2-apostila geometria plana-Áreas (6 páginas, 32 questões)
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ÁREAS E MEDIDAS DE SUPERFÍCIES
1 . Área do Retângulo A área de uma região retangular cuja
base (comprimento) é b e cuja altura (largu-
ra) é h é dada por bh unidades de área, ou
seja:
A = bh
Observações: Tem lados opostos com medidas iguais e
paralelos; Todos ângulos internos são retos (medida
de 90°);
Teorema de Pitágoras: d2 = b2 + h2.
2 . Área do Quadrado O quadrado é um caso particular de um
retângulo, logo a área de uma região quadra-
da, cujo lado mede unidades de compri-
mento, é igual a . = 2 unidades de área,
ou seja:
A = . = 2
Observações: Todos os lados têm medidas iguais e os la-
dos opostos paralelos;
Todos os ângulos internos são retos (medi-
da de 90°);
Teorema de Pitágoras: d2 = 2 + 2
d2 = 2 2 d = 2 ;
É um caso particular de losango e retângu-
lo;
Perímetro: P = + + + P = 4
3 . Área do Paralelogramo A área da região limitada por um para-
lelogramo é encontrada multiplicando-se a sua
base b (comprimento) pela sua altura h (lar-
gura), ou seja:
A = bh
Observações: Tem lados opostos com medidas iguais e
paralelos;
Tem ângulos opostos com medidas iguais.
4 . Área do Losango A área da região limitada por um lo-
sango é igual à metade do produto das medi-
das das diagonais:
A =
2
d D
;sendo D – diagonal maior e d – diagonal menor.
Observações: Todos os lados têm medidas iguais e os la-
dos opostos paralelos; Tem ângulos opostos com medidas iguais;
As diagonais são perpendiculares;
Perímetro: P = + + + P = 4
5 . Área do Trapézio A área da região limitada por um trapé-
zio é igual à metade do produto da altura h pela soma das bases maior e menor B + b:
B
b
h
A = 2
h b) (B
; sendo
B - base maior,
b - base menor, h - altura.
PROF. GILBERTO SANTOS JR
GEOMETRIA PLANA
D
d
2
B
b
h
b
a
C
60° 60°
60°
h
b
Observações: Num trapézio as bases são paralelas;
Trapézio reto-retângulo: um dos lados coincide com a altura:
6 . Área do Triângulo A área limitada por triângulo pode ser
calculada de diferentes modos, dependendo
dos elementos conhecidos. Veja alguns:
6.1 Conhecidos um lado (base) b e a altu-
ra correspondente h: A área da região triangular é igual à
metade do produto da base b pela altura h, ou
seja,
A = 2
bh
6.2 Conhecidos dois lados a e b e o ângu-lo Ĉ formado por eles:
Estudamos em Trigonometria que a área
da região triangular é dada por,
A =
2
1.a.b.sen C
6.3 Conhecidos os três lados a, b e c: A área da região triangular pode ser
calculada pela fórmula de Heron; sendo o
semiperímetro P = 2
c b a , temos:
A = c) - b)(p - a)(p - p.(p
7 . Área do Triângulo
Isósceles
A = 2
bh
Observações: Dois lados têm medidas iguais;
Os ângulos da base têm medidas iguais;
Perímetro: P = + + b; A altura é também mediana e bissetriz:
8 . Área do Triângulo Equilátero
A = 4
32
Observações: Todos os lados têm medidas iguais;
Todos os ângulos internos têm medidas iguais;
Perímetro: P = + + P = 3 ; O triângulo equilátero também é triângulo
Isósceles, portanto, a altura é também
mediana e bissetriz.
h
b
b
a
c
h
h
altura mediana
bissetriz
altura,mediana ebissetriz
triângulo Isóscelestriângulo qualquer
triângulo qualquer triângulo qualquer
3
60°
60°
60°
30°
10 cm 10 cm
9 . Área do Hexágono Regular O hexágono regular é um polígono es-
pecial, pois é formado por seis triângulos equi-
láteros. Sendo o lado do triângulo equiláte-
ro, então a área do hexágono regular será
igual a:
AH = 6 . AT.E. = 6 .
4
32 =
2
33 2
Observações: Como em todo polígono regular os lados e
ângulos internos tem medidas iguais;
Perímetro: P = + + + + +
P = 6 .
10 . Área de Um Polígono Regular
Qualquer Observe o pentágono abaixo, que é um
exemplos de polígono regular. Se o polígono
regular tem n lados, a região limitada por ele pode ser decomposta em n regiões limitadas
por triângulos isósceles. Em cada um desses
triângulos, a base é o lado e a altura é o
apótema a do polígono regular. A área da re-
gião limitada por um polígono regular de n
lados pode então ser escrita assim:
aa
apótema
AH = n.
2
a ou A =
2
n. a ou A =
2
p.a
em que: : lado;
a: apótema;
n : perímetro;
p: perímetro.
11 . Área do Círculo
A = 2R
Observação: Comprimento do círculo é de medida
2πR.
12 . Área do Setor Circular A parte pintada da figura é conhecida como setor circular de um círculo de raio R.
Todo setor circular tem um arco correspon-
dente e um ângulo .
R
Lembrando que o círculo todo tem
comprimento de arco 2πR e como área πR2,
podemos determinar o arco ℓ e a área do setor
circular As utilizando regras de três:
Conhecido o arco :
s
2
A-
-R 2 R
As = R2
R2
As =
2
R
Conhecido , em grau:
s
2
A -
- 360 R
As = 360
R2
Conhecido , em radianos:
s
2
A -
- 2 R
As =
2
R2
As = 2
R2
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Qual é a área da região triangular limitada pelo tri-
ângulo cujos medidas estão indicadas na figura abaixo?
2) Um terreno tem a forma de um trapézio de bases 20 m e 14 m, e altura 11 m. Nesse
terreno, construiu-se uma piscina retangular
de 8 m por 5 m. No restante do terreno foram colocadas pedras mineiras. Qual foi a área
onde se colocou pedra?
3) Na figura abaixo DM = MN = NC . Calcule
a área da região colorida dessa figura.
R
4
12 cmA B
D M N C
5 cm
4) O Perímetro de um triângulo equilátero é 30 cm. Calcule a área desse triângulo.
5) De uma placa de alumínio foi recortada uma região triangular equilátera de lado
20 cm. Qual é a área dessa região que foi recortada?
6) Qual é a área da bandeirinha abaixo, for-mado por quatro triângulos equiláteros?
2 cm
2 cm
2 cm
7) Qual é a área
de toda parte colo-rida da figura abai-
xo? Qual a área da
região não colori-
da?
8) Feito o levanta-mento de um terreno,
foram determinados
os dados indicados na
figura abaixo. Nessas
condições, qual é a área do terreno?
9) Uma placa de alumínio tem a forma de um
paralelogramo. Suas medidas estão indicadas na figura. Calcule a área dessa placa.
25 cm
40 cm
120°
10) Calcule a área da região poligonal de uma cartolina limitada por um hexágono regular de
lado 10 cm.
11) A figura abaixo mostra uma folha cir-
cular de zinco, de on-de foi recortada a re-
gião triangular equilá-
tera colorida. Calcule
a área dessa região
colorida. ( = r 3 e
a = r/2.)
r = 10 cm
12) Um piso de cerâmica tem forma hexago-nal regular. O lado do piso mede 8 cm. Qual é
a área desse piso?
13) Uma pizzaria oferece aos seus clientes pizzas grandes, de forma circular, por
R$ 5,40. Para atender alguns pedidos, a piz-zaria passará a oferecer a seus clientes pizzas
médias, também de forma circular. Qual deve-
rá ser o preço da pizza média, se os preços
das pizzas grandes e médias são proporcionais às suas as áreas? (Dados: raio da pizza gran-
de = 18 cm; raio da pizza média = 12 cm.)
14) O piso (fundo) de uma piscina circular
tem 2,80 m de diâmetro (internamente). Qual é a área do piso dessa piscina?
15) Qual é a área da
região colorida da figura abaixo?
16) Um terreno tem a forma da figura abaixo.
Na figura estão registrados alguns dados do terreno, que nos permitem calcular a sua
área. Calcule então a área desse terreno.
8 m
6 m
17) O perímetro do quadrado ABCD da
figura abaixo é 32
cm. Calcule a área
da região colorida da figura.
D C
A B
18) Calcule a área do setor circular da figura abaixo.
2 cm
2 cm
40 m 30 m
36 m
40 m
4 cm
4 cm
5
= 10 cm
r = 4 cm
O
19) Quantos cm2 de alumínio são necessá-
rios para se fazer uma arruela cujas dimen-
sões r1 = 3 cm e
r2 = 1 cm, conforme a
figura abaixo.
EXERCÍCIOS DE VESTIBULAR
20)(Unicamp-SP) Alguns jornais calculam o número de pessoas presentes em atos públi-
cos considerando que cada metro quadrado é
ocupado por 4 pessoas. Qual a estimativa do
número de pessoas presentes numa praça de 4000 m2 que tenha ficado lotada para um
comício, segundo essa avaliação?
21)(PUC-SP) Um mapa é feito em uma esca-
la de 1 cm para cada 200 km. O município onde se encontra a capital de certo Estado
está representado, nesse mapa, por um lo-
sango que tem um ângulo de 1200 e cuja dia-
gonal menor mede 0,2 cm. Determine a área desse município.
22)(UFMT) O lado, o semiperímetro e a área de um hexágono regular formam, nessa or-
dem, uma PG. Determine o apótema desse hexágono.
23)(Vunesp-SP) Certos registros históricos babilônicos indicam o uso de uma regra para o
cálculo da área do círculo equivalente á fórmu-
la (em notação atual) A = 12
2C
, em que C re-
presenta o comprimento da circunferência cor-respondente. Determine o valor de oculto
nesses registros.
24)(UEPA-2010) A larga experiência tem levado profissionais ligados às diversas áreas
de produção de conhecimento tecnológico a
escreverem manuais técnicos com a finalidade de orientar estudantes, projetistas de máqui-
nas e professores de cursos técnicos. A figura
abaixo ilustra o desenho técnico planificado de
uma peça que será produzida em escala in-dustrial.
Fonte: Elementos de máquina, Sarkis Melconian – edição atualizada e revisada, São Paulo: Érica, 2000.
Com base nessa figura, a área delimitada pelo
desenho planificado da peça é:
(a)
4
1 3r2
unidades de área.
(b)
4
4 3r2
unidades de área.
(c)
4
4
3r2
unidades de área.
25)(UEPA-2009) Preocupado com a falta de área verde em sua cidade, um prefeito
resolveu aproveitar um terreno triangular, localizado no cruzamento de duas ruas, para
construir uma praça, conforme representado
na figura abaixo:
A área da praça a ser construída, em m2, é:
(a) 250 (c) 300 (e) 500
(b) 250 3 (d) 300 3
26)(PSS-2007) Durante muito tempo, quando se precisava usar a área do círculo em
problemas de Geometria, o cálculo era feito
por aproximação. Uma dessas maneiras era usar o Método da Exaustão, que consiste em
aproximar o círculo por polígonos regulares
nele inscritos, conforme mostram as figuras a
seguir:
Supondo que os círculos acima possuam raio
de comprimento igual a 1m, qual o erro co-
metido ao aproximar a área do círculo pela
área do hexágono regular nele inscrito, con-
forme mostra a Fig. 4? Admita que p = 3,14,
Or1
r2
6
3 = 1,73 e use duas casas decimais após a
vírgula.
27)(PROSEL-2003) Uma área retangular de
2 km de largura por 3 km de comprimento foi
reflorestada por determinada espécie de árvo-
re que necessita de uma área quadrada de 4
m de lado, para sua melhor preservação. Nes-
tas condições, o número de árvore existente
na área é:
(a) 375.000 (c) 475.000 (e) 550.000
(b) 425.000 (d) 525.000
28)(UFPA-2002) Um terreno retangular, cujas dimensões são 400 m e 500 m, será usado para abrigar famílias remanejadas da
área de macrodrenagem. Pretende-se fazer
lotes de 20 m x 20 m para cada família e usar
uma área equivalente a 20% da área total
para um complexo de lazer e para circulação. Quantas famílias podem ser alocadas?
29)(UEPA-2001) Sobre uma circunferência de raio r tomamos os pontos
A, B e C (veja figura. O
arco AB mede 120° e a
corda AB mede 12 cm.
Calcule o valor de r.
30)(UFRA-2004) Em um triângulo retângu-lo, a medida da mediana relativa a hipotenusa
é 6 cm e o perímetro é 5 54 cm. Área
desse triângulo em, cm2, é
(a) 8 5 (c) 18 (e) 50
(b) 16 5 (d) 24 5
31)(UNAMA-2004, modificada) Responda
a questão tomando por base o TEXTO abaixo:
Caso o círculo acima possuísse 4 cm de diâ-
metro, a razão entre a área e o comprimento do arco correspondente ao setor circular que
representa o "Trabalho" seria:
(a) 4
1 (b)
2
1 (c) 1 (d) 4
32)(UNAMA-2007, modificada) Considere o texto a seguir para responder à questão.
O RIO AMAZONAS
O Rio Amazonas nasce no lago Lauricocha,
no Andes do Peru, possui 5.825 km de ex-
tensão e sua bacia é a mais vasta do mundo
com 5.846.100 km2. A diferença entre os
níveis mínimo e máximo de suas águas che-
ga a 10,5 m e, em alguns trechos, a distância
entre as margens mede 15 km. Em 1963,
constatou-se que a vazão do Amazonas,
num determinado trecho, é de 216.000 m3/s
de água. Nos trechos de baixo e médio cur-
so as águas correm a uma velocidade de 2,5
km/h, chegando à velocidade de 8 km/h na
parte mais estreita.
Um círculo de raio R é equivalente à bacia do
Amazonas (linha 4). Tomando = 3, o valor
de R, em quilômetros, está entre:
(a) 1.000 e 1.200 (c) 1.400 e 1.600
(b) 1.200 e 1.400 (d) 1.600 e 1.800
“A perseverança alimenta a esperança.”
Nunca deixe que lhe digam:
Que não vale a pena
Acreditar no sonho que se tem
Ou que seus planos
Nunca vão dar certo
Ou que você nunca
Vai ser alguém...
Renato Russo
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