05 · [01] um fabricante deseja construir um recipiente, na forma de um cilindro circular reto, que...

ATIVIDADES EM SALA DE AULAPre-Calculo

Humberto Jose Bortolossihttp://www.professores.uff.br/hjbortol/

05

Nome:

[01] Um fabricante deseja construir um recipiente, na forma de um cilindro circular reto, que deveraarmazenar 1000 cm3 de oleo (o recipiente possui as tampas circulares). O custo de producaodo recipiente e medido pela area total do recipiente. Determine uma funcao real (sua lei deassociacao e o seu domınio) que expresse o custo de producao em termos do raio r da basecircular do cilindro medida em cm.

[02] A gamela na figura abaixo dever se construıdas com as dimensoes indicadas (em decımetros),apenas o angulo θ pode variar. Determine uma funcao real (sua lei de associacao e o seu domınio)que expresse o volume da gamela em termos do angulo θ indicado na figura.

[03] Faca um esboco do grafico de y = h(x) = 3∣∣√−x − 2

∣∣ a partir do grafico da funcao y = f(x) =√

x usando alongamentos, compressoes, translacoes e reflexoes. Em cada etapa, especifique qualtransformacao voce empregou e faca um esboco do grafico da funcao intermediaria correspondente,indicando explicitamente as intersecoes com os eixos coordenados, caso existam.

[04] (a) O que representam os sımbolos 3√

7 e 3√−7? De as definicoes.

(b) Usando as definicoes que voce deu no Item (a), prove que 3√−7 = − 3

√7.

[05] (a) O que os sımbolos4√

x3 e8√

x6 representam? De as definicoes!

(b) As funcoes f(x) =4√

x3 e g(x) =8√

x6 sao iguais? Justifique sua resposta!

(c) Usando as definicoes do Item (a), mostre que se x ≥ 0, entao4√

x3 =8√

x6.

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Respostas dos Exercıcios

Atencao: as respostas apresentadas aqui nao possuem justificativas. Voce deve escreve-las!

[01] custo(r) = 2π r2 +2 V

r, com V = 1000 e r > 0.

[02] V (θ) = 20

(

cos(θ) +cos(θ) sen(θ)

2

)

, para 0 ≤ θ <π

2.

[03] Seja y = f(x) =√

x, cujo grafico e apresentado na Figura 1.

Etapa 1. y = g1(x) = f(−x) =√−x: o grafico de g1 e obtido fazendo-se uma reflexao com

relacao ao eixo y do grafico de f (Figura 2).

Etapa 2. y = g2(x) = g1(x) − 2 =√−x − 2: o grafico de g2 e obtido fazendo-se uma translacao

vertical 2 unidades para baixo do grafico de g1 (Figura 3).

Etapa 3. y = g3(x) = |g2(x)| = |√−x − 2|: o grafico de g3 e obtido fazendo-se um reflexao com

relacao ao eixo x dos pontos do grafico de g2 com ordenada negativa (Figura 4).

Etapa 4. y = h(x) = 3 g3(x) = 3|√−x − 2|: o grafico de h e obtido fazendo-se um alongamento

vertical de fator 2 do grafico de g3 (Figura 5).

Figura 1: Grafico de f(x) =√

x.

2

Figura 2: Grafico de y = g1(x) = f(−x) =√−x.

Figura 3: Grafico de y = g2(x) = g1(x) − 2 =√−x − 2.

3

Figura 4: Grafico de y = g3(x) = |g2(x)| = |√−x − 2|.

Figura 5: Grafico de y = h(x) = 3 g3(x) = 3 |√−x − 2|.

[04] (a) 3√

7 representa o unico numero real a tal que a elevado a 3 da 7: a3 = 7. 3√−7 representa o

unico numero real b tal que b elevado a 3 da −7: b3 = −7.

(b) Se mostrarmos que c = − 3√

7 e tal que c3 = −7, por unicidade, teremos que b = c, isto e,3√−7 = − 3

√7. Agora:

c3 = (− 3√

7)3 = (−1)3 (3√

7)3 = −a3 = −7.

4

[05] (a) Se x ≥ 0, o sımbolo4√

x3 representa o unico numero real ≥ 0 que elevado a 4 e igual a x3.Por sua vez, se x ∈ R, o sımbolo

8√

x6 representa o unico numero real ≥ 0 que elevado a 8 eigual a x6.

(b) As funcoes f e g sao diferentes, pois o o domınio de f e o intervalo [0, +∞[, enquanto que odomınio de g e R.

(c) Se x ≥ 0, entao x3 ≥ 0 e, portanto, a =4√

x3 ≥ 0. Se mostrarmos que a8 = x6, entao, porunicidade, teremos que a = b. Ora,

a8 = (4√

x3)8 = (4√

x3)4∙2 = ((4√

x3)4)2 = (x3)2 = x6.

Texto composto em LATEX2e, HJB, 08/07/2016.

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