amostragem e reconstru†ƒo de sistemas amostragem e reconstru§£o

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  • AMOSTRAGEM E RECONSTRUO DE SISTEMAS CONTNUOS NO TEMPO

    Introduo Para que seja possvel processar um sinal de tempo contnuo em um computador, o mesmo deve ser primeiramente digitalizado. Isso significa que o sinal de tempo contnuo deve ser amostrado e quantizado, formando um sinal digital que pode ser armazenado no computador. Sistemas analgicos podem ser convertidos em digitais, os quais podem ser processados de forma digital e posteriormente enviado a uma sada analgica novamente. Ou seja, o sinal analgico pode ser reconstrudo atravs de um conversor DA. A Figura 1 ilustra um exemplo contendo os trs componentes descritos nas linhas anteriores: amostrador, processador e reconstrutor.

    Figura 1 Exemplo de um sistema de processamento digital de sinal Quando se projeta um sistema desse tipo, essencial entender os efeitos dos processos de amostragem e reconstruo. Os mesmos podem causar diferentes tipos de distores. O projetista deve ter certeza de que essas distores esto abaixo de nveis aceitveis ou que as mesmas sero compensadas por algum processamento adicional. Amostragem A amostragem simplesmente um processo de medir o valor de um sinal de tempo contnuo em certos instantes de tempo. Tipicamente essas medidas esto uniformemente espaadas por um perodo de amostragem Ts. Se x(t) o sinal de entrada, ento o sinal amostrado y(n)

    t=nTsy(n) = x(t)| . Uma questo crtica: Qual o perodo de amostragem Ts necessrio para representar com fidelidade o sinal x(t)? Para responder essa questo precisamos observar as representaes de x(t) e y(n) no domnio frequncia. Como y(n) um sinal de tempo discreto, ns devemos represent-lo com uma DTFT ( )iY e . Entretanto, x(t) um sinal de tempo contnuo que necessita da Transformada de Fourier de tempo contnuo. Felizmente, ( )iY e pode ser descrita em termos de ( ) ( )X ou X f :

    ( ) ( ) 22

    1 |

    1 22

    s

    jkfks T

    ks s

    Y e X fT

    kXT T

    ==

    =

    =

    =

    Consistentemente com as propriedades da DTFT, ( )iY e peridica com perodo 2. Ocorre apenas um escalonamento da amplitude e da freqncia de ( )X f . O ponto crtico da relao o contedo de frequncia de ( )X f . Se ( )X f tem componentes de freqncia acima de 1/(2Ts),

  • AMOSTRAGEM E RECONSTRUO DE SISTEMAS CONTNUOS NO TEMPO

    ocorrer o aliasing, ou seja uma sobreposio de componentes e o sinal original, no poder mais ser recuperado. Para prevenir o aliasing, a maioria dos sistemas de amostragem precisam de um filtro passa baixas na entrada, para garantir que todo o contedo de freqncia fique abaixo de 1/(2Ts), a freqncia de Nyquist. Nesse caso ( )iY e pode ser relacionado com ( )X , com k=0.

    ( ) [ ]1 2j

    s s

    Y e X para - , T T

    =

    Sabe-se que ( )iY e peridico com perodo 2. Note nessa expresso que ( )iY e e ( )X f so relacionados por um simples escalonamento dos eixos de magnitude e frequncia. Note tambm que = em ( )iY e corresponde freqncia de Nyquist, f = 1/(2Ts) em ( )X f . Se o sinal amostrado precisar ser convertido novamente para um sinal analgico, teoricamente, isso poderia ser feito convertendo o sinal de tempo discreto em uma seqncia de impulsos no tempo contnuo com os pesos dos valores das amostras. Se o trem de impulsos de tempo contnuo filtrado com um passa baixas ideal, com freqncia de corte igual a freqncia de Nyquist, uma verso escalonada do sinal filtrado original surgir. O espectro do sinal reconstrudo :

    ( ))sj2 fT

    s

    1Y (e para f < 2TS f

    0 caso contrrio.

    =

    Amostragem e reconstruo Na prtica, sinais so reconstrudos utilizando conversores digitais- analgicos. Esses dispositivos funcionam lendo uma amostra do sinal discreto e gerando uma tenso (ou corrente) de sada correspondente para um perodo de Ts. O efeito combinado de amostragem e converso DA podem ser pensados como um simples dispositivo sample-and-hold (amostra e retm). Infelizmente o processo de sample-and-hold distorce o espectro de freqncia do sinal reconstrudo. Vamos analisar os efeitos de um sample-and-hold de ordem zero em um sistema de amostragem e reconstruo. A Figura a seguir ilustra um sistema com um filtro passa baixas na entrada, um sample-and-hold e um filtro passa baixas de sada. Se no houvesse amostragem, esse sistema seria composto simplesmente dois filtros cascateados, do qual conhecemos a resposta em freqncia. Qualquer diferena entre a resposta em freqncia desse e do sistema inteiro (com o amostrador) resultado da amostragem e do processo de reconstruo. Nosso objetivo comparar as duas respostas em freqncia utilizando o Matlab. Para essa anlise assumiremos que os filtros so de ensima ordem do tipo Butterworth com freqncia de corte fc, e que o sample-and-hold roda a uma taxa de amostragem de fs = 1/Ts.

    Comearemos a anlise examinando o caso ideal. Considere a substituio do sample-and-hold por um gerador de impulsos ideal e assuma que ao invs de filtros Butterworth ns utilizamos filtros

  • AMOSTRAGEM E RECONSTRUO DE SISTEMAS CONTNUOS NO TEMPO

    passa baixas ideais com freqncia de corte fc. Depois de analisar esse caso vamos estudar o sample-and-hold e o filtro Butterworth. Se um gerador de impulsos ideais usado no lugar do sample-and-hold ento o espectro de freqncia do trem de impulsos pode ser calculado combinando as equaes:

    ( ) ( ) 22

    1 |

    1 22

    s

    jkfks T

    ks s

    Y e X fT

    kXT T

    ==

    =

    =

    =

    com ( ) )

    sj2fTY (e para f < 1S f

    0 caso contrrio.

    =

    Assumindo que 2s cf f , a soma infinita se reduz a um termo e nesse caso o sinal reconstrudo

    ( ) ( )1s

    S f X fT

    = . Note que o sinal reconstrudo est escalonado por um fator 1sT.

    claro que o sample-and-hold no gera impulsos perfeitos. Ao invs, ele gera um pulso de largura Ts e magnitude igual a amostra de entrada. Portanto, o novo sinal na sada do sample-and-hold equivalente ao velho sinal (um trem de impulsos) convoludo com o pulso:

    Convoluo no domnio do tempo equivalente a multiplicao no domnio da freqncia, assim a convoluo com p(t) equivalente a multiplicao pela Transformada de Fourier P(f) onde

    Finalmente a magnitude da resposta em freqncia de um filtro de ensima ordem dada por:

    Podemos calcular a magnitude da resposta do sistema sample-and-hold combinando os efeitos dos filtros Butterworth, o sistema de amostragem ideal e o pulso do sample-and-hold, o que leva a expresso final:

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    Note que a expresso |sinc(f/fs)| produz um resultado de atenuao suave das freqncias prximas da da taxa de amostragem de Nyquist. Geralmente essa suavizade no desejvel, mas tolervel na maioria dos casos. Biblioteca para o SIMULINK

    Biblioteca para o simulink a ser utilizada nesse laboratrio Vamos utilizar o Simulink para simular os efeitos dos processos de amostragem e reconstruo. O Simulink trata todos os sinais como sinais de tempo contnuo. Isso significa que sinais amostrados so apenas sinais de tempo contnuo que contm uma srie finita de pulsos de largura finita. A altura desses pulsos a amplitude do sinal no incio do pulso. Em outras palavras, tanto a amostragem como o reconstrutor de ordem zero so feitos no mesmo tempo. O sinal de tempo discreto no gerado. Isso significa que o bloco gerador de impulsos apenas um gerador de pulsos, ou um dispositivo retentor de ordem zero. Lembre-se que no Simulink, o espectro de freqncia calculado no tempo contnuo. Por essa razo, muitas componentes sofrendo aliasing aparecero no espectro. 1. Amostrando e reconstruindo com um gerador de impulso O gerador de impulsos na verdade a combinao de um gerador de impulso e um retentor de ordem zero perfeito. Primeiramente carregue o arquivo lab. Digite lab no propmt do Matlab. Abrir uma biblioteca no simulink conforme a figura anterior. Feche todas as figuras abertas e abra o experimento 1:

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    Neste experimento um seno amostrado a uma frequncia de 1 Hz; ento o sinal amostrado de tempo discreto utilizado para gerar impulsos retangulares de durao e 0,3 s e amplitude do sinal amostrado.O bloco denominado Impulse Generator tem na sua sada a amostragem do seno reconstruda. Um osciloscpio utilizado para plotar a entrada e a sada do gerador de impulsos e um analisador de espectro utilizado para plotar o trem de impulsos e seu espectro. Primeiramente, rode a simulao com a freqncia de entrada do seno em 0.1 Hz. Analise os seu resultados. No espectro do sinal reconstrudo observe as componentes do sinal reconstrudo. Interprete os resultados! Impulsos ideais podem ser aproximadas apenas. No experimento anterior, a largura do pulso de 0.3 s, o que menor que o perodo de amostragem (1 s). Experimente ajustar a largura do pulso em 0,1 s e rode a simulao. Analise e interprete os resultados. O que mudou em relao ao caso anterior? Explique! Ajuste a largura do pulso em 0.3 s e mude a frequncia do seno para 0.8 Hz. Rode a simulao e analise os novos resultados. No grfico da frequncia, verifique o pico de frequncia que corresponde a menor freqncia (componente fundamental) da sada do sinal. Explique porque a menor freqncia no mais a mesma freqncia da senide de entrada. Acerte a frequncia de entrada em 0.8 Hz. Insira um filtro aps o gerador de impulsos e utilize um filtro de dcima ordem Butterworth com uma freqncia de corte de 0.5 Hz. Conecte a sada do filtro ao analisador de espectro e o Mux e rode a simulao. Explique o espectro do sinal de sada. Faa as analises e comentrios embasados nos grficos gerados! 2. Amostragem e reconstruo de sinal com sample-and-hold Vamos amostrar um sinal de tempo continuo usando um sample-and-hold e posteriormente vamos