÃO DE DOUTORAMENTO (publicada em 1906)

3. 11 de Maio: MOVIMENTO BROWNIANO (publicado a 18 de Julho)

4. 30 de Junho:RELATIVIDADE RESTRITA (publicado em 26 de Setembro)

5. 27 de Setembro: EQUIVALÊNCIA MASSA-ENERGIA(Novembro 21)

3

(Novembro 21)2mcE =

A Energia tem InérciaA Energia tem Inércia• Um porção minúscula de massa equivale a uma

quantidade enorme de energia: 1g de matéria quantidade enorme de energia: 1g de matéria pode servir para alimentar uma cidade inteira durante alguns dias. U i i • Um corpo em movimento tem mais massa.

• À medida que a velocidade tende para c a energia tende para infinito: um electrão às voltas no LEP tende para infinito: um electrão às voltas no LEP (Large Electon Positron collider) pesa cerca de 200 000 vezes mais.

• A velocidade da luz c é uma barreira inantingível.

2 m4

2*cmE = 22 /1*

cvmm

−=

Teorias de princípiop p

• A abordagem de Einstein em todos estes artigos tinha algo em comum: como ele explicou mais tarde, os seus trabalhos inseriam-se nas ,chamadas “teorias de princípio” – semelhança com a Termodinâmica.

i d li õ i d d• Partia de generalizações apoiadas numa grande profusão de evidências experimentais, mesmo quando tais generalizações pareciam ser contraditórias Deduzia então as consequências contraditórias. Deduzia então as consequências dessas generalizações, pondo em destaque nesse processo várias noções que identificava como preconceitos a eliminar (ex: conceito de

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como preconceitos a eliminar (ex: conceito de simultaneidade).

Contribuições científicas mais importantes ...

6

Memórias de Einstein ...Memórias de Einstein ...

O i l é l• O que aconteceria se alguém cavalgasse um raio luminoso?... S i d i • Seria capaz de ver a sua imagem num espelho à sua frente?

• Qual é a velocidade da luz? Tomada em • Qual é a velocidade da luz? Tomada em relação a alguma coisa, esse valor não seria o mesmo em relação a outra coisa seria o mesmo em relação a outra coisa também em movimento?(Conversa com o psicólogo Max Wertheimer em 1916)

7

Ideia do princípio da relatividade

• “Após 10 anos de reflexão, um tal princípio p , p presultou de um paradoxo com que me defrontava desde os 16 anos: se persigo um raio luminoso com velocidade c (vel. um raio luminoso com velocidade c (vel. da luz no vácuo), deverei observar este feixe de luz como um campo e.m. em repouso embora oscilando no espaço repouso, embora oscilando no espaço.

• Desde o princípio que me parecia intuitiva-t l d d t l mente claro que, de acordo com tal

observador, tudo deveria comportar-se segundo as leis de um observador em

l ã à T ”8

repouso em relação à Terra.”

Princípio da Relatividade

• [Em 1905] Dois POSTULADOS (ou Princípios, tal como na Termodinâmica):na Termodinâmica):

(1) Os observadores inerciais são equivalentes na descrição dos fenómenos físicos e as leis formalmentedescrição dos fenómenos físicos, e as leis formalmente invariantes.

(2) A velocidade da luz é constante e independente da(2) A velocidade da luz é constante e independente da velocidade relativa entre a fonte e o observador.

T f õ d L t t R I i i• Transformações de Lorentz entre R. Inerciais

• [Em 1907] Será possível estender a relatividade

9

[Em 1907] Será possível estender a relatividade do movimento aos observadores acelerados?

Teoria da Relatividade

• 1905 Relatividade RestritaReconciliar a relatividade do movimento com a teoria do electromagnética de James Clerk Maxwell (1831-1879).

• 1915 Relatividade GeralReconciliar a teoria da gravidade com os gprincípios da RR e estender a relatividade de modo a incluir todos os observadores.

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Teoria do espaço-tempo

P i í i d R l ti id d I iâ i d • Princípio da Relatividade e Invariância da velocidade da luz no vácuo.Espaço e tempo relativos • Espaço e tempo relativos (Albert Einstein – 1905)

• Espaço e tempo interligados • Espaço e tempo interligados (Herman Minkowski – 1908)

• Espaço-tempo (Riemanniano) curvo –• Espaço-tempo (Riemanniano) curvo –(Einstein-Grossmann 1912-13)

• A teoria da Relatividade é a teoria do

11

• A teoria da Relatividade é a teoria do espaço-tempo.

Tempo em Galileu e Newton

• Dois acontecimentos são simultâneos se

ttttt =⇒=−=Δ 0

Esta é uma verdade Universal – a

ABAB ttttt =⇒==Δ 0

simultaneidade é um conceito absoluto.• Existe uma ordem temporal universal:• Existe uma ordem temporal universal:

se ttttt >⇒>−=Δ 012

se ABAB ttttt >⇒>=Δ 0

Tempo Relativo

• Dois acontecimentos simultâneos no referencial S

ttttt ===Δ 0• Não são simultâneos em S’

ABAB ttttt ==−=Δ ,0

AB tt '' ≠• Podem ter ordem temporal absoluta ou

não:

130>−=Δ AB ttt ABAB tttt '''' <∨>

Transformações de Lorentz

'' vxt +

22

2 '',' vtxxc

tt +

=+

=Espaço e tempo relativos

2

2

2

2

11cv

cv

−−relativos

1','2

2

2−Δ=Δ

Δ=Δ

vxxtt Dilatação do tempo

12

2

2

−c

cv tempo

Contracção dos comprimentos

14)0'()0'( =Δ=Δ tx

comprimentos

Espaço-tempo a 2D

))(/()/( ctcvxxcvct −−2222 /1))(/(',

/1)/('

cvctcvxx

cvxcvctct

−=

−=

/1/1 cvcvIntervalo invariante do Universo

2222222 '' xtcxtcs Δ+Δ−=Δ+Δ−=Δ

⎪⎨

⎧<>

Δ 00

2sPar espacial

Par temporal 22222 cxtc τΔΔΔ

2222 lΔ=Δ+Δ− AA xtc

15⎪⎩

⎨=<=Δ

00s

Par nulo ou tipo luz

Par temporal AAA cxtc τΔ=Δ−Δ

Acontecimentos=pontosno espaço tempono espaço-tempo

ct x=ct

fotãofotão

C(ct x)

A(ct,x) B(ct,x)x=-ct

C(ct,x)

x>ctx<ct

0222 >Δ+Δ− xtcxO(0,0)

0>Δ+Δ− BB xtc

16

( , )

0222 <Δ+Δ− AA xtc

Diagramas no espaço-tempo

ct

Linhas do Universo ouUniverso ou trajectórias no espaço-tempo

x

17

Causalidade e cones de luz

18

Cones de luz …

19

Vectores temporais hipersuperfícies espaciaishipersuperfícies espaciais

Eixos temporais no interior do cone de luz

Direcções espaciais no exterior

20

Geometria hiperbólicaGeometria hiperbólica

vxt −21

'v

vxtt−

=

A21 vt −Δ=Δ τ

A

Invariante que dá “di tâ i ”

222 xts Δ+Δ−=Δ

a “distância” no espaço-tempo

21)( 22222 zyxts Δ+Δ+Δ+Δ−=Δ

Par espacial de acontecimentos

22A simultaneidade é relativa!A simultaneidade é relativa!

Relógios de luz de Einstein - 1

d=ct´ ct ct´

vt

222222222 ' tctvtctvd =+=+22

22 1')1(' vttvtt23

2222 1'),1('

ctt

ctt −=−=

Relógios de luz de Einstein -2

1ns1ns--luz=30cmluz=30cm1ns1ns luz 30cmluz 30cm

90cm=3ns90cm=3ns--luzluztiquetique

150cm=5ns150cm=5ns--luzluz

v=0.8cv=0.8c

vx5ns=4nsvx5ns=4ns--luzluz

120cm=4ns120cm=4ns--luzluz

24222 345 +=

Raios Cósmicos

νμπνμπ +→+→ ++−−

μμ

μμ

ννμννμ

νμπνμπ

++→++→

+→+→++−−

ee ee μμ

JeveVGeVE 106.11),102(2 199 ×=×= −

skmcv /41829999875.0 ==

t 'Δ stscv

tt μ2.2',104.4)/(1

' 5

2=Δ×=

−

Δ=Δ −

25

cv )/(1

Paradoxo dos Gémeos

O gémeo que vai e volta com O gémeo que vai e volta com velocidade constante, quando chega constata que o gémeo que ficou na Terra está mais velho podendo estar Terra está mais velho, podendo estar muito mais velho, se a velocidade com que é feita a viagem for suficientemente próxima da velocidade da luz.

τ=5 anos, t=6,25 anos (v=0,6 c) ou t=28,98 anos (v=0,985 c)

26

“Paradoxo” dos gémeos no espaço-tempoespaço tempo

ChegadaC

RegressoΔt Δt´

Regresso

R'Δt

P

)1(1

'2

=−

Δ=Δ c

vtt

27Partida

P

Análise dos gémeos no espaço-tempoespaço tempo

ct

ChegadaCA e R, acontecimentos simultâneos para gémeo viajante na ida.

Δτ

B

gémeo viajante na ida.

B e R, acontecimentos simultâneos para gémeo

RegressoR

ΔtA Δτ

viajante na volta.

P

)1(1 2

=−

Δ=Δ c

vt τ

Δτ x’

28Partida x

Paradoxo dos gémeos

29

Taquiões

t ΔΔ 1 tvuxvtt Δ−

=Δ−Δ

=Δ1'

vv −− 22 11

1' >Δ<Δ vusett 1, >Δ<Δ vusettNeste caso o taquião pode chegar

30

Neste caso, o taquião pode chegar antes de partir !

Percurso histórico-científico da construção de uma teoriaconstrução de uma teoria

• A Génese da RG é como um drama clássico em 3 actos:

• i) Primeiro acto (1907), Einstein adopta o Princípio da Equivalência (PE), i.e., todos os corpos caiem com a q ( ), , pmesma aceleração num campo gravítico, como critério de construção da teoria; (“The happiest thought of my life”);

• ii) Segundo acto (1912), conclui que qualquer generalização escalar da teoria de Newton não seria adequada pois violava o PE. Admite então a necessidade de passar do espaço tempo plano de Minkowski para um de passar do espaço-tempo plano de Minkowski, para um espaço-tempo curvo, recorrendo ao campo tensorial métrico:

βαddd 2

31

βααβ dxdxgds =2

Génese ... 3º Acto

• iii) Terceiro acto (1915): após estar vários anos con encido q e as eq ações do campo g a ítico convencido que as equações do campo gravítico não podiam ser geralmente covariantes, adopta finalmente um conjunto de equações (praticamente único) de equações de campo geralmente covariantes para o tensor métrico:

ababab TGRgR π821 =−

e mostra que a solução esfericamente simétrica destas equações explica a anomalia da

32precessão da órbita de Mercúrio.

Einstein a Georg Jaffe, 1954

• “Você considera a criação da RR como o pensamento mais essencial da elati idade e não pensamento mais essencial da relatividade, e não a transição para a RG: eu considero exactamente o inverso. Vejo que a coisa mais essencial é a superação dos sistemas inerciais, a coisa que actua sobre todos os processos mas não sofre qualquer reacção”.qualquer reacção .

• “Os físicos contemporâneos não entendem que é d duma tentativa desesperada começar com uma

teoria baseada num espaço rígido (plano) e mais tarde tentar torná-lo curvo e, portanto, compatível

33

, p , pcom a RG”.

Dificuldades conceptuaisp

• Principal dificuldade: ver que, ao contrário de todas as outras forças, a gravidade tem uma relação especial com a inércia uma relação especial com a inércia.

• Gravitação e inércia são “wesensgleich”, ç g ,essencialmente o mesmo. Logo, a classe de referenciais inerciais globais da RR já não pode ter o mesmo papel privilegiado na pode ter o mesmo papel privilegiado na teoria da gravitação.

34

O Princípio da EquivalênciaO Princípio da Equivalência

• 1907: Einstein tenta construir uma teoria relativisticamente invariante da gravitação – mas conclui que viola o Princípio da Equivalência, i.e., q p q , ,todos os corpos caiem com a mesma aceleração num campo gravítico! “The happiest thought ofmy life” my life .

• 1912: as generalizações escalares da teoria de Newton não são adequadas. Decide que deve recorrer a um espaço-tempo curvo para descrever o campo gravítico

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o campo gravítico.

O PE tem uma aplicação local

36

Consequências do PEq

1) encurvamento dos raios luminosos...

2) O atraso dos relógios ) gou “redshift” gravitacional

37

Eclipse de 29 de Maio de 1919

38

História da deflexão da luz

• Reverendo John Michell (1783): Qual o tamanho q e de e ia te m co po com tamanho que deveria ter um corpo com a densidade do Sol de modo que a luz emitida por esse corpo fosse retida pela p p pgravidade e arrastada para trás antes de atingir o infinito?

• A resposta que obteve foi: 500 vezes o diâmetro do Sol. A luz nunca poderia diâmetro do Sol. A luz nunca poderia escapar de um tal corpo. Quinze anos mais tarde P. Laplace faz uma estimativa idê ti

39

idêntica.

Encurvamento da luz num BN

• A trajectória depende do parâmetro de parâmetro de impacto.

• A luz pode ficar • A luz pode ficar presa em torno do BNBN

• Existe uma órbita luminosa instável em

40R=3M=3/2 RS

Johann Georg von Soldner (1776-1833)(1776 1833)

• Faz uma pergunta semelhante: “poderá a gravidade encurvar a luz?” (cerca de 100 anos antes de Einstein)100 anos antes de Einstein).

• Em 1801 é assistente do astrónomo • Em 1801 é assistente do astrónomo Johann Bode no Observatório de Berlim. Soldner determinou qual seria o Soldner determinou qual seria o encurvamento para um raio rasando a superfície do Sol e obteve: 0,875

41segundos de arco (publicado em 1803).

Efeito da gravidade sobre a luz

• Einstein (1907) percebe que se o PE tem um efeito sobre a frequência da luz, redq ,shift gravitacional, deve dar origem também a uma alteração da trajectória da luz da luz.

• Em 1911, determina para a luz rasando a superfície do Sol uma deflexão de 0,875”. p ,E sugere que se procure observar durante um eclipse total do Sol. ErwinFreundlich procura organizar a expedição

42

Freundlich procura organizar a expedição.

Como o PE implica deflexão ...

• Dois laboratórios (2 observadores) transparentes, com faces paralelas. Para os observadores em

43

com faces paralelas. Para os observadores em queda livre a luz viaja em linha recta!!

2 laboratórios - 4 situações

• a) Lab1 atingiu o topo, está em repouso, e Lab2 está i d bi d i l iainda a subir quando um raio luminoso.

• b) Como Lab1 está em queda livre, a luz propaga-se em linha recta, e sai segundo o mesmo ângulo com em linha recta, e sai segundo o mesmo ângulo com que entrou. Nesse momento o Lab2 atinge o topo da sua trajectória ascendente.) A l t L b2 L b1 tá i • c) A luz entra no Lab2, mas como o Lab1 está a cair

em relação ao Lab2, o ângulo de entrada no Lab2 está mais inclinado para baixo do que no Lab1. p q

• d) A luz move-se em linha recta no Lab2 que está em queda livre. Ao comparar a direcção inicial da luz que entrou no Lab1 e a da luz que sai no Lab2 vemos entrou no Lab1 e a da luz que sai no Lab2, vemos que há um ângulo de 0,875’’. 44

Comparação entre os dois observadores

• Os dois observadores tiram as mesmas conclusões a partir do PE e observam o mesmo fenómeno mesmo fenómeno.

• Mas quando comparam os seu dados, verificam que estão em desacordo em qrelação aos ângulos que os raios luminosos fazem com as paredes dos laboratórios. O b d 2 ê l t • O observador 2 vê a luz entrar no seu laboratório vindo de um outro que está em queda em relação a ele. A aberração da luz

45

queda em relação a ele. A aberração da luz faz com esta seja deflectida para baixo.

PE + Curvatura ...

U d t i d id d d • Usando a teoria da gravidade de Newton combinada com a teria

l d l d PE corpuscular da luz ou usando o PE somos conduzidos ao mesmo

lt d 0 875”resultado: 0.875”

• Mas em Novembro de 1915, Einstein duplicou a sua previsão: a

46deflexão deveria ser 1,75”.

Encurvamento da LuzA A'

BB

B''

B'0.''875

0.''875Sol

Linha AA’: linha recta longe do SolgLinha BB’: a linha “mais recta” rasando o Sol. Linha BB”: direcção do raio luminoso, deflectido em relação à linha “mais recta”

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deflectido em relação à linha mais recta BB’, de 0.875 segundos de arco.

Como explicar o efeito da curvatura

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

O

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xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Os ângulos internos

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xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

A' B'

Os â gu os e osdo triângulo A’B’O somam 180º.

Mas no triângulo

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Mas no triângulo

ABO somam 179º, 59’ e 59,125’’, isto é 180º − 0.875’’.

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

A B

180 0.875 .

48Sol

PE - Curvatura ...

• Qualquer teoria da gravitação compatível PE ê i i 0 875’’ A com o PE prevê os primeiros 0,875’’. A

segunda parte vem da curvatura. Logo, a teoria de Newton só prevê metade teoria de Newton só prevê metade. Outras teorias prevêm menos curvatura. De modo que este teste permite escolher e odo que este teste pe te esco ea boa teoria da Gravitação.

• O valor de 1,75’’ já era acessível às , jobservações em 1915.

• Cerca de três anos depois, Sir Arthur

49Eddington vai realizar essa proeza.

A “CAIXA” do Timesde 7 de Novembro 1919de 7 de Novembro, 1919

“Revolução na Ciência/ Nova Teoria do Universo/ As Ideias de Newton foram Destronadas”.

Nascia um novo mundo onde os velhos valores do espaço e do tempo absolutos estavam perdidos para sempre. Para alguns, da devastação da Grande Guerra emergia um mundo onde os padrões absolutos, na moralidade ou na filosofia, música ou arte davam lugar a outros. N i d Hi ó i d úl i é l hi i d Numa retrospectiva da História de último século, o historiador britânico Paulo Johnson defendia que a “era moderna”, teria começado não em 1900, nem em Agosto de 1914, mas com o eclipse de 1919

50

eclipse de 1919.

Estrutura Causal

O comportamento dos cones de luz dá

51

O comportamento dos cones de luz dá uma informação essencial sobre o campo gravítico.

Os cones de luz fecham ...

52

O tempo é mais curto … no BNp

53

Tempo próprio no infinito

54

Duas Versões do Colapso

D

Akm

A

B

horizonte

55T ms

Bibliografia

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• Paulo Crawford “O Significado da Relatividade no

56

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(Ano Internacional da Física)• http://lorentz.phl.jhu.edu/AnnusMirabilis/• http://www.albert-einstein.org/

(Einstein Archives)57

(Einstein Archives)