10 cisalhamento em vigas
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Resistência do concreto armado – 10 Cisalhamento em vigas
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Analogia de treliça (Ritter-Mörsch)
s = espaçamento entre estribos
z = braço de alavanca entre as resultantes de tensão no concreto e no aço
Resistência do concreto armado – 10 Cisalhamento em vigas
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Analogia de treliça (Ritter-Mörsch)
Treliça equivalente:
banzo comprimido → concreto acima da Linha Neutrabanzo tracionado → armadura inferior AS
montante tracionado → estribos no comprimento zdiagonal comprimida → bielas de compressão no
comprimento z
Hipóteses:
treliça isostáticafissuras com inclinação de 45º (direção das tensões
principais na Linha Neutra)banzos paralelosRcc = Rst
Resistência do concreto armado – 10 Cisalhamento em vigas
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Equilíbrio no Corte aa
forças horizontais: forças verticais:
dcc st
MR = R =
zb dN cos 45º = V⋅
b dN = V 2⋅
b d dc 0
b ww
N V 2 V 2 2
A b zb z 22
⋅σ = = = ⋅ = ⋅ τ
⋅⋅ ⋅Tensão na biela:
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forças verticais: Nm = Vd
Equilíbrio no Corte bb
Tensão no estribo:
onde Asw = área dos fios de todos os n ramos de um estribo
0dm
s,90m
sw
VN
zA As
σ = =⋅
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Arranjo típico de estribos
Usual para bw < 40cm
Usual para bw ≥ 40cm
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Taxa de armadura
sww
w
Ab s sen
ρ =⋅ ⋅ α
Definindo a taxa geométrica da armadura de estribos como:
pode ser determinada a tensão na armadura como função da taxa de armadura:
Obs.: Para o caso de estribos com inclinação de α < 900 em relação ao eixo longitudinal da viga:
sww
w
Ab s
ρ =⋅
0d 0
s,90w w w
Vb z
τσ = =
ρ ⋅ ⋅ ρ 0
0w
s,90
τρ =
σ
ds,
w w
Vb z senασ =
ρ ⋅ ⋅ ⋅ α
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Utilização
Na realidade, constata-se que:
� as fissuras possuem inclinação menor do que 45o
� a treliça não é isostática
� os banzos não são paralelos
Como conseqüência, verifica-se que o modelo clássico de treliça conduz a resultados onde:
σs é maior do que o real e
σc é menor do que o real
↑(a favor da segurança)
↓ (contra a segurança)
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A NBR-6118:2003 (17.4.2.2.) permite calcular a armadura contra o cisalhamento simplesmente corrigindo o modelo da Analogia de Treliça.
Para tanto, é admiida uma certa tensão convencional de cisalha-mento τwd dada por:
a qual não pode ultrapassar a tensão de cisalhamento última τu
(para vigas com bw
< 5h e estribos verticais) de modo a garantir que não corre o esmagamento da biela de compressão:
Processo da NBR-6118
dwd
w
V
b dτ =
⋅
u
ckwd cd
f 0,27 1- f (MPa)
250
τ ≤ τ =
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A tensão no estribo pode ser reduzida de uma tensão devido a mecanismos complementares do concreto dada por:
Processo da NBR-6118
2/3c ck0,09 f (MPa)τ =
d o cs
w w
τ τ − τσ = =
ρ ρ
do
w
Vb z
τ =⋅
sendo:
a tensão no estribo fica reduzida para:
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Admitindo bielas de compressão com ângulo de 45o, o braço de alavanca entre as resultantes de tensão pode ser tomado como sendo z ~0,9d . Definindo agora:
é determinada a tensão de cisalhamento de cálculo no estribo:
Modelo de cálculo I
sw d c c c wV V V com: V b d = − = τ ×
d cd
w
V V0
0,9 b d−
τ = ≥⋅
dw
s
τ
ρ =σ
e, finalmente, a taxa geométrica de armadura por:
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Cálculo prático
a) Força Cortante Última: Vu = VRd2 = τu bwd
Vd ≤ Vu
(caso Vd > Vu ⇒ aumentar a seção, pois há esmagamento do concreto na biela comprimida)
2u
w
u
kN/ cm
b , d cm
V kN
τ →
→ →
d wd cw
ywd ywdf 0,9 fτ τ − τ
ρ = =
ydywd 2
f estribos verticaisf
43,5 kN/ cm
→≤
b) Determinação de estribos (aços CA-50 e CA-60) para Vd > Vc
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Cálculo da armadura transversal
Sendo n = número de ramos, por definição têm-se:
(área de 1 ramo de estribo por unidade de comprimento) (ver Tabela 1.4 a – Pinheiro)
sw sw ww
a A b
n n s n= = ρ
⋅
22sw d w
yd w
tensões kN/ cma b100 (cm /m)
n f n b cm
→τ= ⋅
→
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Taxa geométrica mínima de estribos (14.1.1.1.):
definindo:
pode-se escrever: Vmin = τmin bw d (kN)
Caso Vd ≤ Vmin ⇒ (ρ → %)
(ver tabela 3.4 – Pinheiro)
Armadura transversal mínima
min
2/3ck
ywk
f 6 (%)
fρ =
2/3min min ywk c ck 0,9 f = 0,137 f (MPa)τ = ρ + τ
sw min wmin
a bn n
= ρ ⋅
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Disposições construtivas (18.3.3.2)
a) Espaçamento máximo de estribos
,
,
' ' )
d u
max d u
0,6 d 30cm para V 0 67 V
s 0,3 d 20cm para V 0 67 V
12 ( barra comprimida
≤ ≤
≤ ≤ > φ φ =
b) Diâmetro de estribos
5 mm ≤ φt ≤ (vergalhões)
φt mín ≥ 4,2 mm (telas soldadas)
wb10
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Seções próximas do apoio (17.4.1.2.1)
Para o caso de apoio direto (pilar) pode ser reduzida a cortante máxima para efeito do cálculo da armadura de cisalhamento devido ao efeito de arco.
Esta redução não se aplica para verificar Vd ≤ Vu
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Deslocamento do diagrama de flexão (17.4.2.c)
Para garantir a hipótese da Analogia de Treliça de banzo tracionado com força constante no trecho entre cada 2 montantes (estribos), o diagrama de M deve ser deslocado por um comprimento de decalagem a
ldado por:
al= 0,75 d (para o caso mais usual com estribos verticais)
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Apoio indireto
No caso de apoio indireto (viga apoiada sobre outra viga), a aplicação da reação da viga suportada sobre a viga de apoio érealizada pela face inferior da viga apoiada.
Nesta situação, deve ser adicionada uma armadura no trecho de comprimento h com a finalidade de transferir as tensões da face inferior da viga de apoio para o seu topo (armadura de suspensão).
h/2h/2
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Apoio indireto
RR
Idealização de apoio entre vigas
discretizadas como treliças
Ação e reação em apoio indireto
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Efeito da posição da carga aplicada
Carregamento aplicado na face inferior da viga ocasiona acréscimo de esforços nos estribos verticais. É necessário “levantar” ou “suspender” a carga inferior para obter os mesmos efeitos.
Mesma ação aplicada em faces diferentes da treliçaface superior face inferior
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Geometria
contando a a partir do topo da viga de apoio e fazendo a = hquando o fundo da viga apoiada é mais baixo do que o fundo da
viga de apoio
dsusp
ywd
R aA
f h=
2s
d2
ywd
A cm
R kN
f 43,5 kN/ cm
→
→ =
V2 (viga apoiada)
V2 (viga apoiada)
V1 (viga de apoio)
V1 (viga de apoio)h/2 h/2
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Armadura de suspensão
A armadura Asusp deve ser colocada na interseção da viga apoiada com a viga de apoio, podendo utilizar também estribos para esta finalidade, desde que colocados próximos da interseção das vigas.
Distribuindo Asusp no comprimento igual à altura h da viga de apoio, resulta a armadura por metro de viga como:
tomando, como usualmente, n = 2, fica:
susp suspa A
n n h=
⋅
susp suspa A
n 2 h=
⋅
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Situação especial
Quando a viga apoiada possuir altura superior à da viga de apoio, deve também ser previsto um tirante na ligação entre as duas vigas com área total igual a Asusp.
tirante Asusp
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Ler a respeito destes assuntos
GIONGO, J.S.; TOTTI JR., F. (1994) – Concreto armado. Resistência de elementos fletidos submetidos à força cortante. São Carlos, EESC-USP.
VASCONCELOS, A.C. (org.) (2002) – Prática recomendada IBRACON para estruturas de edifícios de nível 1 – Estruturas de pequeno porte. São Paulo, IBRACON.
SÜSSEKIND, J.C. (1983) – Curso de concreto. Rio de Janeiro, Globo. Vols. 1 e 2
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