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Metodo da Iteracao Linear

Universidade Tecnologica Federal do ParanaCampus Francisco Beltrao

Disciplina: Calculo NumericoProfessor: Jonas Joacir Radtke

Universidade Tecnologica Federal do Parana Calculo Numerico

Seja f (x) uma funcao contınua em [a, b], intervalo que contemuma raiz da equacao f (x) = 0.

Metodo da Iteracao Linear

O Metodo da Iteracao Linear ou Metodo do Ponto Fixo consisteem transformar esta equacao em uma equacao equivalentex = ϕ(x) e a partir de uma aproximacao inicial x0 gerar asequencia {xk} de aproximacoes para ξ, dada por xk+1 = ϕ(xk).Transformamos assim o problema de encontrar um zero de f (x) noproblema de encontrar um ponto fixo de ϕ(x).

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Uma funcao ϕ(x) que satisfaz a condicao acima e chamada defuncao de iteracao para a equacao f (x) = 0.

Exemplo

Para a equacao x2 + x − 6 = 0 temos varias funcoes.de iteracao,entre as quais:

ϕ1(x) = 6− x2

ϕ2(x) = ±√

6− x

ϕ3(x) =6

x− 1

ϕ4(x) = 6x+1

Graficamente, uma raiz da equacao x = ϕ(x) e a absissa do pontode interseccao da reta y = x e da curva y = ϕ(x).Convem ressaltar que dependendo da escolha da funcao ϕ(x) oprocesso pode gerar um sequencia divergente.

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Convergencia do Metodo de Iteracao Linear

Teorema 1

Seja ξ uma raiz da equacao f (x) = 0, isolada num intervalo Icentrado em ξ e ϕ(x) uma funcao de iteracao para a equacaof (x) = 0.Se

(i) ϕ(x) e ϕ′(x) sao contınuas em I

(ii) |ϕ′(x)| ≤ M < 1, ∀x ∈ I e

(iii) x0 ∈ I ,

entao a sequencia {xk} gerada pelo processo iterativoxk+1 = ϕ(xk) converge para ξ.

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INÍCIO

FIM

x, eps, itmax

x = phi(x)

i = 1, itmax

|f(x)| < epssimnão

sim

não

x

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Exemplo

Para a equacao x2 + x − 6 = 0 calcule a sequencia {xk} comx0 = 1, 5 verificando a convergencia do metodo da Iteracao Linearcom

(a) ϕ1(x) = 6− x2

(b) ϕ2(x) =√

6− x

Solucao:

(a) Utilizando ϕ = ϕ1 = 6− x2 obtemos

x1 = ϕ(x0) = 6− 1, 52 = 3, 75

x2 = ϕ(x1) = 6− 3, 752 = −8, 0625

x3 = ϕ(x2) = 6− (−8, 0625)2 = −59, 003906

x4 = ϕ(x3) = 6− (−59, 003906)2 = −3475, 4609

...

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Analisando as condicoes do Teorema 1 verificamos que:ϕ1(x) = 6− x2 e ϕ′1 = −2x sao contınuas em R.

|ϕ′1(x)| < 1 ⇔ |2x | < 1 ⇔ −1

2< x <

1

2

entao, nao existe um intervalo I centrado em ξ = 2, tal que|ϕ′1(x)| < 1, ∀x ∈ I . Portanto, ϕ1(x) nao satisfaz a condicao(ii) do Teorema 1 com relacao a ξ = 2. Esta e a justificativateorica da divergencia da sequencia {xk} gerada por ϕ1(x)para x0 = 1, 5.

(b) Utilizando ϕ = ϕ2 =√

6− x obtemos

x1 = ϕ(x0) =√

6− 1, 5 = 2, 12132

x2 = ϕ(x1) =√

6− 2, 12132 = 1, 96944

x3 = ϕ(x2) =√

6− 1, 96944 = 2, 00763

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x4 = ϕ(x3) =√

6− 2, 00763 = 1, 99809

x5 = ϕ(x4) =√

6− 1, 99809 = 2, 00048

...

Analisando as condicoes do Teorema 1 verificamos que:

ϕ2(x) =√

6− x e ϕ′2(x) =−1

2√

6− x

ϕ2 e contınua em S = {x ∈ R|x ≤ 6}

ϕ′2 e contınua em S ′ = {x ∈ R|x < 6}

|ϕ′2(x)| < 1 ⇔∣∣∣∣ 1

2√

6− x

∣∣∣∣ < 1 ⇔ x < 5, 75

Logo, e possıvel obter um intervalo I centrado em ξ = 2 talque as condicoes do Teorema 1 sejam satisfeitas.

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Exercıcio 1

Calcular pelo menos uma raiz real das equacoes abaixo, comε = 10−3, usando o metodo de iteracao linear, analisandopreviamente a convergencia da funcao de iteracao escolhida.

(a) f (x) = x3 − cos (x) = 0

(b) f (x) = x2 + e3x − 3 = 0

(c) f (x) = 3x4 − x − 3 = 0

(d) f (x) = ex + cos (x)− 5 = 0

Exercıcio 2

Implementar o metodo da iteracao linear para obter uma raiz realdas equacoes do Exercıcio 1 com precisao ε = 10−8. O programadeve imprimir as aproximacoes obtidas em cada iteracao e fazerum grafico da raiz aproximada versus k.

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