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Estatística e Probabilidade
Introdução a Estatística – Rev0
www.portaleletronica.com.br
Prof. Ricardo Tadeu Ferracioli
Modelo Matemático Determinístico – resultado previsto. Exemplo:
𝑉 = ∆𝑠
∆𝑡
Modelo Matemático Probabilístico – resultado não previsto. Possui uma
probabilidade de resultado, há uma chance ou risco de determinado resultado
acontecer. Exemplo:
Experimento Aleatório – consiste em verificar e apurar os resultados e não
existe uma previsão do resultado. Portanto o experimento aleatório está
associado ao modelo probabilístico.
Espaço Amostral – Todos os resultados são conhecidos, exemplo: para o
lançamento de um dado o espaço amostral é formado pelo conjunto de todos
resultados possíveis, Ω = {1, 2, 3, 4, 5 e 6}.
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1. Distribuições discretas de probabilidade
Neste capitulo veremos como construir e usar distribuições de probabilidade.
Conhecer a forma, o centro e a variabilidade de uma distribuição de
probabilidade e lhe permite tomar decisões em inferências estatísticas.
Por exemplo, você é um meteorologista que está trabalhando em uma previsão
climática de três dias. Supondo que a ocorrência de chuva em um dia é
independente da ocorrência de chuva em outro dia, você determinou que existe
40% de probabilidade de chover (e uma probabilidade de 60% de não chover)
em cada um dos três dias.
Qual é a probabilidade de chover em 0, 1, 2 ou 3 dos dias? Para responder a
essa questão você pode construir uma distribuição de probabilidade para os
resultados possíveis.
Usando a regra da adição após obter as probabilidades no diagrama de árvore,
você poderá determinar a probabilidade de ocorrência de chuva por vários dias
(veja a Figura 1). Você poderá usar essa informação para representar uma
distribuição de probabilidade (Tabela 1) também graficamente (Figura 2).
Figura 1: Cálculo das probabilidades relativas as sequencias possíveis de chuva (0,40) e não
chuva (0,60) nos três dias.
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Cálculo da probabilidade para 1 dia de chuva:
P(1) = 3*0,144
P(1) = 0,432
Tabela 1: Distribuição de probabilidade de chuva para três dias.
Figura 2: Número de dias de chuva e respectivas probabilidades de ocorrência.
2. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
Variáveis aleatórias
O resultado de um experimento probabilístico geralmente é uma contagem ou
uma medida. Quando isso ocorre, esse resultado é um possível valor de uma
variável aleatória.
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Definição
Uma variável aleatória x representa um valor numérico associado a cada
resultado de um experimento probabilístico (ou aleatório).
A palavra aleatória indica que x é determinado em função de um objeto escolhido
ao acaso. Há dois tipos de variáveis aleatórias: discreta e contínua.
Definição
Uma variável aleatória é discreta quando tem um número finito ou contável
de resultados possíveis que podem ser enumerados.
Definição
Uma variável aleatória é contínua quando tem um número incontável de
resultados possíveis, representados por um intervalo na reta numérica.
Exemplo da variável aleatória discreta:
Você conduz um estudo sobre o número de ligações que um vendedor faz em
um único dia. Os valores possíveis da variável aleatória x são 0, 1, 2, 3, 4 e assim
por diante. Uma vez que o conjunto de resultados possíveis {0, 1, 2, 3,...} pode
ser listado, x é uma variável aleatória discreta. Você pode representar esses
valores como pontos na reta numérica, como mostra a Figura.
Número de ligações (discreta).
x só pode assumir valores inteiros: 0, 1, 2, 3, ...
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Exemplo da variável aleatória contínua:
Uma forma diferente de conduzir o estudo seria medir o tempo diário (em horas)
que um vendedor passa fazendo ligações. O tempo gasto fazendo ligações pode
ser qualquer número real de 0 a 24 (incluindo frações e decimais), então x é uma
variável aleatória contínua. Você pode representar esses valores em um
intervalo na reta, mas você não poderá enumerar todos os valores possíveis
(veja a Figura).
Horas gastas em ligações (continua)
x pode assumir qualquer valor de 0 a 24.
Quando uma variável aleatória é discreta, você pode listar ou enumerar os
valores possíveis que ela pode assumir. Porém, é impossível listar todos os
valores para uma variável aleatória contínua.
Dica de estudo
Na maioria das aplicações práticas, as variáveis aleatórias discretas
representam dados contáveis, enquanto as variáveis aleatórias continuas
representam dados mensuráveis.
EXEMPLO 1:
Determine se a variável aleatória x é discreta ou contínua.
1) x representa o número de empresas, da lista das 500 maiores, que
perderam dinheiro no ano passado.
2) x representa o volume de gasolina em um tanque de 21 galões.
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Solução
1) O número de empresas que perderam dinheiro no ano passado pode
ser contado. {0, 1, 2, 3, ..., 500} Logo, x é uma variável aleatória
discreta.
2) A quantidade de gasolina no tanque pode ser qualquer volume de 0 a
21 galões. Portanto, x é uma variável aleatória contínua.
EXEMPLO 2:
Determine se a variável aleatória x é discreta ou contínua. Explique seu
raciocínio.
1) x representa a velocidade de um foguete
2) x representa o número de bezerros nascidos em uma fazenda em um ano.
a) Determine se x representa dados contáveis ou mensuráveis.
b) Conclua e explique seu raciocínio.
Solução
???????
É importante que você consiga diferenciar entre variáveis aleatórias discretas e
contínuas porque técnicas estatísticas diferentes são usadas para analisar cada
uma. As atividades concentrar-se-ão nas variáveis aleatórias discretas e suas
distribuições de probabilidade.
3. DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE
Para cada valor de uma variável aleatória discreta pode ser atribuída uma
probabilidade. Ao listar cada valor da variável aleatória com sua probabilidade
correspondente, você estará formando uma distribuição discreta de
probabilidade.
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Definição
Uma distribuição discreta de probabilidade lista cada valor possível que a
variável aleatória pode assumir, com sua respectiva probabilidade. Uma
distribuição de probabilidade discreta deve satisfazer às seguintes condições:
EM PALAVRAS
1. A probabilidade de cada valor da variável
aleatória discreta está entre 0 e 1.
2. A soma de todas as probabilidades é 1
EM SIMBOLOS
1. 0 ≤ P (x) ≤ 1
2. ΣP (x) = 1
Como probabilidades podem ser indicadas por frequências relativas, uma
distribuição de probabilidades discreta pode ser representada graficamente em
um histograma de frequência relativa (matematicamente, o usual é um gráfico
de barras ou segmentos verticais).
EXEMPLO 3:
Construindo e representando graficamente uma distribuição discreta de
probabilidade.
Um psicólogo industrial aplicou um teste de personalidade para identificar
características passivo-agressivas em 150 colaboradores. Os indivíduos
recebiam uma pontuação de 1 a 5, sendo 1 extremamente passivo e 5
extremamente agressivo. Uma pontuação 3 não indicava nenhuma das duas
características. Os resultados estão indicados na Tabela abaixo. Construa uma
distribuição de probabilidade para a variável aleatória x. Depois, represente
graficamente a distribuição usando um histograma.
Tabela de Distribuição de frequência dos resultados de um teste de
personalidade.
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Solução
Divida a frequência de cada pontuação pelo número total de indivíduos no estudo
para determinar a estimativa da probabilidade para cada valor da variável
aleatória.
Tabela de distribuição discreta de probabilidades para as possíveis pontuações.
Histograma das características passivo-agressivos
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Como a largura de cada barra é um (1), a área de cada barra é igual à
probabilidade de um resultado particular. Além disso, a probabilidade de um
evento corresponde à soma de áreas dos resultados incluídos no evento.
Por exemplo, a probabilidade de um evento “ter uma pontuação de 2 ou 3” é
igual à soma das áreas da segunda e terceira barras. (É como se desse um
tratamento contínuo a uma variável discreta.)
Á𝑟𝑒𝑎2 + Á𝑟𝑒𝑎3
(1) (0,22) + (1) (0,28) = 0,22 + 0,28 = 0,50
Interpretação: É possível verificar que a distribuição é aproximadamente
simétrica.
EXEMPLO 4:
Uma empresa rastreia o número de vendas que os novos colaboradores fazem
todos os dias, durante um período de experiência de 100 dias. Os resultados de
um novo colaborador estão indicados na Tabela. Construa a distribuição de
probabilidades e faça sua representação gráfica.
a) Determine a probabilidade de cada resultado.
b) Organize as probabilidades em uma distribuição de probabilidade.
c) Represente graficamente a distribuição de probabilidades usando um
histograma.
Solução: ?????
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Identificando distribuições de probabilidade.
EXEMPLO 5:
Determine se as distribuições dos itens a seguir são distribuições de
probabilidade. Explique seu raciocínio.
Solução:
1. Cada probabilidade está entre 0 e 1, mas a soma de todas as probabilidades
é 1,07, que é maior que 1. Portanto, esta não é uma distribuição de
probabilidade.
2. A soma de todas as probabilidades é igual a 1, mas P(3) e P(4) não estão
entre 0 e 1. Portanto, esta não é uma distribuição de probabilidades. As
probabilidades nunca podem ser negativas ou maiores do que 1.
EXEMPLO 6:
Determine se as distribuições dos itens a seguir são distribuições de
probabilidade. Explique seu raciocínio.
a. Determine se a probabilidade de cada resultado está entre 0 e 1, inclusive.
b. Determine se a soma de todas as probabilidades é 1.
c. Conclua o raciocínio.
Solução: ????
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4. Média, variância e desvio padrão
Você pode indicar o centro de uma distribuição de probabilidades com sua média
e medir a variabilidade com sua variância e desvio padrão. A média de uma
variável aleatória discreta é definida como segue.
Média de uma variável aleatória discreta
A média de uma variável aleatória discreta e dada por:
𝜇 = ∑ 𝑥 𝑃(𝑥)
Cada valor de x e multiplicado por sua correspondente probabilidade e os
produtos são adicionados.
A média de uma variável aleatória representa a “média teórica” de um
experimento probabilístico que, quando realizado, não resulta necessariamente
nesse valor de média. Se o experimento fosse repetido milhares de vezes, a
média de todos os resultados, provavelmente, seria próxima à média da variável
aleatória.
EXEMPLO 6 (usando Emplo 3):
Um psicólogo industrial aplicou um teste de personalidade para identificar
características passivo-agressivas em 150 colaboradores. Os indivíduos
recebiam uma pontuação de 1 a 5, sendo 1 extremamente passivo e 5
extremamente agressivo. Uma pontuação 3 não indicava nenhuma das duas
características. Os resultados estão indicados na Tabela 4.2. Construa uma
distribuição de probabilidade para a variável aleatória x. Depois, represente
graficamente a distribuição usando um histograma.
Tabela de Distribuição de frequência dos resultados de um teste de
personalidade.
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Solução
Da tabela, você pode verificar que a pontuação média é aproximadamente 2,9.
Calculo da média para o teste de personalidade
Portanto a média de uma variável aleatória discreta
𝜇 = ∑ 𝑥 𝑃(𝑥) ⟹ 𝜇 = 2.94
Interpretação: Lembre que uma pontuação de 3 representa um indivíduo que
não exibe nem características passivas nem agressivas, e a média é
ligeiramente menor que 3. Então, a característica de personalidade média não é
nem extremamente passiva, nem extremamente agressiva, mas é levemente
mais próxima à passividade.
Embora a média da distribuição de probabilidade de uma variável aleatória
descreva um resultado típico, ela não dá informações sobre a maneira como os
resultados variam. Para estudar a variação dos resultados, você pode usar a
variância e o desvio padrão da distribuição de probabilidades de uma variável
aleatória.
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Variância e desvio padrão de uma variável aleatória discreta
A variância de uma variável aleatória discreta é:
𝜎2 = ∑(𝑥 − 𝜇)2 𝑃(𝑥)
O desvio padrão é:
𝜎 = √𝜎2 = √∑(𝑥 − 𝜇)2 𝑃(𝑥)
Encontrando a variância e o desvio padrão
EXEMPLO 7:
Encontre a variância e o desvio padrão da distribuição de probabilidade do teste
de personalidades discutido no Exemplo 6.
A variância de uma variável aleatória discreta é:
𝜎2 = ∑(𝑥 − 𝜇)2 𝑃(𝑥) ⟹ 𝜎2 = 1,6161 ≈ 1,6
O desvio padrão é:
𝜎 = √𝜎2 = √∑(𝑥 − 𝜇)2 𝑃(𝑥) ⟹ 𝜎 = √1,6161 ⟹ 𝜎 ≈ 1,3
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