9º encontro português de computação gráfica joão m. r. s...

DETERMINAÇÃO DA CORRESPONDÊNCIA ENTRE OBJECTOS UTILIZANDO MODELAÇÃO FÍSICA

João M. R. S. Tavares, J. Barbosa, A. Jorge Padilha

FEUP - Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

INEB - Instituto de Engenharia Biomédica

9º Encontro Português de Computação Gráfica16-19 de Fevereiro de 2000

Marinha Grande

J. Tavares, J. Barbosa, A. Padilha Det. da Correspondência entre Objectos Utilizando Modelação Física 2

I - IntroduçãoNesta comunicação é apresentada uma utilização do Método dos Elementos Finitos e da Análise Modal na determinação da correspondência entre objectos, rígidos e não rígidos, em Visão por Computador.

Com a utilização apresentada é possível, não só, determinar as correspondências entre duas imagens distintas, em 2D ou em 3D, mas também estimar os deslocamentos nodais e calcular a energia de deformação.

Esta energia de deformação pode ser utilizada na determinação da similaridade existente entre objectos.

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II - Fases da ApresentaçãoEsta apresentação será dividida nas etapas seguintes:

1) Introdução ao Método dos Elementos Finitos e à Análise Modal;

2) Descrição da metodologia adoptada para o estabelecimento das correspondências, para a tradução da similaridade entre objectose para a estimativa dos deslocamentos dos nodos cuja correspondência não tenha sido estabelecida com sucesso.

3) Apresentação dos modelos considerados para os objectos e suas construções.

4) Verificação de alguns resultados experimentais obtidos para modelos 2D e 3D.

5) Apresentação de algumas conclusões e perspectivas de desenvolvimentos futuros.

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III - O Método dos Elementos FinitosO Método dos Elementos Finitos considera o sistema global como equivalente a um agrupamento de elementos finitos no qual cada um destes é uma estrutura contínua mais simples. Impondo que em certos pontos, comuns a vários elementos e designados por nodos ou nós, os deslocamentos sejam compatíveis e as forças internas estejam em equilíbrio, o sistema de elementos finitos reage como uma única entidade e de forma similar ao sistema real.

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III - O Método dos Elementos FinitosA vantagem do método é que a equação de movimento para o sistema global pode ser obtida pelo agrupamento das equações determinadas individualmente para cada elemento finito utilizado na modelização. O movimento em qualquer ponto no interior de cada um destes elementos é obtido por intermédio de interpolação sendo, geralmente, as funções de interpolação polinómios de grau reduzido e iguais para elementos do mesmo tipo.

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IV - Análise ModalCom a Análise Modal é possível determinar os emparelhamentos entre pontos de dois objectos através da análise dos deslocamentos de cada ponto no respectivo espaço modal: Pontos com deslocamentos semelhantes são considerados como potencialmente candidatos ao emparelhamento.

Matrizes descritivasdo objecto

Objecto t

Objecto t+1

Modelizaçãodo objecto

Decomposição em valores/vectores próprios

Correcção de sinal e

determinação da correspondência

entre pontos

pontos Modos de vibração

Matriz de associação

Decomposição em valores/vectores próprios

Modelizaçãodo objecto

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V - Determinação das Correspondências

A metodologia adoptada para a determinação das correspondências consiste na utilização da Análise Modal com o Método dos Elementos Finitos:

1) Construir um modelo de elementos finitos para cada um dos objectos a emparelhar;

2) Determinar os modos de vibração de cada um dos modelos (a partir das matrizes de massa e de rigidez);

3) Determinar as correspondências pela análise dos deslocamentos dos nodos de cada modelo no respectivo espaço modal.

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[ ]{ } [ ]{ } { }M U K U R+ =�� �

determinação das matrizes de massae de rigidez para o modelo finito

Determinação dos modos próprios de vibração

Construção do modelo físico

Entrada: dados considerados como nodos de um elemento finito

[ ]{ } [ ]{ }2

ii iK Mf w f= resolução do problema de

valores/vectores próprios generalizado

[ ]{ } [ ]{ } { }M U K U R+ =�� �

determinação das matrizes de massae de rigidez para o modelo finito

[ ]{ } [ ]{ }2

ii iK Mf w f= resolução do problema de

valores/vectores próprios generalizado

Saída: correspondência entre dados

Emparelhar os modos { }if não rigidos de baixa ordem de

ambas as formas

Utilizar os modos { }if emparelhados como sistema de

coordenadas

V - Determinação das Correspondências

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VI - Energia de Deformação e Estimativa dos DeslocamentosComo para cada objecto, utilizando-se o Método dos Elementos Finitos, é definido um modelo físico, torna-se possível determinar, em função do material considerado na modelização, a energia de deformação necessária para deformar um objecto até coincidir com o outro.Esta energia de deformação pode ser utilizada para medir a similaridade entre objectos.Utilizando-se o método dos mínimos quadrados, de forma a minimizar a energia de deformação necessária para alinhar dois modelos, é possível estimar os deslocamentos dos nodos cuja correspondência não tenha sido estabelecida com sucesso.

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VII - Modelos Considerados� Nas modelizações de objectos 2D os seus pontos são

determinados utilizando-se técnicas standard em análise e processamento de imagens.

� Para a construção dos modelos 3D, a partir de imagens 2D, utiliza-se a intensidade de brilho dos pontos que constituem os objectos na imagem original como a sua terceira coordenada. Os passos para construir-se uma superfície de intensidade são:� Remoção do ruído presente na imagem e suavização da

mesma através de um filtro Gaussiano;� Amostragem do objecto presente na imagem, seguida de

uma triangulação 2D de Delaunay considerando a intensidade como a terceira coordenada de cada ponto;

� Simplificação e suavização da malha poligonal resultante.

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VII - Modelos Considerados

� Estando as superfícies construídas pode-se extrair isocontornos e determinar a correspondência entre elementos deste tipo de uma mesma superfície e de superfícies diferentes.

Imagem Original Imagem após Remoção do Ruído e Suavização.

Objecto AmostradoSuperfície Resultante após Triangulação,

Simplificação e Suavização.

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VIII - Resultados Experimentais

A metodologia apresentada foi implementada em Visual C++para plataformas Microsoft Windows.

Além de imagens do tipo Bitmap é possível utilizar objectos e ferramentas normalmente associados a aplicações de computação gráfica através da incorporação no nosso sistema da biblioteca VTK (Visualization Toolkit).

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VIII - Resultados Experimentais

� Exemplos de resultados experimentais obtidos:

Valor da energia de deformação: 17.6

Contorno t Contorno t+1 Contornos t e t+1 Emparelhamento obtidos com os contornos amostrados

…após a aplicação da transformação rígida

…após a aplicação dos deslocamentos nodais estimados

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Valor da energia de deformação: 1.4

Contorno t Contorno t+1

Contornos t e t+1

Emparelhamento obtidos com os contorno amostrados

VIII - Resultados Experimentais

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VIII - Resultados Experimentais� Entre Superfícies:

Correspondências Obtidas:

Imagem Original 1 Imagem Original 2

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VIII - Resultados Experimentais� Entre Isocontornos: Imagem Original Superfície

Correspondências Obtidas:

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IX - Conclusões e Perspectivas de Desenvolvimentos FuturosNesta apresentação foi descrita uma metodologia para a determinação da correspondência entre objectos em Visão por Computador. Na referida metodologia é utilizada a Análise Modal e uma modelização física dos objectos por intermédio do Método dos Elementos Finitos.

Determinando-se a energia de deformação do modelo físico é possível medir-se a similaridade entre objectos e, por minimização desta energia, estimar os deslocamentos nodais.

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IX - Conclusões e Perspectivas de Desenvolvimentos FuturosCom a consideração do nível de intensidade como a terceira coordenada de cada ponto do objecto, os problemas associados à divisão/fusão dos objectos presentes em alguns tipos de sequências de imagens 2D, ficam solucionados de forma aceitável e consistente com o material adoptado.

Actualmente está a ser implementada uma versão paralela da metodologia apresentada, em ambiente Windows PVM,sendo os resultados já obtidos bastante encorajadores no que respeita ao aumento da velocidade de processamento.