amatfin-v1
DESCRIPTION
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOSRACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICA FÍSICA/QUÍMICA E–mail [email protected] suas dúvidas e questões [email protected] saiba como receber o GABARITO comentado.PEDIDOS DE APOSTILAS E GABARITOS [email protected] [email protected] [email protected]://www.orkut.com/Profile.aspx?uid=13411604059576539391ORKUTBLOG www.gabaritocerto2.blogspot.comTelefone para contato: (21) 98371118CODIGO DA APOSTILAAMATFIN-V1TRANSCRIPT
PEDIDOS DE APOSTILAS E GABARITOS [email protected]
[email protected]@yahoo.com.br
ORKUThttp://www.orkut.com/Profile.aspx?uid=13411604059576539391
BLOGwww.gabaritocerto2.blogspot.com
Telefone para contato:(21) 98371118
CODIGO DA APOSTILA
AMATFIN-V1
NOSSOS LINKS E E-MAILS
Nosso e-mail no Yahoo:[email protected]
Nosso [email protected]
Blog do Gabaritocerto: www.gabaritocerto2.blogspot.com/
Nosso e-mail no terra:[email protected]
Nosso Orkut: http://www.orkut.com/Profile.aspx?uid=13411604059576539391
PROF. ANTONIO
TENHA AULA ON LINEDESSA
APOSTILAPELO MSN
Estamos no Msn([email protected])
Estamos on line todos os dias no período de 09:00 h às 11:00h e 21:00h às 23:00h
PARA AGENDARSUA AULA ON LINE
Como receber oGabarito Comentado
de todas as questões dessa Apostila?
Veja como em nosso Blog
www.gabaritocerto2.blogspot.com/
ou envie
e-mail para
DIVULGUE ESTA OPORTUNIDADE PARA OUTRAS PESSOASRECORTE O ANÚNCIO ABAIXO E AFIXE EM LOCAL DE DIVULGAÇÀO (ESCOLA, IGREJA, CONDOMÍNIO, ETC)
Desde já, agradeço.––-–––––-–––––-–––––-–––––-–––––-–––
RACIOCÍNIO LÓGICOMATEMÁTICA
FÍSICAQUÍMICA
Questões resolvidas e explicadas pela Internet.
1° e 2° graus, Supletivo, ReciclagemVestibular, Concursos Públicos
RECEBA APOSTILA COM QUESTÕESDE MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
SOLICITE PELO E–MAIL ABAIXO
on line pelo MSN
nosso Blogwww.gabaritocerto2.blogspot.com
PROF. ANTONIO
RECORTE E DIVULGUE.Desde já agradecemos.Equipe gabaritocerto & Prof. Antonio
CONVITE
Seja um participante desta Equipe.
Ganhe dinheiro editando, resolvendo e comentando questões de matemática, física, química e outros
assuntos e/ou disciplinas.
Ganhe dinheiro editando apostilas.
Saiba como participar
Envie e–mail para nossa Equipe com a seguinte frase:
"Solicito informações de como participar daEquipe Gabaritocerto"
Dedico este trabalho a meu PaiAntonio dos Santos
NOTAS IMPORTANTE!
A exigência de utilizarmos TAXA e TEMPO na mesma unidade, é universal. Não vale apenas para o assunto de Juros Simples. Ou seja, em todos os assuntos da matemática financeira, teremos que cumprir essa exigência! Desse modo, quando formos estudar Desconto Simples, Equivalência Simples de Capitais, Juros Compostos, Desconto Composto, Equivalência Composta de Capitais, Rendas Certas e Amortização, em todos esses assuntos estarão presentes os dois elementos – Taxa e Tempo. E teremos que trabalhar com ambos, necessariamente, na mesma unidade!
Em primeiro lugar, teremos a preocupação de identificar o assunto da questão! A segunda grande preocupação, após identificar o assunto da questão, será identificar o REGIME se é Simples ou composto!
Analisando questões de provas recentes de matemática financeira, sobretudo elaboradas pela Esaf, vemos que existe um tipo de enunciado de Desconto Simples que já foi exigido repetidas vezes, e se trata simplesmente da questão mais fácil da prova! Normalmente, será uma questão com duas frases: na primeira, serão fornecidos elementos de uma operação de Desconto Simples por Dentro, quais sejam, o valor do Desconto por Dentro, o valor da taxa e o tempo de antecipação da operação. Daí, na segunda frase vem a pergunta: “Se, em vez de Desconto por Dentro, tivesse ocorrido uma operação de Desconto por Fora, qual seria o valor desse Desconto por Fora, mantidos a mesma taxa e o mesmo tempo de antecipação?” Apenas isso: a questão sugere que a modalidade do desconto seja trocada! Ele começa falando do Desconto por Dentro, e pede para trocarmos pelo Desconto por Fora, mantendo a mesma taxa e o mesmo tempo de antecipação. O contrário também pode ocorrer: o enunciado pode começar a questão falando de elementos de uma operação de Desconto Simples por Fora – o valor do Desconto por Fora, a Taxa e o Tempo de antecipação – e depois, na pergunta, pedir que o Desconto por Fora seja trocado pelo Desconto por Dentro! E aí, qual seria o valor do Desconto por Dentro, mantida a mesma taxa e o mesmo tempo de antecipação? É esse o “rosto” dessa questão! E a resolução se dará em uma única linha, pela aplicação da fórmula Df = Dd (1 + i.n) Essa equação é especial. Ela nos fornece a relação entre o valor do Desconto Simples por Dentro e o valor do Desconto Simples por Fora, mantidos a mesma Taxa e o mesmo Tempo de antecipação.
1] Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de $ 10.000,00, pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% ao mês?
Solução:
2] Um capital de $ 25.000,00, aplicado durante 7 meses, rende juros de $ 7.875,00. Determinar a taxa correspondente.
Solução:
que representa 4,5% ao mês
3] Uma aplicação de $ 50.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de $ 8.250,00. Indaga-se: qual a taxa anual correspondente a essa aplicação?
Solução:
Primeiro transformamos 180 dias para anos, utilizando a regra de três, teremos:
Utilizando a fórmula do Juros Simples
que representa 33% ao ano
4] Sabendo-se que os juros de $ 6.000,00 foram obtidos com a aplicação de $7.500,00, à taxa de 8% ao trimestre, pede-se que se calcule o prazo.
trimestres, ou seja t = 30 meses.
5] Qual o capital que, à taxa de 4% a.m., rende juros de $ 9.000,00 em um ano?
9000=C.0,04.12 C=9000/0,48=18750
resp: $ 18750,00.
6] Um empréstimo de $ 23.000,00 é liquidado por $ 29.200,00 no final de 152 dias. Calcular a taxa mensal de juros.
C=23000
J=6200
t=152dias 6200=23000.i.152/30
i=6200.30/(23000.152)=5,32% ao mês
i=5,32% ao mês
7] Calcular o valor dos juros e do montante de uma aplicação de $ 20.000,00, feita a uma taxa de 4,94% a.m., pelo prazo de 76 dias.
C=20 mil i=4,94% ao mês t=76 dias=76/30 meses
J=20000.4,94/100 .76/30 = 2502,94
M=22502,94...
8] Calcular o montante da aplicação de um capital de $ 8.000,00, pelo prazo de 12 meses, à taxa de 3% a.m
C=8000
t=12 meses
i=3% ao mês
J=8000.12.3/100 = 2880
M=10880
resp: $10880,00
9] Determinar o valor atual de um título cujo valor de resgate é de $ 60.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 5% a.m. e que faltam quatro meses para seu vencimento.
5% ao mês = 20% em 4 meses
60000/1,2=50000
resp: $ 50 mil
10] Sabendo –se que certo capital, aplicado durante 10 semestres, à taxa de 36% a.a. rende $ 72.000,00 de juros, determinar o montante.
J=Cit
72000 = C . 36/100 . 5
C=72000 . 100/(5 . 36) = 40 mil
M=112 mil
resp: $ 112 mil
11] Um empréstimo de $ 40.000,00 deverá ser quitado por $ 80.000,00 no final de 12 meses. Determinar as taxas mensal e anual cobradas nessa operação.
40 = 40 . i . 12
i = 1/12 = 8,33% ao mês = 100% ao ano
12] Em que prazo uma aplicação de $ 35.000,00 pode gerar um montante de $ 53.375,00, considerando-se uma taxa de 30% a.a.?
M = 53375
C = 35000
i = 30% ao ano
18375 = 35000.0,3.t
t = 18375/10500 =1,75 anos =1 ano e 9 meses
13] Uma pessoa tem os seguintes compromissos a pagar: $2.000 daqui a três meses e $2.500 daqui a oito meses. Ela quer trocar esses débitos por dois pagamentos iguais, um para 10 meses e outro para 15 meses. Calcular o valor desses pagamentos considerando uma taxa de juros simples de 10% a.m.
2000 daqui a 3 meses e 2500 daqui a 8 meses...2 iguais,10 meses e 15 meses,10% ao mês...valor da dívida daqui a 10 meses: J=2000.0,1.7+2500.0,1.2=1400+3000=4400....4400+4500=9900x+x/1,5=9900....1,5x+x=14850....2,5x=14850....x=5940...resp: $ 5940
14] Uma pessoa deve pagar $ 200 daqui a dois meses e $ 400 daqui a cinco meses. A juros simples de 5%a.m., determinar o valor de um pagamento único a ser efetuado daqui a três meses que liquide a dívida.
200 em 2 meses e 400 em 5 meses...um só em 3 meses a 5% ao mês...o valor das dívidas daqui a 3 meses seráV=200.1,05+400/1,1=210+363,64=573,64...resposta: $573,64
15] Um capital de $ 1.000 aplicado em 12 de fevereiro a juros simples de 0,2% ao dia foi resgatado dia 14 de julho do mesmo ano. Determinar o valor de resgate.
12 de fevereiro a 14 de julho=28+31+30+31+30+2=152 dias...1000 a 0,2% ao dia...em 152 dias 30,4%...1000.1,304=1304 reais....resposta: $ 1304
16] No dia 26 de maio foi contratado um empréstimo de $ 5.000 a juros simples de 24% a.a. para ser totalmente liquidado em 90 dias. No dia 16 de junho foram pagos $ 2.000 e no dia 11 de julho $ 1.500. determinar a data de vencimento da dívida e o valor da quantia que deverá ser pago naquela data para liquidar a dívida.
24% ao ano=2% ao mês...após 21 dias 2000 e após 46 dias 1500...5000 em 90 dias....90 dias a partir de 26 de maio são 3 meses menos 2 dias....
24 de agosto....2%.21/30=1,4%....2%.46/30=3,07% aproximadamente.. valor atual desses pagamentos é 2000/1,014 = 1972,39 e 1500/1,0307 =1455,32.... subtraindo estas 2 quantias de 5000 obtemos 1572,29 a serem pagos em 90 dias a 2% ao mês....1,06.1572,29=1666,63....esta é a resposta...
17] Um capital de $ 135.000 transformou-se em $ 180.000 após 44 dias de aplicação. Calcular a taxa de juros ganha na operação.
135....180 em 44 dias...J=45.....45=135.i.44....i=1/132=0,75% ao dia=22,7% ao mês aproximados....
18] Em quantos meses um capital de $28.000 aplicado à taxa de juros simples de 48% a.a. produz um montante de $38.080?
C=28000....M=38080....i=48% ao ano....J=10080...10080=28000.0,48t...t=0,75 anos=9 meses....
19] Calcular o rendimento de um capital de $ 80.000 aplicado durante 28 dias à taxa de juros simples de 26% a.m.
C=80000.....28 dias....26% ao mês...J=80000.0,26.28/30=19413,33..
20] Uma pessoa tem duas dívidas a pagar, a primeira, de $ 1.000, vence em 45 dias e a Segunda, de $ 3.500, vence em 120 dias. Se pretende liquidar as dívidas por meio de dois pagamentos iguais com vencimentos no 90º e 180º dia, respectivamente, calcular o importe de cada pagamento se ambas as dívidas foram contratadas a juros simples de 2% a.m. (data focal: 180º dia).
1000 daqui a 45 dias e 3500 em 120 dias...2 iguais em 90 e 180 dias....2% ao mês...
vamos calcular o valor das dívidas daqui a 90 dias....J1=1000.2%.45/30=30....V1=1030....J2=3500/1,02=3431,37....total=4461,37....x+x/1,06=4461,37...x=2295,66...
21] João tem uma dívida de $35.000 que vence em 16 meses. Pretende pagar $12.000 no fim de 158 dias e $13.000, 189 dias depois desse primeiro pagamento. Quanto deve pagar na data de vencimento de modo que liquide a dívida? Considere juros simples de 50% a.a. e data focal no vencimento da dívida.
35 mil em 16 meses...vai pagar 12 mil em 158 dias e 13 mil 189 dias após o primeiro pagamento...quanto deve pagar na data de vencimento a 50% ao ano...vamos calcular o valor dos 2 pagamentos no vencimento....
158 dias=158/30 meses....16- 158/30=(480-158)/30=322/30 meses...158+189=347 dias=347/30 meses...16- 347/30=(480-347)/30=133/30 meses...50% ao ano=50%/12 ao mês=4,17% ao mês..
J1=12000.4,17%.322/30=5366,67....V1=17366,67....J2=13000.4,17%.133/30=2403,31....V2=15403,31...No vencimento restará a pagar 3500-17366,67-15403,31=2230 aproximadamente....
22] Um capital de $4.500 foi dividido em três parcelas que foram aplicadas pelo prazo de um ano. A primeira a juros simples de 4% a.t., a segunda a juros simples de 6% a.t. e a terceira a juros simples de 10% a.t. Se o rendimento da primeira parcela for de $160 e o rendimento das três parcelas totalizar $1.320, calcular o valor de cada parcela.
4% ao trimestre=16% ao ano...6% ao trimestre=24% ao ano....10% ao trimestre=40% ao ano...J1=160....160=C.16%.....C=1000...sobram 3500....J’=C’.24%....J”=C”.40%...J’+J”=1320-160=1160...então0,24C’+0,4C”=1160 e C’+C”=3500...24C’+40C”=116000....3C’+5C”=14500...3C’+3C”=10500...subtraindo vem2C”=4000...C”=2000....C’=1500....resposta: $ 1000, $2000 e $1500.....
23] Determinar o rendimento de um capital de $ 2.000 aplicado desde o dia 3 de março até o dia 28 de junho do corrente ano. A taxa de juros simples inicialmente contratada foi de 3%a.m., mas posteriormente teve uma queda para 2,8%a.m. no dia 16 de abril e para 2,6%a.m. em 16/6.
3 de março a 16 de abril:44 dias...16/4 a 16/6:61 dias...16/6 a 28/6:12 dias...$2000....3%...2,8%...2,6%....J=2000.3%.44/30=88....J’=2000.2,8%.61/30=113,87...J”=2000.2,6%.12/30=20,80....88+113,87+20,80=222,67....resposta...
24] Hoje uma pessoa tem duas dívidas, a primeira, de $8.000 vence em 36 dias e a segunda, de $12.000, vence em 58 dias. Propõe-se a pagá-las por meio de dois pagamentos iguais dentro de 45 e 90 dias, respectivamente. A juros simples de 24%a.a., calcular o valor de cada pagamento (data focal: 90º dia)
8 mil em 36 dias....12 mil em 58 dias...2 pag iguais,45 e 90 dias,24% ao ano...calculemos o valor de cada dívida daqui a 90 dias....90-36=54....90-58=32...24% ao ano=2% ao mês...2%.54/30=3,6%....2%.32/30=2,13%...8000.1,036=8288....12000.1,0213=12255,60...total 20543,60...2%.45/30=3%....1,03x+x=20543,60...2,03x=20543,60....x=10120....resposta: $ 10120
JUROS COMPOSTOS
25] A juros compostos de 20% a.m., qual o montante de $ 3.500 em 8 meses?
26] Qual o capital que, em 6 anos à taxa de juros compostos de 15% a.a. monta $ 14.000?
27] Em que prazo um empréstimo de $ 55.000 pode ser quitado por meio de um único pagamento de $ 110.624,80 se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% a.m.?
28] Uma pessoa depositou $ 2.000 em uma poupança. Dois meses depois, deposita mais $ 2.500 e, dois meses depois desse último depósito, realiza uma retirada de $ 1.300. Qual será o saldo de poupança ao fim do quinto mês, considerando que a taxa de juros compostos ganha é de 15% a.m.?
29] A que taxa de juros um capital de $ 13.200 pode transformar-se em $ 435.112,26, considerando um período de aplicação de sete meses?
30] Quanto rende um capital de $ 4.000 aplicado por dez meses a juros efetivos de 2% a.m.?
31] A que taxa de juros um capital de $ 2.000 obtém um rendimento de $ 280 em dois meses?
32] Determinar o capital que aplicado por sete meses a juros efetivos de 4% a.m., rende $ 10.000.
33] À taxa efetiva de 5% a.m. em que prazo de $ 5.000 rende juros de $ 1.700,48?
34] A loja “Topa Tudo” financia a venda de uma mercadoria no valor de $ 16.000, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de $ 22.753,61 no final de 8 meses. Qual é a taxa mensal cobrada pela loja?
35] Um título de renda fixa deverá ser resgatado por $ 10.000 no seu vencimento, que ocorrerá dentro de três meses. Sabendo-se que o rendimento desse título é de 40% a.a. determinar o seu valor presente.
36] A que taxa um capital de $ 43.000 pode ser dobrado em 18 meses?
37] No final de 2 anos, Sr. Pedro deverá efetuar um pagamento de $ 200.000 referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mas os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 4% a.m. Pergunta-se: qual o valor emprestado?
38] Pede-se calcular os juros ganhos na aplicação de um capital de R$ 4.560,00 durante 6 meses e 10 dias a juros simples de 3% a.m.
Nosso primeiro procedimento é transformar o período de aplicação (t) para meses. Sendo assim devemos converter 10 dias para meses e o resultado somar a 6.
Assim:
somando-se a 6 (pois t = 6 meses + 10 dias)
Substituindo os valores na fórmula, teremos:
Resposta:
39] Uma loja descontou em um banco duas notas promissórias, com valores nominais de R$ 899,99 e R$ 2.500,00 e vencimentos em 90 dias e 135 dias. Determinar o valor recebido pela loja sabendo-se que a taxa de desconto comercial simples cobrada pelo banco é de 30% a.a
Solução:
Desconto Simples Comercial (por fora) ou simplesmente desconto por fora é o desconto aplicado sobre o valor nominal, ou futuro do título, muito utilizado nas instituições financeiras e no comércio em geral. O desconto comercial é uma convenção secularmente aceita e amplamente utilizada nas operações comerciais e bancárias de curto prazo, merecendo, por isso, toda atenção especial pois, por essa convenção, altera o conceito básico e verdadeiro da formação e da acumulação de juro implicando, conseqüentemente, na determinação de taxas efetivas (custo financeiro efetivo). O cálculo desse desconto é análogo ao cálculo do juro simples.
D Desconto realizado sobre o título
A - VP Valor Atual ou Valor Presente de um título
N - VF Valor Nominal ou Valor Futuro de um título
i Taxa de desconto
n Número de períodos para o desconto
O valor atual ou valor presente (VP) no desconto por fora, é calculado por:
No cálculo do valor presente (atual) de um título pelo desconto comercial, o valor do desconto corresponde a diferença entre o valor nominal do título e o seu valor atual
Prestadas as explicações acima, agora vamos à solução:
VF1 = 899,99 n1 = 90 dias
VF2 = 2500 n2 = 135 dias
i = 30% = 0,3 ao ano.
Convertendo 90 dias e 135 dias para ano, teremos.
Calculo do Valor Presente de cada nota promissória
A loja recebeu V = VP1 + VP2 = 3051,24
Uma outra forma de resolver:
Transportamos para a data focal zero os valores nominais de cada nota promissória, ou seja das obrigações. E como o desconto é comercial, então estamos diante de um desconto por fora. Como a taxa está expressa em anos, convertemos os períodos para essa unidade anual. Assim, chamando de E o capital equivalente da primeira obrigação e F o da segunda, todos na data focal.
Ora, se transportarmos o Capital X, recebido pela loja para a data focal, perceberemos que X está na própria data focal, sendo assim, como X não será recebido nem antes nem depois, seu valor é o mesmo.
Fazendo a Equivalência de Capitais, onde a soma das Obrigações (I) é igual a soma das Obrigações (II), teremos
40]Aplicando R$ 80.000,00 durante 17 meses resgatamos R$ 140.000,00. Qual a taxa anual de juros simples ganha na operação?
Solução:
Como a taxa a ser calculada deve ser expressa em anos, devemos transformar 17 meses em anos.
41] João está estudando a possibilidade de aplicar da melhor forma seu capital pelos próximos 4 anos. O banco Alfa oferece aos seus clientes um fundo com rentabilidade garantida a partir de juros efetivos de 2% a.m. João também tem a possibilidade de emprestar o mesmo capital para seu amigo Pedro que aceita pagar uma taxa de juros simples de 3% a.m. Pergunta-se: o que João deve fazer para aumentar seu patrimônio?
Solução:
Aqui nós temos dois tipos de juros. O de juros efetivos de 2% a.m. é dito composto. O de 3%, como o próprio texto diz: é simples.
Assim temos dois cálculos a fazer.
Primeiro:
Segundo:
Como, 2,59.C > 2,44.C, João deve fazer a aplicação no Banco Alfa.
42] Um título de R$ 13.000,00 que vence em 120 dias, foi descontado comercialmente creditando na conta do cliente R$ 11.400,00. Calcular a taxa simples de desconto e a rentabilidade auferida pelo banco (ambas em % ao ano)
Prestadas as explicações acima, agora vamos à solução:
VF1 = 13000 n1 = 120 dias VP = 11.400
Convertendo 120 dias para ano, teremos.
Calculo da rentabilidade anual
que é a taxa de rentabilidade.
A taxa simples de desconto (d) será dada por:
43] Carlos acaba de ser notificado ter ganho uma ação trabalhista no montante líquido de R$ 50.000,00. Dessa forma, ele resolve antecipar, assim que o dinheiro estiver na sua conta, o pagto de três dividas que possui, de modo a gastar menos dinheiro com juros. Seus compromissos financeiros futuros são: R$20.000,00 para daqui a 90 dias; R$ 15.000,00 para daqui a 150 dias e R$ 23.500,00 para daqui a 210 dias. Calcule o pagto único que Carlos deverá fazer para liquidar essas dividas, sabendo-se que o dinheiro estará disponível na conta de Carlos daqui a 30 dias e que esses empréstimos foram contratados a uma taxa simples de 4,5% a.m. A data focal para o cálculo deste pagto será o dia da liquidação das dívidas.
Ora, Carlos vai antecipar o pagamento somente daqui a trinta dias. Então neste dia, as datas futuras estarão a 90-30, 150-30 e 210-30 dias do compromisso financeiro. Ou seja,
R$20.000,00 para daqui a 60 dias;
R$ 15.000,00 para daqui a 120 dias e
R$ 23.500,00 para daqui a 180 dias
Calcularemos então o Valor Presente (VP) antes daqueles períodos de cada compromisso:
VF1 = 20000 n1 = 60 dias
VF2 = 15000 n2 = 120 dias
VF3 = 23500 n3 = 180 dias
i = 4,5% am. Aqui vamos fazer a conversão da taxa mensal para taxa diária, para treinar a conversão de taxas. Vamos converter a taxa mensal para diária, visto que os períodos estão em dias.
Calculo do Valor Presente de cada nota promissória
Sendo assim Carlos pagará a soma:
18200 + 12300 + 17155 =47655
Resposta: R$47.655,00
44] Paulo ao comprar uma televisão, cujo preço à vista é de R$ 3.000,00 deu 10% de entrada concordou pagar outras três parcelas mensais, sendo a primeira para daqui a 30 dias, para quitar sua compra. Os juros efetivos cobrados pela loja são de 4,0 % a.m. Sabendo-se que o valor da segunda parcela é de 25% maior que o valor da primeira. Calcular os valores das prestações.
Houve um consenso entre nossos professores. Este exercício está faltando algum dado, pois a solução admite vários, infinitos resultados.
“Diz-se que dois capitais, com datas de vencimento determinadas, são equivalentes quando, levados para uma mesma data à mesma taxa de juros, tiverem valores iguais.”
Questões sobre equivalência de capitais:
45] Calcular o valor presente do conjunto de capitais apresentado a seguir e verificar se a juros compostos de 10% eles são equivalentes.
Capital Mês de Vencimento
$2.000 1
$2.200 2
$2.420 3
$2.662 4
Cálculo do Valor presente. Transportemos para uma data focal todas as obrigações. (será explicado mais detalhadamente em aula on line pelo MSN. [email protected])
Assim, o valor presente será dado por
VP = E + F + G + H = 7414,46
Vamos agora tratar do segundo tópico da questão, verificar se em regime composto os valores são equivalentes. Ora, tal verificação seria bastante trabalhosa se verificássemos valor por valor. Façamos a verificação de apenas um valor, identificando seu montante mês a mês. Caso, se verifique a equivalência deste, teremos então a equivalência dos demais.
Ora, verificou-se a equivalência do capital 2000 para cada data posterior. Sendo assim os demais valores também o serão. Está verificada a Equivalência.
Uma outra forma de verificação....
como se pode observar, todos os valores Vr são iguais.
46] Verificar se os conjuntos de capitais A e B são equivalentes, considerando uma taxa de juros de 10% a.m.
Conjunto A Conjunto B
Capital Mês de vencimento
Capital Mês de Vencimento
$2.000,00 1 $2.100,00 1$2.200,00 2 $2.000,00 2$2.420,00 3 $2.300,00 3$2.662,00 4 $2.902,90 4
Ora, o conjunto A é o mesmo conjunto apresentado na questão 8, seu valor presente, considerando data focal = 0, é igual a 7414,46
Calculemos o valor presente do conjunto B.
Assim, o valor presente será dado por VP = E + F + G + H = 7418,48
Como os valores são diferentes 7418,48 e 7414,46, logo não são equivalentes
47] Em vendas à vista uma loja oferece 5% de desconto; pagando por meio de um cheque pré-datado para um mês, não há cobrança de juros, para cheques pré-datados para dois meses, há um acréscimo de 3%. Qual é a melhor forma de pagamento se o rendimento da poupança for de 3,5% a.m.?
Façamos 100 o valor da compra para facilitar os cálculos. Os valores obtidos serão válidos para a interpretação geral.
Ora, se à vista o desconto é no ato de 5%, então o valor a ser pago será igual a 95.
Pagando por meio de um cheque pré datado, não há cobrança de juros, logo o cliente sai ganhando no tempo em que será descontado o cheque, assim, calculamos o valor presente da operação à taxa da poupança.
Para cheques pré para dois meses há um acréscimo de 3%, logo o valor pago na folha do cheque será igual a 103. Todavia calculamos o valor presente à taxa da poupança
Comparando os valores, percebemos que à vista é o melhor negócio.
48] Uma pessoa deve $3.000 com vencimento em dois anos e $4.500 com vencimento em seis anos. Pretende pagar seus débitos por meio de um pagamento único a ser realizado no final de quatro anos. Considerando uma taxa de juros efetiva de 10%a.a., determinar o valor do pagamento único que liquida a dívida.
2 0 4 6
X 4500
3000
anos
Nossa taxa está expressa em anos e o tempo em anos.
Tomando os valores em relação à data focal 4, teremos.
Ora,
49] Uma pessoa dispõe de três formas de pagamento na compra de um bem $4.800. Na primeira forma paga-se à vista $4.800; na segunda paga-se 20% de entrada e duas prestações mensais iguais e consecutivas, sendo a primeira para 30 dias; na terceira, o valor à vista é acrescido de 30% e, desse valor majorado, 20% é pago como entrada e o saldo, dividido em dois pagamentos mensais iguais sem juros, sendo o primeiro para 30 dias. Pede-se: a) a juros efetivos de 20% a.m. calcular o valor das prestações mensais na segunda forma de pagamento; b) calcular a taxa de juros efetiva embutida na terceira forma de pagamento.
a) À Vista = 4800
b) Na segunda maneira temos:
i = 20% am
Calculando os valores na Data Focal, teremos:
Ora, a soma das obrigações deve ser igual, e como o valor 3840 incide na data focal teremos:
Resolvendo teremos
DF 1 2
X 3840 X
c) O gráfico da situação.
DF 1 2
2496 4992 2496
A taxa de juros será dada por.
Calculando os valores na Data Focal, teremos:
Ora, a soma das obrigações deve ser igual, e como o valor 3840 incide na data focal teremos:
chamando (1 + i ) = k
, calculando k, teremos k =1 e k = -0,5, o que era de se esperar pois nesse caso teremos i = 0 e i = -1,5 o que desprezaremos. Realmente, i = 0 ou seja não houve taxa, visto que o valor de 4992 foi dividido sem juros.
Então a taxa efetiva de juros poderá ser calculada por tomando-se o valor total incidente:
, pela tabela teremos i = 0,14 = 14%
50] Um empréstimo foi contratado a juros efetivos de 5% a.m. para ser pago em dois pagamentos. O primeiro de $400 será pago ao fim de seis meses e o segundo de $800, ao fim de dez meses; entretanto, o empréstimo pode ser liquidado por meio de um único pagamento de $1.641,46. Determinar em que mês deve ser realizado esse pagamento para que a taxa de 5% a.m. seja mantida.
Vamos ao gráfico do problema
Como não sabemos qual a posição do mês, determinamos o valor do empréstimo.
Assim, determinamos que X = 789,61
Sendo assim...
, pela tabela
meses
DF 6 10
400Empréstimo = X
800
51] Considerando juros efetivos de 5%a.m., em que data deve ser feito um pagamento único de $160.000, de modo que liquide uma dívida pela qual o devedor irá pagar três parcelas, a saber: $50.000 no fim de 6 meses, $40.000 no fim de 10 meses e $80.000 no fim de 12 meses.
O gráfico da situação inicial é indicado abaixo:
O gráfico da situação desejada é:
A solução é análoga à anterior. Primeiro calculamos o valor da dívida na situação inicial. Depois, calculamos o tempo n, considerando X como sendo Capital e
160000 o montante.
X = 37310,76 + 24556,53 + 44546,99
X = 106414,28
, pela tabela
meses
DF 6 10
50000Dívida = X40000
80000
12
DF n
Dívida = X 160000
52] Uma compra pode ser paga à vista por $1.400 ou financiada por meio de uma entrada de 30% e mais dois pagamentos mensais – o segundo sendo 50% maior que o primeiro. Sabendo-se que o início dos pagamentos será ao término de um período de carência de 4 meses e que a taxa de juros é de 5% a.m., calcular o valor dos pagamentos mensais.
DF 5 6
X 980 1,5X
i = 5% am
Calculando os valores na Data Focal, teremos:
Ora, a soma das obrigações deve ser igual, e como o valor 980 incide na data focal teremos:
Resolvendo teremos
Assim, a primeira parcela será no valor de 515,01 e a segunda 772,52
53] Uma pessoa tem uma dívida de $1.000 que vence em dez meses e propõe-se a pagá-la em 3 parcelas: $350 daqui a 3 meses, $300 daqui a 7 meses e uma parcela final no vencimento da dívida. A juros efetivos de 4%a.m., determinar o valor da parcela final que liquida a dívida.
Tomando a data focal como sendo a data zero. Teremos
Igualando as obrigações, teremos...
Logo:
DF 3 7
350 Dívida = 1000300
10
X
54] Uma dívida de $1.000 vence daqui a 10 meses. Entretanto, o devedor propõe-se dividí-la em 3 parcelas semestrais iguais. A juros efetivos de 5%a.m., calcular o valor das parcelas.
Tomando a data focal como sendo a data da última parcela (18 meses) e transportando para aquela data todas as parcelas da obrigação, teremos:
Importante observar que o “expoente” das fórmulas (12, 6, 0) correspondem ao número de meses que cada parcela está em relação à data focal escolhida. Por isso que C = X, pois essa parcela está exatamente sobre a data focal e conseqüentemente será o próprio valor da parcela. (Bizu: particularmente, prefiro escolher a data focal sempre mais à direita do gráfico. Tal escolha tem um motivo óbvio que é a facilitação dos cálculos gerando apenas produtos)
Transportemos agora o valor 1000 para a data focal escolhida.
Igualando, teremos:
A + B + C = D
DF6 12
XDívida 1000
10
XX
18
55] Um bem vale à vista $2.000. A prazo paga-se uma entrada de 20% mais 3 mensalidades iguais e consecutivas. A juros efetivos de 4% a.m., calcular o valor da mensalidade.
Tomando a data focal como sendo a data da última parcela (3 meses) e transportando para aquela data todas as parcelas da obrigação, teremos:
Importante observar que o “expoente” das fórmulas (2, 1, 0) correspondem ao número de meses que cada parcela está em relação à data focal escolhida. Por isso que C = X, pois essa parcela está exatamente sobre a data focal e conseqüentemente será o próprio valor da parcela. (Bizu: particularmente, prefiro escolher a data focal sempre mais à direita do gráfico. Tal escolha tem um motivo óbvio que é a facilitação dos cálculos gerando apenas produtos)
Transportemos agora o valor 1600 para a data focal escolhida.
Igualando, teremos:
A + B + C = D
Valor da mensalidade iguala 576,55
DF1 3
X
2000 – 20%.2000 = 1600
2
XX
56] Um capital de $20.000 aplicado em 11/4/99 a juros efetivos de 20% a.m., rendeu $18.555,16 em um determinado prazo. Determinar o prazo e a data de resgate da aplicação considerando o ano civil.
Solução
Ano civil = consideramos os meses com seus dias na íntegra.
Ano comercial = consideramos os meses como sendo de 30 dias.
C = 20.000
i = 20% am
Usando o conceito de taxas equivalentes no regime composto, determinamos a taxa diária (d) equivalente a 20% ao mês
Assim uma taxa de 20% am equivale a 0,61% ad
J = 18.555,16
M = 38.555,16
, usando logaritmos....
n = 107,9 aproximadamente 108 dias!
Abril = 30 dias - 11/04/99 = 19 dias
Maio = 31 >> 31 + 19 = 50 dias
Junho = 30 >> 50 + 30 = 80 dias
Julho = 28 dias para completar os 108 dias!
Logo, a data de resgate será no dia 28 de julho de 1999.
57] Um bem cujo o preço à vista é de $ 4.000 será pago em oito prestações mensais iguais pagas ao fim de cada mês. Considerando que o juro composto cobrado é de 5% a.m., calcular o valor das prestações.
n
20.000
18.555,16
11/04/99
38.555,16
Solução:
onde T = 4000, i = 0,05 e n = 8
Ora, o segundo fator é obtido através da tabela
Assim, teremos:
P
4000
P P P P P P P
58] No exemplo anterior, considerando que no ato da compra foi paga uma entrada de 20% sobre o valor à vista, calcular o valor das prestações.
Solução:
Ora, se no ato foi pago 20% de 4000, teremos que restam 80% de 4000 = 3200
onde T = 3200, i = 0,05 e n = 8
Ora, o segundo fator é obtido através da tabela II
apresentada na questão 57.
Assim, teremos:
59] No exemplo 1, considerando que no ato da compra foi paga uma entrada de 20% juntamente com a primeira prestação (prestações antecipadas), calcular o valor das prestações.
P
3200
P P P P P P P
60] Uma pessoa pode abater $7.500 se entregar seu carro usado na compra de um veículo novo, cujo valor à vista é de $18.500. O saldo será pago por meio de uma determinada entrada, mais 18 prestações mensais postecipadas de $350. Considerando que foram aplicados juros nominais de 72% a.a. capitalizados mensalmente, calcular o valor da entrada.
Solução
72% / 12 meses = 6% am
18.500 – 7.500 = 11.000
P = 350
Fator da tabela II = 10,827604
61] A juros nominais de 36% a.a. capitalizados mensalmente, determinar o tempo necessário para liquidar um financiamento de $ 842,36 por meio de prestações mensais postecipadas de $120.
62] Quanto se deve aplicar hoje em um investimento de forma que se possa retirar $100.000 no fim de todo mês, durante os próximos 20 meses, considerando uma taxa de juros nominal ganha de 120% a.a. capitalizada mensalmente.
63] Um financiamento de $450.000 foi contratado a juros efetivos de 20% a.a., devendo ser amortizado em 12 prestações mensais postecipadas iguais. Calcular o valor das prestações.
64] Um financiamento de $20.000 será pago em oito prestações mensais postecipadas. Considerando que a taxa de juros efetiva cobrada pela financeira é de 8% a.m., calcular o valor de uma comissão de abertura de crédito, cobrada ao cliente, que permita à financeira auferir uma rentabilidade de 10% a.m. na operação.
P P P P P P P P P P P P P P PP
11000 - E
P P
65] Uma indústria financia suas vendas à prazo aplicando juros efetivos de 10% a.m. Determinar o valor das prestações postecipadas para uma venda de $250.000, considerando que há duas alternativas de pagamento: a) em 12 prestações mensais; b) em 4 prestações trimestrais.
66] Um bem, cujo valor à vista é de $6.000, será pago por meio de uma entrada de 50% e o saldo em tantas prestações mensais postecipadas de $380 quantas forem necessárias, mais um pagamento final inferior ao valor da prestação, que deve ser efetuado um mês após a data do vencimento da última parcela . A juros efetivos de 4% a.m., determinar o número de prestações e o valor do pagamento final.
67] Um financiamento de $10.000 será pago em cinco prestações mensais postecipadas. Se as últimas três são de $3.800 cada e a taxa de juros efetiva aplicada é de 5% a.m., determinar o valor de cada uma das duas primeiras prestações.
68] Um financiamento de $ 50.000 será pago em 12 prestações mensais aplicando-se juros efetivos de 8% a.m. Considerando que foi estipulado um período de carência três meses, calcular o valor das prestações antecipadas e postecipadas.
69] Um bem cujo valor à vista é de $10.000 será pago por meio de uma entrada de 20% mais 13 prestações antecipadas mensais de $800 cada e mais um pagamento final junto com a última prestação. Considerando que são aplicados juros efetivos de 4% a.m. e que há um período de carência de três meses, calcular o valor do pagamento final de modo que a dívida seja liquidada.
70] Quanto uma pessoa acumularia no fim de 15 meses se depositasse todo final de mês $350 em uma aplicação que paga juros efetivos de 5% a.m.?
71] Uma pessoa deseja comprar um bem cujo valor à vista é de $3.840. Para tanto, resolve efetuar quatro depósitos trimestrais iguais em uma aplicação financeira que rende juros efetivos de 12,55% a.a. Considerando que a compra será efetuada um trimestre após o último depósito, calcular o valor das aplicações trimestrais de modo que seja possível efetuar a compra com o valor de resgate do investimento.
72] Inicialmente uma pessoa deveria pagar pela compra de um eletrodoméstico quatro prestações mensais de $80 cada (a primeira para 30 dias), mais três prestações de $60. Entretanto a loja oferece outro esquema de pagamento em que o cliente faria um único pagamento daqui a cinco meses. Considerando uma taxa de juros de 6% a.m., qual será o valor desse pagamento único?
73] Um fundo de renda fixa paga juros nominais de 60%a.a., capitalizados mensalmente. Um investidor fez um depósito inicial de $8.000 mais 22 depósitos mensais iguais e consecutivos, o primeiro iniciando um mês após o depósito de abertura. Considerando que no fim do período o fundo acusa um saldo de $90.000, calcular o valor das aplicações mensais.
74] Um empréstimo contratado a juros efetivos de 2% a.m. foi liquidado por meio de 13 prestações mensais postecipadas. Se os juros pagos no período totalizaram $1.060, calcular o valor unitário das prestações.
75] Uma pessoa deseja dispor de $13.000 dentro de 6 meses. Para tal efeito, começa hoje a depositar todo início de mês em uma aplicação que paga juros efetivos de 4% a.m. Qual o valor de cada depósito antecipado de modo que disponha da quantia ao término do sexto mês? Qual o valor de cada depósito antecipado de modo que disponha da quantia ao início do sexto mês?
76] Um capital de R$1.000,00 é aplicado a juros simples, durante um período de 3 meses, a uma taxa de 10% ao mês. Qual o valor a ser resgatado?
Sol.: Em primeiro lugar, teremos a preocupação de identificar o assunto da questão! Ora, o enunciado falou em elementos como capital, taxa e, tempo de aplicação. São todos elementos de uma operação de juros! E ainda disse, expressamente, que o capital foi aplicado a juros simples! Então não resta mais dúvida alguma: estamos diante de uma questão de juros! A segunda grande preocupação, após identificar o assunto da questão, será identificar o regime. Aqui essa informação já foi dada de maneira expressa, como vimos. O regime que estamos trabalhando é o simples! Logo, questão de juros simples!
O enunciado nos forneceu o capital (R$1.000,00) e está pedindo o valor a ser resgatado, ou seja, está pedindo o montante! Poderemos, neste caso, trabalhar com esses dois elementos, Capital e Montante! A equação que usaremos será a seguinte:
E para aplicar esta equação, já sabemos, temos que cumprir uma exigência: que taxa e tempo estejam na mesma unidade! Aqui foi dado que a taxa é mensal (10% a.m.) e o tempo de aplicação do capital está também em meses (3m). Daí, já podemos aplicar os dados na equação. Teremos:
77] Indique, nas opções abaixo, qual a taxa unitária anual equivalente à taxa de juros simples de 5% ao mês:
a) 60,0
b) 1,0
c) 12,0
d) 0,6
e) 5,0
Solução O enunciado nos forneceu apenas uma taxa mensal (i=5% ao mês) e disse, expressamente, que se trata de uma taxa de juros simples. Estamos, portanto, no regime simples! Daí, a questão pede como resposta, que encontremos uma taxa anual equivalente. Ora, como dito acima, se estamos no Regime Simples, taxa equivalente é sinônimo de taxa proporcional. Então, transformaremos nossa taxa mensal (5%) numa taxa anual, por meio do conceito de taxas proporcionais, exatamente da forma como já aprendemos. Teremos:
Ocorre que o enunciado pediu que essa taxa anual seja uma taxa unitária, ou seja, que esteja expressa sob a notação unitária! Já sabemos que há duas notações com as quais podemos expressar uma taxa: a notação percentual e a notação unitária. Já demos exemplos de ambas. Relembrando:
Taxa de 10%: - notação percentual: 10% - notação unitária: 0,10
Taxa de 15%: - notação percentual: 15% - notação unitária: 0,15
Taxa de 7%: - notação percentual: 7% - notação unitária: 0,07
E assim por diante! Voltando à questão: encontramos uma taxa anual de 60%. Em termos unitários, como estaria expressa essa taxa? Da seguinte forma:
Taxa percentual = 60% = 0,60 = 0,6 Resposta!
78] Um capital de R$14.400,00, aplicado a 22% ao ano, rendeu R$880,00 de juros. Durante quanto tempo esteve empregado?
a) 3 meses e 3 dias
b) 3 meses e 8 dias
c) 2 meses e 23 dias
d) 3 meses e 10 dias
e) 27 dias
Sol.: Essa questão foi cobrada em uma prova elaborada pela Esaf, no ano de 1985. Há quase duas décadas! A prova era para cargo de TTN, hoje chamado TRF (Técnico da Receita Federal). Velhos tempos... quem diria que passar em concurso ia se tornar uma coisa tão difícil?... Mas não por causa da Matemática Financeira!! Vamos à questão! Primeiro passo: identificar o assunto. O enunciado falou em capital, falou em taxa e falou em rendimento (que é sinônimo de juros, conforme já sabíamos). São todos elementos de uma operação de juros, de modo que não resta qualquer dúvida sobre isso! Agora, teremos que identificar o regime da operação. Novamente o enunciado silenciou acerca do regime, nada declarando a esse respeito. Logo, por convenção, adotaremos o regime simples! Pois bem! A questão forneceu os valores do Capital e dos Juros. Vamos, portanto, trabalhar com esses dois elementos! A nossa equação será a seguinte:
E qual é a exigência dessa equação? Que taxa e tempo estejam na mesma unidade! Ora, sabemos que a taxa é anual, pois assim foi fornecida pelo enunciado (i=22%aa). E o tempo da aplicação é o que está sendo questionado! Sendo assim, se resolvermos deixar a taxa em termos anuais, como já está, encontraremos como resposta um tempo de aplicação também em anos! Claro! Já que taxa e tempo têm que estar sempre na mesma unidade! Surge a pergunta: será que nos convém trabalhar com a taxa anual e encontrar o tempo em anos? Como poderemos responder a esta pergunta? Simples: olhando para as opções de resposta da questão! Se todas as cinco opções (a, b, c, d, e) trouxessem respostas com o tempo em anos, é óbvio que trabalharíamos com esta unidade; se as opções, de outro modo, trouxessem os tempos todos em meses, buscaríamos trabalhar com taxa e tempo em meses; e assim por diante! Porém, observando as opções de resposta da nossa questão, vemos que trazem o tempo em duas unidades: meses e dias! Então, quando isso acontecer, a minha sugestão é a seguinte: trabalharemos com a menor unidade! Entre mês e dia, o menor é dia! Assim, procuraremos usar taxa ao dia e, com isso, encontraremos um resultado de tempo também em dias! Daí, ficará muito fácil transformar o tempo em dias para meses e dias como está na resposta. Para transformar, no regime simples, uma taxa anual em uma taxa ao dia, teremos que usar o conceito de Taxas Proporcionais. E o raciocínio será o seguinte: taxa ao ano para taxa ao dia; ano para dia; maior para menor; do maior para o menor, dividimos; quantos dias têm um ano? Importante: Para responder a pergunta acima, temos que conhecer mais um conceito: o de Juros Comerciais ou Ordinários! Juros Comerciais ou Ordinários é aquele que considera que todos os meses do ano têm trinta dias (1m=30d). Portanto, segundo essa mesma consideração, o ano inteiro terá trezentos e sessenta dias (1a=360d). Este conceito, na Matemática Financeira, é tido como regra! Ou seja, caso o enunciado de uma questão não disponha de modo contrário, ou se a questão não disser nada sobre isso, já fica subentendido que estamos trabalhando com esse conceito. Em outras palavras: considerar o mês (qualquer que seja) com 30 dias e o ano inteiro com 360 dias é a regra na matemática financeira. A exceção será um outro conceito – Juros Exatos – sobre o qual falaremos ainda nesta aula de hoje. Voltando ao lugar onde paramos: ... quantos dias tem um ano? Tem 360 dias! Logo, dividiremos a taxa anual por 360, e chegaremos a uma taxa ao dia! Teremos:
Taxa ao ano ---- ÷ 360 ---- > Taxa ao dia
(taxa maior) (taxa menor)
Daí: 22% ano ---- ÷ 360 ---- > (22/360)% ao dia
Deixemos assim! Não precisamos fazer essa conta agora! Finalmente, vamos lançar os dados na nossa equação. Teremos:
Para transformar 100 dias em meses e dias, só teremos que nos lembrar que um mês tem 30 dias na matemática financeira (juros comerciais ou ordinários!), daí, dois meses são 60 dias, e três meses são 90 dias. De 90 para chegar a 100 faltam 10.
Logo: n = 100 dias = 3 meses e 10 dias
79] Se um capital de R$7.200,00 rendeu R$162,00 de juros em 90 dias, qual é a taxa de juros simples anual desta aplicação?
Solução.: Identificando o assunto: o enunciado falou em um certo Capital ficou aplicado durante um determinado período de tempo e rendeu uma certa quantia. Já sabemos que este “rendimento” é sinônimo de juros! Não resta qualquer dúvida: estamos diante de uma questão de juros. E o regime? Basta ver a pergunta feita pelo enunciado: “qual a taxa de juros simples anual?” Daí: juros simples é o nosso assunto! Se dispomos dos valores do Capital e dos Juros, é com esses dois elementos que iremos trabalhar! A nossa equação será:
Só temos agora que nos lembrar da exigência: taxa e tempo na mesma unidade! O tempo foi fornecido em dias (n=90 dias). E a taxa foi solicitada em termos anuais! Se precisamos encontrar uma taxa ao ano, é lógico que teremos que trabalhar com o tempo também em anos! Vamos fazer essa conversão. Primeiramente, sabemos que todos os meses têm 30 dias, logo é muito fácil concluir que 90 dias são iguais a 3 meses! E 3 meses é um pedaço do ano, ou seja, uma fração do ano! Que fração é essa? Se não conseguirmos enxergar de imediato que 3 meses é o mesmo que ¼ (um quarto) de ano, então façamos uma pequena regra de três:
Agora, que já dispomos do tempo em anos, resta-nos lançar os dados na equação. E como resultado, não podemos esquecer disso, encontraremos uma taxa anual! Teremos:
80] O preço à vista de uma mercadoria é de R$100.000,00. O comprador pode, entretanto, pagar 20% de entrada no ato e o restante em uma única parcela de R$100.160,00 vencível em 90 dias. Admitindo-se o regime de juros simples comerciais, a taxa de juros anuais cobrada na venda a prazo é de:
a) 98,4% b) 99,6% c) 100,8% d) 102,00% e) 103,2%
Solução: O gráfico será dado por:
Uma observação: sempre que o enunciado de uma questão de juros nos fornecer ao mesmo tempo os valores do Capital e do Montante, já teremos, nas entrelinhas, mais um dado! Qual? Os Juros, claro! Sabemos que J = M – C. Logo, já podemos calcular os Juros e trabalhar com ele. Teremos:
J = M – C J = 100.160 – 80.000 J = 20.160,00
Vamos trabalhar aqui com Capital e Juros. Nossa equação será:
A exigência: taxa e tempo na mesma unidade! A questão pede uma taxa anual. E nos forneceu o tempo em dias (n=90 dias). Já transformamos 90 dias para 3 meses. E já fizemos, no exemplo anterior, a transformação de 3 meses para anos. Encontramos que 3 meses = ¼ de ano. Logo, lançando os dados na equação, teremos:
Resolvendo a divisão:
81] A quantia de R$10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos.
Essa questão é extraída da prova do Fiscal da Receita de 1998 (vide material de apoio). O enunciado foi explícito, afirmando que o capital de R$10.000,00 foi aplicado a juros simples exatos. E teria que ter sido, mesmo! Porque, se os juros exatos são a exceção, só iremos considerá-lo quando o enunciado falar expressamente que trabalharemos com ele!
82] Um capital é aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro do mesmo ano, a uma taxa de juros simples ordinário de 36% ao ano, produzindo um montante de $4.800,00. Nessas condições, calcule o capital aplicado, desprezando os centavos.
a) $ 4.067,00 b) $ 4.000,00 c) $ 3.996,00 d) $ 3.986,00 e) $ 3.941,00
Como o início da operação foi no dia 5, então no mês de maio teremos 31-5 = 26 dias.
83] Os capitais de $20.000,00, $30.000,00 e $50.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples mensal durante 4, 3 e 2 meses respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação desses capitais.
Sol.: Anotemos os dados do enunciado:
Capital 1 = 20.000,00; Capital 2 = 30.000,00; Capital 3 = 50.000,00 Tempo 1: n1 = 4 meses; tempo 2: n2 = 3 meses; tempo 3: n3 = 2 meses; O enunciado diz que os três capitais foram aplicados “à mesma taxa”. Logo, podemos dizer que i1 = i2 = i3 , e chamá-las todas de i uma vez que são iguais!
Por que encontramos uma resposta em meses? Porque os prazos fornecidos pelo enunciado estavam todos nessa unidade! Acontece que 2,7 meses não está em nenhuma das opções de resposta! Teremos que transformar 2,7 meses em meses e dias. E isso é facílimo! 2,7 = 2 + 0,7, certo? Daí, a parte inteira já sabemos: é 2 meses. E 0,7 meses será quantos dias? Basta multiplicamos por 30. Claro, se um mês tem 30 dias, então 0,7 meses terá (0,7x30) dias. Se, na hora da prova, não conseguirmos desenvolver esse raciocínio, podemos fazer a seguinte regra-de-três:
84] Os capitais de R$3.000,00, R$5.000,00 e R$ 8.000,00 foram aplicados todos no mesmo prazo, a taxas de juros simples de 6% ao mês, 4% ao mês e 3,25% ao mês, respectivamente. Calcule a taxa média de aplicação desses capitais.
a) 4,83% ao mês d) 4% ao mês
b) 3,206% ao mês e) 4,859% ao mês
c) 4,4167% ao mês
Solução:
Sol.: Anotemos os dados do enunciado:
C1 = 3.000,00 ; C2 = 5.000,00 e C3 = 8.000,00
Taxa 1: i1 = 6% ao mês; taxa 2: i2 = 4% ao mês e
taxa 3: i3 = 3,25% ao mês. Os prazos das três aplicações são o mesmo, de modo que os chamaremos apenas de n, já que são iguais. Também na questão de Taxa Média, nossa preocupação será a de que os tempos estejam compatíveis entre si, e que as taxas estejam igualmente compatíveis entre si. Não há a exigência que os tempos e as taxas estejam na mesma unidade. No caso da nossa questão, as taxas estão todas mensais, e os tempos não foram fornecidos, mas o enunciado falou que são iguais, portanto, compatíveis. Daí, lançando os dados na fórmula da taxa média, terá:
Aqui, dividiremos todas as parcelas do numerador e todas as parcelas do denominador por “n”, de forma que passaremos a ter apenas:
Por que a Taxa Média que achamos é mensal? Porque as taxas originais também eram todas ao mês! Apenas isso!
Gabaritocerto informa:
Agora você pode participar de Grupos de Estudo e ter Aulas Particulares pelo MSN adicionando [email protected] ou
Eis aí uma grande oportunidade! Projeto Organizado. Você agenda o dia e a hora das aulas e das
explicações. Você organiza o grupo e terá as aulas e as explicações on line
em tempo real. Adicione nosso e-mail: [email protected] em seu MSN
e tenha acesso direto às AULAS PARTICULARES ON LINE VIA MSN.
Entre em contato. Gabaritocerto está on line.
Nosso Objetivo:
Desenvolver a atividade educacional em todo o mundo utilizando os recursos tecnológicos disponíveis e Proporcionar a todos os integrantes um pólo de assessoria educacional.
Projetos desenvolvidos:
Aulas Particulares On-Line através do MSN. Estamos on line todos os dias das 09 as 11h e das 21 às 23h. Resolução de Exercícios On Line no MSN. Blog: www.gabaritocerto2.blogspot.com/ Blog no Orkut: (Link abaixo) http://www.orkut.com/Profile.aspx?uid= 13411604059576539391
Divisão das Atividades
Atividades Gratuitas e Atividades com custo.
Como Funcionam as Aulas Particulares On-Line?
As AULAS PARTICULARES ON LINE são ministradas em tempo real pelo MSN, utilizando-se dos recursos de voz e vídeo. A AULA PARTICULAR ON LINE é exclusiva, ou seja, a conexão não é compartilhada com outro computador.
Através do MSN, o interessado adiciona o nosso e-mail ([email protected]) e tenha acesso às aulas on line.
A Aula Particular On-Line é ministrada em tempo real individualmente. O interessado poderá ver e ouvir o professor, bem como o quadro branco com os desenvolvimentos das questões e explicações, tudo em tempo real!!!
Não é aula gravada!. O interessado agenda o horário da aula no
MSN.
Explicações, resoluções de problemas, fixação e demonstração dos conceitos cobrados em concursos.
O interessado deve possuir recurso de vídeo (webcam) e voz (microfone).
O interessado pode a seu critério convidar outras pessoas para assistir as aulas em seu computador (Grupo de Estudo, por exemplo).
IMPORTANTE: O interessado deve agendar antecipadamente a Aula Particular On Line em entrevista on line com o professor através do MSN.
Horários de atendimento:
Estamos on line para marcações de segunda a sexta das 09 as 11h e das 21 as 23 horas.
Durante a entrevista on line pelo MSN, agenda-se o horário.
Valor: Veja em nosso Blog
www.gabaritocerto2.blogspot.com/
ou envie e-mail para:
Acesso: Livre. Estudantes, Professores, etc.Modo de Acesso: Internet.No (Mensenger) MSN, no e-mail: [email protected] Área de atuação: Todas as disciplinas (Nível 1º e 2º graus)
Prof. Antonio.Professor e Orientador do Grupo Gabaritocerto.
Nossa central de atendimento no [email protected]
(Segunda a sexta: das 09 as 11h e das 21 as 23 h)