UIIT PróIoqo a Ia edícíón en espairal

regional isrnos; err sf igun(1o l i tgar, pr i rqr !B ia t l r rc l r r ¡ l r ,* ia f ís! ia cestel la¡ la t t idaviano se ha ase¡r i i iCc, r :n parte ¡ tor la lnt iuernci¡ t . . 'a i r : jb i i : t ¡ : r : han tenido la: : termi-nologí; ,s f ranci :sa e i l ¡ l i¿¡¡ra y la ter ; r t inr t lo i { i : i ing}r}sr : . ' t ; r pr i r te por el insui ic ient |desarrol lrr r le ia f ísir :a rr lr los i) ' , i íst js ¡. j r : i r ; i i -r l¿r <r¿¡slei i¡ t t ; t . ' . l iee¡nos h: ibct '¡ ;rescntl , i louna 1erü]inoloqía de r¡s¡i basl: i l -r i -e i1e i l r : .r ; ; l l i l c; l :slanl i t . : .rr puede l{.}¡nar cr¡rrto r¡napfr lpuÍst.¿, t i í i ta qu{l saa cDnsii i t :r-a¡i : i r}r--rt i . i ' r¡ { lel i i r ' r{r ' i t t l te r l t : ¡-ror¡n:r l . izaci<i¡¡ i1e,tenninclogía qi te t iene el Ct:nLrc l ,at i i i r ;anlr ' i , i ¡nr , d, : l j is i t : ¡ . . Querr t ' . r r r . : , s¡¡r c i l i -' l -rar¡1o, i¡rsist ir e: l ( i trs casos i he:n¡i ; trs; i : l ¡ i i )¡ , i : tr ' t i l rr f¿t r: i ' , ' . , igna; ' el ¡ !1{}r ir t- ' ¡r t{r t lc un;iiue¡ '¿a p1)r '(¡uÉ cs J.a psir i i )r i l , in: j l sin;tr i . . i , i i ; 'a.r:1)nrr) ir ;zai i i ls r i lversr¡s r lr i r l tr les r lut 's,: h: ir : i ¡sarlo Dara estr: conceflo 1'polr. t ,- : i ¡ ,- l lnir ] . l - :uvt:t i3 i l1i . t :rnacic¡nal ización deia te l l r i r t r l iogf a. Utra ; t ln ' i \ ' ¡c i i i ; r 's f ¡ ¡ { i r ; in¡ü: t¿ lc. i Lrai l r t , :1cr-es f ra¡rcescs de Newtorr

¡;r 'ei i i icrcn la designación carle¡iana r ic ¡rrni ir . i i ¡¡ . i r i . .r ivr '- .r ' i ¡ :niet i io, que también tuv+a¡ ' r : i - r t i . , r iót l general en i t¿r l ianr,r . \ r r l r , . '¿ ls ie i i *no, - ! in r i l , , : , r rgr)- su uso rcsul t r i inco;.1-., 'cr i icnte poí su longi inri y i) ,)r:qtrr r : l ; ¡¡r:-rcir<-rs trat. i i r i ¡ i i .ntus lerjr ícos el concepto noestá direcf .amci¡ te reiacionado cun -¡ i : t , ; . imlr¡r to. ' \

l i l r . i i ¡ . r s impl i f icar ! , 'c f i l r t r ib i l i ra l : ¡ i r r te inacicnal ización de l ¡ t t - r i t r i r ro i ¡ . , : : í : t htnir¡ : prefer idr ; m¡LmenltLtn.

I is ta¡nirs col ;sr : ic¡ l tes r i t i ¡a i ¡e i l { iqrá(¡r , , i r i ¡ l i ¡at i , ¡ i :c i i ;n aceptabie. Esto l la s id¡¡i lu:r i i : le í . : iaci lrs a l :r c,/ ial)orai: i i rn t lc l is i . :<., i . l . r r- l j : : i i rr t i : ' procedet' icias que trabajatrt :-r r : i l . !e¡;ari"atnetrt<.¡ rIe lr ísic¿ r. le la [ .nir. i ;rsir]¿rt1 de Orieri i¿, a la t ie;nuchos f isicos:lr t i i t rrcntes f¡artes dt i .at i i loanrérica ' : i l rr . , 1¡t ' t ,-r*s i :o¡rsult .¿ldu ¡ 'a la dcl Llr. I farcelo;\ lcr isü. Quereriros también rnani lestar r iutrstr{ i agredecirrr iento a l¿r esposa de unode rrosotros (C. A. H.) por su ayuda cn innúrr :eras tare ¡s secretar ia les y en la revi-s!én de todo el rnanuscr i to, lo cual iedundó en unü nrt jor presentación del texto,pi irrcipaimente por la supresién de nruchos anglicismos, gal icismos y barbarismos.

Cumanriiunio de 1970

C.r\Rr,os Ar,sEnro llenasJosÉ A. B¡Rnpro An¡u¡o

Versión en español de:

CARLOS ALBERTO HERAS

Coardinudor CientílicoUniversidad de Oriente. Venezuela

vJOSE A. BARRETO ARAUJO

Departamento de FísicaUniversídad de Oríente, Venezuela

Con la colaboración de :

ROMULO E. BALLESTERO

Facultad de Ciencias y LetrasUniversidad de Costa Rica

rl

FISICA

VOTUMEN II: CAMPOS Y ONDAS

Deportamento de

FISICA

VOTUMEN II: CAMPOS Y ONDAS

MARCELO ALONSO

Departamento de Físíca, Universidad de GeargetownWashíngton, D. C.

Asuntos Cientlficos, Organización de los Estados Amerimnos

EDWARD I. FINN

Deparlamento de Física, lJniversidad de GeorgetownWashington, D.C.

FONDO EDUCATIVO INTERAMERICANO,

Bogotá Caracas - X'féxico - Panamá - San Juan - Santiago - Siro

S. A.

Pa: l : ,

r r ; ; r ¡ ; . . ; i r i f ¡ , ; i : : : r i i l , ingiese t i tu iada; , : : . 'L i - ' t t i i : t ; ¡ t t i ] l ' r l í i f . ! ,

i ' - : . r , : , ; ; ' . l " : , . , i , ¡ :d ic iót t c i* 1967,l i i ; r 1:- ; ; ¡ ¡ ; ¡ i . l ; : : l ¡ : ; ,ny, Read. i f lp. ,

- . . i s i i l ; ; , r i ; i i l3 úf : ¡ca aüt i l r ;uada.

. . - i l :

: t j ' : . : !

. l / ; , ¡ t .

f{ l i i ' i r i . '

€) l$70 ¡ror tr 'ONIIO EIlUf;Ag;l 'O INTERAMFRXCA¡rO, f l . A.

T¡:clos los rlrrechos han sido ¡esei"?.?(i¡s. Ni est¡: iibro rri parte de él ¡lueden serr*pxo(irrr i i j i )$ er¡ fornl: t algl:n:r $in ( i i i . .crf i l lso eicr l ta ¡ j<: su editor. Printed in theLlnitei Sl. ; ' . icr r¡ i Ai lrcr ic¿r. lnr¡-.¡¡rq" ¿:rr io¡, i i . I I" , ] i . Tarjr ' , ia del catálogo de la Bi ir t ic¡*teca i l r i Co:rgiesc de ! l :¡ : I- iE. Lir{- i . ; 7.1" 1!3:: l1 9"

PROTOGO A TIT EDICION EN ESPANOL

Uno de nosotros (J. A. B.), aprovechando Ia flexibilidad proporcionada pof elcarácter experimental de la Universidad de Oriente, habla comenzado a reestruc-turar el programa de ffsica general y a experimentar con él a fin de hacerlo másmoderno e interesante para los estudiantes. Este trabajo lue completado por ambostraductores a principios de 1967 con la colaboración de algunos colegas. Se iba autilizar en cursos básicos comunes a todos los estudiantes de ingenierfa y de ciencias(incluyendo los del área biológica). La diflcultad para ponerlo en práctica era lafalta de un texto apropiado, lo cual exigirfa de los profesores del departarnintoun csfuerzo de asimilación de textos tales como The Fegnman Leclures on Pñysics.Fue entonces cuando llegó a nuestras manos el volumen I y poco después el Ilde esta serie de física fundamental universitarla. La adoptamos como texto gufadel curso de fisica general, conscientes de los inconvenientes pedagógicos que implicautilizar a este nivel un libro €n otro idioma. Felizmente, el libro, particularmenteeste volumen II, resultó incitante no sólo para ios estudiantes sino también paralos profesores. El resultado fue un aumento sustancial en el rendimiento estudiantil,tradicionalmente bajo, especialmente en el primer semestre del curso.

Una de las ventajas que hemos encontrado en esta serie es que.su nivel no esuniforme. Mediante una selección adecuada de temas, ejemplos y problemas, sopuede conseguir diversos niveles efectivos. Entendemos que esto será de sumautilidad en la América latina, ya que se podrá adaptar el libro a los niveles deenseñanza tan dislmiles en la región.

El volumen II es particularmente revolucionario, tanto por el enfoque comopor el contenido: la reducción del espacio dedicado a los campos estáticos a susjustas proporciones, la posposición del estudio de circuitos a problemas (lo querealme¡te son), el tratamiento unificado de las ondas, que permite un estudio razo-nable de las ondas electromagnéticas (sobre las cuales se basa gran parte de lascom.odidades que la civilización actual ha puesto a nuestro alrededor). La intro-ducción del concepto de fotón a esta altura nos parece sumamente úti l, pues unavez que el estudiante se conv€nce de que los rayos gamma, Ios X, la luz y las ondasde radio son de la misma naturaleza, la pregunta invariable es ¿por qué, entonces,algunas de estas ondas pueden ser dañinas y otras ni las sentimos?

El trabajo de traducción ha sido a la vez un placer y un estlmulo. Un placerpor Ia claridad y la concisión del lenguaje uti l izado en el original - aparte de loshallazgos didácticos; sólo introdujimos algunos cambios menores respecto al ori-ginal cuando consideramos que ello redundaba en mayor precisión o claridad,El lector sabrá disculpar los defectos idiomáticos que pueda hallar: consideramosque poner al alcance de los lectores de habla castellana un texto de alta calidaden la materia era más urgente que lograr un castellano perfecto. La traducciónfue además estimulante, en primer lugar, porque dada el área de difusión quetenciría la presente edición en castellano, deblamos evitar en lo posible el uso de

PROTOGO

La ffsica es una ciencia fundamental que tiene profunda influencia en todas lasotras ciencias. Por consiguiente, no sólo los estudiantes de flsica e ingenierfa, sinotodo aquel que piense seguir una carrera cientfflca (biologfa, qufmica y matemática)debe tener una completa comprensión de sus ideas fundamentales.

El propósito primario de un curso de fisica general (y guizá la única razón paraque aparezca en el plan de estudios) es dar al estudiante una visién uniflcada dela fisica. Se deberia hacer esto sin entrar en muchos detalles, analizando, sólo, losprincipios básicos, sus implicaciones y sus l imitaciones. El estudiante aprenderáaplicaciones especfficas en cursos más avanzados. Asf, este libro presenta las ideasque creemos fundamentales y que constituyen el corazón de la'flsica de hoy. Flemostenido en cuenta cuidadosamente las recomendaciones de la Comission on CollegePhgsics (Comisión de Ffsica para Universitarios) para escoger los temas y el métodode presentación.

Hasta no hace rnucho tiempo, la ffsica se venfa enseñando como si fuera unconglomerado de varias ciencias más o menos relacionadas, pero sin un punto devista realmente unitario. La división tradicional (en "ciencias"): mecánica, calor,sonido, óptica, electromagnetismo y ffsica moderna no se justifica al presente.Nos hemos apartado de este enfoque tradicional. En su lugar seguimos una presen-tación lógica uniflcada, haciendo énfasis en las leyes de conservación, en los con-ceptos de campos y de ondas y en el punto de vista atómico de la materia. La teor[ade la relatividad especial se usa sistemáticamente en el texto como uno de losprincipios gufa que debe satisfacer cualquier teorla ffsica.

El curso se ha dividido en cinco partesl (1) Mecánica, (2) Interacciones y Campos,(3) Ondas, (4) Flsica cuántica y (5) Fisica estadistica. Comenzamos por Ia mecánicacon el f in de establecer los principios fundamentales necesarios para descubrir losmovimientos que observamos a nuestro alrededor. Entonces, como todos los fenó-menos naturales son el resultado de interacciones y éstas se analizan en funciónde campos, en la parte (2) consideramos las clases de interacciones que compren-demos mejor: la gravitacional y la electromagnética, responsables de muchos delos fenómenos macroscópicos que observamos, Estudiamos detalladamente el elec-tromagnetismo, concluyendo con la formulación de las ecuaciones de Maxwell.En la parte (3) discutimos los fenómenos ondulatorios como consecuencia del con-cepto de eampo. Es aquf donde incluimos gran parte del materjal que generalmenteaparece bajo los tftulos de óptica y de acústica. Sin embargo, se ha puesto énfasisen las ondas electromagnéticas como extensión lógica de las ecuaciones de Maxwell.En la parte (4) analizamos la estructura de la materia - átomos, moléculas, núcleosy particulas fundamentales -, análisis que está precedido de las bases necesariasde la meeánica cuántica. Finalmente, en la parte (5) hablamos de las propiedades dela materia en conjunto. Comenzamos presentando los principios de la mecánicaestadística y los aplicamos a algunos casos simples pero fundamentales. Estudiamos

Prologo

la termodinárnica desde el punto de vista de la ¡nc,:" l i i ica estadfst ica y concluimoscen un capitr.r io sol¡re las propiedacies térmicas de ia materia, demostrando cómose apl ican lor principlos de la mecánica est.adist ica y de la ter¡nodinámica.

Esle l ibro es novedoso no sólo en su enfr)que si¡¡o tarnlr ién en su contenido, yague hemos inclrr i<lo algunos tópicos fundame¡rtales que no se encuentran en iamayorÍa de los textos de ffsica general y hemos dejado de lado otros que son tra-dicionales, La rnatemática usada se puede encorrtrar en cualquier l ibro de análisisnta.t¡mático. Suponemos que los esf,udjantes poseen conocimientos rnfnimos de aná-i isis ;natemáticc y están, a ia vcz, lornando un curso sobre este tema, Muchasaplicaciones de los principios fundamerrtalrs, asf como también algunos tópicos unpocrl más avanzados, aparecen en for¡na de ejemplos resueltos. Según la conve-niencia del prcfesor, éstos se pueden discutir o proponer conforme a cierta selección,io cual permitc una meyor f lexihi l idad en )a oiganización del curso.

l ,os planes de estudios de todas las ciencias están someticlos a presiones paraque incorporen nuevos tópicos que están cobrando rnayor inrportancia. Esperamosque este l ibro al ivie estas presiones, elevardo en ei estudiant.e el nivel de cornpren-l-!ón rJe los conceptcs ffsicos y la habi l i t laa para manipular las correspondi ' , 'ntcsri : iac!orr i :s nratemáticas. Esto ¡ lermit ird e!evar el nivel cle muchos de los cursosinteri¿edi*s qr.hr ce ofreren en los planes r ie estudit l de pregrado. I-os cursos traCi-cic,n*. les de prcArado: mecii t t ic:r, elcct innr:rgnr' t i :r¡ lo v f Ísic¡t r iroderna, srtn los qucrnás ¡e be¡tei iciatr con esta ai:4. r le ¡r ivr i l . Así. r i esiudiante terni inará su carreraccn conocirnieri t .os superiores a los de antts, b¿neficicr rnrry importar¡te pal 'a aqueliosque f inal ice:n su,q esl.udit¡s a esta altura. Atl i ' :ni : i3, l -¡abiá ahora ntás oportunidad parah:rcer curscs nu{:vos y más inleresantes rn el posigradc. Esl.a rnisrna tendencia seenc¡:entre cn lcs textr-¡s básiccs rnás rccienl. t 's dr. r¡f ras ciencias para los primercs)' { .egundos años universitarios.

Ei te¡i to esl-: i cr.¡ncel: ido para un cúi l{ t t ie t ies ser¡rr¡st¡c:. lambién se puede usarcx Éiqt lel ias {:scueiás en !a-s que se ei¡seña r in (.r .r¡Jo de f isica generai de dos seúlestresscgt. t ic lo de un semesl ie de f fs ica rucderna. ¡ f recieur io asl una presentación más¡rni f ica¡ la a lo lafgc de los t ics scnteslres. l lo l ccnveniencia, e l texto se ha div id idoen t i '€! vol l inre.nes corlesoo¡rt l iei l t lc¡ cl i la 1n!o, gr '{)s,sr) nndo, a rrn semestre. El volu-f i ! f .n I trat¡r de la met' .ánica r. la i i ¡ i . l racción gravif .acio¡ral. El volumen II estudialas interaccic¡r ts electromagnét icas y 1; is ondas, cuhr iendo esencialmente los cursosde electromagnet ismo y dpt ic:r . I .a f is ic¿¡ cuánt ica v la l is ica estadfst ica, incluyendola termodinánica, se tstur i ian tn el volunren I I i . A ¡esar de que los t ies volúlneireses1¿iú estrc i :J¡alnentt re jacionat ios y fornr:rn ul tet t i : r único, car la uno puede serconsidera<k.¡ en sl n-r isln(! corl i( l un i¿xt¡-r intn.¡r iuclo¡io. Fitr part- iclr lar i0s volúnie-nes I y I l tc¡ l t i r .aien a un (-: t tr- io d.c f isica qctrert i d* i l11s selne:tres que cubrc la f isicano cuant. ica.

Esperqirr0s quc este te: i t{ ] a¡"u11,: a lr , : : edLrrrt i t i jes progresistas. quienes ccnstan-tcrr l ¡ :n le se [ ] reocupan por mejor: l r lcs l r : rs¡s qle dic lan: rspframos, tarnbi t ln, queest. lnt¡ t le a lcs estr id iaf i le,r , , ¡1¡ i ¡ -¿t r - ,ere¡ en ulra 1;r ' rsaniaci i ¡n c le l¿r f ís ica más nra-r lr ira qrlr , i r ¡ le los r: .ur:,r¡s l .rarl i r : i r i i l t ies.

Qltrrernos t:xpresar j iueslra grr i l i i . r i r i : i l , )d{is ár. l i l . . . i i i )s r l l r{ t por su estí¡nulo y ayui lal ¡ ic i t r rcn posi t r lc la culminación i ie e-. te l l 'abajo. NLrestro rcconocirniento a los dis-t- ingtr idr:s colegas. en I la] ' t icular. a l¡rs Profescres ü. l ,azarus r* FI. S. Rl,bertson,quieircs leyerorr el ¡nanl i ,rcr i i -o ori¡1inal : sus cómc11i arios . r :r Í t icas pe rmit ieroncorregir y mejorar nluchos ¿¡sr ' ¡ectos ctel texto. . , \ { radecentos, adr:más, la apt i tud.v dedicaciórr del personal ' le la et l i to¡ iai Adri json-Weslel ' . Por últ i rno, per() no conmeno$ caloi, damos sinceral¡ lente las gracias Í¡ nuestt.as esposas, quienes nos hanapoyado pacientemente.

IYashinslo¡t, D. C.TI. A.

E. J. F.

ADYERTENCIA AL PROFESOR

Con el fin de ayudar al profesor a organizar su curso, presentamos una breve reseñade este volumeu y algunas sugerencias sobre los conceptos importantes de cadacapitt t lo. Como se di jo en el prólogo, este curso de f lsica se ha desanollado en formainLegt'ada de rnodo que el estudiante pueda reconocer fáci lmente las pocas ideasbásicas en que se funda la f ísica (por ejemplo, Ias leyes de conservación y el hechotle que es posible reducir ios fenómenos f lsicos a interacciones e¡rtre part lculas fun-i lamentales). El estudiante deberla darse cuenia de que para l legar a ser l fsico oingeniero debe alcanzar una comprensió¡r clara de estas ideas y desarrol lar la habi-l i tJat l para manejarlas.

I.os temas hásicos consti tuyen el cuerpo del texto. Muchos ejernplos han sidoincluidos en cada capltulo; algunos son simples apl icaciones numéricas de la teorlaque se está discutiendo, mientras que otros son realmente extensiones de Ia teorfa o,deducciones matenlát icas. Se rccomienda aconsejar al estudiante que en la primeralectura de un capftulo omita fodos los ejelnplos. Luego, en una segunda lectura,que examinc los cjemplc¡s sugeridos por el profesor. De €sta manera el estudiantecomprenderá separadamente las ideas básicas y sus apl icaciones o extensiones.

Hay una sección de problemas al f inal de cada capf [ulo. Algunos son nlás dif íci lesque el término medio de los problemas de f isica general y otros son extremadamentesimples. Están dispuestos en un orden que corresponde aproximadamente al delas secciones del capitulo, habiendo algunos problemas más dif íci les al f lnal. El grannÍimero y la variedad de los problemas dan al instructor mayor l ibertad de elecclónen la adecuación de los problemas a las apti tudes de sus estudiantes.

Sugerimos al profesor que establezca una bibl ioteca de reserva basada en el¡naterial bibl iográfico que se enumera al f inal de cada capitulo y que incite alestr¡diantr: a usarla para desarrol lar el hábito de veriñcar las fuentes, con lo queobtendrá más de una interpretación de un tópico dado y adquir irá iniormaciónIt istórica acerca de la f lsica.

l lste volumen esLá concebido para cubrir el segundo semestre. Como gufa hemossr:geri<lrr, sobre l¿r base de nuestra propia experiencia, el número de horas de claseque s{.r necesita para cubrir cónrodarnente el material. El t iempo indicado (43 horasde clase) no incluye el dcstinado a discusiones, resolución de problemas y evaluación.Flacenlos a ccntinuación un breve conlentario sobre cada caoftulo.

TAR,TE 2. INTER,ACTJIONES Y CAMPOS

La Parte 2 se ocupa de las interacciones electromagnéticas, que se desarrol lan enlos capítulos 14 a 17 (en el capitulo 13 del 'u'olumen I se presentó la interaccióngravi i .acional). Estos cuatro capltulos consti tuyen una introducción al electromag-tuetismo, exc)uycndo las ondas electron'ragnéticas y la radiación, que se estudian*ir la lratte 3" En los capítulos 14 y 15 se introducen algunos conceptos cuánticos,

rr.les como ia cuantificación de la energia y del nromenlum angular. En el volu-men III estos tópicos serán discutidos :nás extensa¡rlent.s,

Capftulo l^4. Interacción eléctricq 1,i ir,¡;¡s]

Este capftrr lo se conc.f l t ;a ni i- l : , 4i i

' , 'OuJOioL. ic;rr v t , r ¡s¡ j l ' f a :? " ' ' ¡ : ! - ¡

$ecrr+:r iJ L2 iqta i 'a i : : ¡ i t ;1¡ : ; i i : : ;

t 'epi ' i . l i I - .

i-: ., i l .,rcir parte de este c¿F!ii.r lo r¡itr¡rl¡rc¡: er, fornia dinámica el conccpto de!;. i i .f ' j nragnátrco,!" estudia el movinrientc' de r¡ira partfcula cargada en un canponr:gnLiico. Ei punto culminante se al.anza h¿ci.* ei l lnai riel cap[tulo con una dis-,:usiórr ce ia ti:ansformació¡r ie Loir:ntz del carnpo electrümagnético y una revisiónde! principio de consen'ación dei ürrrnlrjntum. EI prolesor deberá hacer hincapiéen ¿sia parte del capltulo.

{*pftulo 1S" Compos eledramsgniti*r¡s ¿sidticas {5 horas)

lln ¿ste call ltülo se intrtrducel variotr.:o.icapif]$ inlportanles pero ha]" dos objetivospiincip:rlcs que cl;,rofesor rlqire iener i.rrescrtes. Lfno es ccnlenrar un desarrolloCe i¡¡ t¡;oria generd Cei ca:npo eleetromagnéticc (le-ves di? Gauss y do Ampére) y"i ctro es rrl ' .¡c:on,lr las propiedaCrr: elrctro:-nagnéticas rle la materia en conjuntocon la estri¡ctura atómica de la misma. Sc ha relegarlo a rrn plano secundario dentrorlel texto. l"e¡nas tale¡ corno el de eapacitores y circuitos CC, pero se les presta mayoratenció¡r en los problemas del flnai del capitulo"

Ca¡ltnio I?, Carnpos electromagnélicas Cependienles del tiempo (4 horas)

La formulacién de las ecuaciones de N{axwell es el tema principal de este capftulo.El tema de circuitos CA sólo se discute de paso en el texto, aunque hay muchosiruenos ejernplos resueltos y problernas al flnal del capftulo para ayudar al estu-diante a aciquirir cierta habil idad para nlanejar dichos circuitos. Es importanteque el estuCiante se dé cuenta de qui: las ecuaciones de lllaxwell proveen una des-cripción compacta del campo electromagnético y que ilustran la estrecha relaciónque existe entre las partes f y It de este campo.

PARTE 8. ONITAS

La Parte 1 tlio al estudiante una descripción "particulatoria" de los fenómenosnaturales. Ahora, presentamos en ia Parte 3 ia descripción "ondulatoria" comple-rnentaria de los mismos, basada en e! concepto de campo, ya lntroducido.en laParte 2. tr,as ideas que habitualmente se estudian bajo los tftulos de acústica y deéptica están considerados aquf en forma integrada.

Capftulo 18. IVlauimienÍt ondulatario (5 horas)

Este capltulo considera el movintientc oudulatorio en general, determinando en cadacaso sus propiedades especlfic*a a partir de las ecuaeiones de campo que describen unasituación flsica determinada, de rnotk¡ que no es necesarjo recurrir a la imagenmecánica de moléculas rnovióndose hacia ariba y hacia abajo. Dos ideas son fun-damentales: una es comprender la ecuación de onda; la otra es entender gue unaonda transporta tanto energfa como momentu¡n.

Ccpltulo 19. Ondos elcetromagnótír:as (5 hriras)

Presentomcs aqu[ Ias ondas eieclrcinagnéticas predichas por las ecuaciones dellfaxv¡ell. i l t 'r lo que el estudiante del¡e entcn¡ier a fondo las secciones 19.2 v 19.3,

Aduertencia aI prolesor ciii

Este capitulo también considera los rnecanismos de radiación ,v absorción. Introdueeademás el concepto irnportante de lotón corno resultado natural del hecho tle quela; ontlas elcctromagnéticas transportan ener¡¡la y rnomentuni y de que estas pro-piedarles físicas estári relacionaiias por' la ecuación E : cp" 'fambién se discutebrevernente las transiciones radiativas enirc es!.ados estacionarios.

Cepftulo 90. Ilefletión, refraccíón, polarízación (4 horas)

Los textos eiementales recurren tradicionalmente al principio de Huygens paraestudiar la rcflexión y la retracción, aunque el principio que usan realmente es elteorema de Malus. Lo novedoso de este capltulo es que encara este hecho. Se puedeomitir las secciones 20.8 a 20.13 sin perder la continuidad del desarrollo.

Cepftulo 91. Geometría de Ias ondas (3 horas)

Se puede on'ritir totalmente este capltulo que en cierto sentido se ocupa ¡ealmentede ia óptica geométrica. De todos modos, e! profesor debe hacer resaltar que elmaterial de este capitulo no sólo se aplica a ondas lumfnicas sino también a ondasen general. La convención de signos adoptada es la misma que la de OplÍcs, porF:orn y Wolf, Pergamon Press, 1965.

Capftulo 29. Interlerencia (3 horas)

En este capltulo se usa sistemáticamente el método de los vectores rotantes. Puederesultar provechoso que el estudiante relea las secciones 72,7,12.8 y 12.9 del vo-lumen I. Ei ccncepto de gufa de onda que aquf se da es tan importante que no sedebe omitir.

Capftul<r 28. Dítracción (3 horas)

Este capltulo depende astrechamente del anterior por lo que el profesor debe con-siderarlos en conlunto. En este capftulo, como en el anterior, hemos tratado deseparar los pasos algetrraicos del resto del material para que el instructor puedaomitirlos si asf lo desea.

C*pftulo 24. Fenómenos de transporte (3 horas)

La irnportancia t}e los fenó¡nenos de transporte está bien reconoeida, ya que losmismos tienen rrruchas aplicaciones en ffsica, qulmica, biologla e ingenierfa. Estecapitulo constituye una introducción breve y coordinada a estos fenómenos, dandotambién al estudiante una idea. sobre otros tipos de propagación de campos. Si elprofesor está presionado por el t iempo, puede encarar este capitulo como tareasolamente y omit,ir los ejemplos y problemas.

triste es el mornento oportt¡no para concluir el segundo semestre. A esta alturael esludiante deberá tener una corEprensión sólida de la ffsica no cuántica, y ademáshaber aprehendi<io las ideas de fotón y de cuantificación do la energla y del rno-lnentum angular. El tercer semestre estará dedicado a la l lsica cuántica y a lafisica estadist.ica, que se presentarán como refinamiento de los conceptos fisicos alnivel de lo rnuy pequeño (o microscópico) y al nivel tle lo muy grande (o rnacros-có¡rico).

El npéndice mate¡nático que se encuentra al f lnal del l ibro suministra u¡ra refe-rencia rápida a las fórmulas de uso más frecuentes en el texto y a algunas informa-ciones úti lcs. I)or conveniencia, algunas fórmulas relacionadas con la lranslorrna-lién de l,ole¡rtz t¡an sido agregadas. Las mismas fueron deducidas en ei rr- ' iumen i,

,{DYERTENCIA AL ESTUDIANTE

Es este un libro sobro los fundamentos de la flsica para estudiantes que siguencarreras cientfficas o ingenieria. Los conceptos e üéas que aprenda en él entrarán,nru;. ¡lrobablemente, a formar parte de su vida profesional y de su modo de pensar.t-lr¡anto mejor los comprenda tanto más fácil le resultará el resto dc su educacióntu perir.rr,

El este cursv debe estar pi:eparado para abordar nur*erosos problemas arduos.L-)l aprenrlcr las leyes y iécnicas de la ffsica puede ser, a veces, un proceso iento;; rir:loroso. Ant¡,s de tlue entre en €sas regiones de la ffsica que excitan srr imagi-l¡zrr- ' i4n" i¡steri <icbe d.oininar otras menos l larnativas per$ muy funda¡nentales, * inlas <'ualts no puedc uti l izar o comprender la l ls ica en forma apropiada.

{-Td. deberá mantener dos objet ivos principales al to¡nar este curso, Primero:fariiiliarizarse completamente con el puñado de leyes y principios básicos que cons-Litr-y'en Ia colum¡ra verlebral de la f fsica. Segundo: desarrol lar la habi l idad de¡:a¡r, ; jar estas ideas y apl icarlas a situaciones concretas; en ot las palabras, la habi-tidari de pensar y actuar como ffsico. El primer objetivo io puede alcanzar prin-cl¡-ralmelte ieyendo y releyendo aquelias seceiones impresas €n cuerpo grande.P:ira a¡'udailo a alcanza¡ el segundo abietivo hay a lo largo del texto, en letra¡rrqueíre, muchos ejemplos resueltos y están los problemas para resolver en casaal l lnal de cada capftulo. Recomendamos'encarecidamente que lea primero el textoprincipal y una vez famil iar izado con é1, prosiga con los ejemplos y problemas;rsigrado; lror el profesor. En aigunos casos los ejemplos i lustran una apl icaciónde la ter.¡rla a una situación concreta, en otros amplfan la teorfa considerando nuevosi lspeclüs del problema elr discusión; a veces suministran una just i f icación de la teorla.

Los problernas que están al final de cada capftulo tienen un grado variable deri i l i r .r ' : i t*r1. Osci lan entre lo más simple ¡r lo complejo. En general, es bueno tratarde ; 'esolver rtn problema primero en forma simbólica o algebraica, introduciendo¿¡l Jinal los valores numéricos. Si el problema que )e han asignado no puede resol-ler io en un t iempo prudencial, póngalo a un lado e inténtelo más tarde. Para el¡:aso dc ac¡uel ios pocos problemas qus se resisten a ser resueltos, doberá procurarayurla. Ei I ibro How to Solue It (segunda edición), de G. Polya (Doubleday, Gardenr, i ty, N. \ ' . , 1957) es una fuente de autoayuda que le enseñará el método de reso-hición de prolrlernas.

Le l fsica cs una cie¡rcia cuanti tat iva que necesita de la matemática para lae.xpresión de sus ideas. Toda la matemática empleada en este l ibro se puede en-contrar en cualquier texto corriente de análisis matemático y deberá consultarlotoda vez que no comprenda una deducción matemática. No deberá, de maneraRlguna, sentirse desalentado ante una dif lcultad matemática; en caso de dif lcul-tades rnatemáticas, consulte a su profesor o a un estudiante más avanzado. Paraei cir¡ntffico

-v el ingeniero la matemática es una herramienta y tiene importancia

secunclaria en la cornprensión de los conceptos f isicos. Para su comodidad, se

TUi Adurytencia al estudtante

enumera en r in apéndice ai f in¡. i r j t i l ibir l e, l ; : .¡ .1¡¡¿;. . ! . l¿¡ rt i l r . : iones rrrat i¡¡nátic¿lsmás úti ies.

Torlos lo¡ cálc¡los r l l i l l f ísi t- :a sc' dclt¡ ' i r i ,e.;ar : : . *¿i i¡r , rr i- i l i t ¡¡r ir j r¡ un sistt¡r¡r-, co;rr,patible de uni<Iades. I f n e slc l iL ' : 'c se i 'ni¡ i fe:r r ' si : i r .r :"r¡r Fl) iSt l . Cornc dif i¡ r : : *npoco del sisterna Jiráct. ico. i)odrá ¿rlronlrar}¡.¡ ext¡ ' i rñr; ai principio. No obstante, serequiere un miir i¡n<.¡ esfuerzo paif i iaini l¡arir :¡r¡ i i : con el. Aderi-rás, cs r l sist.e¡naolicialmente aprobaoo pri tra r l trairajrr i r ientir i , ' r> ¡; r :r . los E,stados Unii los l l usaa.ítn cl Nal ional Burer,¡.u ol Slandards {rír sus uublicaciones. Sea extrelnadairrcntecuidadoso en veri f icar la compatibi l id¡.,1 de ias unidades en todos sns cálculos.Es además una buena ide¿r ut i l iz-at ' la regla, le cálcrr lo desde el comienzo; la pre-cisión a tres cifras signif ica"ivas de la r¡rás sintple ,Lle las reglas de cáiculo le aho-rrará rnuehas horas cle trabajo nurnéfico. Sin crnbaigo, erl algunos casos, puedcque la regla de cálcuio no le dé la precisión ¡ iecesaria.

Al f inal de cada capftulo se dn una l ista bi i .r l iogr; ' r f ica seleccionada. Consú!telatan a menudo como sea posible. Algunos trabajos ayudarán a entender la ideade la f fsica como una ciencia en evohición,. mienr"ras que otros ampliarán el rnateriald.cl tcxto. En part icular encontrará que el i ibro de Holton y Roller, Foundatianso! Modern Pñgsics (Addison-Wesley, Reading, l \{ass., 1958) es part icularmente út i lpol la informacién quc trae scbre Ia evoiución de ideas en la f lsica.

AGRADECIMIENTOS

Querernos cxpfesar nuestro reconocirnienttt a las siguientes persorlas v organiza-ciones por su anrabi l i t lad al permit i rnos publ icar mater ia l i lustrat ivo de su perte-nencia: Brookhaven Nat ional l ,aborator l ' ( f igura 15-6); General Electr ic Company(f igura 17-5b); Pro{esor Harvey Fletcher ( f igura 18-23); Educat ional Services,Incorporated ( f igura l8-37a); U. S. Naval Ordrtance Laboratory, White Oak,Silver Spring, l fd. (f igura 18-37b); Yíbration and Sound, por Phi l ip NI. Nlorse,McGlarv-II i l i Book Co., 1948 (f igura 22-26); Ripple Tank Studies of lVaue l lol ion,con antor ización de W. Llowarch, The Clarendon Press, Oxford, Inglai t r r ra ( f i -gura 23-2); Príncipl ts ol Opt ics, por Hard5' y Perr in, t r fcGraw-Hi l l L iook Co., 1932(f igrrras 23-'12 y 23-14b); y Profesor B. E. Warren, del IVLI.T. (f igura 23-42)- De-bemos especiai agradecimiento a Educational Services, Incorporated y al PhysicalScience Study Committee, de cuyo l ibro PSSC Pnysic.s, D. C. Heath and Co., 1960,hemos iomado las s iguientes f iguras:0-13a, 18-22, 18-28b,20-6b,20-10b,20-11b,20-16dye,22-ty22-15.

Contratapos ilelsnter¡s

Tabla periódica de los

Contratopas tr¿geres

Unidades y slmbolos;

INDICE

elementos ; constantes fundamentales

factores de conversión

Capltulo 14 lntersccldn elóctrlcs

Capltulo 16

Introducción 457. Carga eléctrica 458. Ley de Coulomb 460. Cam-po eléctrico 462. La cuantización de la carga eléctrica 468. Estruc-tura eléctrica de la materia 471. Estructura atómica 473. Potencialeléctrico 480. Relaciones energéticas en un campo eléctrico 484.Corriente eléct¡ica 489. Dipolo eléctrico 491. Multipolos eléctricosde orden superior 498.

Interaccldn mognétlca

Cepltulo 16

Introducción 512, Fuerza magnética sobre una carga en movi-miento 513. Movimiento de una carga en un campo magnéticó516, Ejemplos de movimiento de partlculas cargadas en un campomagnético 523, Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica530. T'orque magnético sobre una corriente eléctrica 532. Campomagnético producido por una corriente cerrada 538. Campo magné-tico de una corriente rectilfnea 539. Fuerzas entre corrientes 541.Campo magnético de una corriente circular 544. Campo magnéticode una carga en movimiento (no relativista) 549. Electromagnetismoy el principio de relatividad 551. Campo electromagnético de unacarga en movimiento 555. Interacción electromagnética entre doscargas en movimiento 560.

Compos electromagnétleoe estáticos

Introducción 577. Flujo de un campo vectorial 577. Ley de Gausspara el campo eléctrico 579. Ley de Gauss en forma diferencial 584.Polarización de la materia 587. Desplazamiento eléctr ico 591.Cálculo de la susceptibi l idad eléctr ica 593. Capacitaneia; capacito-res 600. Energfa del campo eléctrico 603. Conductividad eléc-trica ; ley de Ohm 606. Fuerza electromotriz 672. Ley de Ampérepara el campo magnético 616. Ley de Ampére en forma diferen-

L

rÍ, Indíce

Capftulo 17

cial 621. Flujo magnéticoCanrpo magnetizanle 625.628. Resumen de las leyes

Campos electromagnóticoe

623. Magn';t ización de la materia 623.Cálculc ie ia susceptibil idad magnéticade lcs campos estáticos 633.

ilependlcutes del t iempo

PAR?Í A

Capltulo l8

Int¡oducción 645. Ley de l iaraday-Henry 645. El betatrón 648.Inducción electromagnética debida al movimiento relativo de unconductor y un campo magnético 651. La inducción electrornagné-tica y ei principio de relalividad 654. Poiencial eléctrico e inducciónelectromagnética 655. Ley de F-araday-Herlry en forma diferencial655. Autoindr¡cción {i57. Energfa del campo magnético 661. Osci-laciones eléctricas 664. Cir'cuitos acoplados 670. Principio de con-servación de la carga 674. Ley de Ampére-Maxwell 675. Ley deAmpére-IIaxwell en forma dilercncial 678. Ecuaciones de Max-rvcll 680.

ONDAS

trIorimlento ondul¿torlo

Crpftulo 19

Introducción 694. Descripción matemática de la propagación 695.Análisis de Fourier del ¡novimiento ondulatorio 699. Ecuacióndiferencial del movimiento ondulatorio ?01. Ondas elásticas en unabar¡a 703. Ondas de presión en una columna de gas 707. Ondastransversales en una cuerda 712, Ondas superficiales en un lfquido716. ¿Qué se propaga en un movimiento ondulatorio? ?19. Ondas endos y tres dímensiones 722. Ondas esféricas en un flúido 727.Yeloci^dad de grupo 729. El efecto Doppler 731. Sonido; acrlstica 735.

Onda¡ electromegnéticas

Capitulo 30

Introducción 744, Ondas electromagnéticas planas 744. Energfa ymomentum de una onda electromagnética 748. Radiación por undi¡:olo eléctr ico osci lante ?52. Radiación por un dipolo magnéticoosci la¡rte 757. Radiación por mult ipolos osci lantes de orden supe-rior 761, Radlacién por una c.arga acelcrada 761. Absorción dela radiacié¡ electrcmagnética 769. Difusión ¿ie ondas electromag-néticas por eiectrones l igados 770. Difusión de la ¡adiación electro-magnética fror un elec{rón l ibre; el efecto Compton 772. Fot<¡nes776. Más sobre los fotones: el efecto fotoeléctr ico 780. Propaga-ción de ondas clectromagnéticas en la materia ; dispersión 782.Efectt ' ¡ l )oppler en las ondas electromagnétieas ?86, Espectro dela racl iación electromagnética 791.

Rcflexlón, refracción, polarlzacién

Introducción 802. Principio de Huygens 802. Teorema de lllalus804. Reflexión y reiracción de ondas planas 806. Reflexión v ref¡ac-ción de ondas esféricas i t10. NIás acerca de las leyes de la ref lexióny de la refracción 812. Reflcxión 1' refracción de ondas eiectro-magnéticas 8i7. Propagación de ondas electromagnéticas en unmedio auisótropo 820. ! l ) icrcrísrr. .o 626, Doble refracción 827. Acti-vidad úptica 333. l .r i f lexié¡i ' " . -" irac' ión cn superf icies metál icas837. Pio¡lagación tn ¡r$ tnediü uo homo11éneo 838.

Indíce xd

Capltulo 21 Qeonetrfa do las onalas

Capltulo 22

Introducción 8-16. Reflexión en una superficie esférica 847" Ilefrac-ción en una superlicie eslérica 854. Lentes 858. Instrumentos ópti-cos 863. El prisrna 867. Dispersión de un medio 869. Aberracióncromática 872. Principio de i; 'er¡nat del t iempo estacionario 875.

Interlerencio

Cepíiulo 28

introducción 887. Interferencia de cndas producidas por dos fuentessincrónicas 887. Interferencia cle ondas producidas por varias fuen-tes sincró¡r icas 893. Ondas estacionarias en una dimensión 899.Ondas estacio¡rarias ¡r la ecuación de onda 902. Ondas electro-magnéticas estacionarias g0?, Ondas estacionarias en dos dimen-siones 910. Ondas estacionarias en tres dimensiones : cavidades re-sonantes 915. Gulas de onda 918.

Dilrae cidn

Capftulo 24

Introducción 932. Difracción de Fraunhofer por una rendija rectan-gular 933. Difracción de Fraunhofer por una abertura circular 939.Difracción de Fraunhofer por dos rendijas paralelas iguales 941.Redes de difracción 943. Difracción de Fresnel 947. Difusión deondas 954. Difusión de rayos X por cristales 954.

Fenómenos de transporte

Introducción 967. Difusión molecular; ley de Fick 967. Conduccióntérmica ; ley de Fourier 974. Transporte con producción y absorción982. Viscosidad 984. Camino libre medio, frecuencia de colisión ysección eficaz de colisión 988. Teoria molecular de los fenómenosde transporte 992. Conclusión 995.

Apéniltee : Reloolones matemótieas ; Tablas A-8

Reapuestas a los problemalt Gon númoro lmpor A-17

Indlee alf¿bétlco A-29

PARTE 2II\TERACCIONES Y

CAMPOS

B, Electromagnetismo

154

IJna vez entendidas las reglas generales que gobii:raan el ¡novimiento, el pasosiguiente es investigar las interaccioncs responsables rle dichos movimientos.Hay varios tipos de interacciones. Lina es la inleracción grauítactonal que semanifiesta en el movimiento planetario y en el de la materia en conjunto. Lagravitación, a pesar de ser la más débil de todas las interacciones conocidas,es la primera interacción estudiada cuidadosamente, debido al interés que elhombre ha tenido desde la antigüedad en la astronomia y porque la gravitaciónes responsable de muchos fenómenos que afectan directamente nuestra vida.

Otra es la inleraccíón eleclromagnétíca, la mejor comprendida y posiblemente lamás importante desde el punto de vista de la vida diaria. La mayoría de losfenómenos que observamos a nuestro alrededor, incluyendo los procesos químicosy biológicos, son el resultado de interacciones electromagnéticas entre átomos ymoléculas. Un tercer tipo es la ínleracción fuerte a nuclear, que es responsablede que los protones y los neutrones (conocidos como nucleones) se mantengandentro dei núcleo atómico, y de otros fenómenos relacionados. A pesar de Iainvestigación intensiva realizada, nuestro conocimiento de esta interaccién esaún incompleto. Un cuarto tipo es la ínlcraccíón débil, responsable de ciertosprocesos entre partículas Iundamentales, tal como la desintegración beta. Nuestroconocimiento de esta interacción es airn muy escaso. La intensidad relativa delas interacciones nombradas es: Iuerte, tomada como 1; electromagnética - 10-2;débil - 10-5; gravitacional - trO-s. Uno de los problemas no resueltos de lafisica es por qué parece haber sólo cuatro interacciones y por qué hay una dife-rencia tan gmnde en sus intensidades.

Es interesante ver lo que Isaac Newton decÍa hace 200 años acerca de lasinteracciones:

¿No tienen acaso las pequeñas Partfculas de los Cuerpos ciertos Poderes, o Fuerzas,por medio de los cuales actúan.,,unas sobre otras para producir gran Parte de losFenómenos de la Naturaleza'l Porque bien se sabe que los Cuerpos actúan unossobre otros por medio de las Atracciones de la Gravedad, Magnetismo, y Electri-cidad;...y no lo tengáis por improbable sino que puede haber más Poderes atractivosque éstos.... De cómo estas atracciones pueden ser realizadas, no Io considero aqul....Las Atracciones de la Gravedad, del Magnetismo, y de la Electricidad, alcanzandistancias muy apreciables,,..y puede que haya otras que alcancen distancias tanpequeñas que hasta ahora escapen a la observación;.... (Oplicks, Libro III, Inda-gación 31)

Para describir estas interacciones introducimos el concepto de campo. Enten-demos por campo una propiedad fisica extendida en una región del espacio ydescrita por medio de una función de la posición y el t iempo. Suponemos quepara cada interacción una partícula produce a su alrededor un campo corres-pondiente. Este campo actúa a su vez sobre una segunda partícula para producirla interacción necesaria. I-a segunda particula produce su propio campo, el cualactúa sobre la primera dando como resuitado una interacción mutua.

Aunque se puede dcscribir las interacc;iones por medio de campos, no todoslos campos corresponden a interacciones, ht,cho que cstá implicito en la defi-nicion dc canlpo. I 'e-r ejernplo, i l¡: meterirri io;io Jrrrcde expresar la presión y laternpemlrrrl at,rnos{éricas ¡rr¡ fr¡:rrrir,rr rlr ' l¿ }¡1,i.u,i y la longitud en la superficieter¡r:stri"- 'r le ia ¡¡lLura sohrq: risl. i:."1'trj lerl i(]s entonces dos cllr ipos escalares: el

\l:--\"\_

1;ó

eampo de presiones v el campo de temperaturas. En el movimiento de un flúidosu velocidad en cada punto constituye un campo vectorial. El concepto de campoes entonces de gran utilidad general en la física.

En el capítulo 13 del volumen I se estudió la inte¡acción gravitacional y el campogravitacional. En los capitulos 14 a 17 de este vclumen, consideraremos las inter-acciones electromagnéticas. I:Iablaremos del resto de las interacciones en el vo-lumen I I l .

ENTEKAT{-g{}N ffiTHCTRICAL4

14.1 Introdueción

i4.2 Carga, eléctrica

i4"3 L-eE de Coulomb

14.4 üarnpo e\éetríeo

14.5 La cus¡ziizficíón de la carga eléctrica

14.8 F.stru,¿tt¡ra *íéctrica de la materiaj'!.7 Estruetura atémíca

14.8 Potencial eléctrico

Relacíones errergétícas eft un cempa eléctrico

14.1A Corriente eléctríca

14.1 i Dípolo eléetríca

14.12 fulultipolas eléctríccs de orden superior

14.9

14"lj

74.7 Introdueeión

Inlraduccíón 457

Consideremos un experimento mry simple. Supongamos que después de peinarnuestro cabello un día muy secü ¿rcercamos el peine a pedacitos l igeros de papel:obser.,'amos que el peine los atrae. Fenó¡neno similar ocurre si frotarnos unavaril la de vidrio con un paño de seda o una varil la de ámbar con un pedazo depiel. Podemos concluir que, como resultado del frotamiento, estos materialesadquieren una nueva propiedad que llamamos electrícídad (del griego elektron,que significa ámbar), y que esta propiedad eléctrica da lugar a una interacción

más fuerte que la gravitación. Hay, además, varias otras diferencias fundamen-tales entre las inte¡acciones eléctrica y gravitacional.

En primer lugar, hay solamente una clase de interacción gravitacionai, queda como resultado una atracción universal entre dos masas cualesquiera; por elcontrario, hay dos clasrs de jnteracciones eléctricas. Supongamos que acercamosuna varil la de vidrio electrizada a una pequeña esfera de corcho suspendida deun hilo. Vemos que la varil la atrae la esfera. Si repetimos el experimento conuna varilla de ámbar electrizada, observamos el mismo efecto de atracción. Sinembargo, si ambas varillas se acercan a la esfera simultáneamente, en lugar deuna mayor atracción, observamos una fue¡za de atracción menor o aún ningunaatracción de la esfera (fig. 14-1). Estos experimentos simples indican que, aunqueambas varillas electrizadas, la de vidrio y la de ámbar, atraen la bola de corcho,lo haeen debido a procesos físicos opuestos. Cuando ambas varil las actúan simul-táneamente, sus acciones se contrarrestan produciendo un efecto menor o nulo.Concluimos, entonces, que hay dos clases de estados de electrización: uno que semanifiesta sobre el vidrio y el otro sobre el ámbar. Al primero le llamamos posi-tíuo y al otro negaliuo.

Varillade vidrio

Varillade ámba¡

\

Ambar

-----G:]Vidúo

(c)

electrizadas.

(b)(¿r )

Ftg. 14-1. Experimentos con varillas de vidrio y árnbar

Supongamos, ahora, que tocamos dos esferas de corcho con una varil la devidrio electrizada. Podemos suponer que ambas se electrizan positivarnente.Si las ace¡camos, observamos que se repelen (fig. 1 -2a). El mismo resultadose obtiene cuando tocamos las esferas con la varil la de ámbar electrizada, demodo que ambas se electricen negativamerite (fig. 14-2b). Sin embargo, si tocamos

,158 Interacción eléclrica

una de ellas coa la varilla de vidrio

adquiera electricidad positiva y ia

(fig. 14-2c).

(14.2

y la otra con ia de ámbar, de modo que unaotra negativa, observamos que se atraen

/1F---___._tl/*

(c)(e) (b)

Fie. 14.2. Interaccione-q eléctr icas enlr¡r c¿l i 'gas de igual -v

de di ferente s igno,

Pt'r consiguiente, mientías u€ la irrteracci¡;u gravitacional es siernpre atrac-

trrra, ia intcracción eléctrica pucile ser etractiva o repulsiva.

Dos cuerpo.s con Ia misma clase de eleclrización (posílíua o negalíua)

se tepelen, pe.ra sí tienen diferenles clases tle eleclrizacíón (una po-

sil iua g la otra negatíua), se atraen.

Este enunciado se ilustra esquemáticamente en la fig. 14-3, Si la interacción

eléctrica hubiera sido sólo repuisiva t¡ sóio atractiva, probabienlente nunca hu-

biéramos observado la existencia de la gravitación porque la interacción eléctrica

es más fuerte. Sin ernbargo. la mayoria de los cuerpos están compuestos de can-

tidades iguaies de electricidad positiva y negativa, de nrodo que la interacción

eléctrica entre dos cuerpos macroscÓpicos es muy pequeñe o cero. De este modo,

co¡no resultado dei efecto acumulativo de las masas, la interacción que aparece

macroscópicamente como dorninarite, es la interacción giavitacional, aunque

muchc más débil.

I '¿-\*1:J ,r-1 ¡'\:-r-*

jq'-\-*1li

Fig. i4-S. l iuerzas €utre cargíis de igual y de diferente sigt ic-

74,2 Carga eléetriea

Del mismo modo que caracterizarno"q ia inteirsit iad tte la interacción gravitacional

asignando a cada cuerpo ulla masa gravitacicnal, caracterizamos el estado de

electriz¡¡:ión de un cuerpo ,irí inl 'r:::t io ull:t r, 'r i . 'r{r elécírit:c, ¡nás conrúnmente l la-

¡"¡arl:r i¡¡rri i ., cl irclricci, reprttsi:nit<!:i l ir!; ' i ' : si r: :;rt iQ ¡r. Asi, cualquier porciÓn r!e

rnai..eria. r, ., l ta jt lujer pli l l i .r ' .t la, e:,i.¡ i i :¡ i l : i i : t ' : , i i ,:.;¡t i l i l ior rlos propiedades indeperr-dier,tes fui 'cianrentales: nlasa v ci¡Lgí!.

14.2) Cmga elédrica 459

Así como hay dos clases <ie electrización, hay tambjén dos clases rie cargaeiectrica: positiva y ncgativa. Uu cuerpo que presenta electrización positiva'tiene una carga eléctrica positivi, ] üno con electrización negativa tiene unacarga eléctrica negativa. La carga eléctrica neta de un cuerpo es la suma alge-braica de sus cargas positivas y negativas. Un cuerpo que tiene cantidades igualesde electricidad positiva y negativa (esto es, carga neta cero) se dice eléctricamenteneulro. Por otra parte, un cuerpo que tiene carga neta diferente de cero, se llamaa menudo ion. Como la materia en conjunto no presenta fuerzas eléctricas apre-ciables, debemos suponer que está compuesta de cantidades iguales de cargaspositivas y negativas.

Cuerpode referencia

FiS. 14-4. Comparación de las cargas eléctricas g ! Q', mediantesus interacciones eléctricas con una tercera carga Q.

Para definir operacionalmente la carga de un cuerpo electrizado adoptamosel siguiente procedimiento. Tomamos un cuerpo cargado arbitrario Q (fig. 14.4)y, a una distancia d de éI, colocamos la carga g, Entonces medimos la fuerza Fejercida sobre q. Seguidamente, colocamos otra carga q' a la misma distancia dde Q y medimos la fuerza F'. Definimos los valores de las cargas g y q' comoproporcionales a las fuerzas F y F', Esto es

qlq ' : FIF' . (14.1)

Si arbitrariamente asignamos un valor unitario a la carga q', tenemos un mediode obtener el valor de la carga q. Este método de comparación de cargas es muysiinilar al usado en la sección 13.3 para comparar las masas de dos cuerpos. Nues-tra definiclón de carga implica que, siendo iguales todos L,os factores geométricos,la fuerza de la interacción eléctrica es proporcional a las cargas de las particulas.

Se ha encontrado que, en todos los procesos observados en la naturaleza, lacarga neta de un sistema aislado perrnanece constante. En otras palabras,

en cualquíer proceso que lcurra en un sístema aislado, Ia carga lolalo neta no cambía.

No se ha hallado excepción a esta regla, conocida como el principio de conser-uación de la carga. Tendrernos ocasión de discutir este principio más adelante,cuando tratemos los procesos que involucran partículas fundamentales. El estu-J.iante recordará que ya hemos aplicado este principio en el ejemplo 1, 1.11, dondela reacción p' + p* -. p* + p. + p- * p- fue discutida. A la izquierda la cargatotal rs dos veces la carga del protón y a la derecha los tres protones contribuyentií".$ l.ece" ]a carga del protón, mientras que el antiprotón contribuye la cargaiiel proi,ón negativa. f)e este modo sc obtiene una carga neta igual a dos veces.t:r carga del protón.

Cuerpode referenci

F/'.:\n)--

Co¡rsiderenros la interacción eléctric¿l cr¡tre rlos pariÍculas cargadas, en replso,en el sisterna inercial de referc¡rr' ia ¡lci ribserr,-ador o, cu¿indo rnás, moviéndosea una velocidad muy pequeira; e l resul tado de tal interacción const i tuye la elec-Iroslática. I-a interacción elect¡ost¿itieu erit.re rios partic:ulas cargadas estí¡ dadapor la le,g de Coulornó, l lamada asi en ironcil ' dei ingeniero francés Chrtrles A. deCoulomb (1736-1806) quien fue el pr imero en enunciar la, corno sigue:

La ínleraccíón eleclrostctlica entre dos partlculas cargadas es" pro-porcíonal a sus caigas e í.nuersamente proporcional al ruadradode Ia distancía entre ellas g su dírección es según la recta queIas une.

Esto puede expresarse matemáticamenLe por

160 lnteracción eléctríca

74.3 Ley de Caulo'mb

0q'F: R": ; - ,

)=f¡

Fig. 11-5. Ralanza de tor-s ión de Clvcnt l ish para vcr i -l lcar la ler ' ¡ le la intcr¿tct ' i , i t le. léctr ica e¡rtre dos cargas.

' t a

(r4.2)

dondc ¡ es la distancia entre las dos cargas q y q', F es Ia fuerza que actúa sobrecada carga y K" es una constantc a determinar de acuerdo con nuestra elecciónde unidades. Esta ley es nruv sernejante a la ley de interacción gravitacional.Por consiguiente, podemos aplicar aqui rrruchos resultados matemáticos que de-mostranros en el capitulo 13 simplemente reemplazando ymm' p<tr K"qq''.

Irodemas experimentalmente verif icar la ley de ia proporcionalidad inversarlei cuadradt¡ de la dist¿ncia. midicndo las fuerzas entre dos cargas dadas colo-cadas a distancias distintas. Una posible disposición experimental se ha indicadoen la l ig. 14-5 parecida a la balanza de torsión de Cavendish de la figura 13-3.La fuerza I; entre la carga en -Él y ia carga en D se encuentra micliendo el án-gulo 0 según el cual la fibra OC rota para restablecer el equil ibrio.

I)

La constante Ke en la ec. (14.2) es senrejantea la constante'¡ en la ec. (13.1). Pero en el capí-tu lo 13 las unidades de masa, distancia y fuerzaestaban 5.a definidas y el valor de y se determinóexperimental¡nente. En el prescnte caso, sin em-bargo, aunque las unidades de fuerza y distanciahan sido ya definidas, la unidad de carga no seha delinido todavía (la definición dada en lasección 2.3 frie sólo preliminar). Si hacemos unaproposiciórr dellnida acerca de la unidad de car-ga, entonees podemos determinar K" experimen-talmente. Sin embargo, procederemos e¡r sentidoiriverso -¡r asignando a K" un valor conveniente,f i jarnos, i le cste rnodo, la unidad de carga. Adop-taremos estc scgundo nrétodo y, usando el siste-lna XiKSC cstablecemos el valor numérico de .I{.

- i ; ¡ Leg d.e Coulamb 461

.. . , : , i r i 1t l -7 12 :8,987i x 10e, dondc (como anter iürrnente) c es la veiocir lad de la. . r : r t . : l vacic.* En la práct ica, Dt idemos tomar para I i " e l yalor g X lge. En-

: :rr ' i1i. ciran'i0 la ri isl.ancia se nrii ie cn rrretros y Ia fuerza en newtons, la ec.I i .2) se escr ibe

F :9 x (14.3)

i 'n¿r vez (iue. hemüs decitl ido sobre ei valor de Xu, la unidad de carga está fl jada.:-strr rrrri i larl se l lama ur coul.omb, y se designa por el sirnbolo c. De aquí que' l,{-l¿ilíros cstabiece:- la ;iguiente dellnicjón : eI coulomb es la carga que, colotada: Jn metro de alra cargu igual en el. uacío, Ia repeie con una fuerza de 8,9874 x 10e';,r:¿'lons. I-a fórnrula (14.3) es válida solamente para dos particulas cargadas en' I r . ¡cío; o sea. para dos part iculas cargadas en ausencia de toda otra carga or' '¡r i-eria (ver sección 16.6). obsérvcse que, de acuerdo con la ec. (14.2), expre-

..rilos 1{" en N mz C-2 ó m3 kg s..z 6*2.Pcr razones prácticas y de cálctrlo numérico es más conveniente expresar 1{¿

¿¡l la lorma

Ke:4reo'

(14.4)

, londe la nueva constante eo se l lama permítíuidail d.el oucto. De acuerdo con elvalor asignado a K¿, su valor es

úo'I n9 -'-',- -

10?,o :

+*, :8,854 X 10-12 N-l m-t Cg

Por lo tanto escribiremos la ec. (1.4.3) en la forma

ñ qq't :

nrr.*

FL : -9!3-: 1,9 x 10¡ N,{rr€ori

Luego la fuerza resultante es

ó m-3 kg-r 5z ¿2.

(14.5)

(14.6)

Cuando usemos Ia ec. (14.6) debemos incluir los signos de Ias cargas q y q'.un v¡lor negativo para F corresponde a atracción y un valor posit ivo.corres-ponde a repuls ión.

I:JEI|IPLO7.t.7. Dada ia disposición de cargas de la f ig. 14-6, donde 4r : *1,5 x10-3 C, gz: - 0,50 x 10-3 c, 4¡ :0,20 x 10-3 c, y AC :1,2 m, BC :0,50 m,hal lar la fuerza resultante sobre la carga ga.

.Solr¿ción. ' La fuerza F, entre gty Qa es de repulsión, mientras que la fuerza I ' , entreQz ! % es de atracción. Sus respectivos valores, usando la ec. (14.6), son

F, : -S-zQl-: - 3,6 x 103 N.47leofi-

. / -F : V Fi + Fe - 4,06 x 103 N.

I La elección de este vaior particular para ff" se explicará en Ia sección 15.g.

Campo eléctríeo 463

I. 'scribamoi ia ec, (14.6) en la forrna f : q'(ql4nef). Esto da la fuerza pro.¡iu,¡it la por.ia carga q sobre la carga q'colocada a una distancia ¡ de q. Fodriamosl,anibién decir', usando la ec. (1,*-?), que el campo eléctrico C en el punto dondeesta colocada g' es tal que F : Q'{,Por consiguiente, comparandolas dos expre-siones de Ji, concluimos que el campo eléctrico a la distancia ¡ de una carga pun-tuai g es C : ql|rceor2, o en forma vectorial

(a)

flg. 14-9. Campo eléctrico producido por a)negativa.

(14.8)

(b)

una carga positiva y b) por una

( :7!¡; u"

donde u, es el versor en la dirección radial, alejándose de la carga q, ya gue .Festá según esta dirección. La expresión (14.8) es válida para cargas positivasy aegativas, con el sentido de { respecto a 'tt, dado por el signo de q. De este::roCo f está dirigido alejándose de una carga positiva y hacia una carga nega-tiva. E,n la fórmula correspondiente para el campo gravitacional (ec. 13.15), elsigno negativo se escribió explicitamente porque la interacción gravitacional es.ienipre de atracción. La fig. 1a-9(a) representa el campo eléctrico en las vecin-Cades de una carga positiva y la fig. 1+9(b) muestra el campo eléctrico en lascercanias de una carga negativa.

iII

/

ta .r'

tt. ,i ,'

'- -

ta- ,r'r"r-1-t

--,Ii)^-.--, . I

II

I

Igual que en el caso del campo gravitacional, un campo eléctrico puede rep¡€-sentarse por líneas de fuerza, lineas que son tangentes a la dirección del campoen cada uno de sus puntos. Las líneas de fuerza en la fig. 14-10(a) representanei campo eléctrico de una carga positiva, y las de la fig. 14-10(b) muestran elcampo eléct¡ico de una carga negativa. Estas lineas son rectas que pasan porla carga.

(-liando varias cargas están presentes, como en la fig. 14.7, eI campo eléctrico-:-srilt¡rnte es la suma vectorial de los campos eléctricos producidos por cada

carga. O sea,

462 Interaccíón eléctríca

F,*

Flg. 14-6. Fuerza eléctr ica resultante Flg. I4-7. Campo eléctr ico resultantesobre q, debida

^ 4t y a Qz.

i l r¿.O"tto P, producido por varias

L'j.4 üampo eléctríco

Ct¡a!¡¡rri*r rt:6ii in del espaoio e:r clande una c¡.rga ¡:lóctrjca experimenta una fuerzas.c llarn:i t:n ci¡Jnr,o eléttríco. La fuerza se dri;e a i;r prr:sr:ncia ile otras eargas enaqueila r"gión. Por ejernplo, unil carga { cr,}sr-:¿dn en uüa regiíin doride hayanct¡as ¡rargas Qy Q,"" Qs, etc.. (fig. i4-7) experiincnla una iuerz¿, É':Fr + ¿', + .F". + . . .,¡" r, lecimos que está en un carnpo eléctrict¡ producitlo pcr las cargas gp ga, Qs,, .."(ia carga. E', por supucsto, Lambien ejerce iuerzas sobre Qr, gz, {s,... pero porahora no la.s tomaremos en cuenta). Como ia fue¡za que cada carga qr, Qz, 4s, . . .ej*rr:e sobre ia carga q es proporc¡onai a q, la fuerza resultante ,f' es propnrcio-nal a q. Asi, ia fuerza sobre una particuia cargad.a, coiocada en un campo eléc-trico, es proporcional a ia carga de la particula.

La íntensi¡Iad de un campo eléclrico en un punto es igual a la fuerza por unidad<ie carga colocada en ese punto. EI símbclo es f. Por lo tanto

- - , t

{ ' :+ i t F:q(.q

(14.7)

La intensidad de campo elóctrico f ' se ex-presa en ¡rew|onicoulomb o N C-1, o,usancio ias unidades fundanrentales, m kg s-': g-r"

Obsérvese que, ctendie¡rdo a la definición (.14"7), si ? es positiva, la fuerza .ú'que actúa slbre la carga tiene la ¡nis¡na ¡Jirecrión del r:arrrpo f pero si g es lega-t.iva, ia fuerza F tiene la dirección cpur:sl;-t ¡ f {f ig. 14-8). Por Io tactc, si apli-camrts u! campo e)éctrico en una región dontle haya iones positivos v negatÍvos,el carrtpr: tcndcrá a mQver los cuer^¡ios cargari ' ls positivarnente y negativamcnteen direcciones opuestas, la cual da como resultarlo una $eparación de car"gas,efecto éste l lamado algunas veces po/ar.jztsción.

Carnpo eléctrico -__*--g+

Cargá fiüsitira

C*rg:r tcg+

I ' ig. 14-8,. -{eutid,r i

de la fuerza prorln-cicia ,pcr ur1 t:Jmpo eléctr icc sobre unacargu posit iva y sobre una negativa"

l :qE

464 Interacción eléctríca (14.4

(e) (b)

Fig. 14'10. Lfneas de fuerza y superficies equipotenciales del campo eléctrico deuna carga positiva y de una negativa.

Flg. f 4'11' Llneas de fuerza y superf icies r:r¡r i i ¡rotenciales del campo eléctr ico dedos: c¿¡g31¡ iguales y r:¡ruestas.

' .t ' '. \-{ / , '., 't \ I

l \ , / . '--\ ir{<-1-i-r:S( /-

i r i t l l l l

i l i i l t l l

14.Q¡ Campo eléctrico 465

Ftg. 14-12. Llneas de fuerza y superflcies equipotenciales del campo eléctrico dedos cargas idénticas.

C:Cl *Cz*Cr*. . . : ) ,C,:# )r f f .+u

La fig. 1tl-11 indica cómo obtener el campo eléctrico resultante en un punto Pen el caso de dos cargas, una posiüva y otra negativa de la misma magnitud,como es el caso de un protón y un electrón en un átomo de hidrógeno. La ftg. l*12muestra las lineas de fuerza para dos cargas positivas iguales. tal como los dosprotones en una molécula de hi{rogeno. En ambas liguras también se han repre.sentado las líneas de fuerza del campo eléctrico resultante producido por lasdos cargas.

Distribuciónvolumétrica

de carga+-rI

+++1-

Ftg. 14-13. Cálculo del campo eléctricode una distribución continua de carqa.

FtS. 14-14. Campo eléctrico uniforme.

Si tenemos una distribución continua de carga (fig. 14-13), la dividimos enelementos diferenclrles de carga dq y reemplazamos la surna por una integral,

466 Interacción eléctríca (14.4

resultando

¿':J- f4", .4r,eo J i't

La integral debe extenderse a todo el espacio ocupado por las cargas.Un campo eléctrico unifornrc tiene la misma intensidad y dirección en todos

sus puntos Un campo uniforme está representado, evidentemente, por líneas defuerza paralelas y equidistantes ({ig. 14-14). El mejor rncdo de producir un campoeléctrico uniforme es cargando, con cargas iguales y opuestas, dos placas metá-iicas paralelas. La simetrÍa indic.a que el campo es uniforme; más adelante, enla sección 16.3, verificaremos matenrátic¿mente esta ascrción. (Recordar el ejem-plo 13.8 tlonde aparece un problema semejarite relacionado con la interaccióngravitacional).

fiJERlf,Lt'!- 14,2. Determi¡ar *l campo elé<ri.rir:o producirlo por las cargas Qt ! 4zen cl purri. i l C de la fig. 14-6; rl icha¡ {:rrg¿.i se han rlefi¡¡i i lo en el ejemplo tr4.1.

Sclrci,6n: Trnctnos,-los -solrlcionfs a es{rtSPr'. {--criro hemos lialladr-r en el ejemplo 14,1!a fuerza -1.'sobre la carga g. colccada cn ei puni; C, tenemos, usan¿l.o la ec, (14.7), que

t¡C : : - : ' ; ,03 x 10¿] ' l C-1.

9sOtri; procedi¡niento es calcular primero ei campo eléctricr: producido en C (fig. 14-15)poi cada una de las cargas, usando ia ec. (14"6). Esto da

¡t 13 Et

Ftg. l4-16, Campo eléctricoresultante en C producido por{l Y (c'

c, : -* : : 9,32 x loc N C-r- 4tte ¡lv

{." : 9t -

== 18.0 x 108 N C-r.' Aneorl

For consiguiente, el campo eléctrico resultante es

c : V71 ¡ ¿7: 2.03 x 10? N C-1.

Los dos resultados son, evidentemente, idénticos,

q2

EJE*ÍPLO 74.3. Discusión tlel movi¡nientc de una carga eléctrica en un campounilorme.

Solt¿Íd¿: La ecuación de movimienio dc una carga eléctrica en un campo eléct¡icouniforme está dada por la ecuación

ma:q{ ó a: . 3- ¿.

La aceleración que adquiere un cuerpo en un caÍrpo eléctr ico depende, por lo tanto,de la razón qlm. Corno esta razón cs en gcneral diferente para diferentes part lculascargadas o iones, sus aceleraciones eir. r in campo eléclr ieo serán también diferentes;es decir, que hay una clara dist inción enr.re l¡ l acelcración de un cuerpo cargadoque se lnucve en un campo eléctr iro, y la aceir¡ 'ación en un oampo gravitacional,que es la mism.a para todos los crtrrpt i- t , Sl cj c¿rrn*¡r { 'es u¡t i lor lnc, la aceleraciÓn ¿es constante y la trayocloria dcsr:r i ia por ta , : l rga eiéctr ica e¡r su movimientn esuna parábola, conro se expl icó en la secció;r 5.7"

-_

14.4 Campo eléctríco 467

Ftg. 14-16. Desviación de una carga positiva por un campo eléctrico uniforme.

Un caso interesante es el de una partfcula cargada moviéndose a través de uncampo eléctnco que ocupa una re'gión limitada del espacio (fig. 14-16). Suponga-mos, para simplif lcar, que la vetocidad inicial uo de la partfcula cuando entra alcampo eléctrico sea pelpendicular a la dirección del campo eléctrico. Hemos colo-cadt¡ el eje X paralelo a la velocidad inicial de la partlcula y el eje Y paralelo alcampo. La trayectoria AB descrita por la partfcula al moverse a través del campoes una parábola. Después de cruzar el campo la partlcula readquiere el movimientorectillneo, pero con una velocidad c diferente en módulo y dirección. Decimos en-tcnces que el campo eléctrico ha producido una desviación medida por el ángulo a.

Usando los resultados de la sección 5.7, encontramos que las coordenadas de lapartícula mientras se mueve a través del campo con una aceleración (q/m)C, estándadas por

Í , :uot¡ g:r(qlm)C|2.

Eliminando el tiempo l, obtenemos la ecuación de la trayectoria,

lo cual verifica que es una parábola. Obtenemos la desviación ¿ calculando la pen-diente dgldr de la trayectoria para x : a. El resultado es

tg a : (dgldr)"* -- qCalmozs.

Si colocamos una pantalla S a la distancia l, la partlcula con un q/m dado y velo-cidad uo, llegará a la pantalla en el punto C. Observando que tg c¿ es aproximada-mente igual a dlL, ya que el desplazamiento vertical BD es pequeño comparadocon d si Z es grande, tenemos

(r4.e)

lfidiendo d, L, a y C obtenemos la velocidad oo (o la energla cinética) si conocemosla razón qlmi o reclprocamente, podemos obtener q/m si conocemos u0. Por lo tanto,cuando un haz tle partfculas con la misma relación qlm,pasa a través de un campoc.léctrico, las mismas se deflectan de acuerdo con sus velocidades o energfas.

Un aparato tal como el ilustrado en la fig. 14-16 puede usarse como un dn¿r¿f-:ador de energla, el cual separa las partfculas cargadas idénticas que se muevenion energías diferentes. Por ejemplo, los rayos I son electrones emitidos por algu-nos materiales radioactivos; si colocamos un emiso¡ de rayos B en O, todos loselectroncs se concentrarán en el mismo punto de la pantal la si t ienen la misma

L---

+(-"J(*)*'

qéa _dmú'o L

++++++F_rr-1"--¿

468 I nter acción el éctríca. (14.5

energfa. Pero si st¡n trmit idos ccn t i i tcrenrr ls i ' rct ' iJí l) i se dispersarán en una regiónde la pantal la. l ' ls esla segunda posibi l . idad Ia que sc e¡rcuentra experirnentalmente,resultado r le ¡nucha irnportancia desde ei punto r ie vista cle la estn:ctura nuclear.

Usandi¡ dos juegos de placas paralelas cargadas, ¡ i ' . : ls66s producir dos campos¡nutuamente perpendicularcs, r lno horizonlal según l l f l 'y otro vert ical según yV',

corno se muestra en la f ig, 14-17. Ajustando lá intensit lad relat iva de los dos cam-pos, podemos obtener una desviación arbitraria r lel haz de electrones respecto acualquier punto de referencia en la pantalla. Si los dos caÍipos son variables, elpuntc luminoso de referencia sobre la ¡ranta)la i lescribirá una cierta curva. Apl i-caciones prácticas de este efecto se presentan en los tubos de televisión y en lososci loscopios. En part icular, si los campos eléctr icos varfan en intensidad con mo-virniento armónico simple, se obtentlrán las f iguras de Lissajous (sección 12.9).

Anodo Placas parado cnloque deSviación hor izontal

RPj; l la . \nodo i

Placas paradesvlacron'ln

-<.1't le control l

\ acelerador

/---r---T----;-i - \_- l Haz de electrones

Calefactor

Revest imientometál ico Pantal la

fluorescente =-

Cañón electrónico(o fuente electrónica)

I'19. 14-17. Nlovimiento de una carga bajo la acción de campos eléctricos cruzados.Los electrones son emit idos por el cátodo y acelerados por un campo eléctr icointenso. Una ranura en el ánodo acelerador, perm¡te a los electrones sal ir del cañónelectrónico y pasar entre dos sistemas de placas deflectoras. El revestimiento me-tál ico del interior del tubo, mantiene el extremo derecho l ibre de campos eléctr icos,producidos por fuentes ext€rnas y permit iendo el movimiento l ibre a los electronesdel haz.

74.5 Cuantízución de Ia carga eléctriea

lJn aspecto importante que .Jebemos dilucidar antes dc proseguir, es el hecho deque Ia carga eléctrica aparece no en cualquier cantidad, sino en rnúltiplos de unaunidad fundamental o cuanto.

De los muchos experimentos realizados para determinar esto, es clásico el delfísico norteamericano Robert A. Nfil l ikan (1869-1953), quien, por varios añosdurante la primera parte de este siglo, l ler'ó a efecto el experimento conocidohoy como el erperí.rnento de Ia gota de. aceile. If i l l ikan estableció, entre dos placashorizontales y paralelas A y B ({ig. 14-18), un c¿mpo eléctrico vertical C quepodia ser eliminadc¡ o restablecido por medio de un inter¡uptor. La placa superiortenía en su centro unas pocas perforaciones pequeñas a través de las c,uales podíanpasar gota.s de aceite producidas por un atorrizador" La mayoria de estas gotasse cargaban Jror f r icc ión:r l pasar por la boqui l in del atomizador.

Analice.mos primero cste experimento desde urt punto de vista teórico. Llarna-remos rn ¿ la masa y r ai radio de la gota de aceite. Para esta gota, la ecuación

I4.o) Cuantízación de lu cargc eléclrícq 469

Firr- 1.t-1.8. I ixpcrime'rto de trf i l l ikan. I l l movimiento de la gota de aceite car_gada g se observa a través del rnicroscopio i l l .

del movimiento cle caida i ibre sin el campo eléctrjco c es, usanclo la ec. (7.20)con K r lado por la ec. (7"19), ma: mg - 6r1ru. La velocidad f inal u, de la gota,cuando a :0, es

mg 2prrtl" r - 6nrr g¡ '

donde p representa la densiclad del aceite y hemos usado la relación m : ({rcf)p.(con el f in de ser precisos debemos también tomar en cuenta el empuje aól aiieescribiendo p - pa en irigar de p, siendo po la densidad del aire).

Suponiendo que Ia gota tiene carga positiva g, cuando apricamos er campoeléctrico, la ecuación del nrovimiento en dirección vertical haóia arriba es

ma:g( -mg-6rr¡rD,

y la velocidad final u, de la gota, cuando a :0, es

. . q( -ng"t

: -G";-'

Despejando g, y usando la ec. (14. 10) para eliminar mg, tenemos

q- (14.1 1)

(14.10)

Podemos hal lar e l radio de la gota midiendo u, y despejando r de la ec. (14.10).I l id ierdo ,r , obtenemos la carga q apl icando la éc. (14.11). Si Ia carga cs negat iva,el movi¡r l ienlo hacia amiba se produce apl icando el canrpo eléctr ico hacialba.¡o.

En la práclica se sigue un procedimiento diferente. El movirniento hacia arribay'hacia abajo de la gota se observa var ias veces, apl icando y supr imiendo el canlpr)elclctricr: sucesi. '¿rl lte¡lte. La velocidad u, permanece iuvariatle, pero Ia velocid¿r¿ u"

6r¡r(u, { ur)

470 Inleraccíótt eléctrice (14.5

ocasionahnentc t¡lmbie sugiricndo ii l i c¡ml:io {r¡i ::. r;:¡rqa cle ia gota. I istos cam-bios son drl-. ido: ¿ la ioniz.:¡cion oti i i i t-rl,¡rl r ' lr:.}. ai¡ r.- , 'r¡r.,}¡ienirr poa raJ¡os ctisrrricos.La gota prrecle t,oruli l al¡;uitci ¡lc csti, ir in¡jes nr('nl.ras se :nusl'r a trar'és,:lel airc.I-os canbÍos en la carga pr:r:dtn i i lCuciisc t¡¡r¡.:Lién i:r, loca¡ric rercit de }as placasuna fnente de rayo; X u 1o lc'1, cuaies slrmeil i: l l : ];t ionjzación dei airi:.

l)e acuerdo con la er:. (14.11), los ia,,¡Lio:; Ao y :\u, de la carga y de la velo-cidad hacia arriba están relecionaCcs í|.r

0:r: l¡Aq : --:- ¡", (r4.12)

Aigunas veces Aq es positiva'i 0ir¿1s veces r1e¡iativir, según la naturaleza de lamodificaciórr rie la carga. Repitienclo el e:;pt:ri inenlo de la gota de aceil.e muchas'r'€c€s coil diferentes gotas, ios l is.icos han conclu!do que ios cambios Ag son siem-pre nrúitiplos de la carga fi lndi.lrrl;]tai ¿ rirst() ¿s, AÍ - ' ne), cuyo vaior e$

¿ : 1,6021 x i i i - le C. (14.13)

La caatidaci e se l larna carga e¡emcntal. ' i ' t¡Cc:; las crtgas que se obseruon en la na^{uraleza son ig¿ro¡€s o-, o rnúliíplos de , in :art¡t t lente.nfal e; hasta ahora no se hanohservado excepc:ones a est; regla" Parece ser, entunces, una ley fundamentali l,; la naturaleza quc la carga eléctrica est,a cuaniizada. Hasta el presente, norc ha encontrario expücación ¿ estc hceho a prrrt. ir de conceptos más fundamentales.

Un segundo aspecto iritporl-rnte de la carga eléctrica es que la carga elementaleslá siempre asociada con alguna masa deterininada, dando lugar a Io que lla-nramos wta partícli la fundamnlal. I i1n e] próximo capÍtulo (sección 15.4), expli-carelnos aigunos métodos para medir la nroporciór qim" de modo que si se co-noce q, prieda obtenerse rn; de esta mauera se han identif icado varias particulasfundamentales.l Por el moinen!,o, podernos i¡tdicar que en la estructura del átomoentran tres partíeulas fundi¡nlentair,s: cl el¿clrón, e! prolón y el neutrón Sus carac-teristicas se indican err el siguierite cuadro.

i

Partícirla i___-t__

fe lcctrón { m.

IprOron I tnpneUlIOn I ¡nn

I

Masa I "rrgui--

- r r ,109l r l0 ' . r kg I - c

- t ,67?5 , : r ' . r -2? kg r + r:. 1",6748 x 10-r? ks | 0

Olrsérvese c¡ue. el neuirón no tiene cargrr uléctrir:r; sin crnbargo posee otraspropietlades eléctricas, rlue scl'án discutidas eri cl cr,pitulo 1.-1. trl hecho de que lamasa iiel protón sea cerca de 1840 veces mavor que la masa del electró¡r t ienegran influencia eri nir¡chos fenó¡i:enos fisirros"

[' let+rnclr. los :lhr)ra a Ia ielinición preiirnilrar i lel coulomb dada en la sección 2.3,y ver i f iquclr ios que el n¡ imero de el t :ctrc,r .es 3 ' r r ro inrres necestr ios parn alcnnzarllr)¿i c¿ifg¿¡ ¡rr 'rsit iva c) nrgativi¡ igui.ir r i¡¡r r:ouiori iL r:s i/1,6021 x 10"rs:ü,Z-tr18x 10r8qur cs trl ¡ iúrnero riuc agr:rrcce all i ,

14,6) Eslructura etéclrica de la maleria

74.6 Estructura eléctrica de Ia materia

Hemos recordado al estudiante el hecho frecuentemente observado de que ciertoscuerpos pueden electrizarse frot¿indolos con tela o piel. I l Iuchos otros experimen-tos de laboratorio señalan el hecho de que los r.;en5fifuyentes básicos de todos losátomos son partículas cargadas. Por ejemplo, cuando se calienta un fi lamento,éste emite. eleclrones, tal como se evaporan las moléculas de un líquido al calen-tarse. Este fenómeno se l lama emisión termoióníca.

Fie. 14-19. Electról isis. Lns iones semuel 'en bajo la acción del campo eléc-tr ico producido por los electrodoscargados.

Otro fenómeno interesante es el de la electrólísis. Supongamos que se estableceun campo eléctrico C (l ig. t4-19) en una sal fundida (tal como KHFJ o en unasolución que contiene un ácido (tal como HCI), una base (tal como NaOH), ouna sal {NaCL). Producimos este campo sunrergiendo en la solución dos barraso placas opuestamente cargadas llamadas eleclrodos. Observamos que las cargas:léctricas fluyen y que ciertas clases de átomos cargados se mueven hacia elelectrodo positivo o anodo, v otras se mueven hacia el electrodo negativo o cáIodo.i,ste lenómeno sugiere t¡ue las moléculas de la sustancia disuelta se han separado(o disociado) en dos partes diferentemcnte cargadas. o iones. Algunas están car-gadas positivaniente y se mueven en la dirección del carnpo eléctrico; otras estáncargadas negativarnente y se mueven en dirección opuesta a la del campo eléc-l.rico, Por ejemplo, en el caso del NaCl, los átomos de Na se mueven hacia elcátodo y en consecuencia son iones positivos, l lamados caliones, mientras que losátomos de Cl van al ánodo y son iones negativos, l lamados aníones. La disocia-ción puede escribirse en Ia iorma

NaCl+Na.*Cl- .

Como las moléculas normales de NaCl no tienen carga eléctrica, suponemosque eslán formadas de cantidades iguales de cargas positivas y negativas. Cuandolas moléculas de i\aCl se disocian, las cargas no se separan uniformemente. Unaparte de las moléculas transporta un exceso de electricidad negativa y la otraun cxceso de electricidad positiva. Cada una de estas partes es, por lo tanto,un ion. I len'ros dicho que todas las cargas son múltiplos de la unidad fundamental

471

Anodo

Cátodo7/"/ ' l l/)7 | tt. ¡

I l Í !V'Q*

r¡\>'t+ l

\\\

w

472 Interacción eléctrica (14.6

de carga e. Supongamos que los iones positivos transportan la carga f ve, y losiones negativos una carga - ve donde v es un nitrnero elitero que determin¡trcmos¡nás adelante. Cuando los iones l legan a cada electrcdo, se neutralizan, intercam-biando sus cargas con las cargas disponibles en los electrodos. Generalmentesigue una ser ie de reacciones qrr ímicas que no nos interesan ahora, pero quesirven para identif icar la natu¡aleza de los iones que se mueven hacia cadaelectrodo.

Después de un cierto tiempo l, un número N de átomos ha ido a cada electrodo.La carga total Q transferida a cada electrodo es entonces, en valor absoluto,Q:Nr¿. Suponiendo que m sea la masa de cada molécula, la masa total Mdepositada en ambos electrodos €s M : Nm. Dividiendo la primera relaciónpor la segunda, tenemos

QIM : velm. (14.14)

Si .A{¡ es la constante de Auogadro (el número de moléculas en un mol de cualquiersustancia), la masa de un mol de la sustancia es Ma : NA[r. En consecuencia,la ec. (14.14) puede escribirse en la forma

a 'le N4v€ Fv_:+

La cantidad

(14.r5)

(14.16)

es una constante universal llamada constante de Faradag. Esta representa la cargade un rnol de iones que tiene v :1. Su valor experimental es

F :9,6487 X 104 C mol-r. (r4.17)

f)e este valor y del hallado previamente para e, obtenemos para la constantede Avogadro

lüa : 6,0225 x 1023 mol-l, (14.18)

de acuerdo con otros cálculos cie esta constante.La ec. (14.15) ha sido verif icada experimentalntenle y se ha hallado que v es

igual a la ualencia químíca clcl ion correspondiente. E,l hecho de que v sea la va-lencia quimica sugiere que cuando dos átomos se rrnen para formar una molécula,irrtercambian la carga ve, convirtiéndose uno en un ion positivo y el otro en union ncgativo. La interacción eléctrica entre los dos iones los mantiene unidos.Podemos tantbién sllponer, con bastante confianza, que las particulas intercam-biadas son los electrones, ya que se mueven más fácilmente por ser más ligerosque Ios protones. Esta imagen del enlace quínrico, l lamado enlace iónín, rlebeconsiderarse sólo conro una descripción prelimin:r sujeta a revisión y crít icaulteriores.

En la s¡'cci(¡n 13.9 indicarnos tlue las luerzrs gravitacionales no eran suficien-temente lutrtes conlo para producir la atracción nccesaria para mantener unitlosdos áloulr,rs y fornrar una ¡noldcula, o dos nloléculas y formar una porción de

M m Nem. M¡

F:N¡e

!1.? ' l Eslruclura afómira 473

,,-¿¡ ' ier ia, y qt¡c s ion i03; veces rnenos intensas de lo rrecesar io. Compare¡nos ahorarl rir, le¡; de rnagnitud dc las fue¡zas eléctricas y de las gravitacionales. Supo-¡', 're¡rdo c¡ue la distancia sea la. :-- ';!sma, la intensidad de la interacción eléctricaestá deLerrninada por ia const.ante de aco¡rlamienLo qrqrl4reo, y Ia cJe la inter-acción gravitacional por i 'rn,rnr. Por lo tir l i l ;

intcracción eléctrica : Jíer---4rer-¡mrm,interacción gravitacional

Para obtener el orden de rnagni tud, hagarnos gt :82- e y !n1 : r r r2: r r?p, dernodo que para dos protones o dos iones de hidrógeno,

interacción eléctrica

I nt.ia..ion g.a"it-u.i* li : : 1,5 x 1036.

Este es, aproxirnadamente, el factor que le faltaria a la fuerza gravitacionalproducir ia interacción requerida. Para la interacción entre un protón y untrón (rn, : mp, Inz: me), la relación antcrior resulta todavía mayor: 2,8 xPor consiguier¡ te concluinros que

la interacción eléclríca es del orden de mugnitud requerido para pro-ducir el enlace entre atomos para formar moléutlas, o eI e¡tlace enlreeleclrones y protones para formar dtomas.

La conclusión es, entonces, obvia: los procesos quimicos (en general e l com:portamiento de la máteria en su totalidad) se deben a las interacciones eléctricasentre átomos y moléculas. Una comprensión complela de la estructura eléctricade los átomos y moléculas es, pues, esencial para explicar los procesos qttimicosv, en general , para expl icar todos los fenómenos que observatnos corr ientcmentea nuestro alrededor, tanto en la materia incrte como en la viviente. l ' i l objc't ivode la f ís ica es, como vimos en el capi tu lo 1, capaci tarnos para comprender laestructura de los constituyentes fundamentales de la materia y explicar, en fun-ción de sus interacciones, el comportamiento de la lnater ia como un todo. l )arac,Lrnrpl i r con este programa debernos comprendcr previamente las interaccioneseiéctricas. Por esta razón ¡nuchos de los capítulos siguientes estarán rir- 'dicadosa los fenómenos eléctricos.

Dondequiera que haya cuerpos cargados eléctr icamente, las fuerzas gravi ta-

c ionales son despreciables. Estas fuereas son imporlantes sólo cuando estu<l ia¡nos{ruerpos de gran masa sin carga eléctrica, o cuando las cargas son ptquetias encr-imparación con sus masas. Este es el caso del movimiento planetarit.¡ o del mo-virniento de cuerpos en la superficie terrestre.

14.7 Estruetura atótnic.a

Por Io dicho en la sección anterior, el estudiante se habrá dado cuenta que com-prender la estructura a!ómica es uno de los problemas básicos de la fisica. ltxpon-ganros, por lo tanto, algunas ideas preliminares y desarrollemos un modelo satis-factorio del átomo. Sabemos que los átomos son eléctricamente neutros e¡r su

e2

4reoprtf,

J)araelec-1 040.

474 Interaccíón eléctríca (14.7

estado normal, ya que en la materia en conjunto tto se manifiestan fuerzas eléc-tricas grandes. Por consiguiente, los átomos deben contener cantidades igualesde electricidad positiva y negativa o, en otras palabras, igual número de protonesv de electrones. El número igual de protones y electrones se l lama número atómicoysc designa par Z. El átomo consta entonces de una carga positiva lZe debidaa los protones y de una carga negativa de igual inagnitud debida a los eiectrones.

Acuden a nuestra mente dos posibics modelos para el átonto. En uno de ellospodemos suponer que los protones, como tierren mayor masa que los electrones,están agrupados alrededor d€l centro de masa del átomo, formando una especiede núclet¡ y los electrones giran a su alrededor, corno en nuestro sistema planetario.En el otro modelo los protones podrian estar esparcidos en todo el volumen delátomo, con los electrones movjéndose entre ellos y lormando algo así como unamezcla de gases con cargas positivas y negativas l lamada plasnio. E,l primermodelo es más llamativo dada nuestra lamiliaridad con el sistema solar. Sin em-l.rargo, entrc las dif icr¡ltades a que debemos hace¡ frente en este modelo, está lade explicar córno los protones se mantienen unidos entre sÍ, en el núcleo, a pesar dela fuerte repulsión eléctrica entre ellos. Esta complicación requiere la existenciade otras interacciones, además de la interacción eléctrica.

Para dilucidar el problema de la di-qtribución de electrones y protones en unátomo, debemos investigar el interior del átomo experimentalmente, lanzandoun haz de particulas rápidas cargadas tales como iones de hidrógeno (es decirprotones) o iones de helio (l lamados partlculas afa), contra el átomo, y observarlas interacciones producidas. Este es un experimento de dispersíón, cuyo funda-mento matemático se ha dado ya en el capÍtulo 7. La simetría sugiere que pode-mos considerar los átomos como esferas con un radio del orden de 10-10 m, comose ha indicado previamente. Debido a que la interacción eléctrica sigue la ley 71r2,los resultados demostrados en la sección 13,7 para el campo gravitacional, sonválidos también para el campo eléctrico. Sólo es necesario reemplazar "¡mm' porqq'!4*o, Por lo tanto, una esfera de radio a cargada con la carga Q unüorme-mente distribuida en su volumen, produce en todos los puntos externos (r > a)un campo eiéctrico dado por

( ' : ,Q-=, r le, (14.19)4ne¿2

y un campo eléctrico en todos Ios puntos interic¡res (r < a) dado por

| <a. (14.20)4xeoa} '

Este campo está representado en la fig. 14-20.En el rnodelo de plasma, el radio a es el ¡nismo que el radio del átomo y la

carga efectiva Q es muy pequeña ponlue las cargas positivas de los protonesy las cargas ne¡¡ativas de los electrones esi¡ln inezcladas unifor¡nemente. La des-viación experimentada por l;r particula de carga q al aproximarse al átomo, pero

Qr

14'.7)

Fig. 14-t0. Campo eléctr ico de una es-fera de radio c cargada,

l - '

Flg. 14-21. Distribución de electronesen un átomo.

sin pasar a través de é1, se calcula usando la ec. (7.42) coo rf( : Qq!4rc6i resulta

cots +ó : 4"'ún'3 b.

Qq(14.21)

En este caso el parámetro de impacto b debe ser mayor que ei radio del átomoo N 10-10 m. Suponiendo que la energía de las particulas es del orden de 1.6 x 10-rsJ,o un MeV (que es el rango de energias proporcionado por los laboratorios enesta clase de experimentos), y que 0 y q son del orden de e, encontramos que óes menor que 30" de arco. Es decir que prácticamente no hay desviación. Paravalores menores de ó, si la particula incidente tiene energÍa suficiente para pe-netrar al interior del átomo, inmediatamente actúa sobre ella un campo decre-r:iente y la ec. (14.21) ya no es aplicable. Pero entonces, la desviación, en lugarde ser mayor, es de nuevo muy pequeña porque el campo es menor. En otraspalairras, el modelo de plasma no puede explicar grandes desviaciones de laspartÍcuias que bombardean un átomo. Sin embargo, se ha encontrado experi-mentalmente que muchas partículas se desvian en ángulos grandes, en algunoscasos hasta 180". Por consiguiente debemos desechar eI modelo de plasma basán-donos en este experimento simple pero concluyente.

Consideremos ahora el modelo nuclear, en el cual los protones están agrupadosen una pequeña región al centro del átomo (fig. 14-21). Entonces la ec. (14.21)se mantiene para valores de ü mucho menores que el radio atómico, y son posi-bles desviaciones mayores. Aqui nos damos cuenta que los electrones en rápidomovimiento forman una "pantalla" entre la carga nuclear positiva y cualquierpartícula cargada que esté más allá del radio del átomo, reduciendo de este modola carga efectiva del núcleo. El resultado es que, para valores de ó mayores que10-10 m del centro, el átomo nuclear y el átomo plasma son esencialmente lomismo. Para pequeños valores de ó, sin embargo, pueden ocurrir mayores des-viaciones en el modelo nuclear, haciéndolo completamente diferente del modelode plasnta. Por ejemplo, para ó - 1g-ta m y Q - l}e, usando el mismo valor de

(carga - Ze)

476 lnteracción eléctríca (14.7

energia que antes, obtenemos cotg *d - I ó d - 90'. En el modelo nuclear,

Q : Ze, y poniendo Q : ve para la partÍcula que bornbardea (r : 1 para pro-tones, rr :2 para partículas alfa), obtenemos de ta ec, (14.21),

b: ,uz" u colg$.4*eomufi

En los experimentos se dirigen varias particulas contra una delgadlsima láminay se observan las deflecciones. Corno ó no puede controlarse porque es imposibleapuntar a un átomo en particula¡ debemos hacer un análisis estadistico parainterpretar los resultados experimentales.

Supongamos que tenemos una delgada lámina metálica de espesor /, que tienen átomos por unidad de volumen. Si N partículas por unidad de área incidenen Ia lámina, algunas pasarán cerca de un átomo de la misma (parámetro deimpacto pequerio). experimentando entonces una gran desviación; algunas pa-sarán a distancias relativamente giarides de los átomos de la lámina (panimetrode impacto g'ande) y experimentarán un¿ pequeíra desviación. El resultado delanálisis estadístico (ver ejemplo 14.4) muestra que el número de particulas dNJesviadas dentro del ángulo sóiido dl) (correspondiente a los ángulos de disper-sión { y 4 + d{ respecto a la dirección de incidencia) está dado por

d¡/ NnvzZzd

;n:-Tf f iñcoseca$'(14.22)

Ei signo negativo se debe a que dN representa las particulas sacadas del hazincidente co¡no consecuencia de la dispersión, y esto corresponde a una dismi-nución de N.

El resultado que predice la ec. (14.22) es que las partículas dispersadas porunidad de ángulo sólido, deben distribuirse estadísticamente según la leynseca l$. Al verificar esta predicción para todos los ángulos, se prueba, indi-rectamente, que todas ias cargas pcsitivas se concentlan cerca del centro delátomo. Esla prueba se obtuvo mediante experimentos ejecutados por primerarrez durante el periodo 191 l-1913 par H. Geiger y E. l larsden, bajo la direccióndel fÍsico británico Ernest Rutherfcrd (1871-1937). Estos experimentos constitu-yeron el fundamento del modeio nrtc iear del átomo, que ha sido aceptado desdeentonces como el correcto.

Para cada valor riel parámetro de irnpacto ó, existe una distancia de máxirnoacercamiento para ia cual la particula que bombardea está lo más cerca posibledel centro. I-a distancia mínima ocune para á : 0. EI cálculo de esta distanciapara diferentes condiciones experimentales, cmpleanilo metodos dinámicos (verejemplo 14.5) indica que esia ciistancia es del crden de lO-ra m para ener$asdel orden de 10-13 J (o un }fel '). Esta dist;lncia da un l imite superior para elradio del núcleo atómico. Fc'r consiguienle concluirnos que los protones se con-centra¡r cn u¡ra regifin cuyas dinre nsiones son del orden de 10-u m. Cuando con-sideranros cl hecho de que el radio i lel átomr; rs {ici orden de l0-10 m, nos damoscuent,a que ia rnayor Jiartc Cel v¡¡lurnen clei átorno está octipado por los elec-tri ines en mov-imiento, y está en realidad vacío.

1,1 : \ Eslruclura alór¡tics 477

Para pequeños valores del ¡rarárnetro de impacto 5,' altas energías, cuando lapartir:ula incidente l iega muy cerca del ttúcleo, observamos que la ley coseca $no se cumple. Esto indica Ia prest:icia de otras interacciones, las fuerzas nucleares..\nalizando las discrepancias ccn respecto a la dispersión puramente culombianadada por la ec. (14.22), obtenemos informa,ción valiosa acerca de las fuerzasnucleares.

Los más simples y l ivianos de todos los átomos son los átomos de hidrógeno.Su rnasa es igual a la de un protón más la de un electrón, Por consiguiente con-cluimos que un átomo de hidrógeno está compuesto de un electrón girando alre-dedor de un solo protón. Entonces, Z:1, y el núcleo de un átomo de hidrógenoes precisamente un protón (esto podria tomarse también como definición deprotón). Como el electrón está sujeto a la fuerza de atracción 1/r2, deberíamosesperar, por las mismas razones dadas en el capítulo 13 para el movimiento pla-nétario, que las órbitas fueran elipses con el protón en uno de los focos. Lasórbitas electrónicas, sin embargo, requieren que dispongamos de técnicas espe-ciales antes de poder discutirlas, porque ellas poseen caracteristicas propias quelas hacen diferentes de las órbitas planetarias. Estas técnicas corresponden a lamecánica cuántica. Sin embargo, podemos adelantar dos de los más importantesresultados de la mecánica cuántica.

(1) ,Lc energla del mouímienlo electróníco eslá cuantizada. Esto significa quela energia de los electrones puede tomar sólo ciertos valores Ep Ei2, Es, . . ., En, . . .Los estados correspondientes a estas ener$as se llaman eslados estacíonarios. Elestado con la más baia energía posible es el eslado fund.amenlal Determinar lasener$as de los estados estacionarios es una de las tareas de la mecánica cuántica.Como la energía (en un sentido clásico) determina el "tamaño" de la órbita,solamente ciertas regiones del espacio son posibles para eI movimiento electrónico.Esto está indicado esquemáticamente por Ia región sombreada de la fig. 14-21.

(2) EI momentum angular del mouimiento electróni.co eslá cuanlizado tanto enmagnitud como en direccíón. Esto significa que el momentum angular de unelectrón puede tener sólo valores discretos y gue, como el momentum angulares un vector, puede orientarse sólo en ciertas direcciones. A esta última pro-piedad nos referimos cuando hablamos d,e cuanlizacíón espacíal Pa¡a usar ter-minología clásica de nuevo, podemos interpretar esta segunda propiedad comoimplicando que las órbitas del electrón sólo pueden tener ciertas "formas".

Para átomos más pesados que el hidrógeno, la masa es mayor que la masade los Z protones que ellos contienen. La diferencia puede ser atribuida a lapresencia d,e neulrones en el núcleo. El número total de partículas en un núcleose llama el número másíco, y se designa por A. Por lo tanto, un átomo tiene Zelectrones, Z protones y A-Z neutrones. Los neutrones son necesarios, apa-rentemente, para estabilizar el núcleo. Si los protones estuvieran solamentesometidos a su propia interacción eléctrica, se repelerían entre sí, por estar car-gados positivamente. El hecho de que pueden permanecer unidos en un núcleoindica qne, además de las interacciones eléctricas, hay otras interacciones muyIuertes, correspondientes a las llamadas fuerzas nucleares, las cuales contrarrestanla repulsión cléctrica. Los neutrones contribuyen a crear las fuerzas nuclearessin añadir reprrlsión eléctrica, produciendo de este modo un efecto estabil izador.

L

478 Interaccíón eléctrica (14.7

En este punto debemos deci¡ que nuestro conoci¡nirnto de las fuerzas nucleares

no es tan completo como lo es cl de las fuerzas elécl.ricas.

El comportamiento quimico de un átomo, siendo un efecto eléctrico, está

determinado por el número atómico Z^ Sin embargo, para un valor de Z puede

haber varios valores del número rnásico A. En otras palabras, a ull número dado

de protones en el núcleo puedc corresponder düet'ente número de neutrones.

Los átomos que tienen el rnisnlo ¡rúniero atómico, pero diferente número másico,

se l laman isótopos. Todos ellos corresponden al mismo elemento quÍmico. Los

diferentes isótopos de un elemento químico se designan por el símbolo del ele-

mento químico (que también identif ica el número atómico) con un índice colocado

en la parte superior a la izquierda indicando el número másico. Por ejemplo,hidrógeno (.2:l) t iene tres isótopos: lH, 2H o deuterio, y 3FI o trit io. Análo-gamente, dos de los más importantes isótopos de} carbono (Z :6) son r2C y 14C.

El isótopo 12C es el que se usa para delinir la unidad de masa atómica.

EJEiltPLO 14.4. Obtener la ecuación (14.?2) para la dispersión culombiana.

S<¡luctón: Sea n el número de átomos por unidad de volumen del dispersor. Enton-ces nl será el número de átomos dispersados por una lámina delgada de espesor Iy área unid.ad. El número de átomos en un anil lo de radio D y ancho dD y por lotanto de árca2rb dó) será (nt)(2ttb dó), ccmo se rnuestra en la fig. 14-22. Si N par-tlculas inciden sobre la unidad de área de la lámina, el número de átomos cuyoparámetro de impacto está entre D y D + db es dN : N(n¿) (hb db\. Diferenciandola expresión del parámetro de impacto dado anteriormente, se obtiene:

(14.23)

- t \r '9\,[ :l.l __ _ _ _ _ _ _ - _ _ - -G:_*-i --_I t ; ; +Ze

FtS. 14-22. Desviación de un ion posit ivo de-bido a la repulsión coulombiana del núcleo.

Flgura 14.23

Para átomos l ivianos, debemos reempluzar la nrasa m de la partfcula por la masareducida del sistema de part lculas.

Si trazamos dos conos de ángrrkrs d V d n d{ alrededor del átomo (ng. 14-23)todas ias part iculas dadas pot ' la ec. (14.2i3) sr:rán desviadas a través del ángulosói ido entre las dos supcrf ir : ies cónic¡r.s. Ei ár¡. : sornbreada es (2nr sen $) (r dg) .-=

2:;¡¡ sen $ d$. ?ot consi¡;uit 'nte, en v;st i t t le l i ' . r lef ini tr iÓn (?"7), el ángulo sól ido esdfl == 2r sr.:u ó d+ =- 4:: sen \$ cas y4 dg!, donrle l lcrn¡rs rrs¿tdo la relación sen{ :

2 sen {.$ cas }$. La distr ibución angular está . iada por el ¡rúme¡o de part lculas

dN: * f f i4corgl$

cosec'$d{.

dN Nn\¡zzzeal-1r] : - t(-*i;;ü

coseca |r/'

que es la ec. (14.22).Aigunas veces los rcsulta.dos de los experimentr,s rle dispersión se expresan meior

nsando el concepto de seccírjn eficaz. La sección eflcaz pará un proceso está definid.apor

. , , 1 ldNlo(P/ : Nr.. i do i'

! i , t :

' : i ispersadas por unidad rie ángrrlo sélido. Entonces

Estructura alo¡¡ti¡.c t , ' :

(r4.24)

(14.25)

Las barras verticales están -para ]nolgq que usamos el valor absoluto de dN/do.

I-a cantidad o({) representa.la probabil idad de que una particula incidente se desl' leun ángulo.entre {_y # + d#: Se expresa en unidades de área (mr), ya que n es unadensiiad im-u) y f es una distancia (m); (obsérvese que las unidad.Ls de N se can-:elan). Por io ianto, sustituyendo la .ec. {14.22) en ia ec. (14.24), obtenemos la sec-,:idn eficaz diferencial para la dispersión culombiana,

"(ó) :

^;tZy;T coseca i{.,

" ' 2(4te)2m2oo

E,íEMPLO 74.5. Obtener la dlstancia de máximo acercamiento rle una partfculade carga ve dirigida con velocidad uo contra un átomo de número atómici z.Solucló¡t: La flg. 14-24 muestra la geometla delprobiema. De acuerdo con la discusión hecha enla sección 13.5, la partfcula describe una ramade hipérbola con el núcleo *Ze en el foco másdistante F'. La distancia de máximo acerca-miento es & : F',4,. Sea b : F'D el parámetrode impacto. Demostraremos primero que ó esigual al eje vertical OB de la hipérbola. St an-gulo f : POQ, entre las dos asfniotas, es el án-gulo de desviación de la partlcula debido a Iarepulsión coulombiana del nrlcleo. La distanciaOA : OA' : (I s€ mide en el eje horizontal, yde las propiedades de la hipérbola tenemos queAF' : OC. Por lo tanto, los triángulos OF,Dy OCA' son iguales, de modo que ü : F,D:: CA' : OB. En la geometrfa de la ñgura ve-mos que OF' : ó cosec ay OA: ¿r : D cotg cr .ForconslguienteR : F'A : ó(cosec a * cotgc).Pero 2a + Ó: zc, de modo {ue c: +"_-hi .Por Io tanto Figuro 14-24

R : ü(sec I4 + te 14,¡ : ó(1 *.cos-e: *ó).

cotg lcUsando el resultado (14.21), con e : Ze y g : y€, obtenemos

R : .. u?" ^.

(1 * cosec |f),4reo(mo!) ' -

que da !a cl isi .ancia cle máximo acercamiento en función de la energla inicial de lapartfctr la- \mu^, y del ángulo de dispersión $. Para un choque de freñte, la partícul.r

Élt ,lr

rebota de modo que se dispersa en un ángulo igual a ;r, resultando cosec tó : I y

,, vZe|Areo(lmuf,)'

Por ejemplo, swtituyendo valores numéricos con v: 1, Z:6 (correspondienteal carbono) y E : ImuE : 1,6 x 10-ra J ó 1 MeV, obtenemos R'- 10-ir *, quées el orden de magnitud señalado antes para las dimensicnes nucleares.

74.8 Potencial eléctrico

Una carga eléctrica colocada en un campo eléctrico tiene energia potencial debidoa su interacción con el campo. El polencial eléctrico en un printo se define comola energía potencial por unidad de carga colocada en dicho punto. Designandoel potencial eléctrico por v y la energía potencial de una

"^rgi q por Ep, tánemos

v:! -oq

El potencial eléctrico se mide en joure/coulomb o .I c-r, unidad que recibe elnombre de uolt, abreviado v, en honor del cientifico italiano Alejandro volta(1745'1827\. En función de las unidades fundamentales, v : ¡nz ¡g .-z ¡-r.

Observemos que las defirriciones de campo eléctrico y de potencial etéctricoson análogas a las de campo y de potencial gravitacional, E-llas se relacionandel mismo modo que en la ec. (13.21). o sea, las componentes cartesianas delcampo eléctrico C están dadas por

48A Inturacción eléclrica

av: -+

^,oÍ

fV

I dv'. /o

6 Er:qV.

.0V0z

(14.8

(r4.26)

(r4.27)(, -av\y - - - - : - 'og

En general, la componente según la dirección correspondiente a un desplaza-miento ds es

t '_ av'* - - -a-'

Esto puede escribirse en la forma compacta

¿.:_grad V,

como se ha mostrado antes en los capítulos g yse usfln para encontrar el potencial eléctric:otrico {', y recíprocamente.

(14.29)

13. Las ecuaciones (14.27) o (14.28)V cuando se colloce el campo eléc-

consideremos el caso ril p]. de un campo eréctrico unifonne (fig" r+25). I.aprimera de las ecuaciones (1 .4.I7) da, para un c€mpo paraielo al eje X, f.: _dV ldr.como f es constante y $ujronemfis v : 0 para r : 0, tenemos, por integración,

(r4.28)

V:--Cs. (14.30)f r f . ¡- - - f Cdr-- . ( ' - l ¿¡ . r ó

Jo Jo

i'1.8) Potencíal eléctríco 481

iv:r iI

I

01.-"r l

l ¡r lI I

Flg. 14-9ó. Campo eléctrico uniforme. Ftg. 14-26. Variaciones de f y V en uncampo eléctrico uniforme.

I

Esta relación muy útil ha sido representada gráficamente en la fig. 14-26. Obser-vemos que, debido al signo negativo en la ec. (14.29) o en la ec. (14.30), el campoeléctrico se orienta hacia los potenciales decrecientes. Cuando consideramos dospuntos Í ty rz, la ec. (14.30) da V, : - ( \y Vz:-(rz. Restando, tenemosVr- Y, : - ((rz- rJ; o, haciendo d : Íz- l ' obtenemos

i t '

" Yr-V, Vr- V,

a:_

--dd (14.31)

-A.unque esta relación es válida solamente para campos eléctricos uniformes, puedeusarse para estimar el campo eléctrico entre dos puntos separados por una dis-'uancia d, cuando se conoce la diferencia de potencial V, - V, entre ellos. Si ladiferencia de potencial V, - V, es positiva el campo está dirigido de r, a l,

¡ ' si es negativa, está dirigido en sentido opuesto. La ecuación (14.31) [o de hechotambién la ec. (14.27) o Ia ec. (14.28)l indica que el campo eléctrico se puedeexpresar también en volt/metro, unidad equivalente a newton/coulomb dadaanteriormente. Esto puede verse del siguiente modo:

volt joule newton-metro newton:- .coulombmetro coulomb-metro coulomb-metro

En Ia práctica se prefiere usar el término volt/metro, abreviado V m-r en luga.rde N C-1.

Para obtener el potencial eléctrico debido a una carga puntual, usamos laec. (14.28), reernplazando s por la distancia r, ya que el campo eléct¡ico produ-cido yace según el radio; esto es, C - - 0Vl0r. Recordando la ec. (14.8), podemosescribir

lqaV4 tceo rz 0r

482 Interacción eléctrica (14.8

Integrando, suponiendo Y :0 para r : oo, coülo en el caso gravitacional, ob-tenemos

(1.1.32)

Esta expresión podria haberse obtenido también reemplazando en ra ec. (13.18)-'(m por ql4teo. El potencial eléctrico v es positivo o negativo dependiendodel signo de la carga g que lo produce.

Si tenemos varias cargas Q7, Qs, Qs, . . ., el potencial eléctrico en un punto p(frg, 1+7) es la suma escalar de sus potenciales individuales. O 5ea,

v: ,8t + +r- + ,9r +. . . - =!- r , - lL. (14.33). 4re¡1 r.eor, 4re6.r3 4rreo -' r¡

-

En general es más fácil, por Io tanto, calcular el potencial resultante debidoa una distribución de cargas y luego obtener el campo resultante, que procederen el orden inverso. Para calcular el potencial debido a una distribución continuade cargas, dividimos ésta en cargas elementales dq y sustituimos la suma deIa ec. (14.33) por Ia integral (recordar la fig. t4-l3), obteniendo

v: q4Íesl

(14.34)

donde la integral se extiende a todo el espacio ocupado por las cargas.Las superficies que tienen el mismo potencial eléctrico en todos sus puntos

- o sea, y : constante -- se llaman superficies equipotencíal¿s. La dirrccióndel campo eléctrico es perpendicula¡ a la superficie equipotencial en cada unode sus puntos. (La justificación de esto se dio en la sección 18.6). para un campounüorme, deducimos de la ec. (14.30) que V : const. implica r : conSt.r y quepor lo tanto las superficies equipotenciales son planas, como se indica con Iaslineas de trazos en la fig. 14-25. La ec" (14.82) indica que para una carga puntual,ias superlicies equipotenciales son esferas ¡ : corist, señaladas poi las lin"asde trazos en la fig. 14-10(a) y (b). Para varias cargas las superficies equipoten-ciales están dadas por Xi(qi/r,) : cor$t, de acuerdo con la ec. (14.33). Las su-perlicies equipotenciales para dos cargas se han indicado con lÍneas de trazosen las figs. 1,111 y 14-12.

EJEMPLO 74.6. calcular laenergfapotencial etéctrica de Ia cargaq, del ejemplol4.l.solución: Reflrámonos a Ia fig. 14-6 y usemos la ec. (14.32). Los potenciales eléc.tricos producidos en c por las cargas hy Qzsituadas en ;l y B, respóctivamente, son

u:+[+'

Y,:-L-: f i ,25x106!,47!€oft

Luego. el potencial eléctrico en el ¡runto C es

,-Ytfvr :2,25x106v.

vr: -J3-- : -_9 x 100\¡ .4?TÉo12

14.8)

La energía potencial de la carga q, es entonces

Eo - q"V : (0,2 :< 10-3 C) (2,25 x

Si cornparamos este ejenrplo con ei 14.2, vemos Iaca¡npo eléctr ico y con el potencial eléctr i¡ :c.

Potencial eléctrico 483

108 V) ': 4,5 x 10¡ J.

diferencia entre trabajar con el

EJEjTIPLO 11.7. Calcular cl campo el icLrico y el potenciai eléctr ico producidosDor un f i lanlento muy iargo que porta la carga tr por unidad dc longitud.

sabnii in: Dividarnos el f i lamento en pequeñas porc. lones de longitud ds (f ig. 14.27).La carga de cada una de estas porciones es dq : X ds. La nagnitud del campocléctr ioo que caoa elemento produce en P es

ot:- :gt---4ttcorz '

dir igir lo segi ln la l inea AP. Pero, debido a lasirr.retr ia del problema, a cada ele mento ds, a ladistanria s por encima de O, corresponde otroelemento a la misma distancia por debajo de O.F'or lo tanto, debemos considerar solamente lascomponentes paralelas a OP, dadas por dó cos a,y el campo eléctr ico resultante según OP es

| 7. f d.sC: ldC cos6¡:

. ' l lcosa.J 4Éeo J t2

De la f igura se deduce que r : R sec a ys : R tg a, luego, ds : R scc2 ¿ da. Haciendoestas susti tuciones, integrando desde a - 0 as. : .12, y mult ipl icando por dos (ya que las dosnritades dcl f i lamento dan Ia misma contr ibu-ción), obtenemos

Fig. 14-27. Campo eléctrico pro-ducido por un filamento cargado.

como R-r. En forma vectorial,

¿ : - AVIAR, lo cual nos da

Uds lr{,1

I t \g\

. l l ' - ' .;l+o--i-.i lo---- ' : 't lU

Ps----- \

D.l r t l2C::-"=l cosd.dz:

4aeof( J 6 2reoR

De modo que

Para hallar el

el campo eléctr ico del f i lamento varía

- ) .( : 2?r€0R-

u8'

potencial e léctr ico usamos la relación

dvdR

La integración produce

2neo-R

v: R+c.

se acostumbra en este caso asignar el valor cero al potencial en el punto dondeR : 1, lo cual da C :0. Luego el potencial eléctr ico es

v : - ^]- ln n.2neo

Sugerimos al estudiante resolver este problema invirt iendo el orden, hal lando pri-mero el potencial y después el campo,

- ^l- rn2nen

484 Interaccíón eléclrica

74.9 Relaciones energétieüs en un cerrt.Elr) eléctriea

I-a energia tctal de una part ícula cargarla o de un:u¡r t ie masa mviéndose €n un campo cléctrico es

(14.e

E : Ex * E, ,: \mtt2 -¡ qV, (14.35)

Cuanrlo el ion se nrueve de la posición P, (donde el potencial eléctrico es Vr) a laposición P2 (donde el potenciai es \ 'r), la ec. (14.35) combinada con el principiode conservación de la energía, da

¡mu! * Qvt: |nu, , ¡ qvr. (14.36)

O, recordando que según la ec. (8.11) W:lmuzr- I^r1 es el t rabajo hechosobre la particula cargada al ntoverse desde P, a Pr, tenemos

17t :5nuf,- trnui : q()'1- V;). (14.37)

Esta últ ima ecuación nos permite ditr una definición precisa clel voit: es la dife-rencia de pt-rtenr:ial a través de la cual la carga de urr cculomb debe moverse,para ganar una cantidacl de errcrgía igual a un joule.

Obsérvese que según la ec. (14.37), una particula cargada positivamente (q > 0)gana energia cinética cuando se mueve, desde puntos de mayor potencial, a pun-tos de menor potencial (V, > %), mientras que una partícula cargada negat!van¡ente (q < 0), para ganar energía, debe moverse desde puntos de menorpotencial, a puntos de mayor potencial (% < %).

Si escogemos el valor cero para el potencial eléctrico en P" (Vr:0) y dis-ponemos ¡ruestro experimento de modo que en P, los iones tengan velocidadcero (V, :0), la ec. (14.36) se convierte (quitando los subíndices) en

$maz : qV, (14.3B)

expresión que da la energía cinética adquirida por una partícula cuando se muevea través de una dilerencia de potencial V. Este es, por ejemplo, el principio apli-cado en los acelerqdores eleclroslalícos.

Un acelerador tipico (ng. 1A-28) consiste en un tubo al vacio a través del cualse aplica una diferencia de potencial entre sus extremos. E,n uno de sus extremosestá una fuente de iones inyectando particulas cargadas dentro del tubo. Lasparticulas i iegan al otro exttemo con una energia dada por la ec. (14.38). Estosiones rápidos golpean un biallco ?, construido cle un material escogido segúnla naturaleza rlel experimellto a ejecutar. El rcsuitado de estas colisiones es algúntipo de reacción nuclear. La energÍa producida por el choque de los iones se trans-fie¡e al blanco, por lo cr.rai éste debe ser constanteniente enfriado, ya que de otromodo se fundiria o vaporizaria.

Hay varios tipos de aceieradores electrostáticos (Cockroit-Walton, Van deGraaff, etc.). Cada uno de ellos produce la diferencia de potencial V por diferentesmétodos. En cualquier caso, la energia de los aceleradores electrostáticos estálimitada por la diferencia de potencial máxima que se les puede aplicar sin quesalten chispas entre los rnateriales usaclos. Est-a diferencia de potencial no excedede unos pocos millones de volts.

y carga g mo-

'|

*,J i Reiacíonu enerqéticas en un campo eléctrico 4Bi

Esfera cargadaposi t ivámente _

Fuente de ionos. S

Colector.

Resistores para la distribucióndel vol ta je

Anillos aisladores

SuminisLro de carga Entrada de gas a alta presión

Tubo acelerador al vacfo e

Partículas aceJeradas+ I l lanco, ?.

Fig. 14-28. Sección transversal simpli f icada de un acelerador electrostát ico de-' 'an de Graaff. Un motor de alta velocidad transporta sobre dos poleas una conea:.echa de url material aislador. La correa toma en su extremo inferior la carga eléc-: ica proveniente de una fuente de voltaje y la transporta hacia arr iba. Un colector:t i ra la carga y la coloca en la esiera rnetál ica situada en la parte superior, la que

. ' . ' iquiere un alto potencial eléctr ico. En este extremo de alto loltaje se produccn

. 'nes posit ivos que son acelerados hacia abajo por la diferencia de potencial entre

. i esfera cargada y el potencial de t ierra al otro extremo.

Corrsiderando que las part iculas lundamentales y los núcleos t ienen una cargar' .re es igual a, o es un múit iplo de la carga fundamental e, la ec. (14.37) sugiere querefinamos una nueva unidad de ener$a, l lamada eleclronuolt, abreviado eV,lue se introdujo por primera vez e\ la sección 8.5. Un electronvolt es la energía,dquir ida por una partícula de carga e al moverse a través de una diferenciaie potencial de un volt . Así, usando el valor de e de la ec. (14.13), tenemos

eV : (1,6021 x 10-1e CX1 V) : 1,6021 x 10-10 J,

-Lle es ja equivalencia dada en la sección 8.5. Una partícula de carga ve movién-l,rse a través de una diferencia de potencial AV gana la energia vAV eV. Múl-

.L--_

486 Inleraccíón eléclríca (14.9

tiplos convenientes del electronvolt son el kíloelectronuoll (keV) y el megaelec-tronuolt O{*V).

Es muy rit i l expresar la masa en relioso de las partículas fundamentales ene.sta unidad. Los resultados son:

Ee : rrrecg : 8,1867 v. 10-1¿ .i :0,5110 IIeV,

Ep : mpcz : 1,5032 x 10-10 "I :938'26 N{eV,

En: nrncz : 1,5053 x 10-10 J :939,55 NfeV.

EJEiTIPL} 14.8. Suponiendo que el rnovimiento de un electrón en un átomo puedaser descri tó por las leyes de Ia mecánica nervtoniana, r l iscutir las órl¡ i tas posiblesde un electrón único alrededor de una carga nucleat Ze, El caso Z : 1 correspondeal átomo de hir irógeno, Z : 2 a un átomo de hel io ionizado He- (es t iecir, un áiomode lrel io qt:e ha perdido un electrón), Z : 3 a trn áton.io de l i t io doblemente ioni-¿ado Li '* {es decir, un átomo de l i t io que ha perdi<io dos electrones) y asl sucesi-.;a¡r:.ente.

Solucíón: La inleracción eléc'"r ica inversamente proporcional al cuadrado de lari istancia, involucrada en el nrovi¡tr icnto de un eiectrén alrededor dc un núcleo,es dinárnicarrrente idéntica a la interacciólr gravi lacional involucrada en el movi-mierrto de un pianeta alrededor del sol, y por 1o tanto los resultaclos obtenidos enel capitulo 13 son apl icables direclamente si, en las expresiones corespondientes,reenrplazamos'¡rnm'por Ze¿f4reo. Por ejemplo, las órbitas serán el ipses (o circun-folencias) con el núcleo en rrno dc ios focos. Sin embargo, para mayor claridad,repetirenios algunos de los pasos.

Consideren' ios dos cargas, gt y Qz, separadas a rtna t l istancia r y moviéndose convelociCa<les D¡ v r.)¡. La energia potencial eléctrica del sistema es En : Qfl2f4re¡,y ia energla totai es

g:\mrt l+1m,ut+] '32-.+fi€or

En el caso de varias partículas cargadas, como €n un átomo o en una molécula,la *rrergia t.olal es

Coír1ü sc expl icó en el ejet irplc 9.0, i . t ener¡1ía, ! 'n el caso de dos l)art iculas reieridas:t su centro de rnasa, puedr: esrr ibirse de la forma

- \ -n:Z tmro;-+todas lrspart fc ulas

H:Iguzr-H.

\- _4,q1__.#o" to. 4:ree,-¡¡p¿tres

(14.39)

doncle ¡e es la masa reducida del sisterna de dos part iculas Iec. (9.17)] y u su velo-cidad relal iva.

En el caso de un electrón moviéndose alrededor de un núcleo, Qt : - e ! Qz: Ze.Además, como ia masa del núcleo es mayor que la masa del electrón, podemosreemplazar la masa reducida clel sistema electrón-¡rúcleo por la masa del electrón me.Solamente en ios átomos muv l igeros tales corno Ios de hidrógeno y hel io, puedeconprobarse el efecto de la masa reducir la. i lon esta aproximación tenemos paraIa energla total del átomo,

g: lmeoz- -Ze24Í€or

i 1.9\ Relatíones energéticas en un campa eléctrico 487

Suponiendo que la órbita sea circular, la ecuacirln del movimiento del electrón es,:t.giin Ia ec. (7"28), meu2lr : Fx, ó

fflelJz Ze2: 4",€ol ' '

Ce donde, DleuL : Ze2f4reor, Substituyendo este valor en la expresión previa dela energla total, se obtiene

E:- Ze,4re o(2r)

(14.40)

.Lrnde la constante eléctrica está €xpresada en el sistema MKSC de unidades. Coni: i-e valor, -E se expresa en J cuando ¡ está en m y ¿ en C, Esta ecuación está dea-uerdo con la ec. (13.6) para el caso gravitacional si reemplazamos ymm'porZ=2t{ t t€t

La ':xpresiórt (14.40) para Ia energla del sistema electrón-núcleo, será revisada':ás adelante para tomar en consideración los efectos relativista y magnético (ejem--- l¡,s 14.10 y 1ir.15)" Para el átomo de hidrógeno {Z : l), -E representa la energia:'.¡uerida para separar el electrón del protón; o sea, la energfa de ionización delir;mo de hidrógeno. El valor experimental para esta energla de ionización es

-.: i7 y. 10-18 J ó 13,6 eV; con este valor encontramos qr¡e el radio de la érbita:¡l electrón es r:0,53 x 10-10 m. El hecho de que este radio sea del mismo orden:.. nragnitud que el estimado para las dimensiones atómicas, nos proporciona una::ena verif icación de nuestro modelo del átomo,

En la sección 14.7 indieamos que la energfa del movirniento electrónico en un.:lmo está cuantizada. En el caso de átomos con un solo electrón, las energlas

:,sibles de los estados estacionarios están dadas, según la mecánica cuántica, por.¿ expresión

En: -m&rzt8e!ñr¡r '

: -9 xntS,

: :nde n es un nr lmero entero que puede tomar los valores 1,2,3, . . , y t r :2t th ::.t1256 :10-3¿ J s es la constante de Planck, que se introdujo en el ejemplo ?.15.: relación con el momentum angular del electrón en el átomo de hidrógeno. Intro--:ciendo valores numéricos, tenemos que

E1 --

:i estado fundamental corresponde a n : 1, ya que ésta es la mlnima energfa:,:sible para el átomo. Comparando la expresión anterior de En con la ec. (14.40),::nemos una €stimación del tamaño de las correspondientes órbitas electrónicas:ermitidas, Este resultado es

r : - nshzeo

: Rtao

rZezm. Z

donde

ao : hrcolrce'me : 5,292 x 10-rr m

se llama radio de Boñ¡. Corresponde al radio del átomo de hidrógeno en su estadofundamental. Hemos indicado previamente que el movimiento electrónico no co-rresponde a órbitas electrónicas bien deflnidas, como en el caso de los planetas.Por consiguiente, el valor de r no debe tomarse al pie de la letra. Antes bien, sirvesólo para dar una idea del orden de magnitud de la región en la cual es muy pro-bable que se encuentre el electrón.

2.777 x 70-r8Z' - 73.5982.J - - - - f , i -ev.

n2

488 Inleracción eléctrica (14.e

EJSMPLO 74.9. Usando el principio de conservación de la energía, calcular ladistancia mínima de aproximación dc una partfcula cargana que choca de frentecontra un núcleo atónl ico.

Solución: Si la carga del núcleo es Ze y la del proyecti l es ve, que correspondena % y Qz de la ec. (14.39), la energia total del sistema t ici proyecti l más núcieo es

E:htu2*Ze2

4reot '

siendo ¡,r, la masa reducida del sistenra. Si la masa del. núcleo es mucho nlayor quela del proyecti l , o si el núcleo está aiojado en un cristal, podemos reemplazar ¡rpor la nrasa del proyectil m, resultando

6 : lmuz i \41- '4Íeor

Pero si, por ejemplo, dirigimos protones contra protones (v: Z: 1), debe¡nosusar la masa reducida, que es p =.. lmp (recordar el ejernplo 9.3). Cuando Ia partfculaestá muy distante, toda su enerSía es cinética e igual a \mvf,. Llamamos u e suvelocidad en el punto .4. de máximo acercarniento (flg. 14-24) cuando ¡ : ft. Laconservación de la energia requiere que

lmuz*#:Lmut.

En el punto A de máxim" "p.o*i.,l""ión,

la velocidad es totalmente transversal,y por lo tanto el momentum angular es .L : mRo. Como ,L es una constante delmovimiento, podemos usar esta relación para eliminar la velocidad a en el punto A,obteniendo

L2 ,¡Ze2

z^R't 4".rR : tn l ,ó '

Ecuación de segundo grado en 1/fi que permite obtener R en función de la energíay del momentum angular de Ia partÍcula. Para una colisión de frente, L : 0 y

R:vZe2

Ar<o(|mal) '

lo cual está de acuerdo eon el resultado previarnente obtenido en el ejemplo 14.5.Clbsérvese que para r¡na colisión de frente, D : C en el punto de máxima aproxi-mación y toda la energfa cinética se ha transformado en potencial.

EJEMPLO 14.70. Estimar el orden de masnitud de la corrección debida a losefectos reiat ivistas que ha.v qur: hacer a ia energia de un electrón en un átomo.

Solueióm: En el capitulo 13 y en esfc capíluio, siempre que hemos tratado el mo-virniento regido por ia ley de proporcional idad inversa del cuaci.rado de la distancia,como se hizo en el ejemplo 14.8, hemos usaCo la mecánica newtoniana despreciandoIos efectos reiat ivistas. El proceci imiento es correcto para el movimiento planetario,pero cuando se trata del movimiento de electrones en un átomo no siemprc se jus-t i f ica. En un átomo, ios electrones se nlueven con velocidades suficientementegrandes de modo que la corrección relat ivista puede medirse experimentalmente.Estimemos el orden de magnitud de este efeci.o.

Usando la cc. (11.18), encontramos que Ia energla total de un electrón que semueve con gran velocidad en un át,omo (restatrdo su energfa en r€poso) es

E - ' cl / nt!c" + f ' + (-eV) - ¡n"¿2.

I 1. iu¡ Corrienle eléclricq .l8g

Suponiendo que el momentum p es menor que ¡ne¿, podemos desarrollar el radicalhasta términos de segundo orden, con lo que se obtiene

E:-1 ^ 1z^.

p ' - gr ,É" p4 + . . . + (-ev) :

I r _I 1: | --:-- o2 -1 (---e Y) ' - ' nr -Ll2m"t

¡ \ - ' / ' 8mgc2t | " '

Los dos términos encerrados dentro del corchete dan la energfa sin tomar en cuentael efecto relativista, el cual, para órbitas circulares, está dado por la ec. (14.40).Por lo tanto, el último término eg la corrección relativista de la energfa total delelectrón, con aproximación hasta del primer orden, que designaremos por A.Ur. Luego

LEr:-#ro. : (ot)(,*)2m.cs

Los dos términos encerrados en el paréntesis-conesponden a la energla cinética¡to relativista del electrón. Entonces podemos escribir (con razonable aproximación)para el primero, usando el resultado del ejemplo 14.8,

P" : . F Zez , Z" - Zez2m,

E-bP: - 4"€r(2r) - 4"."r

: t "*(*)

: -E'

El segunclo puede escribirse pzl2me : lmeu8, Por consiguiente

A,E,: -=l . ( -E)( |meu¡):+ 4U.Zmcca ' 4 ¿r

Luego, la corrección relativista es del orden de (u/c)! veces la energla del electrón"En el átomo de hidrógeno, por ejemplo, (olc) es del orden de 10-t y por lo tantoAE, - 10-6 -8, o cerca de 0,001 o/o d,e E, una cantidad que puede ser lácilmentemedida en el laboratorio con técnicas experimentales abora en uso,

74.70 Comiente eléctrica

El ejemplo del acelerador electrostático con particulas cargadas aceleradas segúnIa dirección del eje del tubo, dado en la sección 14.9, sugiere que introduzcamosahora el concepto muy importante de corríente eléctríca. Una corriente eléctricaconsiste en un chorro de particulas cargadas o iones. Esta definición es aplicable alos iones en un aeelerador de cualquier clase, a los de una solución electrolitica,a los de un gas ionizado o plasma, o a los electrones en un conductor metáüco.A fin de que se produzca una corriente eléctrica, debe aplicarse un campo eléc-trico para mover las particulas cargadas en una dirección determinada.

La intensidad de una corriente eléctrica se deline como la carga eléctrica quepasa por unidad de tiempo a través de una sección de la región donde ésta fluye,como, por ejemplo, la sección del tubo de un acelerador o de un alambre metálico.En ccasecuencia, si en el tiempo l, pasan N particulas, cada una con carga q,a través de una sección del medio conductor, la carga total Q que ha pasadoes Q : Ng, y Ia intensidad de Ia corriente es

I :Nql t :Ql t . (14.41)

490 Interacción eléctrica

En realidad, Ia expresión anterior da la corriente rnedia en ei tiempo l; la corrienteinstantánea es

I : dQldt. (r4.42)

La corriente eléctrica se expresa en coulomb¡segund.o o s-r C, unidad llamada

ampere {abreviado A) en honor del fÍsicc¡ francds André M. Ampére (i775-1836).

Lin ampere es la intensidad de una corriente eléctrica que corresponde al pasode un coulomb a través de una secciÓn del nraterial en un segundo.

La dirección de una corriente eléctrica se supone que es la del movimientode las partÍculas cargadas positivamente. Es la misma dirección del campo eléc-trico aplicado o de la diferencia de potencial que produce el movimiento de lasparticulas cargadas (fig. 14-29a). De ahi que, si una corriente se debe al movi-

(14.10

I I

-\-LI

____q_

(a) Cargas positivas (b) Cargas negativas (c) Cargas positivasy negativas

Ftg. 14.29. Corriente eléctrica .I resultante del movimiento de iones positivos ynegativos producido por un campo eléctrico.

miento de partículas cargadas negativamente, tal como los electrones, el sentidode la corriente es opuesto al del movimiento real de los misrnos (fig. 1a-29b).

Mantener una corriente eléctrica requiere energia porque los iones son acele-rados por el campo eléctrico, Supongamos que en el t iempo I haya N iones, cadauno con carga q, moviéndose a través de una düerencia de potencial V. Cadaion adquiere la energía qV, y la energía total adt¡uirida es Ng V : QV. La ener$apor unidad de tiempo, o la potencia'requerida para mantener la corriente. esentonces

P:QVlt :VI . (14.43)

Esta expresión da, por ejemplo, la potencia requerida para hacer funcionar elacelerador estudiado en la sección antdior. También da Ia rapidez con que setransfiere energia al blanco del acelerador, y por lo tanto la rapidez con la cualel sistema de enfriamiento del blanco debe sacar energÍa. Vemos asi, que la ex-presión (1.1.43) tiene validez general y da la potencia necesaria para manteneruna corriente eléctrica f a través Ce una diferencia de potencial V aplicada ados puntos de cuaiquier medio conductor. Nótese que, según la ec. (14.43),

: ri. ,t i)

1'oll x á¡npere :- -j"llt - "' i otr lomb

:e mcdc que las unid.acles son compatiblcs.

0a cos 0V:- O

4re¡2

ltipolo e!éclríco il91

ioulesegundo

(14.45)

coulomL)-r"g-r,1"

Flgura 14-80

71.77 Di.gtolo eléctrico

. aa disposición interesante de cargas es el dipolo eléctrico. Este consiste en dos:irgas opuestas, { qy - g, separadas por una distancia muy pequeña (fig. 1a-30).

El momento dipolar eléctrico p* se define por

P :8ú' (r4.441

:--'nde o es el vector desplazamiento orientado de la carganegativa a a positiva.:i potencial eléctrico en el punto P debido al dipolo eléctrico es, usando la. : . (14.33),

v: 1 (q - { } : 1 q(rz-r) .

4neo \ r, rz I 4neo rtrz

:, la distancia c es muy pequeña comparada con r, podemos poner

lz- lr : l ! COS 0 y t lrr : ¡2,

::si ltando

rr pcos0Y:-- .

4tte¡2

' - : sérvese que el slmbolo convencional de momentum es el mismo gue el de momento dipolar

..L-.

,1

492 Inleraccíón eléctríca (14"11

Podemos explesar' la ec. (14.45) en coordenadas rcctanguiares y usar la ec. (14.29)para obtener la intensidad del campo eléctr.ico (recordar el ejemplo 13.7). De-jamos esto como ejercicio al estudiante. L,n su lugar determinaremos las compo-nentes de {' en coordenadas polare.s, usando la ec. (14.28), Para obtener la com-ponente radial C", observemos que ds : dr, entonces

^ AV 2pcoso^-:_ _:

0r 4".1

^ 1 AV psen0

r 00 Arerf

(14.46)

Para la componente transversal fe, usamos ds : r d0, con lo cual se obtiene

Ftgurr 14-81

(t4.47)

Estas dos componentes se i lustran en lafigura 14-31. Las lineas de fuerzas están in-dicadas en la fig. 1,1-32. Aunque en un di-polo eléctrico, por ser las dos cargas igualesy opuestas, la carga neta es cero, el ligerodesplazamiento que hay entre ellas es sufi-ciente para producir un campo eléctrico di-ferente de cero.

En general, si tenemos varias cargas q'

a 42, Qs, . , . en los puntos P¡, P2, Pa, . . . , e lmomento dipolar eléctrico de la distribu-

, ción de cargas es

p : Q{t * qzr, * qcra+ ... - ) ertt.

[Esta definición coincide con la ec. (74.44), porque, siendo dos cargas igualesy opuestas, el momento es l0 : Qrt- grz: Q(\- r) : ga.] Tomando el eje Zen la dirección de p, la expresión anterior para el momento dipolar eléctrico devarias cargas es, en módulo

(14.48)

siendo ¡ la distancia de cada carga al origen, 0¡ el ángulo que ri forma con eleje Z y 2¡ : ri cos 0i.

En los átomos, el centro de masa de los electrones coincide eon el núcleo, ypor consiguiente, el promedio del momento dipolar eléctrico del átomo es cero(fig. 1a-33a). Pero si se aplica un campo externo, el movimiento electrónico seperturba, lo que ocasiona que el centro de rnasa de los electrones se desplaceuna distancia r, con respecto al núcleo (fig. 1a-33b). Se dice que el átomo se hapolarizado convirtiéndose en un dipolo eléctrico de momentt¡ p. Este momentoes proporcionai al campo eléctrico externo f.

i4. t t , f-¡ípolo e.l.éctrirc 4!i3

Fig. 14-82. Llneas de fuerza del campo eléctrico de un dipolo eléctrico.

(lt) Campo externo nulo (b) Campo oxterno

Fig. l4-33. Polarización de un átomo bajo la acción de un campo eléctrico externo.

Por otra parte, algunas moléculas pueden tener un momento dipolar eléctricopermanente. Tales moléculas se l laman polares. Por ejemplo, .en la moléculade HCI lf ig. 14-34), el electrón del átomo de H tarda más tiempo en su movi-miento alrededor del átomo de CI, que alrededor del átomo de H. En conse-cuencia, el centro de las cargas negativas no coincide con el de las cargas positivas,

Electrones::';tllI r;iiii'li!,;i

494 Inleraccíén eléclríca (14.11

+

Fis. 14-84. Moléculas diatómicas polares.

y la molécula presenta un momento tlipolar dirigido del átomo de Cl al átomode ft. O sea que podemos escribir H"CI-. El momento dipolar eléctrico de lamolécula de HCi €s p :3.43 x 10-30 C m. En Ia moiécula de CO, la distribuciónde cargas es iigeramente asirnétrica y el momento dipolar eléctrico es relativa-mente pequeño, aproximadamente igual a 0.4 x 10-m C m, estando el átomo decarbono en el extrcmo positivo de la molécula y el de oúgeno en el negativo.

H*r

FlS. 14-Nó. Dipolo eléctrico de la mo-lécula H¿O.

-Prt- t ¿-P-0

FtS. 14-86. La molécula de COe notiene dipolo eléctrico.

En una molécula tal como HrO, donde los enlaces H-O forman un ánguloun poco mayor de 90o (fig. ltf-35), los electrones tratan de concentrarse alrededorclel átomo de oxigeno, por lo cual éste parece ligeramente negativo respecto alos átomos de H, Cada enlace H-O contribuye de este modo al momento dipolareléctrico resultante, el cual, debido a la simetría, yace según el eje de la moléculay tiene un valor igual a 6,2 x 10-s C m. Pero en ia molécula de CO' todos losátomos están en linea recta{fig. 14-36), y el momento dipolar eléctrico resultantees igual a cero por sirnetria. For lo tanto los momentos dipolares eléctricos sumi-nistran información útil acerca de ia estructura de las moléculas. En la tabla 14-1se dan valores de p para varias moléculas polares.

Cuando un dipolo eléctrico se coloca en un campo eléctrico, se produce unafuerza sobre cada carga del dipolo (fig. 14-37). La resultante de estas fuerzas es

F:g{ -q( ' ' :g(( ' - { ' ' ) .

Consideremos el caso especial en que el campo eléctrico está dirigido .según eleje X y ei dipolo está orientado paralelamente al campo. Entonces, considerandosólo los módulos, ( - ( ' : (d{ lCr)q" y por Io tanto F : p(d( ldr). Este resultadoprueba que un dipolo eléctrico paralelo al campl e.Iéclríco liende q rnoaerse en la

14.t lJ

! 'AIILA 14-1 Momentos dlpolare¡ elócir icosde nisun¿s moléeules Beieccion¡adBs*

Molécula

Dipolo eléctrícs 495

Ftg. l4-8?. Dipolo eléctrico en uncampo eléctrico externo.

HCIHBrHiCOHrOH,SSO,NHgc:H5oH

3,43 x 10-302,60 x 10-301,26 x 10-¡o0,40 x 10-ao6,2 x 10-305'3 x 10-305,3 x 10-305,0 x 10-303,66 x 10-so

II

- l I

Ii

* Entre las moléculas con momento dipolareléctr ico igual a cero están: COz, H2, CH4(metano), C,"H. (etano) y CCl. (tetraclorurode carbono).

direccíón en que eI campo cf¿ce. Se obtiene un resultado contrario si el dipolo seorienta antiparalelamente al campo. El estudiante observará que si el campoeléctrico es uniforme, la fuerza resultante sobre el dipolo eléctrico es cero.

La energía potencial del dipolo es

Ep: qV - qV' : q(V - V') : - qa(- =I) ,

y usando la ec. (14.31), encontramos que si 0 es el ángulo entre el dipolo y el campoeléctrico, el último factor es la componente Co : {'cos 0 del campo f paraleloa o. Por lo cual Ep : - qa(a ó

Ep : - pC cos 0 : -p.{ ' . (r4.4e)

La energia potencial tiene un valor mínimo cuando 0 : 0, lo que indica queel dipolo está en equilibrio cuando se orienta paralelamente aI campo. Si despre-r:iamos la pequeña diferencia entre f y f ' las fuerzas q('y - qC' sobre las cargasque componen el dipolo forman un par cuyo torque, de acuerdo con la ec. (4.13), es

t : e, * (Có) : (qtl) x (' : p x f. (14.50)

De la expresión anterior, así como de la fig. 14-37, deducimos que el lorque delcampo elécirico líende a alínear eI dípolo paralelamente aI campo. El módulo deltorque es r : pC sen 0 y su dirección están indicados en la fig. t437. Si usamosla ec (8.26), tz : - AEplA0, podemos usar la ec. (14.49) para obtener t, : - p(sen 0. La diferencia de signo para ? se debe al hecho que t da el módulo deltorque, mientras que rz da la componente del torque según la dirección Z, per-pertdicular al plano en el cual se mide el ángulo 0, y orientada en el sentido enque avanza un tornil lo de rosca derecha, que rota en el sentido en que 0 crece.

I t Í . i 1; Dipolo eléctricu 497

, : joh¡¿:¡ l1¡r: : En el ejernpin 14.11 ¡btuvirn¡;s ei carnpo eléctr ico prodrrcir lo por'ün dipoloa la dista¡rcia ¡. r , la;n: incio ¡r, su rnom€nto dipoiar elóctr ico, podemos escribir

, 3u,(ur. pr)-- pr( ' : - - - l ; t ' " - - '

Designando por ?¡ el momento del segurrdo dipoio, y usando la ec. (14.49) encon-trarhos que la energla de interacción entre los dos dipolos es

Ep,tz : - p". (1 - - 3(u" pt) (u¡' p') - pt'p"

4ne¿3(14.51)

\n,,,\

Ir2_]+

I

¡ lur l t ,

r lI

Pl

, P',

f ".1Pt I r2+---+

ur+-*r

(d)(rr) (lt (c)

, PtPz

- 4t€"t" '

Importantes conclusiones pueden derivarse de este resultado. Una de el las es quela energfa de interacción Ep,n es simétrica en los dos dipolos porque si intercam-biamos Ft ! pz todo permanece igual. Este resultado era de esperarse. Otra es quela interacción entre los dos dipolos no es ¿¿nfral porque depende de los ángulosque el vector de posición r o el versor u' forma con pr y Z¡. Como consecuencia, enel movimiento debido a la interacción dipolo-dipolo, el rnomentum angular orbitalde los dipolos no se conserva. Otra consecuencia es que la fuerza entre los dos dr-polos no yace según la l inea que los une (excepto para ciertas posiciones especf-f ieas). Una conclusión adicional es que, como la energfa potencial entre dos dipoloseléctricos varla con la distancia de acuerdo a ¡-3, Ia fuerza, que es el gradiente deia energla potencial, disminuye según r-{, y por lo tanto la interacción entre dosdipolos eléctr icos disminuye con la distancia más rápidamente que la interacciónentre las cargas.

tht

FtS, 14-89. Interacción entre dos dipolos eléctricos.

La geometrla correspondiente a la ec. (14.51) se i lustra en la f ig. 14-39, donde (a)corresponde al caso general. En (b) los dos dipolos están alineados según la rectaque los une. De este modo p¡.p2: ptpzru, .pt : pr y u¡.pz: pr , luego

Ep,tz : __ 2prp, -4ne¡t '

resultando una atracción entre los dipolos ya que el signo es negativo. En (c) tene-mOS pr ' l tz : PtPz, pero ür 'pr :0 y ur 'pz:0, de mOdO qUe

Ep,p:

Como este valor es positivo, indica una repulsión entre los dos dipolos. Finalrnente,en (d) tenemos pr.pz : - ptpz y entonces

L-.

(14.11

A i{)G-\:j V.'ov r:\ C-//--¡ \Ji l-...unñ-

Y \li

FlS. 14-88. Efectos de polarización de un ion en solución.

Ii l signo negativo de r, confirn)a c..ií. r i torque tientle a disminuir el ángulo 0.Eslas propiedades de urr cii¡: ir io eülo,.,ario cil un carnpo eléctrico tienen impor-

tanies nplicaciones, Por ejr:n.:i l lr), .-rr. i i l l , .¡ ::,tr;:c¡onrt¡nos e¡¡ la discusión de la i ig. 14.i9ru*rr{ú hablarros acerca r i¿ i¿ r ; , ' .1t¡r ; l i ,q i : . . n! c. l inpo eléc. tnco dr un io¡r en solu-ción, polar i :a las uro!éculas dei ' ¡ ¡ | r ' ¡ r ¡ : i ' ( lu i r r { id( ja al io l r" y entonces se c,r ientanr.l: la l,rrma rntl icaqla en la fig. i4-3i-]. i ,: ' iar nioleiculag orientadas se i igan más orrieno$ ¡l icn. aurtrenta.ndc sr¡ i l lasa ri i l1¡i j1'; i ;* t i ismirtuyr:ndo su carga efectiva,la cual queda parciaimente sin influeneia externa, por Ia pantaila que formaulrrs moléculas. F.l efecto netc es que ia movii idad del ion en el campo externodisminuye. ' lambién, cuando un gas o un l iquido cuyas rnoléculas forman dipolosprrmanentes, se coloca en un iugar donde exista un campo eléctrico, las molécu-las, colno resultado de los rnonrentos debidos al campo eléctrico, t ienden a ali-nearse con sus dipolos paralelos al campo. En este caso decimos que Ia sustanciaha sit lo polartzada (ver la sección 16,5).

EJEMPLO 74.77. Expresar el campo eléctrico de nn dipolo en forma vectorial.

Solueión: En la fig, 14-31 observamos que

(' : t+{, -y u6(o: -;l " (r,2p cos 0 | uop sen g).

4:i€or"

De la misma figura obtenemos

p : p(ur cos 0 - uo sen 0).

Usando esta relación para eliminar p sen 0 en la expresión de C obtenemos

f - --l - (3u,p cos {) -- rr).4neor3

Además, p cr,rs 0 : w.p. Por consiguiente

,' 3ur\u,'P) * P( : - 4lt€or3

-- t

que d:r el rampo del dipolo eléctr ico en fcrnr; i . , 'ectorial.

496 Inleracción eléclrica

Í : .JEl l IFL{t t / r -12, Obtener la energía dc ! : : , -l .sar t l iesir l tat lo obtenic lo para est i r la i ' la " ; , , :la: r ie ogui : . Discut i r adr:rnás los efectos de o '

, i r ' i , ! ' i1 ir i l t re r ios dip.olos elóct.r iccs.,, i : ' . r intrra.a¡5¡ gnt-re i lcs tnolécu-r', l i ;-arui ir rela iiva.

498 Inleracción eléctrica (1 4-12

que signi f lca que ha¡ 'atracción de los r l ipolos. Estos resi l l tados están evidenlernentede acuerdo con ia imagen f fs ica del problema.

. La interaccién entre d.rs dipoios eiéclr icos es de gran i rn¡rortancia porque lasfuerzas mt¡leculares se r leben, cu gran parte, a este t ipo i le interacció¡r. Considere-mos dos moléculas de agua en la ¡rosicit in rt : lat iva de la i ig. 14-39b a distancia normalen !a l¿rse l fquida de 3.1 x 10-10 nl . Su rr totnento di¡rolnr elóctr ico es 6.1 x l0-30 C m,Por lo tanto, la energía potencial de interacción es

Ep,tz: I x-J{ a-2-)- ( l i '1- ' 1{)-3oie

(3,1 r 10-ro)s- t - " 2 '22 x 10"20 J '

Este result-ado es diez veces nravor que la energfa de interacción mencio¡ada enla sección 13.9, que se estimó usando el valor del calor de vaporización. El estu-diante comprenderá, sin ernbargo, que el presente resultado corresponde a la energiade interaccióo instantánec entre dos moléculas de agua en la posición relat iva dela f ig. 14-39b. Pero conto las moléculas de agua están en continuo movimiento,su or ientación relat iva cambia cont inuamente. Por consiguiente, para obtener Iaenergia 8p,., debemos promediar los valores dados por la ec. (14.51) en tot las lasorientaciones relat ivas posibles. Asl obtenemos resultados más concordantes.

Sugerimos que el estudiante compare el resultado anterÍor para la energla deinteracción elóctr ica E¡,12, entre dos moléculas de agua, con la correspondienteinteracción gravitacional para la misma posición relat iva.

74.72 Multipolos eléctrieos de orden super¿or

Es posible definir momentos multipolares eléctricos de orden superior al segundo.Por ejemplo, una distribuiión de cargas como la indicada en la fig. 14-40 cons-tituye vn cuadrupolo eléctríco. Obsérvese que su carga total es cero y que sumomento dipolar eléctrico es también cero, en virtud de la ec. (14.48). No esfácil dar aquí una de{inición general del momenlo cuodrupolar eléctrico, de unmodo elementai. Sin embargo, podemos decir, que el momento cuadrupolareléctrico de una distribución de cargas respecto a un eje de simetría, tal comoel eje Z, se define por

Q:tZq,r?(3cos2o¡-1), (14.52)

Fig. 14-.10. Cuadrupolo eléctrico. Ficurs 14--11

' ,1, i2\ ,

II

(u)

t i9.74-42. Cuadrupolo

It i ulti pob:; *ri..'.,' l::í"..: 4: o rtl en sup¿rior 499

I

(b) (c)

eléctr ico de distr ibuciones el ipsoidales de carga.

donde ri es la distancia desde la carga i al centro, y 0¡ es el ángulo Que ?¡ fcrmacon el eje (fig. 14-41), Observamos Qü€ z¡ : r¡ cos 0¡. Entonces podemos €scribiria ec. (14.52) como

a:tZq,Q'?-r f ) . (14.53)

El ¡nomento cuadrqpolar eléctrico es cero para una distribución esférica de car-gas, positivo para una distribución de cargas alargada, y negativb para una dis-tribución de cargas achatada (ttg. 1+44. Por consiguiente el momento cuadru-poiar eléctrico da el grado en que una distribución de cargas se aparta de la formaesférica. Por ejemplc, en la sección 14.7 sugerimos que los núcleos atómicos erancsféricos. Sin embargo, nrediciones cuidadosas indican que ciertos núcleos tienenmomentos cuadrupolares relativamentc grandes, lo que se ha interpretado comoindicación de que tales ¡rúcleos están muy deformados y en consecuencia el campoelcctrico que ellos producen difiere del de una carga puntual. Esto a su vez afectaa la energía del movimiento electrónico.

I)ebemos observar que el potencial de una carga puntual disminuye como ¡-1

-v el campo como r-2. Análogamente hemos visto (sección 14.11) que para un

ciiprolo eidctrico el potencial disminuyc como r-2 y el campo como ¡-3. De uninodo similar puede probarse que el potencial de un cuadrupolo eléctrico varÍact)rno r-3 y el campo como r-4. Resultados similares se obtienen para multipoloscie orden superior. Concluimos entonces que cuanto más alto sea el orden demultipolo, menor es el alcance dentro clel cual el campo eléctrico tiene efectosobservables.

i:,II)MPLO 71.73. Calcuiar el potencial eléctrico para la distribución de cargas deia f ig. (14.13), l lamada cuadrupolo eléctr ico l ineal .

Solución: La carga total del sistema es cero. También el momento dipolar eléctrico€s cero porque, usando la ec. (14.48), tenemos p : + A(+ a¡ - 2q(0) * q(-c) : 0.-Sin ernbargo. el campo eléctrico no es idénticarncnte nulo. El potencial eléctrico' : j r e i pU,r t tO 1) , jS

v- 1 ( ! -4neo \ r,

- l ; )

(14 54)-+ ' ; i ) - i ;É- i

500 Interacción e!éclrica Q4.12

De Ia figura deducimos que

r. : (rr -Zar cos 0 1 ar¡rr.

Suponiendo que d es muy pequeño comparado con r, podemos escribir

/ . 2acos0 , d2\r /2r , : r l - - - !' \ r rz l

{14.55)

Usandc el clesarrol lo del binomio dado por la ":c. (rI . 22i irasta el tercer térrnino{.:on n : - } , cbtenen-ros (1 - l x)*r¡t : | -- }r - i 8¡t * , . . En el presente caso,tene¡¡los r : -* 2o cos 6ir .,* a2l¡e. Lr:ego

-1- : r ir - | (- ?s:-c + +\ + _3- l- ?lsolo *r t r i 2 \ r rz l 8 \ r

Tt ¿'

Desanollando el corchete y dejando sólo los tér-minos hasta el orden ¡3 en €l denominador, ob-tenem0s

1 : 1 * acqso +-gt (3cos¡o_- l )+. . .

tr I tz 2rt(14.56)

X Análogamente, r": (r, + zar cos 0 + a¡)r/2; porconsiguiente

-1 : 1 - ocoso ++:(3cosro-r) + . . .

rz r lz 2r3(14.57)

(14.58)

+g

e

a

+q

rz l

Flgure i4-48

Sustituyendo los resultados (1a.56) ¡ '(14.57) en la ec. (14.s4) y slmplif icanclo, obte-n€rnos para el potencial

v : ls-1Q_coso 9_ !)_4re.r3

Aplicando la ec. (14.52), cncolitrarnos quc el momento cuadrupolar eléctrlco dela distribución de carga es

q : !{q(3a'z - a2\ - 2q(0) + St3(- a)á - ael} : 2qa2.

Por to tanto

r r Q(3 cos'10 - 1)

2(4xeo)r3

que da erl potencial eléetr ico de un cuadruplo r léctr ico l inea]. Podemos ubtener elcarnpo elóctr ico apl icando la ec. (14.28), como lr icimos para el dipolo eléctr ico.

, 4 ' \ ' l-F/

- i " . i ,

P

--'./

Bíblíografta a01

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502 Interaccíón eléctrica

Problemos

14.1 Encontrar la fuerza eléct¡ ' i<' .a ¡, lerepulsión entre r los protones pI1 r in¿1" i t lo-lécula de hidrógeno, siehdo la sepat'acl i inentre el los de 0,74 x 10-10 Rt. Compa-raria con la fuerza de atracción gravi-tacional correspondietr te.

14.2 E¡lcontrar la fuerza de atraccióneléctr ica entre el protón y el electrónde un átomo de hidrógeno, suponiendoque el clectrón describa úna órbita circu-lar de 0,53 x 10-10 m de radio. Compa-rarla con su atracción gravitacional.

14.3 Comparar la repuls ión electrostá-t ica cntre t los eler:troncs, con ::u atrac-ci/rn gravitacional a la misnra distancia.l lepet i r para dos Drotones.

14"1 Dos esfr.ras idéuticas de ccrchri rJernasa m v carga q (f i9. M.aa), están sus-pendiclas del rnismo punto por n¡edio t le¡ los cuerdas de longitud l . Encontrar eIángulo 0 que las cuerdas forman con lavert ical, una vez iogrado eI equi i ibr io.

Figura 14-il4 u !

14,5 Repetir el problema 14.4, supo-niendo que las cuerdas están unidas apuntos situados a la distancia d (ng.14-45). ¿Cómo se podrfa usar esta dispo-sición para verificar expcrimentailnentela ley de la proporcionalidad inversa delcuadrado de la distancia, variando la rl is-tancia d y observando el ángulo 0?

74.i Ettrei i ¡ ,s piacas de deflección cleun csci iostapio dc ravos catódicos, exist-eun car::¡po eléctr ico de 30.000 N C-l,¿Qué fuerzu se ejerce sobre un electróncolocado en esta región? (b) ¿Qué ace-lersció¡r adquiere el electrón debido aesta fuerza? Compararla con la acelera-ción de la gravedad.

14.8 Una carga de 2,5 x 10{ C se co-loca en un campo eléctr ico uniformc deintensidad 5,0 x 10{ N C-r di¡ igido ha-cia arr iba. ¿Cuál es el trabajo que lafuerza eléctr ica eiectúa. sobre la cargacuando ésta se mueve (a) 45 cm haciala t i ' : recha ? (b) 80 c¡n hacia abajo ?(c) 260 cm a un ángulo de 45' por en-cima de la hor izontal?

14.{ i Entre dos placas planas y para-lelas cargadas con cargas iguales y designos opuestos existe un campo eléc-tr ico uniforme. Se l ibera un electrón dela superficie de la placa nega¿iva ychoca en la superf lcie de )a placa opuesta,distante 2,0 cnr de la primera, en unintervalo de 1,5 x 10-€ segundos. (a)Calcular el campo eléctrico; (b) calcularla velocidad del electrón al chocar conla placa.

2 crn. .

- l a+ 9---- . i -- t-¿F- * l - - - l2cm-'+cn] '

Figura 14-46

sN---NN\

.-_N\

Flgure 14-4ó

74.6 ¿Cuál debe ser la carga dc unapartÍcula de masa 2 g para que perma-nezca er l reposo en el la l ¡orator io alcolocarse donde el campo cléctr ico estádir ig ido hrcia abajo y cs de intensidaoigual a 500NC-r?

14.10 En la f igura 14-46 Se lanza unelectrón con una velocidad inicial de2 x 107 m s-r en la dirección de un ejeequidistante de las placas de un tubo derayos catódicos. El campo eléctr ico uni-forme entre las placas, t iene una inten-sidad de 20.000 N C-r y está dir igidohacia arr iba. (a) ¿Qué distancia perpen-dicuiar al cje ha recorrido el electréncuando pasa por el extremo de las pla-cas? (b) ¿.Qué ángulo con el e je formasu velt¡cidad cuando abandona las placas ?(O ¿A qué distancia por debajo del e jechoca con la r¡antal la f luo¡escente S?

11.11 Se lanza un elcctrón en un campoeléctr ico uniforme de intensidad 5000 NC-r dir igido vert icalmente hacia abajo'La velocidad inicial del electrón es de107 m s-l y forma un ángulo de 30" porencima de la horizontal. (a) Calcular elt iernpo requerido para que el electfónalcance su altura máxima' (b) Calcuiarla elevación máxima que alcanza a par-t ir de su posición inicial. (c) ¿Qué dis-tancia horizontal recorre el electrón paraalcanzar su nivel inicia)? (d) Dibujar latrayectoria del electrón'

14.12 Una gota de aceite de masa3,0 x 10-r¿ kg y de radio 2,0 x 10-e mtransporta 10 electrones en exceso.

¿Cuál es su velocidad f inal (a) cuandocae en una región donde no hay campoeléctr ico? (b) cuando cae en un campoeléctr ico de intensidad 3,0 x 105 N C-rdir igido hacia abajo? La viscosidad delaire es 1,8 x 10-6 N s m-2. DesPreciarel empuje del aire.

74.13 En un aParato de Millikan seobserva que una gota de aceite cargadacae a través de una distancia de 1 mmen 27,4 seg, en ausencia de un camPoeléctrico externo. La misma gota per-manece estacionaria en un camPo de2,37 x 104 N C-r. ¿Cuántos electrones enexceso ha adquir ido la gota? La viscosi-dad del aire es de 1,80 x 10-5 N s m-'.La densidad del aceite es 800 kg m-a tIa densidad del aire es 1,30 kg m-r '

14.14 Una gota de aceite cargada caeen el aire 4,00 mm en 16,0 seg a velocidadconstante, en ausencia de un campo eléc-tr ico. La densidad del aceite es 800 kg

--a, la del aire es 1,30 kg r¡-a y el coe-

f iciente de viscosidad del aire 1,80 x 10-5N s m-3. (a) Calcular el radio y la masade la gota. (b) Si la gota l leva una unidadfundamental de carga y está en un campoeiéctr ico de 2,00 x 105 N C-r, ¿cuál es elcociente entre la fuerza eléctrica sobre lagota y su peso?

14.15 Cuando la gota de aceite del pro-blema 14.14 se encuentra en un campoeléctr ico constante de 2,00 x 105 N C-1,se observaron varios t iempos diferentesen que la gota asciende la distancia de4.00 ntm. Los t icmpos medidos fueronl0, t i5 ; 25,46; 18,53 ; 12'00 Y 7,85 seg'Calcular (a) la velocidad de caída l ibre,

1tr) la velocidarl de ascensión en cada

L-

Problemas 503

caso, y (c) la surna de la velocidad en laparte (a) y cada una de las velocidadesen la parte (b). (d) Verif icar que Ias su-mas en la parte (c) son múlt iplos enterosde algún número, e interpretar este re-sultadc. (e) Calcular el valor de la cargafundamental a partir de estos datos.14.16 Se t ienen dos cargas puntuales,5t"C y - 10¡¡C, distantes 1 m. (a) En-contrar el módulo y la dirección delcampo eléctr ico en un punto situado a0,6 m de la primera carga y a 0,8 m dela segunda. (b) Hallar el punto dondeel campo eléctr ico de estas dos cargases cero.

74.17 En un aparato para medir lacarga eléctr ica e por el método deMil l ikan se requiere un campo eléctr icode intensidad 6,34 x 10a V m-r paramantener en reposo una gota de aceitecargada. Si la distancia entre placas es1,50 cm, ¿cuál es la diferencia de po-tencial entre el las?14.18 Tres cargas posit ivas de 2 x 10-?C, 1 x 10-7 C y 3 x 10-? C están en l i -nea recta, con la segunda carga en elcentro, de modo que la separación entredos cargas adyacentes es 0,1 m. Calcu-lar (a) la fuerza resultante sobre cadacarga debida a ¡as otras, (b) la energfapotencial de cada carga debida a lasotras, (c) la energía potencial internadel sistema. Comparar (c) con la sumade los resultados obtenidos en (b) yexplicar,14.19 Resolver el problema precedenteen el caso de que la segunda carga seanegativa.74.20 En una f isión de un núcleo deuranio, los dos fragmentos son eóY y141I, con masas prácticamente iguales a95 uma y 141 uma, respectivamente.Sus radios pueden calcularse por mediode la expresión R : 1,2 x 10-rs Ar/3 m,donde A es el número másico. Supo-niendo que los fragmentos están inicial-mente en reposo y tangentes uno al otro,encontrar (a) la fuerza y la energfa po-tencial iniciales, (b) su velocidad rela-t iva f inal, (c) la velocidad f inal de cadafragmento con 'respecto al centro denlasa.t4.2t Cuando un núcleo de uranio sedesintegra enrit iendo una partícula alfa(o sea un núcleo de hel io, Z :2) , e\

504 Interacción eléclrica

núcleo resultante es el tario i f f ;0).Suponiendo qrre la part !cula a¡f a cst áinicialntente en reposo, a un:i r ' i is lr i l ¡ciade 8.5 .y 10-i5 l¡ ' r del centr¡¡ dr: i ¡ luclct;r le uranio, calcular (a) ia aceleraci, lrrinicial y la energía de la ¡rart lcuir i ,( i ]) la i lnergla y ia velocidad de ia ¡rar 't icuia cnando se encuenlra a gran dir 'tancia del núcleo.

11.22 En los vért ices de un cuadradcde Iedo 2 x 104 m se colocan cuatroprotones. Otro protón está inicialmentesobre la perpendicular al cuadrado porsu centro. a una i l istancia de 2 x 10{ mdel mismo, Ca.lcular (a) la velocidad ini-cial mfnima que este últ imo protÓn ne-cesita para l legar al centro del cuadrado.(b) sr¡s aceleraciones inicial y final.(c) I lacer un gráf ico t le la energla po-tencial del protón en función de sutl istancia al centro del cuadradc. I)es-cribir su movimiento en el caso de quela energla inicial sea menor o mayor quela encontrada en (a).

14.23 El potencial a una cierta distan-cia de una carga puntual es 600 V Y elcampo eléctrico es 200 N C-1. ¿Cuál esta distancia a la carga puntual? (b) ¿Cuáles la magnilud de la carga?

14.24 La máxima carga que puede re-tener uno de los terminales esféricos deun generador de Van de Graaff es cercade 10-3 C. Supóngase una carga posit ivade esta magnir.ud, distr ibuida uniforme-rnente sobre la superf lcie de una esferasituada en el vacfo. (a) Calcular el mó-dulb de la intensidad del campo eléctr icoen un punto fuera de la esfera, a 5 m desu centro. (b) Si se l iberara un electrónen este punto, ¿cuál seria el módulo 1' Iadirección de su aceleración inicial? ¿cuálserfa su velocidad aI l legar a la esfera?

14.25 Una pequeña esfera de 0,2 gcuelga por medio de una cuerda entre dosplacas paralelas separadas 5 cm. La cargasobre la esfera es de 6 x 10{ C. ¿Cuáles la diferencia de potencial entre lasplacas si el hilo lorma un ángulo de 10"con la vertical?74.26 Dos cargas puntuales de 2 x 10-?C y 3 x 10-? O están separadas por unadistancia de 0,1 m. Calcular el campo yel potencial eléctrico resultantes (a) enel punto medio de la distancia entreel las, (b) en un punto situado a 0,04 m

de l: i ¡ ;r ' i i : t |ut, si- ,bre la recta que pasapor el iat: . I-¡{ lrú f t lela del segmento queias unc, í- :1) elr rrn purrto sit t¡adtr a{i ,1 m de cada carga. (e) ¿En gué puntoel campo eiectr ic:o es cero?

1,1.2i Resr¡ir , 'er ei Droblema anterior¡rara el caso en que Ia segunda carga seanegativa.1i4.28 P.etir iéndonos de nuevo al pro-blema 14.26, calcular el l rabajo regue-rido para mover una carga de 4 x 10--? Cdesrle el punto indicado en (c) al puntoindicado en (d). ¿Es necesar io especi-f icar la trayectoria?

71.29 Dos cargas positivas puntuales,,rada una de magnitud q, están fljas sobreel eje I ' en Ios puntos g : * a, U:-a.(a) 1'razar un diagrama mostrando laspcsiciones de las cargas. (b) ¿Cuál es elpotencia! en el origen? (c) Probar queel potencial en cualquier punto sobre eleje X es

V : 2qlL¡ceolf "'

+ ,\

(d) Hacer un gráflco del potencial sobreel eje X en función de r en el intervalo- 5a, + 5a. (e) ¿Para qué valor de ¡el potencial t iene la mitad de su valoren eI origen? A partir de (c) obtener elcampo eléctr ico sobre el eje X.

14.30 Con referencia al problema ante-r ior, supongamos que una partfcula decarga + g y masa ¡n se separa ligera-mente del origen en la dir€cción del ejeX, y entonces se suelta. (a) ¿Cuál es suvelocidad a distancia inffnita? (b) Hacerun gráfico de la velocidad de la partfculaen función de r. (c) Si la partlcula selanza hacia la izquierda según el eje Xdesde un punto situado a gran distanciaa la derecha del origen con la mitad dela velocidad adquir ida en la parte (a),

¿a qué distancia del origen queda enreposo? (d) Si una part lcula cargada ne-gativamente fuera liberada a partir delreposo sobre el eje X, a gran distanciaa Ia izquierda del origen, ¿cuál serfa suvelocidad al pasar por el origen?

14.31 Rellriéndose de nuevo a las car-gas descritas en el problema 14.29, hacerun gráflco de la variación dei potencialsegún el eje Y. Comparar con el gráflcode la parte (d) del problema 14.29. ¿Esel potencial mfnimo en el origen?

1,1.32 Lfna vez más considerar ias car-gas r lel i ixrLrlema 14.29. ia) Supongamosque se coloca una part. ici l la de carp:: nq'en el origen, v se la t icja i ibre. ¿iJué su-cede? (b) ¿,Qué suceder ia s i ia c:aiga aque nos ¡ 'cferircos en la parte (a) se se-parara del origen l igeramente en la di-recciún d.el eje Y ? (c) ¿,Qué sucr:deríasi se separara dci origen en la direcciór¡del e je X?

14.3:l En un sistema de caordenadasrectangulares urra carga de 25 x 10-{ Cse coloca en eI origen y otra carga de- 25 x 10a C se coloca en el punto3 : 6 m, i/ : 0. ¿.Cuál es el campcreléctr ico (a) en c:3 m, Y:0?, (b) et t¡ :3rn,g:4m7

14.34 Cargas eléctr icas iguales a 1 Ccada una se coloca¡r en ios vért ices deun tr iángulo equi látero de 10 cm de lado.Calcular (a) la fuerza sobre cada cargay Ia encrgfa potencial de cada una deellas co¡no resultado de las interacciones

. con las ctras, (b) el cantpo y el potencialeléctr ico resultantes en el centro dcltr iángulo, (c) la energla potencial in-terna del sistema.

14.35 Refir iéndose al problema ante-r ior, dibujar las l íneas de fuerza delcampo eléctr ico producido por las trescargas. Dibujar también las superf iciesequipotenciales.14.36 Demostrar que las componentescartesianas del campo eléctr ico produ-cido por una carga g a la distancia r son

6, : qrl4ne¡x,etc.

1,4.37 Ifn un átomo de hidrógeno ensu estado de menor energia (tambiénl lamado estado fundamental) el electrónse mueve alrededor del protón en lo quese puede considerar una órbita circularde radio 0,53 x 10-to m. Calcular (a)la energta potencial, (b) la energía ciné-t ica, (c) la energfa total, (d) la trecuenciadel movimientc. (A modo de compara-ción, Ia frecuencia de radiación emit idapor el átomo de hidrógeno es del ordende 1015 Hz).

14.38 Usando el teorema vir ial parauna partfcula, determinar la energfa deun electrón (carga - e) que gira alre-dedor de un núcleo de carga I Ze a wadistancia r. Aplicarlos al átomo de hi-

L

Problemqs 505

drógeno (r - 0,53 x 10-10 m) y contpa-rar el resultado con el obtenid¡¡ en (c)dei problema 14.37.

1.-1.39 Escribir la expresión que da lacne:"gia potencial eléctr ica interna totalla) r ir un átomo de hel io, (b) de unan'.olécula de hidrLigeno.

L4.44 ¿Qué energía cinética, en joules,y qué velocidad, en m s-r, t ienc un nú-cleo de carbono (carga *6e) después dehaber sido acelerado por una diferenciade potenciai de 10? V?

14.41 Estableber una relación numé-rica que dé la velocidad (en m s-1) deun electrón y un protón en función de ladiferencia de potencial (en volts) a tra-vés de la cual se mueven, suponiendoque estaban inicialmente en reposo,

14.42 (a) ¿Cuál es la diferencia de po-tencial máxima a través de la cual unelectrón puede ser acelerado si su masano debe exceder en más del 1 l , i a sumasa en reposo? (b) ¿Cuál es la veloci-dad de tal electrón, expresada como frac-ción de la velocidad de la luz c? (c) Hacerlos rnismos cálculos para un protón.

14.43 Calcular, usando la relat ividad,la diterencia de potencial requerida (a)para que un electrón alcance Ia velocidadde 0,4c a part ir del reposo (b) paraaumentar su velocidad de 0,4c hasta0,8c y (c) para aumentar su velocidaddesde 0,8c hasta 0,95c. Repetir loscálculos para un protón.

74.44 Una eierta máquina de alta ener=gia acelera electrones a través de unadiferencia de potencial de 6,5 x 100 V.(a) ¿Cuál es la relación entre la masa mdel electrón y su masa mo en reposo,cuando sale del acelerador? (b) ¿Cuál esel cociente entre su velocidad y la de Ialuz? (c) ¿Cuál serfa la velocidad calcu-lada con los principios de la mecánicaclásica ?

74.45 ¿Cuál es la velocidad f inal de unelectrón acelerado a través de una dife-rencia de potencial de 12.000 volts sit iene una velocidad inicial de 107 m s-l?

14.46 En un cierto tubo de rayos X seacelera un electrón inicialmente en re-poso al pasar desde el cátodo al ánodo através de una diferencia de potencialde 180.000 V. Al l legar al ánodo, ¿cuál

506 Inleracci.ón eléclríca.

I:-u enl cde iont .s. . \

Osci lat lorR/r

Figuro 14-47

es {a. t su {rnergia c inét ica en e\ ' . (b) sr trnasa, (c) su vclocidad.

14"47 F-n rr:r ¿¿gl5'¡¡r ior l ineal, colnc eli !ustrat lo en ln t ig. 1-1-47, las seccic, , t r r rsal t r . rnas del tubo se cot icctan enlre s!

" ,sr^api ica r , rna di lerencia r te pol .etrc ia l os-r : i lanle entr i : lcs c ics conjuuios. (a, t I ) t -lnr.r:r t¡"í Ir aiur, a i in Ce r¡t i t : ul l i r l l esl¡ ' r : t li : . lse cr-¡ l t e l ¡ rctenciai osr: i lante tua¡rr lc:¡, , iza i lesde l¡n tul ' ; t .¡ al ¡ tr i-¡ i .si t : t tr{rt { : t :t ' rrerqías lrr¡ ¡r- ' lat ivistas), Ias lolr ' . j i t rr t l r- .qt lc lrs t ubos sucesivcls dei ie ser L, \ n.,r irni ie 1-, cs la longitud t lel i rr interf ubo.(hi l - fal lar I , si el voltaje aceíeraricr esl 'o y su frecuencia es v. (c) Caicular laerrergia del ion que emerge del enésimr.rtubo. (d) ¿Cuáies deben ser las longi tudcsde los tubos sucesi\.os después que e1 ionalcanza energfas relat ivistas ?

1.1.-18 Supongamos que la diferencia depotencial entre el terminal esférico de ungenerarlor de \¡an de Graaff y el puntoen el cual l i is cargas son esparcidas sobrela ct¡,r¡ea e¡r su movimiento iracia arr ibasea de 2 v: 104 \¡. Si Ia correa cntregacarga negativa a la esfera a razón de2 x 10-s C s-r y toma carga posit ir-acon la nl isma rapidez, ¿qué potencia senecesita pera mor, 'er la cor¡e¡t contralas f i rerzas elóctr icas?

14.49 La se¡raración ¡nedia entre losprotones en un i rúcleo atónt ico es c le lorden de 1{ l -15 m. Est inrar en . l } cnMeV el orden de rnagni tud de la energÍapotencial e léctr ica entre dos protonesdel núcleo.

14.50 Suponiendo que los protones enun núcleo atórnico de rat l io R estén uni-formemente distr ibuidos, la energía po-tencial eléctr ica interna puede calcularsecon la expresión :,Z(Z*l)e¿l4nenR (verel problema 14.f i0 y el e jernplo 10.13).El radio nuclear se puede a su vcz calcu-lar por R : 7,2 x 10-15 ¡11,3 m. l , lsct i -bir las expresiones que dan la encrgia

Ll lanco

poterrcrial elér:tr ica nuciear en J y enl. leY en fulciótr <1t Z y ,4.

f i .¡ j t t ' ,arrdo los resrr l tar los r lel r :rr¡-i , lerna 1J . i r r , c l r l t r r l t r l ¡ o l tergía p, , i . r , -r ial ¡ :1i:ctr ica tot al ¡ ; la .rr-rergia prrr

I , ¡ r , tó:r l )¿i ' i l ios s igrr ier tes núcleos:l i í) (Z =_. \) , roca tZ -. 20),r\Zr (.2 =. 4t)\ .1{r i \d {z . t jü), ) t , ' í .1.¿ (.2 : g0) }. 2r8i_I(Z =..9?,). r ,( lur i lc dici ' t sus resr¡ i t¿lr irrsr l( ' l i { : : : l dei elecio r lc 1a interacción t léc-tr i ra i - : l t . ¡e prot l t ted sobre la est¿.hi l idaclrt ,r i ¡rucicc¡ ? Lísal ldo sus datos, haga elgráf ico cie la cnprgfa potcncial en fr¡ncióndel núrnero rnásicü.. l

4.52 Un protón producido en un ace-It¡ 'adt¡r de Van de Graaff de 1 l \{eV sehace incidir sobre una lámina de oro.Calcular la r l is lancia de máxima apro-ximación (a) para un choque de frente,(b) para choques con parámetros de im-pacto de 10-15 rn y 10-t¿ m. ¿Cuál es ladeflección del ¡rrotón cn cada caso?

14.53 t. lna part lcula alfa con una ener-gia cinética dc '1 l feV se lanza en l íneaiecta hacia el núcleo de un áto¡no delr iercurio. Él l nirmero ¿i lómico del mer-cur"ic-, es 80, _v por lo tanto el núcleotierre una. carga ¡, .osit iva igi lal a 80 cargast: leciré¡r icas. (a) Flal lar la distancia denl¡ ixirna aproxinración t le la partÍculaaifa al núrcleo. (b) ( iom¡>arar cl resultadocrrn el ¡ 'a¡1io nuclt :ar, - 10-14 r l .

14.i ,1 Prcto¡res acelera'1os por un vol-taje t le 8 ;< 105 \ ' inciden sobre una lá-nrin¿r de oro (Z =- 79). Calcula¡ la seccióneficaz diferencial para dispersión coulom-biana en intervalos de 20' para é com-preudido entre 20o y 180". Hacer ungráfico, ut i l izando coordenadas polares,de o({). [Obseruación: la ec. (14.25) sehace inf inita para { : 0. Esto se debea que hemos supuesto que el núcleo dis-pr lsof es una carga puntual . Cuando setoma er) consideración el tamaño f ini todel núcleo esta anornal ia desaparece. I

( l0n( 'x i0n

t l óct r i caIilef t rir{i0stubuiares

rte aceleracidn

Tanqucal vacio

.L--- j j - +l - - -J - i l -¿=-" l- - : - - - - - ' - - - - -1.

r -T-- ._|_--_r- . .

- _

14.55 La diferencia de potencial entrelas cl ls yr lacas paralelas r ie la f iq. ' i4.48

es r lc: 10(- l V, la separación entr¡ cl las esde 1 cm, _v su longitud cs 2 t: !r i . Se ianzaun electr()n con una vciocidarl r ie 10? rrrs-r en dirección per¡rcntl icular al campc.(a) Ilallar sir rlesviación i.ransversal -y suvelocida{i transversal ' :r¡a¡,¡Co en:erge delas placas. (b) Si ,se coloca una pantal laa ( i ,50 rt a la t lcreci ia dcl t 'xtretno de lasplacas, ¿a qué pc¡iciór: sobre la pantal lal lega el elt :clrón?

14.56 Sc establere una di ferencia depotencial de 1600 V ent;:e dos placasparalelas separi idas 4 cm. Un cleclrónse l ibera <ie la placa negat. ir 'á en elrnísmo instante c¡r que un prolón sel ibera de !a placa posi l i .ra. {a) ¿A quéti istancÍa de la placa posit iva se cruzan?(b) Comparar sus veloc¡dades cuando in-cideri sob¡e las placas opuestas. (c) Com-fiarar sus energias al incidi¡ sobre Iasplacas.

Flgura 14-48

14.57 Un tr iodo consiste fundamental-nente en los siguientes elementos: unasuperf lcie plana (el cátodo) que emiteeiectrones con velocidades iniciales des-preciables; paraiela al cátodo y a 3 mmde di: iancia está Ia rej i l la de alambrel ino y a una difcrencie de potencial de18 V cc¡i t respecto al cátorio. La estruc-tr. i ra de la rej i l la es tal qtre permitc queics elecirones p¿sen I ibremenle. Una:egunda superf icie plana (el ánodo) cstá12 nim más ai lá de la gri l la y a un p0-iencial de 15 V con respecto al cátodo.Su¡rongamos que el campo eléctr ico entreel cátodo y la rej i l la, y entre la rej i l lar ei ánodo, sea uniforme. (a) Trazar un'i iagrama del potencial en función de lal istancia, a lo largo de Ia l lnea entre el¡álodo y el ánodo. (b) ¿Con qué veloci-:...d cruzrrn la rejilla los electrones ?- ' ' ¿. i- ,an r lr¡é velocidad l legan al ánodo?

, Determinar el módr¡lo y la dirección-1 carnpc eléctr ico entre el cátodo -v la

: : i1 la, y entre la rej i l la y ei ánodo.

_:_=-

Problemcs 507

(e) Calcular el módulo v la direccióndc la aceleración dcl c lectrón eir cadaregión.

1.1.58 Un acelerador l ineal ccn un vol-Laje de 800 kV produce uir haz <1e pro,tones equivalente a una corr iente de1 mA. Calcnlar (a) el nr ' :mt:ro de proto-nes por segundo que inciden en cl $¿¡"o,(b) la potencia requerida p¿¡ra acelerarlos protone s, (c) la velocida<! de lcrs pro-toncs ¡: .1 incidir scL¡re el blanco" (d) Su-poniendo qrre ios pro1ones pierdan el809á cte su energia en el blanco, calcuiarla rapit lez, expresada en cal s-1, con lacual se debe remover energla del blanco.

1.1.5S Urr clectrón, después de irabersido acelerado por una di{erencia depotencial de 565 V, entrq a un campoelóctrico uniforme de 3500 V m-r a unángulo de 60o con la dirección del carnpo.Después de 5 x 10+ s, ¿cuáles son (a)las componentes de su veiocidarl para-lelq y perpendicular al campo, (b) lamagnitud y dirección de su velocidad,(c) sus coordenadas respecto al punto deentrada? (d) ¿Cuál es su energfa total?

14.60 Dos placas metál icas grandes yplanas, montadas verticalmente y s€pa-radas 4 cm, están cargadas a una dife-rencia de potencial de 200 V. (a) ¿Conqué velocidad debe lanzarse un electrónhorizontalmente desde la placa posit ivapara que l legue a la placa negativa conla velocidad de 107 m s-1? (b) ¿Con quévelocidad debe lanzarse desde la placaposit iva a un ángulo de 37" por encimade la horizontal para que, cuando l leguea ia placa negativa, la componente ho-r izontal de su velociCad sea 107 m s-r?(c) ¿Cuál es la magnitud de la compo-nente vert ical de la velocidad cuando elelectrón l lega a la placa negativa? (d)¿Cuánto tarda el electrón en ir de unaplaca a la otra en cada caso? (e) ¿Conqué velocidaci l legará el electrón a Iaplaca negativa si se lanza horizontal-mente desde la placa posit iva con Iavelocidad de 108 m s-1?14,01 Un elect¡ón se encuentra entredos placas separadas 2 cm y cargadas auna diferencia de potencial de 2000 V.Comparar la fuerza eléctr ica que seejerce sobre el electrón con la fuerzagravitacional sobre el misno. Repetirpara un protón. ¿Justiñcan estos resul-

508 Interacción eléclrica

tados el haber ignorado los efectos gra-vitacionales en .-:s1.e capÍtulo ?

74.62 AdaFtar ei rrsultado c. lel cjem-plo X3.8 ai caso cle un planu con r:nadensidad de carga o para irrrtbar r.¡ ' - leel camfrr; y ei potenc.iai eléctr iccs son(. : <sl2eo Y

1,r == -- 'xzl2eu.

1,*.63 Una carga -* r1 d,e mt:ja ¡n t'rcol¡rea a un:r distancia : de un pi lnocLrgldo posit ivarnent.e cion una r lensr¡ iadde carga uni iorme o. La carga Ee l jbr:ra"Caii :uiar su aceleración, ia vclacidacl co¡rla cual lncidirá en el plano ¡r el t ielnponccegario pa.ra llegar a é!.

14.61 Suponiendo qüe a la c¡¡¡ge delprub.lerna 14.63 sg le dé una veloi ir i :¡ .dini. . iai ua p;.rralela al plano. f leterni in:rr(:) ia t t ' : ryectorir: que sigue, (h) el t ier ir¡ro{í$e lr ini ,cürr.¡ hasta que incit ic el l el¡, iai"r, ' , {c) l¿ ci isianci¿t gue ieci 'rre i t i i - l .a-lei¡; : l : : i r ie al p' lano antes cl¡ regresar alm,ist-I: i i .

1.t,6í¡ Fefiriéndcnos de nuevc al pr;-bie¡ira 14.63, supone¡ que la carga seainic ia lmente e\ t z:0 y gue sea lan-z:ida * una velociclad uo a un ánguio ar:on el plano. Deternrinar (a) la trayec-toria que siguc, (b] su separación má-xima dei plano, (c) ta distancia querecilrre paralelamente al plano antes deregresar ai mismo.J." .66 Se dispcnen en forma alternadari¡l infinito número de cargas positivasl- negatlvas :l q sohre una ]inea recta.La stparación entre las cargas adyacen-tes es la rnisma e igual, r (f ig. 14-4!)).Demostrar que la energfs potenciai deuna carga es (- qzl?re ur) ln 2 í"Suge-¡encic: usar la ec. ( l f . 24).1

,,;\ /^\ /.\\t' \7 \17 oo€)

Flgure 14-49

74.67 Una dispt'lsición plana regular riecargas de igual magnitud, posit ivas ynegativas alternadas, se obi iene cnlo-candr: i l ¡rs cr irgas en los cenl¡os de cr¡a-d¡a¡los ;. ie iado r (Í i ¡¡ . 14-50). En':r, i : trarla ene: 'gl i i i ro{ errciai r ie r¡na cár ;1.1 l¡ lcom¡¡ la ,{.14,i t? i l ¡ : . i l ¡r i l lo d'r ¡ar] io rz l ,rensircrla

@GO.JO,,3O() r.:j i3 (,j, G_-\ e e

eeef ieO@rf r-\ f;¡ ¡], C' A

\-, !/ i. -, \-t i \-/ LW \/

(J,o¿e"3(3eo

C€,eOOOe'Or;)Gee¿.:re

l ' i_eura 14-6C

utle carg;r g. Calrrular el p,rtencial y el{ '9.Ín!}o elr ici f lcos t:rr pri :r los situados so-L¡re ¿i eje rerpendicular ai plano del:rnl l l r , ' .

11,.t':1,, l.I:¡ilar ei potenr:i:-d _rr cl carcpo¡lé:: : tr i ' "r .r er puntOs Situatlos SObre el ejC¡ie u¡ disc¡; dc ¡ 'adio R quc conticne unacarqa d ¡ ;cr unidad de área. lSugerencía:divici ir el disco ¡rn ani l los y sumar lascontr ibuciones dc todos ei los. lÁ.74 { lct ir iéndose al problema 14.69obtener el carnpo y el potencial eléctr icode una distr ibución de cargas sobre unplano que t iene la misma densidad decarga que el dlsco. lSugerencia: l lacerÁi nruy granrie y mantener sélo ei tér-nrino predomina.nte, l

74.i i Se t iene un alambre de longitud1- con una densidad lineal de carga ).(ng.14-51) {a) Probar que el ca¡npo

L--- .l

I ' lgur* 14-ó1.

elóri i ico en un punt-o a r¡na distancia¡iel rlernbre está CaCo por

i'i- - l;.i.tr̀0fi)(sen 0, --- se n {i,)v

f tt .- -- ( ' , ' ,14r;rlt)(cos 0" - cos 0r),

l*¡-¡oo

q

donde i ' . ¡ y C.¡¡ son las componentes de Cperpc,nrl i i :ular v paraiela al alamtrre yBr l / 0¿ so¡i los ángulcs que toimtir lasl lneas trazadas i les(le el puntc a lr is cx-tremos <lel alalrrbre con la l lerpendicuiardesde el pur l to al a lambrc. (b) I la l lar e lcampo €n un punto equidistante de losextremos. (Los signos de los ártgulos 0ty 0, se ir idican en la f igura).

74.?2 Con un alambre de carga tr por{rnidad de longitud se forma un cuedradode lado 1.. Calcular el campo y el poten-cial eléctr icos en puntos sltuados sobrela perpendicular al cuadrado por sucentro.

14.73 Obte¡rer las expresiones para elcampo y el potencial eléctr icos produ-cidos por un plano con una distr ibuciónuniforme de carga o por unidad de área,suponiendo que el plano está formadopor una serie de f i lamentos de longitudinñnita

-v de ancho dr.

74.i4 ¿Qué masa de cobre (bivalente)deposita sobre un electrodo una corr ientede 2 A durante nna hora? ¿Cuántosátomos se han depositado?

14.75 Estimar el promedio de las fuer-zas eléctricas de atracción entre dosmoléculas de agua en la fase gaseosa encondiciones normales, debidas a sus mo-mentos dipolares. Considerar varias orien-taciones posibles de sus dipolos eléctr i-cos. Comparar con su atracción gravita-cional.

74.76 Adaptar los resultados del pro-blema 13.81 al caso de la distr ibuciónde cargas eléctr icas que definen los mo-

Problemas 5Ag

mentos dipolar y cuadrupolar para last l i reccio¡res consideradas.

14.77 Hal lar los momentos dipolar yc-Liadrupolar con respecto al eje Z de lad;str i i rucién r ie cargas mostrada en laf ig. 1,1'52. l lal la¡ el potencial y el campoen los punLos del e je Z, suponierrdo que: es muy grande comparai lo con o. Re-petir los cálculos para los puntos deleje Y.

Figura 14-58

14.78 Repetir el problema 74.77, su-poniendo que todas las cargas son posi-t ivas.14.79 Un protón muy rápido con ve-locidad Do pasa a la distancia a de unelectrón inicialmente en reposo (ng. 14-53). Suponiendo que el movimiento delprotón no se perturba debido a su granmasa respecto a la del protón, (a) hacerel gráfico en función de r de la compo-nente de la fuerza perpendiculat a rroque el protón ejerce sobre el electrón.(b) Demostrar que el momentum trans-ferido al electrón es

(ez l4ne o)(2luoa)

en dirección perpendicular ^

Do. (c) Es-timar la desviación del protón en funciónde su velocidad. Este ejemplo sirve debase para analizar el movimiento de par-t iculas cargadas gue pasan a través dela materia. [Sugerencia: Suponiendo queel electrón permanece prácticamente ensu posición inicial mientras el protónpasa, el momentum transferido al elec-trón está dado por A,p : I F df y sola-mente Ia componente perpendicular a uotiene que ser calculada. En vista de lasimetrÍa de la füerza, en lugar de inte-grar desde -6 a + €, integrar desdeo a € y mult ipl icar por 2.1

14.80 Demostrar que la energla poten-cial eléctr ica interna de un sistema decargas puede escribirse en cualesquieraFigura 1.{-É*

L-

510 Interaccién eléctrica

de las lormas:

(a) Eo : ). -::+,i i?o, +rc€orijlos pares

(b) E,: t¿ Qtv; ,todas

- las cargas

donde Yr es el potencial producido t tn grpor las ofr<ts corgas. (c) {- isando el restt l-taclo hal lado en (b), probar que la energíaeléctr ica dt una distr ibur: ión cont inua drrcargas de densrdar l p es,L 'p - ] J c l 'dr .(d) l- 'sar csta c>:presiólt Para ttrelt lostr ' ;¡rquc la energía de un cor¡di tctor esfér i i r - tcon l rna carga Q distr ibr : ida uni f r . rme-rlrernt¿ sobre su r, 'olumen es *( i¿l{;€Nll .(e) Apl icar t i ú i t imo t 'esul tado al <:¿iso r ieun ¡ lúcieo de núnrero atórnico Z.

14.81 Prob¡r t iue las ecuacicncs t l i ie 'renciales para ias l ineas de fuerza sotrdt l{ ," : dAitu : dzlc' , , do¡¡de dr, dg Ydz corresponden a la separació]t ei l tredos puntos muJ" cercanos de la i Ínea defuerza. Apl icar estas ecuaciohes paraobtener Ia ecuación cle las l ineas defue¡za de un dipolo eléctr ico. fSugeren-cia r Obsérvese que, como en este casolas l lneas de fuerza son curvas planas,Ia componente r '¿ es nula. Expresar C¡y (y de un dipolo elóctr ico en coorde-nadas rectangulares,]

74.82 Probar que en coordenadas pola-res la ecuación diferencial de las l lneasde fuerza es drl f , : r d0l(0. t lsar esteresultado para obtener la ecuaciótr de laslíneas de fuerza de uu cl ipolo eléctr icoen coordenadas polares. \ 'er i f icar con clresul tado del problema 14.81.

14.83 El statcoulomb (stC) es utra uni-dad de carga que se define com<l la cargaque, colocada a 1 cnr de otra carga igualen el vaclo, la repele con una luerza de1 dina. (a) Probar que un statcoulombes -¡|c C (donde c es Ia velocidad de laluz), o aproximadamente i x 10rC.(b) Expresar la carga elemental e enstatcoulomb. (c) Calcular el valor de laconstante K, y <o cuando la carga seexpresa en statcoulombs, la fuerza endinas, y la distancia en centí¡nelros.(d) Hal lar la relación entre las unidades

dina/statcoulcmb y N C-l para medir elcampo elóctr ico.

14.84 ¿Cuántos electrones equivalen aun statcoulomb ?

i4:85 EI abcoulomb es una u¡r i ¡ lad decarga equivalente a 1t) C. Hallar el valorde las constantes R" y €o cuando lacarga se expresa en abcoulombs, Ia fucrzaen di¡ras y la distancia er i centímctros.¿Cuál es la relación eutre el abcouio¡ l rb.v ei statcor.r lonrb ?

14.80 El statvol t (st \ ' ) es la di ferenciade potencial que debc exist i r t 'ntre dospuntos para que al rnover i rna carga deun siai-coulomt-¡ r ie u¡r pi lnto al otro seefectúe el t iabajo dc ur i crg. (a) I ) robarqr ie un statvol t es iguai a c/106 ó apro-xin. iar la lnentc l jO0 \ ' . (b) f {a l lar la rela-c ión entrc el stV crn-r ! ' e l V rn-r ccl¡nounidades para rnedir e l cam¡ro c léctr ico.Coniparar con el resul tado (d) del pr 'o-blenla 14.83.

11.E7 Escr ib i r la explesión para el po-tcncial creado por ul)a carga q a la dis-iancia r cuando el potencial se rnicle enstV, la carga en stC, y la distancia en cnl .Repet i r para un canrpo eléctr ico mcdidoen stV cnr-r.

14.88 Se acostunrbra escr ib i r la expre-sión para la energia del estado estacio-na¡' io de los árotnos con un clectrón enla forma E¡ : - IlZhzclnz, tlonde .Il esla l larnada constanle dr l lgdberg. L. 'sandola e x¡rresión dada rn cl ejernplr- ' 1.1.8 para€n probar quc I i es igual a 1,097-1 . r 107rn-1.

14.89 Calcular la energÍa r le los cuatropr imeros estados estacionar ios del H ydet He' . f {a l lar , en cada caso, la energiarequer ida para c let 'ar e l s istema, desdccl estado fundar-¡re¡r ta l , a l pr i rner estadoexci lado. Representar las energlas sobreuua cscala por nredio de I ineas hor izon-tales adecuada¡nente espaciadas. Obsi ' r -vese que algunas cnergias coinciden. ¿Esposible deducir una regla general?

14.90 Usando el resul tado del pro-ble¡na 1^1.37, est imar la velocidad delelec.trón en un átomo cle hidrógeno ensu estado fundarnental y vcri f icar loscálculos hechos al f inal del e jernplo 14.10.

15II\TERACCION h{AGNETICA

15.1 Introduccíón15.2 Fuerzo rnagnética sobre una carga en movimíento

15.3 Mouimíento de una carga, en un campo magnétíco15.4 Ejemplos de mouímiento de partículas cargadas

en un ca,mpo magnético/5.5 Fuerza magnética sobre una corríente eléctrica15.6 Torque magnétíco sobre una corríente eléctrica

I5-7 campo magnétíeo producído por ulul corriente cerrada/5.8 Campo magnétieo de una corriente reetíIíneo.

15.9 Fuerzas entre corríentes15.10 Campo magnético de una corcíente circular

15.11 Campo rnagnétíco de una carga en mouimiento(no relatiuísta)

15.12 Electromagnetismo y eI principio de relatíuidad15.13 campo electromagnético de una carga en mouimíento

15.14 Intbracción electromagnética entre d,os cargas en tnouimíento

75.7 Introd,ucción

La interucción magnétíca es otro tipo de interacción que. se observa en la natura-

leza, varios siglos antes de cristo, el irombre observÓ que ciertos minerales de

hierro, como la'piedra imán (varied:rtl de la rnagnetita), tenían la propiedad de

atraer pequeños 1roro, de hierro. La nilsma pi:opierJad tienen el hierro, el cobalto

y el manganeso en su estado naturll, y muchos compuestos de estcs met¿ries'

bsta propieOad, aparentemetrte esp':cif ica' no está relacionada con la gravitación

puestc qu* no sólá no la tienen naturalmente lotlos lus cuerpos, sino que aparece

concentiada en ciertos lugares del lrrineral de hierro' Aparentemente, tampoco

está relacionada con la interacción eléctrica porque estos minerales no atraen

boiitas de corcho o pedazos de papel" E l consecuencia, se le dio a esta propiedad

física un nuevo nomble: ma,Qnetísmo+. Las regiones de un cuerpo en las cuales

el magnetismo aparece concentrado se clenominan polos magnétícas' LTn cuerpo

magnetizado se denourina imrin'

Wñ(a) (b)

Fls. 16.1, Interacción entre dos barras magnetizadas. (a) Los polos de distinto

noittb.. se atraen. (b) Los polos del mismo nombre se repelen'

512 Interaccíón magnéIíca {15.1

Ia ínteracción enlre polos magnéfícos del mismo nambre es repulsiua

g la interaccíón entre polos de distínto nombre es atractiua'

* El nombre magnetismo praviene de una antigua ciudad del Asia l{enor llamada Magnesia'

donde. de acue¡d"o con la iradición, se observó por primera vez eI fenómeno.

La tierra rnisma es un inmenso imán. Por ejemplo, si suspendemos una varilla

magnetizada en cualquier punto de la superficie terrestre y la dejamos mover

libremente alrededor de la vertical, la varilla se orienta de modo que siempre

el mismo extremo apunta hacia el polo norte geográfico. Este resultado demuestra

que la tierra ejerce una fuerza arlicional sobre la varilla magnetizada, fuerza que

no experimentan varillas no magnetizadas'

Estó experimento sugiere también que hay dos clases de polos magnéticos que

podembs áesignar.on lor signos + y *, o por las letras N-y S correspondientes,

respectivam"ñt", ^

los polos que apuntan hacia el norte y hacia el sur. Si toma-

-oi do, varil las magnétizadas y las colocamos como se muestra en la l ig' 15-1'

las mismas se repelen o se atraen según enfrentemos polos del mismo o de dife'-

rente nombre. concluimos entonces de nuestro experimento que

_--.-.t.

15.2) Fuerza magnétíca sobre una eargo. en mouimienlo 513

A continuación, podriamos intentar medir la intensidad de un polo magnéticodefiniendo \na carga o masa magnélica, e investigar cómo depende la interacciónmagnética de la distancia entre los polos. E,sto es perfectamente posible, y dehecho, antes que los físicos comprendieran claramente la naturaleza del magne-tismo, aquél fue el nlétodo de estudio adoptado. Sin embargo, cuando se inten-taron estas mediciones, apareció una dificultad fundamental: aunque ha sidoposible aislar cargas eléctricas positivas y negativas y asociar una carga eléctricadefinida con las particulas fundamentales que constituyen todos los átomos, noha sido posible aislar un polo magnético o identificar una particula fundamentalque tenga solamente una clase de magnetismo, sea el N o el S. Los cuerpos mag-netizados siempre presentan pares de polos iguales y opuestos. Por otra parte,se ha encontrado que las nociones de polo magnético y masa magnética no sonnecesarias para describir eI magnetismo. Las interacciones eléctrica y magnéticaestán lntimamente relacionadas, siendo en realidad sólo dos aspectos diferentesde una propiedad de Ia materia: su ca.rga eléctrica; eI magnetísmo es un efeclodel mouimíenlo de las caryas e!éclricas. Las interacciones eléctrica y magnética de-ben considerarse conjuntamente bajo la designación más general d.e inleraccíónelectromagnética,

1-5.2 Fuerda ,rrynéüct sobre uno corgd en mooírniento

Puesto que observemos interacciones entre cuerpos magnetizados, podemos decir,por analo$a con los casos-gravitacional y eléctrico, que un cuerpo magnetizadoproduce un campo magnétíco en el espacio que lo rodea. Cuando colocamos unacarga eléctrica en reposo en un campo magnético, no se observa la misma fuerzao interacción especial alguna; pero cuando una carga eléctrica se mueve en unaregión donde hay un campo magnético, se observa una nueva fuerza sobre la cargaademás de las debidas a sus interacciones gravitacional y eléctrica.

Midiendo en el mismo punto de un campo magnético, la fuerza que experi-mentan dilerentes cargas moviéndose de diferentes maneras, podemos obteneruna relación entre la fuerza, la carga y su vclocidad. De este modo encontramos que

Ia fuerza ejercida por un campo magnético sobrc una carga cn moui-míento es proporcional a Ia carga eléclrica g a su uelocidad, U ladireccíón de la fuerza es perpendicula¡ a la uelocidad d.e la carga.

Podemos avanzar un paso más y, recordando la definición de producto vectorial,escribir tentativament¿ la fuerza F sobre una carga q que se mueve cdn velo-cidad r: en un campo magnético, en la forma

P:qoxT, (15.1)

la cual satisface los requisitos experimentales mencionados más arriba. En estaccuación, :]J es un vector que se determina en cada punto comparando el valorobservado de F en ese punto con los valores de q y o. Este modo de procederha demostrado tener éxito. El vector ') l puede variar de punto a punto en un

514 Intcraccíon maqnélica (15.2

campo m.agnél . i r :o, ; )ero rn c i ¡ t l ¡ : i ¡u l i tc $¡: ¡J i ic l i { . : . l l ' : t , , .>: l r t ¡ ; - i l l l r . ¡ i ta ine¡ i te {ur) cS

el rnismo para todas las carg;:s;. , : relr- ' , i ! i l i i i i t r :r . . l rol i r¡ i i i ¡ i t r ; i lescribc una propir:ciaclgue es caracterÍst ict dci r . : lL¡r t t ,o rn*gnr: t r ic - ;1; i ;dtnr i ;s l iamarla í rúensi t lod ¿lecamp7 rnur¡nél ico: r l tr0 nonti , i i 'c, tm¡tt tr .r i- t i l ¡r ¡ l i l i io. cs í¡tducrión magnélict.I ln esl.e te>;to irsartr l l ' los solal) i ' r ; te lr pri lnt:r i l t l t :sigi i l ic ión,

Cuando la partícuJa se nlue"-e r-rn i l r i¿l regrón dolde ha] ' un carr lpo eléctr icr_iv l t t io magüético, l¿r fr terza toial es la ¡u¡na dr: la f i lerza cl ictr ica qC y la fuerzarnagnética qu x (.13. es decir.

F '-= q(.(' -r u x ')J). (15.2)

Esta expresitin se denomina fuerza deLore¡¡lz"

La ec. (15.1) da, por la def in ic ión deproducto vectorial, una fuerza no sftoperpendicular a la velocidad ü, como seinri icó anteriormentc, si¡to también alcampo magnético ':)J. La ec. (15.1) impii-ca taml¡ién que cuando o es paralela a :|J,la fuerza .ú' es cero; de hecho, se observaque en cada punto de todo campo mag-nético hay una cierta dirección de movi-miento para la cual no se ejerce fuerzaalguna sobre la carga €n movimiento. Es-ta dirección define la dirección del campomagnético en el punto. En la fig. 15-zse ha ilustrado la relación entre los tresvectores a, )t y .[', tanto para una car-ga positiva como para una negativa. La

figura muestra la regla para determinar el sentido de la fuerza; esta regla usa lamano derecha.

Si a es el ángulo entre ?: y ?, el módulo de ^f,' es

F:QD )Jsen". (15.3)

El máximo de intensidad de la fuerza ocurre cuando o : rl2 o sca cuando oes perpendicular a '7J, resultando

p : qu.)). (15.4)

El mínimo de la fuerza, cero, ocurre cuando ¿ : 0 o sea cuando tl es paralelaa ''JJ, como se dijo antcs.

A part i r de la ec. (15.1), podemos def in i r la unidad de campo magnét ico comoNiC rn s-r o sea kg -s-r 6-r. I lsta unid¿irl se de¡rornina leslo en honor del ir igenieronorteamericano nacido en Yugoeslavia NichcrLrs Tesla (1856-!943). Se abrevia l,por lo qtie T --= kg s-1 C-1. Un tirsle colrespo¡rtle al campo rnagnético gue pro-duce una fnrrza rle un ¡reuton solirr urla car'qa de un corilo*i, qu* se mueveperpendicularme¡lte al campo a razón dc un metro por segundo.

Flg. 15-2. Relación vectorial entre lafuerza magnética, el campo magnéticoy ia velocidad de la carga. La fuerza esperpendicular al plano que contienea?rvao.

negat iva)

15"2) l .-uerza magnétíca sobre una cqrga en mouímiento 515

coino ia f ircrza magnétice r" : Qú x ?l es perpendicular a la velocidad, sutrabajo es cer(, y por lo tantc no produce cambio alguno en la eneryia c, inéticade la partícula, definida por ia ci ' . (8. i1). Aunqrre la fuerza rnagnética no es con-servativa en el sentido del inido cn el capitulo 8, cuanclo una partícula se mueve€n carnpos rnagnético y eléctr ico superpuestc-c, su energia total pcrmanece cons-tante. (Por energÍa total entendemos la energía cinética rnás la energia potencialde las diferentes interacciones).

l tJEDlI lLo i5.7. Un protón de los rayos cósmicos entra con una velocida{ de10? ¡n s-1 en ei campo m-agnÉtico de la t ierra, en dirección perpendicular al mismo.Estima¡ Ia fuerza que se ejcrce sobre el protón.

Solució-¿¡.: La itt'rensidad del carnpo magnético cerca de la superficie terrestre enel ecuador es de alrededor de ')J : 1,3 x 10-? T. La carga eléctr ica de! protónes q : , l e : 1,6 x 10-rr C. Por lo tanto, usando la ec. (15.4), la fuerza sobre elprotón es

P : qu(I} - 2,Ct8 x 10-re N,

gue es ccrca de dicz mil lones de veces mayor que la fuerza debida a la gravedatlm¡t ! :1,6 x 10-26 N. Siendo mp:7,7 x 10-2? kg, la aceleración debida a estafuerza es c : Flmp -- 1,2 x 108 rn s-2; la aceleración del protórr cs pues nruygrande comparada con ia aceleración de la giavedad,

EJEMPLO 75.2. Discusión del electo HaIL En 1879 el fisico norteamericano .8. C"Hall (1855-1929) descubrió que cuando una placa metál ica por la que pasa unacorriente 1 se coloca en un campo magnético perpendicular a el la, aparece unadiferencia de potencial entre puntos opuestos en los bordes de la placa. Este fenó-r¡ leno se denomina efecto Hall ,

sorución: Se trata de una apl icación tfpica de Ia ec. (15.1). Supongamos primeroque los portadores de corr iente eléctr ica en la placa metál ica son electrones, loscuales t ienen una carga negativa g - -.- c. Considerando la f tg. (15-3(a), dondese ha dibujado el eje Z paralelo a la corr iente 1, vemos que el movimiento de lascargas es en el sentido d,e - Z con velocidad ¡:-. Cuando se apl ica el campo mag-

(a)Portadores

. lñ: -o lnegatMs \Y "/Portadores

(r,) positivos

El efecto Hall.Flg. 15-3.

z

+++f

+'r

-t-

++

516 InÍerscdón rnagnélica (15.3

nético' lJ perpcndicularmente a la placa, en el serrt jr l ,¡ cir i eje X, los electrones estánsujetos a una frter¿a ,F : (-- e)u x lJ. IJI prodi ictr: vcctc¡¡ iai er- x (d t iene el sen-t ido t le --) ' , ¡rero como está t. ;rui i ipi icar- lo i lor --- ¿. cl rcsultado es un vec¿or .Fen el sel¡ i ido de - i- Y. En co¡rsecuertt : ia. los eiertroriss t lel ' i . , 'q¡t haeia ei lado r lerechorie I* pirca" la cu:r l te carga negaiiva,!: i ) l l te. Fl i lad<.¡ izqri ierdo se carge posit iva-mente ¡ lcr ique t ie¡re un:i r j .ef iciennia tír , . ' l ¡ iúmef{r nctmai cle eler:trones. Como resul-ta-do, aparece u¡! car¡po eléct i ic.o { paralelc, ai cje ; Y, l ,a fuerza sr¡bre los elec-t. icinrs dchi i i ; a este car¡rpo eiertr i{":ü { j t i . -- .¿,)( ; ;onl(; eslá dir igi t ta l ;acie la izqrr ierclal iega u:- i i i : ' j i -¡"r¿nit tn 1i11{'*Lrr l tr^f i ' l " . lgi i ; i¿ f t i t , iz '¡ hacia ia r ler.- i :he ¡ iebida a1 carnpo:: la¡;:re. i ic,: ' i i , 1;r:ai lucióndcse ei e¡Iui i i i ' ¡ tc. Est{ i a $ú vcz da r;r igen a r¡na diferenciaJr ¡:rr--1-*lr : i : t i l r l l r . isve:;r i i gnl¡1 lr ,rr l i r ,¡ .1, 's i , ;"¡ i !9st i .s del c¿nducicr, sicndo el l¿rioi; : t i l r i r ' rCc el qrre crtt ír a p(i tcrrr: ial ¡ l¿j¡r ¡ l i r¡ . cl valor r- ie la r l i fercnci¿ de potenc:ialr: t l , ,r¡ ,) l-1{J} 'cional a1 carn¡-ro ¡raÉirél ico . l iEie es t l efr:ct¿r l lai l ¡rornal o "negatir 'o"rI*{ ' prr:}entan ta inal 'oría d* los mtl.ai*s, como ei orc, l i1 plaia, el plat ino, el co-i- ' ie" r: t- ír . $i : . i errr i . :argcl err ci t : i ' t ¡ : ; Inr ir les '- .como ¡: l cobaito, ei zinc y el hierr 'o yotl ' : : ; ¡r¡aterr:r¡as Í, imo los senl i io¡ lr l i ic loits, se produce un eiccto l{ai l opuesto oo'¡ i r ' . , t

i ' . ' t ; " ,

I¡r ! , i r i ' \pl i í ¡r ' r i 1fú{:ta t- ial l posi i ivo, : ! jJrt ' ' i i r ,¡ : l 'ns qt¡e irs tr ' :¡ ta¡ lnrcs dc corr iente,. , ' ,1 . , .1. r ' ic ¡ r , : . . ' ,1 r i r r ' t r ¡ t : t ; rs r r rg l i<, : r r r i ; ia l . : , ¡ ; : : la ie" ¡ou pert i l ¡ l las dt carga posi-

1,. , :¿i i i r ¡ ¡ j r ¡ ' r r ; ¡ ¡ ¡ - : - ¡ . ' : . :s . :? *- j i . j f j :s¡ : ' f r , - r 5t ; i l i i i+ i i i . !+ l¿! l t i l r i . iet i t_€,

1.1, ; ¡1, : j r : : t . i a: j . , l ¡ ¡u ' r : j ¡ '11 l . : . i j . ar- , . . : r Í : i ' ¡ . . l . ' , .1: !1( j i ' : t ! ¡ ¡ ' .1. i i , - : . r11:) . l - . ' . t fur : rZatr t . : j : ; i , ' . . ' r ¡ . - : r , : . l I - , r : ; .g l i . r ; l t - . . i . ; ; : i6. ; : , ' , " ' - , i : ' ) : . , . r i i . - ' r - .S!á r j t ¡ id. i . . : - ia

:-: l : r j r , ' . , i ¡ . . j ; i l ¡ .r*r ie '¡ el i : :r ; t i i t r i l , ' ' ¡ i r¿r:ai: i tr ; . , . . : ' , i ?, , ; l i . '1r:¡ i ; nd0 ftr carnp(l eléC-;. i ' r ' , : ' r . : l r i ; i ,e:, .1; i , ,T'r el i tenti f lo i l r -- l i - i r ' , -o: ir¡ ia¡:t t¡ l ¡ . i i fe ; 'c¡,cia <ic potenciai esi: I ;r i r :¡- í i i l i i ¡ , .¡{ :€ al iarece en el ca.Ji,¡ l i* polfarl ' - t¡gs negaiiVos, tesultar,¡do un efectol. iair pu:,. i i iv l .

r l ra¡;Ca 5¡ r ic5,-¡¡J¡¡rsrr-.n )os t l¡ ;s t i j_r+s de r: fecto l lai l . l<¡s f ísicr is quedaron muyir lr i ¡ . , ,r , : i i ts;Jol ' i f ¡ ; i : en aqueil i épi;ca se crr: ia que los únicos portadcres de corr ientet; l i :¿i.r ira r1n i :n rcrrduci.cr sól i ic €ra:r i i ; :r t lei : t-rones cargadcs negativarnente. Sine rr.har gc, ei i ( : i r l r tas circunst arlr ig.s pt,r l i :nrcs der::¡ , tua lr 's portadores de corr icntee' lrct-r ica en irn sél ido so¡i I- ,¿.rrt lcl las col carga posit iva. En estos materiales hayi lgales en r l :r .de normalrcente dt,bicra i-ral-rer un *lr :ctrón, pero debido a aigún<lt, fectr¡ en ir estructura del sól ido. falJ.a el eiectrón; dccimos que hay u huecodecirónico" C.r iando por algui la razt in u¡r electrón cercai lo se mueve para l lenarei hueci l , r leja e'. ' identemente ln huecc en ei lugi: i donCe csl¿ba. Por 1o tanto loshi i i rr :cs cieclró¡ 'r iccs se i i l t i r tverl cn seni j<io e-ractamc¡ite opr¡estc ai de los electronesncglt i ivos i .u;o ia acción de u¡l c¿¡rno clérl i ic i ' r apl icado. Pc,Jemos decir que loshue¡i(¡s elcclrónicos se cornpGrti¡n e c¡r1o si fuera.rr ¡rartículas posit ivas. Por lo tanto,el ei¡cto Hall consti tuye r:n métor-1(r l l . i i r . i ' út i l para Cetermirrar ci signo de las cargasi1| . los porfadores de corr ie¡¡te eiéctr ica en urr cun<luctor.

75.8 ilToaimiemto d,e un{t r:{ñrgd, en uft eürnfto rnagnéttco

Consideremos primeramente el movirniento de una particula cargada en un campomagnético uniforrne, es decir, un campo nagnético que tiene la misma intensidady dirección en todos sus puntos. Para simpiificar, consideraremo.s primero elcaso de una partícula que -qe mue\e perpendicularmente al campo rnagnético(fig. 1ir-4); la fuerza está dada entorrces por !a ec" {15.4). Como la fuerza es per-pendii:ular a la veiocidad, su efr:it* es canbr¿ir ia ciirección de la velocidad sincambiar sr; mírdulo, resuitando uri n;i,r inli.r i¡ l,. i c:irr:ular uniforme. L,a aceleraciónes por lo tanlo centrípeta y usatdo le etuaciirn de movi¡nienr;o (7.28), tenemos

15.3) Llouimiento de una carga en un campo magnélíco 517

F' .-' p¡21v, donde F está dada por la ec. (1b.4). Escribimos por lo tanto

ñ,2_-qúb

t

la rual da cl radio de la circunferencia descrita por Ia particrrla. porusando los datos del ejemplo 15.1, vemos que los protones describirían

mu, - -;=,

qD

. : J-q..m

(15.5)

ejemplo,una cir-

cunfcrencia de radio 8 x 105 m si el cam-po fuera uniforrne. Escribiendo r : (¡r,donde <¡ es la velocidad angular, tene-i-nos entonces

(15.6)

Por lo tanto la velocidad angular esindependiente de la velocidad lineal u ydepende solamente del cociente qlm ydel campo cB. La expreión (1b.6) da elmódulo de c,: pero no su dirección. En laec. (5.58) indicamos que la aceleraciónen un movimiento circular uniforme sepuede esc¡ibir en forma vectorial comoü: e) x o. Por lo tanto, la ecuación demovimiento,F' : /7?l Ies

m@x?):qOxff)

* En rigor, tendrÍamos que haber escrito ú)trar ia; s in , . ) ¡nbargo la ec. (15.6) indica que

Flg, l5-4. Una carga que se mueveperpendicularmente a un campo mag_nético uniforme sigue una trayectoriacircular.

o, invirtiendo el producto vectorial en el primer miembro y dividiendo por m,

@xn:_@lm)cl3xa,

lo cual impiica que

@ : - (qlm),ü, (15.7)

la cual da a¡ tanto en módulo como en dirección y sentido.* El signo menos in-dica que a¡ tiene dirección opuesta a la de ?3 para una carga positiva y la mismadjrección para una carga negativa. Llamaremos a a frecueicia ciclolrónica porrazolles que se explicarán en la sección 15.4(c) cuando tratemos el ciclotrbn.

Es costumbre representar un campo perpendicular al papel por un punto (.)si está dirigido hacia el lector y por una cruz (x) si está áirigloó hacia la página.

: - (qlm)T * lo, donde ), es una constante arbi-debernos poner ). : 0.

518 Interacción maonética

qaoaaa

posi t iva; G hacia arr iba,co hacia abaj<'r

(a)

aaaaaa

r¡ negativa ; (B y ro hacia arriba(b)

FiS. 1ó-5. Trayectorias circula-res positivas y negativas en uncampo magnético uniiorme.

(15.3

Fig. 16-6. Fotografia, tomada en una cá-mara de niebla, de trayectorias de partfculascargadas en un campo magnético uniformedirigido hacia la página. ¿Puede el estudianteidentiflcar cuáles son las cargas positivas ycuáles las negativas?

La fig. 15-5 representa la trayectoria de una carga positiva (a) y una negativa (b)

moviéndose perpendicularmente a un campo perpendicular a la página. En (a)

@ está dirigida hacia la página y en (b) hacia el lector.La curvatura de la trayectoria de un icn elt un campo magnético constituye

un método para dcterminar si su carga es uegativa o positiva, si sabemos cttáles el sentido de su movimientc. La fig. l5-6 muestra las trayectorias de variasparticulas cargadas que se han hecho visibles rnediante una cámara de niebla*colocada en un campo magnético. El campo magnético aplicado es valias vecesmás intenso que el de la tierra, de modo que el radio de la trayectr¡ria es del ordende las djmensiones de la cámara de niebla. Nótese que las trayectorias se curvan

* La cáma¡a de niebla es un disposi t ivo que cont ienr: una mezcla de gas y vapor en la cual latrayector ia de una part ícula cargada se hace vis ib le er: 'nCensando el vapor sobre iones del gas.Los iones son producidos por la interacción ent¡e ]es partlculas ca¡gá,das y las moléculas delgas. La condensación se logra enfr iando la mezcla meci iante una expansión rápida (adiabát ica).La mezcla puede ser aire y vapot de agua.

-L

15.3\ l,Iouímiento de una carga en un campo magnético 519

trlg- 15-?" Fotografla de la trayectoriad.e un positrón (elecLrón positivo) en uncampo magnético dirigido hacia la .pá-gina, tomada por Anderson en una cá-mara de niebla. Esta lotogralla cc¡nsti-tuyó la primera (1932) evidencia expe-rimental de la existencia de los positro-nes, que habfan sido predichos teórica-mente por l)irac.

en sentidos opuestos, lo cual indica que algunas partículas son positivas y otrasnegativas. Puede observarse que algunas de las partículas describen una espiralde radio decreciente; esto indica que la partícula está siendo frenada por coli-siones con las moléculas del gas. Esta disminución de la velocidad ocasiona,según la ec. (15.5), una disminución del radio de la órbita.

La ec. (15.5) nos dice también que la curvatura de la trayectoria de una par-ticula cargada en un campo magnético depende de la ener$a de la particula;cuanto mayor es la ener$a (o el momentum p - mu), mayor es el radio de Ia tra-yectoria y menor la curvatura. La aplicación de este principio condujo en 1932al descubrimiento del posítrón en los rayos cósmicos. El positrón es una particulafundamental que tiene la misma masa me que el electrón pero una carga positiua

+ ¿; su descubrimiento fue fruto de los trabajos del físico norteamericano CarlD. Anderson (1905- ).* Fue Anderson el que obtuvo en una cámara de nieblaIa fotograflía de la fig. 1t7. La banda horizontal que se ve en Ia figura es unaplancha de plomo de 0,6 cm de espesor que se ha colocado dentro de la cámarade niebla y a través de la cual ha pasado la partfcula. La parte inferior de latrayectoria de la particuia está menos curvada que la superior, lo cual indicaque por encima de la plancha la partícula tiene menor velocidad y energia quepor debajo; en consecuencia la partícula se mueve hacia arriba ya que debe perderener$a al pasar a través de la plancha. La curvatura de la trayectoria de Iapartícula y el sentido del movimiento con respecto al campo magnético indicanr¡ue la partícula es positiva. La trayectoria se parece mucho a la de un electrón-- pero de un electrón positivo. Usando la ec. (15.5) podemos escribir p:¡ny:flJr;aur Io t*nto, si en Ia fotografía medimos ¡ y suponemos que q : J, podemoscalculrf p; el resultado de este cálculo es que p tiene un orden de magnitud co-:respc;idi:rirtq a una partícula que tiene la misma masa que el electrón. Un aná-

t Sin ernbrrgo, la existencia de esta partfcula habfa sido predicha unos años antes de su des-cubrimiento, por el físico británico Paul A. M. Dirac (1902- ).

520 Inleracción magnética (1s.3

.lisis más d.etaiiadr nos perrrrite encontrar Ia veiecjtl¡lcl de la partícuia y por lo

ianto deterrninar su masa, obtcnier¡do un acuerdo totai cr:n ia masa del electrÓn.

Si una particula cargada se ml,¡e'/e inicialmente en u.na dirección que no es

perpendicular al campo magnético, ,oder¡ltrs dcsct,rnpr.rrier ia velocidad en sus

componentes paralela y perpendicular al campo triaglrtitico. La componente pa-

ralela permanece constante y !a perpcndicrrlar cambia continuamente de direc-

oión pero no de magnitud. El movimiento es eulonces el resultantc de un movi-' lniento uniforrne en la direccjól del canlpo y un movimicnto circular alredcdor

,,1c1 campo con velociCad anguiar dada pcr !a r,1.. i l i 'Si. I-a trayectoria es ulta

hei¡ce, cLirnü se rnuestra en i:: fig' 1!8 para tl ca-r¡' ¡le r::r ion positivo.

l i ir+ hech¡ nrás que se dedriee de la ec. í15.5) es {iui- t:r. l. 'rr it-o üravor es ei campc

ri i iEi;éi;.co, i icrror es cl lacirc de la i.r;r-Yectoria dg lr pr:rt icl l la eiirgada. Por !o

¡:ini.r: $i t: j carnp¡r ita,-qlétici; ¡ro r:s r:nilctn-,c, la f-¡:¡vtrtoria l lo es circtl l*r. La: : . ¡ " l , ' ; ; ! : ' Int :c i i ¡ : : ¡ i r ; ;1: i : i ! { . t ! i th,r . : r ! , l i ) { r { i i i ' i ' , - : i i i l i l t , i . ' , i1, t ie i , ja a r l t ¡ ' . :cha Con sl i

. , . t . , i ' , r ,1 : i l ; r . !e1l i l : : , i i . ' t i , , i , . r ; . ' , " : .1; ' i 'Cei ' . i i , ¡ :o i 1r ' t l ' r r t t { t l i Í l t p: f t iCul : . i ¡ lvL ' i ' "

: . ' . r i : : f i : ' l ' : , , . i ] : , . , i ; . , . . ' , r . ' . ; 'J¡ ' ' r r r l l j ) i ) ¡ . l "Si . : ; i ' ' l l l i ' : , l ¡ , i . f , : l l ;1 i . í ' l f ¡Ci¡ l . i l - l ¡ l i .v ; le

. . : t : - . . . . . . . , : . I : , ; . r ' ¡ , r r . , . . i ' . : . t ; ] : ,1- . i , , l i f r ; ¡ ; i , r : , : i ] tJ , : l : l ; ; , : t : i : l i : i , . l : : ; , t i ; l : ' ! . :

, ; ; . ' . l i r i t ; ]1: ' j r ' j : : : l ; . i ¡ . i ; ; i1t , . . -

, i ; t " ; ' : ' : i r i ' , : ; . \ . t : i ' ; ' ) .1! l t r ! : ' . i r { - . i } .1-11: i i i : t

i . ' j . , , . ; : - r I i ; , ¡ ¡ , t l i j t : j j=t : ' : ; . ¡ i i i - ; ,e; ; i : is l l i i , l i . " . ' i . i e

: r r . . " ¡ l l ; . ! i ; i . , i : ; l f ¡ .1. i ; r ! ; . . : . i l : r l .1 . ; r { t i : l : t , l l , '1+ ¡- i i { : r i , l . i r i r l { l t l i : : i f lCnS; l l ¡e¿i , ] . , ]

I t , ! t . t , r ) . t : , . ' r i i i i ' r : ; ] f l . : ( i i l , . ¡ ; : l " . . .11; : ' i t . ' : . i ; . r :1 l i i ' - i ; . 5 ' - . r1 i , ¡ . : r . 51. ' l i : i l iar f i )e gl 1 ' l l i l lF ' i

t , , , , , , , , . , i . ; r , r l s : : r s i ¡ t l r icr ; t ¡ j i r r i , -1Lir i ' ¡ ig l , ' . . ' ' i¿ l 1; : i i i . icuir r . . i í i i , :3{ i I } : : - \ ' ( } j !c? ' o 5t¡ i e

. ¡ ! . i . t * { { : . ,1; i r , i i ; i i i : r i . l ¡ : i ! l i : r l i i : . r i : . ¡ : l f t i } i - l r : lÉi) ' . ' i : l : f r " P. . l r l t ; i .at i l .O, ¡- ¡ r iCt i ida Ct la Ui l

i i : i . i ; ; ' r ' r ¡ i l lagr-{ i ' t :ú ' . } ¡ i l ¡ r la¡r ta ul¡ ; : . . i i ,^ : ¡ : i . jad, , ' ' t ¡ ¡ ¡ ; , , r , rO a ¡ct t ¡¿r cíJ¡ : rc ie l lector d. :

I l . l r i icül¿t3 i :a;gad;s r) ] c: ' j t i r : t 3e . ' l - ' : r i ( ,n l t : ' i t r í Ier : t .c, c i i rcú r in e.{ptJc magriél ico"

Slste ¿feri 'o se usa ampiiamrrntc Lr¡ra coitl-¿iier gases itni;.ados o pl:rsmas.

En ia !ig. 15-10 se hil repiesentidc ctra l i[uar:ión, i)ri la que ull campo mag-

rrétiüo perpe¡rdicular a la piigina aurrenta de intensidad de derecha a izquierda.

También se ha indicado la trayectoria de un irln positivo inyectado perpendicu-larurente al campo; esta trayecilria está más curvada a la izquierda, donde ei

campo es más fuerte, que a la derecha, donde es más débil. La trayectoria no es

cerrada y la partícula avanza a través del campo perpendicularmente a la direc-ción e¡r que éste aumenta.

Un ejemplo interesante del movimiento de iones en un campo magnético esel caso de las partículas cargadas que inciden sobre ia tierra prevenientes delespacio exterior, las cuales constituyen parte de Io que se denomina ragos cósmi-cos. La fig. 15-1 1 muestra las líneas de fuerza del campo magnético terrestre.*Las partículas que inciden según €l eje magnético de la tierra no sufren desvia-ción alguna y llegan a Ia tierra aunque tengan energía muy pequeña. Las par-tículas que caerr oblicuameirte con respecto al eje magnético de la tierra, describenuna trayectoria.helicoidal, que puede ser tan cilrvada si las particulas se muevenmuy lentamente, que las mismas no ilegan a Ia superficie terrestre. Las que llegan

r En; 'eal i t l¿ i i , e l cainpo magnét ico que rur:ea la t i t ¡ ra preserr la ver ias anomalfas locales y rrnadisto¡sión glol ia i en i i iecciún opuesta al s¡ l , ias cualcs no se ven cn la representación esque-mát ica de la f ls . 15-r i .

15.3\

Ftg. 16-9. Trayectoria de union positivo en un campomagnético no uniforme,

G ¡r) tenso

Mauímienlo de una carga en un campo magnélico 521

Fig. 15-8. Trayectoria helicoidal deun ion positivo que se mueve oblicua-mente respecto a un campo magnéticouniforme.

Fig. 16-10. Movimiento plano de union arrastrado por un campo magnéticono uniiorme.

Interacción magnélica (15.3

É)nergia baja,aprclx i tuadalnente polar

Energfa al ta,aproxinadamente polar

Eje Electrónrotación atrapado

Electrónatrapad

Energla al ta,

(o entrante)

FtS. 15-11. Movimiento de partfculas cargadas de Ios rayos cósmicos en el campomagnético terrestre.

sobre el ecuador magnético experimentan la mavor desviación porque se muevenen un plano perpendicuiar al campo magnético; en consecuencia sólo las par-tículas que tienen mayor energia pueden alcanzar la superficie terrestre. En otraspalabras: la energía mínima que una partícula cósnica cargada debe tener parallegar a la superficie de la tierra, aumenta a medida que se va del eje magnéticoterrestre al ecuador rnagnético.

Otro efecto debido al campo magnético terrestre es la asÍm¿lría este-oeste de laradiación cósmica. No se conoce con certeza si las particulas cósmicas cargadasson preponderantemente positivas o negativas; sin embargo sabemos, sí, que lasparticulas de cargas opuestas sorr desviadas en sentidos opuestos por el campornagnético terrestre. Si en los rayos cósmicos el número de particulas positivasque llegan a la tierra es difercnte del de particulas negativas, debemos observarque ios rayos cósrnicos que llcgan a urr lugar dado de la superficie tenestre endireccjón cste del ce¡]it, t ienen rtna i¡:teilsirl*d dilerente a la de los que ileganen dirección oeste dei cenit. Lcs resultados errperimentaies eslán ampliantent* afavor de una mayoria de particulas cargadas positivamente.

Energía baja,aproximadamente

aDroxinradalnente \z

- u.u"toti¡t -,'/ \

\_:;:2- \

lIagnetÍco

15.4) Ejemplos d.e mouimienÍo de partlculas s23

Lss cíntt¡rones de radiacíón de Yan AIIen son otro ejernplo de la interacciónde partículas cósmicas cargadas, con e] campo rnagnético terrestre. Estos cintu-rones están compuestos de partÍculas cargadas rápidas, principalmente electronesy protones, atrapados en ei cer$po magnetico terrestre. Ei primer cinturón seextiende aproximadamente entre los 800 y lss 4000 km de la superficie de latiema, mientras que el segundo se extiende a unos 60.000 km de la tierra.* Fuerondescubiertos en 1958 por medio de aparatos que llevaba un satélite norteameri-cano Explorer e investigados por la sonda lunar Pioneer IIL Para comprendermejor cómo Ias partícnlas cargadas son atrapadas en los cinturones de Van Allen,consideremos, por ejemplo, un electrón l ibre producido por la colisión entre unátorno y uira particula cósmica a muchos kilómetros de la superllcie terrestre;la componente de la velocidad perpendicular al campo magnético terrestre haceque ei electrón viaje en una trayectoria curvada. Sin embargo, Ia intensidad delcampo es mayor más cerca de la tierra. EI resultado es un movimiento similaral mostrado en la fig. 15-10, desviándose el electrón hacia el este debido a sucarga negativa (para cargas positivas Ia desviación es hacia el oeste). La compo-nente de Ia velocidad paralela al campo magnético terrestre da lugar a un efectoadicionai, que hace que las partículas avancen en espiral hacia uno de los polossiguiendo las líneas de fuerza magnéticas, en forma similar a la mostrada enla fig. 1ts8. Debido al aumento de la intensidad del campo magnético hacia elnorte o hacia el sur, el radio de giro se hace cada vez rnenor, disminuyendo almismo tiempo la componente paralela de la velocidad, como se explicó en rela-ción con el efecto de espejo magnético de la fig. 1il9. Cada electrón alcanza unalatitud norte o sur determinada para la cual se anula Ia componente paralelade la velocidad; latitud que depende de la velocidad inicial de inyección. El elec-trón retrocede entonces hacia el polo opuesto. El movimiento resultante es porlo tanto un cambio de longitud hacia el este y una oscilación norte-sur en latitud.El movimiento se repite continuamente, quizás durante varias semanas, hastaque el electrón es expulsado del cinturón de Van Allen por una coüsión que ter-rnina con su condición de prisionero. Con los protones atrapados ocume unasituación similar.

75.4 Ejemplos d,e tnoairniento departlculas eargadaa enun earnlrornagnético

En esta sección ilustraremos varias situaciones concretas en las cuales un ionse mueve en un campo magnético.

(a) Espectrómetro de mdsas" Consideremos el dispositivo ilustrado en la fig. 15.12.Alü f es una fu.ente de iones (para electrones puede ser simplemente un filamento

* Hay bastante evidencia de que el cinturón interno está compuesto por protones y electronesprovenientes de la desintegración de neutrones quo han sido producidos por la inte¡acción de losrayos cósn.ricos con la atmósfe¡a terrestre, El cinturón externo consiste principalmente en par-tfculas cargadas enritidas por el sol. La actividad solar está asociada con un ar¡mento de estaspartlculas, y su tlesaparición del cinturón de radiación es la causa de la actividad auroral y delenmudecimiento rle las ¡adiotransmisiones,

524 Interacción maqnétíca {15.1

caliente) y ,Sr y 5" son dos ien.l i jas est¡echas ;.r i. i : 'o.,És de i ir-q ri lr ies pasari losiones siendo acelerarlos por lrr diLerc¡cui dc polelciai 'v' :r,ri icada enlre ambas.La veiocidad de sal ida c ie ics i i , l ¡ :s se c,¡ lcuia É p¡I i i i dt ia ec. i14.38i , ia cu¿r l da

uz:2 {A } u.\ in l

(15.8)

Hn ia región que esti i por rl:):ajrr ; lr: la:; renil: jrr hav un carcpo magnéticouniiorme dirigirio hacia el lectc¡'. I i , i i :¡ l ' jescribi:á cntcnccs una órh'ita circuier,*url'aiia cn un sentid{i G en otrr; srgúl sea el signr..: rie :;-r,l carga g. Después dedescribii una ser¡ricircunferencia jc: r¡¡nrs itrcrci.en sobre ¡ing placa fotográfica P,dejando una marca. EI radio ¡ de la óririta está dado p.or la ec. (15.5), de la cual,

Pl¿reafotográfic¿ 1)

FlS. 16-12. Espectrómetro de ma-sas de Dernpster. 1 es una fuente deiones. Las rendijas S, y Ss sirven decolimadores del haz de iones. V esla diferencia de potencial acelera-dora aplicada entre ,S, y Sr. P esuna placa fotográfica que registrala l legada de los iones.

despejando Ia velocidad u, obtenemos

v: Q cryr.m

Combinando las ecs. (15.8) y (15.9) para eliminar u, obtenemos

_g- : 2Vm

-- (larz,

(15.e)

(15.10)

que da la razón qlmen función de tres cantidades (V,(-tri, yr) que pueden medirsefácilmente. Podemos apiicar esta técnica a electrones, protones y cualquier otrapartícula, átomo o molécuia cargada. Midiendo la carga q independientemente,podemos obtener la masa de la partícula. Estos son los métodos que se men-cionaron anteriormente en la sección 14.5.

El dispositivo de la fig. 15-12 constituye rn especlrómet¡o de masos, porquesepara los iones que tienen la misma carga q pero diferente masa m ya que deacuerdo con la ec, (15.10), el radio de la trayectoria de cada ion cambia segúnel valor de qlm del mismo. Este espectrómelrr; particular se denomina espectrGmetro de rnasas de Dempslr, Se ira.n de-carrcii¡rdo otros tipcs de espectrómetrosde masíis, l.cdos basadcs en rl r¡¡jsrrc principro. l"os cirntif¡cos que usaban e::tatécnica, drrcubriercn err la década d-sl !(] que áisuros dei n.l isnrt¡ elenrento quimico

15"4) Ejemplos de mouimienlo de partículas 525

no tienen necesariamente la misma masa. Como se indicó en la sección 14.7, lasdiferentes variedades de átomos de un elemento químico, variedades que difierenen la rnasa, se denominan fso/opos.

El dispositivo experimental de la fig. 15-12 puede usarse también para obtenerel cociente qfm para una particula que se rnueve con velocidades düerentes. Seha encontrado que q/m depende de u como si q permaneciera constante y m vd-,riara con la velocidad en la forma indicada en la ec, (1,1.7), es decir, m:mol

/ | - vTF. Por lo tanto concluimos que

Ia carga eléctríca es un ínuarianle, siendo Ia misma para todoslos obseruadores en mouímíento relatíuo uníforme,

(b) Zos erperímenlos d.e Thomson, Durante la última parte del siglo diecinueve,hubo una gran cantidad de trabajos experimentales sobre descargas eléctricas.Estos experimentos consistian en producir una descarga eléctrica a través de ungas a baja presión colocando dentro del mismo dos electrodos'y aplicándolesuna elevada diferencia de potencial. Se observaron varios electos luminosossegún fuera la presión del gas dentro del tubo. Cuando se mantenÍa el gas dentrodel tubo a una presión menor que un milésimo de atmósfera, dejaban de obser-varse efectos visibles dentro del tubo, pero se observaba una mancha luminosaen la pared del mismo en el punto O directamente opuesto al cátodo C (fig. 15-13).Por lo tanto se hizo la hipótesis de que alguna radiación era emitida por el cátodo,la cual se movía en línea recta hacia O: de acuerdo con esto la radiación fue lla-mada rcyos calódicos.

Fig. 1ó-18. Bxperimento de Thomson para medir qlm. Los rayos catódicos (elec-trones) emitidos por C y colimados por A y A' llegan a la pantalla S después deatravesar una región en donde se aplica un campo eléctrico y uno magnético.

Los experimentadores añadieron dos placas paralelas P y P' dentro del tubo yaplicaron una diferencia de potencial, produciéndose un campo eléctrico C diri-gido de P a P', EI resultado de aplicar este campo eléctrico fue que la manchaluminosa sa rnovió de O a O', o sea en el sentido correspondiente a una cargaeléctrica negafivir. Esto sugirió que los rayos catódicos son simplernente una

ffil= i = : ::: : : : : : ::-- :: - - -

526 Interaccíén masnético. (15.4

la carga de cada particalcularse apiicando la

coniente tle partículas cargadas negativamente. Si qr escula y u su velocidad, la desviación d : OO' puedeec. (14.9): qf.aimuz : dlL.

La fuerza eléctrica sobre la partícula es qd y está dirigida hacia arriba. Supon-gamos que a continuación aplicamcs. en la misma región donde está C, un campomagnético dirigido hacia cl papel. l,a luerza magnética es, según la ec. (15.4),qflS .v está dirigida hacia abajo pt¡íi jue q e$ una carga negativa. Ajustando ?3e¡r fortna a¡rropiuda, podemcs irírr:er',t i ic la fuer¿a magaética sea igual a la eléc-i . i icu; egto da i ina rcsui tante nr¡ la. . ' i i i l r l¿nr 'hÍ- . iu¡nint¡sa vt¡elve de O'a 0, esdecir qire rio hay desviación de ios ¡a-"os catóriicos. [,¡rt,¡nres q€-: qfl3S v : (: ' ' lr.

l lsto perrtite nredir la ., 'etocidari dc ia ;:ari icula cargada. Sustituyendo este valor,. ie ¡¡ ün )a ec, (14.9), olrieneliros ia ¡'a¿ún qlm dt las prirtículas quc consti i.u,venirs rayos catódiccs,

qlm : iC|ü1.a.

ifste. íue u¡:o ire los priureros experiri lent.r clignos de confianza pa.ra rnedir qimv pi'cpi:r 'cicnri i¡rürectamente una irrueba de qrie ios rayos catóciicos consistetrn prartículas cargadas ne¡;ativamentr', l lamadas t: les-.trones desde entonces.

Estos y otrcs experimentos simiiares lueron publicados en 1897 por el f isicobritánico Sir J. J. 'I'homson (1856-1940), que invirtió muchos esfuerzos y tiempotra.tando de descubrir la naturaleza de los rayos catódicos. Hoy en día sabemosque los electrones libres presentes en el metal que constituye el cátodo C sonarrancados o evaporados dei cátodo como resultado del fuerte campo eléctricoapücado entre C y A, y son acelerados a lo iargo del tubo por el mismo campo.

(c) El cíclolrón. El hecho de que la trayectoria de una particula cargada enun camJ)o magnético sea circnlar, ha permitido el diseño de aceleradores de par-tlculas que luncionan cíclicamente. [Jna diflcultad con los aceleradores electros-táticos (descritos en la sección 14.9) es que la aceleración depende de la dife-rencia total de potencial V. Como el campo eléctrico dentro del acelerador es( : Yid, si V es muy grande, la longitud d del tubo del acelerador también debeser muy grande para impedir la formación de campcs eléctricos intensos queproducirir.rr el salto de chispas e¡ri.re los mal;eiiales del tubo de aceleración. Untubo de aceleración lnuy iargo prt 'senta, adtmás, varias dif lruitarles técnicas"Pr¡r ei contrario, en un act' leradcr cíclico una carga eléctrica puede recit¡ir unaserie de aceleraciones pasando muchas veces a trar'és de una diferencia depoten-cial relativamente pequeña. El prirntrr instruinento que trabajó según este prin-cipio fue el cíclotrón, diseñedo por ei físico norteamericano E. O. Lawrence. E,lprimer ciclotrón práctico comenzó a luncionar en 1932. Desde entonces nume-rosos ciclotrones han sido construidos en todo el mundo, teniendo sucesivamentecada uno mayor energía y mejor diseño.

Un ciclotrón (fig. 15-1a) consis|e esenciaimerte en una cavidad cil indrica divi-dida en dos mitades D, y D, (cada rina l lam¡da "tle" por su forma), la cual secoloca en un campo magrretico uil i lorme paralelo a su eje" Las dos cavidadesestán aislarias eléctricamente rina de oira. J:-n ¿-:l ce¡rtro clr: l espacio entre la.s "ties"se coioca r:na fuente Ce iones S v se aulica entre ias mismas una diferencia de

15.4\ Ejemptos de ntovímíenlo de partlculas 527

potencial alterna del orden de 104 V. Cuando los iones son positivos, son acele-rados hacia la "de" negativa. Una vez que el ion penetra en una "de", no expe-rirnenta fuerza eiéctrica aiguna, porque el campo eléctrico es nulo en ei interiorde un conductor. Sin embargo, el canrpo magnético obliga a los iones a describiruna órbita circular con un radio daclo por la tc, (15.5), r : mulfb, y una velo-cidad angular igual a ia frecuencia ciclotrónica de las partículas, dada por laec. (15.6), u : ()31m. La diferencia de potencial entre las "des" oscila con unafrecuencia igual a <¡. De esta manera la diferencia de potencial entre las "des"está en resonancia con el movimiento circular de los iones.

I l- l*l

Fie. 16-14. üomponentes básicos ieun cicloirón. La l i ¡ :ea de trazostnur 'st l 'a la t ra¡rctor ia dc un ion.

Despues que ia partícula ha descrito media revolución, se invierte la polaridadd* las "des" y cuando el ion cruza el espacio entre ellas, recibe otra pequeñaaceleración. La semicircunferencia que describe a continuación tiene entonces unradio mayor, pero Ia misma velocidad angular. El pr<.rceso se repite varias veceshasta que el radio alcanza el valor máximo R que es prácticamente igual al radiode ias "dcs". El campo magnético disminuye abruptamente en el borde de las"des" y la partícula se mueve tangencialmente, cscapando a través de una aber-tura conveniente. La máxima velocidad u-^* está relacionada con el radio Rpor la ec. (15.5), es decir,

f f :

l lGl I

t l

l i

fB

umáx : la\qgo.\ml

La energÍa cinética de las partículas gue emergen de A es entonces

E¡ : !muln6* -

tq (* ) .*o', (15.1 1)

i l i l l l l i l { . l l l ' - '. ¿1-----z/a.;-===-7..

/ , ' t ' . t - - , f , 'n

y'---

-l-i\)*-':-::-íi,

528 | nteracciótt tnaqnélíca (15.4

Y está determin: lCa por l : is c l t r ; t t " t r í5r-rc ls i j t ' i : ' pí t l ' i ; " ' ; :1, i : r i i r t ' r ' : t ls i t la¡ l dei cam¡lo

niagnético y el radio <lei ciclot.r ixr, [-1i] iu r 's inr lcl tr- ' l t ¡1:r: i i tc t i .- i ¡rotencial aceierador.

Cuando la ¡ i i ferenci¿r cle ¡rotcrr: . : : i l i { is pc(l( i i j I l ¡ i : r puri . i r . :rr i i l Liene qite dar muchas

vueltas irasta aciqui l i r la ener,gla i ;rr l t l ; cr i¿trrÚí) cs gl irr tde sÓlo se requieren unas

pocas vuel tas para ar iquir i r la i ¡ l is l l . t cn*r¡ i t { r .

La intensidad del campo niagneiico rrstr i l i ¡ i i iLarla por lactores tecnoiógicos,

tales cr¡mo la disponibi l idad , le ntatr:r i¿.. ics c¡rrt ias propiedarles requeridas, pero

en principio, potlemos acelerar i : l ¡r ; i r1.ír-¡r l i¿1 i i i tsta cualt luier energía, construyendo

irnales r le radio suficienternente grtrnt i t ' . Sin c:rnbargo. cuanto mavor es el imán,

rr layL)r es el peso v el costo. Aric¡ l i¿is. a t tedi i lu que ia trnergia autnenta, también

aumenta la velocidad dej ion, co¡l i l i ;ur, ' r :ambia la, rnasa de acuerdc con la

ec. { i1.7), m: n¡y ' l - - r ; ¡ f . L l ta ' r , i ¡ i r energÍa es muY grande, la var iaciÓn

tle niasa cs suflciente como para ql,c cr.tnbie ¡preciableinente la frec.uencia ciclo-

t i : .ó¡r ica C*l i ,¡ ,n. En conse i :uencia, a r1.) sirr í ]¡ . !r t se cambie la lrecuencia ciel potcncial

r:léct¡:ico, la rir!:iLa de la ¡rartirulil \::-¡ !lo tsllr¿i €n fasc con el potencial oscilante

_1: na será accier:t<.1a. Es por esio i i r j ' . i t : l r r i i ic ict lór: la r:nergía cstá l imitada por

ei electtr r¡ lat i l ista ssbre la rnasa.

EJEM7LO 75.:] . El ciclotrón de ia Universided de Michigan t iene piezas polares

con. un diámetro cle 2,1 m y un radio de extracción de 0,92 m. El campo magnéticomáximo es )J : 1,5 T y la máxima frecuencia alcanzabie por el potencial acele-rador osci lante es 15 x 106 Hz. Calcular la energia de los protones y de las par-

t lculas d que se producen, y Ia frecuencia ciclotrónica de las mismas. Teniendo

en cuenta la variación relativista de la masa, ¿cuál es la diferencia porcentual entre1as frecuencias ciclotrónicas en el centro y en el borde?

Solueióm: Usando la ec. (15.11) con los valores de la carga y de la m&Sa correspork

dientes a los protones y a las partfculas alfa, encontramos que las energías cinéticasde ambos están dadas Por

E¡:1,46 x 10-rrJ:91 NIeV.

La lrecuencia ciclotrónica de Ia partfcula alfa es aa:7,2 x 107 s-1, que corres-ponde a una lrecuencia vo : roof2n : 77,5 x 706 Hz, que está dentro del alcancede la frecuencia máxima de la máquina. Para los protones encontramos el doblede esta frecuencia: '22 x 706 Hz. Esta es la trecuencia con que el potencial api icadoa las "des" debc variar; pero como la máxima frecuencia del ciclotrón es, por cons-trucción, 15 x 106 Hz, esta máquina no puede acelerar protones hasta la energlateórica de 91 MeV. ' Iomando la máxima frecuencia osci latoria, tenemos que

o¡¡:9,4 x 10? s-1. El 'campo magnético correspondiente a la resonancia ciclotró-nica es 0,98 T y encontramos que la energfa cinética de los protones está l imitadapor la frecuencia a

p, : lmvz : lmtorRt : 0,63 X 10-1r J : 39 MeV.

A una energfa E : nTocz t E4 la masa de la partlcula es

m:Elcz:moiEt lcz,

de modo que Erfcz es la variación de masa. f)e la ec. (15.6) deducimos que la fre-cuencia ciclotrónica es inversamente proporcional a la masa, por lo que, si o Y ooson las frecuencias correspondientes a las masas m V mo de la misma partlcula,podemos escribir co/oro : mofm, ó

_@o _ _ rfl_nlj- : _ __E:l!,_ : _ E* _

06 m mt, * Erfcz mocz ! Et

1s.4) Ejemplos de mouímiento de partlculas 529

El primer miembro da el cambio porcentual de la frecuencia ciclotrónica y el se-.gundo el de la masa. Para energías relativamente bajas podemos despreciar en eldenoniinador la energia cinética E¡ frente a mocz; poniendo A<¡ : <¿ - oo, obtenemos

A<¡ Et

; : - -^,ü

Por lo tanto, mientras la energla cinética de las partÍculas sea pequeña comparadacon su energía en reposo, la variación de frecuencia será muy pequeña. En nuestrocaso tenemos: para partfeulas alfa, Acof<o : - 0,024 : 2,4oA, y para protones,A<o1<r - -0,0.12 :4,2o/o.

Los resultados obtenidos en este ejemplo indican también que, como los electro-nes t ienen una masa en reposo alrededor de 1/1840 la del protón (sección 14.5),la energía cinética hasta la cual se pueden acelerar (sin apartarse apreciablementede su frecuencia ciclotrón¡ca) es también 1i1840 la de los protones. Es por estarazón que no se usan ciclotrones para acelerar electrones.

El efecto relat ivista sobre la masa puede corregirse, sea cambiando el campomagilét ico de modo que a cada radio el valor de ( ' permanezca constante a pesarde la variación de la masa, o cambiando la frecuencia del potencial aplicado a las"des" y manteniendo el campo magnético constante mientras la part lcula gira enespiral, de modo que en cada instante haya resonancia entre el movimiento de lapartfcula y el potencial aplicado. El prlmer diseño se denomina sincrotrón y elsegundo sincrociclotrón. Un sincrotrón puede funciona¡ continuamente, mientrasqr¡e un sincrociclotrón funciona a chor¡os por Ia necesidad de ajustar la frecuencia.Algunas veces, como en el sinc¡ol¡dn prolónico, se varlan tanto la frecuencia como elcampo magnético para mantener constante el radio de la órbita.

EJEMPLO 75.4. Estudiar el movimiento de una partfcula cargada en camposmagnético y eléctrico cruzados.

Solución: En los ejemplos dados anteriormente en este capltulo, hemos consideradosolamente el movimiento de una partfcula en un campo magnético. Examinaremosahora el caso de que haya también un cam-po eléctrico, por lo que debe usarse la ec.(15.2). Consideraremos sin embargo una si-tuación especial: cuando los campos eléctricoy magnético son perpendiculares, como semuestra en la fig. 15-15. La ecuación demovimiento de la partlcula es

dtt

^i :q( f+ox.I l ) .

Hagamos una transformación de Galileodel sistema XYZ a otro sistema X'Y'Z' quese mueve con respecto al anterior con velo-cidad relativa

Cxlgao: -$-

Luego, si rr: 'es la velocidad de Ia part lcula respecto a X'y'Z', podemos escribirtr : o' * oo y doldt: da' ldt. Por lo tanto la ecuación de movimiento puede escri-birse conro

* #-:

q(C + u' x 'lJ -i- .ro r 'B).

z'Xxr

: Ur -7a.Figura 16-16

530 Interacción magnélica (15.5

Peroco")J:(uz€l ' i3)xut)--rcyd-:--( : .Entoncirs,elpr i rneroyclúl t imodeIa ecuación precedente se cancelan y Ia ecuación de rnovin¡iento en cl sistemaX'Y'Z' CS

do' : oÜ' x ]).dt

Vemos entonces que, con respecto a X'Y'Z', ' : l movimiento es como si no hubieracampo eléctr ico, Si Ia partícula se mueve inicialmentc en el plano XY, su movi-miento en el s istema X'Y'Z'€s una ci¡cunferencia de radio r : rnu' lq:B, descr i taccn velocidad angular c) : -- q')), |m. Corr respecto a X\ '2, esta circunferenciaavanca según el eje X con velocidad uo, resultanrlo alguna de las trayectorias quese rnuestran en la f ig. 15-16. El proc)eso se re¡r i te en una distancia úoI> :Zruofa.Si 2rruol<r : 2trr, o sea si r : ucla, la traycctori : ,¡ es la r icloiCe ttormal, seiralada (1).Pero si 2rttolaS2rr, o sea si ¡ i roi 'új , s.r obtienen las trtveclór ' ias (2) o (3) correspon-rl ientes a cicloides largas o cortas. Si la partÍr:ula cargacla t icne inicialmente unacornpr-)nentc de ia velocir lad paralela r l €je Z', les trarl 'eclorias representadas cn laÍ ig. 1í '-1t i se alejan rJel piano X-v- a velocidarl constani.e,

I

i 2rr¡ IF_____- r___-.. ____-*l

* ig. i i"1{ ' i . 'J lra-vtr: tori ;¡s i¡r i¡ idales r ie i ;rra partf cuia respectozi r. .hsrr- ia¡ lO¡ G. ( i l j ¡ : : : L?0,(ü, i . : . ' ] r . t i r ,¡rr,". { ,3} r { ¿ro, lo.

F.ste r jem¡:lc revela un a-specto int-e:¡sr¡nte: l l l ient,fa-s i lue el observa-dor qlre usaei sistcnia { Y? observa lanlo ul c: l¡¡ iro eléctr ir :r ; rcmo uno magnético, el obser-vadt l r que usa el s istr¿ma X' \"2 ' que se tni levc respecto a XYZ, observa ei movi-nrienlo de la part. icuia cargada correspondiente a un campo magnético solo. Estosugiere gue los campos eléctr ico v magnético dependen del movimiento relat ivodel observadoi. Es esta una cuestión muy importante que se considerará con mayordetal le en la sección 15.12.

75.5 Fuerza m.agnética sobre una carriente eléctríca

Como se explicó en la sección 14.10, una coniente eléctrica es un chorro de cargaseléctricas que se mueven en el vacío o a través de un medio conductor. La inten-sidad de la corriente eléctrica se ha definido como la carga que pasa por unidadde tiempo a través de una sección del conductor. Consideremos una sección trans-versal de un conductor a través de la cual se están moviendo partículas concarga g y velocidad o. Si hay n partículas por unidad de volumen, eI númerototal de partículas que pasan por la unidad de área en la unidad de tiempo esno, y la densídad de corcíenle, definida como la carga que pasa a través de Iaunidad de área en la unidad de tie¡npo, es el vector

j : nqo. (15.12)

,r"r----'

15.5) Fuerza rnagnétíca sobre una corriente eléclrica 531

Si S es el área de la sección dcl contLuctor perpendicular a j, Ia ccn'iente es el

escalar

f : jS:nqus, (15.13)

Supongamos ahora que el conductor está e¡r un campo magnético. La fuerza

sobre cada carga está dada por la ec. (15.1) y, como hay n partÍculas por unidad

de volumen, Ia fuerza f por unidad de uolumen es

f :nqoxct l : i * 'n. (15.14)

La fuerza total sobre un pequeño volumen dV del medio es dF : f dV : i x 'l) dV,y la fuerza total sobre un volumen finito se obtiene integrando esta expresiónsobre todo ese volumen; es decir

o:J ' ' r jx . '1dv.(15.15)

Consideremos ahora el caso de una co-n'iente en un alambre o filamento. El

elemento de volumen dV es (fig. 15-17)

S dl por lo que la ec. (15.15) da

F:f J* 'v lsat^ J Filamento

Ahora bien, j : jr.4r, donde ilr es el vec-

tor tangente al eje del filamento. Se tiene

entonces

F : I (iur) ' ctrs d¿ : J 0", ur x cI) dI- (15.16)

Pero jS - I, y la intensidad de corriente / en el alambre es la misma en todos

sus puntos por la ley de conservación de la carga eléctrica. Por lo tanto la fuerzamagnética sobre un conductor por eI que circula una corriente es

F:I Iur" 'Bat. (15.r7)

Como ejemplo, consideremos el caso de un conductor rectilíneo colocado en un

campo magnético unüorme % (fig. 15-18). Como tanto ?¿r como cB son constantes,podemos escribir

F:Iuz'* | l5Jat,

o sea, si L : dI es la longitud del conductor rectilíneo,

F : ILur x':}.3.

El conductor está sujeto a una fuerza perpendicular a él y al campo magnético.

Este es el principio sobre el que se basa el funcionamiento de los motores eléc-

Flgur¡ 16-1?

<29 Interaccíón magnélica

. f is . 1í"18. I le lación vector ia l ¡ t i t rela {r,¡erza magnética sobre un r:ontluc-lor por el r¡r. le t : i rcula una corr icnt.e,el carrrpo magnéticcr ¡. ' la corr ientc.La fuerza cs ptrpendieular ai p)anotrue colitiene ur Y I),

(15.6

rQr ! -\L-,/

I

lp

Fig. 1ó-19" ' iorgue rnagnét ico sobre uncircri i t<r eléctr i t :o rectarrgular colocado en uncamp(! rnagnético. El torque es cero cuandoel plano del circuito es perpendicular alcarnpr) ¡nagnéiico.

tr icos. Si 6 es el ángulo entre c! cc,nductor y el canlpo nlagnético, e! lnóduio deIa fuerza .F es

F : l I lJ sen 0. (15.18)

La fuerza es sero si el conductor es paralelo al campo (0 : 0) y máxima si esper¡rendicuiar a él (0 :

"12).El sent ido de la fuerza se encuentra apl icando la

regla de la mano derecha, como se muestra en la l ig. 15.18.

75.6 Torrlue rnagnético sobre u,n& eomiente eléctrica

Podemcrs aplicar la cc. (15.18) para calcular el torque debido a Ia fuerza que uncampo magnético ejercc sobre un circuito eléctrico. Para simplif icar, considere-mos en primer lugar uu circuito rectangular con una comiente f, colocado demodo que la nornral a¡ al plano quc lo contiene (orientada en el sentido queavanzü un tornil lo derecho iotando en el seut.ido de la corriente), foruia un án-gitlo I con el c¿rrnpo ')9, y rlos lados del circuito son perpendiculares al campo({ ig. 15-19). Las fuerzas.F'que act i ran sobre los lados L 'son de igual módulopcro direcciones opuestas; t ienclen a delornrar el circuito pcro no dan lugar aun trrrque. I -as fuerzas I 'sobre Lts lados L t ienen módulo F : I ) )L y const i tuyenun par cuyo blazo cs L'st'n 0. Protlucen pues sobre el circuito un torque de

15.6)

módulo

Torque magnético sr.tt¡re Ltna coniente eléctrica SJS

t : (I '))L)(L' sen 0).

Siendo LL' : S, donde S es el área del circuito, se tiene r : (1$:/l sen 0. Ladirección del torque, siendo perpendicular al plano del par, es según la recta Pe.Si definimos un vector

M: ISUN

normal al plano del circuito, podemos escribir el torque r err la forma

t : M'13 sen 0,

o, en forma vectorial,

t :M x(11.

(15.1e)

(15.20)

(15.21)

Este resultado es matemáticamente similar a la ec. (14.50), que da el torquesobre un dipolo eléctrico, debido a un campo eléctrico externo. Por elio, la can-tidad .lPf definida en la ec. (15.9), que es equivalente a p definido en la ec. (15.49),se denomina momenlo dipolar nrugnétícode la corriente. Notemos que según la ec.(15.19), el sentido de J}f es el de avance deun tornillo derecho que gira en el mismosentido de Ia corriente, o sea el sentido queda la regla de la mano derecha como semuestra en la fig. 15-19.

Para obtener la energía de una corrien-te en un campo magnético, aplicamos elrazonamiento inverso al usado en Ia sección14.11 para pasar de la ec. (14.49) a la(14.50), encontrando que la energía poten-cial de la corriente colocada en el campomagnético '/J es

Ep:- M:D cos 0: - M. ' .1J. (15.22)

Aunque las ecs. (15.21) y (15.22) se hanobtenido para un circuito rectangular conuna orientación particular en un campomagnético uniforme, una discusión mate-mática más elaborada demuestra que son de validez general. Supongamos,por ejemplo, que tenemos un circuito pequeño de cualquíer forma, cuya área es S(fig. 15-20). El momento dipolar magnético llI del circuito está aún dado porla ec. (15.19), y el torque y la energia potencial cuando se coloca el circuito enun campo magnético están dados por las ecs. (15.21) y (15.22).

Usando Ia ec. (15.22), la unidad de momento magnético se expresa normal-mente en joules/tesla ó J T*1. En función de las unidades fundanrentales esm2 s-l C, de acuerdo con la definición (15.19).

-Fig. 1ó-20. Relación entre el mo-mento dipolar magnético de una co-rr iente eléctr ica y el sentido de lamisma,

(Ls.6

(b)

Ftg. 1ó-91. tal Colpor,*ntes básicos de un galvanómetro de bobina móvil . (b) Vistasuperi. .rr del gaivanómetro mostrado en (a).

EJEMPLO 75.5, Discusión de los instrurnentos de rnedición de corrient-e tales comolos galuanómel¡os. En la f ig. 15-21 se i lustra un diseño simple. La corr iente a medirpasa por una bobina suspendida entre los polos de un imán, En algunos casos labobina se enrolia sobre un cilindro de hierro C. El campo magnético produce untorque sobre la bobina rotándola un cierto ángulo. Establecer la relación entreeste ángulo y la corriente que pasa por la bobina.

Sotuclón: Sea S el área efectiva de la bobina (número de vueltas x sección de labobina). El torgue producido por el campo magnético, ec. (15.21), tiende a colocarla lobina perpendicularmente al campo, retorciendo el resorte Q. La bobina adoptauna posición de equilibrio rotada un ángulo ¿ cuando el torque magnético es com-pensado por el torque elástico ka del resorte, donde /< es la constante elástica deéste. Una aguja flja a la bobina indica el ángulo a. Las piezas polares tienen la formaque se ilustra en la figura, para que el campo magnétieo entre ellas y el cilindrode hierro C sea radial, como se muestra en la vista superior del instrumento, fig.15-21b. De este modo el campo 'R está siempre en el plano del circuito y en laec. (15.20) 0 es r l2 o sea sen e : 1. El torque es entonces t : fS.13, ya que ¡14 : IS.En el equi l ibr io, cuando el torque debido al campo magnético es compensado porel torque debido al resorte, se t iene 1S'8 : kc, de donde I : kslS%. Si se conocenk, S y ?3, esta ccuación da el valor de Ia corr iente en función del ángulo a. Normal-mente Ia escala se cal ibra de morio que pueda leerse f en alguna unidad conveniente.

EJEMPLO 15.6. Motnento magnético correspondiente al movimiento orbital de unapartfcula óargada, tal como un electrón girando alrededor de un núcleo atómico,

Soluctón: Consideremos una carga q que describe una órbita cerrada la cual, parasimpli f lcar, podemos suponer circular. Si v : o/2n es la frecuencia de su movi-miento, la corr iente en cada punto de su trayectoria es f : qv, puesto que siendov el número de veces por segundo que la carga q pasa por el mismo punto, qv es lacarga total que pasa por el punto en la unidad de t ienrpo. La corr iente t iene elmismo sentido de la velocidad o el opuesto, según g sea posit iva o negativa. Apl i-cando entonces la ec. (15.19), encontramos qur el momento rnagnético orbital t lela carga es

t I - (qvi(rrz¡ : ( H )

( r r2) - - lqa,r¡ . (15.23)

i

O, en forma

15.6) Torque magnético sobre una corñente eléctrica íBs

De acuerdo con la regla dada anteriormente, su dirección, que depende del signode g, es la que se indica en la flg. 15-22. Por otro lado, si m es Ia masa de la par-tlcula, su momentum angular orhital es, según la ec. (7.33),

L:mar:m<orr.

Comparando las ecs. (15.23) y (15.24), encontrainos que

u : -!-.u2m

vectorial,

m:9 z.2m

En consecuencia ilt y f, tienen el mismo sentido o sentidos opuestos, según gue lacarga q sea positiva o negativa. Un electrón tiene g : -e y ¡n: nic, resultando

M¿: -# L.

Un protén tiene q : + e y ^: ^n,

por lo que

(15.28)

(1ó.24)

(15.25)

(15.26)

q negeüve

Flg. 16-92. Relación vectorial en-tre el momento dipolar magnéticoy el momentum angular de unacarga describiendo una órbita ce-rrada.

l"lu

-l--\vq po3iüv¡

*r : * ,

(75.27>

Si suponemos que la carga eléctrica está gi-rando sobre sl misma alrededor de un diámetrodel mismo modo que la tierra gira alrededorde su eje, tiene, además de su momentumangular orbital ¿, un momentum angular in-terno S, llamado espfn. Debe haber un mo-mento magnético asociado con el espfn S, yaque cada elemento de volumen de la cargaque gira se comporta de la misma maneraque la carga g en la flg. 75-22. Sin embargo,la relación entre el momento magnético y elespin no es la misma que la relación (15.26),porque eI coeflciente por el que hay que multiplicar el momentum angular deesptn s para obtener el momento magnético correspondiente depende de la estruc-tura interna de la partlcula. Es útil escribir el momento magnético debido al es-pln en Ia forma

lrrs :.t 2^L ",

(r5.2e)

donde el coeficiente 1, llamado laclor giromagnético, depende de la estructura de lapartlcula y del signo de su carga. Combinando las ecs. (15.26) y (15.29), obtenemosel momento magnético total de una partlcula de carga i e que recorre una órbitay $ra sobre sf misma,

*:+(+rfys). (15.30)

El signo rnás (menos) delante de Z conesponde a una partlcula cargada positiva-ment€ (negativamente). Aunque el neutrón no tiene carga eléctrica y por lo tantono origina un *-romento magnético orbítal de acuerdo con la ec. (15.26), tiene un

536 Interac:íón nagnétitu

f;::il:u]_r ;

p:;-" : : i t . { t ! l

¡r1. r i ,_ri

j - , i I 'c ,*r ; : t r ¡ ñtagni l l ' : { . ' : } L¡¡ i .aL l i , . ' l r ;4" j t l ' " r r

i ; i I i ; .2t¡r 1 l i ' - ; l l t - , r t : t ; l ¡ : i l t . r ; r . ' ; r . l ' j l :1: : , j ' r : l

r : { ¡ ¡ : : r ia j i i , Aná.1i l9¡ i ; le¡ l i r ' . e l hafr ! l r l '11! : : ; i i : :

* l t * l r ' i : r i : : Ct i :a , : ¡ i :e l : ¡ e l tm!;uJ: ' i i1:1í- ' j ' . : : l i l i

Fig" L5-93" F;l iorqtre ñagnr;t ;ci l ¡ 16'i :a ' . .n3 r '?. i1 lc: l ia c i ) .F.a '1. : u i l : t t r ' ' . ¡ -

r t i ic i " . i . ¡ ¿g ;rc¡ t r ¡ ' ¡d i¿i : lar +i I }1 j r , f ! : ) ' :u in

a:rgr--1ar l " i lc Ia per l . Ícuia ¡-c i c i i r ; ; l ; :

magirútico ?i.

: i i : ' i : : ,

( ró.6

i l i r i -c.t ig gue sigue se

-1 l i i ; I

; ' . : , f l i r .1: j , ; :1;r l

' , : . , ; , : i i r , r i . r , i r r ¡ - i ¡ . ¡ ¡ t . l i j ) . : l t l j g, i ¡ i , ) lLrr- i' i - - ; ' . ; - i i i ; r i r i r . : : : : ; i ¡ j i l l egt l i ¡Ci- l l ia in i l . i iAi , , ¡ , r le: ; ' ,1: .1 ót : 1{e ; i c i fe ¡ '€ i ¡ te a ia r i r i

, j r rot i , , ; i { : i , ' j l tcre¡: i "¿ s l i " , ¿ir :1. e ieci . : i ,n.

/-.\' { \ . - t*i ' 't ' l ln--

'*-t --,r,¿:^ -*-"--*Cci \ i \ , / (B

\ i\. ,,

.:r) r¡ positiva

-;-

t--E.**u_;

! : , lnktf ' } ' t i ] tr5.?, i ' r :rque ; ' ei ier¡; ia dr". i ;¡ :¡- i ¡a¡l !rr:L* r jar¡, ;a, la que s¡i mile"re c:n ün3l ( jgrún (¡on\ ie l ia¡ t tn cal¡ i l - i , ' ¡ ' ; ' ; r , r i i ,

Sotueéón: Suptingamos que se rolo.:- i :¡ i - lart i i :ul¿r del cj t trnpk; ant€ri(r¡ ert un camponragnót ico uni for¡r l r ( t ig. 15-23i . Em,i ;e.r¡)C{) ia¡ ; ¡ :cs. (1 i j .21) v (15.26) encontra¡nosque €l torqr,re ejeir: i t lo si ;bre la par. i ict i i ; es

t : -n Í , \ n.=--- -3 i lx ; , ,2m il¡ri

{ .r) i ? negativa

Fic. l5-2d. Frccesi t in dei mcmert tumir-gir i ; tr .Je i ,rna part-ícula. car6,a.da al ie-.Jecit i¡ deJ ct i¡rpr.¡ nagnético.

(1 i .3r)

en tiirecc.ién ¡erpe:ldic.rilar i1 J; v i, .¡j il1;i. i{,¡qug t-i¿nrit r. cambia-r el momel¡l"i-;rnangui;-r ori : ; i i ¡ l L t ie la parl- i :r i ia Crr a. ' t ;r ' i i ' : r- ' ¡ , ' : ¡ ' l t ec. i?.33), dr ' l i í .- c. Deti¡ iendo{2 - ^ (1i)m) t1, que rs la r¡ ' i lad ct: ! :r . i , .^:;r . ; ' , t l ¡ i l ic lui¡"t ' ' i l i i :a ' . lada por la ec, { l :} .7),terrr 'nr¡rs prlra el lorque r l i id. i : p<;; :- c:. í i I : . .-1,, i ,

N:Qxfu. (15.32)

-_-_

Esta ecuacién es similar a la ec. (10.29) correspondient.e ai movimiento del giros-copio, por Io que en este caso se t iene el rn ismo t ipo dc precesión al l í estudiado.En el capitulo 10 la precesión se debía al torque producido por la interacción gra-vitacional; aqul se debe al torque prolucioo por la interacción rragnóiica. La fre-cesión de /, alrededor de )J prcduce una rotación de Ia órbita de la part icula. Enla f lg. 15-24 se ha indicado la dirección de l) : 'el sentido de precesión para unacarga positiva y para una negativa.

La expresión (15.32) es vál ida solamente para una part lcula sin espfn. si la par-tfcula tiene espÍn, el análisis es algr: más complicado, por lo que lo omi'-iremos.

Podemos obtener la energía de una partrcula que se mueve e¡: una órbita d.entrode un campo magnético combinando las ecs. i15.22) y (15.26); resulta

E,:- ;^L.E:e-L.

15.6j Torque magnétíco sobre una corúenle eléctrica 5J7

(15.33)

Si la partfcula t iene espfn, usamo$ paia el momentc tnagnético la ec. (15.30), ob-teniendo

Ep: -#ro¿ i Ys) 'D'

Estos resultados son muy importantes para ayudar a comprender el comporta-rniento de un átomo o de una molécula en un campo magnético externo, temade interés tanto desde el punto de vista teórico como del experimental. por ejem-plo, cuando se coloca un átomo en un campo magnético externo, se perturba elmovimi.ento de los electrones y la energla varfa de acuerdo con Ia ec. (15.34).Cuando se compara esi.e valor teórico de .Ep con los resultados experimentales, seencuentra que las componentes Z de los momenta angulares orbital y de espfnestán cuantizados; es decir, L, y S, pueden tomar sólo ciertos valores que seexpresan en la forma

L" : mtñ, St : ttuh,

Conde la constante h : hl2¡c: 1,05 x 1C-s4 J s. Esta constante fue introducidaen la sección 14.9 al discutir el movimiento orbital de los electrones, y ñ es la cons-tante de Planck. Los valores posibles de m¡ son 0, * 1, *2, + 3, . . . , mientras![u€ rzu puede tomar solamente dos valores, + t ó - ] . El número m¡ se denominanúmero cudntico magnético del electrón, mientras eu€ /nr es el número cudntico deesp[n. Para ]os neutrones y los protones se obtiene un resultado análogo, Por esarazón se dice que e! electrón. eI protón y eI neutrón tienen espín |.

Por otro lado, eI momentum angular orbítal L tambíén estd cuantízado, pudiendotomar solamente los valores dados por

L:[4¿;10¡,

donde / :0,1,2,3, . . . es un número natural que se denomina número cudnt icodel momentum angular, Como L" no puede ser mayor que I,, concluimos que losvalores de mr no pueden pasar de /, es decir

mt:0, * 1, + 2, . . . , + (¿- i ) , + ¿.

Por lo tanto, para Z : 0 sólo es posible mt : O. Para I : 1, podemos tener mt : O,* 1, y asf sucesivamente. Por otra parte, como el número cuántico de espln tienesolamente un valor, hay un único valor para el momentum angular de espins:/+t++r lh: tYzpn.

El hecho de que para un valor dado de I sólo ciertos valores de Z, son posiblesimplica que I, puede tener solamente ciertas direcciones en el espacio ( l ig. 15-25a).En la sección 14.7 esto se denominó cuantización espacial. En el caso ciel espÍn,colrro rrr¡ t iene sólo dos valores posibles ( + á), concluimos que S puetle únicamente

(15.34)

538 I nteratctón magnética. (15.7

s,: -;{4

- ,=- i

\4.,t ( l ,)

FIg. 16-25. P_osibles orientaciones (a) del molgentum angular conespondlente aI : 7, L : l t rh,y (b) del espfn s : l , S :<y- 'p)n.

estar en dos direcciones respecto al eje z, que generalmenie se denominan h¡ciaarriba ( f ¡ y hacia abajo ( { ). En Ia ng. 15-r5b Je muestran las orientaciones p6r-mitidas del espfn.

75.7 Campo rnognético producido fror una eorriente eerrada

Hasta ahora hemos dicho que nos damos cuenta de la presencia de un campomagnético por la fuerza que produce en una carga en movimiento. Tambiénhemos nombrado ciertas sustancias que en su estado natural, producen un campomagnéticc. Examinemos ahora con mayor detalle cómo se produce un campo mag-nético. En 1820, el físico danés Hans c. oersted (1277-1851), notando la des-viación de la aguja de una brújula colocada cerca de un conductor por el quepasaba una corriente, fue el primero en observar que ana corríenle eléctrica pro-d"uce un campo magnétíco en el espacio que la rodea.

Después de muchos experimentos que varios físicos hicieron a través de losaños usando circuitos de formas diferentes, se ha obtenido una erpresión generalpara calcular el campo magnético producido por una corriente cerrada de cual-quier forma. Esta expresión, ilamada ley de Ampére-Laplace, es

'R: K^I { rit or, (15.35)

donde el significado de todos los simbolos está indicado en la fig. 1b-26, y laintegral se extiende a todo el circuito cerrado (es por eso que se usa el símbolo f),En la expresión anterior, Kr,. es una constante que depende de las unidades que

s- - ]L'¿- 2

t r " : i

ItII

hlT

s=¡/\iDñ

1é.8) Gampa magnético de una corriente rectíltnec 539

se elijan. En el sistema MKSC se ha acordado (ver rrota después de la sección 15.9)que Ko : 10-? T m/A ó m kg C-2. Debemos notar que Ia integral de la cc. (15.35)se expresa en m-1 cuando r y I están en metros. En consecuencia

,lt : Lo-1l 6 u'

?u' at (1b.36)Jrz

Es costumbre escribir Knt : ¡,o/42r, donde po es una nueva constan_te llamadapermeabílídad magnética del uacío. La expre-sión (15.35) de la ley de Ampére-Laplace seescribe entonces

(r5.37)' r :#,{94!r0, ,

y en el sistema MKSC de unidades

po :4n x 10-7 m kg C-2 :

: 1,3566 x 10-o m kg C-2.

Flg. 16-26. Campo magnéticoproducido en un punto P poruna corriente eléctrica.

(15.38)

Como una corriente eléct¡ica es simplemente un chorro de partículas cargadasque se mueven en la misma dirección, llegamos a la siguiente importante conclu-sión que sigue:

eI campo magnélico, g por lo tanto Ia inleraccíón magnética, es pr>ducido poN caryas eléctricas en mouimiento.

Para ilustrar eI empleo de la ec, (15.37), la aplicaremos al cálculo del campomagnético producido por corrientes de formas simples.

15.8 Campo rnagnético de una corriente rectillnea

Consideremos una corriente rectillnea muy larga y delgada, como en la fig. l*22.Para cualquier punto P y cualquier elemento de corriente dl, el vector ttt x u.es perpendicular al plano determinado por P y la corriente, por lo que es para-lelo al versor u6. El campo magnético producido por dl en p es entonces tangentea la eircunierencia de radio R que pasa por P, tiene su centro en la corriente yestá en un plano perpendicular a la corriente. Por lo tanto, cuando realizamosIa integración indicada en la ec. (15.37), todas las contribuciones del integraltienen la misma dirección que ?ro y el campo magnético resultante es tambiéntangente a la circunferencia. Se necesita entonces solamente calcular el módulode cts. El módulo de ur x ?¿¡ es sen 0 por ser ua y 14 versores. En resumen, parauna corriente rectilínea podemos escribir el módulo de la ec. (1b.32) en la forma

(15.3e)%: *rJ-_s*d¿.

*--

540 (1ó. E

(15.40)

(15.41)

if l

I

)¿ - l '01

o, en forma;,*f"

B:#"".

FIg. 15-2?. Campo magnético produ- Fig. 15-98. Lfneas de fuerza magnéti-cido en un punto P por t¡na corriente cas alrededor de una corriente recti línea.rectillnea.

Dela f igura se deduce {üer : R cosec 0y I : -R cotg 0, de donde dI :Rcosecz 0d0. Sustituyendo en la ec. (15.39) resulta

,, :# tJ; F##r (R cosecs odo) - ff, fi sen o do,

donde I - - 6 colTespo¡rde a 0 :0 y / : -| € a 0 : r. Luego,

El campo magnético es invetsamente proporcional a la distancia .R y las l ineasde fuerza son circunferencias con centro en la corriente y perpendiculares a lamisma, como se muestra en la fig. 15.28. En esta figura se indica también laregla de la mano derecha para determinar el sentido del campo magnético conrespecto a la corriente, El resultado (15.a1) se denomina fórmula de Bíot-Sauart.

En el caso de una cortiente recti l inea circulando por un alambre observamosel campo magnético pero ningún campo eléctrico; esto se debe a que, ademásde los electrones en movimiento que producen el campo magnético, están losiones positivos del metai, que no contri iruyen al campo magnético porque estánen reposo con respecto al observador, pero que producen un campo eléctricoigual y opuesto al de los electrones. Es por ello que el carrrpo eléctrico total esnulo, Por el contrario, para iones rnoviéndose según el eje de un acelerador l ineal,

tll

16.e) Fuerzas enbe corrientes 541

\J/ \? ooo*t -

oooo

(a).9 positiva (b) q negativa

Fig. 15-29. Relación entre los campos eléctrico y magnético producidos por unacorriente de iones positivos (negativos) que se mueven en lfnea recta.

tenemos un campo magnético y un campo eléctrico. El campo eléctrico corres-ponde al valor dado en el ejemplo 14.7 para el campo eléctúco de un lilamentocargado, C : url2¡c<oR. Comparando este vaior con la ec. (15.41), vemos quelos dos campos están relacionados por

, ' . IcIl - *o'o' ur x t.

A(r5.42)

15.9 Fueraas entre corrientes

Apliquemos ahora las ecs. (15.41) y (15.16) conjuntamente para obtener la inter-acción entre dos corrientes eléctricas. Para simplificar, consideremos en primeriugar dos corrientes paralelas I e I' (fig. 1s.30), en el mismo senüdo y separadasuna distancia R. En cualquier punto de 1' el campo magnético (tl debido a r estádado por la ec. (15.41) y tiene la dirección indicada. La fuerza .F, sobre .f, es,

/ / t '¿-¿-¿----

Fig. 16-30. Interacción magnética entre dos corrientes rectillneas.

II

_--- \ \ \

I

r

flrlllIrL

II

U

(a) 'g posi t iva

u

¡tl

542 Interacción maqnétíca

usando la ec. (15.17),

F' : I ' | , r r , )J¿t ' .

Ahora bien, rr i x )J: -un-iJ,donde r¿¡ es el versor de I a I, . por lousando la expresión (15.41) para /J, ¿enemos

III\

Fig. 16-31. A i racr, idn

(b)

¡z repul;:ón enire dcs c<lrr ientes,

(r5.9

tanto

(15,43)

F' : r, J (*"^ ** ) úr, : *"" (#) I ",: --?,n+# ".

Este resultado indica que la corrientc I arrae a ra corriente r,. un cárcuro análogorle la fuerza que I ejerce sobre 1da el r¡ism,:r resuitado pero con signo más, cremodo que está dirigida según u¡ y también representa una at¡acción. En resu-men-: dos corríenles paralelas en el misna sentido se atrqen con fuerzas igucles comoresultado dc su interacción.magnética. I)ejamcs al estudiante la tarea cle verif icarque si corríentes parulelas lienen senlíd,os opuesfos, se repelen.

I

f-"'-'t \f \

I rt ll i| ^ ! -I lF¡¡J;l i\\

". "'

{r)

J/' /--:

/ ' ./ ' ,f iJ it !

| *¡p*

t il ;

l , j\ /

,

f--'./ \/ \t \f l

t ;l l

I l*{T--- !

Este resultadc pu.ede exten'Jersc e corrieirr"es de cualquier forma. Ei esturiellepuede verif icar g¡re las cor¡i¡:ntes dc !r f ig. i i-3r(ai se atraen, mientras que lasrie Ia fig' l5-31(b) se repeien. Est¿s inteiacciones entre cr¡rrientes son cle granimportancia práctica en los rnotores eléctricos y otras aplicaciones tecnológicas.

Nota eobre unidades: Ai discutir las unitlaties fundamentares en ra sección .2.3,in9-icamos que el sistema-cle unidades rp."t*ao internacionalmente es el sistemaIfKsA y no el sistema

lf l isq,aunquc enia practica no hay diferencia entre ¿r¡nbos.Tenenos cros reves oara elegir ia cuarta uri 'áaa bá;i; ;;r;"p;;;. además de lasde iongi tud, t t t " ia y t iempo..El lar ,o,r , i , 1.y r l . c" ;ü;b 'pr . í i " , r t - racción elec-trostática eirtre dcs cargas, dada pcr ia e,:. it4.2¡,

F : K" J9-,

r5.e) Fuerzas entre co¡ríentes 543

y ia tr1'dc int-eraccir i¡r errr,re drs corr ientes recti l ineas, datia por la ec. (15"43,] con!t ci-'¡r-s+,ante magné,iic;r h.- er.'^ r'ez de ¡i"i4r,

I

- i - - l r , r - -¡t

¡ ' :2xi1i ;N

I¡ l

t l

t

deñnir el

- l ' - . - '

//a)' - -

//i//

j t ll , ¡Iti i

Fig. 1ñ-32. Aparato palaíimpere expcr¡mentaimente.

Flg. f6-88- Balanza de corr ientes paramedir una corr iente en función de lafuerza magnética entre dos conductoresparalelos.

ñn la f lg. 15-33 se muestra una disposición experimental para medir la fuerzaentre rlos conductores paralelos, Constituye vna balanza de corrientes. La misrriacorr ienti) pasa pcr los r los conductores, de modo que F :2 x 7A-1 IzL' lR. Primerose equrl ibra 1a tralanza cuando no hay corr ientes en el circuito, Cuando por éstecircl : l¿¡ i :crr; i i i l ,c, es necesario agregar pesas cn el plat i l lo izquierdo para equil ibrarni levarnente ia balanza, Usando los valores conocidos d,e F, L' y R, podemos en-contrar el valor de I. En la práctica se usan dos bobinas circulares paralelas.La expresión de la fuerza entre bobinas es diferente.

544 Interdcción maqnétíca $5.14

Como en luncién de las constantes auxi l iai 'es +$ v pr. terrer;;os K": l i {reo y(^: ptof4:t, se deduce que e.l cociente entre estas ,. los c¡, 'nst¿urtes es

K"1" - - r .K^ €ofro

-" t

donde ¿: 11f ; ;C Esta const.ante es lqu;r l a la vt ' loci , lad r ie ls luz (c de cuaiguierseñal electromagnética) en el .racio. conro se denrcsl.rará en e! capttulo 19. La cons-tantc c ha si. lo rr¡ediCa cxpet ' inr.entai i- l l tnte con l l ran precisión. trn fr¡ncién de ei latenemcs que Air - Kmcz: iC?- t , qr-re es el vaior de K. t lado an ¡¡ secr-: ión 14.3..Fis+.o expl ica nr¡estra e!ección anterior ¡;ata Kq. ' : l ' ¡cciólt ( i t le r jnic)nces pudo pareceralgo arbit-raii;r.

l jn: i r le las razol- l*s ¡ror i l ' .s , ' ' ' : l l 's l l r i , l t l t ic irrr ' . ; ( , . , ; ,r ' . , ; 'n*1,9 rt :ccrnendó e] usodel e,r i .1;er l : { . : r ' i i i r l i r -1 au;; : ' t¿ i , i i i i ' j ; i : l f r ; ¡ t ¡ l ' . ¡ ¡ i . ¡ ¡ l¿ l ' r f r r i :1, 'cs ¡ i r ís fár : i l pr*¡ t ; l la i un' ¡a i l '4: , ! : ! i i iOrr ! f l : le v l " : l i : i1 i ; - i : , l . : t tza. i :n l l t - : l l i r : { ' / r i r je i l te i , t ¡ i . te ccnstr l i l f i1¡ i t ) : , i l :Ón,Jt caiga:, ' l l r , . ' { l i r 1n fu: l : : l e i i i r ( - ( i i - r1 ui t i ' -1} . i ' \ i ¡ : ?r i rb i l r 'g i } , r '1úsi i i r t : l I ¡ ¡nto dc r . is tai is lc, t , * : aí ' : r t ' { . l . r i } t ie el iga l - ' : t - ¡ ' i : r - . l t ;1, . l i r l : . , '1r¿r : l l i t : r i :1r ' ¡ 'Ol t : r . :n l .e. } - - }e i¿¡ i j t ¡ r n lardos.is. i l to f r : l l i jsr)¿j i j t i j f ¡ . i iat iCr. : ¡ i i ' r i : fyr r . i ; ¡ ' i ; : i r . ' r " los s is; ; t ¡ ' t¿¡S i i ! i {SC } MI_{-S-1 _eír ; ' !qJ.Tr¡i; ai t¡rt,-:1.

15.1* Caxe.pct mfrgr¿{,ticr} de un¿p" e$"ffi-ente (ireular

Considere¡nos ahora una corriente circuler Ce radic a (fig, 15-34), El cálculo del{;a;npo magnético en un puntc ¿rbit¡ario es un problema matemático algo com-plicado; pero en puntos sobre el eje de la corriente, dicho cálculo es una tareabastante fácil. Veamos primero que la ec. (15.37) puede interpretarse matemáti-

FlS. 15-84. Cálculo del carnpo magné-tico a lo largo del eje de una coriienter:ircuiar.

camen¿e dicie¡rdo que el campo maguético resil l tante (lJ producid$ Iior Ja ccryienteen P es la suma de un gran número de contribuciunes elementales dill de cadauno de los elementos de longitud dl que componen el ,circuito, Cada contribuciónelemental es

d n __ yo 7 J:J_!:_ ¿¡.4r 12

Sin embargo, esta ecuación debe considerarse sólo en relación con la ec. (15.37)y no como un enunciado independiente.

En ei caso de una corriente circul¡r.r'" ei producia vectori¡rl rtr.y X ü¡ de la fig. 15-34es perpcn{iicuiar al plano P.tL'¡, ' i . i .-ri i ,-, mi' i}ul* u¡i idad pc,rque los dos vs¡soresson perpen,Jicri lares. I lor lo tanto. ri carnpo d':13 producido por el elemento de

¡II

I)

15.10i Carnpo magnético de una corriente circular 545

longitud dl en P tiene el rnódulo

d.)J

y es perpendicular al plano PAA', siendo entonces oblicuo respecto al eje z.Descomponiendo dJJ en una componente d?311 paralela al eje ¡r otra d:lJ, perpen-dicular a éI, vernos que, cuando integramos a lo largo de la eircunferencia, paracada d'131 hay otro en sentido contrario proveniente dei elernento de longituddirectarnente opuesto a dl; la resuitante de todos los vectores *)Jr es entoncesnula" La resultante í)3 será Ia suma de todoslos d':?J11, siendo en consecuencia para-lela al eje" Ahora bien, como cos ¿ : <¡/r,

$o ,dl4;r 12'

- Volaz2f

cB : f d%11

dcIJ¡:(d.iJ) cos n: ldl: : {S

Or.

La distancia ¡ permanece constante cuando integramos a Io largo de la circun-ferencia. Luego, siendo 0 dl :2ra, obtenemos para el módulo del campo mag-nético resultante

:t#{ o,Teniendo en cuenta que r : (az { R2lt2, podemos escribir el campo magnéticoen los puntos que están sobre el eje de una corriente circular en Ia forrna

319. f i i -3r i" l , lneas::.s i lebidas i ; una

de fuerza magnéti-corriente circular.

Fig. 15.36. Campocidb en el punto .Pdipolar magnética.

(15.44)

nagnétieo pradu-por !Ma crtrriente

c)? - Fslaz, ' -@J@8.

El momento dipolar magnético del circuito es. usando la delinición (lb.lg),

En la fig. 15-35 se ha repre-sentado el campo raagnético de una corriente circular.Ocurre un caso muy interesante cuando el circuito es tan pequeño que el radio a

puede despreciarse frente a la tiistancia .R. La ec" (15.45) se reduce entonces a

M : I(¡caz); Iuego

1r-, v&-" ' - 2*1o"*Rz¡s 'z '

646 Interacción magnétíca

! ' {g. I6- :Jr . í i ' - r iv¡ . ¡ iúmeir<l r le ta i - r -gentÉ:s.

M v$ po(2II), - : - :_-

2 nJ?3 4 aRg

ñ) Fo 2/!f cos 0 ^d Fo M sen 0-ür : --:- -----:---, -ijo : -7

4tt ,{ 4n , '

'rr"-;r-v

' ,--4

(15.10

(15.4s)

(15.46)

Cuando comparamos la ec, (15.46) con la ec. (14.46) con 0 :0, es decir, f. :

$l4neo\(2plÉ), vemos que el módulo del campo magnético a lo largo del eje de lape.queria corriente es iddntico al carnpo eléctrico a lo largo del eje Ce un dipoloeléctrico si hacemos cor"responder {¡r.o/4r')M e pifr.er. Por esa razón el circuitoce dencmina dípola mdgnélico. En consecuencia, podemos ar¡i icar a un dipolomagnéiico las ecs" (i4.46) y (1a"+?) correspcndientes a un Cipelo eléct¡"ico. resul-tando para el campo rnagnético fuera del eje (fig, 1t36),

(r5.47)

En el capítulo 14 vimos-Que las lineas de fuerza de un campo eléctrico van delas cargas negativas a las'iiositivas o, en aigunos casos, desde o hacia el inlinito.Por el contrario, podemos ver en las figs. 15-28 y 15-35 que las líneas de fueuade un campo magnético son ce¡radcs enlazando la corriente. La razón de estoes que el campo magnético no se origina en polos magnéticos. Un campo de estetipo, que ¡ro tiene fuentes puntuales, se denomina solenoidal.

EJDMPL0 75.8. Estudiar el galoanómetro de langentes.

Sotucló¡: Un galvanómetro de tarrgentes consiste en una bobina circular (flg. 15-37)que tiene N vueltas y por la cual -circuia una corriente f. Se coloca en una región

donde hay un eampo magnético ]J de maneraque un diámetro de la bobina sea paralelo aIJ. La coniente f produce en el centro de labobina" r in campo rnagnético dadc por la ec.(15.44) con R : 0; es decir , ¿oI l2a. Y por tenerN vrreltas" el campo magnético total producidoen el céntra es'.)Jc : p.6IN l2a. Por consiguienteei campo magnético resultante )J'en el centrocie la bobina forma con el eje de la bobina unángulo 6 dado por

tg 0 =, 1ll])" - 2a-))i¡loliv".

Si se cr¡ lcca una pequeña aguja u:agnética ener cenir¿.i dr la bobina, girará y quetlará en equi-i i i . , ; ' i+ ic:¡: . : l r ;do r i .n ángui,.r ,3 i :9n 6¡ eje. Esto nos;:]iarii;tíi r¡rcrlir el r-ra¡¡po txterno c,U si ccnocemcsil : r :r 'a¡ i t '=¡¡. i c, i :rvt lsamente, meii i r la tor¡ ien-te I si cü¡r$cetnos el carnpo ']J. Norr¡almente,

1

t1

If;

)

' . , f es e. l campc magnéiir :o terrestre. Para mediciones <.le pr*eisión debe corregirse laIt irrnula para [ener en cuenta l l r l i rngi iu<i f ini la de la aguja, ya que el cam"po queactúa -colrre el la no es exactamenli ' e! carnpo en ei centio. Ui nó¡nUie "galvanimeiródo ia¡lgentes" se de¡iva- de la fur,ción tr igorrornétr ica que aparece arr iba.

EJEn'IpLG t5.9. Estudiar el campo magnétic<.r 4i: una corriente solenoidal.

Solucáón: Una corrientc solenoitlal, o sim¡rlemente un solenoide, es una corrientecu¡npuesta de varias espiras circuiares cogxiales y del mismo radio, todas con la

t6su*U\T

Fis. 16.$8.

r,5.i0'¡

Ptg. 16-3,q, f .á. lcuio del campottna corr ient.e solerroidal.

Ceryrpo nagnélíco rJ¿ una carfiente círcular 5tt7

debidas a una corriente solenoidal.

L

Hn-l

magnético en un punto P situado sobre el eje de

misma eorriente {ng. 15-38). obtenemos su campo magnético sumando los de cadat¡na de las corrientes circulares correspondientes. En Ia figura se ha indicado elcampo por medio de lfneas de fuerza, suprimiendo algunas fluctuaciones en el espa-cio entre cspiras. calcularemos el eampo del solenoide únicamente en puntos {ueestán sobre su eje.

Ii ir !t í ig. 15-39 tenemos un corte longitudinal dei solenoide. Si I es la longitud-v- i{ ei núnero de espiras, el número de espiras por unidad de iongitud es Nir yei núr¡rero de es¡riras en una sección de longituti tll? es (NiI)dR. Podemos calculir jlcarnpo de cada espira en un punto P del eje usando la ec. (15.-14); el campo debido

548 Inte¡accíón maqnétit& {15.10

a las espiras ct¡ lr lenidas cn la seccion C.{ purde t-. : . ; j - : i iar- jn { i l ia sigL.i ienLc form¿:

(15.18)

l le la f igura infer imos gue f i - . ¡ i t igF, ¡ i r - - . - . .* , tosec2pdl i , y t??*Ra:cacr isec2 $. Sust i tu3errdo en la ec. i1 i , - { ,3) . tenernos

',t i j ,= j i1-{

i.- rcri ? ¿r;);.¿L

Pála oblenei el eampo resulta.nte. dct,erlr4s i tr tegrar l lesde un extremo del sole-noit- i ; hasta el olro. Es decir, calcl l lsrr¡r): r i r :ai;-¡po rerr: l l .anie como sigue:

ci,rj - l¡,A?{*r,,] itoo -- o;tl' r,;;i;1ü;;

rr : -*d{ f r'

-sen g rrp : --#"

(cos B, - cos g,).

. . r ro lNn -

L"-- .

Irara un punto en uno de sus extrernos, Fr : rl2 y gz r 0, ó Fr -

nEn cualquiera de los dos casos

.)r ¡roll'rÁ, :: _----.2L

Fig. f6-4{}. Cuadrnl¡, ,r io rnagnÉ-t ico"

Si el solenoide es muy largo con res¡leclo al radio, tenemos para puntos cerca deltentro {ue lji d n y tÉz ; 0, cle donde

(15.4e)

(15.50)

Y Fz: r l2.

(15.51)

o sea Ia mitad del valor en el centro. Los solenoides largos se usan para producircampos magnéticos bastante unifoimes en regiones limitadas cerca del centro,

EJEMPL0 15.70. Estudiar el campo rnagnético del sistema cuaüupolar de co-rrientes ilustrado cn la fig. 15-40"

solucíón: El sistema de corr ientes de Ia f ig. 15-40 está compuesto por dos pe-queños circuitos iguales separados una distancia 2a, por los que ci¡culan corr ientes

iguales 1 pero de sentidos opuestos. Cada cir-cuilo es entonces un dipolo magnético; pero

r co¡no las corrientes circrrlan en sentidos opues-t' t.os, ios mornenlos rl ipoiarcs son opuestos, dan-dc un rnomento dipolar magnétir:o total nulo.Sln enbargc, el campo magnético resr¡ltantefro cs cero tjebidc a la separación de los circui-t.os y cl sist.ema consti+"uye por lo tanto un cua-drupolo magnético. Debe notarse que la situaciónes matemálicamente rnuy similar a la del ejom-plo 1,1.13.

Teniendo en cuenta la analogla entre la ec.(15.47) para un dipolo magnético y las ecs. (14.46)y (14.4?) para un dipolo eléctr ico, po,Jemos de-finir un potcrrcial "riiagrrético" ym asociírdo couel campo magnético de un diaolo magnéticodaCo i:ol la ec. (14.4i) ct in ¡L"l ! ,{ /4r en '" 'ez dc;;1.!.;:r, S€ { .f;nr-r

\ r : ' - - '4r¡r: 4rcrz

1,5.11) Campo magnélico de una cargd en mavímíenta 549

Luego, el potencial "magnético' ' resultante en P es, teniendo en cuenta queM!--M¿:M,

y- . - _ laor l r ' r r i lotr l¿ ' t , - _ i r ¡M.f " t _ "r . \- 4;¡r- - t"r",

: - 4, '\e -

rl /'En la fig. 15-40 observamos que rr - -o * r Y rz : a + t, por lo que

r l : ¡ t*a2-2arcas0,rf;: ¡t + az + 2ar cos 0.

Usando el desarrollo binomial hasta el primer orden en a/r, tenemos

1 1 (r_Zacos9 -r4\-" t_ ! ( , , 3acosd _ \

" i : ; ' \ ¡ *) :F\ ' - r -+" ' ) '

y análogamente,

1 1_1rr_ 3acos0 +. . . \ .e:," \ ,__, _. I

Por lo tanto

IL- IL : -=-t : /1 -

3o cos o, \; l - ; l

- i "3 \^ ' r

- r" ' ) -

_"_+_" l , _3acos0 , \_ -2o , 9 logggn _.¡ . . - \ r - r

7. . . ) : , ,

-1--- r¿

-

Sustituyendo este valor en la expresión de V-, obtenemos

v^ : 3vo (_r." , qf:re "9t

g \.

4r¡3\ r l

Pero M. a : Ma y M.t : Mr cos 0; luego

u. _ t¿oM(24) (3 cosr 0 - 1)4¡.rs

cuya dependencia angular y radial es similar a la de la ec. (14.58), confinnandoel hecho de que estamos tratando con un cuadrupolo magnético. El momento cua-drupolar magnético es M(2a). El campo magnético del cuadrupolo magnético tienelas siguientes componentes radial y rangencial

()r _ _AV^ _ 3p¿oM(2a)(3cosa0-1)Pi : - or 4nV- '

Bo:- l aY.^ - 6p'oM(24)senocoso.r 00 4*ra

Advertimos al estudiante que el potencial "magnético" que hemos introducidoes simplemente un artif icio matemático para calcular el campo magnético, y queno está relacionado con una energla potencial en la misma forma que lo está elpotencial eléctrico.

75.77 Campo rnagnético de una ea,rgú en rnoairniento(no relatiaista)

El hecho de que una corriente eléctrica (es decir, un chorro de cargas en movi-miento produce un campo magnético, sugiere que una sola carga en movimientodebe producii también un campo magnético. 'Irataremos de determinar este

55ü lnl¡ , , , , l r¿'r i t i t , r ' : rr i :¿.í irrr. ¡

{ l l Iñp{ l i í11! ! : i f i j . " l : i . r : r j 1 i i ' : . ' i l

Ur i ; l i . , l t ' . . : : ' . '

Segt l i i l ; r , l i : . i 1 . ' r .J i ; ,

L

!1E ,3fI I ¡ , í t

' ; I r ' ¡ r1¡ i - r i i : : . ; r i i , i . ¡ , : : : i : : i - , { , t 1: lAi i ! } í : : : i t i i l i j

. . : r : i : ¡ - ' , . , t : ,1. :1, . , r - . 1. . ' : ' i . r ; ;1 t ; ; l1f i , i : i . { : 4: i t ,

. . i tn t I . 'd!ui \x?a,

( ! ! . . - . ' " - 4 - , ' - ' - - . - : - .4r . fz

i1 i . i2)

i1: j . ; i : , )

Fcro rccort ian( lo las ecs. { i5"12i : r ( i5. i : j } y el l :echo r je r¡uc dV - Sdi , tenemas

3 :,ltrr ¡; j == nqD, lo cnal d;l

l:¡rr 1o tanta

{ dl uz. : (_lS) di wp : j dV - nqú d,\i.

,5:ggg?J_Y'_, , , ¡ ' ¡ .4rJ

t l nur:rtr+ r le ¡rr lrctr i i i ¡ er i ei vol l¡nre¡r d\/ . nuJt:tr :as i ,nlerprdur

ci ie;uit¿ri i* a¡l . i j t rr r l l ¡ : icnt l , ; í ;ür .¡ t i ! .r parl i{rulacaigad.i ,nradi: ir {rn e} i i ¡ ;¡r to . ,1 i t ig. l i . ,-4i) tr¡J"r¡1!Pr] f ¡ ] r r i t i r : i i :1J d:r l r . pr , r

¡'i .-- if t: q'11 A in r]J

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i l i : l l i-. i ,-rlr ' - '^ ]o rs

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i - r

' ¡ r . ; , , ; ;3¡ . . i , ' . ! r , : i : ¡ r j lP¡ i l l i r : - ¡ ] . ¡ : j : i ¡ 1: á ¡ . . . J :1. .1

i : r i ' : ¡ ' : :¿;J; i t i ' . ic : :s d¡ ' t t , ' t i : l i : : t , t : t i i i l ¡ ic t 's ¡ ! ' r : ' l i i -

l r l t . ; t . t " . ' ) l . " r r : i r : " l ; i l i . ' I - ' . . ' j ; ¡ t ¡ ; i , ' ¡ iq i ' - ; t , . ¡ : l l :

: - ' , . . , . i i : ._: . . , i . ; . . ¡1. . i i i . , r t t . , t . ! . l . ¡ ; , i . i t t i l i ' i r : j :¿ i ,_

I.--,!-

I

l) r ; : l i . j ! - :^ ; : ' ;1 ; f :

, , ¡ ,1 : ; , t ' : t f . . i

i ¡ , ' ¡1. , r ! '

1.1 ," - , , l : ' !a

i ¡ t i ' ' ' i j ¡ . i ; r . ' " - ; -

{¡á ' ' r

, ¡ ; ; r ' i¿¡¡ . i :15 q ' ¡ , ' ¡ ¡ :

i i . . ' ruo-.¡ . .

I i ¡ r i t ¡ ) : '

: ' ' : " : '

{"

1l ' i : : '

i

! i i 'a

t ':: i í;

¡ : i ! . ; ) . -¡

15.12) Electrcmagnetísmo E ei príncipio de relatiuídarl 551

que, como señalamos anteriormente y demostraremos más adelante, es la velo-cidad de la luz o de cualquier señal electromagnética en el vacio. En núnrerosredondos. c : 3.0 x 1Cl3 ¡n s-1.

Err ctr¡rclusiÓn: aunque utia c¿1rga en i{.f,,rr$o produce rinicament,e un campo€lór:i¡ is6, una oarf]a en movimiento produce t¡ri:t.o un campo eléctrico c{}mo unornagnélico, relacicnados por la ec. (15.54). Lcs carnpos eléctrico y magnéticoson entonres simi;iernente dos aspectos de una propiedad fundamental de janiateria. si¿nclo lnás aprcpiado empleai el tér¡nj.no ((1mpo eletlromagnélico paradescril: ir la siLi¡arión íisica que involucra carga.s e¡r movi¡¡l iento.

i le i . .en:os señalar aqrt i que ei pasaje de ia ec. ( l i : .52).c la ec. (15.53) no cons-titr¡ve u:r procedimiento nlatemálico único ] 'a ql¡e, si agregamos pcr ejern¡lloa la *:c. (15.53) urr tér¡nino cuya integral a lo largo de un r:amino cerrado seacer.¡ , la ec. (15.52) no cambia. En ¡eal idad, la ec. (15.53) no es completamentecorrecta. Se ha encontrado experimentalmente que da resultaclos accptablesiióic cu¡ndo la velocidad de la particula es pequeúa con respecto a c. En la sec-ción Ii;.13 deduciremos Ia expresión correcta cie )l qtre seÉ válida para todaslas vtlocidades. Por otra parte la ec. (15.52) es válida para todas las vclocidades.

EiE:iwPLA 15.77. Veri!. icar que el resultado (15.42) para el campü magnético deuna corr iente rect i l fnea es compat ib le con la ec. (15.54).

Salucáón: El campo magnético producido por nna corriente recti l lnea es el resultantedr los ' :ampos indiv i r lualers producidos por todas las cargas (¡uc se mueven a lo larg<rr le! ccnductoL. De acuert lo con la ec. (15.1.3), s i S cs la sección transver ia l del con-riuctor, I -: ñq.Slr, donde u es la velccidad de las cargas. Pero nq es la carga porutririac de volu¡nen y por lo tanto la carga por unidad de longiLud en un conductorde sección S es nqS : ) , ; de donde I : ) .a. Haciendo sust i tuciones en la ec. (X5.42)y tcniendo en cuenta que c,l : l¡ur, tenemos

,, : Fo€lOsI ur x € : pr.o€oo x C,

que es precisamente Ia lc. (rS.s¿).

75.12 Eleetrornagnetismo V eI princ$ño d,e relatioidad

En el capitulo 11 establecimos como principio general el requisito de que todaslas leyes de la naturaleza deben ser idénticas para todos los observadores iner-ciales. En consecuencia, debemos ahora obtener la relación entre los camposeléctricos y magnéticos medidos por dos observadores en movimiento relativouniforme, de modo que se satisfaga el principio de relatividad.

Supongamos que tenemos dos observado¡es O y O' (f i9. 15-42, en movimientorelativo con velocidad a, y que hay dos cargas q y Q en reposo respecto a O';las dos cargas están por lo tanto en movimiento con respecto a O. Los valoresde arnbas cargas son los mismos para los dos observadores O y O', como ya seseñaló en la sección 15.4. Para el observador O'hay solamente una interaccióneléctrica entre Q y q y la fuerza que mide sobre q es.F' : qC', donde C' es el campoeléctrico producido por Q en g de acuerdo con lo que mide O'.

552 ; nl¿¡i.:ic¿t.¡¡; {1, ' ' , í 2

; i . l ' f i I f . ! , . " ' r !111.¡- , ' : : . r l ta l f i i { j ! iüí l r i l l ¡ carnt io

, i i , , f ! : r ' : i . i a- ;L is i ' i l : : , : l - ¡ t : i l í . ! j . : l l - ' i i ; l f e: i .á e¡ l

¿j¡r.r"¡i,qi:r .;r;r ¡..'¡ -íue 0 nlide sobre g cs

Por otro lari i r . i ' i le 1í¡. r írrg¿t i .r ' l i , ; ' , r0, '

e léctr ico Ú'¡ t in r l inp¡ i í l r i¿- ' i l ¡ : i i , l r .1 l i ;

mo./ i Í ! iei i t ,0 c{.}n teioi-. i i l i1¿ 3;. i : : . f .1;¡¡7;, :

P : qit' i- a: x 'll).

Fig. 1ír-.{2. Comparación de las nre-, l ic l .as eletrtrornagnéticas hechas port ios observarlores en tnovi lnicnto re-lal ivt.¡ .

Ei ig i rnr ic r , . i s is leni i r de c".r ; r ¡ lenai ts ia l i l . re i , ¡s ' : jer X v X'cr¡ inr ic lan con ia

ri irer:c!ón ,le i* r,elocidad reiaiir,¡t i ,: i ,;s obseryirdoics. tcn.elnos quc ?i =: ?¿r¿, \¡

(lr ie tD x :t3 : -- ' l tsu:l\z + ?{¡t¡ i;1r; i--l,r i0 tailtO las ci ' l i ip{JjiettteS dt' F en el siS-

tenla XYZ son

F" : Q{x, Fo .-- qq( u - i:¡j,), It- : rl((. n rÉ)J¡¡). (15'56)

!,.as r:rimponentes de F' en el sistc.-'rra X'Y'Z' son

P' : q{L, F'o : q{'r" F', : q(',. (15.57)

ccmo g est{¡ e¡r ropcso respect,a ¿ c" la reiat:ión entre las componente_s de F y

ds, i r" está d:rc ia ¡or las ecs' i i l . , i2) ' 111' .3: ' ) : r {11'34), es r lecir ,

FL :' ]rr, i'i ..- --- u1...--.. , F:: -r.'=1--,.

' i r I .__ ",?. ' í_2 \¡/ tr t i2i i :2

I leerrrplazando los ' , 'a icres r ie iar c ' r r l l f lúI l i ¡n ies ¡rc ' i ios i ia i los en las ecs' (15'56)

y {15.57), - r 'canceiani io t l iar : . i , ' ¡ - cDII lL ln q. . ' } ) tc11c}n{)5

71

(ü -- L/ iJr .t i"" ¡ tt ' ' i j ,I z .-= -t:

---.-: .

l / 1 - ' tFirz{r5.5S}

il is . t - : ! f , i c¡¡ j t , r 'es| i l l t r : t r , , larr i , - , i i i l i ' , . J{ l ¿¡¡ i - ¡ ¡ r : ; :1 cLl¡r i i t tor í t i ¡ ie Ja relat iv i r ¡ .ar i esper: la l ,

e l r ¡ r : ' r l ; r ¡ ¡ l i r ¡1.¡ ' ¡¿r,r 1, , :d jd l ¡ " i , ; e i { ) i i i { ' i ' t : : r l r , i l i ; i lon i , , 's i l l l i r i í loS ; : l r :ct . r ic l c l i l tq-

r , / ,1¡¡ .J; ; , : , , ¡ ! i ;11;¡r¡ ,ü; : . i r l j l l " : l ' - , : ; ¡ ] i ' r i l r . . " ; l ' : ' - : ' - . : ! , iJ .1 l i ; ) ¡ , : i I l ' - ; . : ' ls l l : i ¡1el í la;e¡ '< ' ' - j . ; " i ' ¡ t

st <-, i : , r - j r r , , ' i i l - ic i ' ra l ; rL,ar i , : r t : , , , . . : r . , " r , - i , . . ;1,- l : : i i l " i r i . i l lc t i ¡ ' t '^ v¡ r i i i - t l

SiStI i ; : r . . , ' , '7, ; ;¿ i í ; ! - i t i i ' - ' j ] . i r ' . , 1 , : i ' l " l ; - ' - ' ¿ j l ' i l ¡ - ' t . : i , ¡ . ; , " - ' ; " - ,1 ' . ' ' \ ¡1. ¡ i i l . i ¡ ; \Sef-

l .q t9\ Eleclromctqnelisnto y el príncípio de relatiuidad SSJ

vador o' mide un camp0 eléctrico c" y un campo n-ragnético )l ' , el campo eléctricoque mide O está dado por

c" =-c;. (u : ' , .u-j- ' t) ' - . f , : : ;-!=L!íL. (15.59)V1-¡¡zfcz l / l -uz¡¿z

Si la carga Q, en vez de estar en reposo con respecto a O', está también enmovimiento respecto a é1, el observador O' observa un campo magnético '8, ade-más del campo eléctrico {'. un cálculo similar pero más trabajoso* da en ese caso

t)',: t),, ,';, : -))y--L!!!L, ¡¡'": ))::'ül-'i. (15.60)Vl-D2lc2 l /7-uz¡sz

Aquí también, como lo hicirnos en Ia ec. (15.58), podemos obtenerla transforma-ción inversa de la (15.60) intercarnbiando los campos y reemplazando u por - u;resuita

B, : )J,. ¡¡ - !"---f!'e , )J. : )Ljú--!!. fl5.61)l /1-u2¡sz l / t -ur¡¿z

Las ecs. (15.58) y (15.60), o sus inversas, las ecs. (15.59) y (15.61), const i tuyenla transfcrmación de Lorentz para el calrrpo electromagnético. Estas ecuacionesdemuestran una vez más que los campos eléctrico y magnético no son entes se-parados, sino que forman un único ente físico l lamado el campo electromagnético.La separación de un carnpo electromagnético en sus componentes eléctrico ymagnét ico no es un procedimiento absoluto s ino que depende del movimientode las cargas respecto al observador. En consecuencia repetimos que no debemoshablar de las interacciones eléctrica y magnética como procesos separados, sinocomo de dos aspectos de la ínlerqccíón eleclromagnélica.

EJEMPLO 15.72. Reconsiderar la situación discutida en el ejemplo 15.4 usa¡rdoIa transformación de Lorentz para el campo electromagnético, para relacionar loscampos medidos por ambos observadores.

Sol*cidn.' Recordemos que en el ejemplo 15^4 habfa un campo eléctrico según eleje Y y un campo magntlt ico segirn el eje Z. Haciendo una transformación cine-i -nát ica a u¡r s istema de ejes X' \"2 'moviéndose en la dirección X con velocidadv : CtA, redujimos el rnovintiento al de una particula en un campo magnéticosolo. Vayamos un paso más adelante en este análisis y veamos las implicacionesde este ejemplo dentro del marco de la teorta de Ia relatividad. En el sistema XYZtenemos ó., : 6, Cc : t" y ('" -= 0 para el catnpo eléctrico, y lJ" : )rv -- 0, )lz : I)para el carnpo magnét ico. Luego, usando las ecs. (15.58) y (15.60), encontramosque los campos que se observan en el s istema de referencia X'Y'Z'son

tí : o, (í : :=.L, c"j : 0,l/ 7 - ttzlcz

) 'J; : 0, )t i : 0.

r Por ejemplo, s i e l estudiante desea oblene¡ la segunda y tercera ecuacior¡es en ec. (15,60),suge¡ imos que use la ec- (15.58) para el iminar r ' i

- : ' t ' ! de Ia t ransformación inversa (15.59),

y luego despejr ' ' ) : ¡ t t t ; .

554 Interaceión maqnétícu (1 5.12

Poniendo u : ( l lJ , cLrncluimos que úi -= 0 por l r . ; q¡ . ( ' "= l ) , mientras que

t" t ! ; - . | ' t - -u l ¡ ' r .

Por lo {.antc la teoria ie la relat i . . ' ic iad predice que u;l ¡¡bservador 0' moviendoseccn velocidaA ¡¡ : ( l l - j , . lon resprcto a ulro obserl*dor {), ¡ro rnerl irá campo ¡r iértr icoaiguno y medirá ur (:aynp() magné|ico m.-nor q'Lte el que rnide O, runque en ia lnisr lradireccién.

{tJE3!r 'L{, i t t .7}. Obtener el carDpo i ;rap.i iét ict ' r d¡ irna crrrr ienic rcct i l inea :-¡sandoi¿ i .ransfc¡r, ' in¡: ión reiatír ' lsta del {;ait¡p{. ' eiectrc:r: !gttét ir :o.

l : -* tscddr¡ . . { :orrs ldeiei¡ . : . } l ; r ¡na Í l ls :n l i : ; i i l i < ie tar(as i r l l r r i t i lent .c espaciadas qi ie 9ei¡rr :eveñ;egi ln ei c jc ,Y.r l in " . ' * ! t i is iaC l i ¡ rsu¿¡t , ¡ : r l obstr"vÍ : i lu i ( } ( f ig. 15-4i l ) t qt :e;. :ol i$i t iuyen por l l r t : ; :r i - l una cc¡ ' l i¿' ;r tr ' r ' i i l r :1: ira re{t. i ! í i r fa. l i i l - es ia. calg:r t ié¡- ' i r i*¿il :+r r:nidarl dt l ,Jrr-giturl , la cori ' ¡ent.*r r lél : tr ic¿ i¡r lr : tnidt: () es i : . ,u. C¡"rnsiderei lr is. l ] lora un ot¡serva{lot í) 'qr i(- se i l ] !- ievo i i . 'g-t lr¡ i j i ejc.\ con l 'eiocit leC ¿. Las lr}tgaststán c: : i r :pcso r . -s i rcct i i :n O 3 ési ' . ' ¡ ¡ r i i t : ' , i ' ia ; r 'enle ün ¿t¿n1Fo r lút i r i . ' r : . P¡¡ i e l: ,r ,¡¡r i . i '&: ' :r) , L, i"egistre i :n c:¡r¡1pir eléctr ' ! t :r 1'u!¡ cá!.r lpü nragrrót! ' : i r-

iy d.,:'

Fí9. 1i.4S. Campo elect.rornagnético ¡;roducido por un chorrc de cargas que senlucven st :gr in ei e je X ia l <:o¡nc¡ io. , rbserv¿l¡ dos oirservar l ( r res en ;ncvimiento relat lvo.

La carg,a medid¿¡ por íJ eri l rn segrrei l ic r i-r ' es r lq =' ' ¡ . t j :" l l l *bserr,ot ior {J' ;r ; :dela misma carqa per(i r lel¡ idc a la-i ' . )niráü<:rón ' . !e i- .¡¡renlz, el segnrent<; parerc ir : treruna longi tud dr ' ta l que Cr -- I i - - i , : ,c¡ d: . F ' r - r r ' lo ta-nto lJ ' midc una carga porunidad de longitud i ' di lerente, dai la par

dt

^, : + : i -1{. ,= .{7'-- u,-¡c, t..

(If OÍ

El campo eléctrico medido por O'es transversai. En un punto P está dado poreI resultado del ejernplo 14.7, es decir, ¡ror t ' : \ ' l2¡eaR'. Colocando el eje }' para-lelo a la lfnea PQ y teniendo en cuenta que .R : R' porgue es una longitud trans-versal, podemos escribir

( l :0, {J : t'l : 0.2reo.R '

Luego, usando las ecs. (15.59) con f l ' : 0, podemos escribi¡ las componentes del

II

sl 1",I i "U

s/; vt ;

lR= I i li

ii

I

*--'r--i-i , r,. ----=--y

_\ /

15.13) Campo e,ieclromagnético de una carga en movimie¡tlo 555

campc eléctrico con respecto a O en la forma

C, : t '" : 0' ,. ' 'u - -j i =-: - --¡-{ t - ¡ ¡ }z 2neol l l t I - i ; ¡sz

- 2neoR'

Análogarncnte, las ecs. (15.61) dan las s iguientes compon€ntes del campo magnét icorespecto a O:

t j , - yv:0, y" : - -y i , ' ! l i : - : - - - ry\ ' - , , - - r 'q l - -

Y 1 -- t):-k' 27euR[ i - utk" -

2nll '

clonrle hemos usado la relación €opo : 11c2. En consecuencia, no sólo obtenemoscorrectamente el campo eléctrico en el sistema Xl'Z r)e una distribución recti lfneade carga, s ino que tambión, usando la ec. (15.37) como punto de part ida, hemosencontrado la expresión correcta para el carnpo magnét ico producido por una co-rr iente rect i l f nca. que habf a s ido obtenido previamente {ec. (15.41) I . Podemosconf iar entonces en que la ley de Ampére-Laplace (15.37) es compat ib le con losrequisitos del principio de relatividad y que da por lo tanto el campo rnagnéticocorrecto asociado con una corriente elóctrica cerradu.

15.13 Canryto eleetrontagnético de una cargú en tnoaitniento

En el capitulo 14 vimos que una carga en reposo produce un campo eléctrico( ' : (q l4nesr2)ur, y en la sección 15.11 señalamos que cuando una carga estráen movimiento, produce, además, un campo magnético cuya expresión sugerimosque serÍa )J : (¡ro/4n)qo x urlr2, Sin embargo, de acuerdo con la sección prece-dente, los campos ( y '11 deben estar relacionados por las ecs. (15.58) y (15.60).En consecuencia debemos empezar, desde el principio, con un cálculo relatiüstapara obtener las expresiones correctas de t y ']J para una carga en movimiento.

Consideremos una carga q en reposo con respecto al sistema de referenqiaX'Y'Z', y que se está moviendo con respecto a XYZ con velocidad u paralelaal eje X común. El observador O' no mide campo magnético alguno, sino sim-plemente un campo eléctrico, como se señaló anteriormente; por lo tanto'D'r : 'Hi : ' lJ ' , :0, o sea ' ) r ' :0 ' Luego, las t ransformaciones (15.59) parael campo eléctrico dan

C, : fi., t, : - -!+=: , ('" : -:!:. (15.62)V1-ü¡cz Jfr-uz¡cz

Las ecs. (15.62) indican que cuando los observadores O, que ve moverse la carga, yO', que la ve en reposo, comparan sus medidas del campo eléctrico de la carga,obtienen la misma componente del campo paralela a la dirección del movimiento,pero O obtiene una mayor componente perpendicular a la di¡ección del movi-miento. Análogamente, las transformaciones (15.61) para el campo magnéticodan, si usanos Ias ecs. (15.62) para escribir las componentes del campo eléctricorespecto a O,

iJ" : o, ,t, : - Llt, tJ, : t' . (r5.63)

556 Interatcíón magnétíca (15.13

las cuales son eq uivalentes a '?J : t x ( ' l*. E sta ri: i¿ción es idt':ntica a la ec. (1 5.54)que, como se señaló anteriormente, ts la rclacióri cutre ius campos eléctrico ymagnético de una carga moviénciose cor.¡ r 'r lcciCari co¡¡stante n. relación que esválida para todas las velociriades.

t ' l ,

Fig. 1á-i14. Transformación relai ivisia de ias componentes del campo eléctr icopro;jucido por una earga q en reposo rcspcr: lo a O' y situ¡¡da en O',

[,as cbservaiiones de O y'de O'se comparan en ia fig. 15-44. Si la carga estáen O', el absen'ador O' mirie en P' (sobre el plano -X'Y') un campo eléctricodado por

¿., : q

uJ__,Q_r"4 ne nr'? 4 ';e or'3

El ohservador O ve el mismo punto en el piano XY pero. debido a la contracción

cle l-oreni.z, la coordenada X rJtrl ¡runtc parece acortatla en el factor / 1_úlr',mientras que ia coorder¡ada \ ' l ,erry¡aner: : i .gua!. E,s decir , Í =- Í ' l 1*u2lc2,

A:! ' . f "uego, el ángulo I que ú| forrna con OX es di ferente del ángulo É'qrreO'P' fo l rna con O'X'( f ig. 15-aa). F. ,mpleando ias ecs. i15.62), vemos que el campof que O nide. en P tiene rlna componente X igual a la medida por O', pero la

componente Y es ma.vor cn un factor 1¡N' , - -L*¡ iL El resLi l tado es que f formacon ei eje X el mismo ángulo 0 q'.te r. Pcr io tanto, respecto al observador 0,el campo eléctrico yace también en ia direccrón radial. Sin embargo, el campoya no es estéricamenti.. sjnrétric{i con res¡recto a O. tin cálculo simple y directo(ver el e jemplo 15.1,1) muestra que

n 1 - n2lr2¿ .- Á;i,; ¡ -ffi;.i, n,ro ""' (15.64)

El factor que conbiene sen en 0 hace que el campo cléctrico rlependa de la direccióndel vectar de posición r. Así, a distancias iguales de Ia carga, el campo eléctrict¡es más fuerte en el plano ecuatorial (0 : n/2), perpendicular a la dirección del

L

15.13) Campo electromagnélico de uno carga en mouímienlo 557

movimiento, que;egirn la dirección del 'mismo (B:0). Esto contrasta con el cam-po eléctrico producido por una carga en reposo, el cual es esféricamente simétrico.Esta situación se ha i lustrado en la fig. 15-45(a) y (b), donde el espaciarnientode ias l íneas indica la intensidad del campo.

Llsando la relación 'ü : u x f ic2 que, según hetnos demostredo, t iene validezgeneral,

-v empleando la ec. (15.64) ¡r:rra {", encontramos que el campo magnético

de una carga en movlmiento es

I - ú¡cz(15.65)

[1 _- (rl/c') sens 0]3/2DxUr.

Esta expresión se reduce a la no relativista, ec. (15.53), cuando ¿,l es muy pequeñacon respecto a c. Se debe tener en cuenta que las ecs. (15.64) y (15.65) son vál idassolamente para una carga en movimiento uniforme. Si la carga está acelerada,el campo eléctrico tiene una forma similar a la mostrada en la fig. 15-45(c) y lasexpresiones matemáticas son más complejas.

'B : J.o!=4rrz

(a) Carga en reposoo con velocidad

muY baia

Flg. ló.46. Lineas de fuerza

l)

-(c) Carga acelerada

eléctr icas de una carga en reposo y en movimiento.

El hecho de que Ia ec. (15.65) sea di ferente de la ee. (15.53), que se der ivó dela ley de Ampere-Laplace (15.37), puede hacer pensar al estudiante que la ec. (15.37)es a su vez una aproximación no relativista a una ley más general. Sin embargo,esta impresión es errónea ya que, como se señaló en la secció¡r 15.11, la ec. (15.37)tiene validez general. La dificultad aparente se debe a que el camino seguidopara i r de la ec. (15.37) a la ec. (15.55) usaldo la ec. (15.52), no es único. Estose debe al hecho de que una sola carga en movrmiento no constituye una corrientecerrada, mientras que la ec. (15.37) es aplicable sólo a corrientes cerradas. Porejemplo, si usamos la expresión (15.65) en la ec. (15.52) correspondiente a unchorro de particulas cargadas moviéndose en l inea recta, obtenemos la expresión(15.41) para el campo de una corriente recti línea. Este cálculo, que omitimos,muestra la compatibil idad de la teoúa.

EJEMPLO 75.14. Deducir la ec. (15.64) para el campo eléctrico de una carga enmovimiento unilorme.

q-

(b) Carga en movimientocon velocidad alta

ó58 Inleracción magnétíca {15.13

Solución: Notando en la f ig. 15.4,1(a) qu+: { ' lormil un ánguic 8' con O'X' y quecos 0' : x ' fr ' , scnB' : g' i r ' , tenemos qi ie las cLrmponeii t t ' r i le f ' son

( ' ; : ( ' cos 0 ' = ' - rL l r , i ; - . . ' ; .n u ' : : - -a. : ( t5.co)4::< o r '3 4ne o r '3

Tenienriu. en cuc¡l ta la ec. {15.6i i }- que, sc'grin la lransformac!ón de Lot 'entz,r : j : ' {1 --o; ic" e ai : g' , porJen:os rs.. :r !Lrir las crlmponentes dcl canlpo f- l obse¡-v,ido por úr en la forma

¿- -- , ' ' ' - q -----l-*-

4ft€o y' | __ ¡.¡z j¿z ¡,2

-_ t i_ _ _q _ ____g _

ll t - -u.z 4-e .. ll' -

| , - t - . ,1-¿zf¿zy's

vect orial,

qr- - - - - -=:- t

t t re i {1-zzfsz¡t t

la cual muestra que el campo { es radial e n el sistema de reterencia X YZ. Ahora bien

r,z : t,2 I u,2 : Je

-F. u¡ : -:l-iYli:\g'" 1_y2,t¡z 1_Uzlgz

], además gt : r2 senz 0. Por lo tanto

r l l - (uzicz) sen2 0jr / r' : - - vr-u\4: '

Usando esta relsción para elinrinar r 'en Ia ec. (15.67), obtenemos finalmente

, I i l - ' u¡lcr)r qf : - - -

| _ utlc2

(y -

Es decir, err forlna

¿--

4:r<nrs 11 -- (u2lc') senr 0l3i r 4re¡2 [1 . ' - 1ua¿:¡ sen, €jsiuur)

que es precisamente r l resul la¡ic obtenido anteriorr¡rente.

FJEltPl,0 15.t5. Discuti i ' ia ¡:ori¡ i1c rnferacción maglút iea rnire $n electrónr¡rbi'i*.J y tri i1írLr1i'jo de i¡n ¿itrrlnB.

Soh¿¿dcln. ' { lonsidtrre;r¡os {f ! g. i I :- , ; Ír ;: : iar_" i t i ¡ r i i , ¡¿iret1*cj t , ¡ a l* i l i i ¡ iL: . i j , ]

FlS, 15-dB, Interacr:ir)¡r rspin-órl--i i :.rde un elc¡trén que se muer,e alre-dedor de un rrúcleo oositivo.

(15.67)

;¡ : ; lc¡ i i ¡ in cuyÍi (rarÉ¿r es -- i giraldg con11t ¡a¡i- . .- í¡ . St¡ irLr.\ 'e ' t ! . :)r : ,n c,r i l ¡ ' t l : : l í . j !" t el¡ : i r i l i ' ¿, i ; , : c i l tv : , i le i i i , i ¡ t : t , { ra¡¿ sÍ¡n¡, l i i l ¡ar ,¡11 r. i n r. rr !r , . i qr ial as lr na i_-ir i i I t i Íeier¡cia" I .¡ , :ro" sil t : l , rr irnos l+s ¡ loYir¡r jr . !r tos a ¡rr i sisle¡rra t lec;,.cr i lc¡r.a, irs I i j t l ai electr l i r i , éste es.tará en¡rp:.;sú )-- i ¡ l i : r . i r . : iec irarecerá estar describien-d* la lra.-tett<.¡r ia cic irazcs, tarnbién ¡-tna cir-¡, :u¡i ferencia, cnn veloc!dad -- r ' . Despreciandoia :celera-ción del electrón (el estudiarrte de-beria ser capaz de calcularla y juz€iar lorazcnable que es csta suposición), podemosco¡rsideiar que este nuevo sistema ¿s inercial.F, l i - iúclec, produce, pues, con respecto al e¡ec-trón, uir üampo electr ico cuya expresión r¡orela-t ivista es f - (Zel4xe¡z)u, y un campomaf:nético reiacionado con C por la ec. (15.54)

:

I

i

IIIII¡¡I

II

Campo eleúramcqnélíto de uflü rarga en mauímíento 589

c0¡1 - r, ;n vez de o, Es decir,

, :c : +(-o), r : +rx u: #fu, ' . ¡ \a.Pero el momentum angular del electrón respeclo al núcleo es L : mt x o : mrTt¡ x o.Despejando w x o y reemplazando en la expresión de (D y ¿, obtenemos

n : ^ft;;,.En consecuencia el campo magnético producido por el movimiento relativo del

núcleo es proporcional y paralelo al momentum angular del electrón, como se indicaen la flgura.

Como ?J es un campo magnético referido a un sistema en el cual el elect¡ón estáen reposo, no da origen a ninguna interacción con el movimiento orbital del elec-trón" Pero el electrón tiene un momento magnético Ms debido a su espfn, de modoque Ia interacción magnética del electrón con el campo magnético nuclear es, em-pleando las ecs. (L5.22) y (15.29),

Ep---Ms.B:-("9") . ( , t "^

-r \ : -\' 2m I \ 4tte ¡ct¡¿'t ¡

- fz" s.L.8neoc3m2d

El aspecto más importante de este resultado es qu€ la interacción magnética dependede la orientación relativa del espln S y el momentum angular orbital z del electrón.Es por esa razón que se denomina interacción esptn-órbita y se designa a menudopor .6e,sr,. Un cálculo relativista más detallado indica que el valor de Ep,sz es l&mitad del valor obtenido más arriba.

Estima¡emos a continuación su orden de magnitud- Recordemos que según latabla del ejemplo 15.6 se tiene que para el electrón, y es aproximadamente - 2.Adenrás, según la ec. (14.40), la energfa del electrón en una órbita ci¡cular es, enla aproximación de orden cero, E:-Zetl4rceo(2r). Por lo tanto, después de corre-gir E¡,sa con el factor un medio mencionado antes, podemos escribir

Ee,szx =E==S'L.czmzlr

Pero el módulo de z es mru y podemos suponer que el de S es del mlsmo orden demagnitud. Luego, S. ¿ es aproximadamente (mru)t. Haciendo la sustitución, obte-nemos

Ep,st x * lut .

Cornparado este valor con el resultado del ejemplo 14.10, concluimos que la inter-aeción espln-órbita de un electrón orbital es del mismo orden de magnitud que Iacorrección relativista a su energfa. Sin embargo, la interacción esptn-órbita tiene lap,articularidad de que presenta un efecto direccional nlt ido a causa del factor S. f,,que depende de la orientación relativa de /- y S.

Llu análisis cuidadoso de los niveles de energía de un eiectrón en un átomo muestraque S ¡rriede tener sólo dos orientaciones respecto a ¿, paralelo o antiparalelo, lo¡uai esiá de acu,erdo con la discusión que hicimos al f lnai del ejemplo 15.2, En con-scguencia, la ini.cracción espln-órbita desdobla cada nivel de energfa de un electrón&l:" peres (o dobletes) de niveles rnuy cercanos.

560 Interacción magnética (15.14

75.74 Interacción electrotnagnétiea entre dos eargas en ,nov¿-miento

Podemos notar a esta altura que en nuestro estudio de las interacciones magné-ticas nos hemos apartado del procedimiento seguido en los capitulos 13 y 14 paralas interacciones gravitacional y eléctrica. En aquellos capftulos comenzamosestudiando la interacción entre dos partículas, introduciendo luego el conceptode campo, En este capítulo, en cambio, introdujimos primero el concepto de campomagnético en forma operacional, hablando de la fuerza (15.1) que se ejerce sobreuna carga en movimiento. Luego calculamos los campos magnéticos producidospor corrientes cerradas. Hicimos esto por medio de la ec. (15.37), de la cual [siusamos también Ia ec. (15.1)l podemos obtener la fuerza magnética que unacorriente eléctrica produce sobre otra o sobre una carga en movimiento. Perohasta ahora no hemos dado ninguna expresión para la jnteracción electromag-nética entre dos cargas en movimiento. Una de las razones de esta diferenciade procedirniento es la siguiente: las interacciones gravitacional y eléctrica estu-diadas en lcs capitulos 13 y 1.1, respcrtivamente, dependen exclusivame¡rte deia distancia entre las dos parliculas que interactúan; es decir, son fuerzas estaticas.i,a jnteracción puede existir entre partÍculas err reposo y la situación fisica sepuede entonces discuti"r en condiciones estacionarias o índependientes del tiernpo.Por ei contrario, la interacción magnética depende del movimiento de las par-tlculas en interacción, o sea que es una fuerza dependíente de Ia uelocídad. Enun punto dado, el campo magnético de una carga que se mueve respecto al obser-rador depende de la velocidad de la carga además de depender de la distanciaentre la misma y el observador. Pero la distancia está cambiando, puesto quela carga se mueve, y en consecuencia el campo magnético (asi como el campoeléctrico) en un punto dado está variando en el tiempo; es decir, respecto alobservador, el campo magnético de la carga en movimiento es dependíente deltíempo,

Un nuevo elemento entra entonces en la imagen física: la uelocídad de propa-gación de una inleruccíón. Un modo posible de encarar el problema es suponer

(,)(v)

Fle. 16-4?. Efecto de reta¡do debidoa la velocidad finita de propagaciónde los carnpos electromagnéticos.

Interacción electromagné-dos cargas en movimiento.

fis. 16-48.tica entre

j lL. i + ' t¡JrriQS en mqilimicnl',:t 5íJ

i :ne las particrl las irl"teracti lcí! " C,islartri.a; ts ciecir. si le carga g (f-rg. 15.47') ser i t i t r . - : ' i l ccn velocidar i u, e l ca¡ l r ; ' i i c lectrc i r ragnét i r ; , r r l r re q prodoce en A al t iempo I, ,s, , ' l resul tad<l de i : r s i tuacir ' ,n i1" ica el¡ e! espacio c¡rcundante debir la a la pre-sencia i lc la ceriga r:n la r.¡i¡sir: i i ,. i P tt\ t i-:mpo t, simultanea;nente con ia obser., 'a-ción r:n A. trn otras palabi."rls. ¡--odeinos supo!;. i que la interacción electromagné-tica .i¿ propaga in-slaniánearnrnle o con velocidaC ilrt lnita.

Otra siiposición ra"zonable es que la interacción electronragnética es el resultadot1e ciertas "señales" intercambiadas por las partículas interactuantes, y que la"srñ¿i" se ptapaga con uelocidad fíníta c, lo cual requiere un cierto tiempo paraalcanzar un punto dado en el espacio. Si la carga está en reposo, la velocidadfinita de propagación de la "señal" no tiene importancia ya que las circunstanciasIisicas no están varia.ndo en el t iempo. Pero para una carga en movimiento lasituaci<in es diferente y ei campo que se observa en ei punto ,4 al t iempo / nocorresponde a la posición simultánea de ia carga en P, sino a una posición ante-rior, o retardada, P' al t iempo /', tal que f - / ' es el t iempo que tarda la señalen ir de P' a A con velocidad c. Evidentemente P'P : u(l - f ').

Como veremos en el capi tu lo l9 y lo mencionamos ya en var ias ocasiones,Ias interacciones electrornagnéticas se propagan con la velocidad linita c dadapcr la ec. (15.55). Esto elimina ia acción a distancia, por lo que e! análisis delcampo electromagnético producido por una carga en movimiento requiere elsegundo de los enfoques dados más arriba. Como c tiene un valor tan grande,el efecto de retardo es despreciable a no ser que la particula se mueva muy rápi-darnente. Es por esta razón que no se consideró el retardo cuando en el capitulo 14estudiamos el movimiento rie partículas cargadas. Se supuso que las cargas sernovian muy lentamente, de modo que PP' fuera muy pequeño comparado conP¡l. I- ln efecto similar de retardo debiera exisl. ir para la interacción gravitacionalentre rnasas en rnovimiento ¡elativo; sin embargo, aún no se ha deterrninado lavelocidad de propagación de señales gravitacionales.

;\ l escribir la ec. (15.35) no tuvimos en cuenta los efectos de retardo porqueuna corriente eléctrica cerrada produce un campo rnagnético estacionario o inde-pendiente del t ienrpo. La razón de esto es que una corriente constante y cerradaes un cirorro de partículas cargadas, y si éstas están espaciadas uniformementey se rnueven con la misma velocidad, la situación física que se observa es in-dependiente del t iempo" Por otro lado, se puede verif icar que las expresionesrel.ativistas (15.58) y (15.60) para Ios campos eléctrico y magnético de una cargaen rr¡ovirniento, ya incluyen el efe,:to de retardo.

Consideremos ahcra dos cargas h J gz que se muev€n con velocidades o, y o,respecto a un otlservador inerciai O (fig. 15.48). La fuerza quc la carga qr ejercesolrre gz es, de acuerdo con lo que O mide, Fr: qr({', * a, x }Jr), donde {', y ¡}J,

son los campos eléctrico y magnético debidos a q1 que O mide en la posición ocu-p:rda por qr. Por otra parte, la fuerza que la carga qz ejerce sobre ql es, segúnlas rnedidas de O, F, : gr(t 'z * Dr x )J). Comparemos primeramente las partesrr¡agnéticas de F, y .F.r. Ei término o, x l)1es perpendicular al plano determinadopor ¿'^ y '-}3r, roientras que Di x )Jz es perpendicrrlaral plano de qy'132. En con-iccueiicia, ¡:g.tos términos tienen en general dirección y módulo diferentes. En'"' lsl-a de Ia ec. (i i ..64), las partes eléctricas de F, v de F, t ienen también difere¡rte

562 Interaceíón magnétíca (15.14

módulo j, si las cargas están aceleradas, direcciones diferentes, Concluimos porIo tanto que

las fuerzas entre dos cargas en mouímienlo no son íguales en móduloni aclúan en direcciones opuesfas.

En otras palabras: la ley de accitin y reacción no es válida en presencia deinteracciones magnéticas. EsLo implica a sll vez la conservación del mornentum,del mornentum angular y de la energía no serjan válidos para un sistema de dospartículas en movimiento. Este fracaso apcrente de leyes tan imporiantes se debeai hecho siguiente; cuando en el capitulo 7 cscribimos la ley de conservación delmomentum e¡r ia forma Pt * Fz: coilst., estábamos cansidera¡¡do que O medíasimuilaneamenle yt, y f¿; sin cmbargo, eu presencia de una interacción que sepropaga con velocidad finita, el efecto de retardo requiere que ia rapidez conque cambia el lnomentum de unt parlícrrla en un ins',ante dado no esté relacio-nadr con la dei momentum dc ir otra particula en el mismo instante, sino conia correspartdie.nle a un inslanle anteríor, e inversamente. No poderrros esperar,entonces, eue pr -i- p2 sea constante si los momenta se determinan al mismotiempo.

El estudiante recordará que, según la sección 7.4, podemos describir el resul-tado de una interacción como un intercambio de momentum ent¡e las dos par-

Pz

t iculas, Para restaurar la ley de conservación del momentum,debemos incluir el momentum que se está intercambiandoentre las dos particulas y que, en un instante dado, está via-jando entre ellas con una velocidad finita. Esto es, tenemos quetener en cuenta el momentum "en vuelo". Decimos que el cam-po electromagnético transporLa este rnomentum y lo designa-mos con pcampo (ng. 15-49). Por lo tanto la ley de conserva-ción del momentum requiere que

Pt 1- Pz * P"rmpo : cooSt. (15.68)Flcurg 16-49" Análogamente, debemos atribuir un cierto momentum angular

y una cierta energia al campo electromagnético a {in de res-taurar los dos principios de conservación correspondientes. Pospondremos hastael capitulo 19 la discusión de cómo se obtienen el momentum, el moment¡mangular y la energía asociados con el campo electromagnético.

El estudiante recordará que en la seccjón 7.7, cuando presentamos una apre-ciación crÍt ica del concepto de fuerza, señalamos que la ec. (7.5) se debia consi-derar sólo como preliminar, sujeta a una consideración ultcrior de la mecánicade Ia interacción. Esta revisión se ha incorporildo ahora en la ec. (15.68). Es poresto que el concepto de fuerza adquiere importancia secundaria y es necesariodesarrollar técnicas especiaies para analizar ei movimiento de dos particulas eninteracción.

EJEIIIPL0 ló.1G. Comparar la interacción nragnética entre dos cargas con Iainteracción eléctrica entre las misrnas"

t i( i

i,t*-*

/-zo'9t

Bibliografla 563

Salucion: Cnmo qucrerros sólo órdenes de nragnitud, simpli f icaremos la esc¡i turade las fórmuias. l ,uegc,, dadas las cargas q y q', podemos decir que la fuerza eiéctr icaejercida por q' sobre g es qt ' . I l l canrpo magnético producido por q' en q es, si em-pleamos la ec. (15.54), del orden de magnii-ud de u'( lcz. La fuerza magnótica sobreia carga q es, usando Ia ec. (15.1), del orde¡l r ie magnitud de qtr(u'{ lc2) " ' (uu' lcz)q(.Por lo tanto

fuerza magnética uu'

f* . . . lé. t t ' t * =

c '

Asl, si las velocidades son pequeñas respecto a Ia velocidad c de Ia luz, la fuerzamagnética es despreciable frente a la fuerza eléctr ica y se puede ignorar en muchoscasos. En cierto modo, podernos decir que el magnetismo es una consecuencia dela velocidad f ini ta de propagación de las interacciones electromagnéticas. Por ejem-plo, si las cargas t ienen una velocidad del orden de 106 m s-r, que corresponde ala velocidad orbital de los electrones en los átomos, tenemos que

fuerza magnética

f"""r^ "lé"t.ia^

: ru "

A pesar de su valor pequeño respecto al de la fuerza eléctrica, la fuerza magnéticaes la que se usa en los motores eléctr icos y otras apl icaciones tecnológicas, por lasiguiente razón. La materia es normalmente neutra eléctr icamente por lo que la fuerzaeléctr ica neta entre dos cuerpos es cero. Por ejemplo, cuando se ponen dos alambresjuntos la fuerza eléctr ica resultante entre el los es nula. Si se mueven los alambres,las cargas posit ivas y negativas se mueven en el mismo sentido, por lo que la co-rr iente total en cada uno es cero, siendo entonces cero la fuerza magnética resultantetambién. No hay por lo tanto ninguna fuerza entre los alambres. Pero si se apl icauna diferencia de potencial a Ios alambres, Io cual origina un movimiento de lascargas negativas respecto a las posit ivas, se produce una corr iente neta en cadaalambre que da como resultado un campo magnético. Como el número de electronesl ibres en un conductor es muy grande, su efecto acumulado produce, aungue susvelocidades sean pequeñas, un giran campo magnético gue da como resultado unafuerza magnética apreciable entre los alambres.

Aunque la fuerza magnética es débil comparada con la eléctr ica, es todavla muyfuerte comparada con la gravitacional. Recordando la discusión que hicimos en lasección 14.6, podemos decir que

interacción magnética

interacción gravitacional

Para velocidades comparables a las de los electrones orbitales, este cociente es delorden de 1032.

x l}ss "uc2

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tr6. Foundations ol ltÍodern Phgsical Science, G. Holton y D. H. D. Roller. Addison-Wesley, Reading Mass., 1958, secs. 28.4 a 28.7

Froblemas

15.1 Un electrón con una velocidad de108 m s-r €ntra a una región donde hayun campo magrrético, Encontrar la in-tensidad del campo magnético si el elec-trón describe una trayectoria de radio0,1 m. Encontrar también la velocidadangular del electrón.t5.2 Se aceleran protones a través deuna diferencia de potencial de 10c Vpartiendo del reposo. Luego se los in-yecta en una región donde hay uncaúpo magnético uniforme de 2 T, conla trayectoria perpendicular al campo,¿Cuál será ei radio de la trayectoria ¡r lavelocidad angular de los protones?15.3 Un protén se mueve en un campomagnético a un ángulo de 30" respectoal campo, La velocidad es 10? m s-l yla intensidad del campo es 1,5 T, Calcu-Iar (a) el radio de la hélice descrita,(b) la distancia que avanza por revolu-ción, o paso de la hélice, y (c) la fre-cuencia de rotación en el campo,15.4 Un deuteró¡r (isótopo del hidró-geno de nasa mu)¡ cercaná a 2 uma)describe rrna órbita circ'.rlar de 40 cm de

radio en un campo magnético de 1,5 T"(a) Calcular la velocidad del deuterón.(b) Determinar el tiempo que tarda enda¡ media revolución. (c) ¿A través dequé diferencia de potencial se deberfaacelera¡ el deuterón para que adquierala velocidad de la parte (a)?15.5 Un protón que tiene una energfacinética de (a) 30 MeV, (b) 30 GeV semueve perpendicularmente a un campomagnético de 1,5 T. Determinar en cadacaso el radio de la trayectoria y el pe-rfodo de revolución. Notar que en (a) elprot.ón se puede tratar clásicamente yen (b) se debe tratar en forma relati-v ista.15.6 ¿Cuál es el campo magnético quese requiere para que un protón de30 GeV describa una trayectoria de100 m de radio? Encontrar también lavelocidad angular. Notar que el cálculodebe ser relativista.15.7 LIn ion de ?Li con carga +e tieneuna masa de 1,2 x 10-ro kg. Se lo ace-lera a través de una diferencia de poten-cial de 500 V y entra luego en un campo

L

- l¡aB

É_-10 cm-=i

Flgura 15-50 Ftgura ló-51

magnético de 0,40 T moviéntlose per-pendicularmente al mismo. ¿Cuál es elradio de su trayectoria en el campomagnético ?

15.8 Un electrón en el punto A de lañg. 15-50 t iene una velocidad uo de10? m s-1. Calcular (a) el módulo y ladirección del campo magnético que haráque el electrón siga el camino semi-circular de ,4 a B, (b) el tiempo que tardael electrón en moverse de A a B.15.9 Uno de los procesos para separarlos isótopos 3sóU y ¡slJ.se basa en ladiferencia en el radio de sus lrayectoriasen un campo magnético. Suponer queátomos de U simplemente ionizados par-ten de una fuente común y se muevenperpendicularmente a rrn campo mag-nético uniforme. .Encontrar la máximaseparación de los haces cuando el radiode curvatura del haz de 236U es 0,50 m€n un carnpo de 1,5 T, (a) si las energiassr¡n las mismas, (b) si las velocidades sonlas mismas. El superfndice a Ia izquierdadei slmbolo qulrnico es el número másicoque a los f ines de este problema, se puedeidenti f icar con la masa del átomo enuma.

15.i0 Una t ira delgacla de cobre de1,50 cm de ancho y 7,25 mrn de espesorse coloca perpendicularmente a un campomagnético de 1,?5 T. A lo largo de latíra ha5' una corr ieule de 100 A. Encon-trar (a) el campo eléctr ico transversaldebido al clecto Hall , (b) la velocidad dearrast]'e <le l¡rs electrones, (c) la luerzatransversal sobre ios electrones. Suponerque cada átomo de cobre contr ibuyecon un electrón.

Problemqs 565

Flguro 15-62

15.11 Un campo magnético uniforme'] i está en la dirección O y, como semuestra en la f ig. 15-51. Encont¡ar elmódulo y la dirección de la fuerza queexperimenta una carga g, cuya velocidadinstantánea es o, para cada una de lasdirecciones que se muestran en la figura.(La f igura es un cubo).15.12 Una partfcula de masa m ycarga q se mueve con velocidad uo per-pendicularmente a un campo magnéticouniforme, Expresar, en función delt iempo, Ias componentes de la velocidady las coordenadas de la partfcula refe-ridas al centro de la trayectoria. Repetirel problema para una part icula cuyavelocidad forma un ángulo d con elcampo magnético.15.13 Una part lcula t iene una carga de.1 x 10a C. Cuando se mueve con unavelocidad o, de 3 x 10a m s-r a 45" porencima del eje Y en el plano YZ, uncampo magnético uniforme ejerce unafuerza F, según el eje X. Cuando lapartfcula se mueve con una velocidad¿t" de 2 x 10{ m s-r según el eje X, seejerce sobre el la una fuerza F2 t le4 x 105 N según el eje Y. ¿Cuáles sonel módulo y la dirección del campomagnético? (Ver f ig- 15-52.)15.14 Se disparan part lculas cargadasdentro de una región donde hay uncampo eléctr ico y uno magnético cru-zados. La velocidad de las partfculasincidentes es normal al plano de los doscampos y éstos son perpendiculares en-tre sí. La intensidad del campo magné-t ico es 0,1 T, El campo eléctr ico estágenerado por un par de placas paralelas

566 Interaccién maqnética

iguales y de carga opuesta, colocadas a2 cm una de otra. Cuando la diferenciade potencÍal entre las placas es 300 V,no hay desviación de las partfculas. ¿Cuáies la velocidad de las part Íct : las?

15.15 (a) ¿,Cuál es la velocidad de unhaz d¿ electrones cuatrdo la inf luencia.; lmulthnea de un campo ek'cl .r ico i l ¡rinren¡; i l ¡r i l 3,{. r 10¡ \r rn-- i : i ( lc :rr ' ¡calnp.r i i ragnói ico c ie l 2. t l T t re, i>ei l : i i t ' i i .lar , : . i r l . i a l h i . ¡2, f l ( f p i {Jt l i i ( ' { : 1 l . r r ' ' ¡ ;1¡ i ¡ , r i i

; - i ig, , ¡ ¡ ¡ r ' te lO.. r t ; { 'Ci in}res? l } ; } i i ' l ' ' i . r l ¡ t 'i , ; : i ; i i i i i : lgrai l ia l ;1 cr icr i : r ¡ i , i : l re l : ¡1, . . ' : :

i l : ' lo: : t rcctulr , : : a:" r" ' , iJ . i r ' ) ¿Crr: : i , : e. i¡¿i¡1!¡ : r le Ia í ¡n, i i : ¡ e ie¡ : ! ¡ ¡ ,n i r . '¿r cr ' ¡ i i r ' id{ ; a) . .1:rrrp¡ ' i l rc c i c; t t r ¡ ; r t l l t i r t t ' ico I

i i .1í . i 'L,rre part- i t l r ia i l , : lna.st : ; ,ü. ' . j l - : " -

Ig t ;* : t i : ur t :1 r 'a¡ '¿{a t t* 2. : - ' ' . . . I t } -* C. i : t :ie i rnpr l r r rc t i r l ¡ l ic i ¡ 'c i r l l i l in i r : ¡ : r l t r , . i i -z i ln i . r l d(r t i ,ú x 1.0a tr ' t t - r .

¿{ iu i i lcs so} ie l rnóduio y la direeción del carnpc rrrae-nél . i r :o mínimi¡ que ¡nantendrá la par-t icula moviendose en una dirección ho-r izon|aT, equi l ibrando la fuerza gravi ta-

c iana. l de la t ierra?

15.11 En un espectrómetro de masastal corno el que se i lustra en la f ig. 15-12,una diferencia de potencial de 1000 Vhace que iones de 2alfg con carga l- edesc¡iban una trayectoria de radio R.(a) ¿Cuál será el radio de la tral 's¡¡o¡¡,descri ta por los iones de 25Mg si se lesacelera a través del rnismo pctencial?(b) ¿Qué dife¡encia de potencial harÍaque los iones de $tr{g describieran trnatrayectoria del mismo radio R? (Srt¡ro-ner que las masas son, en i lma, iguales:r l número rnásico indicado como super-fnr- j ice a la izquierda del símbolo quf-mico,)

15.18 Un espectrómctro t le l ¡asas t i i :neun \¡oltaje acelerad<;r de' 5 k\r -v ¿lncarnpo nrrrgnético de 10-s T. Enconlrarla distancia cntre los dos isóto¡:os €¿Zn

y loZn del zinc. Por distancia entende-mos la separación de las dos manchasque aparecen en Ia ernulsión de la placafotográfica después que Ios iones r leu"Zn y ToZn con carga -f e son acele¡adosprimero y luego obl igados a r lescribiruna seü!icircunferencia. Ver f ig. 15-12.lSugerent in: no caicular cada uno deIos radios's ino obtener una ecuación { jüedé directamente la separación. (c) ( la!cu-lar la velr ic i r lad t ic los ioncs para ver s i

será nccesario hacer una corrección re-lat iv ista. I15.19 El espectrómetro de masas deDen"rpster, i lustrado en la f ig. l5-t2,empie¿ un campo magnét ico para sepa-iar ior ies quc t ienen ¡nasas t i i ferentesperrr ia m.isniu energia. El espectrómelrod¿ nrr¡s¡r.s de IJnínhtidge ( l ' ig. 15-5:3) es, . r t r r ; d is¡r t ,s i t r r o posi i r lc que separa i r l ¡ resr¡ i i r ' f i i : i rci l la ¡¡¡ ls;r¡a uelr,ci : lnd^ l)espuósi i r ' ; , l r :1!cs¿¡ l ias iendi j i rs, lüs iones pasanJ)t)I r- ln i l ! ¡ , . i rrr de velo.., : i r lai ies c.). in-l l l :11ry dp u¡: r¿i i r ' l r ¡ r . iér : t r l r 'o l 'pr . . r i iu-r: idr-r f¡¡¡ l Ji ls i : i : r l : i is cargadlrs , t ) ' l t ' , yr : f t i r r ( i¿¡rnl i ) rn¿gnrt ic( ! ) / ¡ r*- ' l 'pei ; i i i r l r iari i l r ' t t f : i ) t ' t l r : t t r i . u. I . r 's ion,- 's t l l te i r ¡ ¡ r¿¡¡rr i . i ¡ r l r . i ¿ i , : : los ca¡rpos cruzados si l l dcs-.,¡ ; ,¡st i : l l l ra;r f- ' t l ul t .1 rcgit i t i r ionl lc hayr i r r segundr- i canpo r lagnét i ro )J 'dcscr i -i r ie;rr i t . ¡ ór l i i tas sernic i rculares. [ . lna placafol .ográñca F regist : 'a su l legada. Derr¡rosfrar qur: qlm : t l r l ) i ) ' .15.20 El carnp,r eléctr ico entre las pla-cas del selector de velocidades de unespectrómetrc¡ de nrasas de Bainbridgees 1,2 x 105 v m-l y ambos camposmagnéticos son de 0,60 ' I" . Un haz deiones de neón con carga +e se mueve

Placa r

Figur¡ ló- ir f |

en una trayectoria circular de 7,4 cm deradio en el campo magnético. Determi-nar !a masa del isótopo de neón.

15.?1 Suponer que Ia intensidad eléc-tr ic¿¡ cntre las placas P y .P' de laf ig. 15-53 es 1,5 x 10a V m-¡ y quearnbos canrp(Js magnéticos son de 0,50 T.Si kr fuente cr¡nt iene los tres isótopos

ralvdg, aalf,{g y 23Mp, del magnesio y losiones tienen catgá. +e, €ncontrer la dis-lancia entre las lfneas formadas ¡+r iostres isótopos sobre la piaea fotcgrálica.Suponer que las rnssas atómicas de ]osisótopos son, en uma, iguales a sus nir-meros másicos indicados a la izquierdadel sfmbolo químico.

15.22 En un espectrómetro de masastal como el que se muestra en Ia fig.15-54, es dif ici l asegurar que todas laspartfculas llegan perpendicularme¡rte ala rendija- Si R es el radio de Ia trayec-toria, dernostrar que las partfcuias quellegan a la rendija formando un pequeñoángulo 0 con Ia normal llegarán a laplaca fotográfica a una distarrcia p (apro-ximadamente igual a R0,) de las queinciden perpendicularmente. ¿Cuál es elvalor de 0 para el cual esta separaciónes menor que 0,1]f de 2R? (La situacióndeseriia en este problema se denominaenlaqzte rnagnétíco.)

15.23 En el espectrómetro de masas deia flg. 15-55, los iones acelerados por unaditerencia de potencial entre S y A en-tran en el campo tnagnético que cubreun sector de 60" y son enviados a unaemulsión fotográfica. Demostrar gueqlm ,:321r¡fi 'D"" Estudiar los eambiosde posición de C para pequeñas desvia-ciones de la dirección de incidencia.

15.24 .En dr.ier¡ninado ciclotrón, Iosprotcnes d,escril¡en una ci¡cunferenciade 0,40 m de radio poco antes de emer-ger. La freeucncia del potencial alternoentre las des es 747 Hz- Despreciandoefectos relativls!¿s, calcular (a) el campomagnético, ib) la velocidad de los pro-

Problemas 587

Ftgurc ló.66

tones, (c) la energia de los protoncs enJ y en MeV, (d) ei número minimo devueitas completas de los protones si elvalor máximo del potencial entre lasdes es 20 000 V.

75.25 Repetir el problema precedentepara un deuterón y para una partículaalfa (núcleo de helio). Sus masas son2,014 uma y 4,003 uma, ¡espectivamente.

15.26 El campo magnético de un ciclo-trón qre acelera protones es 1,ó T. (a)¿Cuántas veces por segundo se debeinvertir el potencial entre las des? (b)El radio máximo tlel ciclotrén es 0,35 m.¿Cuál es la velocidad máxima del pro-tón? (c) ¿A través de qué diferencia depotenc.ial se tendrla que acelerar el pro-tórr para imprimirle la velocidad má-xima que da el ciclotrón?

l'¿.27 En un ciclotrón, los deuteronesdescriben una circunlerencia de 32,0 cmde radio inmediatamente antes de emer-ger de las des. La frecuencia del voltajealterno aplicario es 10t Hz. Hallar, (a) elcarapo magnético, (b) la energfa y velo-cidad de los deuterones al emerger. Larnasa rle un deuterón es 2,014 uma.

15.28 tIn tubo de rayos catódicos secoloca en un campo magnético uniformeii de rnodo que el eje del tubo sea para-

lelo a las lineas de fuerza. Si los electro-nes gue emergen del cañón con una ve-locidad u forman un ángulo 0 con el ejecuando pasan por el origen O, de modoque su trayectoria sea una hélice, de-mcstrar (a) que tocarán nuevamente eleje al tiempo t : 2nmlh, (b) que lacoordenada del punto de intersección esr : Ztmu cos 0/'I/9, y (c) que para pe-queños valorel de 0 la coordenada deipunto cle intersección con el eje es inde-irendiente de 0. (cl) El dispositivo de este

CamPo t' l lgal iendo

Flgura 1ó-64

568 Intcracción müqnelicü

problema se clenumi:ra ki le r",o'¡néíica :

¿por qué? ie' ' ¿Eit r lué i i i f ierel ias tralt ' l ; -tor ias de los elel:+.rcnes qne l ia-a.n por: ' : )oriqen forntando uri ángujo 0 1'o; ei: i : : i i ' . :del eje y ias de los qite pasan ioi: l ianrloel rnism{-¡ ángu}o por debajo r iel t ' je ?

1i.29 5e inyectan i i ror.ones c¡: i l l fe i

de ei:ergia a un cierto ánguio col i i ' r 's 'pecl.r) a ltn canlpo nragnétl.co unifot'-:;r:de 1 T. ¿A qrré distancia volr"¿r:án i¿¡particul*s a rin pun!-o coriiún i1e ititer-s¿ceión con el eje?

15.30 IJna partlcuia rle carga g v -;elo-c idad.un (seqún el e je X) entra .n ui¡¡regiÓn donde hay un carnpc r!-¡íi¡4!1'ili{:o(segúir el cje Y,i . $!o' ; i rar que, s! l¿ '¡r : i i l -cidad uo es suÍici+:rite¡.rel1te gru-nde íiui'Ilripa¡a que el ca¡nbio de dire¿ción ctadcspreciabie . '" ' ia fuer¿a magnéllca iepueCa considrrrr col istart te ¡ )araietaal ejc Z, la ecriación d€ la trnyecLoria dela partlcula cs z == (qül2vom)xg.

15,31 Una part icula de carga I Y i¡ t :-locidad uo (seg,1n ei eje X) entra en unaregión (ng. 15-56) drlnde hay un campoeléctrico y uno magnético uniformes enIa mlsma dirección (según el eje Y). De-mostrar que si la velocidad a, es suffcien-temente grancie como para que el carn-bio en su dirección sea despreeiable y la

tII

I-entosRápidos

I{

i l lc¿s ul: !¡ . : :znt¿tj ja ¡:cr:, t ' t r l ic" lar a1 eje -Y,iodar ler I l : t i t , i i : :s 1ir. i t t ,¿og&Ir el mismoco¡ic¡rte ür, 'n i¡rcidiráir a lo largo t le t inapxrábola r ir t ia, int lcpendientemente de.;u teioc,t ' ler l inici : i l . i jor lo tanto habráula paribt la para cad* lsóiopo presenlee;r el haz inl iCe¡rte,

1i 32 Lina n-irt icula de cai 'ga q y masa¡l) se l íuel 'e err iLe dcg placas paralelasr ' tr 'Éadas y separarias a una distancia ñ.Sc apl ica un canrpo nragnético ult i formep;:raleio a las plac.as y dir igiclo como seint l ica en ia 1ig. 15-57. Inicialmente ia¡rart lcula esiá en reposo sobre la placainf,:r ior. la) EscriL¡ir ias ecuaciones de

Ficura 1ó-í¡7

movimiento de la partfcula. (b) Demos-trar que a una Cistancia y de la placainferior, p" : (qlm)'Bg. (c) Demostrarquc el módulo de la velocidad está dadopor a2 : 2(qlm)Cg. (d) Con los dos re-sultados precedentes mostra¡ queus: (qlm)trzÍ2{ 'J -(qlm)'"}3'gz|t t , Y gueIa pa.rtlcula pasará rasando la placa su-perior si ( : \(qlm)'B'h.

i5.33 l ln una tegión donde haY uncampo eléctrico y uno magnético uni-formes y en la misma dirección, se in-yella una partfcula de carga q y masa mcon una velocidad ¿ro en dirección per-pendicular a la dirección comirn de losdos carnpos. (a) Escribir la ecuacién demovimiento en coordenadas cartesianas'(b) l'Iostrar por sustitución directa en laecuación de movimiento que las com-ponentes de la velocidad al t iempo Iso¡ L'¿ : r,o coS (q'l3lm)t, v, : {qC!m,\t yrrz : s€rl (q}lm)t. (c) Del resultado pre-cedente, ot¡tener las coordenadas de lapartfcula al tiempo f. (d) Hacer un grá-fico dc la trayectoria. (e) ¿Cuál serfa el¡¡¡ovimiento de la partlcula si la veioci-dad iniciai de la misma fuera paralela alos ,rampos? iSuge.rencia: Para las res-pue:tas da'Jas, el eje X está en la direc-

Isótopopesado

Fignra 16-50

fuerza magnética se pueda considerarconstante y paralela al e¡e Z, (a) lascoorrienadas al t iempo ¿ son c : üof,y : l@{ lm)tz y z : l(quo:l6ln)t2. (tr) Eli-minando f -v uo de estas ocuaciones. obte-ner la relación z2lg: $(-1131()@lnn)'zr 'z.El resultado t iene apl icación en uno delos primero$ espectrógrafos de lnasasque fueron <l iseirados, porque si pone-

F&

\2

)

+++++++

ción de uo y el eje 1' está en la direccióncomún a los dos campos (ng. 15-58).1

15.34 En una cierta regiórr hsy uncarrrpo eléctr ico y uno magn4tico uni-for¡nes y perpendiculart 's entre sf . Seinyecta una partícula con velocidad unparalela al campo magnélico" (a) Es-cribir la ecuación de movimiento de lapart icula en coordenadas eartesianas,

Figura 15-.í8

(b) Mostrar, por sustitución directa, quelas componentes de la velocidad altlempo ú son u¡ : uo

uy: ( f l ) l ) sen (g) l /m)t ,

vos : - (¿/ )j)[1 - cos (g Blm)tl.

(c) Dei resultado precedente, obtener lascoordenadas de la partlcula al tiempo f.(d) Hacer un gráfico de la trayectoria.lSugerencia: El campo magnético estáen la dirección del eje X y el eléctrico enla del eje Y. l15.35 Resolver el problema 15.34 parauna partfcula cuya velocidad inicial esparalela al campo eléctrico. VeriÍ icar guelas componentes de la velocidad so¡rúx :0,

uu : oo cos (q Dim)l

+ (ai ), sen (s')i/m)Í,

0z - - (C/ )i)f 1 - cos (g )l/m)ll

- Do sen (qIl lm)L

15.36 Resolver el problema 15.34 parauna particula cuya velocidad inicial esperpendicular a ambos campos, Verificarque las componentes de Ia velocidad sonur:0.

uv : ( I lj * uo) sen (g ljlm)f,

Problemas 569

vDs: - (¿/) t + ( i / l . l + uo)cos {qBlm}t .

Demostrar que para gue la parttcula senirreva a través dei campo sin desviarse,es ¡¡elesario que u0 : - ( l '¡J, Compararel resultado con lo dicho en la sección 15.415.37 Con referencia al problema 15.34,veriñcar que cuando la velocidad tieneuna dirección inicial arbitraria, las com-ponentes de Ia velocidad al t iempo ISoD, tt : Do'",

u" : (€lli i- uoa) sen (g )J/m)f

+ ,o¡, eos (q Dlm)t,

' ,, : -{ltJ + (c/}J 1- ue,) cos (q'tum)t

- D6¡r 5€ll (q)1lm)L

Obtener (por integración) las coordena-das de la partlcula y discutir la trayec-toria. Comparar con los resultados de losproblemas 15-35 y 15.36.

15.38 Con referencia al problema 15.33,(a) demostrar que cuando (qblm)t ( l,las coordenadas de la partícula se puedenexpresar en la forma r.:t)olt g:@( l2m)tty z : (ooq )l l2m)tr,lo cual coincide con elresultado del problema 15.31.

z

Figure 15-59

15.39 Encontrar la densidad de co-rriente (supuesta uniforme) que se re-quiere en un alambre horizontal de alu-minio para hacerlo "flotar" en el carnpomagnótico terrestre en el ecuador. Ladensidad del Al es 2,7 x 1o8 kg m-3.Suponer que el campo magnético terres-tre es de alrededor de 7 x 10-5 T y que

"l

570 Interac.ción maqnético.

el alambre está <¡r ientado en la r l i recrieineste-oeste.

15.40 Encontrar la f r - te i 'za s{) i r re ca( launo de los segtttentt ls dt l alarrbre qü{j s( '

rnuestra¡r en 1a f ig. 15-i9 si ei r¡-r ir tr' i j =- 1.5 T es par*lelc a ÚZ e I - . 2,{. \ ; ' " .

La arista del cul.¡o rnir le i-) '10 m

1i].41 1:,1 pialL, {1{) u}1?. tsl l i i .a- r i l ' l i i t i lgr i l*r i1t alamb;' t i ie 5,{) cni x f} [ i : ' ¡ : i ¡¡ :

raraiei i ; í l i ln catnpo rnagt:ét ico r ie 0, i l> '1" .

i r ) Si r :n, i c; .1 ' r ipnle r l t ' ]U. \ i ' i rc i t l i ¡ pt i lla e:¡; iru.- ¿qut tcrqr-:¿ ¿rctúra sol,rre ei ial

i l ¡) ¿Cu¿il es el rno:ncnto magnéti-c* t ie i¿respirrr? (c) ¿Crrá] es el torque máxi¡trc'que se pt tet lc ob l , . rner con c:a cort ie l l tccirculan-do por la misma iongi lud dealalnbre- en este camp(, rnagnótico?

,'

l ' ieure l5-{i0

15.42 La espira rectanguiar de la l ig.15.6{r pueCe girar alrerledor clei eje i- 1'l lel ' i r una c¡r i i i tnte de 1t l . \ e¡1 el r .er+' i4{ri l rcl i r : :-dr;- { :r) 5i ia esir ira t ' r l .á en ).}¡t

i jarnl, iü Bj-a; lr lr- i t i i )ü uniÍ l¡r lne dr: i t ,) i - pa'raiel l- : ai r . je X, caicr: lav ia f l¡+¡"¡: l l t t l his{r!¡ ie clr lu- l :rdc Ce la espira \ ¡r i i l t i . : i l . 'cn N nl ¡¡ i l r i , lcr i i l t l i r¿1ra niarl tJnt i ia! ¡ :r .p i ra *n i r i pr :s ic ión que se i . l : ' :c \ i l . ' .(b) Lo misrno que en (a) ' exí :epro qu€Ia espira está en u¡l canlp' l paraiei- ' r aleje Z. (c) ¿Qué torque se requerir ia si laespira pudiera girar alrededor de un ejeparalelo al eje Y que pase por su centro?

15.43 La espira rectangular de alam-bre rnostrada en la f ig. 15-61 t iene unamasa de 0,1 g por centimetro de longitudy puede girar sin roce alrededo¡' del lado,{8. Por el alambre clrcula una corr ientede 10 A en el sentido indicado. (a) Calcu-lar el nródulo y el senti t lo del campomagnético paralelo al cje Y, que haráque la espira gire hasta que su plano

---'- r

Figura 1é"61

forme un ángulo de 30" con el plano YZ.(i ;) Hacer cl rstudio para el caso el1 queei campo es paralc lo al e je X.

1í.,14 ¿.Cuál es el lorque máximo sobreuna bobina de 5 crn x i2 cm compuestar ie t i0() r 'uel tas ct tando l leva'una co-rr iente de 10-5 A en un campo unif<lrmet ie 0,1 T?

15.4i¡ La bobina de un galvanómetrode hobina móvil t iene 50 vueltas y en-cierra un área de 6 cmz. El carnpo mag-nético e¡r ia región en la cual se muevela bobina es de 0,01 T y es radial. Laconstant.e de torsión de la suspensión esk : 10-o N m/grado. Encontrar la des-viación angular de la bobina para unacorr iente de I mA.

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Figura 1é-62

75.46 Una espira de alambre en formade cuadrado de 0,1 m de lado, yace sobreel piano X Y, como se muestra elr laf ig. i 5-62. En la espira hay una corr ientede I0 A en el sentido indicado. Si seaplica un campo magnético paralelo aleje Z y de intensidad ) j : 0,1¡ T (donder está en m), calcular (a) la fuerza re-

srl l tante sobre la €spira y (b) el torqueresultante respecto a O.

15.47 Repetir el pr-oblema prececienteuuando se apl ica el r;arnpo rrragnéticosegún el eje X,

15.48 t lna espira circrr lar de radio a ycorriente f está centrada er el eje Zy es perpendicuiar a ó1, Se .produce urrcampo rnag;rét ico con si¡nelr ia axial al-rededor del eje Z que forma un ánguic 0con el eje Z en putrtos sobre la espira(n9.15-63). (a) Encontrar, para cada¡,¡no de ios seirt idos pos¡bles cie ia cori iente, ei mócluio .r ' la dirección de lal:uerza, ib) 3u¡roner que el c ' . i rcuito estan pequeño que se puede considerar(:omo u¡'r cl ipolo magnético y que el{. ' Í t¡r¡pi} rrragnético sigue la ley de lainversa del crra¡lrado cle la r l ist.anciai i ; t =. A' lr?), Demostrar que la fuerza so-L'¡e el circi¡ i to es .F' --- r : Xí(d'),) ldr ') ,i* l¡¡ ie M €s si i momento dipolar rnag-:rét ico que está arientado según el eje Z.F,sie resultarrro €s g€n€f&l y rnuestra queurt t l ipr: lo se moverá en la dirección enqtte el campo crece cuando está ol ' ie¡r-tado segirn el campo y en sent ido con-treriü cuando está orientado en sentir loopuesto al ciel campo. {Conrparar eon elresultado sirni lar encontrado para undiprj lo t1¿.t. ico, ser:ción 1 4. I 1.)

Figura ló-63

15.49 (a) Calcular Ia velocidad angularde precesión del espin de un electrón enun campo magnético de 0,5 T. (b) Calcu-lar la misma cantidad para un protónen el mismo campo, suponiendo que elespfn de un protón es igual al de unelectrón. lSugerencia: Usar los valoresde y que se dan en la página 536.115.50 Calcular el momento dipolar

Problemas 571

magnético de un electrón en un átomcde hidrógeno, suponiendo que describeuna órbita ci¡cular a una distancia de0.53 x 10-10 ln del protén. üalcular la'vel¡; t : idad angular de precesión Cel elec-trón si está en u¡l campo rnagnótico de10-5 t ' ( lue forma un ángulo de 30o conel momentum angular orbital.15.51 Calcular el factor giromagnéticoy para un dísco rotante de radio R queticne ulra carga g distr ibuida uniforme-mente sobre su supr:rf feie.

15.52 Repetir el problema 15.51 parauna esfera cargada uniformenrente entodo su volumen. ISugerencia.. DividirIa esfer¿ e¡r discos perpendiculares al ejede rutació¡r. ] Del resultado de est.e pro-blema, ¿qué puedc t j , l . concluir acércade la estrut:tura del eiectrón?

15.53 El gauss es una r¡nidad frecuente-mente usada hasta hace poco para ntedirel campo magnético. La relr¡.cién entre elgauss y el tesla es 1 T : 10¿ gauss.Ifostrar que cuando se mide la fuerzaen ci inas. Ia carga en stC, el campo mag-lrét ico etr gauss y la velocidad €n cm s-1,ia fuerza magnética €stá dada porF:{ v 1g*togr:r ) } .

1.5.54 Encontrar la fuerza sobre la por-ción circular del conductor de ia f is. 15-64si ia corr iente es I v ei campo magnét icounifornre lJ está cl ir igido hacia arr iba"Demostrar que es la misnra que si elconductor fuera recto entre P y Q.15.55 Demostrar que la fuerza sobreuna porción PQ de rur ala¡nbre conduc-tor (f ig. 15-65) que i leva una corr iente fy está colocado en un campo magnéticouniforme't l , es /(F[) x ]J, siendo por lotanto independiente de la forma delconductor. Aplicar al problema prece-dente. Concluir de esto que la fuerzasobre una corriente cerrada colocada enun campo magnético uniforme es nula.

f5.56 Considerar una espira cuadradade alambre, de 6 cm de lado, cuandopor ella ci¡cula una corriente constantede 0,1 A y está en un campo magnéticouniforme de 10-{ T. (a) Si el plano de laespira está inicialmente paralelo al campomagnético, ¿se ejerce algún torque sobrela espira? (b) Contestar (a) cuando la es-pira está inicialmente perpendicular alcampo magnético. (c) Expresar el torque

572 Interaccíón magnética

Figura 15-S4

L.Jf | . :

FiFrt¡r i l i -{ . iü

ej¡ fr , iü¿:i( :n t lel ángi]),-r t¡ue la nOrrlal e lairpl¡a fr:r lna con el cámpo ..r ' :agnéii , . :o"flr,¡t:'c lrn t:ir gríÍrcl,.rric r;t ¡ I ? ..trl u ¡: i.:i:':r: i ingr l r - r . ; ; : i ;án, . i t tnt : 'e C i l ; : . l r l : q:' ' , ; J i . i r , , . jc i , ' ¡ i t i i1 { i i rL , : i i ¡1"¡ j t ¡¿ 3(, ' l ; ; r ' '1",11i ] ; ¡ ' t , , - ¡ ¡ : lu, l t , ,s1; i t : ' i r . : l , t a i ; l i . r : . . ', ; i ; ' i l . ' i ¡ . t t . : i : - t ' . i . ( t i : i r ¡¿i , i r , , '

i l - , ' ;? Sl i i ; . ¡ Si t , 'A(."r : ) i t c i C?)¡ t - i i - ) t ,sÍ i r l i : . . .?, . tA, l , , r , : i . r l ) i l , i : ' t : - ,1 ' ]q;13. palrr" : l ¡ l i t ! : .

- , i i ' i ) , , r I : : - ' , r - l 1 i , | } : . ' i i l r i l : : r j , t i l ITf i ' r i i - - r - : : í . ' i r -1 r . . : : i i i { i i , : . úúr l : i ,11}1!r , ; . i . i ' ¡¿ í la l l f i t? ¡Cr: , - ¡L¡¡ . : i i i ' r i r ja i la Ud. r : l sc¡ : l idc, , l t ' . l ; r r r , ¡ ; i r i : i :¡ ' r r i¿ 1, , ' r i . r t i j : ic se nt*¡ l r . io;r* en le l i Í! : r : . i r : i i ' i . t i ( . l l¿, .St¡ [ r ra] l lC!nÍ . ! , ' - l ) ¡ ' q ' , ¡ r :u i i i ,e: l i ) s¿r i ; ¡ t - r tp ca¡nt¡ ic?

. : : ' , . i r ' , f )c i : i t - t a:¿nlbr i : in! l ! r i i ! . - j t le i l l r ,l¿! t $ i . : i - j i 'c l i l t ' . : I i i l 1:rür ' rLr ' j i r . l .c c,Éct¡ ' ic ; l da.1 ."!: c::l{:!rt;rr la inie'¡::ijrJrrtl Li,:l (,'aJ;r'r}:.)o

xr¡gir{ l icc plor iucidr i * ¡ r r } í t Ci-r ' i ¡ r ¡cr¡ d¡ :( \ , í3 ' / l 0*10 ¡¡ l : i ¿ i 1 nl . { ; ¡ l ru l l t : la i i , -b¡én ei carnpai e]éct ; : icc en er ics ; runt4s.iÍ'.it\) Por iu¡ ¡ l¡r ¡ni;r¡ i ' lct(., i- lai.{üci¡rula ur: i i i : ( r r ¡ . ie¡ j -e t ic i . r i i r i . Ua el ' :c-i r ¡ l t v la j* cí ; ¡ l t ,ca velr :c i i lat l { la; ; . í i l tm s--r ¡ :araielanre. l l i * r l r i a lar¡ i : re v aírr ¿ii i f i : , Í iC S¡rr , . i r :0 de l : i c i l f f ie l r i ¡ : . i t ü. i ¡ i<! t i ¿ l l t in i ¡ re. ¿(f uí l r r*rza i j r : r , : . . r e l c.r . i . rn; ¡ : ri le gi t r l i r :o c i r la c, , : r ie¡ , l r - r sr ih i r r r j ; : ! ' ¡ l r -f . l ¡ i : - r e l : l l l i l \ : l i : i t1 i ' r i t 'J

l ; . t iú ))enrOst l i r r , r ' , . :¿ l i i ¡ r l¿ i , . , . : . t '1 i l . í i : ¡ ,que ei calrpú;; iagi t í : l ;c0 d, \ : u! i¿ i t ( - ¡1 i ' i | ] i i i 'fect i l inea trstá dat l i ¡ I rof i r i €r . (1 i ) . , : l j .

l5.6l Lremos{rar t lue el canl l to . r - la! ; } rc.-t ico produciCo por una corr ie l r te ref l " i -l fnea f de iongi tud f in i ta es (s¡ . i i2ni l )(sen a, - sen ar) , donde í? es la distancia(perpendicular) del punto al a lambre, ydr y cr¡ son los ángu)os ent ie la perpen-dicular a la colr iente J¡ los segnrentos queunen el fJunto cot l los extremos de lamisma (vcr f ig. 15-6S). A¡ i l icar c:ste re-sul tado para obtenef el canlpo nagnétrcoen el centro de un circui to cuadrado de

Pñ,, ' \

i l - } .n-i-1' tu,4 ¿a

l ' t t, t \

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t , , \

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f igura 15-66

l : idr : ; i . . i ! , r i ja ls ' r en ios s ignos de Iosár,gi.rrrs. ]15.ir : I : ' r ' : r-r: t al l¡rnbie recto y lái i¡ü:. ' i i r ' r : t : i : . i i t rr c,r i ' f ie11t.e r l , ' i f l \ en ' l s; l-r 'I t¡ l ' l dr: i t j , ' - :r . I Ia.f i . t l l ca4-lpo rr irrgñ¿ti("ú;rr \ i : r i : . ; : le l i Je in l , t ' i r idad 10..c i '3-d. i r i -; i t : , , r : ; ; t " i t , l e j r , X, a: .Cr.rál es- c, i : . r r t ¡ i ;i i i . t : r . l i : i i i { r , resul tantc t : r ' l r - ,s s igu: : : r ; i ts;, , , .¡ ,{¡,3: í¿) ¡ =. í-}, . : - 2, . .1,1'¡ t =- 12 ¡¡,; i,r, í'::l ¡ ,.'. f), ¿ ,-- --.- ¡l,i'r r¡1'J

1¡.. . : . i I)cs largcs ala¡nbrr.s rectos :, . pa-f¿{?,cs e:r ; in setarados ;rr , i r rna ¿i istant: ia2r,: . Si ¡ ' r .r ," io! alArnbres cirr:¡ lan ¿oir ie¡rtesigireies *n sr 'nt ic ios opu.cstos, ¿cuál es el.ral ' i t ; lo rnagn¿li{. :o dt. l piano de los a'ram-bre; en urr punio ( ; ' . ) e i ¡ r id istanie de¿ir l r l ,os y i i ; . ) a üra distáncia ¿r de unov 3, : Cel otro? (c) Coir testa¡ (a) f ' (b){¡r¿rr.:a: Dor ios alarnl 'res circr¡ lan co-r i ier t rs iquales en cl mi: ;m4 sent ido.

15.6,1 L)i)s largos aiarnbi 'es re ctoi y Ira-r¡r i t l r ;s están a 100 cm uno de otro, conlús? r i ' ;üi .st:r . cn la t lg. 15-67. Por el alan),i- ,re iul)€r- i l l f ci icula una corr¡ente Ir . iei i ,1 : ' .¿cia r l plano dcl papel. (a) i ,Cuál¡ l : - i r , : ser l r l r r i i tnsrCa(i y el sent ido c ie Ia. '1,¡¡ jsr ' , i r : i* ¡ra, a í lr lo el campo resultanti if ; r I , i i ¡ r t : l r ¡ jo : i ib) ¿Cuáj es entonr:esfrr , : , ' , ' l ' r ' , ' i ) lCsultanl.e en Q? (t l) ¿ Y r; ' : S?f i . ¡ ,1, i . ; t f ig. 1. j l "63 es una \r ista f r l r r i t : r1rl l : lcs i :r¡ ;¡ci al;¡r ' i lbre s paraielos pe i .pelr-Ciculares 2l Flano X l , pcr l t :s queclr í ju la Ja misma corr ientc f pero ensentrdos opL:estos. (a¡ Mostrar con vec-tores, el campo magnético de cada alam-bre v el campo resultante en el punto Ir.(bi C)lrtener la expresÍón del rnódulo de').1 en eualqir ier ¡tunto del eje X en fun-ción de la coordenada c del punto.(c) I- lacer un gfáf ico de1 módulo de )Jen cuaiquier punto del eje X. (d) ¿P:rraqué r 'alor de ¡ es el valor de D máxi;no?Repetir para los puntos dei eje Y.

,a

T050 cm

¡/ r :6 Aé

1\|^\i nrt-

100 cm \

l lsi 60cm

I ,V- t50 cm

lPl ' Icurs 16-6? Fisure ló-68

15.66 Repetir el problema 15.65 cuandoIas corrientes están en el mismo sentido.15,67 Una corriente de 2.5 A circulapor una bobina de vueltas muy juntasrlue tiene un diámetro de 0,4 m. ¿Cuántasvueltas debe tener para que el campomagnético en su centro seal,272 x 10-{ T?15.68 Un solenoide de 0,3 m de longi-tud está constituido por dos capas dealambre. La capa interna tiene 300 vuel-tas y la externa 250 vueltas. Por ambascapas circola una corriente de 3 A en elmismo sentido. ¿Cuál es el campo mag-nétieo en un punto cercano al centro delsolenoide ?15.69 Una lámina conductora de granlongitud y ancho ru tiene una densidaduniforme de corriente i por unidad deancho; es decir, ftotal : iut (ng. 15-69).(a) Calcular el campo magnético en unpunto P a una distancia (perpendicular)d por encima del centro de la tira, comose rnuestra. fSugerencia: La expresióndel campo debido a una tira recta y largade aneho d¡¿ es la misma que la de unalambre rect.o y largo.] (b) ¿Cuál es eIcampo si d < zu, es decir, si la tira sehace un plano infinitc?15.70 Dos cor¡ir:ntes circulares de lamisma intensidad ,f y el mismo radio oestán separadas por una distancia 20,como se muestra en la flg. 15.70. (a) Pro-bar que el campo magnético sobre eleje está dado por

(B : volaz . Ir * I J!!=o\_r,(a2+b2)3/2 L 2 (a2+b2)z

, 15 (8b4 -12oz6z ¡ f i ) Ig (a2 + bz\4 " ' l '

Prablemas 573

Ftguro 16-69

donde r se mide a part ir del punto medioentre las dos corr ientes. (b) Veriñcar quepara a : 2b, el campo en el centro esindependiente de ¡ hasta Ia tercera po-tencia. (Esta disposición se denominaóoóinas de trIelmholtz y se usa mucho enel laboratorio para producir un campomagnético uniforme en pequeñas regio-nes del espacio.) (c) Suponiendo que sesatisface la condición señalada en (b),encontrar el valor de c (en función de a)para el cual el campo diflere en 1o/o delcampo en el punto medio.

15.71 Un alambre largo horizontal A.B(ng. 15-71) reposa sobre la superflcie deuna mesa. Otro alambre CD, situadodirectamente encima del primero, t iene1,0 m de longitud y se puede deslizarhacia arriba y hacia abajo por las gulasmetálicas verticales C y D. Los dos alam-bres están conectados mediante los doscontactos corredizos y por el los circulauna corr iente de 50 A. La densidad l inealdel alambre CD es 5,0 x 10-3 kg nr-r.¿A qué altura quedará en equil ibr io eIalambre CD a causa de la fuerza mag-nética debida a la corr iente que circulapor el a lambre AB?

75.i2 Un largo alambre recto y unaespira rectangular de alambre yacensobre una mesa (f ig. 15-72). El lado dela espira paralelo al alambre tiene 30 emde longitud y el lado perpendicular50 cm. Las corrientes son /r : 10 A eI¿:20 A. (a) ¿Cuál es la fuerza sobrela espira? (b) ¿Cuál es el torque sobre laespira con respecto al alarnbre recto?¿Y con respecto a la l fnea de trazos?(c) Encontrar el torque después que la

574 Inleraccíón maqnélícc

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- - l - - ' ' -+-* | - 'L--1-\ rot !

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j l t l r - '3 i l r . I ¡ ' ¡¿ir : i ., :1t .7 ' . ; L. ; ¡ . ¡ ; i j ; ¡ ; ¡1f¡1eS l : : ¡ . ' , : r i ; l t t t i r l ; . .1. , . ; -

f ; i ; ' - . . ,11i¡ l ¡ '1 i : , ' i t1 al i . ¡ l ¡ - t l ; ¡ i ; l ¡ i '¿, . . r , - : . - i i r i. i r l . : : , t i i ¡ . , : . - i i t . l i r f : ; ¡ : . : : ,1. : . r ' ; : j t : l

' r r . . r i l : i ' i . : r ' , , . ' t l l r : : : - i ¡ : i - . r ' i l : l l : i . t ' i . i : : :l , '_ j ! ' a. ¡

. : , , . : l . : ,1 i l l ; , ' i i - : ' l ' : ' -1, i l i : : ; l : ; - '

' l l : . . r - : ) : ¡ , - i { - : : ;1 . . . u i , l l i l i i l i l . ¡ j l l ' , j j : . , ¡ ' : i : : , :

. . , . , t ', j ; , ¡ ' ,1r ' r i : i . i : i t '1; i . '

1. ' , ' . t i - ; , ! i ' - : 'c . i i - i i .1 ; - i i1 f l f ¿ j i : i ¡ l r r ; . ,

i t . . . rJ l i ] . ' i : i i i i ¡ : . ¡ r : : i ' : :1 i ' i , , : l l i , : . r ' : r l ! 1;{)r .

: ,1r , : : , . , " i : a l i ' l i t i iL] j r " .1] , . i Cr i i i r : l i . i i : : i . ' - r l

, : i ' . 1 ,1r . , ; t : f , ] : l " i t ' ¡ ' , i r : "J

. ' . j i : . ;J . . 1: . ; i ;

i : i r : : ; t . : . . , ; . . . r l , . i i , . l t l , r i . ; . . , , ¡ - , ' ; ¡ , i ¡ , l

.1, , ; .1.r ! ; . ' . , i : ¡ .11¡! ' ¡ ¡ i ¡ ¡ i l dt ' : , ; f ' r ' f ' : r ' , ; .- ¡ r i . ' r : t i : , : . , , : . : ¡ ; i . l ¡ i sr¡ , ; l i r l i ! r l ¡ : - : ' i ; ! ; ; : r l

i . , , : , i . i ! : ' . : , t t ' r ie l t i ¡ cu¡ ' i i ¡ i : :11, . . . : , ' ¡ , i

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. : ; i r , , . a ' i i t l p iani l r i l l ; r l r ; r i .' , :1."7 ' 1:1i r 'a.¡ i : l - r , : r l i { } i G' ! :1 ' t t ! r . i ' ' : ' i í :

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: ' ! : ; ia l r ' . l ¡ l ' : l j ! ' , : r l l ] i t . i f t . I i r ¡5 1.¡¡ : - r : , : ; I

i r , l i ; '¿,¡ , : ' r ' -a! f ' r . ' : i i i r ' l ' : i - r i ¡ 1.¡ . r : i ¡ r r ' , : . r ; , ¡ "' : , ' .1 ; ' i : ; i '1, . i : ' : r ' i ; i - ¡ ' i t i : ' ' : i ; i ; : . ' r ,

i : , : ; " ' r : l i ¡ i l l , ' i t . ' . , . " . r ' : , : ' i - : - ! : ' l i . : i ¡ ¡ ,

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rar . , 'ü lorr , . r ¡ .6 ¿r i r : i_{ualcs a r} ; ( i " i ; 0, i ,y c, i ; .15.' ; ; i - ,¿rlcul lr e!, .-¡-¡ciente €ntre - l . i$ 1: l 'lorr:s rsiai ir ; isl ; : . : , / no iclet ivista r lel .campo elÉ,:f .r ico producido por una citrgeen Í lovinriel l to el l un punto dcl plano i

IJ

- ' ' 2. . , r t , ' , ,5{ l r ; r : l

, / t , , '

I ' i : : r - ¡ i ¡ ¡ l i i -7: i

i : ! . j . : t i : . - . i ¡ ,4:- ;a an¡ ' i : l p|rni ' i - ,d ict i l l r l r lar : ; i . r . r ' , j : r ) - , i r , l lT l . : , i in i i ¡ r r ¡ .C¡. C+nSi¡ lCiAr

" i i ld ' ' . ' ) ! r l r , ¡ : , r : : : . : r i ; l ¡ ' i U; { ) , ' i i 0,5

-y i ¡ ,9.

i , - " r i i - l ¡ , i l i r l¿r t l r , ' r ' r¿:rr1.¡ r ' ¡ r t ; 'e l : :s Yi ' -1, , ' r ' ¡ . : i : : ! ' i t , i r - ' , r t l . : i . : i : i ¡ i l t ! . ' l ¡ i i : r ; .

:1r i i i : ' . - . . ¡ j , j . :a l r , i . i . i . : i - :1 ' l r i ! . i i i i l i :1: . 1 ' r !. . . \ , ' . , ' . \ , . : t1t : ) , , ;1 r : , t j l i - i '1 i , , , l , - . . i t l : t1; i . ! - . - t ' .

i . ,1. , , . . : . j l : : í r l : r i i ! - ' , :1. . i , ' ; ; l . j , , ! ¡1 l ¡1 i11i1."1 { . ¡ r

l . : i . ; r : j - : .J ¡r . r t ' l¿ i : ; :g; . ¡ . i l f , l l5 i i l t i4t . , ' :L:a; 'c. i

: " ; . ' , ¡ 1¡r¡1, . ¡ l ¡ . t 1 t : : ) ,1 , {1. . , ' r l "ü.

: i , , , . l i i i ; i e i . . ¡ ' , i ( - : l ¡es se l ' t i l ;evet i { t i i f a-, i " ¡ : r2t r l l : : i r ; : re:¡ : ¡ i t i 'a i r : .1. : : sel , ] i l '¿1t ias

a,. i , . i ¡ l r ' - i . , i . . : - , , : : i l , l - j01¡r ' i i i t : f t ; ' t t l ' ¡ f i . t : ¿r i

, ,1: . . J :1. : ¡ . r ' . ; ' i ¡ ¡ i i l r ¡ ,1 t le I i ¡6 r i 5 ' ) , r . . ¡ ¡ -

! ¡ , : : i i31' I i i ¡ í i , " : i¿d: e i t :ct¡ ' i r a y i : ragntr t r ia,rr i : i : r r ; l ( i t ¡ i l t : rn i l i r : un t ¡ l ;servador l i ; r t

:r I i l- l ;t, i ; i I r, ' l i( i ..:up r-) ri i i t i t,- io c¡rro 1 t is .¡¡. s--1

i ': i)r-rr..uir ait l i l .-. ' ir i t l iAr i lna Vej{-¡(i,Jail i1o

¡ ¡ j ' r ¡ i1, ! - r ¡ ; , ) . i i , j ¿ i . : r rá l cs la fuer¿a sügr i ¡nr : i i1 . r j .1 i : . r ¡ .a i . ' t . IL: i l 5€. i i l ¡eVe CCn {(- \S

"r i i ' t i ¡+les' i i r , ' ; l {r ; ;et ir i ¡ : ani-e;" ior parac. : - , : i r , . i t ut t ¡ r , r i i rc i t lad de 2. ,1 .< i0!; , , i - i , \ l : t r I 's ¡ i ' l ; ¡ ' i r ' [5t4.

' : . ; . .q i , i ' ¡ ¡ ¡ , ¡ i i l i , l+ l j t : Ce\ i c1t ' r : ¡ ¡ ¡ : rg ia! : : , . . i r : , , in: i r j is i : l ¡ lc i r t ¡ ' i¿ 10-; i l r de un ! i ) :1. ., .a ! - i , ; I I : - : r . r ' i r ' . ; : : i r . l ¡ l ) r j CCnSi( t i ' t ' , i f CI i

: . . : i ' r r i . : ' . : :1: i ' : ' i t t . . " , , t ' i i í ' r i ¡ ! l fa¡- r i : , ¡ f i . .

. , ' / i ' . , ! . r ; j . ' ' ; ;a: ¡ ' i i - i . i I l1! i i ) e lé¡ ' t t : r ' : i r r

: - . . r , ' . , - " : - ¡ . I ; ,1 ' ¡ . . , : l ; t : : r { j i ! i ' i !$p.r l : , : j ¡ .1!r i?.

' , : r ' . i r i t . r ' : : ! ¡ : ; ; . ; r r , ' : t : " i¿ t - i :1 t t r i t i ; : . i t " : : : . i ,

i ' : l ; t : i i ¡ . : i : .n : i r . ¡ r ¡ . i1 ; ! : : , i !r . . : ' ' : i ; , - ; ' i : t , l ' , l . ; f t : ¡ . : ¡ ; - : i l { i l . i ' " i ' r

; i , ¡ r i . t ¡ , , * l ' i ' i , . , , l1 va:- i ; r r l i : i l r i t l : t l ¡ "

: - r ;e r ' i i f t , r*¡¡ l i r i ¡ r¿.¡¡rdo que a"s 4sr i l { r i i } { -

ni{ ' i r tr ai r 'e!: i r ' i i .a{ io r iei campc dtntro de}á-rrgr,.r ' cni:oi l i r [r ]u er1 (a). {c) Rc¡rt ' t i r' l j i , . ¡ , . , ' ; : , ; rat t fcLt la { i ¡ j r ' i }3sa q.5 i t : ; r ' : , . . -i . :r i ¡1 1ip ir . r ' i isnia energfa, en ve¡, ie i tnprot l : i i . ( . icr i jE. 15-73.)' i 5.:1 - l , 'sarr io )a expr"esir in rciat ivisia(1.r. i : r) para el calr l l i ! magnéticc de u¡r¿rcar-í ir ] . cn rnof i Í ] iento, obtener la cxple-siói i para ei eampo rnagnético de unacorriente rect i l í :rea.

15.82 Usando la regla gi:neral para latransformaciól ¡elat ivisla de i¡na frrerza(probleina 11.29), obtener las tra¡rsfcrrna-ciones relat ivistas del ctrrn¡r+ t iectro-magnét ico, ecs. (15.53) ¡" 1 i5.60).

!i="a"r iz

\,'¡TF-r*"r*\u ' l \

F igurals-?3 / | \

15.83 Usar. ido l¿rs ecs. (15.58) y (15.60),prolrar que las cantlclades C' ')J y c'2-?J€son invariantcs respccto a la transfor-mación de Lo¡entz.

15.84 [Ina part lcula de carga g y masa

Problemas 575

m se rt lueve en una región donde hav urrcarrrpo eléctr ico f y un campo magné-t ico '}3. Demostrar que si el movimie¡r lode la partÍcuja se ref iere a un sistenra deroor'( : len¿das que rota con Ia frecuenciade l .a¡nror de la partícula, tot":--qBl2m

[ver cc. (15.7)J, su ecuación de movi-miento se transforma en ma':q[f f (mi

4)@t * (or * r¡¡. Estimar el valor de(o¿ para un electrón y verificar que elúltimo término es despreciable. En estaaproximación, la ecuación de rnovimien-to de Ia particula en el sistema rotantede ejes es no' : qf. La comparación deeste resultado con el ejemplo 15.4 nosmuestra cómo elirnina¡ eI efecto de uncampo magnético. [Sugerencia. ' Emplearlas fórmulas de la sección 6.4 para cx-presar la velocidad y la aceleracién dela particula respecto al sistema rotantede ejes. l

CA}frtr]*S FIF $r,t"'É'f:i{ },"1'ji t ¡

i,:. .'"J g,-'g'f i,{-}$

;6.1 fntroducción

i6"2 Fiujo d¿ it"n cailtpo i;ectoríal

J6.3 [-¿t¡ de Causs ¡inra ei cenl,po eléctrico

f 6.4 Leg ic Gr¡uss en lorma diferenciul

lfi.S Polcrizeeiún d,e. Ia materin

16.6 Despíaznmíenta eléctríco

1f,.7 Cúlcr,'ir, tlc lcL susceptibilidnd eléctricn

lb.B Capaeífinctn; capacitores

!6,9 ErLrrgía riel campo eléctríca

l6.iü (--t:¡rc'¿¿c:líut,j.ad ¿|"éctríca; Ieg cle Ohtn

i5"1 1 Fuerzo electromotríz

16.12 Leg ,le Ampére pora eI cG.nlpo magnético

16.13 |,et¡ áe Am¡tire en forma diferencbl

16.14 Fluja magnético

/S./5 I\\agnetizací.ón de Ic¡, matería

i6.16 Campo magnetízante!i1.17 iliiír¿¿io rj,r Ic si¿sr: r:y;tibíiiclod magtztlüca

it: . I¿^ i iesirr i¡,r" r ir t lo: i lrai, ,s.Je lc:s campcrs t: ; tátícos

"td,;l)

f S. f itzt.r*ú.treeion

Flui:¡ dr t i i l canrpo tecloríol 577

l-1, l ls i los c*¡ri l .ulos precedenie: i:gtridiarnos l¿is interacciones eiectrrxiragnéticas

1 ei ri, lr ' imie¡it¡ i le parr;iculas c:rigadai . i.r i:re consecuencia cle estas inieraccicnes.i i ' in;¡!:;:ar ias i¡¡ieraccicl¡es eieclromagnrif ire: :ri:ro,lujimcs el conce¡:ia de carnpoiJ¡:l: ir. 'c¡¡:agn.éticr. En este capítuio y cn ei pr,.ri ir ia, estudiaremos en deialic lasüar.;rierisl ic?:s d11 campo electromagnetico mis¡no, considerándolo como unat:¡t. iekd rndeperii l iei ite. En este ca¡rit.uio e:ia¡ninaremos el ca.mpo electronragnético,:siir l. irc a inde¡rarl iente del t iernpr. i:]n el capítulc 17 considei'amos el campot l t , : t r ;magnéi icLr, lependiente del t iempo,

iü":l .i"iicr3rr tÉt: t¿¡; aantpo r(etor¿al

. , . : : t 1, , : : . , , . ¡ ; . i ¡ , ¿.1i . ' ; ' t f lu;o i t un ta;ní t t ¡ vecl , ¡ i i t i ! . I r , te es un concei : t ¡ j í . : .1 f i : . i t j' : . . . , , ' t , : - , , . ,h igf i r , , l f i l : t r + \ , : : í iá:r l í ' i r f f j i ¡ñ* l t i ;¿ i : ¡ Yrt{) t t3 i i t f . r :? { ' , i : ; r ' . i . :

/ r : t :a, :1r . ,1 i ' , ¡ . : ' i - - : , ! , i ¡ !6¡9¡1r i i r : t : .1 {- , ; j t , r r : iJ ic! ; : .s l ¡ f i j , t ¡ . ¡ú l ; t : . i } . r !a r t 'g i , i ,n {r ; : . . . r .; i : : . - . , . ' i r : i i . i ' i . . . ' , . V ( t t i . . t ! , .1 l . i - ¡ i ' . ' i r l r i i : i ¡ ; : , l : ¡ : t , . t i , . r$: .¿a: r . ¡ . I ' i i . i r - , i . .

. , . , r1: : ' l . r , , ' , . ! r l r - . " ,Ci¡- ,S iJ¿. . , . ; "0, , t l ' . : j . t l , . ' ; ' . .1, i j ( ; r i ;1t : : . r t : t . : t - ' t ! ; 1. . . : . ' : , ' , . : - -

. . , . : ' ' ' ta : j , . i f . . 1; , : r ' : lndir lUi ; | , ' , r l ; : : r ¡ : $1: . i i r l i ' i , ' i " : i ' - : l i : : : : { , i . ! i r r l r - lS ¡r ! i } t ¡ t : . ; l . , : .

i : r ' "q i i ¡ : : : 1, .1 1:r ; . , ¡ ¡ i1¡1-, t : : j i r t ! s l t ¡ t i r :ú e ( i iüe i l \ r . i ;1 i ; r r , ; : i l - : ; ' ¡ i l lc r ie ¡ :+." , i : ,1 r- l i : : " t ' , - : i ¡a

r,¡;ar:Cr r;;t¡ i:¡ l ¡.r? se¡ii¡. lo en que licmcs riecidi, io oi ' ientar la periferia de ia su-:.;::tt i ' i , ' ,cr'r:.t ihn l: ' {:olir. 'enr:: ión estabieciCa en la sección 3.i0. Si la sr:perficie e$r,{rir i:di!, i l i : : vers4res ?JN apuntan ha,cí.r afuera. Sean fl1, 02, 03, , . . los ánguioser¡ri.re ios ','ectores noimales ?a1, rt2, u3, . . , y los vectores de campo Vp V2, I'", . . .e* cada punto de la superfir ' . ie. Entcinces, oor definición, el f lujo O del vector 7a través de Ia superficie es

i} : %dS, cos 0, * %dSrcos 0z+ VBdS. cos 0, * . . .

: I ¡ r . t¿r dsr * Vz.uzdsz * V". t t rdSs+ . . . ,

* : i" V cos o dS : J" V.uy dS, (1ri. 1)

donde la integral sr extienrJc a toda la superficie, lo cual se indica con el sub-indice S. Por esta iaz.lri una expresión como la ec. (16.1) se l lama integral desuperficie. Debido al ía¿lor cos 0 en la ec. (16.1), el f lujo a través de la superficieelemental CS puede ser positivo o negativo, según 0 sea menor o mayor que rl2.Si el r:ampo I,' es paralelo o tangente ai clemento de dS, el ángulo 0 es zr/2 ycos 0 - 0, resultando un l lujo nulo a través dc la superficie dS. El f lujo totalpuede ser positivc, negativo o nulo. Si es positivo, se denomina "saliente", y sies negativo, "entrante". Si ia superficie es cerrada como una esfera o un elipsoide,se escribe un círculo sobre el signo integral; de este modo la ec, (16.1) se con-vierie en

t : f" V cos o rt :

f" lr.u;¡ dS. (16.2)

578 Campos eleclromqqnélicos eslri l i ,:,;s

o.- ,9<*-\::\ \

G- \,G-- i u-

5\ ^-- . ,\u- ! r ,

G--- \ . - . i ^ : '^*t-*.{ o--o=-

- -- ,._:___9_- G_-

,--=:-**-l\

( r6.2

Fi¡q. l{ i - l" Flujo de un campo \¡ec-iori¿rl a través de una superf icie.

-\ \

Fig. 16-9. Flujo de part iculas a t rar 'és deun atea,

E,l nombre de f lu jo dado a la iutegral de la ec. (16.1) se det¡e a su apl icaciónnl estutl io de los flúidos. Supongamos (lrir) terlemos un chclrro dc particulas, todas¡ncviéndose hacia la dr:recha con vek-rcit lrrd o. i\quellas particulas clue atraviesanla sLiperficie dS en el t ienrpo I estarian corttenidas en un cil indro tle base dS,generatriz paralela a o y longitud ul. Este volumen es ul dS cos 0. Suponiendoque haya n part ículas por unidad de volurnen, el rn ' rmero total de part iculas quepasa a t ravés de la superf ic ie d.S en el t iempr¡ I es nul dS cos 0 y el número quepasa por unidad de ticnrpo, o fluja dc partículas, es r¿u dS cos 0 : nD. z¡¡ dS.fi l f lujo totai de particulas a través de la superlicie S es

fO: f -no.?d¡dS.

E,sta es unu u*pr.r iOn sinr i lar a la ec. (16.1), con el vector de can.rpo 11 igual a nu.Se comprenderá, s in embargo, que el nombre de " f lu jo" dado a la ec. (16.1) nosigni f ica, en general , movimiento real de algo a t ravés de la superfrc ic.

Í :JE:t IPLO 76,7. Expresar la corr ie¡r te eléclr ica a t ravés de una superf ic ie comoun f lu jo de deusidat l de corr ie¡r te.

Soluciót t : Hernos visto que n"- ' r¿¡ 'dS r)xpresa el número de part iculas que pasaa través de la superf ic ie r lS por unidad de t iempo. Si cada part fcula l leva una carga g,Ia carga que pasa a t ravós de la superf ic ie dS por unidad de t iempo es

qna. tN dS : j . r ¡ ¡ d-S,

dondej : ng?, es la densidad de corr iente def in ida en la ec. (15.12). Por consiguiente,la carga total que pasa a través t le ia superf icie S por unidad de t igmpo (esto es,la corr iente eléctr ica a través de la superf icie) es

t : I " t .u¡ dS.

En otras palabras, la corr iente eléctr ica a travi 's de una superf icie es igual al f lujode ia c lensidad de corr iente a t rar 'és de Ja srrperf ic ie. Si la densidad de corr ientees uni forme y la superf ic ie es piana, l r t ecuación se r¿t luce a

1 : j .urS : iS cos 0.

16.3\

Fig. 16-3. Flujo eléctr ico de una cargapuntual a través de una esfera.

I-eu de Gauss pnra eI campo eléctrico 579

Fig. 16-4. El flujo eléctrico a travésde esferas concéntricas que rodean a lamisma carga es el mismo.

I. EL CAMPO ELECTNICO

76.3 Ley d,e Gauss para el campo eléetríco

Consideremos ahora una carga puntual q (fig. 16-3) y calculemos el llujo de sucampo eléctrico C'a través de una superficie esférica con centro en la carga. Si res el radio de ia esfera, el campo eléctrico producido por la carga en un puntode la superficie esférica es

t : l ** 'u ' '

El versor normal a la esfera coincide con el versor ?¿r según la dirección radial.Luego el ángulo 0 entre el campo eléctrico f y el versor ?ú¡ 0s cero¡ y cos 0 : 1.Obsérvese que el campo eléctrico tiene la misma magnitud en todos los puntosde la superlicie esférica y que el área de la esfera es 4rr2; por lo tanto la ec. (16.2)da para el flujo eléctrico

o^:d cds:cd- Js Jsds:cs: rQ;(4rr2):Q

+íf;€or" €o .

Entonces, el flujo eléctrico a través de la esfera es proporcional a la carga e inde-pendiente del radio de Ia superficie. Por lo tanto si trazamos varias superficiesconcéntricas 51, Ss, Sr, . .. (f ig. 16-4) con centro en Ia carga q, el f lujo eléctricoa través de todas ellas es el mismo e igual a Qleo. Este resultado se debea queel campo depende de l/r2, y se aplica también al campo gravitacional de unamasa dado por la ec. (13.15). El l lujo del campo gravitacional se encuentra reem-plazando qlLnco por ym, donde m es la masa encerrada por la superlicie. Estasustitución da

Qs :4rrm.

580 Campos electramagnéticos esldtícos (16.3

Consideremos una carga q en el interior cle una l*perlicie, arbttraria cen'ada S(ng, 16-5). Ei f lujo total a través de S del calnpo elÉctricc producido por ia carga g

está dado por

Pr:rc ¡fS cos 0/r2 es el ánguio sóliilo :,ubtendrrlc por el elemento cle superficie dSvisto rl¿sCe la r,arga q [recordar la ec. (2.3)"] Ccmo el ángulo sólido total alredeilarde un prrnto e:i 4r, vemos que

o* :;L d on : _.-_9 - 1+,.) * q47r€c r *n€0 €0

E,ste resultado es el mismo que el encontrado previamente para una superficieesférica con centro en ia carga, por lo cual es válido para cualquier superficiecerrada, independienternente de la pcsición ¡ie la carga dentro de la superficie. Siune carga tal como q' está fucra de la superlicie ccrtada, ei f lujo eléctrico es cero,porque el f lujo ent.rante r:s igual al salientt '; luego, ei f lujo neto es nulo. Por ejent-

¡rlc. el f lujo eié.ctrico de q'a través de dS'es igual en magnitud, pero de signoopucsto, al f lujc' elécl¡ ' ico a través de dS", y por consiguiente su suma es cero.

f ig. 16-6. El f lujo eléctr ico a través de una su- Ftg. 16-6. El f lujo eléctr icoperflcie cerrada gue encierra una carga es inde¡ren- a través de eualquier super-diente de la forma de la superficie. ficie cerrada es proporcional

a la carga neta contenidadentro de la suoerñcie.

Si hay varias cargas 4t, Qz, Qz, . . . en el interior de la superficie arbitraria S(fig. 1GG), el f lujo eléctrico total será la sum¿i de los flujos producidos por cadacarga. Fodemos pues establecer la leg de Gauss:

EI flujo e!é.ctrica a lraués rie una superfícíe cerraila que eÁcierra lascargas qp gz, Qs, , . . €s

*o : $, c cos 0 ds :. g, ¡;?,;; cos 0 ¡fS ==

?*1, f" jl-:,g,' !

tq0r, :4 ( .U_.-d5:-L,

j .\" €o

oq"

(r6.3)

16.3) Leg de Gauss parc el campo eléctríco 581

donde q :8t * q2 * % + ... es Ia carga tolal en eI interíor de lasuperfície,

Si no hay cargas en el interior de la superficie certada, o si la carga neta es cero,

el flujo eléctrico total a través de ella es cero. Las cargas que están fuera de la

superficie cemada no contribuyen al flujo total"

La ley de Gauss es particularmente útil cuando queremos calcular el campoeléctrico producido por distribuciones de carga que presentan cierbas simetrlas,

como se muestra en los siguientes ejemplcs.

DJEMPLA 76,2. Usando la ley de Gauss, hallar el campo eléctrico producido por(a) una carga distr ibuida uniformemente sobre un plano, (b) dos planos paralelos

con cargas iguales y opuestas.

Solueión: (a) Supongamos que el plano de la fig. 16-7 contiene una carga d por

unidad de área. De ia simetr la del problema se deduce que las l ineas de fuerza sonperpendiculares al plano, orientadas como ge indica en la f fgura si la carga es posi-

t iva, Tomando como superf icie cerrada el ci l indro i lustrado en la f igura, podemosseparar el f lujo eléctr ico Os en tres térrninos: el f lujo a través de St que es *CS,siendo S el área de la base del ci l indro; el f lujo a través de Sr, que es también *CS

Flg. 16-7. Campo eléctrico de una su-perficie plana cargada uniformemente.

Fts. 16-8. Campo eléctrico en el espaciocomprendido entre dos superflcies planasy paralelas que contienen cargas igualesy opuestas,

ya que, por simetrla, el campo eléctrico debe ser el mismo en módulo y direcciónpero ae ientido opuesto en puntos situados a la misma distancia a ambos ladosdel plano; y el flujo a través de la superficie lateral del cilindro, que es nulo porqu_eel cámpo eléctr ico es paralelo a la superf icie. En consecuencia tenemos @e : 2CS.La carga en el interior de la superficie es la correspondiente al área sombreaday es iguai a g : oS. Por consiguiente, apl icando la ley de Gauss, ec. (16.3), tenemos2CS:cS7<oosea

a' : o

Zeo '

lo cual indica que el campo e]éctrico es independiente de la distancia al planO y

es por lo tanto uniforme. EI potencial eléctr ico es, usando la relación C: - dVldr

582 Campos eleclromagnél[cos estátícos

y suponiendo quc el potencial en el plano es cero,

(16.3

" _ r:;,Estos resultados son idénticos a los del cjemplo 13.8 para el caso gravitacionalsi se reemplaza y por (4;rer)- ' (ver acleinás el problema 14.62). EI estudiante apreciaráque la técrr ica usacla ahora es más si i :rple detr ir io a la simetr ia del pro| lema.

(b) f ,a f ig" 16-8 muestra dos ¡; lanos paraiel-rs con cargas iguaies y opuestas. Obser-vanlr]s qt¡e en la región fuera t l¡ : lc:s <!Gs pl¿1r1o9 hay carnpos eléctr icos iguales etrnlódul , r ¡ , ' t l i rección pero de diret 'c lo i ¡es opue-<taso los c l l ¡ ¡ ies dan un campo r isul tantenulo. Perc¡ en ia regit in enttr lcs ¡r i lnos, i is cá¡l lpos t ienen la misnra dlrección, y elr.rampo resul¡.¿rnte cs clos reces ma.vor que el de un solo ¡t iano. o sea C: c,/eo. Porio tantc, dos planos paralelos ron (:{rgas iguales v opuestas producen un campounifc¡rrne en el espacir-r entre ¡ l ios.

gJEMPto 1c,3. usando el teo¡e¡na de Gauss, hal lar el campo eléctr ico creado porr¡na distr ibución esférica de ¡arga.

solut ién: I lste problema ha sido estrrd-iado en la sección 13.7, aunque de un modoti i fe¡ente, para el campo €Favitacionai producido por un cuerpo esférico. Considere-\nos una esfera de rarl io a v carga Q (f iS. 1t j-9). La simctr la del problema sugiere

que el campo en cada punto debe ser radial ydc¡render sclo cle la distancia r del punto al cen-tro de la esfera. Entonces trace¡nos una $uper-f lcie esférica de radio ¡ concéntr ica con la esferacargada. Encontramos que el f lujo eléctr ico através de el la es

/L\

t lO¿r : I C dS : t '0 dS : t(4rre).

Js - ,s

Supongamos primero ¡ > a; encontramos quela carga en el interior de la superf lcie S es lacarga total Q de la esfera, Luego, apl icantlo Ialey de Gauss, ec. (16.3), obtenemos C(4rrr): Q/eo ó

¿: 04re¡z '

f igura 16-9 Este resulta.do es el mismo que el obtenido para

Lfi ,:ff *;.iJJ,',::'o::';"J':gi:::'","::n;;#'"puntos fuera de eIIa es igual al que producirÍa si toda su carga estuuíera con-cenlredaen su centro.

consideremos a continuación, r < a; tenenros dos posibi l idades. si toda la cargaestá en la superf icie de ia csfera, la carga en el interior de Ia superf icie S, es ceró,y la ley de Gauss da C(4rr 'a) : 0, ó C : 0. De este rnodo, cuando la carga ¿sl¿Í dis-tribuida en la superficie de la eslera eI campo eléctríco en los puntos ínternos-de la esleraes nulo. Pero si la carga está distr ibuida uniformemente en todo su volumen y es 0,la carga en el interior de la superficie S; tenernos

nQfO' : Z^^r/B

(4rf ,3) : -k

-I

.El teorema de Gauss da entcnces €(4rrr) : e,/eo: ert/eoas ó

F- Qr4'xera3 '

demostrando asf que eI campo eléctrico en los puntos internos d.e una eslera uníforme-menle cargada es directamente proporcíonal a Ia distancia del punto al cenÍio d.e la misma-Estos resultados están conforme a los de la sección 13.7 para el caso gravitacional,si se reemplaza \m por Ql4reo.

EJEMPLO 76.4. Usando el teorema de Gauss, hallar el campo eléctrico creadopor una distribución cilfndrica de carga de longitud inflnita.

soluctón: Consideremos una longitud z del cilindro c, de radio a (fig. 16-10). Si res la carga por unidad de longitud, la carga total en esa porción de ci i ináro es g : I r .La simetría del problema.indica

.que- el campo eléctr icó en un punto depenáe sola-mente de su distancia al eje del cilindro y está dirigido radialmente. Tom-emos comosuperficie cerrada de integración una superfieie ciIndrica de radio r, coaxial conla distribución de carga. Entonces el flujo eléctrico a través de la suoerficie tienetres términos. Dos de el los representan el f lujo a través de cada baie; éstos sonnulos porque_ e-l campo eléctrico es tangente a cada superficie basal. por lo e¡ralsólo queda el flujo a través de la superficie lateral. Esie es ((2nrL). o sea,

@e : 2tt¡L(,

considerando ¡ > o, la carga total dentro de la superficie cilfndrica s es g : ttl,,y la ley de Gauss, ec. (16.3), d.a 2rrL( : ),L/eo ó

16.3)

Flguru 16-10

Ley de Gauss para el campo eléctríca \Ea

Fig. 16-f 1. Elemento de volumen paraestablecer la ley de Gauss en forma dife-rencial.

c:2re¡

El ¡esultado del ejemplo 14.2 para el campo eléctrico de un filamento cargadoestá de acuerdo con éste. Por consiguiente, el campo eléctrico en puntos ertlrnosa una disl¡ibución cillndri.ca de.carga de.longitud tti¡intta es eI miimo que si todaIa carga esluviera distribuida a lo largo de su eie.

Para ¡ < a, tenemo.s de nuevo dos posibilidades. Si la carga está distribuidaen la superficie del cilindro, no hay carga en eI interior de la íuperficie s,, y por

t t \I r \

t it l

i lí lI t! lt iI t .T(

:'í-----i-)

i:----l-l' . t l

58.4 Campos electromagnéticos estáticas (16.4

la ley de Gauss se obtiene 2rrLf : 0, 15 c : 0. I i i ¡ i :<-¡nsecuencia, cuando lo carga

esta"distr ibuid'a sobre la super/ icie de un ci l int lro, eI canrt¡:o eléctr ico ¿n sus puntos

interiores ¿s nulo. Pero si la carga está distr ibuir la uniformeinente sobre todo el volu-

men del ci l indro C, encontramos que la carga dentro de Ia superf icie S'es q' : l l ¡zf4' ,

y la Iey de Gauss da 2zrLt -- q' 6

n_- v_- -

2n<ott' '

De este modo el campo e!éctríco en un punto tnterior a un cilíndro cargodo de longítud

infinita es proporcional a Ia díslancia rlel punto al eie.

"1,6.4 Leg de Gauss en Íorrna diferenciat

Hemos visto que Ia ley de Gauss puede aplicarse a super{icies de cualquier forma.

Vamos a aplicarla a la superficie que rodea a un volumen infinitesimal de aristas

paralelas a los ejes XYZ, como se i iustra en la fig. 16-1 1. Los lados del elemento

de volu¡nen eiemental son dc, ttg y dz, EI área de la super{icie ABCD es dg dz, ly el flujo eléctrico a bravés de ella es

C dS cos 0 : (C cos 0) dg f,2 : (,dg dz,

ya que C": C cos 0. El f lujo a través de Ia cara A'B'C'D' t iene una expresión

ii*iin" pero es negativo porgue el campo está dirigido hacia el interior del volu-

men, o sea -- fLdg dz. El flujo total a través de estas dos superficies es Ia suma

(, dg dz + (- CL dg dz) : (f" - CL) ds dz.

Pero como la distancia A'A: d¡ entre las dos superficies es muy pegueña'

la canüdad C, - eL es también muy pequeña y podemos escribir

C,- Ci :dé": 39: '¿ ' 'ofr

lo cual permite expresar el flujo total en la direccjón X como

uc' d, o€"ar 'dgdz:-a;o ' '

La cantidad du : dr dg dz es el volumen de la caja. Como se obtienen resultados

análogos para el flujo a través de Ias cuatro caras restantes del volumen elemental,

el flujo total a través del mismo es

o" : of'-du + a!' a, t a!' a, : (++ +* af-\ar.

0x 0g 0z \?¡ Ag 0zl

Si dq es la carga eléctrica dentro del elemento de volumen, la ley de Gauss da

( ryt++ -+) d, : d4\dx0gozl€o

16.4) Leg de Gauss en forma d.iferencial 585

Escribiendo dq : p du en la expresión anterior, donde p es la densidad de cargaeléctrica (o carga por unidad de volumen), y cancelando el factor común du,obtenemos

Esta es la ley de Gauss expresada en forma diferencial. La expresión en el primermiembro de ia ec. (16.4) se llama la diuergencia de f, abreviado div C, de modoque Ia ley de Gauss se puede escri-bir en la forma compacta

div f (16.5)

El signifrcado fÍsico de la ley de Gauss en su forma dife¡encial es que relacionael campo eléctrico C en un punto del espacio con la distribución de carga, expre-sada por p, en el mismo punto; o sea que expresa una relación local entredoscantidades físicas. De este modo podemos decir que las cargas eléctricas son las

fuentes del campo eléctrico, y que su distribución y magnitud determinan elcampo eléctrico en cada punto del espacio.

EJEMPLO 16.5. Expresar la ley de Gauss en función del potencial eléctrico.

Soluclón: Recordando que las componentes del campo eléctrico f se expresan enfunción del potencial eléctrico V por (" : - 0V/0r y con expresiones similarespara (y y C, (ver ec. 14.27), podemos escribir

con resultados análogos pata (, y (". Haciendo la sustitución en la ec. (16.4) obte-nemos otra expresión para la le¡ de Gauss:

p€0

af" a l av\ a,v0r á¡\ 0r l 0r2 '

o(", af4¡ , o(., p-T--T

Ar 0g 0z €o

A2V AzV AzV : _ __!_,a",

-r a¡

r ¿", €e

, azv azv+-+-:1,' og' ' azz

(16.4)

(16.6)

(16.7)

expresión l lamada ecuación de Poisson. Podemos usar la ec. (16.6) para obtenerel potencial eléctr ico cuando conocemos la distr ibución de cargas, y reclprocamente,siempre que la distr ibución de cargas sea independiente del t iempo. En el espaciol ibre, donde no hay cargas (p : 0), la ec. (16.5) se convierte en div f : 0 y la ec. (16.6)nos da

a2v-:----oÍ'

Esta ecuación se l lama ecuación de I.aplace. Es una de las eeuaciones más importantesde la f fsics, maternática, y aparece en muchos problemas no incluidos en la teorfadei campo elcctromagnético, tales como en el movimiento de f luidos y en la elas-t icidatl .

La expresión que aparece a la izquierda de las ecs. (16.6) y (16.7) recibe el nombred.e laplaciano de V,

586 Carnpos electromagnéticos estáti.cos (16.4

EJnnrpLo 76.6, Verif icar que el potencial de u¡ia c:rrga satisface la ecuación deLaplace, ec. (16.7), en todc¡s ios puntos exceptc) en el or igen donde la carga estásituada.

Solución: El potencial de una carga punlual es V : ql4nesr, según la ec. (14.32),Pero r3 -- Í2 * g2 + 22, de modo que derivanrlo respecto a r, tenemos

2r 0rl0s : 2t ó ?ri?r : r,'r.

Por consiguiente

A 11\ L 0r Í_._t ._t :_

0r\r) Í2 Ar, ¡3

1

'€

v

#(+)-*(-+)Entonces

tr{ult iplicando el resultado anterior pormétodo matenrático no es válido para r

,3¡Ar 1 3x2- ' - r i ; ' : - r" - r

ts

Q/4¡eo, obtenemos la ec. (16.7). Nuestro: 0 porque Ia función 1l¡ t iende a inf ini tocuando ¡ t ie¡-rde a cero. En consecuencia,el origen debe exch¡irse de los cálculos,Además, la ec. (16.7) no es apl icable a pun-tos ocupados por cargas.

EJEMPLO76.7. Usando la ecuación deLaplace, obtener el potencial eléctr icoy el campo eléctr ico en la región vacfacomprendida entre dos planos paralelos,cargados a los potenciales V, y Vr.

Solución: La simetrfa del problema sugie-re que el campo debe depender sólo dela coordenada r(f ig. 16-12). Por consiguien-te, como no hay cargas en el espacio entrelos planos, debemos apl icar la ecuación deLaplace, ec. (16.7), Ia cual dadrV/dt t : O.Obsérvese que no usamos los simbolos dederivación parcial porque sólo hay unavariabie independiente, Í , Integrando,lenenros dVldx: const. Pero el campocléctr ico es f : -d\ ' /dr . Concluimosentonces que el campo eléctr ico entre los

# (:) u #o O -' ::, (+): --3 1 {" re11 '2 : e

Flgura 16-12

planos es constante. Integrando la expresión { : - dV/dr, teniendo presenteque C es constante, obtenemos la siguiente ecuación

l l ot, -' - f" (ds : -t f ' d',Jl ' r J. t Jzt

de la cual resul ta l ' - l / r : -C (¿-¿t) ó ' ' :

Vr- t ( r - f t ) . Esto demuestraque el potencial eléctr ico varía l inealmente col la distancia ¡. Haciendo , :

"r,tenemos \t : Vz. Por lo tanto

" I ' , , -1 ' , Í " -Y,

re-fr d '

16.ó) Polarízación de la materia ó87

donde d .L? :rr. Estcl resul iados eslán cie acuerdo con ni¡estra discusión hechaen la sección 14.8, que condujc a ia ec. (1 1.31).

EJEltrPLo 16.8, Resolver ei misnio problerna del ejempln 16.7, suponiendo que hayauna distr ibución uniforrne de cargrr entre ios clanos. E,sta situación puede encon-trarse, por ejemplo, entre las placas de un tubo electrónico.

Solución: Ahora debemos apl icar la ecuación de Poisson, ec. (16.6). Debido a lasimetria del problema, el potencial depende solamente de la coordenada r, y podemosescribir dzY/drz : * pl€s, con p : const. Integrando, tenemos

r ' d2V t t t

J ' , a ' " dx : - ; J" ,

lo cual da

#-(-#),:",: -{. (¡-¡,)o sea

dV-oqr €6

Pdr:- |€O Jt ,

^r t3, t

dr,

donde C, : - (dYldr)r:c, eS el campoeléctr ico en el punto r : r t , ComoC : - dY ldx., el campo entre los planos es

c: ct +3(¡-r . ) ,€o

( 1 6.8)

Flgure 16-18

lo cual demuestra que el campo eléctrico varfa linealmente con r, como se ilustraen la fig. 16-13. Integrando de nuevo la ec. 16.8, el potencial eléctrico en funciónde¡es

PV f Í

I or : - l ( ,dr_J V, .J zl

o sea (16.e)V : Vt - c,(¡ - r,) - i; @- q),,

Ahora el potencial eléctr ico varla con el cuadrado de c, como se muestra en la f i-gura 16-13. La cantidad C, puede deterrninarse haciendo Í : r2; se t iene

Vz : Vt - c ' (r , - r ' ) - G/2eJ (rr- rr) ' ,

de donde se despeja C,.

76.5 Polarización de la rnatería

En esta sección varnos a discutir el efecto que un campo eléctrico produce sobreuna porción de materia. Recordemos que los átomos no tienen momentos dipo-lares eléctricos permanentes debido a su simetría esférica, pero cuando se colocan

t I',,(r - r,) dr

588 Campos electromagnétícos estaticcs ( r6.5

en un campo eléct.nr:o se polarizan, adquirienri '-r ;r iu;rentos tl ipolares eléctricosinducicios en la direcr:ión del camlic. l lstc cs r¡ne i.;cnr¡r,je;r., ' ie de la perturbacióndel movinrientr-i de lcs electrtrics 1;;"oiiu,,, i ' . !: i pr:r r:1 cinp,; eléctrico *l iícado (versección 14.1 i ) .

For oira partc, rnüch¡¡s l¡roléce;.is l irí:,cntIi;t n:c;nentos dipolarcs eióctr;cospermanenles, Cuando ul.ia rnoiécula ¡jtre i i l l i l{r l l l lcnti-r dipoiar elécirico pcrlnanente,tiendc ¿ orii intarsc paralelamenttr.:¡l r::nii:t; aplicatir: ' , l ,orque sobre elia se cjerceun t,rrque (tiade, por la cc. 1.1.1¡1),}. t,r lr.r i4 ri.;nseeueuci¿r dc estos dos efectos, unaporriri: i t le naterial cclücadii i ir i i l l c¿¡in:r'¡ eit icÍ.ric,.. st polatízu. Es decir, sus

Fis. 16-14. Polarización cle la materia por un camDo eléctr ico.

moléculas o átornos se convit:tterr err. dipolos clectricos orientados en la direcciílndel carnro elécti lco l¡;c¿ri ({lg. 16-i,1). st 'a dehidt¡ a la distorsión del movimientoclectrórico, se¡ a la orieniacií:n de ci:s t i ipoils ¡iermanentes. Un rnedio que puedepolarizase cn un e¡nllo clécti ico se l lr ima dieléclrícc. La polarización da lugara una carga neta positiva sol.¡re un iatlo dc la porción dc materia y a una carganeta negativa sobre el lado opuesto, f)c este modo la porción de materia se corr-vierte en un gran dipolo eid:ctrico que líende a mo\¡erse en la dirección en queel campo aumenta, como se estudió en la sección 14.11. Esto expl ica el fenómenodescrito en l¿ sección 14.1 por ei cual una varii la de vidrio electrizada o un peineatraen pec¡ueños pedazos de papel o esferitas de corcho.

La poktrización ,l> de un malerial se qlefi lre con¡o el momento dipolar eléctricodel medio 1:cr unidad de voiumen. {)or lo ta i i io. s i p cs ei momento dipolar indu-cido cn carla áto¡no c rnolécula _v ,t cs cl nir¡n,.:rc rle átcmos o moléculas por r:r:, i-dad de vulumen, la polarización es -l> : np. En generai, ? es proporcional al

. ' - -

*-.

16.5) Folarízacíón de Ia matería 589

cxmpo eléctrico aplicado f. Como .P se mide en (C m) m-3 : C m-2, o carga porunidad de área, y de la ec. (14.8), eo{' se mide también en C m-2, es costumbreescribir

.P - y"es(. (16.10)

La cantidad x" se llama susceptibilidad eléclrica del material. Este es un númeropuro. Para la mayoría de las sustancias, esta cantidad es positiva.

Consideremos ahora una porción de material de espesor I y superficie S colocadaperpendicularmente a un campo uniforme (fig. 16-15). La polarizacibn ?, siendoparalela a ¿', es también perpendicular a S. El volumen de Ia rebanada es lS,y por consiguiente su momento dipolar eléctrico es i2(1.$ : (?S¿. Pero I es pre-cisamente la separación entre las cargas positivas y negativas que aparecen sobre

Fig. 16-16. Porción de material pola- Flg. 16-16. El campo eléctrico dentrorizado. de un conductor es nulo.

las dos superficies. Como por definición el momento dipolar eléctrico es igual ala carga multiplicada por la distancia, concluimos que la carga eléctrica que apa-rece sobre cada superficie es ?S y por consiguiente, la carga por unidad de áreadc sobre las caras del material polarizado es?,,ó oe :?. Aunque este resultadose ha obtenido para una disposición geométrica particular, tiene validez general, y

Ia carga por unídad de área sobre Ia superficíe de una porción demateria polarizada es igual a Ia componente de Ia polarización iPen Ia dírección de Iq normal a Ia superfície del cuerpo.

Asi, en la fig. 16-14, la carga por unidad de área sobre la superlicie en ^¿1 es?x : .2 cos o.

Algunos materiales, conro la mayoria de los metales, contienen partÍculascargadas que pueden moverse más o menos libremente a través del medio. Estosmateriales recibe¡r el nombre de conductor¿s. En nresencia de un campo eléctrico

590 Campos electromagnélicos estalicos ( t6.5

éstos también se polarizan, pero de un modo que difiere esencialmente de los

dieléctricos. A ¡nenos que se saquen en forma apropiada, las cargas rnóviles enun conduclor se acumulan sobr¿l la superlicie hast-a qrre el campo que produceniguala completamerrte al campo extcrncr aplicado dcltro del conductor, ptodt-t-c iendc pr>r lo tantc equi i ibr io ( i ig. 16- i6) . Cor: t : lu i r r rcrs, entonces, que ¿n eI inter iorde un cand.uctar que esÍá en equiLrbria eléctrin, ci campo elülrico es ¡t,ulo. Por la¡'nisnra raza¡, rI can¡to eléclrictt rn lc sui';erfície ri¿be str norrnel, va que si tuvi.era¡!na cLrrnp()nente paraiela, las carga:l tt) mt)\ 'er¡ai¡ scbre le superlicie del con-dr.¡ctor. Atlemás, debido a que cl canipt en el interio¡ del conductor es cero,iodos los punlos de wt co¡icluclar ttt equil ihri¡ t létir ico dehen e.slar al ¡nismo polencial.

t ig. 16-17. El campo eléctrico en la Flg. 16-18. \rariación del campo eléc-superficie de un conductor es normal trico al cruzar ia superlicie de un con-a la suoerficie. ductor.

Si el campo eléctr ico en el interior de un conductor es nulo, tenemos también

que div ¿' : 0, y por lo tanto la ley cie Gauss en su forrna diferencial, ec. (16.5)

da p :0; en consecuencia la densidad de carga en el volumen del conductor es

cero. Esto signif ica que toda Ia corga eléclríca de un conductor en equil ibr io estdsobre su super{icie. Con esta proposición queremos signif icar que Ia carga neta está

distr ibuida sobre una superf icie con un €spesor de varias capas atómicas, nosobre una superf icie geométrica.

EJEDIPLO 76.9. Relacionar el carnpo eléctrico en un punto de la superficie de unconductor con la carga eléctr ica en la superf icie.

Soluciín: Consideremos un conductor de forma arbitraria, como el de la f ig. 16-17.Para hal lar el campo eléctr ico en un punto inmediatamente fuera de la superf iciedel conductor, construimos una superf icie ci l indrica plana semejante a una cajade pl ldoras, con una base inmediatamente fuera de la superf icie y la otra a una pro-fundidad tal que toda la carga de la superÍ icie quede dentro del ci l indro y podamosdecir que el campo eléctr ico en un punto de esa base es cero. El f lujo eléctr ico através de la superf icie corlsta de tres términos. El f lujo a través de la base que estádentro del tc¡rductor es cero porque el campo es cero. El f lnjo a través de la superf icielaterai es nulo porque el c¿r¡ps cs tangente a esta superf icie. En consecuencia resta

superflciaJ

Despl,tzamienta eléclrirc ó91

sólo cl f lujo a través de la base externa. Si S es el área de esa base, tenemos Os : CS.Por otra parte, si o es la densidad de carga dei conductor, la carga dentro del ci l indroes g : oS. Por consiguiente, apl icando la iey de Gauss, CS : oS/eo o

{ : oleo. (16.1 1)

Esto da el campo eléctr ico en un punto inmediatamente fuera de Ia superf icie deun conductor cargado, mientras que el campo eléctr ico en el interior es nulo. Porlo tanto, al atravesar Ia superlicie de un conductor cargado, el campo eléctrico varfadel modo i lustrado en la f ig. 16-18.

EJ&MPLo 16.10. Hallar la fuerza por unidad de área ejercida sobre las cargasde la superf icie de un conductor.

Soluctón: Las cargas en la superficie de un conductor están sometidas a una fuerzarepulsiva debido a las otras cargas. La fuerza por unidad de área o esfuerzo eléctr ico,puede calcularse mult ipl icando el valor promedio del campo eléct_rico por la cargapor unidad de área. El campo promedio es, según la f ig. 16-18, C : c/2eo. Luegoel esfuerzo eléctr ico es

Fr:oF:oz/2eo

cantidad siempre positiva, ya que depende de o2 y por lo tanto corresponde a unafuerza que impulsa a las cargas fuera del conductot.

76.6 Desplazanniento eléctrico

En la sección precedente vimos que un dieléctrico polarizado tiene ciertas cargassobre su superficie (y también, a menos que su polarización sea uniforme, entodo su volumen). Estas cargas de polarización, sin embargo, están "congeladas"en el sentido que están ligadas a átomos o moléculas determinadas y no sonlibres de moverse a través del dieléctrico. En otros materiales tales como unmetal o un gas ionizado, puede haber cargas eléctricas capaces de moverse através del material, por Io cual Ias llamaremos cargas liór¿s. En muchas circuns-tancias, como en esta sección, tendremos que distinguir claramente entre cargasübres y cargas de polarización.

Fig. 16-19. Dieléctr ico colocado entreplacas con cargas opuestas. Las cargasde las placas son cargas l ibres y las car-gas de la superflcie dei dieléctrico soncargas de polar ización.

592 Campos electromagnélicos estálícos (16.6

Consideremos de nuevo una porción de un rnateriai dieléctrico ccrlocado entredos placas ¿onductoras paralelas (fig. 16-19), conteniendo cargas l ibres igualesy opuestas. La derrsidad rle carga superíicial sobre ia placa izquierda es * clinr" ysobre la placa de la derecha es '_ qibre. Estas cargas producen un campo eléct¡icoque polariza el material de modo que aparecen cargirs de polarización sribre cadasuperficie del niismo. Estas cargas de polarización tienen signos opuestos a losde las cargas sobre las placas. Por consiguiente las cargas dc polarización sobrelas caras del clielóctrico equil ibran pat'cialmente a las cargas l ibres de las placasconductoras. Siendc P el módulo de la polarización er el material, la densidadsuperficial de carga sobre ]a cara izquierda del rnismo es - ? mientras quesobre la cara de la rlerecha es +- ?. La densidad de carga superfi.cial efectiva oneta a la izquierda es r : dl¡bre -'.p, con un result-ado igual y opuesto a la de-recha. Estas cargas superñciales netas dan lugar a un campo eléctrico unilormegue, en conformidad con la ec. (16.11), está dacio por é":oluo. De este modo,usando el vaior efectivo de o. tenemos

C : 1

(ou¡ru- ' .?) ó or¡b"" -= eo{ *?,60

expresión que da las cargas l ibres sobre la superficie de un conductor rodeadopor un dieléctrico en función del campo eléctrico en el dieléctrico y de la polari-zación del misrno. Cuando observamos que, en el caso que estamos estudiando,{ y lP son vectores en la misma dirección, los resultados anteriores sugieren laconveniencia de introduci¡ un nuevo vector, Ilamado desplazamiento eléctrico,definido por

'D : eof * .P. (16.12)

Obviamente, 2 se expresa en C m-2, ya que éstas son las unidades de las canti-dades que aparecen en el segundo miembro de la ec. (16.12). Para el caso especialque estamos corrsiderando, encontramos que dtibre : í1); o sea que las cargaslibres por irnirJad de área en la superficie del conductor son iguales aI despla-zamientc¡ eiectrico en cl dieiéctricc. Este resultado tiene validez general y puedeextenderse a conductores de cuaiquier forma. Por consiguiente l¿ companente de(D según la normal a la superfície de un conduclor sumerqído en un dieléctríco dala densídad d.e carga superfíctal en el candurlo¡. Esto es

o)ib.e : tD.UX,

mientras que Ia componente normal de <sC da la carga efecti,va o neta, tomandoen consideración la compensación debida a las cargas en Ia superficje del die-Iéctrico; o sea; o: eot. u¡y. La carga l ibre total en el conductor es entonces

qlibre : f"ono"" rS : f" 'V'ux dS : @s. (1 6.1 3)

tin análisis ¡r:ás detallado, que omitiremos, indica que el flttjo de Q a lraués decualquieí superficie cerrad-a at ig¿¡cl a la targa latal "Iibre" en eI interíor de Ia su.

i{;';'1 Crilc¡¿iB cfe ic sr:seeptíbílidad eléctritt¿ &93

pcr{ir:ir, erclt.tu{ndo todc.s ias r!-tteas deóídas a la polarizaeién dsl media. For loleiifo la ec. (1tí"13) es válide ¡:t qeneral para cualquier superlicie cenada.

Para casos en ios cu*les l: i i :t:- (16.1{)) es válicla, podemos escribir

'V : o-of * .oX.¿ : (l + x.)c¡f : ef,

donde el coeliciente

(16.14)

se llama permítiuidad del medio, y se expresa er¡ las misrnas unidades {ue €6i€$to es, m-3 kg-l s2 C2. La permiliuídad relatiua se define como

- - , l - - I | " ,<¡ - c/ t0 - r - - f

^e.

(16.16)

y es un número puro, independiente del sistema de unidades. La permitividadrelativa se l lama conslanle dieléclríca. Para la mayoría de las sustancias es mayorque la unidad.

Cuando la relación (D : u{' vale para un medio, pode¡no$ escribir Ia ec. (16.13)como g¡ibre : f5 .{ . u¡ dS y, si el meclio es homogéneo de modo gue € sea cons-tante.

o.: f { .urydS:{r i l re/e. (16.17)

Comparando la ec. (16.17) con la ec. (16.3) vemos que el efecto del dieléctricosobre el campo eléctrico € es reempiazar <o por e si sólo se consideran las cargaslibres. Por consiguiente el campo y el potencial eléctricos producidos por unacarga puntual inmersa en un dieléctúco son

q. :

.- == (l f x")e¡

( ' - -Q u, v- 4nc.rz

F - I tQz

4nerz

{16.15)

(16.18)

(16.1e)

f ' q

4t<r

El irródulo de la fuerza de interacción entre dos cargas puntuales inmersasen un dieléctrico es entonces

Ccmo e es en general mayor qü€ e$ la presencia del dieléctrico produce unareducciór.r efectiv¿ de la inleracción porque la polarización de las moléculas deldieléctrico hace de pantalla.

76.7 Círlculo d,e Ia susceptibilidacl eléctríca

I-a susceptibiiidad eléctrica p, que describe la respuesta de un medio a la acciónde un campo eléctrico externo, está evidentemente relacionada con las propie-dades de los átomos v moléculas del medio. En est¿ sección describiremos bre-

594 Campos eleclromagnéticos eslátict s (16.7

veme¡rte córno esta cantidad. de carár:ter macroscópico, está reiacionada conlas propiedacles atómicas del medio.

Hemos explicado previament.e que u!l átorno colocado en un callrpo eléctricose polariza clebido al desplazamiento relativo de las cargas positivas y negativas.Si p es ei montento ti ipolar eiéctrico indur;ido en el átotno por uIr campo externo f,podenios suponer que p es proporcional a i ' , resuliadc¡ confirmado por expe-rimentos, y escribir

p .: dr.o(', (16.20)

di¡ncle c es una constante carar:teristir:a de cada átomr.r, l lamada polarízabilídad;

se expresa en m3. La constante €0 se escribe en la ecuación explícitamente porconr.enienci¿r. Si hay n átomos o rnoidcuias por unidad de vc¡iurnen. la polariza-ción clei r ¡ redio es.P: f ip =: ¡¿¡6, , { ' , 5s ' la ect tación, comparada con la ec. (1S.10),Ca para *l¿r susceptibilidad eiécl.rica tiel r¡,a1.cli¿l* At : tlq..

De este rnor-lo el cii i¡:uio de ia susiepiibil ldac! eléctrica se ri:ducc al cálculo dela p;-'J11¡j7e.¡i i idad de l;,¡s átamos (o:noléculr.e) t ie ia s'. lsta¡ícin" Esto conduce arieier¡ninar el eiecto di: un caiirpo ert¡:L¡ro sitb¡:¿ e] ;no.¡imientc de lor elt:ctronese.n el átomo. Ilero eso a su i rz r 'equiere r¡ue iengamos iniormación delalladaficrrca del movimiento electrónico en r.ln álcrno. Este movimiento sigue las leyesde l¡¡ mecánica cuántica y el cálculo del electo perturbacitrr del carnpo eléctricoexterno está fuera del objeto de este l ibro. Por ello preseniare¡nos solantente losrcsr¡itados nrás irnportantes, distinguiendo el efecto sobre las sustancias no polaresde! de las sustancias polares.

(a) Eiecto de Cislorsión Cuando las moléculas de una sustancia no tiene¡r mo-rnento dipolar eiéctrico pern:anenle, ia polarización proviene enteramente delelecto de distorsión producido por el campo eléctrico sobre las órbitas electró-nicas. Podemcs describir este efecto como un desplazamiento del centro de larl istrit¡ución de carqas electrónicas con respecto al núcleo. Esto da como resultadoun dipolo eléctrico inducido que, en átomos v en muchas moléculas, es paraleloal campo eiéctrico apiicado.

Cacia ¿itomo o rnolócula tiene una scrie de frecuencias caracteristicas c,:1. <l2, 03,. . .que ucrresponden a las frecuencias de ia radiacii,n electrornagnética que la suq-tancia puede al, 'sorber o enütir. [st¿ir írecuelci:rs constituyen el espectro electro-raagnético de la sustancia. Cuanda cl cilmpo t!éct¡ico es eonstarrte, la polariza-bil idad at(rmica sr: l lama prtlttrízabLlit lud estúlica y está dada por ia expresión

(16.21)

* Rigurosanrent.e hablandu, cur ln{ lo se r .scr ibr : 13 ec. {1 i i .20) pára un átomo o ¡¡1 ' ) lócula que estáinmerso -¡n i i l tned. io ma¡cr ia l v no ais l : l r io, r ! c l i rn¡ io i ' l t rctr !co que aparece en cl segunt lo In ierrr-bro dc la e¿uación debr 'str c l rarnp0 t iú, . ' t r icc ¡rs: : l i¿t : r le en cl medio In l lnos el campo eiér*.r i t 'oproducido }rr¡r t ' l ¡n ismo áto¡no. Cua¡r ic ' s i : j ¡ rc luye i ' r .1 'a torreüciól i , ia re. iación eniae Xe y c seconvierte et l¿ : nt l \1 - .nr l i3) . l i ln eir iLurg,r , i r i l ¡a la ¡ iavo¡ía de los maler ia les {pr incipalmentegases), la relación 1e : nJ. t ¡s una buena aproxi l i1aciói l .

- ._. , r ' ¡ ñ*- . rn" A ^?'

16.'í) Cálrula de l+ susceplibilídad eléctríffi bgt)

tlcirrlr: ¡¡¡ representa ctralqqi,il" frecuencia del especiro electrarnagnético y la surnase extierrde a todas l¿s frecuerrcias" Las cantidades simbolizadas por fi se llamanintensiiades de osúlación de 1a '-;ustancia. Todas ellas sol¡ positivas y menoresque uno, y representan ia propcreión relativ¡. con que cada una de las frecnenciastlel espectro contribuye a la polarizabilidad tlei étomo. Ellas satisfacen la relación2¡ft:1. Las otras cantidades de la ec. (16.21) tienen sus significados usuales.

Puede constituir un enigma para el estudiante el hecho de que una frecu¿nciao¡ esté asociada con un efecto producido por un carnpo estático. Su presenciapuede, sin embargo, justif icarse usando un modelo fenomenológico muy simple,como se indica en el e jemplo 16.11.

Usando la relación xe : nd, encontramos que la susceptibil idad eléctrica es-tática es

*,: ,+>,1+ -3,1e x loÉn 1+ (16.22)

Esta expresión relaciona una propiedad macroscópicar x¿, con las propiedadesatómicas n, toi y f i, de Ia sustancia. Veamos hasta dónde nuestros resultadosestán de acuerdo con los experimentos. Si la radiación del átomo está en la re-gión visible, las frecuencias roi son del orden de 5 x 1015.-r, de modo que lasumatoria que aparece en la ec. (16.22) es del orden de 4 x 10-32. Además, nes del orden de lOa átomos por metro cúbico para la mayoria de los sólidos ylíquidos y cerca de 1025 átomos/ms para gases en condiciones normales. Por con-siguiente la ec. (16.22) muestra que la susceptibilidad eléctrica estática ¡¿" demateriales no polares que radian en la región visible es del orden de 1@ (o uno)para sólidos y 10-g para gases. Como nuestras estimaciones no han sido cuidado-sas, no podemos esperar una reproducción precisa de los resultados experimentales.Sin embargo, la comparación con los valores experimentales de la susceptibilidadeléctrica para unos pocos materiales, como los dados en la tabla 1&-1, muestraconformidad en cuanto al o¡den de magnitud.

TABLA 16-1 Susceptlbi l i i lades eléctr leae a temperoturc ¡mblente

Sustancia Sustancia lc

Sólídosmicaporcelanavidriobaqueli ta

Llquidosaceitetrementinabe¡rceno

alcohol (etf l ico)agua

rAlalmy20oC

Gases*hidrógenohelionitrógenooxfgenoargónóxido devapor de aguaaireaire (100 atm)

5,0 x 10-'0,6 x 10-a5,5 x 10-l5,0 x 10-'5,2 x 10-'9,2 x 10-47,0 x 10-85,4 x 10-r5,5 x 10-¡

684,7

1r11,2I ,84

2478

596 Cumpos eleclromag néf iccs cslalicc¡s u6.7

La discusión previa tiene valcrr sólo para farriri ls estacionarios. Si un campodepende del t iermpo, debemos esperar utt resuitar,io i l i ft:rente para la poiarizaLii-l idacl atónriea, l lamada en este c{tsc L'olqrizabíl idd tl i¡támicti, porqr.ie la distorsióndel mor"imiento electrónico bajrt r¡n r,ranlpo dt:pendicnte tlel t iempo serír cbvia-mente dlferente de ia ploducida ¡¡,¡¡ cílxrpcs r:siacir,.narios. Supongamos que elcampo osciJa con un¿r lrrcuenr:ia rlefirrit l¡ i o. Este campo uscilatorio super¡;ondráuna pert .urbación osci lator ia al mr¡r ' i ¡ r ier :Lr i naturr l de los electroÍ ]es qur,es aná-loga a la osciiación forzada estutl i¿rda er-i la secciórr 12.11J. Cuando no se tonra entuenta el amort iguamicnto, e l resui tacio del cálculo, us¿¡ndo las tócnicas de la¡necánica cuantica, da. para la suscer-rtibil idad dinámica

donde todas las cantidades tie¡ren el sir;nil icado ya establecido. Una justif icaciónfenornenológica s impie de este resul tado se da en el e jemplo 16.11. Obsérveseque el resultado dinámico (16,23), se recluce al caso eslacionario, ec. (16.22),s i ¿o:0.

La constante dieléctrica o permitividad relativa del medio es, usando la ec. (16.23)para el caso dinámico,

ncz \- f¡.orn" f rui -- rue

e¡: l * / . , : r+-YL I--o-f i =e¡ne 7 ui--z

(16.23)

(16.24)

Si hiciéramos el grafico de €¡ en función de o, hallaríamos que €r es infinita parar" igual a cada una de las frecuencias características cl¿, en contradicción con loque se observa. Este resultado no es físico y se origina en el hecho de que hemosexcluido el amortiguamiento al hacer los cálculos de la susceptibil idad dinámica.

f ig. 16-90' \ 'ar iación de la permit ividacl relat iva en función de la frecuenciadel campo eléctr ico.

' t l

dít!¡:uía d¿ /q susceptibíiidu,l eiéctr¿':{r 597

i:¡te a¡nortiguarnlenlo no se debe ai ¡ncvirnie¡¡la riel elect.rón en un fluit lo viscoso,sinl que tie¡:e un origen di{err'nte. Corresponde a ia energía que *l elecirón pierde

¡:or rail iecióil colno cons€cu{irlci¿r de la-q osciiaciones foreailas. (I isto se expiicaráen la sección 19.4).

La variación observada de €r erl iunciórr dc .,, se i lustra cn la fig. 16-20. EI dia-grame se repite para ias frecuencias caractcrisiicüs {,i1, o2, os, . . " de cada sus-tanci.a. Esta variación tiene gran influencia en el comportamientti óptico y eiéctricode la sustancia.

{n} fuIolécutas ton tnamento dipolar permanenle. Las polarizabilidades obtenidasccn las ecs. (16.22) y (16.23) son "inducidas" porque resultan de la distorsión

'-lei ¡novimiento electrónico por un campo exter¡lo, Sin embargo, cuando existeun dipolo eiéctricc permanente, entra en juego otro eiecto. Consideremos un gaspciar cuyas rnoléculas tie¡len un momento dipolar permanente po. En ausencia

(a) Campo nulo

FlS. 16-21. Orientación

......+

+++

+++

++

(b) Campo eléctricosin inte¡accionesmoleculares

de los dipolos eléctricos

----- é -=

.

- -=-- ¿'¿

_ 4 __._

----- ¿r¿

--- ¿-r' -r -__.- .

(c) Campo eléctricocon interaccionesmoleculares

en un campo eléctrico.

de un campo eléctrico externo, estos momentos dipolares se orientan al azar yno se observa un momento dipolar colecüvo o macroscópico (fig. 16-21). Perocuando se aplica un campo eléctrico estacionario, éste tjende a orientar todos losdipolos e]éctricos en la dirección del campo. Este alineamiento sería perfecto enausencia de las interacciones moleculares (fig. 16.21b); pero las colisiones entrelas moléculas tienden a desordenar los dipolos eléctricos. EI desorden no es com-pleto porque el campo eléctrico aplicado hace que los dipolos tiendan a orientarsepredominantemente en la dirección del campo (fig. 16.21c). Como resultado, elvalor medio de la componente paralela al campo eléctrico del momento dipolarde una molécula está dado por

=YOEP: t*

r ' (16.25)

donde k es la constante de Boltzmann, definida por la ec. (9.60), y ? es la tempe-ratura absoluta del gas. Obsérvese que p disminuye cuando la temperaturaaumenta. Esta dependencia de la temperatura se debe a que la agitación mo-lecular aumenta con la temperatura; cuanto más rápido se mueven las moléculas

598 Campos electromagnélicos eslalicos (16.7

más efectivamente vencen el efecto de alineamientc del campo eléctrico aplicado.Esto ocasiona una disminución en el promedio del nomento dipoiar según ladirección del campo.

Comparando la ec. (16.25) con Ia ec" (16.20), obtenemos el promedio o pola-rizabil idad efectiva de una molécr¡la como z : pf;|3+okT y. si hay n moléculaspor uri idad de vc,lumen, la susceotibil idad efectiva I¿ : l ' t¡ 8s

np'zoxe :

*1; '(16.26)

resulfeCc conocirlo como fórrnuia ,ie í-snqet¡i¡¡. i-ns ¡i i i ,rnentos dipolares eléctricos:tr: las;r:eiéc¡¡.jas son del orde¡r de i lagnitrrd de ia carga elt,ctió¡rica (1,{1 :: 10-rs (l)

rnui i lp l icada pr;r ia.Cirnensjórr d¿ l2 r¡¡ l i :c i r lx i10'- i0 m) o cerca de 1ü--m ( l rn (re-lcri iar la lail i .,r l4-l i. h:t¡oduci.:,"i i ,: i ir l ' , '¡¡ lr-rret dc las ¡ltra.c constanr-es en iar:c. l i i i . ' j i i i i :ú¡rr:nns r{ue. a teu:pelrt.rri ' ; l ¡; lnbtente iT : ?i}8"i{), la suscepti}: i-l ir i :;r l ¡: lect¡:r:r de n¡ia susirrl lr,:: l crntl, lr '3i: 'r r ie rrrri létui::* pr-!]artg es t. l¡rnbiéri ri i : l, i . l '{ jel; {1. !í j t tr; r¡r¡i.r i parir los cóii¡?'i,: \ ' ¡{j '- i i ;,,;r::a ios ga,;ts. lo cu¡ j t stá crj (ron-

¡t¡r i l t iC¿.i i r l l Ios l ' ¡ l i t ; lcs , le lr l , ;ci l t3 t : l i : . : . l r - ' i : .u,- 's.I)r: i :¡ ;no¡ r lbservsi r¡ue ia sr:gr¡r i i ] . , :- i i i r t i i ieci;r ic;r dr. i- ' i ' - ' l : : a ia ariei, , i r¿iór, je

tt i ; i i ' ¡ . :r¡ las c+¡r momentos t l ipoiari , ; Pt i ;r iaí¡ei1!{.ar ¿s irrve:-q?.r¡:enf.e ¡:r i ' r . ,rpoici¡ inl l ! Ír

ia Lerri¡;crat.ura ebsohitil. n¡irnLrari rlrr,.' l'i :::scr:pl.ibilir"laci rriéctric:¿- .irt¡.luciti¡ tit'l¡id:r

;¡ i ' : distc: 'r i ¡ ; l t : d¿i ¡¡tovinrientc elt ,¡ , , l r i r t t icr 'r ] : tr et(;rnos i t r11ülécr.r lat, , :c. (1Éi.22),

rr$ í l¿rr,1a;üeni;¡. is¡. ,ntc indeprrndienlt , je i : l i i i rrpei: iura, exceptuando qut. n varia

r.nn in ¡¡ ism:. r lebidc a la eapansión ttrr lr ica. Esto i ; fr tce un rnedio de separar

i ' rs dos efectos experirnentalrnente. .F! idlendo ' te a t€mperatrrra.s diferentes obten-

dremcs ilna depend€ncia tie la temL:eratura de la fo¡ma

Un resultado más corriplejo se obtiene cuando cl campo elér:trico depende deltieinpo.

Llna ciase especial de sustantlas l laniadas ferrorléciricas presenta una polari-zaeíón permanente en ausencia de un <;ampo eléetrico ertcrno; esto sugierc quelos dipclos pr:rmanentes de sus molóculas tienen uria tcnritx.rcia natural a alinearse.Este aljnearniento probablenrente resulta de l¡s iniergcciones mutuas de las rno-léculas, las cuales producen intensos carnpos locales que lo favorecen. Entre estassustancias mencionaremos Ba'fios, K¡{h03 v LiTaOr" Una de las sustancias ferro-eléctricas más antiguamente conocida es la sal de Rochelle: I{aK(CoHnO6).4H2O.

EJEMPLT 7(i. lI. Discutir la polarización de un átomo en un campo eléctricoexterno.

Soluctón: En este ejemplo intentaremos, usando un modelo muy simplif icado yfenomenológico, determinar el efecto que un campo eléctrico externo producesobre el movimiento de los electrones en los átomos.

Supongr.rnos que, cuando el centro del movimiento electrónico se desplaza unadistancia r con respecto al núcleo, una fuerza media .-/r¡ actúa sobre el electrón,

BAi--

'T

1á " t i l¡ l i ,:uío d¿ i¡ srirc¿'ntibítidatl el{ctrir¡.¡ 599

1"r r i¡a! lrenrie a Í i :stRutct l .o i l ¡ t ' : tr i { .- ,sición n{}rmai; r l equi l ibr io requiere que esta| ' i i : ' ; :a rf 4 ; ,{u: l ;r i ;r ¡uer¡a---e.1 r;e}r ir iu ai carnpo eléctr ico apl icado. Luego --*¡ *-r ' , i ' . . . . rJ {; r . . . - rr ' ¡ ,c. i i i s ign.} r}}e;r i)s indic:r r¡ue }a órbit .a del electrón se Cesplaz¿rr.;r i ,¡ .nl ir io e-r¡ruesi-c al dr: l cr,rrp., , .¡ : i :ct i- i r jo. Fi i monr*ntc¡ elór:tr ico indl l tcido en el átarnopr¡r ' la pert lr t ] trción r l¡ : i n-rcvi:ci¿nto el,ecl¡ 'único es p .. . : -er: (e,/k)f , y de estamilnera tiene la nris¡na dirección que el campt' e!ie{-rico. Podemos expresar está re-lar:ién de una niancra ligeramente diferente asociando una frecuencia cüs con lacorisf.anle k, tal como aparece en la ec. (12.6); esto es Á'-.- me<¿6. Entonces en formavectorial

e2p : --:-- c.- mq:Jf

Ccrnparandc este resultado conla no! '¡r ' rzabi l idael atómica para

la definición dada en la ec" (16.20), tenernos queeste modelo simple es

c: - -€" '€¡Itl3ú163

Us;¡ndo la relación x.¿: nc', encontramos que la polarizabi l idad eléctr ica estát ica es

nez(16.27)Xe: €orneo!

Para que nuestro modelo tenga signiflcado ffsico, debemos identiflcar la frecuencia oo.on alguna propiedad atómica. Si el campo C se elimina, podemos decir que, usandoies irier.s expuestas en el capltulo 12, la fuerza restauradora -kr superpone sobreel movimiento natural del electrón, una osciiación de frecuencia coo. Más adelante,en el capttulo 19, probaremos que una carga osci lante radia energla. Asi, podemosidentificar ¿D0 con la frecuencia de la radiación emitida por el átomo. Por lo tanto,si el espectro de la sustancia contiene sólo una frecuencia t,ro, nuestro modelo coincidebásicamente con la ec. (16.21).

Consideremos ahora el caso en el cual el campo eléctrico aplicado varfa con elticmpo según C - r"ocos<¡1. Entonces es iazonable suponer que ha¡r una perturbaciónoscilatoria superpuesta al movimiento natural del electrón, resultando la siguienteecuación de movimiento:

: (3,19 x 10É)+

donde el último término conesponde a la fuerza debida al campo oscilante. Haciendok : mcc¡8 podemos escdbir la ecuación anterior en la forma

^.# : -kx- e(ocos of,

!? *.g¡ : - tt 'o .os -r.dt2 ' rrte

e2- - f

' mt(<oo' * <12)

(16.28)

(16.2e)

Esta ecuacién es simi¡ar a la ec. (12.56) para las oscilaciones forzadas de un osciladorarnortiguado. La principal diferencia está, sin embargo, en que en la ec. (16.29) nohay término de amortiguación. Debemos suponer una solución de la forma ¡ : Acós of, la cual, cuando se sustituye en la ec. (16.29), da A : -eCs/(al-or¡). Porconsiguiente

r ' - - cocosorf : - , : - - - ^c,m.(ol-<o2) " m.(<,r i -<o2)

ya qr¡e d : Cc cos of. El dipolo eléctrico inducido es

600 Campos eLeclromagnélícas eststicos

de donde obtenemos la polarizabi l idad r l inámiea r iei átomo como

(J6.8

":--*- t i - - - - .es/ñe(t:o¡ -.¡ ')

Para ol¡ tener la suscept ib i l idad dinámica, usamos dey encontramos que

nezXeld,námlta ) : - ; -- e/ne(cufr -- uttj ' (16.31)

que es esencialmente idéntica a la ec. (16.23) si hav sóio la frecuencia ¿d0 eD el espectroelectromagnético de la sustancia. LIna vez más obse: 'vamos que nuestro burdomodelo fenomenológico no puede dar resultados precisos. Una de las razones esque, como en el caso estát ico, estamos suponiendo una frecuencia única c,ro. otrarazón es que estamos ignorando el hecho de que el movimiento del eleetrón siguelas leyes t ie la mecánica cuántica y :ro las de la mceánica nervtoniana.

1,6,8 Capacitanciü ; capaeitores

Ilemos probado (sección 14"8) que el potencial elictrico en la superlicie de unaesfera de radio R y carga Q es v : Ql4resR. Si la esfera está rodearla por undieléctrico, tendremos en su lugar, reemplazando €0 por €,

v-4xeR

I-a relación Q/V para la esfera es entonces AneR, que es una cantidad constanteindependiente de la carga 0. Esto es comprensible porque si el potencial es pro-porcional a la carga que Io produce, la razón de las dr¡s debe ser una constante.Esta últ ima proposición es válida para todo r:onductor cargado cualquiera quesea su íorma geométrica. En consecuencia, Ia capaci.tancí.a de un conductor ais-lado se define como el cociente entre su carga y su potencial,

(16.32)

La capacitancia de un conductor esférico es, conto hemos indicado,

:4teR.

Si la esfera está rodeada por el vacío en lugar de un dieléctrico, tenemos parasu capacitancia c : 4nesR. Por consiguiente, rodear una esfera, y en generalcualquier conductor, con un üeléctrico, aumenta su capacitancia en el factore/eo. Esto se debe al efecto de pantalla que hacen las cargas opuestas gue sehan inducido sobre la superficie del dieléctrico adyacente al conductor. Estascargas reducen Ia carga efectiva del conductor disminuyendo su potencial en elmismo factor.

(1 ü.30)

nuevc: Ia relacién X. - irs.,

a

C :9.v

c:9 v

: i . . ¡ i .,.. ¡.,¡ l¡. j j , i :?¡. ir i. , t8.¡tÁi,i.¡¡i¡:;1 {;{t-i

La caixi ' i la¡¡l ia c.r ir¡t tr¡i i t lucta;r se ,:x.i, 'r 'ssi+ ei! C r"r-t, un!riari I l*rnarta f*rad{ri l,r*via,i io Jr:i €n h{-rn1)r de i\ l ichael FiaraCay. Í l fared se def{ne camo ir capa-titancia- Ce ur¡ ¡:onth¡ctcr aislarlt cLiyt'r pctenci¿¡l cléctrico, t iespuós de recibir unacarga de u¡i coulomb, es de un r:olt. En fr.rnr:ión de las unidades fundamentales,tenemo-,¡ que F : C V-l : m2 kg-l s2 C2.

El concepto de capacitancia puede extenderse a un sistema de conductores.Consideremos el caso de dos conductores con cargas Q y - 0 (nS. 16-22). Si Vry V, sori sus potenciales respeciivos, de modo que V - yl V, sea su diferenciade potencial. la capacitancia del sistema se define como

roaVt-- Y, v

Esta disposición consti[uye lo que se llama un capacilor. Los capacitores tienenarnplia aplicación en circuitos eléctricos. Un capacitor tipico está formado pordos conductores pianos y paralelos separados por una distancia d, con el espacio

Fig. 16-92. Sisterna de dos conductores Fig. 16-28. Capacitor de placas para-con cargas iguaies y opuestas. lelas.

entre ellos ocupado por un dieléctrico ({ig. 16-23). El campo eléctrico en el espacioentre los conduct-o¡es es uni forme, y está dado por d: (V, - -V2)d coniorme a;¿ ,: ' .:. i .1,1.31). Perc si a es !a densidad superficial de carga, la intensidad de carnpo":iéclrico en el e.spacio entre las placas es, según el ejemp.lo 16.2, t ' : oie, donde€0 se l le. reerntlazaut) por € debido a la presencia de un dieléctrico. Por lo tanto

V, - V, :. {d : odlSe.

.For otra parie , si S es el área. d* irrs placlrs metálicas, debemos tener Q : aS.l-uego, hacie¡rtlr la sustituciór¡ en ia ec. (1{i.33), obtenemos para la cei¡aüitancia

(16.33)

602 Campos electromagnélicos eslaticas

del sistema,

C : eSld.

Esto sugiere un medic prácticc pamde un nraterial. Primero rncdimosentre las Dlacas, resultando

(16.8

(16.34)

¡nedir la ¡rermir"ividad o constante dieléctrica[a capacitancia dr un capacitor sin matcrial

Co : eoS/d'

Luego lienarnos el espacio entre las piacas con el material qlle se está investi-gando y medimos la nueva capaci tancia, dada por la ec, (16.34). Entonces tenemos

a:- :€r .

€o

Por consiguiente el cociente entre las dos capacitancias da Ia permit ividad relat iva

o constante dieléctr ica del nraterial colocado entre las placas.

EJDMPLo 16.12. Estudiar la combinaciÓn de capacitores"

Solución.. Los capacitores pueden combinarse en dos formas: en se¡ie y en paralelo.En la combinación en serie (ver f lg. 16-24a), la placa negativa de un capacitorse conecta a la posit iva del próximo, y asi sucesivamente, En consecuencia todoslos capacitores t ienen la misma carga, posit iva o negativa, sobre sus placas.

Cr Cz ci

FiS. f 6-24. Combinación de capacitores en serie .y en paralelo.

Llamemos Vr, Vr, Vr, . . . V" a las di ferencias de potencial en los capaci tores.Si Cr, C2, . . . C" son sus respect ivas capaci tancias tenenros que V, : Q/Cr, Vr:QlCr, . . . , Vn: QiC". Por lc tanto la di fere¡rc ia de potencial total es

I / - l . r* \ ,2f . . .+\ , , : l i I 1\^

\ r , * ¿;+' * a)a '

El sistema se puede susti tuir por ul l solo ca¡racitor cuya capacitancia C satisface

co

+Q¡

-Qt

+O,!- - l

a, *

J6.s)

ia rel¿ción \ ' : QlC. Ptir r :onsiguielte

Er¡trQla dtl campo etéclrbo 603

] i1' t t aa

! , u

Ca ia capacitancia resul i-antc para una disJ;c:; i , ; ión de capacitores en serie.En ia as¿:ciación e; paraielc 1l ig, i6-24b), torlas Ias placas posit ivas se conectan

¡ un i ] i lnlo común, _v ias negativas ta¡nl¡ ién a ot io punto común, de modo que la¡l l frr* '¡rr ia r ie l , : t .elrcial es l . l ¡nisma p*-ra todos ios capacitores, En consecuencia,: . i ias aai lg¿l : r ar)r . r í r1. { .1: , . , . ,1, . )n, det- 'err i ¡ :s tener Qr . . . Crt ' ' , Q¡ : CrV, . " . rQn:,ü, l ' . La carga iot¡ l dr :1 r ist . r : l ¡ i r es

0 : 0, - r Qz -¡- . . . * Q":{Cr r C, -} . . " . - f , C") y.

El sistema puede reemplazarse por un capacitor único cuya capacitancia C satis-faga la relación Q : CV. Luego

C: Ct - f C' * . . .* C" (16.36)

da la capacitancia resultante de una dispcsición de capacitores en paralelo.

76.9 BnerEía d,el ca,rnpo eléctrico

Para cargar un conductor es necesario gastar energia porque, para suministrarlemás carga, debe realizarse trabajo para vencer ia repulsión de las cargas ya pre-sentes. Este trabajo ocasiona un aumento en la energia del conductor. Por ejemplo,consideremos un conductor de capacitancia C con una carga g. Su potencial esV : giC. Si añadimos una carga dq al conductor, trayéndola desde el infinito,el trahajo hecho es, según la ec. (14.37), dW : V dg. Este trabajo es igual alincremento dEe en la energía del conductor. Por consiguiente, usando el valorde V, tenemos

dEa

jfl aumento total de la energía del conductor cuando su carga se incrementadescie cera hasta el valor Q (lo que es igual al trabajo hecho durante el proceso) es

1T (18.35)

(16.37)

: _g_dqC

s* : f lo nao: -E-.C Jo' 2C

Para el easo de un conductor esférico, C :AreR, y la energia es

u":*{*) (16.38)

Esta expresión se puede relacionar de un modo muy interesante con el campoeléctric* producirio por la esfera. El campo eléctrico creado por un conductoresféricft a nüa distancia r mayor que su radio, es

, :#*.

604 Carnpos electromsqnélicos esf¡i lícls (16.e

Calculcrnos ia integral c ie i l ext t ' ¡ r t i i r l . ¡ a i r"ol : r int : i i t :x l .e i r io a la esfera. Paraobtt 'ncr el volutnen elenteniaI t le i i i i l : ¡ l reción. c i i ' . ' i r l¿¡ l , r rs t ' l es¡ iacio exter ior errcapas esfór icas delgadas t- le radio r . , ' esppsor dr ( l ig. l6-2t t ) . El ¿irea de cada capaes ' l ¡ r2, y cn consecuencia su vt l lu¡nen es du : árca x cspesor :4: : r r dr . PorIo tanto te i remos

I e¿,JR

Q' f* d,'lr<2 J p rz

: J; ( r-qr )' {n*" o4 :

: -q4rre2R

Comparando este resultado con la ec. (16.38), podemos esc¡ibir la energia de unconductor esférico cargado cn la forma

Er, : Lu f* f ' , t r .

Un tr¿rtanricnto matemático más rigurosri inclica que esüe resultado tiene validezgencral, y la cnergía rcquerida para disponer un sistenra dc cargas puede expre-sarse en la forma

Er, - ) , | (2 du.- J to( lo el espacio

(16.3e)

A csta expresión ¡luede dársele una interpretación fÍsica importante. Podemosdecir que la energia ut i l izada en disponer las cargas se ha almacenado en el es-

Figura 18-2ó

pacio que las roclea,Por consi{uicnte la"almacenacla" err e l

_ 1 -C,t :E : t€(r- .

I ' igr¡ ra

de mocio Que al volunren r lu corresponde la energía )<(2 du.cnergia por urridad tle ', 'oiun'ren. o densjdad de energÍa ngcampo eléct l ico t :s

(16.40)

16.9)

Esta rnterpretación oe la energia tle unbuidas en todo el espacio donde existe elcusión de muchos procesos.

Energía d.el carnpo eléclríco 605

sistema de particulas cargadas distri-campo eléctrico €s muy úti l en Ia dis-

EJEDTPLO 76.79, Calcular la energía necesaria para formar una esfera de cargasdistr ibuidas uniformemente en todo su volumen (f ig. 16.26).

Solución: Llamemos R al radio de la esfera y Q a Ia carga distribuida uniformementeen su volumen (f ig. 16-26). Dividamos el volumen de la esfera en ura serie de capasesféricas deigadas de radios crecie¡rtes desde cero hasta R. Poder..os imaginar quela distr ibución ha sido construida superponiendo capas esféricas hasta alcanzaruna esfera de ra<l io R, en forma parecida a como está formada una cebolla. Paracalcular la energla de la distr ibución esférica de cargas, debemos sumar las energfasempleadas en la superposición de cada capa.

La densidad de carqa en el volumen de Ia esfera es

H_4¡r R3 /3

Si el radio de la esfera es r, la carga q contenida en ella es

C : p(i'r,¡) : (16.41)

o

QfR3

y el potencial eléctrico en la superficie es

y: I : Qt '4ne¡ 4zreoRs

Al incrementar eI radio en la cantidad dr con Ia superposición de una nueva capa,añadimos una carga dq obtenida diferenciando la ec. (16.41), de donde

. 39!_ ¿r.¿I? : -Ra

La energfa necesaria para agregar esta carga a la esfera es

: SQ"n dr.

4n<oRo

para obtener el valor flnal de la carga es entonces

dE6 : lt ¿q

La energfa total necesaria

"': J: vdq: J; ## *:-^-l* Ii-*Efectuando la integración, obtenemos

"':+(#o)' (16.42)

resultado que dif iere de la ec. (16.37). Larazón está en que para obtenerla ec. (16.37)supusimos una esfera de radio constante con cargas distr ibuidas sobre su superf lciemientras que para la ec. (16.42) la carga está distr ibuida en todo su volumen y seha formado por at l ición sucesiva de capas hasta obtener el tamaño f inal. Dejamosal estudiante la tarea de venficar que en este caso la relación (16.39) sigue siendoválida siempre que se incluya la energia asociada con el campo eléctr ico en el interiorde la esfera.

606 Campos eleclromagnéticos eslal icos

Una apl icación interesante de la ec. (16.42) es est i ¡nar labiana de un ní lc leo cuya carga es Q:- Zr: . Tenernc's

E6 - -_-J

ó R:3(t \ -q-5 \4: :eo I mecz

Z2ez

(16.r0

energí¿¡ eléctr ica o coulom-

(16.43)

(16.45)

estr ictamente geo-de la región donde

{reo R

Sin en-rbargo, en el caso de un núcleo compuesto de protones v neutroncs, no havun¿i distr Íbución u¡r i forme de carga en tor lo el volumen de la esfera. La carga estáconcentra<i¿r sobre Ios protones, r 'u¡ l anái is is nlás cuidadoso cla un resul t¿ido l igera-mentc r l i ferente, en el cual Zz está rcen¡r lazado por Z(Z - 1) ,

EJtr :MI,L() 16,71. Est imar el " radirr" del c lect l 'ón.

Soluúón: Es muy poco lo que conocemos í lcercn de la fcrm¿r geométrica del electrón.Todo lo que podemos decir con certeza es que u¡r e lectrón es una part Ícula cargadanegat ivamenl-e con una carga ' -e. Estamos interesados en est imar el lamaño dela región t lont le esa carga está concent raC¡. Para s impl i f icar nuestros cálculos,consideremos qr-re c l e lectrón es l lna esleia dc radio R. Podemos calcular su energÍaelóctr jca usando el método anter ior y despuús hacer algunas suposic iones acercade cómo se distr ibuye la carga en ei volumen del electrón. Si suponemos, por ejemplo,quc el electrón es semejante a una esfera sól ida de radio R y carga -e, su energfa será

-3e2¡ 'c : ' T 4r*"R'

Podemos igualar.. ,"".*ü con la energía mec2 del electrón en reposo, con Iocual resul ta

4reo.R(16.44)

Esta expresión da el radio del electrón conforme aI modelo escogido. Si suponemosque el electrón, en lugar de estar cargado uniformemente, lo está sólo en la superf icie,debemos usar la ec. (16.38) para la energia. La expresión que obtenemos para elradio es similar a Ia ec. (16.4.1), pero con el factor.! en lugar del factor ! . Como elelectrón probablemente no corresponde a ninguno de estos modelos, se acostumbraadoptar como del inicir in del radio del electrón la cantidad

^óllleC' : -lJ

1p2

" :

4*r" ,*; : 2'8178 x lo-ts m'

Repetimos que este radio no puede considerarse en un sentidométrico, sino principalmente como ulra estimación del tamañoel electró¡r está "concentrado",

16.70 Cond,uetitsidad eléctricü; leg cle Ohtn

En las tres últ imas secciones hemos'discutido ciertos aspectos del comporta-miento de una sustancia bajo la influencia de un campo eléctrico. Este com-portamiento se ha representado por la susceptibil idad eléctrica del nraterial.I ixiste otra propiedad irnportante relacionada con el campo eléctrico externo.EsLr propiedad se l lalna co¡¡¡/uclit: idad eléclrit:u, y se estudiará en esta seccióncn relacir)n con la c'.rnclucción elócti ica e¡r ul: i¡retal.

Cuanritt se apliea un cainl)o eicctrico ¿l u.j i {;rrj l t:cl i irrc, t lste se po!ariza. IJcrosi e l carüpo se apl i t :a en una reg!ón donde i r i ry ct fgas i ibr :es, éstas se pon€n en

t6.1 Gj Conductiuídad. eléctrica: ley de Ohm 607

inovtmiento resultando uha corriente elécLrica en lugar de Ia polarización del¡nedio" El carrpo acelera las cargas, que de este modo ganan energía. (Esta situa-ción se consideró en la secciól 14.9).

Cuando en el interior de un cuerpo existen cargas l ibres, tales como electronesen un metal, sus movimientos son obstaculizados por la interacción con los ionespositivos que forman la red cristalina del metal. Consideremos, por ejemplo, unmetal con los iones positivos regularmente dispuestos en tres dimensiones, comoen la fig. 16-27. Los electrones libres se mueven en un campo eléctrico que muestra

Fig. 16-27. Movimiento de electrones através de la red cristalina de un metal.En la f fgura, ur es la velocidad térmicade los electrones.

la rnisma periodicidad que la red, y durante sus movimientos son frecuentementedispersados por el campo. Para describir este tipo de movimiento electrónicodebemos uti l izar los métodos de la mecánica cuántica. Debido a que los elec-trones se mueven en todas direcciones, no hay un transporte neto de cargas osea no hay corriente eléctrica. Sin embargo, si se aplica un campo eléctrico, unmovimiento de arrastre se superpone al movimiento natural al azar de los elec-trones, resultando una corriente eléctrica. Parece natural suponer que la inten-sidad de la corriente debe estar relacionada con la intensidad del campo eléctrico,y que esta relación es una consecuencia directa de la estructura interna del metal.

Como guía para obtener esta relación, vamos a remitirnos primero a los resul-tados experimentales. Una de las leyes lísicas gue es quizás más familiar al estu-diante es la leg de Ohm, la cual establece que, en un conductor metálíco a tempera-lura constanle, Ia razón de la diferencía de polencíal V entre dos puntos a Ia corcienteeléctrica I es conslanl¿. Esta constante se llama resístenciq eléctrícq R entre los dospuntos del conductor. Por Io tanto podemos expresar la ley de Ohm por

Vl l :R ó V:RI. (16.46)

Esta ley, formulada por el físico alemán Georg Ohm (1787-1854), la siguen consorprendente precisión muchos conductores en un amplio intervalo de valoresde V, de 1 y de temperatura del conductor. Sin embargo, muchas sustancias,especialmente los serniconductores, no la obedecen.

En la ec. (16.46), vemos que R se expresa en volt/ampere ó m2 kg s-r q-2,

unidad llamada oñ¡n, abreviado O. Asi, un ohm es la resiStencia de un conductorpcr el cuai pasa una corriente dr un ampere cuando se establece entrc sus extre-mos una diferencia de potencial igual a un volt.

Campos electromagnéticas estalica:: (.16.10

TABLA 1(i-2 Conductlvit l¡des eléctrleas o temperetura amblente

Sustancia Sustancia ^ (-]-l

Metalescobreplataaluminiohienotungsteno

5,81 x 10?6,14 x 10'3,54 x 10'1,53 x 10?1,82 x 10?

Sentica nductorescarbonogermaniosi l ic io

2,8 x 10¿2,2 x 10-z1,6 x 10-5

Aleaci.onesmanganinaconstantánnicromo

:l is Iador¿svidriolucitamtcacuarzotef lonpara{ina

10_10 a 10-1{< 10-13

10!1r a 10-151,33 x 1Q-ra

< 10-133,37 x 10-r?

2,27 x 70E2,04 x 1061,0 x 108

Cor"rsideremos ahora un conductor cil indrico de lcngitud / y sección transver-sal S (l ig. 16-28), La corriente puede expresarse como 1:jS, donde j es ladensidad de corriente. El campo eléctrico a io largo del conductor es é:VlI.(Recordar la ec. 14.30). Por consiguiente podemos escribir la ec. (14.46) en laforma él : RjS ó

(16.47)

donde o : l/RS es una nueva constante l lamada conductiuídad eléclrica del ma-terial. Se expresa en o-1 m*1 ó m+ kft s C2. La relación entre o y R se escri-be más frecuentemente en la forma

R : //oS. (16.48)

La tabla 16-2 da la conductividad eléctricade varios materiales.

La ecuación (16.47) es una relación entrelos módulos de los vectores j y f. Si supo-nemos que tienen la misma dirección, situa-ción que se da en la mayoría de las sustan-cias, podemos reemplazat la ec, (16,47) porla ecuación vectorial

Figura 16-28 j : o(', (16.4e)

que es simplemente otro modo de escribir la iey de Ohm. Recordando la ec, (15.12),con { : -e, j - -enos; donde n es el número de electrones por unidad devolumelr y lrs cs la velocidad de arrastre debida al campo eléctrico aplicado {',tenemos que

t l6, : - o

¿.en

, : (*) €: 'é,

(16.50)

t------.i \

rc.14) Conductit¡í.d.ad eléctríca: Ieu d.e Ohm 609

Esta ecuación muestra que los electrones l ibres del melal adquieren una veloci-dad de arrastre constante corno consecuencia del carnpo eléctrico externo aplicado.Llegamos aqui a una conclusión algo diferente de la obtenida en nuestra discu-sión del movimiento de un ion a lo largo de! tubo al vacío de un acelerador (sec-ción 14.9). Allí encontramos que la aceleración irs o : - (elm)f, la cual da lugara una velocidad D : - (elm)('|, que aumenta continuamente con el t iempo.

Sin embargo, no es la primera vez que encontramos una situación como ésta.Sabemos que un cuerpo cayendo libremente en el vacÍo tiene una velocidado : gt que aumenta continuamente con el t iempo. Pero si el cuerpo cae en unmedio viscoso su movimiento l lega a ser uniforme alcanzando una velocidadlímite constante, tal como se estudió en la sección 7.10. Por analogia, podemosdecir que el efecto de la red cristalina se puede representar por una fuerza "vis-

cosa", que actúa sobre los electrones de conducción cuando su movimiento na-tural se perturba al aplicar un campo eléctrico. La naturaleza exacta de estafuerza "viscosa" depende de la dinámica oel movimiento elect¡ónico a travésde la red cristalina; discutiremos esto con más detalle en el ejemplo 16.15.

Mantener una corriente en un conductor requiere un gasto de ener$a. Tambiénse debe gastar energia para acelerar.un ion en un acelerador o en un tubo elec-trónico (sección 14.9), pero hay una diferencia. En el acelerador toda la energiase emplea en aumentar la velocidad de los iones. En un conductor, debido a lainteracción entre los electrones y los iones positivos de Ia red cristalina, la energÍade los electrones se transiiere a la red, aumentando su energía vibracional. Estoconduce a un aumento en la temperatura del material, y constituye el bien co-nocido efecto calórico de una corriente, I lamada efeclo Joule.

Podemos estimar fácilmente Ia rapidez con la cual se transfiere energía a lared cristalina. El trabajo hecho por unidad de tiempo sobre un electrón esF. ot; : - et . ns (recordar la ec. 8.10) y el trabajo hecho por unidad de tiempo ypor unidad de volumen (o potencia por unidad devolumen) €s p: n(-eC'os).lJsando las ecs. (16.47) y (16.50) para eliminar Ds, obtenemos

p : oé2 - jL. (16.51)

Consideremos nuevamente el conductor cil indrico de la fig. (16-28), cuyo vo-

lumen es S/. La potencia necesaria para mantener la corriente en él es

P : (S|p : (sr)UC) : (J.t(¿|.

Pero jS : I y éI : V. Por consigujente la potencia necesaria para mantener lacorriente en el conductor es

P:VI. (r6.52)

Esta ecuación es idéntica a la ec. (14.43), la cual se obtuvo de un modo másgeneral, y es independiente de Ia naturaleza del proceso de conducción. Paraaquel los 'conductores que siguen la ley de Ohm, V : RI, la ec. (16.52) puedeescribiríe también en la iorma

P : R12. (16.53)

610 Campos electromagnétícos estdlicos

Sin embargo, algunos materiales no obedecen ia ley de Oh¡n y para

ec. (16.53) no cs correcta, aunque la ec. (16.52) sigue siendo válida.ductor con ¡esistencia, también llamado un resistor, se representa con elmostrado en la fig. 16-29.

nez:,lñe

o--^---ufin¡v---<

Fig. 16-29. Sfmbolo para representar un resistor.

EJEMPí"O 16.75. Estudiar eI movimiento de los electrones de conducción en unmetal.

Solución: Her¡ros indicado que podemos representar fenomenológicamente el efectot ir la i¡ teracción entre la reC cristai lr¡a v l t¡s eiecirones de conducción de un metalpor una fuerza "viscosa". Supcniendo que: esta fuerza es de la misma forma queIa considerada en el caso del rnovimiento de ui¡ f luiclc¡ (sección ?. i0), esto es,_-kc,escribimos la ecuación de movimiento de un eiectrón en un metal en la forma

-¿C -- ku. (16.54)

De este rnodo la velocidad llmite de arrastre, obtcnida haciendo do/dt : 0, esod : -et/k Si comparamos este resultadq con la ec. (16.50), la conductividadeléctr ica $<s:ne2/k.

Poriemos expresar este resultado de un modo diferente introduciendo una cantidadliamada tietnpa de relajamienfo. Supongamos que el campo eiéctrico se interrumpede pronto después que se ha alcanzado la velocidad lfmite de arrastre. La ecuaciónde rnovimiento para el electrón es entonces

-ko,

cuya solución cs n =- 65¿'lkim)t. El estudiante puede verificar este resultado bienpor sustitución directa, bien reflriéndose al problema 7.82. Entonces el tiempo nece-sario para que la velocidad de arrastre disminuya en el factor e es r: mlk. Estees el tiempo de relajamientt¡ del movimiento del electrón, similar al que se introdujoen el ejempio 7.8 para el movimiento de un cuefpo a través de un tluido viscoso.Luego, obtenernos para la conductividad Ia relación

dc* a:

dt¡

dI

(16.10

ellos laUn con-simbolo

(16.55)

SÍ se conoce o, se puede calcular ; y recfprocamente, ya que n, e y mz son cantidadesconocidas. Suponiendo que cada átomo contritruye con un electrón, podemos estimarque n es cerca de 1028 electrones por rn{ en la mayorla de los metales. Usando losvalores de e y nk, encontramos que, con o del orden de 107 Q-r m-r, el t iempo derelajamiento .r es del orden de 10-ié s.

Se debe comprender que todo Io que hemos hecho es idear un modelo fenomeno-lógico por niedio del cual se obtienen los result:rdos requeridos por la iey dp Ohm;pero esto ncs ha conducido a introducir una nuel:a cani idad r. Para "expl icar" laley dc Ohm y la conductiviclad eióctr ici l en l ' . r : : metales, debemos reiacionarT conla dinárnic¿r del movimienlo electrónic¡r. Pi¡r¡, c ' imo hemos indicado anteriormen!.e,este r¡rovi¡rr iento t iene lugar según l lrs ie;;es dr, la mecánica cuántica, por lo cualuna discur. in más detal iaCa de !a ec. 116.55) dr: l 'e postpon*rse. (Ver el volumen I I I ,capftulo 4).

Jrf. ¡úr Conducíiuul',t'l tleti¡ita: Ieg¡ de úhnt 8II

I)oricntos, sin ern¡)arlJoo esti i r iar la l¡onclad de n¡¡esi l¡r modelc veri f lcando loscrd¿nes de magniturt de las canti t lades invojLtcradas. Es raeonable supoiler que elt i¡ :rn*o r ie relajamien!¡ es dei misrn¡¡ orden de magnit.ud que el t iempo que tardaci r lectrón cn reai izirr r i ;rs c¡¡ i is i¡ 'nrs sucesir, 'as cün los iones de la ret l cr istal ina.Fcrc s i I es la separación rnedi ; ¡ e¡ l t ¡e icnes.y r r r ia veiocidad media de los electrones,el t iempc de coi isión prtede estimarse por cl g4¡' .1,¡ ' i i¿ l ; 'u. Fara la mayoria de los sól i-t ios i es del orden de 5¡ x 10{ m. Para obtener' ¡ ' . !r supongamos que podemos usarla rclación (9.59) propuesta para las rnoléculas de gas" De este rnodo, a temperaturaambiente, u es del orden de 10; m s-r. Concluimos entonces que r es cerca de 5 x 10-1a s,Este resultado concuerda con la estimación hecha previamente, usando la ec. (16.55)y los valores expcrimentales de c.

E,IEMPLO 1-8.16. Combinación de resistores.

Sotr¡cdór¡r Los resistores pueden combinarse en dos t ipos de disposición, similaresa los discrrt idos en eI ejemplo 16.12 para los capacitores: s¿rie y paralelo. En la combi-nácldn en serie {f ig' 1€-30a), los'resistores se conectan de tal modo que la mismacor] ' iente pasa a lo largo de el los. La cafda de potencial a través de cada resistor€s, segi¡n la ley de Ohm, V, : R,1, V¿: RzI , . . . , Vr: R"1. Por lo tanto ladiferencia de potencial total es

v : vt+ v, + . . . * v" : (R, * R¿ * . . . + R")/ .El sistema puede reducirse efectivamente a un resistor único R que satisfaga larelaciónV:RLLuego

R : Rr * Rz * . . . * R" (16.56)

da la resistencia resultante para una disposición de resistores en serie.En la combinación en paralelo (fig. 16-30b), los resistores se conectan de tal modo

gue la diferencia de potencial V sea la misma para todos ellos. La corriente a través

D¡! l t ^ !?^ t ^ f t : . . ! :^ tvr vs

v---__

Fig. 16-30. Combinación de resistores en sene y en paralelo.

(a)

deLa

cada resistor es, según la ley de Ohm, f. : V lR.' I ¿ :corriente total f suministrada al sistema es

Y/Rz, . . . ,1" : V/R".

* *)"

I : It -l- I, -f +In:(+. f+,

l I " R,I '

612 Cumpos eleelromagnélicos ¿sfuificos {16.11

El sistenra puede reducirse efectlvamente a un resist;r¡ único que satisface Ia ecuaciónI : V lR" Por consiguiente

1111* -:-- (16-57)

R llr R2 If.'

da la resistencia resultante para una combinación de resistores en paralelo,

'16.'t-1 Fuerza electrotnotri¿

Supongamos que una partícula se m'üeve de .,1 a -B según una trayectoria I bajola acción de una fuerza F. trn el capítulo B hemos cxplicado que en este caso eltrabajo hecho por la fr.rerza es lV : ltF"Cl. donde el subíndice 1, significa que!a integral se efectúa a io largo de Ia treye,:toda y dl es un elernento lineal de larnisma. Ilemos probado adeinás que cuanCo la fuerza es conservativa (esto es, laiuerz¡t está relacionaCa con !a energia potencial por ,ú' : - grad .Eo), el trabajoes independiente de la trayectaria I iuego ! F "al : Ep,A * Ep,a. Una consecuen-ci:l irnportante, también establecida en el capitulo 8, es que cuando la trayectoriaes cerrada, ei trabajo de una fuerea conserv'ativa es cero, ya que los puntos Ay B coinciden y por lo tanto Epd : Ep,x.

Estos resultados se pueden extender a cualquier campo vectorial, tales comolos campos eléctrico o rnagnético. Designemos el vector de campo por I/. La in-tegral curvilÍnea del campo vectorial I/ desde el ¡runto A hasta el punto B a lolargo de la trayectoria .L se define como

Integral curvilínea de l- : i L

V'dl. (16.58)

En general i:r integral curvilinea depende tle Ia trayecto¡ia. Si la trayectoria a lolargo de la cual se calcula la integral curvilinea es cerrada, ésta se liama circula-ción vectoriai. Se indica por medio de una circunferencia colocada sobre el signointegral:

Circutación de V: +V.dI . (16.5e)

Un caso importarrte es aquél e¡i el cual el campo I/ se pucde expresar comoel gradiente de una función. Esta es la misnia situación encontrada en el casode fuerzas conservativas y por lo tanto potlemos decir que

cuando un campo uecloríal se puede eÍpresar como eI gradíente deuna función, Ia ínlegral curuíIlnea del campo enlre dos puntos esíndependienle de Ia tragecloria que une esfos punlos g Ia circulaciónalrededor de una tragectoria arbitraria cerrada es nula.

A medida que avancemos en este texto, el estudiante descubrirá que los con-ceptos de integral curvilínea y de circulación de un campo vectorial son muyútiles para formular las leyes del electromagnetismo. Aplicaremos ahora estasdos nuevas definicione.s al campo eléctrico.

/6.11) F'uerza eiecíronrctriz $ t;t

tlomo el carlito eiéctrico es tgual a la fuerz¿ por unidad de carga. ia integralcurvi!ínea del campc eléctrico, j ' tt.dI, es igr:al al trabajo hecl\o ar rrlover u1aunidad de carga a io largs de ll truyectoria l. Si la trayectoria es.cerrada ({ig. l6-31),la integral curvilinea se convieri,e en la circulación del campo eiéctrico y se deno-mlna fue.rza eleclromotriz (fem) aplicada a Ia tra,rrectoria cerrada. Designándolapor Ve, tenemos que

fenr:V":$"C-At. (16.60)

Por consiguiente /a fuerza eleclromolriz aplicada a una tragecloría cerrada es ígualcI lrabajo hecho al mover una unídad de carga alrededor de la mísma. (La palabra"fuerza" no está correctamente usadaporqr¡e nos estamos refi¡iendo a "ener-{ra", no cbstante, es aceptada por el usogencral). Naturalrnente, Ia fem se ex-presa en volts.

Consideremos ahora el caso especial deun campo eléctrico estacionario. Recor-dando que el campo eléctrico estaciona-rio se relaciona con el potencial eléctricopor f : - grad Y, podemos escribir

t -c.dt :v,+-vn,JL

(16.61)

donde A y B son puntos unidos por latrayectoria l. De este modo la integralcurvilínea entre dos puntos de un campo eléctrico estacionario es igual a la dife-rencia de potencial entre esos dos puntos. Si el camino es cerrado, los puntosA y B coinciden, y la ec. (16.61) da

u' : $ €. i l :a.

Expresándolo en palabras, podemos decir que

Ia fem, o círculacíón, de un campo eléctrico estacionario alred.edorde un eamíno cerrado arbitrarío es nula.

Esta proposicién significa que el trabajo hecho por un campo eléctrico estaciona-rio al mover una carga en urra trayectoria cerrada es cero.

Si el campo eléctrico se aplica a un conductor, podemos combinar la ec. (16.61)con la ley de {Jhm y escribir la ec. (16.46) en la forma

! rc.at :RI, (16.63)

cit¡¡rde .L es u¡r carnino a lo iargo del conductor y It es la resistencia eléctrica¿:ntre los punt+s del conductor u¡üdos por el camino .L.

(16.62)

t'"t;Tl.X'$

Flgure 16-8l

614 Campos electromagnéticos estálicos (16.11

Como hemos dicho previamente, mantener una corrionte entre dos puntosde un conductor implica que debe suministrarse energia al sistema por medio dela fuente de düerencia de potencial. El problema que ahora se presenta es si unacorriente se iruede o no mantener en un conductot cenado o circuito eléclrico.Cuando se aplica la ec. (16.63), qur esencialmente no es otra cosa que Ia con-servación de la energÍa en el conductor, a un conductor cerrado, da

( ' i l l : RI . (16.64)

El prirner mielnbro de esta ecuaeión es la fem aplicada al circuito y R es la resis-tencia total del mismo.

Si el conductor se coloca en un carnpo eléctrico estacionario, entonces, segúnIa ec. (16.62), tenemos que la fem es cero (Vs, :0) y la ec. (16.64) da I : p.En otras palabras,

un campo eléctríco utacío¡tarío no puede manlener una corríente enun eircuito cenado,

La razón de esto es que un campo eléctrico estacionario es conservativo y laenergla total neta suministrada a'una carga que describe un camino cerrado esnula. Sin embargo, una carga moviéndose en el interior de un conductor trans-fiere la energia recibida del campo eléctrico a la red cristalina y este proceso

Itg. 16-89. Una corriente eléctrica se mantiene enun circuito cerrado por medio de generadores eléctricos.

es irreversüle; es decir, la red no retorna la energla a los electrones. Por Io tanto,a menos que se suministre una cantidad neta de energía a los electrones, éstosno se podrán mover unüormemente en un circuito cerrado.

En consecuencia, para mantener una corriente en un circuito cerrado es nece-sario prrrveer ener$a al circuito en ciertos puntos A,A',A",... (fig. 10-32).A los dispositivos que suplen energia los llamamos generadores eléclrícos G, G', G,,,...,y podemos decir que constituyen las fuentes de fem. Luego el campo eléctrico fque aparece en Ia ec. (16.64) no es estacionario, y a los puntos A,A',A,, , . . . ,corresponden campos local izados producidos por los generadores G,G',G,, , . . .

Hay muc.has maneras de generar una fuerza electromotriz. Un método comúnes por medic de una reacción quimica, tal como en una pila seca o en una bateria,en las cuales la euergia interna tiberada en la reacción quírnica se transfiere a

I

Jt

r6. í l i l-cei';c eiet:i¡rnnulri¿ *16

Jir¡ l * lett f '*¡¡n:$" i ,1t.rf i ¡ ' . : ,-- t¡¡ i i i ; ; i : i : l r l i¿¡¡: : .c { is Ft.1i. ¡¡:r , , ._l iu r lr : . i ; i : . ; f i ]er.,¡ ; ;r t ia in; iuc**:i*;r ¿:ieCtra;s;r;;nc,lica, {lit:rr: ¡3X¡.i!;lrd s¡: r:j brr,¡xil¡i1:. L:i:rjtilii},

! i : ¡ ; l - f l le¿ftt ür l : : :¡ : , l i t i i \ r ! ,r : . , : . . . i : j - . ; tSL¡;teir i* i_ir-: : l ; : : f .ni . , . . t i . ! l -r .{) S, ir :di. . . t *"1 i" l . f ig.: f l ' l i i , d*rrd,: t l ienti¡ ! ; .1 i i ' , i r , ," -1. ' : i1 . : : , ,1. ' - ; , . ; ' r ¡ j i t : : 1\ i ¡ i i , i l . : ¡ i tn ¿;rí . .r¡¡* a jd'fi¡cnle 4e f':r-r el tie:":¿ .! :{.[ir;-r.. i.; !:rr"" .. .,. ,.r irüsiti.,'j. ¿.i Seg:nr.nr.O Crirt{". L.¡¡)i)iú negst"¡a/ú,

Cnand* fi:riica:nc's i¡. irv de Llhnr iec" ils.d$lj a l¡n circur:* simple conlü e! det* fig, 16-33, debernoe tener *r¡ cuentá q:le !a re"qi$tr.rcrá iqf.si p es la s¡rrna cle Iaiesietenci*. interna f;¡ de Ia fi¡eute de fern y iayesisten*ia externa .ft" tl.el condustcy coneetadoai genenador (o baterfa). Asi "R : fi¡ * R¿, y lalev de Ohm. se convierte en

Ve :(R"*R¡)/ . (16.65)

E.qta ecuación puede también escribirse en laJorrna V - filf - R¿I. Cada miembro de Iaecuación da la difereneia d¿ potencial entrelos polos del generador (o baterla). Podcmosübservar gue esta düerencia de potencial esmenor que ls fem.

Ftg. 16-88" Representación enslmbolos de un circuito con unafuerza electromotriz,

ñ,rEMPLo 78.77. Métodos para calcular las corrientes que existen en una redeléctrica.gotr¡olón.' Una red eléctrlca es una combinacién de.conductores y fuerzas electro-motrlces, tal como la ilustrada en la ñg. 16-34. consideraremos por ahora sólo eleaso en, que las fem son constantes y en la red se ha alcanzado un régimen estacio-nario, de rnodo que las corrientes ssr¡ también constantes. Usualmentl el problemac{}nsiite en encontrar las lntensldades de corriente en funcióh de las fem y de lasresiste¡eiac. Las reglas pára resolver sste tipo de problerna, reglas conocidas comoleges de KírcMrcff, €xpresan simplemente la conservación de la carga eléctrÍca y dela energfa. Las leyes de Kirchhoff se pueden enunclar como sigue:

(1) En un nudo de una red la suma de las intensidades es cero.(2) La swna d.e las catdas d.e potencial a Io largo de cualquier ca¡nina

cenad.o en une red es nuia.

FtS. 1&84. Red eléctriea.

1"o

616 Campos eleclromagnélicos esttittr';¡s (16.12

Al escribir la primera ley" debemos consirlerar aqi;eiias i:orrie¡rt:s gue salen de unnudo como positivas y las que llegan como negai.ivas. La prirnera iey expresa laconservación cle la carga porqtie, colnlr . ias c¿¡rgas l{i se acumuia¡i en un nudo, elnúmero de cargas que ilegari a un nu<!c' ¡:;r t.¡n cierto tien:po rlebe ser igual al núrnerode cargas que saltn err el mismo tienirrr-'.

Al aplicar la segunda trey tlehrerncs tclncr en rucni.¿ las siguientes reglas. Unacalda i lc potencial a tra.¡és de una resistr:¡r: ia es ¡losit i.",a o nagativa según querecorraÍnos el circuito en ei senlido dc ie r: i;r ieni.e o en sent.ido'opuesto. Cuantlopasalnos a trá-vés de una fem, toma;nos la rliterencia. Ce potencial como negativao positiva dependiendo de quc l:¡ at¡'a-r'esemr¡s en el s¡r¡¡tidc rn que actúa la fe¡rr{ar::!enlo de poÍ-encial) o en sentido opuesto {disininución de potencial)" La segundaiey expresa la ¿ons*rvación de la energÍa, ya quo ia var'iación rreta de energfa de¡-illrr carga después de haber recorrido u¡r cainilxr cerrad:; debe ser cero. En iaer. (1 0.ii5) esc¡ita en la forma R-f - yg ,.= 0, donde ñ -= R¡ f R,, hernos satisfechovc ese requisito.

Ilustreremos ahora el uso de las leyes de l{irchhoff aplicándolas a la red de lafig. 10-it4. La primera )ey aplicada a los nudos A, B y C da:

Nudo -4: -1, -r 1, a 1, : 9,Nudo 8: -I, * Ir + y'E : 0,I . Iudo C: - I r -_ fn +.1": g.

I-a segunda ley aplicada a los recorridos 1, 2 y 3 da:

Ilecorrido 1: -R"I , * R¡I, + Rrt. - Vs¡ : 0,Recorrido 2: Ru/o - Rrf. - Rnf. : g,Recorrido 3: Rr/, * R"I" * Rr/. - Ver * Vs. : 0.

Estas seis ecuaciones son suficientes para determinar las seis corrientes en la red.[Ina regla práctica a seguir para encontrar las corrientes en una red con n nudos

es aplicar la primera ley a n - 1 nudos solamente, porque si la ley se satisfacepara n - f ¡t¡dss, se satisface automáticarnente para eI restante. (El estudiantedeberá veriflcav esta aserción en la red de la fig. L6-3.1). La segunda ley se debesplicar a tan¿os recorridos certados cuantos se requieran a fin de que cada conductorsea parte de un recorrido aI menos una vez.

II. DL CAMPO MAGNNTICO78.72 Ley úe Arnpire pd,ra el carnllo rn$gnétieo

Estudiaren¡os ahora algunas de las plopiedades de los campos magnéticos esta-cionarios, o independientes del tiempo. consideremos primero una corriente .trrectilinea indefinida (lig. 16-35). El campo magnético :)J en un punto A es per-pendicular a OA y está dado por la ec. (15.41), o sea

, ' f

tj : #u4.

Calculemos la circulación de ?J alrededor dc una trayectoria circu.lar de radio r.El campo magnético ?3 es tangente a la trayectoria, de modo que qJ "dl:WLy de mótlirlo constante^ Por lo tanto ia circuiación magnética (que designamospor .A.s) es

. r , . = ' ' { , r l j .dI - . , f r i I : i )$ at ,=f ! , , , : f*ú) t r"n' ¡ . r , JL \2rr l '

16.12) Leg de Ampére para eI campo nngnélico 61f

¡ ' l l .t -I i ' [L]]I

Fig. tB-!ió. Campo magnético de unacorriente rectilfnea.

Fig. 1ú-36. La circuiacién magnélica alo largo de todas las trayeetorias circu-lares concéntriias alrededor de una co:rriente rectilf nea es la misma e iguala Po/.

porque L :Znr. De este modo

Ag : ¡r,01. (16.66)

l¿ circulación magnética es entonces proporcional a la corriente eléctrica f, yes independiente del radio de la trayectoria. Por consiguiente, si trazarrios variascircunferencias 2., L2,Ls,..., (f ig. 16-36) alrededor de la cor¡iente,f; la circula-ción maguética en todas ellas es la misma e igual a ¡rof, conforme a la ec. (16.66).

Conside¡emos a continuación una camino arbit¡ario Z rodeando la corriente /(fig. 1ü37)" La circulación magnética a lo largo de L es

¡ , " :ó (B.dt :+40 ue'dt .uL ¿r uL f

Pero uo.df es la componente de dt en la dirección del versor ?Je, y por lo tantoes igual a ¡ d0. Por consiguiente

^': ,,01-

4 ¿u : $ tr ' l : pol,2¡t J t. 2¡r

ya que el ángulo plano total alrededor de un punto es 2n. Este es nuevarnentenuestro resultado anterior (16.66), el cual es por lo tanto válido para cualquierca¡'nlno que encierue a la corriente rectilínea, independientemente de la posiciónde ia misma con respecto al camino.

Un análisis más riguroso, que omitiremos, indica que la ec. (16.66) es correctacualquiero- sea la forma de la corriente, y no sólo para una corriente rectilínea.$i fenemos varias corrientes IL, Iz,ls,..., enlazadas por una linea ¿ (fig. 16-38),cada corriente da una contribucrón a la circulación del campo magnético a loIargo de L, Podemos establecer entonces la ley de Ampére en la forma

618 Campos electrontagnéticos esfálíccs

¡n:{r}J.dl : ¡ ,01,

donde I : Ir -l- Iz -t- IB 1-tenüda por la lrar¡ecloria L,

Flgurr 1G-37 I ' l ¡¡ . l6-38, [ ,a circulaci, in magné-t ica a lo l : rgo r ie cualquier cami¡¡olerrai lc i :s proporcional a la corr ientencti l ci iaet 'r i i r ia ¡,r¡r el camino.

la círculdcíón de ¿rn .:ütnp(t muqriétíco a Io krgo tle una i{nea ce.rradaque enlazq las corríeaies 1,, 1r. Ir, . . ., es

(16.12

I{ lI a?.

Á*\

(16.67)

repre$enta Iq corriente lolal conca-

Cuando : lp l icamos la ec. (16.67) tomirnios como posi t iv l ia corr iente que atra-r , iesa l , e¡ i c l scnt id l ¡ ¡ ¡ r i i l r í r \ 'anza un torni i lo de icsci¡ derccha al rotar lo cn el

":c¡'rt ir ic, cn rJi¡e estl 'r oi: icntaila l-, I 'rr,:gali i 'a si el ser¡t, l ' l l l es opuesto, Así, cn la

í!g i t i- i8, i¡: corrir:nt.t 's J, cr f* se tunriclt r i in I lnsit. iteq -r l ' í i /^ negativa.Ci:endl l i t l i , r i j ¡ ; : lc : r ¡ ' i l r . r s*vl i r i 1.1 ¡¡ : ; ¡ ¡ i ¡ | r .1 * ' ! . ! l i - ¡ ' : t : r ¡" i i ' i l fe elóctr ica prrer l t

r '>i l i r . ,s¿,I 'sf c,. ;nto al i i r i jo de C¡:n. ' ; id¡¡ j i l rr ' : ' .11'!- lr l i r t : : ípst;: ¡s. 1 -. JS j" u.r ' dS), pO-

de¡n¡¡ :" r t ! í i r t { - -c: . ! t l¿ l i . . r " ' r i t , \ ¡ i i ¡ ¡ , ' r i " r ; , ' . i l i ¡ . í . . i } . i ,a iq l r i t : l t t 'n i¿ i -o l 'uta

ti . ,it ; i ' l t : I i í1. i13)

t l t in,, i¡: . i l t 's tryilr¡qi,:r si itrttr i ' irt ir. ' l"t;;r ' '¡ i i :: l . 'r i j ,.

l f l hqchri de qiir ja circulaciir¡1 ¡i¡ i leirpr' rLat-:n¡i l. ic('¡tL) sta generailnente nulaindica que el campo mrgnét ico no t j rne ui l potencial nragnét ico en el tn ismosentido que el campo elóct¡ico tierte potencial eléctrico. La Ley de Ampére esparticularrncnte úti l cuando deseamos calcular ei campo magnético prcducidopor distribuciones de corriente que tienen ciertas simetrias geornétricas, comose muestra en ios siguientes ejenpias.

E,IEfr IPL0 7$.Í8. Lrsanr lo la iey de Ái lpere. : i tLr<l iar r i ( :af tpo magnét ico prodtt-cido por urra corr ientc c¡ 'ue pasa a lo l :rrgo ¿le u;r ci l indro rccto de longitutt inf ini ta.

¡

--¡z:-

ru. iat Leg de Arnpbe para e!. caranpü magnética 6jg

(16.6e)

;soir¡*dctn¡ üor¡sideren¡o¡ !a corriente .l q'e pasa a lo iargo de un eilindro de radio aing 16-39). La simet¡ra tier pri-ibrema o,:qi*.* claranie¡ite ó; il ltneas de ruerzadei campc rnagnético son cirCur,ier,:nr:ias íon sr-¡s r:entros sit-uarios a lo largo del ejedei cii:neirc, l" 9_ir9 e. mú,i*L-. .':):r cel carnpo magnético en un punta d.epende sélodf is r i istancia-.del pL1:- j i r .¿r i . j t ' i t rcr. r¿'¡1., i¡ui.nie, euando . i" iJ"*o. una circun_ferencia de'¡adio r csrn el cere'r¡r: scl, :rs i¿r 'u,; :r iente

"o*u rru*r ira trayectcria l ,Ia eirculacién magnética es

,rrr: $_+t¿t : T,$ ,i l : .tJ¡, : 2tr¡{D.J t f t -Si el radio ¡ es ¡rriyot que el radio del cilindro c, tr:cla ia corriente .l queda en el interiorde la circunferencia. por lo cual, apricando ia ec. iró.021,"i.."i""I"

2;cr-ú : iqi ó $: tI ,zfEl

que e$ precisamente el resultado encontrado en el capftulo 15 para la corrienteen un filamento. Por consíguiente,-en puntos luera de'uno r*rirnte cilÍ.nd.ríca, ereunpo magnético es eI mismo que si ra colriente ástuuíera a to t*-gi aet e¡e.

l-,,_¡' I

rrgurs rs,-óu Flg. 16.40. Bobina toroidat.

Pero si ¡ es meno¡ que a, tenemos d.os posibilidades. si la corriente ci¡cula sólo3l.o lTgo-qe la-superficie. d.el cüindro (como puede ocurri¡ si er conductor es unahoja ciltndrica de metal) la corriente encerradi por L, es cero y ia rey de Ampérerra}rfr1 : $ ó cÉ : 0. Luego, e.r campo magnétiioíÁ m pl¡¿loi'intíriorw de un cilindror¡ee fransporta una carri.ente,sobr, tu'supei¡icie es cero. 'pero sita corriente está unl-formemente distribuida a través oe tó¿a la secclón transversat

-¿er conau"torl-iaeorriente en el interior de l, es

, ' : -+(nr¿):+En consecuencia, aplicando ra ley de Ampére, obtenemos ?"rtt9 : FnI' : polrr/az s

,b: hL .2rra, (16.70)

I

\ 1,

Par lo tanto el campo magnético en yn punto interior de un ciltnd¡o que lg:ansportauna corrienle unilormemente d.istribuida u traué.s d.e su sección t¡ansoer'sal it- jr:opo"-eíonal a Ia distancia del punto aI eie del cilind.ro.

Flguro 16-30

620 Campos electromagnéIír.os eslalicrs (16.12

EJEMPLo 76.79, usando la ley de Ampore, discutir ei campo magnético produci{opor una bobina toroidal.

Salución: Una bobina to¡oidal consiste en un alambre uriiformemente arrollado enun toro o superficie anular, como en la fig, 16-40. Sea N el número de vueltas, todasigualmente espaciadas, e r la intensidad de la corriente que por ellas circula. Lasimetria del problema sugiere que las llneas de fuerza clel campo magnético sonclrcunÍerencias concéntricas con el toro, J'o¡nen¡os primero como nuestro caminode integracién una circunferencia rlc¡rtro det toro. La circulación magnética esentonces /rA : '13L. El camino l. concatena todas las vueltas alrededor del toro,y por io tanto la corriente totai que fluye a través de él es N/. Luego, ap.licandola ley de Ampére, obtenemos c6¿ : ¡¡NI ó

(Íl : uoNI/L.

Si el radio de la sección transversal del toro es pequeño comparado con su radlo,pcdemos suponer que I es práct.icamente la misma para todos los puntos interiorescel anii lc. Dado que n: N/1, es el núrnero de vueltas por unidad de longitud,concluimos que el campo nragnético en el interior del toro es uniforme v tiéne elvalo¡ constante

ej : ponl. (16.71)

Fara cualquier camino fuera del toro, tal como tr' e L",la corriente total conca-tenada por él es cero, por lo que .ts : 0. En otras palabras, el carnpo magnético deuna bobina toroidal está enteramente confinado en su interior. Esta situación esaplicable sólo a bobinas toroidales cuyas espiras están nuy juntas.

e.tEMPLo 7820. usando la ley de Ampére hallar el campo magnético en el centrode u¡r solenoide muy largo.

sotuclón: consideremos el solenoide de la ffg. 16.41, que tiene n espiras por unidadde longitud cada una conduciendo una corriente 1" Si las espiras éstán muy cercaunas de otras y el solenoide es muy largo, podemos considerar que el campo magneticoestá confinado enteramente en su interior y es uniforme, como se indica ton lai lineasde fuerza en la ligura. Escojamos como camino de integración el rectángulo pOns.

z'

Ftg. 1B-41, Solenoide Iig. 1$-42. Camino elemental para esta-blecer la ley de Ampére en forma diferen-cial.

16.13) Leg de Ampére en forma diferencial 62I

La contr ibución de ios lados 0¡t y sP a la ci iculación magnética es cero porque elcampo es perpendicular a el los; tantbién Ia contr ibución del lado RS es cero porqueail l no hay campo. Por consiguiente sólo el lado PQ contr ibuye en la cantidad scde modo que A?,1 : 'lJc. La corrietite total concatenada por el camino de integraciónes ncf, ya que nr da el núrnero de espiras. For consiguiente la ley de Ampére da:lJa, : ynnx.I ó (Il : ¡.ronl, conforme a nuestros resultaCos del ejemplo 15.9 para elcampo en el centro r le un solenoide largo.

El estudiante habrá comprendido con estos ejemplos la ut i l idad práctica de Iaiey de Ampére para calcular campos magnéticos que tienen c¡ertas simetrfas.

16.73 Leg d,e Arnpére en forma d,ifereneial

Como sabemos que la ley de Ampére se puede aplicar a trayectorias de cualquierforma, apliquémosla a una trayectoria rectangular muy pequeña o infinitesimalPQ-RS del plano XY, de lados dr y dg y área dr dg (frg- 1G42). El sentido de lacirculación alrededor de PQRS se indica con las flechas. La circulación constade cuatro términos, uno para cada lado; esto es,

¡o:d cn.d. I : i + i +f +[JPQR^S JPQ JQR J.RS J.SP

(16.72)

Ahora bien, a lo largo del camino QR, cuya orientación es paralela a la direcciónpositiva del eje Y, dI :uudg y

f

J oRW' dl : cbl' uudg : c)Ju dY.

Análogamente, para el lado SP, que está orientado en la dirección negativa deleje Y, dl : -uydg, y asl

r

J"r,% , dI : -'B' . W¿g : -c&i dg,

de modo que

Jn^ * f"": (%u - ,Ei) ay.

Pero, como PQ:dr, c$u-13;:dcl3v:(ff iol4x) dr, se t iene

r | : ñ3u d., du.l+JQR JsP 0x

Por un razonamiento análogo, los restantes dos integrales de Ia ec. (16.72) son

i * f : -Y"a,as.Jee' Jns og

Sumando los dos resultados. obtenemos finalmente

^%: ó ' r 'dI : ( ry-{ ! ' \ a,av.Jepns \ or ou /

(16.73)

622 Campos eleclromagnélicos esli l ícrrs (l6.IJ

Dado que d/ es ia cor¡iente qiie pasü a través d.: .trQ.RS, pc.rienros relacio¡rarlacon la densidarl de corriente j escribiendo

(16.74)

Escriir i inos .i, porque esta es la única romponente de la densjdad de corriente 3quc crtntribuye a la corijente ri1 :i ir¿lvés de PQR^S. [,as componerntes jr y jucorrespond€¡l a mcvimientos pa:ai,rios ¿r l; i sullecicie y no a través de ella. Sus-tituyendo las ecs. (16.73) y (iü.7a) er la ley cle Ampdre, cc. 1.16.07), podem<lsesc¡ibir

I fr, 0 tJ.'\ ,-,._\ , ,

- -e;)cxdu:¡ t ' t t t -vsizdrds'

cancelando ei factor conrún rlr dE en aribos mienbros, obtenemos la lev deAmpóre en su forma diferencial,

?t liv d'13, j-_- j : U^l ' .

Ar Ay(16.75)

(16.76)

(16.77)

Podemos ahora colocar nuestra superficie PqRs en los planos yz o zx, resul-tando las exDresiones eqüvalentes

ffw,0g

tr)]"

f f iu-0z

acld,

tLoJ "

voJ uAr0z

Las tres ecs. (16.75), (16.76) y (16.77) pueden combinarse en una sola ecuaciónvectoriai. obsérvese que los segundos miembros son las componentes del vectorj,la densidad de comiente, multiplicada por ir.. Análogamente, los primeros miem-bros pueden considerarse como las componentes de un vector obtenidas a partirde?3 combinando las derivadas en la lorma i¡rdicada; ese vector se l lama el rola-cional de r)l y se escribe rot ?J. Entonces las tres ecuaciones se pueden resumiren ia ecuación vectorial

rot .)J : poi. (16.78)

Esta es la expresión de la ley de Arnpére en forma diferencial. Podemos usar laec. (16.78) para obtener el campo magnético cuando conocetnos la distribuciónde corriente, y reciprocamente. En una región tionde no haya corriente eléctrica,rot clj : 0.

La ley de Ampére en iorma diferenciat esiablece un¿l relación focal entrc elcampo magnético (7J cIr t in punto .r la Ce¡tsirla;i j de corriente en el mismo puntodcl espar:ir. ' . de un nlodo sirnilar D ro;rlo la i;:y de G¿russ rtrlaciona el carnpo eléc-trlc* y h"', ¡¿¡g¿" t- '¡r el lnisriro pri lto Cel esp:-icic. Pcd*¡nos de este l¡rocio clccirquc .lrs cocrientes cléctricas son ii¡s fuentes dtl campo magnético.

16.15)

La expresión equivalente a

rot { ' :0,

Xlagnetización de la malería 623

la ec. (16.78) para un campo eléctrico estacionario es

Yf que hemos probado [ec. ( i6.62)] que para ta l campo(9rt 'dl : o¡.

(16.7e)

la circulación es cero

16.74 Flujo rnagnético

EI flujo rnagnético a través de cualquier superficie, cerrada o no, colocada en unüanlpo magnético es

oo : | )J ' u.v dS.JS

(16.80)

El concepto de {lujo magnético a través de una superficie es de gran impor-iancia, especialmentc cuancio la superficie no es cerrada, como verernos en elrapitulo 17. Por elio es conveniente deflnir una unidad de flujo magnético. f ivi-rientemente, como el f lujo rnagnético es igual al campo rnagnético multiplicadopor *:l irrea, se expresa en T m2, unidad llamada weber en honor del físico alemánWilhelm E. \Veber (1804-1891). Se abrevia Wb. Obsérvese que corno T : kg s-li-1, \\¡b : T m2 : mz kg s-l C-1. Muchos textos expresan el campo magnéticoeir Wb m-2 en lugar de -I'.

Como no hay masas rnagnéticas o polos (o al menos no han sido observados),ias líneas cle fuerza del campo magnético )J son cerradas, como se indica en elejemplo discut ido en el capi tu lo 15. Concluimos que

ei flujo magnético a lraués de unq superfície cerrada es síempre nulo.

E,.sto es, el f lujo entrante a través de cualquier superficie cerrada es igual al f lujos;rlie¡rte. Luegc

i ) r .¿¿vr1.S:0,i5

, i . : , : i i i . : r , i t : , { l i t r ) s( ; ! - . r ¡ t , i l r , r i t : ! t ' - i i l f r } ¡ ' l i : - r l r , ¡nt i l i " : fntc l i i : pt l f l ; t :n¡ l , t do ]a ¡ . :Xl ; fesi¡ ' : i l

: - , i i r i ' t ' . !1 ' . ; ¡a l l iJ i i ;1¡ . l r t , ' r r t . : ' t , , . t . ! i , . i i i . I . l t Crr i r i ¡ r r . r i ¡ : l r i i l i ¡ s ' , ¡ ' . : o ln i t id l i . i js i i : i i ts i iJ-

; r ' -1: , ¡ t r_: t i : t i . l l i : r ' l : i t : i - t : i t i ' . i i , ¡ : ¡ ' . ! : . i i i (¿ : : l r ;ur : i l t , ¡ ¡ ¡1 '1¡¡ ; ' ¡¿f i ¡ ; t i . ! , l l form* r i i ier , : i i , : . t i i

I tnt¡¡10s. pr- i ¡ xnal¡gia , : r . ¡ l j ; ¡ rC. I l { ) . 1; ¡ l l t r l i e l r - ' i im}to eiét : l r ico,

í . : ) ; .i , -___ :_ -- { )

¿:ó ttiv ,U ',= 0.

Jsi . ; j ¡ 1i¡ : .gnet iznciópr rJe la tnuter iu

t i r l t i t s l l i : i r : . : : i5"10 inci ic¿inic¡s ql le una pequcña corr iente, ta l cornr¡ la debida

a los elecirones err un átomo, const i t r rvt ,Lrn t l ipolo nragnét ico. Los áton.ros pueden

o no presentar un rnornento dipoiar ni irgnético neto, derpendiendo de la sinretr ia o

t . , , ) , t I

r , I i í l

- ; - -T- : " '( r (u

( r 6.8r )

(16.82)

624 Campos eleclromagnélicos eslátícos (16.15

de la orientación relativa de sus órbitas electrónicas. Como la rnayoría de las mo-léculas no presentan simetría esférica, pueden tener un momento dipolar magnéticopermanente debido a orientación especial de las órbitas electrónicas. Por ejemplo,las moléculas diatómicas tienen sjmetiÍa axial, y pueden poseer un momentodipolar magnético paralelo al eje molecular. Una porción de materia, con laexcepción de los materiales ferromagnéticos, no presenta momento magnéticoneto, debido a la orientación al azar de Ias moléculas, situación similar a la en-contrada en la polarización eléctrica de la materia. Sin embargo, la presenciade un eampo magnético externo distorsiona el movimiento electrónico dandolugar a una polarización magnética neta o magnelizacíón del material. Lo que

\

PlS. 10-4S. Corriente superficial demagnetización en un cilindro magneti-zado.

Flg. 18-44. Corrientes elementales enun cilindro magnetizado.

sucede esencialmente, es que el campo magnético produce sobre los electronesun movimiento de prccesión o de rotación en torno a la dirección del campomagnético local, como se explicó en la sección 15.6. Cada electrón contribuyecon un momento dÍpolar magnético dado por la ec. (15.27).

Consideremos, por simplicidad, una susüancia en forma de cilindro que estámagnetizada en dirección paralela al éje del mismo (fig. 16-43). Esto significaque los dipolos magnéticos moleculates están orientados paralelamente al eje delcil indro, y por lo tanto las corrientes electrónicas moleculares están orientadasperpendiculanncnte al eje del cilindro. Podemos ver en la fig. 16-43 (y con másdetalle en la vista de frente que se muest¡a en la fig. 16-44), que las corrientesinternas tienden a cancelarse debido a los efectos contrarios de las corrientes ad-yacentes, de modo que no se observa corriente neta en el interior de la sustancra.Sin embargo, la magnetización da lugar a una corriente neta Im sobre la superficiedel mater ia l , que actúa como un solenoide,

El uector magnelizució¡1 )l( rle un rnaterial se riefine como ei momento magnéticodel medio ¡ror unidad de volumen. Si rr es el ¡nomento dipolar magnético de cada

Corriente superflcial

;6. t6) Co,mpa mugnetízanle 625

átomo o molécula y n es el nún:¡ero de á.tom ¡s o moléculas por unidad de volumerr,ir ma.gnetización es c:ll( : nrn. El momento magnético de una corriente elementalse expresa en A m2, y pcr consignicnte la magnetiza cíónLlll se expresa en A m¿/ma -.\ rn-1 ó m_l s-r C, y es equivalcr:te a corriente por unidad de longitud.

Existe una relacién muy irnportante entrc i:r corriente sobre la superficie delcuerpo magnetizado y la magnetización ?fl. üi¡servamos en la {ig. 16-43 que Ie¡íluye en dirección perpendicular a cW. El cilindro mismo se comporta como ungran üpclo uragnético resultante de la superposición de todos los dipolos indi-.;iduales. Si S es el área de la sección transversal del cilindro y I su longitud, suvolunren es IS, y por consiguiente su momento dipolar magnético total es 9/C(/,S) :(.''¡?(-i)S. Pero S es precisamente el área de la sección transversal del circuito for-nado por la corriente superficial. Como momento dipolar magnético : corrienternultiplicada por área, concluimos que la corriente total de magnetización que¿parece sobre ia superficie del cilindro es()lU y en consecuencia la corriente porunidad de longitud /fl sobre la superlicie del cilindro magnetizado es ?tr, ó Ix :cl/(.Aunque este resultado se ha obtenido para una disposición geométrica particular,es de validez general. De este modo podemos decir que

la corrienle por unídad de longitud sobre la superfícíe de una porcíónde mqtería magnelizada es ígual a la componenle del uectot magneti-zación cll(. paralela aI plano langente a la superfície del cuerpo, gtiene dírección perpendicular a (ll(.

76,76 Carnpo mrynetieante

En la sección precedente vimos que una sustancia magnetizada tiene ciertascorrientes sobre su superficie (¡r dentro de ella si la magnetización no es uniforme).Estas corrientes de magnetización, sin embargo, están "congeladas" en el sentidode que se deben a electrones ligados a átomos o moléculas determinadas y noson ljbres de moverse a través de la sustancia. Por otra parte, en algunas sus-tancias tales como los metales, hay cargas eléctricas capaces de moverse a travésde la sustancia. Llamaremos corriente tibre a la corriente eléctrica debida a estas

Figuro 16-46 Ftgurr 16.46

626 Campos eledromagnélítos e-ctalbr¡s (16.16

cargas l ibres. Eln muchos caso$ lcr rielcsita i i i-*r:q{';!r er¡ri icitanrente entre co-

rrientes i i lrres v corrie¡rtes .)t mli¿1n*'t izi¡¡: ir i l l . i ' , irnc irlr€Inos en esta seccii)i l .Consii lers:l '¡ros dc nut:r 'c lt l : plrcilrr rj l ínil i !t:t t ir: ¡-::a1 ¡'r in ro!ocada en ei inte-

r ior de urr srr le¡roi( le lar ,qc ¡c i e l : i i te, ' i r r i t lu l l r i ¡ r , . ¡ i r ier ' , te . f 1f i9. l r j -4ó). l )stacorr-iente proilucre ur! caürpc irirÉi;r ' i ;co qurt: r;rtrqli ' i i¿a ': i .: i l ini irc y da lugar auna rürrienie de rnagnet.lzali¡. 'r¡ soi,: 'r i ;¡ s:i '- i¡rJicie dcl r¡¡isrno en igiiai sentidogue i. L.a r:olric¡lte supcrfir: i: i1 ¡i¡¡ ¡¡:, i, '¡¡r""!,1¡i: i¡ i l i irt.r:¡ urtit latl Ce lr¡ngitud es igrralir t]/ i . Sjr el s;: ie¡roi¡le tiene n esi, ' i¡ '1):J::,rl- rnr{ja¡i d" |+n:Jitud, ci sisl.ema so}erlrrideti¡á: *i ci l inciio rntg!:t:+iz;ld{i t1.,. ir luj '-¡rlr i-:te i" r: l so}r¡ gr:lenrtir l i : qr.re transtori.auna cír¡l ' icnte psr uli i lad dt, iorgit ' ;C iquli i z rl +-' l l í. I i¡ l¿ corriente srlenoidaief¿ct,iva ria irrga"r ü un frmcn ¡¡1:;¡¡;¡;11.i;1;;eql¡it¡ i¡rte 7J paralelo al eje del cil irdro,calr¡t lo {r¡1", 'o ¡1\ódüic r:sl, lr da¡il l I '¡rrt ' i i l tr:. ¡. i.ü,71.), ron nl rtenip}azari<l prr latr,rrie¡te tr-;tq1 [iot unidad d¡¡ k¡¡rgii i ;t i r:I ¡ ' :/ i . Esio es. i i : iro(n.I +.:)if¡ $

1-:_ -]j - ':tii :. nI"po

lrsl"a e;*prcsi( 'n da ias c<ll 'denics l itrres. rl dr crirrdu.cción por unidail de longitud"n.i, subre ia supcrficie dei eii ind¡o, en f uníi iún dei campc magnético )J en el mediov la magnetización i l l l del misrno ¡nedio.5i ahserva¡nos que'fJytlft son vectoresen la misma dirección, el resuitado anterior sugiere la irrtroducción de un nuevocarnpo vectorial, l lamado campo nügnetizarüe, definiCo por

N : ] - 'N - : t l ( .l¿o

Se expresa en A m-r o m-¡ s-l C, que son las unidades de los dos términos queaparecen en el segundo miembro.

En nuestro ejemplo particular, tenemos )t : nI, que relaciona 91 con la co-rriente l ibre o de conducción por unidad de longitud del solenoide, Cuando con-sideramos una longitud P0 : L a lo largo de Ia superficie, tenemos entonces

}tL : lnl :- lri¡.e, (16.8,1)

donde /¡1¡.. : I-nI es la corric::te l i l : ie totai del soient-¡i ' le correspondiente a lalcni:ituri J," i-aiculanrjri Ia circulac;rn de ':|f alrtderJor riel rectáirgulo PQI?S" trne-niüs q ' (e . \ j : : , : / { .L, ya que-} es cexr f i :er : r , - .1e} sclr ; io i ¡ i t { / } f i i ( los¡;n)vlosindos

Qn -v SP no cr.intri i :uyen a ja circi,ri¡¡t ión, I loiqile sr;n perpendiculares al campomagnético. De este modo la ec. (lt i .48) puede t'scri i i ir-se en la forma r\¡c:1¡1¡.*,donde fu¡," es ia coniente l ibre total a través clt l rectángrrlo PQRS. Este resultadntiene validez más general d,-r lo que nr-iestro:.¡nálisis simplif icado puede sugerir.E¡r eiecto, puede verif icflrse que la cí.rculación'J-eI campa mognelízante a lo largode una llneu cerrada es ittual e la corrí¿.nte líbrt lt¡fal a íreués de Ia lragectoric. Esto es,

. \ :* == ü . | f . : j / : / ¡ , ¡ , " ,, r I

i i r ' t l l i : : l t - ; : l j r : i i :1¡ i l r l .

I t l r : ! i ' { . r " l I i . t r i ' ; iC, ' '

(16.83)

(16.85)

. . ¡ ¡ ' ' : ; r . l , , l t , ! ¡ i , l r i i : i : : l lgas

l i i : , . ; , i ' , . : : ' rr r :xt: l r ;yenflc Laq Co-

16.16) Campo magnelizanle 627

rrientes debidas a la magnetrzación de la materia.'Por ejemplo, si la trayectoria f-(ng. 16-46) enlaza a los circuitos 1r, /, y a un cuerpo con magnetización 9ll, de-bernos incluir en la cc. (16.85) s<rlamr:nte las conicntes 1, c /r, mientras que enla ley de Arnpire, ec. (16.67), para ei carnpo rnagnético )J, debemos incluir todaslas corrientes, esto cs, a 1, e Jr, dell ir las a i¿¡s {'¡rgas que se mueven libremente,así conro talnbié¡r jas dr:bidas a la nagnetizacii,n J/l del cuerpo proveniente delos electrones l igados.

Escribamos la ec. (i6.83) en la forma

13:vo(N+' l lc) . (16.86)

{lotiro la magnetizacion :l l( del cuerpo está fÍsicamente relacionada con la resul-tantc dei campo nragnct ico l . l , podr iarnos introclucir r rna relaci( ln entre,) / l y ' ) ls in; i l r r r a l¿r reiación, cn el caso eléctr ico, entre I y t , dada en la ec. (16.10)" Siniri l l trar{Jo, por razonr's histÓricas se acostulrbra a proceder de rnanera diferente,', ' rei¡cionar, en su lugar, ?/l y 7, escribiendo

'ltl : t-lt. (16.87)

l .a cantidad xrn se l lama susceptíbíl idad magnética del nraterial, y es un númeropuro independiente de las unidades escogidas para ff i y .X. Sustituyendo laec. (16.87) en Ia ec. (16.86), podemos escribir

donde

se llama la permeabílidad del medio y se expresa en las mismas unidades l lue tro,es decir, en m kg-z C. La permeabilidad relativa se define por

i ¡ ¡ : t ¡ /po:1*Xm, (16.e0)

y es un número puro independiente del sistema de unidades.Cuando vale la relación ,11 : vcY podemos escribir, en lugar de la ec. (16.85),

r1$ - ' l ' 'd l - / t i ¡ "" 'ULV

Si el medio es homogéneo, de modo que {¡ es constante, la circulación del campomagnético es

'lJ : rro(Q( * x'"cY) : ¡,0(1 + xñV : v2L

v :,)Jl l{ : r,o(1 _f m)

nn: f , lJ .dI :

p/¡b,e.

(16.88)

(16.8e)

(16.e1)

E,ste resultado es simiiar a la ley de Ampére, ec. (16.67), pero con la corrientet+tal reemplazada por la corriente l ibre y p en lugar de po. Podenros entoncesronciuir que el efecto de la materia magnetizada sobre el campo magnético ?J,'s reLrmplazaf ,;.. rror ¡r. Por ejemplo, el campo magnético de una corriente rec-

¡E-.

rc.tn Cálculo d.e la suscepiibilídad magnélíea 629

aunque en muchas de ellas n se observa a causaadd efecto paramagnético ques¿ describe más adelante. La magnetización resultante está dada por

(16.e3)

donde 9{ es el campo magnetizante en la sustancia, n es el número de átomospor unidad de volumen y ri es la distancia del electrón f-esimo al núcleo de unátomo. La suma se extiende a todos los electrones del átomo y el valor meüodebe calcularse de acuerdo a las prescripciones de la mecánica cuántica. Lasotras cantidades tienen el significado usual. EI signo menos se debe al hecho deque cll( es opuesto a ?f. Entonces, conforme a Ia ec. (16.87), la susceptibiüdadmagnética es

)ft : -{# (4 r) ,*,

kn-*E#(tr)

nmiwxm: zkr '

(16.e4)

y, como es negativa, la permeabilidad relativs [¿r : 1 * x- es menor que uno.Si introducimos el valor conocido de las constantes, suponemos que n es apro-ximadamente 104 átomos por ms en un sólido y estimamos que ri es cerca de10-10 m (que es el orden de magnitud de la órbita electrónica), entonces tenemosque xm es del orden de magnitud de 10-5 para los sólidos, de conformidad con losvalores que aparecen en la tabla 16-3. El resultado (16.94) es el equivalente mag-nético de la susceptibilidad eléct¡ica estacionaria, dada por la ec. (16.22).

(b) Electo de oríentación. A continuación veamos el efecto de orientación.Como se indicó en el ejemplo 15.6, un átomo o molécula puede tener un momentodipolar magnético permanente, asociado al momentum angular de sus electrones.En este caso la presencia de un campo magnético externo produce un torqueque tiende a alinear todos los dipolos magnéticos según el campo magnético,co¡r Io cual resulta una magnetización adicional llamada paramagnetisrno. Elmagnetismo adquirido por una sustancia paramagnética tiene, por consiguiente,la misma dirección del campo magnético. Este efecto es mucho más intenso queel diamagnetismo y, en el caso de sustancias paramagnéticas, los efectos diamag-néticos están complet¿mente compensados por los efectos paramagnéticos.

La susceptibílidad paramagnélica de los gases está dada, aproximadamente,por una expresión similar a la ec. (16.26) para la susceptibilidad eléctrica debidaa las moléculas polares,

(16.e5)

donde mo es el mome¡tto magnético perrnanente atómico o molecular, I es latemperatura absoluta de la sustancia y k es la constante de Boltzmann. Comoen el casc eiéctrico, ¡- disminuye si la temperatura de la sustancia aumenta.Esta depen<iencia de la temperatura se debe al movimiento molecular, el cualaurnenta con la temperatura y por consiguiente tiende a compensar el efecto de

628 Campos electromagnéfícos ¿sfdltr:;s

ti l inea 1 dentro de un medio magnetizati 'u¿S

{16.17

(16.92)' t ! P ' It ¡ :_7_

en lugar del valor d;: por la ec. (15.41).

16.77 Có,IcuIo d,e Ia susceptibilidad magnéticü

Como la susceptibilidad magnética ¡". anáiogamente a la susceptibilidad eléc-trica x.¿, expresa la respuesta de un medio al campo magnético externo, estárelacionada con las propiedades de los átomos y moléculas del medio. En elfenómeno de la magnetización de la materia por un campo magnético externoentran dos efectos. Uno es una ¿rsfor.si¿in del movimiento electrónico debida alcampo rnagnético. El otro es ut efeclo de orientación cuando el átomo o moléculatiene un momento magnético permanente. Ambos efectos contribuyen al valorde z- y serán discutidos separadamente.

(a) Efecto de distorsíón Sabemos que un campo magnético ejerce una fuerzasobre una carga en movimiento. Por consiguiente, si se aplica un campo magné-tico a una sustancia, los electrones que se mueven en los átornos o moléculasestán sujetos a una Iuerza adicional debido al campo rnagnético aplicado. Estoocasiona una perturbación del movimiento electrónico. Si fuéramos a evaluaresta perturbación de un modo preciso, tendríamos que usar ios métodos de lamecánica cuántica. Por lo tanto nos lirnita¡emos a establecer los principalesresultados, haciendo una ilustración simplif icada en el ejemplo 16.21.

El electo de urr campo maguético sobre el movimiento elect¡ónico en un átomoes equivalente a una cordente adicjonai inducida en el átomo. Esta corrienteesta orientada en un sentido tal que el momento dipolar magnético, a ella aso-ciado, t iene sentido opuesto al del campo magnético. Como este efecto es inde-pendiente de la orientación dei átomo y es el mismo para todos los átomos, con-ciuimos que la suslancía ha odquirido una magnetizución 7f( opuesta aI campomagnélico, resultado que contrasta con el encontrado en el caso del campo eléctrico.Este cornpcrtamiento, l larnado diamagnelísmo, es común a todas las sustancias,

TABLA 16-g Suseeptibil ldad magnético a tempereiura emiriente

Sustancias paramagnéticas

nitrógeno (1 atm)sodiocobrebismutodiamantemercur i ¡

--F, n v

- - -¿)" x

-1,0 x

i 0-ei 0-61i i -5! fl-6

1 i¡-é1 0-5

t t

l . )

2,3r lR

7,1!n?R

10-'6l0-s10-ó1 0-5L0-5i0-*1 ü-3

/.

x¡

( i30 Cani¡¡t ls elet: ir l inaq¡¡i f i ¡ 'os es/iJlc¡;s { t r i " t 7

alin¡:amientrr rit,1 clnrpo n)agDLt.!co. Ahora bie¡r, i lr. i ¡esi:JtaCri <iel prcblenra i5.it0,sabenlos t1r :c ei ordcn dc mr: ,gr i i t i r r l ¡ ic l mol i rcnt . i l túrnicc cs 10-23 i - [ ' -1. l )e estemodo al introducir los r,¿riorrs de las olr¿rs cons|aiitt 's, ], i ec. (16.95) da para lasusceptibii idad paramagnética a t{:rnperattira ambiente (298'K) un orclen demagnitud de l0-a para sólidos y i i)-z ¡raia gases en condir:iones normales. Flsteresultado concuerda satisfactoriamente con los valores dados en la tabla 16-3para las sustancias paranragnéticas.

Uua conclusión importante es que, tanto para ias sustancias paramagnéticascorno ltara las diamagnóticas, y'rr¡ es muv pequeña comparada con la unidad, yert muchos casos puede reeinpiazars€ p": I * ¡ rn por la unidad.

ic) Ol¡r¡s eiecto.s Una tercera clase rle sustancias maqnéticas son las l lama-dtis ftrr<tti iagnéiicus. I-a ¡ir, i i iciJral ca¡¡cteríslit:a de estas sus'iancias cs que pre-rr:i i tall unh ntagiletieaciÓn pel]Í it l i lent-t), (lr!ír sl¡grere '-rna tendcncia naturai t je losrrof i ¡c i r i .OS tr iagnt i l icos ¡ ie srr : r á i . r - i l ; r r ¡ . ; r ¡ l ; ro luculas a ¡ l iüearse <lcbidc a sus i i i ter-¿r¿io:rcs ¡¡¡ l tuas. La nagrret i i .a 1, ctros i i ¡ , in. : : i n¿turales inenc. icnados al pr i r ' rc ip ior le l capi t .u lo l ¡ , ;on r jempkrs de suslenci i is íerromagnet icas. El ferromagnet ismoeE er; tonces sirni lar a la ferroclectr ic iCad ei l su comDortanr iento genLrral , aunquesu origen es rl iJi:rente. Está asocia.io con la interacción entre los cspines S, y S,i le d<.'s eiectrones, que fundame¡rtaln¡ente es cie la {ornra -.*..ISl . 52, donde la can-tidad ,,I, l lamada ínlegral de íntertentbio, depende de la distancia entre los elec-troncs. Cuanrio J es ¡rosi.riva, el ecluil ibrio se obtiene si S, ,v S, son paralelos,

I."lL i i ' l

Fig. 16-.1?. Dominios rnagnét. l :os. (a)c iórt por crecimiento de dorninios, 1c)

Sustancias no magnei izadas, (b) magnet iza-magnet ización por oi ientación de dominios.

resultantlo una oririntación de lo,s espines clectrónicos en regiones microscópicasllamadas tlominíos (figs. 16.,17a r' 16-48a), cuyas ri imensiones son del orden dc10-8 'r 10-12 m3 y que co¡rl ienen de 104 a 1017 átomos. La dirección de magneti-zación de un dominio depende de la estructura cristalina de la sustancia. Porejernplo en el hierro, cr¡yos c¡istales tienen est¡uctura cúbica, las direcciones defácil magnetización están a lo largri de los tres ejes del cubo. En una porciónde materia los dominios mismos puedcn estar orientados en diferentes direcciones,dandcr un efecto neto, o macroscópico, que r)uede ser nulo o despreciable. Enpresencia de un campo magnét ico eaie¡ 'no, l r ¡s i lominios exper imentan dos efectos:aqur l lcr i ' iorr in ics or i r - 'n laC,r l i ¡ r , ' r lL le l : r . .1t .1.a c(r i i r . . 's l - recto al campü magl iét jcocf i tc( i r l i t i ' ' .1)€l lsas r le l ¡ ;s r i l j i tntar l l : f r l l r i to: i i ' t r ' ¡ l ra l , ic¡ t ¡ r :ntr ( f ig. ' l f l -17b) I 3 rne-i i r i : r t ¡ r r , - : i¿ i i r i tensid:¡ , i r l , ; i i t i i i , ¡ ; r ; r i r ¡ tg i i i : t i r ' . . - ; i : r t r t i ; tq :11:r : , t I t i , l l ;n:rg" i :ct izaciól

f .$.17) Cálculo de la suscepiibíIídad magnélícd 631

d¿ 1a:: doy¡:irrjr¡s t ietide a alinearse c:r l¿¡ dirección slel .campo {l ig. i6-47c)i y la¡;Orción dc nrs!.er.ia 5t convierÍ-i-r en ri l i ¡n¡in. El ferrirnagnetismo i:rr i lna frro-¡:ied:r-'- i q1-¡r dcpendc de la t¿¡:ri. i ' . : iura, y para cada sultancia {erronagntit ic:r,:,r*ist(r rina trmpt'ratura, l i¿¡i¡l:¡ l! i ; íentl¡trt it:¡ ' tt t le Cp.ríe, pot encima tle i¡r cr¡al la:ustarií i¡ sq: l iRce p:r.ranragnét¡ca, l lste fe¡rónir::¡o oilurre cu¡ntl i-, t l ;¡¡ovirnientoiér'¡nicr", es suiicientrrnente grande panl venr:e¡ las fuerzas de alineación, Las;i¡:; iai¡t ia: qlie son fcrromagnélicas a lenrperatura ambiente scn: hierro, niquel,cübal i . r ) v gai lo l in ia. Sus tempcraturas de Curie son 770"C,365"C, 1075"C y 15'C,r€spectiv¿mente.

Si¡r trmtrargo, es posil, l¿ tambien que para algunas sustancias J sea negativa.Xiitcnces, ei eauil ibric se obtiene si los espines electrónico$ son antiparaielos"

1{r l r i.e 0 0 0 0 0i i i t t l

Ferrornagnet ism o

+t9? ,,,,+ f f + + i + t

Anti f erromagnet ismo

I ' ig. 16-48. Orientación de ios mo-mentos dipolares magnéticos cie va-¡ ias sustancias.

resultando una rnagnetizaci,6n neta nula (fig. 16-a8b)" En este caso la sustanciase i larna anti ferromognética. Algunas sustancias anti ferromagnéticas son MnO,FeO, CoO y NiO"

Otro tipo de magnetización es el llamado ferrímagnetismo. Es similar al anti-ferromagnetismo, pero los momentos nragnéticos atómicos o iónicos orie¡rtadosen un sentido son diferentes de los orientados en sentido opuesto, resultandouna magnetización neta (f ig. 16-48c). Estas sustancias son l lamadas ferr i tas, y

se representan generalmente por la fórmula quimica MOFerOr, donde M repre-senta Mn, Co, Ni, Cu, Mg, Zt, Cd, etc.¡ )bsérvese que si l f es Fe resulta el com-puesto F%On, o magnetita.

EJI:Mi,LO 76,27. Calcular el momento magnético atómico inducido por un campornagnético externo.

Soluaión: Hcmos indicado que un campo magnético externo produce en un átomo¡i¡r momento magnético en la dirección opuesta al campo. Esto se puede just i f icarpor medio de un modelo mu¡¡ simple. Considerernos un electrón cuya carga es -e,moviértdose alrededor dc un nr 'rcleo N, en una órbita que por simplicidad supon-clremt¡s circuiar, de radio p y en el plano X 1'. Si oo es la velocidad angular del electrón¡: F ia fuerza sobre el mismo debida al núclco, la ecuación de movimiento del electrónes entonces

mecofP : ¡'

Si ahora se apl ica un campo magnético ) l según t l eje Z (esto es, perpendicular alplano r ie la órbita), se ejerce sobrc el electrón una fuerza adicional F' : ---ez: x 11.l l :¡ ta fuerza estará en la misma Cirección que ¡ ' o en la opuesta, dependiendo de lair ierrtaciót; rclat iva de oo y )1, ccmo se ini i ica en la f ig. 16.49. Como la fuerza radialcobre el e iect . rón varírr , 1a f recuenci i r angular (suponiendo que el radio ¡ i 'ermanezca

, . , )ó ¡ é ¿ ¿ ' I r

l l l? l '???Ferr i rnagnet is mo

632 Campos eleclronagnéticos estálícas (16.17

(a) (b)

FtS. te-+9. I lxpl icaciór dei d iarnagnet ismo.

r:cnst;rnle) tambiétr ver[a, y se hace igu*l a t¡, La ecuación de movirniento del electrórr.;s ahora usando e : @p y el liecho de que ei tnóduio de F' es etft1,

mecotp:F: !eop.)?,

r ionde se tonla ei signo ¡¡{s para cl casc, (a) de la f ig. (1€-49) y el menos para eIcaso (t¡). Restando ambas ecttaciones de nrovimieltto para elirninar F, encontramos

¡n (<o8 - ü¡3)p = +eo']'j ó m.(o +- óo) (r,: _. o¡o) : +e¡'l%.

Ahora bien, el carnbio de frecuenci&, A<o : r - ro, es muy pequeño y podemosree¡nFlazar o * <¿o Por ?c¿ sin gran error. Entonces tenemos

2¡t Aa : ¡e'B ó A¿o : -: =l-¡¡,- 2mu

de modo que el cambio Ce fr, ,cuencia es igual a Ia frecuencia de Larmor fJ¿, euedefinimos en el ejelnplo 1ó.?. El signo más, que ccgesponde al caso (a), signif icalin aumento de loo, y Ar.,u está ellto]1ce$ dirigido bacia la derecha, El signo menos,q¡.¡e corresPonde al casi (b), signif ica una disminución de f i lo, y Aro está entonce$tambiér¡ dir i¿ida iracia ia Ce¡ech¡. i)e mcd,c que en arnbcs casos podemos escribiria relació¡r vectorial

El cambio en la frecuencia del rnovimieril.o electrénico protluce una comiente neta-e(Lul?rl y por c' :nsiguiente, usanCo la Cefinición (15.19), un monlento magnético

m .= - -r( 4o_r_\ (no,) : _ t '? '_ n

i . 9r / ' 4ru

Por lo tanto ei momento magnético del átomo está dir igido en sentido op¿estoal campo magtrét ico D, y la sustancia co¡1o un todo adquir irá una magnetizaciónopuesla al carnpo magnótico apl icado, Ctimo ni lestros cá.lculos han sido muy sim-pl i f lcados, -si queremos obtener un resultado más general debemos tor¡ar en consi-deración la r l istr ibución al azar en ei espacic de las órt¡ i tas eiectrónicas y anal izaren detal ie la naturaleza del campo nragnéiico local B que aciúa sobre el electrón.En cualquler caso, nuestrcs cálculos fundamentalmente coinciden con el resujtadoseñalado en la ec. (16.98).

Aot : d- 6.2a.

iI

Bibiiogruf{a 6JS

16.78 Resunnen d,e Las leyes de los carnpos est6tieos

En este capítulo herrros discutido los campos eléctrico y magnétic¡r estáticoscomo dos entidades sepal'adas, sin relación alguna entre ellas, excepto que lasirientes del campo eiéctrico son las cargas electricas y las del campo magnéticoson l¡ls corrientes eléctricas. En consecuenciá h:mos obtenido dos conjuntos deeruaciones separadas, las cuales aparecen en la tabla 16-4 en arnbas forrnas,integral y düerencial. Estas ecuaciones perrniten calcular el campo eléctrico d',. el campo magnéticc .)3 si se conocen las cargas y las corrientes, y recÍprocamente.De este modo parece corno si los campos eléctrico y magnético se pudieran con-siderar como dos campos independientes. Sabemos, sin embargo, que esto no escierto, ya gue en el capítulo 15 hemos deducido reglas que relacionan los camposeiéctrico y magnético, tal comc los miden dos observadores en movimiento rela-tivn uniforme, usando la transformación de Lorentz, y notamos que c y ?3 estánintimamente rclacionados. De este rnodo podernos esperar que en los casos que,-iel..encien del tiempo las ecuaciones precedentes requerirán algunas modilicaciones.Aprender cómo hacer estas modificaciones es la tarea del próximo capítulo, dondecbtend¡emos un lruevo conjunto de ecuaciones basadas en evidencias experimen-tales y que son extensiones de las ecuaciones precedentes.

IABLA 16-4 Ecuaciones del campo olectromagnétlco e¡t¡oionrrlo

Ley

I. Ley de Gauss para el campo eléctricoIEcs. (16.3) y (16.5) l

Forma integral Forrnadiferencial

f r."" nr * divé P€o

Ley de Gauss para el campo magnéticoIEcs. (16.81) y (16.82) l ?9.¡¡,v dS : 0 div ']l : 0ó

JS

Circulación del campo eléctrico.[€cs. (16.62) y (16.79)] $re

.ar: o rot C:0

Circulación del campo magnético(Ley de Ampére) [Ecs. (16,67) y (16.78¡] $;t .at : *or rot ?J : pJ

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634 Campos eleclromagnéticos estáIícos

5" The Fegnman Lecture.s on Phgsics, vol. II, R. Fe-vnman, R. Leighton y M. L.Sands. Addison-Wesley, Reading, Mass., 1963, caps. 2, 3, l0 a L4, y 34 a 37

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Problernas

16.1 Una esfera de radio Rr t iene unacavidaci central de radio l?s, Una ca¡ga qestá unif ormentente distr ibuida etr suvolumen. (a) I lal lar el campc' eléctr icoy el potencial en puntos fuera de laesfr lra, en el intcr ior de la esfera y en lacavidad central. (b) Hacer los gráf icosdel caurpo y del potencial eléctr icos enfunción de la distancia al centro.

16.2 l . lna esfera conductora de radio Itt ien¿ una t;avidad cential de radio Rr.U¡r el eentro de la cavidad hay urraearg^ q, (a) Entontrar la carga sobrelas supcrf icies i tr terna y externa del con-ductor" (b) Calcuiar el campo y el po-tencial eléctr icos en puntos fuera de laesfera, en el inte¡ior de la esfera y enia cavidad. (c) Hacer los gráflcos delcampo y del potencial en funcién de ladistancia al centro. f .Sugerencia: Recor-dar que el campo en el i¡r terior de unconductor es nulo. l

16.3 El e lectrón en un átomo de hidró-geno se puecle suponer "disperso" entodo el volumen atómico con una den-sidatl p : Ce-2r¡do, donde cro : 0,53 x10.-10 m. (a) Hallar la constante l , clemorio que la carga total sea -r. (b)Determinar la carga total dentro de unaesfera de radio cio, que corresponde alradio de la órbita del electrón. {c) Obte-ner el campo eléctr ico en funcir '¡n de r.(d) ¿A qué distancia el campo eléctr lcodif iere de -e/Areorz en 1o, 'o7 [Suaerencia:Para la parte (a), dividir cl espacio encapas esféricas, cada una de volumen4rr2dr.l

16.4 Co¡rsiderar la superf icie cúbicacerrarla de lado ú que se muestra enla f ig. 16-50. t ista superf icie está cokr-cada en una región donde hay un campoeléctr ico para!elo al e je.K. Hal lar e lf lujo eléctr ico a través de la superl icicy la carga total en su interior si el carrrpo

eléctr ico es (a) uniforme, (b) varia segúnC:Cc.

16.5 Hallar el f lujo eléctr ico y la cargatotal en el interior dei cubo de lado a(f ig. 16-50) si éste está colocado en unaregión donde el campo eléctr ico es (a)f : ü¿crzt (b) f : c(v"E {usr). Hal lartambién, en cada caso, la densidad decarga"

16.S Dos esferas c' .rnductoras de radios0,10 cm y 0,15 cm t ienen cargas de10-? C y 2x 70-?C, respect ivamente.Se ponen en contacto y luego se separan.Calcular la carga de cada esfera.

x Fieur¡ 16.60

16.7 Una esfera metál ica de radio tr ml- icne r¡na carga eléctr ica neta de 10-'e C.Se co¡recta mediante un alambre con-t luctor a una esiera de radio 0,30 cminicialmente descargada (muy lejos dela esfera mayor) de ¡nodo que ambastienen eI mismo potencial. (a) ¿Ctrál serála carga de equil ibr io en cada esferadespués de hacer la conexión? (b) ¿Cuáles la energla de la esfera cargada antes dehacer ia conexión? (c) ¿Cuál es la energfadel sistema después de unir las esferas?S: hay alguna pérdida, expl icar dóndese encuentra esa encrgla perdida. (d) Mos-trar que la carga se distr ibuye en iasesferas de radios Rr y R, unidas eléctr ica-

I lgure 16-61

mente de modo ![ue cr/c, : Rr/Rz, dondeo es la densidad superficial de cargaeléctrica. (e) Demostrar, entonces, queel valor del campo eléctrico en la super-ñcie de cada esfera es tal que Cr, ruptrficie/C2, mperricie : Rr/ Rr. Para resolver esteproblema, ignorar el efecto del alambre.

16.8 Se coloca una carga q a una dis-tancia a de un plano conductor inf lni tomantenido a potencial cero. Se puededernostrar que el campo eléctrico resul-tante en un punto situado frente al planoe$ el mismo que el que se obtiene alreemplazar el plano por una carga eléc-Li ' ica negativa -q situado a una dis-'rarrcia --a (ver la f ig. 16-51). Esta se-gunda carga se llama imagen de la pri-mera. (a) Demostrar que el potencialdel plano es cero y que el campo es per-pr:ndicular al prl¿no. (b) Probar que ladensit lad de carga sobre el plano es qalÉ.(c) Veri l icar que la carga total sobrecl plairc es igual a -9.

16.9 Se coloca una esfera conductorade radio c en un campo eléctr ico uni-lorme Co como se muestra en la f ig. 16-52.Como la esfera debe estar a un potencialconstante, le asignaremos eI valor cero.El campo eléctrico actuando sobre lascargas l ibres de la esfera hace que éstasse muevan hacia la superl icie hasta queel campo eléctrico en su interior es nulo.,La esfera se polariza distorsionando elcampo eléetr ico a su alrededor, aunquea grandes distancias el campo perma-nece esencialmente uniforme. Puede de-mostrarse que la solución de la ecuaciónde Laplace para el potencial eléctricoque satisface las condiciones de esteproblemaes V: -C¡cos 0 ( l -azl¡a).

L-

Problemqs 635

Dirección dei campoeléctrico aplicado Flgurr 16-62

(a) Verificar que eI potencial de la esferaes cero- (b) Demostrar que a distanciasmuy grandes el potencial correspone alde un campo uniforme. (c) Notar queel potencial V es la suma del potencialcorrespondiente a un campo unlfor¡ney el correspondiente a un dipolo eléc-tr ico. Otrtener el momento dipolar eléc-tr ico de la esfera. (d) Obtener las com-ponentes radial y transversal del campoeléctrico. (e) Verificar que el campu eléc-trico en la superficie del conductor esperpendicular al mismo. (f) Hacer elgráf ico de las l ineas de fuerza del campoeléctrico resultante. (g) Haliar Ia den-sidad superficial de carga. Discutir suvariación sobre la superficie de Ia esfera.(h) Verifiear que la carga total sobre laesfera es cero. ( i) Mostrar que el campoeléctrico en el centro de la esfera pro-ducido por la carga superf icial es -Co.Lo ¡nisl lo ocurre para cualquier puntointerior de la esfera. ¿,Era de esperarseeste resultado?

16.10 Como resul tado de las ecs. (16.16)y (16.17), puede probarse que en la su-perficie de separación de dos dieléctricos,la componente tangencial del campoeléctr ico y la componente normal deldesplazamiento eléctrico son continuases decir que t ienen el mismo valor aambos lados de la superficie. (La segundaproposición vale sólo si la superficie estádescargada). Mostrar entonces que losángulos que las l fneas de fuerza formancon la normal a la superf lcie satisfacenIa relación tg 9Jtg Az: €Jez.

16.11 La permit ividad del diamante es1,46 x 10-10 C2 m-2 N-1. (a) ¿Cuál es laconstante dieléctrica del diamante? (b)

Cs

636 Campos eleclromagnélícos estdlict s

Flgura 16"68

C2

*_,1

Figura 16-ü6

('1 (.lt cr

T-l

c2I

I

' 'T -'r-*--- ¿ I

:tff,T-"li.]"ai_I_FiEur¡ 16-ó6

Flgurr 16-6?

16.15 Se desea construi¡ un capacitorintercalando una hoja de papel de0,004 cm de espesor entre hojas de es-taño. I l l papel t iene una constante dieléc-tr ica relat iva de 2,8 y conducirá la elec-tr icidad si está en un campo eléctr icode intensidad 5 x 10? V m-t (o mayor).Esto es, l,a lensil¡¡t de ruptura del papeles 50 IIV m-1. (a) Determina¡ el áreade placa que se necesita para que uncapacitor de cste t ipo tenga una capaci-tancia de 0.3 ¡r l . ' . (b) ¡Cuál es el poten-ci¡. i r-rá:¡ i¡n¡.¡ íJue se puede apl icar si elcanrlr eléct i i rc en ei pal iel no r iebecxceder ia rnitad dt-: la l"errsión cie rup-t. t¡ ¡a?

i6. i t i Se dese¿r constíuir un capauitorie piacas paraicias ¡¡sando goma com(idieláctr ico. Esla goma t iene una cons-tante dieiéctr ica de 3 y una tensión deruptura de 20 MV m-1. El capacitort lebe tener una capacitancia de 0,15 ¡rFy debe sc,portar una diferencia de poten-cial rnáxima rle 6000 V. ¿Cuál cs ei áreamlnima que i leben tener las placas delcapacitor?16.17 L.a *apaci lancia de trn capacitorvariable de radio se puede variar entre50 i , i . y i}50 pF girando ¿i dial t ie 0oa 1800. í lon el dial en 180'; . se conecta

{" r-"JFrL Jil I__*

t l

HTc2

Flgura l0-64

¿Cuái es la susceptibilidad eléctrica deidia¡na.ntr?

16.12 El statlarud es la ur¡idad de capa-citancia que se deñne como la capaci-tancia de un conductor que adquiereel potencial de un estatvolt io cuando secarga con un statcoulornb. Probar guerin stat iar*r l e-q igual a 9 x 101¡ F, Otrasuniclades út i les son ei nricraiarad (pF),igue! a 10-s ir . v el picofarad (¡. iF). tgualc. JO-te F.

16.13 l lc l :ost iar que i* . ene¡gia elór-i"r ica de un {r}¡r i i . . , lc i .rr aislad,¡ . '3 i CV:.Probar ' ! ambii :r l r¡ue el rnismo rq: '¡ l t- :rdr:es vál i i io paia ur- i rapacitor de pieca;

¡r lanas y parelel:s v, en general, paracualquier clrpacltor.

16.14 Lin capacitol gue ccnsta dedos piat:as paralelas rnu.y derca uria deotra t iene en el ¡¡ ire una capacitanciade 1000 pl i . La carga scbre ca<la placaes de I C. (a) ¿Cuál es la diferenciade potencial entre las placas? ( i-r) Supo-niendo que la carga se mantiene cons-tante, ¿cuál será la ci i ferenrra de poterrcial en trr )as placas si la sep¡r,r¡: iónentrc las ¡nirmas sr: dupl i ra? / ¡ r ) ¿ouitrabaj,.r r . . nccesc_ric, para .Jupi icar la se.paración rntre las 1; lrcas?

el capacitor a una baterfa de 400 V.Una vez cargado, el capacitor se des-conecta de la batería y se l leva eI diala 0o. (a) ¿Cuál es la carga dei capacitor?(b) ¿Cuál es la diferencia de potencialen el capacitor cuando el dial marca 0o?(c) ¿Cuál es la energfa del capacitoren esta posición? (d) Despreciando elroce, determinar la cantidad de trabajonecesario para girar el dial.

16.18 Se carga un capacitor de 20-¡rFa una diferencia de potencial de,1000 V.Luego se conectan los terminales delcapacitor cargado a los de un eapacitorCescargado de 5-¡rF. Calcular (a) Ia cargaoriginal en el sistema, (b) la diferenciade potencial f inal en cada capacitor,(c) la energla f inal del sistema, (d) ladisminución de energfa cuando se co-nectan los capacitores.

16.19 (a) Demostrar gue la capacitanciade un capacitor esférico de radios o y Des 1,1.1 x 10-10 e,abl(a - b). (b) Demos-trar que la capacitancia de un capacitorcl l tndrico de longitud I y radios a y bes 1,X1 x 10-18 e,l /2 \n (bla).

16.20 Un cierto capacitor está hechode 25 hojas delgadas de metal, cada un¿tde 6G0 cmz de área. separadas entre sicurr papel parafinado (permit ividad rela-t iva igual 2,6). Flai lar la capacitanciadel sistema.

J6.?1 Tres capacitores de 1,5 ¡rF, 2 ¡rFy 3 pF se conectan (1) en serie, (2) enparalelo y se ies apl ica una di lerenciatie potencial de 20 V, Determinar encatia t ;aso (a) la capacitancia del sistema,(b) la cerga y la diferencia de potencialde cada capacitor, (c) la energia delsistema.

16.22 Determinar la capacitancia de ladisposición de capacitores que se i lustraen la f ig. 16-53. Si el voltaje apl icadoes de 120 V, hal lar la carga y la diferenciade potencial en cada capacitor asi comola energla del sistema.

16.23 En la disposición de capacitoresde la f ig. 16-54. Cr : 3 FF, Cz : 2 vFY Ct : 4 ¡rF. Iil voltaje aplicado entreios puntos c y D es 300 V. Hallar (a)ia carga y la di lerencia de potencial decada capacitor, (b) la energia del sistema.Usar dos métodos dif erentes para elcálculo de (b).

Problemas 637

16.24 Dada la combinación de capaci-tores que se muéstra en la f ig. 16-55,probar que la relación entre C, y C,debe ser Cz : 0,618 C, para que lacapacitancia del sistema sea igual a C".16.25 Usando el resultado del problemaanterior, mostrar que la capacitanciadel sistema de la f ig. 16-55 es 0,618 Cr.fSugereneía: Observar que, si el sistemase corta según la l fnea de trazos, la sec-ción de la derecha sigue siendo igualal sistema original porque éste se com-PQne de un número inf inito de capaci-tores.]

16.26 Un trozo de dieléctr ico se intro-duce parcialmente entre las dos placasde un capacitor de placas paralelas. comose muestra en la f ig. 16-57. Calcular,en función de c, (a) la capacitancia delsistema, (b) la energfa del sistema y (c)Ia fuerza sobre el trozo. Suponer queel potencial apl icado al capacitor es cons-tante. ISugerencia: Se puede considerarel sistema como dos capacitores enparalelo. l

16.27 Las placas paralelas de un capa-citor en el vaclo t ienen cargas *Q y

-Qy la distancia entre las mismas es r.Las placas se desconectan de la fuentede voltaje que las carga y se apartan

Y ,-----z 1.i , / . / / l

,/ .///--- ---4 Flcur¡ 16-68

una pequeña distancia fu. (a) ¿CuáI esla variación dC en la capacitancia del ca-pacitor? (b) ¿Cuál es la variación d.Es ensu energfa? (c) Igualar el trabajo F dral incremento de energia dEe y hallarla fuerza de atracción F entre las placas.(d) Explicar por qué F no es igu4la Q<' siendo C la intensidad de campoeléctrico entre las placas. Rehacer elproblema para el caso en que V se man-tiene constante.16.28 Un electrómefro, cuyo diagramase muestra en la fig. 16-58, se usa paradeterminar diferencias de potencial. Con-

l-

638 Campos electromagnétícos estalícos

siste en una balanza cuyo plat iDo iz-quierdo es un disco de área S colocadoa una distancia a de un plano horizontal.formando asl un capacitor. Cuando seaplica una diferencia de potencial entreel d isco y el p lano, se pro, luce una fuerzahacia abajo sobre el disco. Para restaurarel equi l ibr io de la balanza, se colocauna lnasa m sobre el otro plat i l lo. De-r¡ostrar quc l ' : a{Zin!<oS. I r )hseruc. .r ¡ r in. ' l ln el instru¡rrento rcal : l d iscoestá roi leario por un ani l lo m;rnl enicioai rn. isnio potr.nciai para ¿rsegurar {Jl l t :el cantl-rr-r sea'.rni lornte en tod._¡ ¡: i r l is-r:o. j

16-29 f-u;rtrc c: i l ia<.ikrres esl ái i r l ispues-tos conlo se tnuestra cn la f ig. i6-¡9.ie apir , ,a t i l ra, l i lercnci i ¡ . l t , ¡ot t ,nc.¡ l i '

Figura 16-59

entre los terminales A y B v se conectaun electrómetro -&' e¡.rtre C y D para de-terminar la di ierencia de potencial entreei los. Probar qtre el electrómetro marcacero si Cr/ Cz == CrlCo. Esta es une dis-posición en puente que permite r leter-minar la capacit.ancia de un capacitor

en función de un capacitor patrón y delcociente entre dos capacitancias.16.30 En un medio ionizado ( ta l comoun gas o un electrol i to) hay iones posi_t ivos y negativos. Demostrar que si cadaion l lcva una carga + ye la densidadde corriente esJ : pe(n+o+ - n--u_), {on-de n.¡ y n- son el número cle iones decada clase por uni t lad de volumen.i0.31 Se ha est imado que el cobre t ieneteica de 10ze clectrones l ibres por metro¡- :ubico, L is¡ndc el v¿r lor de la corrduct i -v i i ind del ¡obre dado en Ia tabia 16-2.c. i l ln: t Í e l t i r ' r r l ¡ ,o t i r , re la j r ln ierr Io f ¡ara' ¡ i l c i r ( ' t rón rJt l ro i r rc.16.3J La corr icnle i :n un conel t ic toresiá Cada por 1 =. 4 + zt t , donde - I está€rl amperes y ¡ en segunrlos. Hallar elvalor medio y el valor medio cuadráticode la corr ienie ent¡e ¡ : 0 y f : 10 s.16.33 Deterrninar la resistencia totalen carla una de las combinaciones quese muestran en Ia f ig. I6-60. Determinarademás la corr iente v la diferencia depotencial entre los éxtre¡nos de cadaresistor.

16.34 (a) Calcular Ia resistencia equi-valente entre ¡ e y del circuito de Iaf ig. 16-61. (b) ¿Cuál es la di ferencia depotencial entre r y a si la comiente enel resistor de 8 ohms es de 0,S arnperes?16.35 (a) El resistor largo entre a y óde ia f ig. 16-62 t iene una resistencia de300 ohms y derivaciones a un terciode su iongitud. ¿Cuál es la resistenciaequivalente entre r e g? (b) La diferencia

(-t,

YA

--\r Ic{ lI

cr

^Yñ^| ,"

L_*

{ i l )

, ,,)(d)

Fieurs 16.60

12 s) l , o3 0 ' - "

l { t lJ

Figura l6-8l

Flguro 16-64

de potencial entre ¡ e y es 320 V. ¿Cuáles Ia diferencia de potencial entre ó y c?i6.36 Cada uno de los tres resistoresde la f ig. 16-63 t iene una resistenciade 2 ohms y puede disipar un máximod.e 18 watts sin calentarse excesiva-mente. ¿Cuál es la potencia máxima queel circuito puede disipar?

1 6.37 Tres resistores iguales se conectanen serie. Cuando se apl ica una ciertadiferencia de potencial a la combinación,ésta consume una potencia total de10 watts. ¿Qué potencia consumirá siIos tres resistores se conectan en paraleloa la misma diferencia de potencial?

16.38 Dada la disposición de resistoresqr¡e se lnuestra cn la f ig. 16-64, probarque la relación entre R, y R, es R, _--1,61 8 Rr. fSugerencia: Observar que siel sistema se corta a través de la l ineade trazos, la sección de la derecha esaún igual al sistema original porque ésteestá compuesto de un núnrero inf ini tode resistores I16.40 La corr iente máxima permisibleen la bobina de rrn instrumento eléctr icoes 2,5 A. Su rcsistencia es 20 O. ¿Quéclebe hace¡se para insertarla (a) en unallnea eiéctr ica que conduce una corr ientede 15 A, (b) entre dos puntos que t ienenuna diferencia de potencial de 110 V?16.41 ¿Cómo varla la resistencia de unalambre cuando (a) se dupiica su lon-

Problemas

figura 16-62

IFlgure 16-66

gitud, (b) se duplica su sección trans-versal, (c) se duplica su radio?16,42 Discutir los errores cometidos enla medida de una resistencia usando unvoltlmetro y un amperlmetro como semuestra en la fig. 16-66 cuando las re-sistencias Rv y Rt de los instrumentosse desprecian. ¿Cuá,1 método da el menorerror cuando R es (a) grande, (b) pe-queño? Observar que, en general, Ry esmuy grande J/ Re es muy pequeño.16.43 Las medidas que aparecen en latabla 16-5 corresponden a la corrientey a la diferencia de potencial entrelos extremos de un alambre'de ciertomaterial. (a) Hacer el gráfico de V enfuncién de 1. ¿Sigue el material la leyde Ohm? Estima¡ en el gráfico la resis-tencia del material cuando la corrientees de 1,5 A. Esta resistencia se definecomo el cociente LV/AI cuando las varia-ciones son pequeñas y se obtiene tra-zando la tangente a la curva en el puntodado, (c) Comparar sus resultados conIa resistencia media entre 1,0 A y 2,0 A.

76.44 El gráfico de la fig. 16-67 i lustrala variación del voltaje con la corriente(sobre una escala logaritmica), para dife-rentes temperaturas de un semiconduc-tor. (a) Estimar la resistencia del semi-conductor a las temperaturas indicadasy hacer el gráfico de la resistencia en fun-ción de la temperatura en escala semi-

#llf1"Flgura 16-68

640 C antpos electroma gnétícrts estattcus

(a)

Figura 16-66

lcqar i t rn ica. (h) Suponiendo qr:e ia r ' ¡ r ia-c ión er¡ ia resis iencia se debe lotairr ,¿nt¡a la r erirrr ir jn r: ;r el ¡rr irneri-r t ie ( 'úigas

¡roI l ; t tr i i i i t l dr voir lmen, trst i l l : :r el i : ,1-r i :nl l ¿lr ir l , sr: vr¡ ior a i i r . i { j t 'C r. sG r. i l ioaa ! i ) i l , ' { . .

T.4.i it,Á 16-é

i , amlr i l ' , voits

L). : l 1.0 l0 100 r0ü)1, m.\

f isura 10-67

tt i i : l pun ic . ?. coiocarr<1o así ia p, i lair; i1"róir en r: l circr¡ i lo , : iei galvanórnetrr,¡.{ - lu:urdo ia der ivación b cst .á a 0,36 dela r . i !s t r ¡ rc ia enire a ) ' c , cn ei galvanó-rJ ' i ' t ;u . r lcc cclo. 1a) uCuál es la di fe-rel ic;a r lc potencinl entre los exttemosdei resist.c,r oc? ib) Se pone el conmutadoren el punlo 1 v se lee nuevamente ceroen el gaivanónetro cuando á está :r 0,47ie la distancirr entre o y c. ¿Cuál es lalcr l dc la pi l :r :r?

i$". i8 T-a difcrencia de potencial entreic: terminalcs r le un¡r batei la es de 8,5 Vcu:. ir i r lo por el ia !¡!Sx ün{r colr iente de 3 ¿\¡ lrsr le r i ternri i ¡ai rregativo al posit ivr-r-Cu.lr lr lc 1¿ cori . i . :n1.e es r. le 2 A en sentidce or l r r ¡ ' ic , 1a i i i ie lc¡ tc i t ¡ de polencial se

t '

l ' isur¡ 16-t iE

hace igual a 11 V. (a) ¿Cuál es la resis-tencia interna de la baterÍa? (b) ¿Cuáles su fem?

16..1q En el circuito de Ia f ig. 16-70,detcrminar (a) la corr iente en la batería,(b) lrr diferencia de potencial entre sus

tof

iI

si9rof! l

i). l-r 1,75t, t ) 5,812,,4 ' ' i ,454,0 , 8,¡ : { i

l r ! . . i i ] : i r : icui to t le l l f ig.16- i i l scl i i , t j i . i 1¡ , j . r - - ¡ . , , , 1 l , r ¡ , ¡ ¡ / , r . r , , ¡ p. \ ( . ¡ i \ :1 l : . r I l i

¡ r i rd i l i r rs i -c l t 'nt ' i : i .s . I l t .mosl f¿rt { lur ; t : i ; i : : i -{ i , . : l3 ca':- l ' i , rntc : l t-rar ' , i : ; Ccl .¡r ivl l : : i i -¡¡ lr i r ' r l i l €ir ( '1 r i ; i ' t l r¡ tn' :¡ i i r qr i¿r j l is l iLirt i . ' r ' ') ) ' t t ' . r 's l ' . ' r r : l ¡ l t isrr t ' ; ; \ l r te i i f :¿: i ; . iacr;r ; r t r ; l r ; i , ' i i¿ . - ¡ i r r í1," j . , ' \s i - t l i : ; r . . i .1¡o-c(i l .¡ l i , ' , . , ,¡ c:ccit : i l te l l . , ' / ; " . F(i i l i ' i i tu: iobi .cn¿:r i i i ¡ i rs iste¡rc ia . [ i , .

1 i ; . , i6 l ,a f ig. l t j -61 ¡nu¡:st ; a ur l ¡ ;o1¿¡¿-ciót¡¡t trr,¡ usado prara n'rtrdir la Íeir i \ ' "de una pi la r; B es una baterla -\ , St es u j tapi la patrón de fem I 'st. Cuandr¡ el con-mutador se coloca en 1 ó en 2, sc lnuevela derivación D hasta que ci gaivanó-metro G marque cero. Dernostrar qtte sil . y / , son las distancias correspondientcsdesde b hasta a, entonces l ' , : I 's t (1r l lz) .

16.47 \rolviendo aI potenciómetro dela f ig. 16-69, la fem de -B es aproximada-mente l j V y su resistencia interna esdesconocid:r ; St es una pi la patrón cu-vafem es 1,0183 \ ' . Se pone el conmutaclor

100"c

Prcblenms 611

Flsure 16-6$

3\ ' , j t i cada pi la

Figura 16-70

Figuro 16.72

terminales y (c) la corr iente en cadaconductor.

16"50 Determinar la corr iente en cadaconductor de la red que se muestra enla f ig. 16-71

16.51 (a) Determinar la diferencia depotencial entre los puntos a y ó de lafr9" 1$-72. (b) Suponiendo que d y óestén conectados, calcular la corr ienteen la pi la de 12 V.

1ü.52 (a) En la l lg.-16-73a, ¿cuál es lari i ferencia de potencial yo¿ cuando elinterruptor S está abierto? 1b) ¿CuáI es lacc¡r iente : i i ravés del inte rruptor Scuando éste se cierra? (c) I in la f ig.16-73b, ¿cuál es la diferencia de poten-cial l /o¿ cuando el internrotor S está

Flguro 16-?3

abierto? (d) ¿Cuál es la corriente a travésdel interruptor S cuando éste estácerrado? ¿Cuál es la resistencia equiva-lente del circuito de la fig. 16-73, (e) cuan-do el interruptor S está abierto?, (f)¿cuándo está cerrado?16.53 Un conductor cil lndrico hueco,de longitud I-, t iene radios Rr y R2.Se apiica una diferencia de potencialentre sus extremos de tal modo que unacorriente 1 fluye paralelamente a su eje.Demostrar que. si o es la conductividaddel material, la resistencia del conduc-tor es

Llrc(R'zr- nb.

16.54 Un conductor ci l fndrico huecode longitud "L .t iene radios R, y Rr"

(1,)

Flgure 16-?l

l':3{.t v

60 6f¡

a

3a

t ' :36 V12 \ . , I f )

642 C an pos eleclranmgnélicos ¿:.siri l i¡:r;s

! .e rr¡r i i , : i i i r ¡ i r l ¡ l i fcret l ¡ ia <le i :o l"c i : i , i i l: ¡ ' , .r 'c l l i l st:¡ ierf icies inter;oi -r ' t :r ; lei iCr'r-rt rnoric { l i l r la cr irr ientr I f lu1': i tn di: te'c!ó,r r : l r l i : ; r l l ¡*r : i l ¡ e{ue¡ a. I }cr¡ t ¡ ; -s i . l ; ; ¡ i i l l ,: ¡ i , ; es in cor;rJ i r t t iv i i l f .d r lc l mrt+r i . : i ,r , t -a$jr t i , ¡ { ) ,3 r : , ln{ f r r ¡ l | i , } , i } :a} . .

r{ i i ' ¡ l . , i ' : ; \ t tr . i j : ,} dc irn gairrunri¡1lt ' t tr 1¡G¿.., !1,. , 1lr,¡ l : l i . ¡ ]el ;-r¡: ler,tr :<., i , : t . st, es,t.-r j i: . . ; i l .Ji i ' i ¡ ] , .¡ [er,! 9¡a¡r i i i ¡ ]a l¡¡ : i ¡c: l i e . : i. i i r ' . i r r ¡ . \ l . ¡ resister ' r ' ia t l¿: l : i ¡ l i " 'a: . ,1: . - r : ¡ i i i ; ls i r !1. ¡Quó dr:be l ; r r ¡ rsc a: j tat-r:r i l : írrr ' ¡ t¡ ; tr i r j , (ü) rÉ un af i i i ,erí lnetrc) { l¡}c i . cu¡ i rada div is ién correspondl a 0,? . t .

{bt rrr ' : un volt . í i letro en cl cu¡1 c:r ' ja¡ i i i - ! " r l r i l r ccrresponda a 0,5 V?

1¿1.56 E) síoi ' , trnpere (stA) cs una irni i l :dt lr , cc¡r ie¡rte eléctr ica currespi)qCientc Í i .un stC por segundc. Evident"e¡:-¡erte1 , r :3 x i f )e stA, Demostrar qi¡ecuando el campo magnético se expresaen gr i rss lver problerna 15"53) l ¡ corr ientern stA, la <i istancia en cnr ! ' la densid¿ddc corr ientt ' ¡ :n sl-A cm-x, la ec. ( i6. i l7)se {onvitrt(r ert $ } i"d¿ == + x 10-'0 f l ¡ l¿ec. (15.75) es rol )J : ' l x 1i- i-10j.

1i i i r7 tr- l¡¡a unidsri i lara' e! ( irrrn; lu maíj-rrei. izenlc cs er ogrs/cri . Se <ief i¡ ,c c,: Iuc'ei c; inr¡;r i mlrgtret izan.le prudurit i l ¡ . ' r i runa r:orr iente rrrt : t i l ínea de J ¡r iúic : : tAen un punto s i tuado a iZ cm de la ccrr i , :n-te. (¡¡ i f)robar que t .r \ m-r es igurr i a1L >: 1(l-s oerstori . (b) Demostrar r¡ue elcarnpo magnetizant.e de una corr ienle¡ect i l ínea es - l : 21, /3 x 1010 r , cuando

'{ se mide en oersted, / en stA y r encm. (c) Probar que, en fr :nción de lasmismas unidades, la ec. (16.85) se con-vierte t : r r i { .d¿ - 4¡r I /3 x loto.

16.58 l i t c i i indro hrreco conductt ; r del : r f ig. 1 i ) -?.1, de rat i ios l?, ¡ - l i r , c( ]nr luceul l r ¡ i : , r r t ie¡ i t ¿ I nni fcnnenr¡nte dl : i r i -bulda t :n : : r r ser:c iór¡ t ransve¡sal . L, 'ga¡ idcla ley ,-1+: ¡\rnp,: iÉ. Ir ,rb;r i qi ie el canrpo

1{i - ?5

:rr:r¡nil ir.:c' : i l istancias r :- F¿ es Jj --=' , , .1 . ' ) - r , qrre el rami io para R, < r < I i , es

q}(rr -,- n;), ' : ' iR] * f i i),-,

1.: ( i1l€ ei i lc i{} I iaf: l r -

Rl.

. i i , . : , ' . ; ! . n l ;ab,lc cr¡axial se foi¡n: l lc-

' j , i : ; ,r ; :r i i ¡ ¡rr i {} i t iuci- i :r ci i indr"ico s. i l idoi-r. l 'ar1io l?, cttr i r in ci l indr, i condr¿r: irr ir : r , : . : ; i . i l < ie la. l io inte¡nr¡ I t* v radio..\ i ! ' ¡-r tc I ' . . ( f)g. 16-;5 r. En la práct. ir :a' ; : ' . r ; i : tc cnl ia ü. i l ]- corr ie¡¡te por ei catr lei i l i ¡r ic¡ q11€ rr.stresa por la capa extei ior.Us¡¡.dr '¡ la l t ,y de ,{mpére, deterrninarel canpc nragnél ico en puntos en lasdjst intas regiones dentro

-v fuera dc|

cabie. Flacer el gráf ico de / j en funciónde r. Sr:poner' {rre la clensidad de comien-te es uni forme.

l i i . ¡¡6 I-a tabla 16-6 da medidas experi-mentales t le la susccptibi l idad magnéticadci aluinbre de amonio ir ier¡o. I{acerun gráfico de 117,* e¡r función de la tem-¡rrr¡t .ura absoluta ) ' determinar si valel.'.r le^-v tle Cr.rrie. Iln caso afirmativo, ¿cuáles la cc¡n: t¿rrr te Je Cur ie?

x.t BLA f r i "¿¡

--,2581n2

-7327

75,4 >:10- '11,3 x 10- l

5,65 x 10-a3,77 x 10-{

16.6i Usando el operador V : u'(7lAr)-¡ uuQ/7y) ¡ u,(0i02) definido en lasecci¡ in 8.7, demostrar que se veri f icanl.: . i : s:grr ir : i t tes identi i lades: r i iv ut -= Y. A,roL - . ! . - V x l .

1d.t), : L,srr irclr. , ei operador V, rcesr:r ibirl :rs *r, t¡ ecirrrtr : : , <l i lcre nciales de! caurDo

eiectromagnético que apar:ecen en latabla 16-4.

16.63 Usando el resul tado def prablerna16.61, probar que rot grad l ' : V x(VV) :0 v t ¡ue div rot ¡ t : V ' (V x a): 0. Dos resultados importanies se de-ducen de estas i t lentidades: uno cs que,como para el campo electrostát ico d :- grad V, entonces rot d : V x f : 0;

16-76

este resultado se estableció en la ec.(16.7S). La otra es que como para elcampo magnético div'U : V.()l : 0, en-tonces existe un campo vectorial s{ talque T :9 x s{. El vector de campo slse llama potencial vectorial del campoelectromagnético.

16.64 Demostrar que el potencial vec-torial de un campo magnético uniformees gl : * Zl , r, [Sugerencia.' Suponerque ?l está según el eje Z. Obtener lascomponentes cartesianas de -cl y luegohallar v x s{.1

16.65 Probar que en un medio en elcual existe una corriente eléctrica uni-forme de densidad constante, el campomagnético es ? : *¡r¿J x r. fSugerencía:

Problents 64:3

Verificar qr:e vele la relación ¡'ot ?l -Yx'?J:poJ. j1{i.66 Escribir el operador Vt : V.V.l,uego. demostrar que la ecuación deLar.iace (16.7) y la ecuación de Poisson(X6.6) se pr¡¿ds¡¡ escribir. respectiva-mente como V2! ' - . 0 y VzV: -p/eo.16.67 En una cierta región el módulodel campo magnético 'IJ es 2 T y sudirección la del eje positivo X de lafig. 16-76. (a) ¿Curái es el f lujo magnéticoa través de la superficie aócd de laflgura? (b) ¿Cuál ei el flujo magnéticoa través de la superficie belc2 (c) ¿Cuáles el flujo magnético a través de lasuperficie aeld?16.68 Determinar el f lujo magnético através del circuito rectangular de la fi-gura 76-77 cuando por el alambre rectofluye una corriente .f.

Fleura l6-77

16.69 Introduciendo en la ec. (16.78)el valor de (X dado por la ec. (16.83)probar que rot Q( : ¡ro(Juure * rot ?/l).Interpretar este resultado como indica-ción de que el efecto de la magnetizacióndel medio es equivalente a la adiciónde una densidad de corriente de magne-tizaciÓn Jm : rot cll(., a la densidad decorriente libre.

b--.

17CAMPOS

FILT C T'FT Ü&,f AT}NETI C O SIltiPEniDiENT'}rlS IJEL TIEI\{PO

17.I lntroduccíón

17.2 l.eg de Faradag-Henrg

17.3 El betatrón

17.4 lnducción electramagnétíca rlebida al mouímíento relatiuo

de un conductor V un calnpo magnético

17.5 lndu.cción eleetromegnética g el príncípío de relatíuídad

17.6 Potencía! eiéctrico e induccíón electromagnétíca

17.7 Lery de Faradag-HenrA en forma diferencíal

17.8 Autoínduccíón

l7.9 Energía del campo magnétíco

17.10 Oscilaciones eléctrícas

17.11 Círcuitos acoplados

17.12 Príncípio de conseruación de la carga

17.13 Leg de Ampére-Maxwell

17.14 Leg de Ampére-Maxtuell en forma diferencial

17.15 Ecuacíones de MaxweII

17.t)

17.1 I'lr,trod,uecíón

Ley de fr-aradug-ller'rt¿ 616

lin ei capitulo- anterior con$iCrri:lnos campos eléctrjcori y inagrrétjci,s indepen-{iectes tlel t iernpo o, en otra.: i;alabras, i 'siáticos..Jln esti: eapitrr. lc co¡ls;dera-rernos oanipos qu€ dependen <i'. ' . i t iempo, es rlrcir, r lue varian en el t iempo. Po-demos esperar que existan nuevas relaciones ;n r;ste caso" Hn la :;cc;ión 15.12virnos la íntima relación entre las pertes eléctriüa y magnética de un campoelectromagnético, especialmente en lo que se refiere a las propiedades Ce tranrfor¡nació¡¡ riel campo electromagnético exigidas por el principio de relatividad.En este ,:apítulo veremos que un campo magnético variable exige la presenciade un eampo eléctrico, e inversamente: que un camprJ eléctrico variable exigeun campo magnético, y que esto es también un requisito del principio de rela-tividad. Las leyes que describen estas dos situaciones se denominan leg de Faradag-Henrg g leg de Ampére-Marwell

77.2 Ley d,e Faraday.Henry

Uno de los muchos fenómenos electromagnéticos con los cuales el estudianteestá familiarizado es la inducción electromagnética, que fue descubierla casisimultáneamente hacia 1830 por Michael Faraday y Joseph Henry, aunqueestaban trabajando independientemente. La inducción electromagnética es elprincipio sobre el que se basa el funcionamiento del generador eléctrico, el trans-formador y muchos otros dispositivos de uso diario. Supongamos que se colocaun conductor eléctrico en forma de circuito dentro de una región en la que hay uncampo magnético. Si el flujo magnéüco oo a través del conductor cerrado uarfaen el liempo, se puede observar una corriente en el circuito (mientras el flujo estávariando). La presencia de una corriente eléctrica indica la existencia o inducciónde una fem actuando en el circuito. Midiendo esta fem inducida se encuentra quedepende de la rapidez de variación dasidt del flujo magnético. Por ejemplo, sise coloca un imán cerca de un conductor cerrado, aparece una fem en el circuitocuarldo el imán (o el circuito) se mueve de tal modo que cambia el flujo mag-

'lr ) G aumenta

Fig, 1?-1. Campo eléctr icot iempo : (a) du.s ldt posit iva,

(b) 6 disminuye

prorlucido por un campo magnético dependiente delVs negativa; ($ dÚspt negativa, Vs posit iva.

646 Campos electromaqnrllcos rleptrt,!;e¡tic.s dei l ietnr¡o (17.2

nético a travér di¡ l t ' . in:uito. I l l v¡r irr i 'ai¡¡olu.t ' , ' ue l :r i :n,- inducir ia depende dc si el

i rnán (c r i c i r r : r r i to) s( , i r i i i r 'vr rá¡ , ida () l€ i l tcrrrür¡ i . t - ( l l rnnio Í I i i i - ! 'or sr- :a la rapidez

¿. r '1¡ js¡ : i r i i r i le i Í l r . : j l , : : l r ' ; ! : i 's l t ' i . i¿r { ¡ r , ' . i r ¡ducida, I - l s , : l i i , idt i en oue act¡ i¿t ia fem

i¡rcitrcldr¡ t 'ai i" , l i ia seir i i r i cüt, el t :enr,rr; I I) l i i : ' r t : . ' l . ia{, ! i r i : t t t t l l l .e ¿¡ r l isrninuve'

P. ' i .rr ! i : i r i 1i ; i ' : r i )rcr: ir ; i ls, : iJ, l ' : i i i ; l ¡ ' , : , is á l :r i l , :-" i7 I" r j¡ ; l l¿Je, sc ha o¡ ' icnt-at1i l la

i : t ¡T ' i t ¡ , , : . : , , . : i l l iJ l : r . . ' t t i : ¡ : ' {J iar . i r l ' ¡ , 'c¡ ' l i ¡ l l l . i0, t - ' , ¿! t r : ; r , e¡ l e l re¡1l i r l r ¡ r lc t ln

, r r i : ; . . l , : , , . 1, ' : " r i ' l : . j : ¡ ' : , i : . . : . : ' : r l . l ¡ : ,n i . l4 l '14{nt i f l t . l } J j . ( . l f . r ' l r lO

r 1 i l r ¡ t ' ; ' t ' ,1r l i : i l r : ) í : : . ; : r ' ¡ ' i : r i " ' , ' . " ' ' ' " t : : : t : : \ , r ' , . ¡ ¡ ¡ ' . ' - i ) , ]A i t ' in in¡ j r ¡ l i i l ; i ut ' /e

. t j , ' ; , : '1, j i j , i : , i r . ' , ¡ : i , i : . ' . ' . : j : ' , . : ; : , . i . : l - : t1. . ' : i ' r i ¡1tr l l :1: t i , ; ;n l ¡ f iÁ+; i¿+ ' ] i5¿'¡r¡ i i ' ¡g' , . : r : , , . : . : i ! ; . r . i , ! l ( , 1; t ' : { l i r ' : t , . i - ¡ : i , i , t . ' . , ; : ' ' , j . ; i . ; t { r : : l ; . , ' ¡ . i ' t ) f i r l fSnl¡¡ ¡ ' l c , i l ; ; :O

¿'

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F.igurr 1 ? -?

d* Ia i t :n ;nrJrrL' jda V¡ siemlre e:r {}L}uest{} l i l t lc d6.a/¿Jl. } iedidas Inás exactas

r; ' r ' i l ¡ r ¡ , . i l , r 'c l ' - ' , : j ¡ i i , -1e ia i , : : : r i l r tJ ' : t i ¡ ! i c ,s. i ; t l t l r ld* 3e i rxpfef ta en vol ts, igual a

ia {r.r ' i ' . l rC,; ; l t ' l i l ' , r j r : rn. i{r, ' ; , ;a,r i ¡ ; ' te{: l( ' i - i r ai ' l . i* t tr i rc, e: ' : , i }r 'esadl l en Wb s--r.

l: i ) {' | !t 5a.i'! :,,t r:i i. ¡ri:.,-lclttr)s tf,t,-; i-\ir

(1 7. i )

riu.r exli i .üsa la ler de Farutla¡,,-i leri¡ 'v i larl i l l irrducciórr {-rlectromagnétice, Er,palabra$ ia po<iem,rs estabiecer asi:

en Lrn cenpo mognétlca ttariabk s¿ induce unT fem en cualquier cibcuilc cerrud¡t, i¡¡ cucl !.-t igucl o ¡renos la leri.uqda cln respecto aItiempo dd fktjo magt¿eticl (\ traDés tLel circuilo.

Iis inrprrr"tante r¡eriJicar ' lu0 la ec. (1 7.i) ri rroi 'r-¡Datible en cuanto a rrnidades.

Sairrlro:; rlt¡e Vs se exprese c¡: \¡ ó ¡i2 krj )- '? (.-1. hecordemos (ie la secciÓn 1ü.14ill:e ri)r:i r,i r'xpresa en $,tb c ge:l ¡ii:l li¡r .s-' {"-' .lDi l,¡ tlue r-iítsi{l! se dei}e expresaTl:ri l l 'rt¡ ",-l r; seit l i .,? ki¡ s-? íl '-1. P'¡¡ ir tani.r--,. ír¡rl lo: nrirnibros de la ee. {17.1)es"t'. i i l crxllresarlog el las ¡¡rsrnas unidades,

;7.2') Leg de Faradeg-Henrg 647

Ilefir iéndonos a la ü9. 17-2, si dividimos Ia superficie l imitada por L en ele-inenios inflnite.simaies de área, cada uno orientado de acuerdo con Ia regle esta-r-.leciria en la sección 3.10, el f iujt r lagnético a través de l; es ós : Js 7J.u:t dS,ci¡nforrne a Ia sección 16"1.1. Ade¡nás, la fenr l/s irnplica la existencia dc un campoeiéct ico € ta l que V":út f "Cl , según ia er. i te.Oo). Podemos por lo tanioescribi¡ la ec. (i7.1) en la forma equivaiente

4 c.al :.L

lJ'¿¡u dS. (r7.2)

Oividemos ahora que el camino I- coincide con un conductor eléctrico tal cornoun alambre cerrado y consideremos en cambio una región del espacio en queexiste un campo magnético variable en el t iempo, Entonces la ec. (17.2) es equi-valente a decir :

un campo magnético dependíente ilel tiempo ímplicá Ia exislencía d.eun campo eléclrico lal que su círcu[ación a Io largo de un ca¡nínoarbitrario csrrado es ígual a menos la deriuada con respecto al tiempodel flujo rnagné!íco a traués de una superficie límitada por el caminc,.

Esta es otra manera de expresar la ley de Faraday-Henry para la inducciónelectromagnética. Da una visión más profunda del contenido fisico del fenómenode inducción electromagnética, es decir, del hecho de que siempre debe haberun campo eléctrico cuando ui campo magnético está variando en el tiempo,estando los dos campos relacionados por la ec. {17.2). El campo eléctrico se puededeterminar midiendo la fuerza que actúa sobre una carga en reposo en la regióndonde el campo magnético está variando. De esta manera se ha confirmado expe-rimentalmente nuestra interpretación de la ec. (17.2),

SJEMPLo77.L. Se coloca un circuito plano de N vueltas, cada una de área S,perpendicularmente a un campo magnético uniforme que varfa en el t iempo enforma alternada. l,a ecuación del campo es ')J : ') lo sen ¿,rf. Calcular la fem inducidae¡r el circuito.

Soluelón: El flujo a través de una vuelta del circuito es (Ds : S?1 : 5¡o t.tt ty el flujo total a través de las N vueltas es

Oo : NS )30 sen ol.

A,plicando la ec. (17.1) obtenemos entonces para la fem inducida

Vs : - ry

:- NSiJ6ro coscof,

la cual indiea que la fem inducida es oci latoria o alterna con la misma frecuenciaque cl campo magnético.

EJEIITPL{} ty,z. En una región del espacio hay un campo magnético que es para-lelo al eje Z

-v liene simetrfa axial, es decir, que en cada punto su módulo dependesólo de la distancia r al eje Z. El módulo lambién varia en el t iempo. Determinarel campo eléctr ico C en cada punto del espacio.

-d IdtJs

(17.3)

648 Campos electromagnéllccs dependienles Ce! tieritp0

(n j

Fig. l?-8. Campo eléctrico ¡rroducido portiempo que tiene simetrf a axial; (a) vista

(17.3

(b)

un campo magnético dcpendiente dellateral, (b) corte transversal.

Solución: Supongamos que el canrpo magnético decrece alejándose del eje Z. L,afig. 1?-3(a) muestra una vista lateral del campo y la fig. 17-3(b) una sección trans-versal.

La simetrla del problema sugiere que el campo eléctrico C debe depender de rsolamente, y que debe ser perpendicular al campo magnético y al radio vector r.En otras palabras: las lfneas de fuerza del campo eléctrico f son circunferenciascon centro en el eie Z. Eligiendo una de estas circunferencias como nuestro camino.Lpara la ec. (17.2), tenemos

v6:f¿¿.dl :C(2¡r) .

Por lo tanto, usando la ec. (17.1), obtenemos

(r7.4\

El campo magnético promed.io'iJ en una regién que cubre un área S se define comoB : éa/S o sea Os : 'ljs. En nuestro caso S : nr?, de modo que 66 : 'T{nrr).Entonces la ec. (17.4) nos da para el campo eléetrico a una distancia r del eje

{.(2nr) : - #

c: -+.1 dTi \ .' \d. t l

Si el campo magnético es uniforme, A : n.

77.3 El, betatrón

(17.5)

Los resultados del ejemplo 17.2 se han usado para diseñar un acelerador de elec-trones l lanrado betutrón, inventado en 1941 por el físico norteamericano D, Kerst.La idea e:r rnuy simpie en principio. Si se inyecta un electrón (o cualquier paltículacargada) en una regióa doncie hay un carnpo maguético variable que tiene sime,

I /.3) EI belat¡ón 649

tría -:xrai, el electrón será aceierado por el campo eléctrico asociado C dado pcrl.a ec. {17.2) o la ec. (1?.5). A medida que ei eiectrón gane velocidad, el campomagnético ?J cu¡vará sir trayect"iia. Si se ajustan los campos eléctricp y magné-tico en fonna apropiaca, la óri;ita del eiectrón será una circunferencia. En cadarevohrción el eleetrón gana energía, por lo qr:r después de describir varias revo-luciones se ha acelerado adquiriendo una energia determinada; cuanto urayorsea el núrnero de revoiuciones, mayor será la energía.

Para ver el problema con más detalle consideremos el electrón en el punto p(fig. 17.3). Si las cosas se arreglan de modo tal que el electrón describa una cir-cunferencia de radio r, el campo eiéctricoproducirá un movimiento tangencial quese determina usando dpldt : Fa (versección 7.12) con una fuerza tangencialFr : - e(, de modo que

+ : - eé : +,, (!+\. (12.6)dt - \d¿l

Para generar un movimiento circular, elcampo magnético debe producir la ace-leración centrípeta necesaria. El módulode la fuerza centrípeta es, según laec. (15.1), FN : etfl3. Usando pulr : Fy(ver sección 7.12), obtenemos

palr :eÑJ ó p:ef lJ, (17,7)

y derivando respecto al tiempo, teniendo en cuenta que ¡ es constante porque latrayectoria es una circunferencia, tenemos

Si comparamos ésta con la ec. (17,6), concluimos que la condición necesaria paraque el electrón describa una órbita circular bajo Ia acción combinada de loscampos eléctrico y magnético es que, a cualquier distancia r, el campo magnéticodebe ser

cY : lTj (17.8)

dontle * es el valor promedio de gg en la región entre Z y Z. Esto impone ciertosrequisitos en la manera cómo el campo magnético 7J puede variar en funciónde la distancia radial r al eje. La variación exacta de ri.J con ¡ se determina por elhecho de que es necesaria cierta estabilidad del movimiento orbit¿I. Esto es,dado el radio de Ia órbita deseada, Ias fuerzas que actúan sobre el electrón debenser tales que si se perturba ligeramente el movimiento del electrón (es decir, sise Ie empuja hacia un ladc o hacia otro de la órbita), las fuerzas eléctrica y mag-nética que actúan sobre el electrón tiendan a colocarlo nuevamente en la órbitacorecta.

L-.

Fig. 17-4. Tiempo de aceleración en unbetatrón.

dp ü3¿:el-d.t dt

Campos eleclrontagnéticos dependíente:s de\ liempt {17.3

(b)

Fig. 17-6. (a) Vista del tubo de aceleración y de las piezas polares de un betatrón.(b) Ensamblando el tubo de aceleración en un betatrón.

En general, el campo magnético tl3 es osciiatorio con una lrecuencia angular olAhora bien, de acuerdo con las ecs. (17.6) y (17.7), el electrón se acelera solamentecuando el campo rnagnético está aumentando. Por otra parte, como en la prác-tica se inyectan los electrones con momentum muy pequeño, se debe hacerlocuando el campo magnético es cero. Esto signil ica que sólo un cuarto del períodorie variació¡i del carnpo ntagnético sin'e para acelerar ios electrones. Los tiem-pos de ¿iceleración están indicados por las írrrras sombre¿¡das en la fig. 17.4.

o

L-

17.4) Induccíón electromegné!íct 651

El inomentum márjmo que ganan los electrones es, según la ec. (lT"I),

F*á, =.. ¡f l)c, y en consecutncia Ia ellergia ci¡rética mirxi 'ma de lus e le i :onesacele¡"ados es

E; | -., -

e2:2 If:.! ¡ ( ,ma.{-

2^" I ' rnx-

2*"

si no se los acelera a energías altas con respecto a la energia en reposo mrcz, Perocuando la errergia es bastante grande, comparable o rnayor que la energía enreposo m"cz clel electrón, debemos usar las ecs. (11.i8) y (11.20), con lo que resulta

-E¡,ma* : tV;'"t ' + er"tfo- ¡n"¿2.

Los betatrones consisten en un tubo toroidal (f ig.17-5) colocado en el camporeagrrético prcducido por un imán a cuyas piezas polares se les ha dado unaforma tal qlie se produzca la variación correcta del campo magnético /J con rccnfor¡ne a !a ec. (i7.8) y se satisfagan las condiciones de estabil idad. Los elec-trones se inyectarr al comienzo del peliodo de aceleración y se los deflecta aIl inal del mismo de modo r¡ue puedan incidir sobre un blanco situado conveniente-;ncnte. La energÍa cinética de los electrones se disipa como energia de radiación(capítulo 19) y/o como energÍa interna del bianco que se calienta.. Los hetatronesse han construido para energías de hasta 350 MeV. Se usan para estudiar ciertostipos de reacciones nucleares y como fuentes de radiación para el tratamientodel cáncer.

77.4 Indueeión eleetrornagnética debida aI tnooitniento relatitsode un eond,uctor A un eúmpo rnagnétieo

La ley de la inducción electromagnética, expresada por la ec. (17.2), implica laexistencia de un campo eléctrico local siempre que el campo magnético en esepunto esté variando en el t iempo" Si se la expresa por Ia ec. (17.1), implica Iaexistencia de una fem cuando el f lujo magnético a través del circuito varia en eltiempo. Iis importante descubrir si se obtienen los mismos resultados cuando elcambio de flujo se debe a un movimiento o a una deformación del camino L sinque necesariamente, 'IJ varÍe en ei t iempo. Consideremos dos casos simples.

Consideremos la üsposición de conductores i lustrada en Ia fig. 17-6, donde elconductor PQ se puede mover paralelamente a sí mismo con velocidad u man-teniendo contacto con los conductores R" y St/. El sistema PQRS forma uncircuito cerrado. Supongarnos también que hay un campo magnético uniforme 91perpendicular al plano del sistema.

Cada carga g del conductor móvil PQ está sujeta a una fuerza gu x ')J queactúa, de acuerdo con la ec. (15.1), según QP. Ahora bien, la misma fuerza sobrela carga sr podría suponer debida a un campo eléctrico "equivalente" é'"q dado por

qf "q

: 4a x tlT

f"q: o x ?t.

652 Campos electromagnéticos depertriíenles de! líempo

Como o y ?d scn perpendicu.lares, la relación e¡ttru los módulos es

F -- ,,11(,r :q- u rJ.

(17.4

(17.e)

Si P0 : /, hay entre P y Q una dilerencia de potencial V : Cuql :.)ul. Sobrelas secciones 0R, Rs y sP no se ejercen ruerzas porqlle no se mueven. En con-secuencia la circulación de f"q a lo largo del circuito p0Rs (o sea la fem) essimplemente Ve : V en la direccién de p

" .li, es decir

Vs :Y,Jul.

Por otra parte, si llamamos r al segmerrto sp, el área de pQRS es lr y el flujo

Fls. l7-6. Fem inducida en un conductor que se mueve en un campo magnético.

magnético a través de PQ,RS es

a* : |" (D.u,v dS :lJls.

., PORS

La variación de flujo por unidad cle tiempo es entonces

dbs d.^^. . - . .dx-dt : ¿

\ ' t ) t r ¡ - ' l ) t dt

Pero i lxldt: u; por lo tanto

d@s- *

: : l l lu:v¿'

En otras palabras: obtenemos la ec. (17.i). El signo rnenos no aparece porquesólo estamos consideranclo la relación entre módulos. Sin embargo, la ec. (t2.1)

xL),.--'%

17.4) I nducción eleclromagnétíca 653

sigue siendo váiida en cuanto a signo, ya que el flujo oo está aumentando y elsigno de Ve es el de o x (8, de modo que concuerda con la fig. 17.1.

Conro segundo ejemplo, consiCeremos un circuito . rectangular rotando convelocidad angular to en un campo magnético unilorme cll (fig. l7-7). Cuando lanormal uru al circuito forma un ángulo 0 : a;l con el campo magnético (8, todoslos puntos de PQ se están moviendo conuna velocidad o tal que el campo eléc-trico "equivalente" Cuq : n x (B estádirigido de Q a P y su módulo es Csq : rf}sen 0. Análogamente, para los puntos queestán sobre RS, el sentido de r: x ?J esde S a R y su módulo es el mismo. Encuanto a ios lados RQ y PS vemos que

a x cB es perpendicular a elios no ha-biendo diferencia de potencial entre S y Py entre n y 0. Luego, si PQ : RS : /,ia ci¡culación del campo eltictrico equi-vaiente C"q alrededor de PQRS, o seala fern aplicada, es

\,, : #"f .dr : c"q(PQ + sR) :

: 2l¡y,T sen 0. Flg. 1?-7. Fem inducida en una es-

[,os lacros ps y nQ no contribuyen a v6, H;?";itt#t" calqcada en un campo

prlrque en ellos deq es perpendiculara d! corno ya se dijo. Si r : SP, el ¡adio de la circunferencia descrita por lascargas que están sobre PQ y SR es |r, por lo que u : r(l¡) - *.r. Luego, como

S : ls es ei área del circuito y 0 : r,rl, podemos escribir

Ve == tl(1"'")?3 sen at : a(ü(b) sen .i : oqJS selr <¡f

para ia lern inducida en ei circuito como resultado de su rotación en el campo

:nagnétl,:o. Por ctra parte, el flujo magnético a través del circuito es

Luego

Verificamos entonces nuevamente que la fem inducida resultante del movimiento

del conductor también se puede calcular aplicando la ec' (17.1) o la (17.2) envez de las ecs. (15.1) y (16.60).

Aunque nuestro estudio ha tratado sólo circuitos de formas especiales, uncálculo matemático más detallado indica que para cualquier circuito

ta leg d.e Ia inducción electromagnélíca Vt :-dasldt se puede

aplicar bíen cuando Ia uariación del flujo magnétíco os se d.ebe a

Gs : c]3. u¡S : ?3S cos 0 : ?3S cos <¡1.

- ! !1: o,?js sen .ur : ve.dt

654 Campos electromagnéfii*s depen* icntes del lí,ernpa {17.6

una uaríacién del mmpo rnagnétict (1,J, hien cuündo se debe al moui-mienlo o a la d{ormación del circuilo a lo largo dtl cual se calculaIa fem, o cuando se debe a ambós.

La fem inducida en el segundo caso se suele denominar fem de mouimienlo.

17.5 Ind,ueción eleetrontagnética y el prinaipio de relatioid,ad,

A pcsar de que, como se indicó en el párrafo anterior, ia ley de la inducción elec-tronragnética expresada por las ecs. (17.1) y (17.2) es v¿ílida cualguiera sea elcrlgen ile la variación Cel i lujc nraglárico, hay una profunrla diferencia entrela¡; s¡iracioncs fisi i:as corresn.¡nr.l iei¡Ler a las dcs posibii idades. Cuando el obser-vador r.e:,,,.¡e el car¡i 'bio de i ir ja ¡ri:.: j¡rúiic+ ¿ tra.¡és de un crrcuito estacio:rario\jn sl. i l i lspiü sist*ma iirr leierencia s,, C|lr¡;¡ un¡r v¿¡' iació:r del c¿lmfro magnético': lJ,,nidr ¿tl rni;mo tie:npo iin cí.rnl)0 ¿lr:,. ' ir-¡:ri f ' relar,ionado tcn i l j en la fornra indi-cada p,lr la ec" (17"2), y reco¡roee la preserrtia del campo electrico midiendo laIuerza qutr se ejerce sobre: una carga en repaso en su sistema de referencia. Pero

Figura l?-B

cuandú el cbservador \:e que el cambio tle {iujo rnagnético se debe a un movi-miento del conduci,or respecto a su si¡tema de referencia, no obsetva campoeléctrico alguno y atribul'e la fem que mide la luerza aó x'-lJ ejercida por elcampo utagnético sobre las cargas del conductor móvil, de conformidad con laec. (15.1).

¿Cómo puede ser que dos situaciones diftrentes y aparentemente sin relacióntengan una descripción común? No es cuestión rie coincidencia sino estrictarnenteconsecuencia del principio de relatividad. No podernos entrar aquí en un análisismatemático completo; en su iugar, exar.ninarenlos la situación desde un puntode vista intuit ivo. Consideremos el caso dcl circuito rotante estudiado en conexióncon la fig. 17-7. En un sistema de relerencia en el cual el campo magnético cB

es constante (fig. 17-8a) v el circuito está rotando, ro se observa campo eléctrico

I i .7 i Le1¡ de Faladag-Henry en forrna difercntíai 855

:iiguno y'la fuerza que se ejerce sobre ios electrones del circuito se debe a laic, i15.1). Pero un observador fi jo a un sistema que se muevc con ei circuitove un conductor en reroso y l ln campo magnético ?3 cuya diiección rota en eltspacio (fig. 17-8b). l l .eiariunt r 'ntonces las fuerzas que actúan sobrc los elec-irones deJ circuito ccn el campo eiéctrico 1' ' i i ,,qciado con el camfo magnéticovariatole, eonforrrre a la iey ¡.le la inducción eiectromagnética según la expresala ec. (17.2)- (El análisis matemático de este caso es algo complicado porqueinvolucra un sistema de referencia rotante; por ello será omitido).

Co¡rcluimos entonces que la verjf icación experimental de ia ley de la induc-ción electromagnética para campos magnéticos variables es simplemente unareafirmación de la validez general del principio de relatividad.

17.8 Potencial eléctrieo e índucción electromngnética

En los capitulos 14 y 16 indicamos que un campo eléctrico f está asociado conLln potencial eléctrico V de tal modo que las componentes de C según los ejesX, Y y Z son las derivadas de V respecto a Í, y y z con signo negativo" Esto es,fr:-AVl1r, etc.; o simplemente: el campo eléctrico es menos el gradientedel potencial eléctrico. Una consecuencia de esto es gue la circulación del campoeléctrico estáüco a lo largo de cualquier camino (cerrado) es cero, propiedadque se expresa matemáticamente mediante la ec. (16.62) o

6 c'¿¿ : o.JL

Sin embargo, cuando el campo electromagnético depende del tiempo, hemosvisto que la ecuación anterior ya no es r'álida; en su lugar tenemos la ec. (17.2)

Concluimos entonces que en un campo electromagnético depenüente del tiempola circulación del campo eléctrico no es nula, por Io que dicho campo no se puedeexpresar eomo menos el gradiente del potencial eléctrico. Esto no significa queel concepto de potencial es completamente inapiicable en este caso, sino solamenteque se debe usar en forma diferente. De hecho se necesitan dos potenciales; unose llarna patencíal escalar, similar al usado en el caso estático, y el otro potencialueclorial. No tendremos ocasión de usar estos potenciales en este texto; los men-cionamos aqui sólo para señalar ai estudiante que cuando pase de los camposestáticcs a los dependientes del t iempo debe tener mucho cuidado acerca decuáles conceptos correspondientes al campo estático puede continuar usando.

17.7 Leg de Faradag.Henry en forma diferencíal

La ley de la inducción electromagnética, en la forma expresada en la ec. (17.2)se puede aplicar a caminos de cualquier forma. La aplicaremos ahora a un caminorectangular infinitesimal PQRS colocado en el plano XY y de lados dr y dg

{ "r 'or:

- *J"?r'u¡v ds.

656 Campos eleclrornagnéÍicos depentlienf¿s d¿,l titrnpa {17.7

(f ig. 17-9). Debernos calcular primeranrente la cir.;ulación del campo eléctrico C,El procedimiento es similaral que seguimos en la sección 16.13 cuando estudiamosla ley de Arnpére en forma diferencial; ios detalles los encontrará el estudianteen aquella sección. Para la superficie infinitesimal PQfiS en el plano XY podemosescribir

d c.dI : l + i + i + i c-dt ."PoRs JPQ " 'QR Jr ls JsP

Ahara bien, $9n C.dI : (ody y Jspd.d. t : -€ 'ur)g, d 'e modo que

tfaf ,I + | c"dl : (r"u - cí,) du : df,,¿u : !-! dr, dy.

J ¡r i t . 'sr ' " 0t

Esto es así porque d(,u : (.ACslAr,) d.r, va oue dóy es el incremento de C!, corrcs-pondiente a dos puntos separaclos por i:: i i i¡ta¡rcia Cr y que tienen los mismos

l] y z, Podenios escribir análogamente

Flg. 17-9. Ci¡cuito elemental para de-ducir la forma diferencial de la lev deFaraday-Henry.

t l 2F

| * l c .dI :_- ' l -¿ '¿s.Jpe Jns og

Sumando los dos resultados. obtenemos

- /2.cr . r \ó c.¿t : (+s-" ! ' laras., poRs \ dir oa I (17.10)

A continuación debemos calcular el flujomagnético a través de la superficie. Co-mo la superficie PQ.RS está en el planoXY, su versor normal uN es simple-mente u" y ctl.?rN :'T),tt, -cllr. E\consecuencia el flujo magnético es

I ü.?r.vds:c) .J,drdg, (17.11)J Pons

ya que drdy es el área del rectáaguio. Sustituyendo las ecs, (17.10) y (17.i1)en la ec. (f i.2) y cancelando el factor común dr dg en ambos ¡niembros, obtenemos

ocr f'lJ"0g at

rectángulo en los planos

a€uAr

Colocando nuestropresiones:

o(, _o(u :_FIJ,0g 0z At

_a!t _ a(z _ _ a tia0z 0r At

(17.r2)

YZ y ZX obtenemos otras dos ex-

(17.13)

(r7.r4)

17.8)

El ccnjunto de

FaradaY-HenrYley de AmPére,

Autr¡ind'ucción 657

las expresiones (17'12)' (17'13) y (11'1,? ,constituve

la ley de

en fcrma diferencial' óo^o '"'hizo

en la sección 16'13 para la

se pueden combinar Jt" unu-tof" ecuación vectorial escribiendo

aclSrotd:- at ,

Fig. 1?'10. Fluio magnético propio en

un circuito.

Fls. 1?'11. Sentido .de la tem

ináuci¿a en un circuito'

(17.15)

La ec. (1?.15), o sus equivalentes (17.12), (1?.13) y (17.14)'. expr:sa las relaciones

oue deben existir ""#."i;'l;;i""ir ,".;u;,o'ui'ri"*po del campo magnético en

$",;;,;;";;rltli.l*Hi*$J;""'Hl'ru*;::f 3J:':,ilHj';de una manera obvra la t ' l""tt" '"^]-*-,-^

magnética de un campo electromagnético'

17.8 Autoiniluceión

consideremos un circuito-lor el.uu1^c1::t: "tu corriente tilÍ-}t'to)' l)e acuerdo

i"""i^'iü'ln¡:"'"T,"r,lT;;:lh5m::,""rf f XU:nT:"'":t.l.iil:punto es Proporcronicuito debido

^ *o p*fio campo *"gr,eti.l v'ri"i""r"

"¡Iu¡o p'opio' Este fluio'

''(1",,' t ' i\,i

I en aumen(¿)

,,['it i\ . i

en disminución(b)

LO

que designaremos con O¡. es entonces proporcional a la corriente I por lo que

podemos escrrbtr (12.16)

Q7 : LI '

Elcoef ic ienteLdependedelaformageométr icadelconductorysedenomrnaauroiínd.uctancic del tittuito' Se expresa ¡

il ¡-1' unidad llamada henrg en

honor de Joseph Henrv v q': :: "1':':?, il;';'; u : wl A-r : mz k8 c-2'

Si la corriente I va¡ia-en- el tiempo' tf tf"¡J*áq"etico @-l a través del circuito

ta r nb ié n v a rí a y, d - ii ;", J; ;; I : I i:1,::' ij l*:'ruft'fffiil:H'X;': J l'lH:;;;-f.* en el ci¡cuito' Este caso especrar

658 Campos electromagnéticos depenrlientes d.ef tíempa (17.8

autoinducción. Combinando las ecs. (17.1) y (17.16), tenemos para la fem inducida,

da.t . dI'v , : - - - :-dtdt (r7.17)

El signo menos indica que y¿ se opone a Ja variación de corriente, AsÍ, si la co-rriente aumenta, dlldl es positiva y yL se opone a la corriente (fig. 17.11a). Sila corriente disminuye, dlldt es negativa y V¿ actúa en el mismo sentido que laccrriente (fig. 17.11b). Por lo tanto V¡ siempre actúa en un sentido que se oponea la uariaci¿in de corriente. Cuando escrlbimos la ec. (17.17), supusimos que elcircuito era rigido por lo que consideramos L constante al derivar respecto altiempo. Si la forma del circuito es variable, L no es constante y en vez de Iaec. (17.17) debemos escribir

(17.18)

Para indicar en un diagrama que r:n ronductor t ien¿ una inductanc.ia apreciables{ usa el sím}¡olo rnostraclo en ia fig" 17-12 Sin en'lbarg+ debemos hacer notarque la autoindr.tctancia de un r:ircuitl ¡ io r:slá cr:ncrrrtrad¿ cn un punto par-ticril;rr i:i:ri <¡u': e9 una propierJaii dr¡i crrcuito ¡:omo un tor-lo.

Fig" t i . i* , l i rFrr- lrcntación dc :¡nü ¿¡r i i -oinrj ' ¡clar¡cia. --:- /TlTStL..

a,J* ' . ¡ Í f j }¿{} ¡ : : .J1" I1s:ablel i r l , i rn i i . ] . j Í r i t r i i . i j r { : ,cr i l .e * : l i in Í i r i t t i l .A"

i io l rÉ, : ' iótr . ' { l : ,a¡ : - iü rc aFl lca ür:r- i i ' r .^r : ' : " ¡ , ¡ - ! . i : . c l t<t ' r : i . i l i - ' r i iá i t \ lo ! ¡n t r tetr l ! l l ! ,úr

i , i i l , l ; ' i1:- ! , ¡ ¡ : t ; ¡ ¡ i | l i t f ! : , r , ; , r lL: t : ¡ ¡ , . . : l i '1 , :ar i1;r i r i : j : ] { - ' : ; ' i . ; ' t i r ,¿}¡ , ¡ ¡ r : : i l - i *or iespondietr t '¿r l i l l i r lv d l : { - r . ' ; * : , i i . ¡ t } i l f . !¿ t . . i i ' i1a: :" . ; . r ¡ ; 'á, ; " ; , r l ¡ ¡11 í r i ( : , ; ¡ r t f r ;Xrtr ; : ! .1. ,1 ' : : r : t t i i i fOf¡Utf l tc i l i la i la i r l { i j .L i , . l i r } : i ' ' } : ' ¡ . ' r - l : i ! ; ) .JL, . : l : : l i t ' : , , , " St : t l i ; ¡ - ' t { i t r Í í : } . r : . l l r lUCiCj¿t i ' ¡ , Qüt t i ¡ ;í . ' ¡ .1üi l r i I i l l . , -¿f i i ¡ l iór : r ie lú r : t , ' : : : i ¡ : : f i t . , ' i j -q1. i

i r i?Sei i ie i . i r ie: t i i ' : . : i l : : i : t , l f i tnte aütylet l t Í l

Flg. 1?-18. Circuito eléctrico con una re-sistencia y una autoinductancia.

vL:- !on.

desde cero hasta suentonces \rt: -l- Vt :

RT --

valor ffnai ccn$tante. La fem total aplicatta al circuito esVc-L(dI ld l i . La ley r ie Oirrn es.ahora

Vt, * 1/r ó f i I - Vc - L(dI idtJ. (17.19)

17.8'

Esta última se puede escrilrir en la formalas.¡ar iablesJyf ,

dI l t . .¡ - l / tn- : - -

-4 l

Ai integrar, teniendo en cuenta que para f

nI:-L+

/tutoínd.uccíón 6a.

n(/ - Velft) : - L{dIldt) o, separando

: 0 !a corriente es nula (/ : 0), tenemos

*1,0,

in (/ __ VslR) - ln (- VslR) : - (RlL)t.

Recordando que ln er : t, tenemo$

r - Vu- ,a - ¿-RtlL;,l : o \ r -c ) .

El segundo término Ou, n*rérr,.ris disminuye con el tiempo y la corriente se apro-xima asintóticamente al valor VelR dado por la ley de Ohm (fig. 47'14). Si R/¿es grande, la corriente alcanza este valor muy rápidamente, pero si Rp es pequeñopuede transcurrir un largo tiempo antes de que la corriente se estabilice. El estu-diante puede reconocer la similitud matemática entre la expresión de I y la de laveiocidad de un cuerpo cayendo a través de un flúido viscoso (ejemplo 7.8) si seestablecen las siguientes correspondencias: Vs ++ .F', L++ s y R<-+ K4.

FtS. 17-14. Establecimiento de una corriente en un circuito.

EJEMPLGI7.4. Estudiar la caida de la corriente en el circuito de la fig. 17-15cuando se mueve el conmutador de la posición 1 a la posición 2.

Éolución: Si el ecnmutador ha estado en la posición 1 durante mucho tiempo' po-demos $uponer que la corriente en el circuito ha alcanzado su valor l lmite (o esta-cionario) Ve/R. Moviendo el conmutador a la posición 2, desconectamos la femaplicada sin abrir realmente el circuito. La única fem que queda es Y¡': -LdIldty la iey de 0hro establece que

f I d l

Jo ¡- ve/R

ó +:-*o '

660 Cantpos eledronngnéticos dependientes del tiempo (17.8

Si contamos el t iempo (l : 0) desde el instante en que se desconecta Ve del cir-cuito, la corriente inicial es Va/R. Integrando tene¡nos

r ' dt : - ! l '0,Jvt/n I L Jo

o sealn / - ln (Ys/R) : - (RlL)t .

Eliminando los logaritmos tenemos

I : (Vtlft 'S¿-Rttt '

I:a corriente decrece exponencialmente como se muestra en la fig. 17.16. Cuantomayor es la resistencia -R, o menor la inductancia I, más rápida es la calda de lacorriente. El t iempo necesario para que la corriente caiga a 1/e, o aproximadamente63 /o, de su valor inicial, es r : l /R. Este tiempo se denomina tíempo de relajamienlo.

Fig. 1?-16. Dispositivo para eliminar lafenr aplicada a un circuito sin cam-biarla resistencia.

EJBMPLO 77.5. Un circuito está compuesto de dos láminas metál icas ci l fndricascoaxiales de radios a y b; por cada una circula una corr iente f pero en sentidosopuestos. Calcular la autoinductancia por unidad de longitud del ciróuito (f ig. 17-17).El espacio entre Ios ci i indros está ocupado por una sustancia de permeabil idad p.

Soluclón: En el ejemplo 16.18 se obtuvo para el cat.¡tpo magnético de esta disposi-ción de co¡r ientes: B - u. l lZrr entre los ci l indros ¡¡ cero en el resto del espacio.Aquf, r le confor¡nidat l con la sección 16.16, henroi reemplazado ¡ro (usada en elejemplo 16.18) por p, ! [ue es 1a pernreabil idad de] medio que l lena el espacio entrelos dos ci l indros. Para cclcula¡ la autoinductancia debemos calcular ei f lujo mag-nético a través de cualquier sección del conductor, tal como la PQRS, que t iene

Vt-t

0.63+K

o

Fig. 1 ?- 16. Caícla de la corr iente cn un circui lo r lesoués de desconecta¡ la fem,

1/.3) EnerElc dei campo nragnélicc 661

lcngltud i Si dividimos esta sección en tiras de ancbo dr, el área de cada tira esf d¡. Et campo rnag;rético rl3 es perpendicular a PQftS. En consecuencia

o,: | ? i ' rs: ¡ ' ( -e{-) ' l raa- Jpc¡s Jo\Znr)

:pI¿ [odr: n l l tnD.2n Jo r 2r a

Por lo tanto la autoinductancia de una porciónde longitud I es

- ó¡ r,¿l . bL:- : l f i -

I2pa

r I IYt.I : RI2 + LI -'

dt

:LIdIdt

u* : Il' dEs : !' u ar : tLIz.

(r7.20)I

I Iú

y la autoinductancia por unidad de ldngitud seráQ¡.l2zr) ln bla.

Flguro 1?-17

77.9 Dnergla d,el compo tnagnético

Hemos visto en la sección 16.10 que para mantener una corriente en un circuitose debe suministrar energia. La energía que se necesita por unidad de tiempo(o sea la potencia) es Ve 1. Ahora bien, podemos escribir la ec. (17.19) en la forma

vs: R/ + L+-'d t

Multiplicando esta ecuación por .I tenemos

De acuerdo con la ec, (16.53), el término R12 es la energia consumida por unidadde tiempo en mover los electrones a través de la red cristalina del conductory que se transfiere a los iones que forman la red. Interpretamos entonces el últimotérmino de la ec. (L7.21\ como Ia energía que se necesita por unidad de tiempopara establecer la corriente o su campo magnético asociado. En consecuenciala rapidez de aumento de la energía magnética es

dEs

(r7.2r)

(r7.22)

dt

La energía magnética necesaria para aumentar una corriente desde cero hastael valor .I es entonces

' i t II 11 i.-; l ! ' -

..,*---+t, --tI

- -J--- .l , r - tYlra

"---i-,

662 Carnpos eleclromagnéticos dependíentes del liempo (17.9

Por ejemplo, en el circuito del ejemplo 17.5, la energÍa magnética de una secciónde longitud I es, usando la ec. (17.20),

I, : vII' ln b

4ra

La energía magnética Es se puede también calcular empleando la expresión

un:*(# ' '+)

(r7.24)

donde la integral se extiende a todo el volumen en que eúste el campo mag-nético y du es un elemento de volumen' Por ejemplo, en el caso del circuito dela ftg. 17-17, que se ha dibujado nuevamente en la fig. 17-18, el campo magnéticoestá dado por ?1 : gI lZt. Si tomam(.)s como elemento de volumen una capa

ciiintlrica de radio r y espesor dr, enccntramos que su volumen es du : (2rr)I dr.

Sustituyendo en Ia ec. {17.24} y recordando que el campo se extiende sólo desder:d hasta Í :b, encontramos que

I lb / uI \2 vllz lb dr vllz . bu*:* J,( ; ; ) {z- t ,d,) : : íJ J, ; : i ; - t '7,Obtenemos por lo tanto el mismo resultado que en la ec. (17.23).

Podemos interpretar la expresión (17.24) diciendo que la energia gastada enestablecer la corriente se ha almccenado en el espacio circundante, de modo que

a un volumen du corresponde una energia (c/,ylzv\ du, y la energia E6 por unidadde volumen almacenada en ei campo magnético es

E": + !wou,

un: *rw.

, , l ro ^ USen0u:---

A-'n2

(r7.23)

(17.25)

Aunque hemos justificado la expresión (17.25) para la densidad de energía mag-nética usando un circuito de simetrÍa muy especial, un análisis más detalladoque no se dará aqui, indicaría que el resultado es completamente general. Cuandohay tanto un campo eléctrico como uno magnético presentes, debemos considerartambién la densidad de energia eléctrica dada por ia ec. (16.40), por Io que la

energía total por unidad de volumen en el campo electromagnético es

s: \eü* (r7.26)

aJDMPLO 77,6. Obtener la energía del canrpo magnético de un electrón que semueve lentamente y anal izar el resultado.

Solución: Según la sección 15.11, una carga que se mueve lentamente produce un€mpo magnético cuyas l ineas de iuerza son circunferencias perpendiculares a ladirección del movimiento y cuyo mórlulo es, segi in ia ec. (15.53),

I' aYrz

9,,

í 7.t])

Figuro 1?-18

Energla del carnpo maqnáticc 663

2-,¡r sen 0

Flgure 17.19

con q : - ¿ para un electrón. Supongamos que podemos usar eI modelo burdodel electrón introducido en el ejemplo 16.14, donde R es el "radio" d.el electrón.La energia del campo magnético en el exlerior de la carga se obtiene usando laec. (77.24), extendiendo la integral a todo el espacio luera de la carga. Tomare¡noscomo elemento de volurnen al anil lo i lustrado en la fig. 17-19. El mismo tiene unperfmetro igual a 2rr¡ sen 0 y su sección transversal tiene lados dr y r d0, por logue su área es r dr d0. El volumen es

dD : perfmetro x sección transve¡sal : 2¡cr, sen 0 d¡ dg.

En consecuencia la ec. (17.24) da

# [ J' (* "#-g)' '*"sen o d¡ do

- 0", , f* + f ' r .n,odo:* lp +g-)r , .l f j r r ' Jn r 'Jo 2 \4:r 3R I

Este resultado no da la energla magnética total porque tenemos que agregarle lacoritribución debida al campo magnético dentro de la partlcula cargada, que a suvez requiere que conozcamos Ia distribución de carga dentro de la particula. Detodos modos el resultado anterior da una estimación del orden de magnitud. Lacaracterlstica más importante de .Eo es que depende de u2 por lo que recuerda laenergla cinética de una partfcula cuya masa es

po 2q,m: L-

4* 3R'

En el caso del e lectrón, q:-e y m:me d€ modo que

!¿o 2ez 7 2e2rr l .=: :41 3R 4ne¡ 3Rc2'

donde hemos usado la ec. (15.55) para el iminar ¡.r ,0. Despejando R obtenemos

^ 2( e2 \o :

' . \ * ;F):1" 'donde ¡e es el radio del electrón defi¡r ido en la ec. (16.45). El hecho de que nuestrocálculo burdamente aproximado dé un resultado del mismo orden de magnitud

664 C¿n¡ Iros ei rctr a t n a 11 nél i i'o.r dtrp erlr.-: i r tzl t :: dt I I i¿,-n,nL: {17.1t}

quc el del e¡emuic 16.i ,1, cionde cbtuvirr,r-rs R -: j , ' - . e: una ¡rueba de la compa-t ibi l idad de rnri ,¡stra teoria ya t¡ue sólc se purrle i :si i rrrar ei ori ien de magnitud.Si combinamos el presente resultada con el t iel cje¡¡ ir lo 16.14, parece razonablt:pensar que la e nergia en reposo ¡ i .e i¡ ; ia ' i :artícula cargarla esiá asociada ccn la energíade su campo eléctr ico, mientras r¡ue la energía cinética corresponde a la energla delcampo magnético, I is lógico pensar t lue ios campos a.srciados con las otras interac-ciotres que existeu cn la natrrraieza tambi(:n contr ibuven a las energias en reposoy cinét. ica de una part lcula. Sin ernbargo, rrusstrs conocimiento incompleto de esasinteracciones no nos permite al presenl-r: dar una respuesta definida. De hecho, elproblema que hernos considerado, ?anto rn ei ejemplo 16.14 como aqul, es lo quese denomina la determinación de la erLergla propiu del electrón. El propósito denuestra discusión de este problema ha sido el de presentarlo al estudiante, Si de-seáramos tratarlo en forma apropiada, deberiamos emplear las técnicas de la me-cánica cuántica en un nivel muv superior al de este l ibro.

17.70 Oseilaeiottes e\éetrdeas

I-Iernc's visto en divcrsas ocasiones que hay tres parámetros que caracterizan ell iujo de electricidad a travós de un r.ircuitr; eiéctrico: la capacitancia C, la resis-tencia R y Ia autoinductanci¿r 1,. Analüalemos ahora el modo en que los tresjuntos tleterminan ia corriente producida por una fem dada. Suponiendo que lacon'iente 1 en el circuito de la fig. 17.2t)(a) está en el sentido indicado, aparecencargas q y -- q en las placas del capacitor C tales que

I : dqldt. (17.27)

Estas cargas producen una lem Vc : qlC. EI signo mrnos aparece porque la femse opone a la cor¡iente ,¡ corno resuitarlo de la tendencia del capacitor a descar-garse a través del circuito. E,n le inr-luctancia l, ha.v otra fem Yr:.- L(dlldt)conÍornie ¡r la ec. (17.17)" Pueqle habcr adeni:1s alguna otra fem aplicada al cir-cri itc, tal cti.¡..o la i '-¡ mostrarJa cn ia fig. i7.20(h).

(a) Osci/ccír¡ne.s l iÓ¡es. Consid¡, 'rarcmos prinrcro cl caso crr que están presentessóltr las dos fem l '¿ :.. I 'c. i lr¡ tst.¿ cÍrsc la col'r iente se inicia cargantlo el capacitoro variando el f lujt i magnélicr-r a traves dc la i¡ iciuctancia c intercalando y di:spués

Figura 17-20

t / .10) Oscilaciones eléetricas 665

desconectando (como en Ia fig, 17-15) una fem externa. Por lo tanto, aplicandola ley de Ohm, ec. (16.64), tenemos

RI:Vr*Yc ó R¡:- t#-+ (r7.28)

07.n)

Derivando la ecuación respecto a /, tenemos

^dI , d, I I dqI t - : -L-

dt dtz c dt

Usando la ec. (17.27) y pasando todos los términos al primer miembro de la ecua-ción, obtenemos

L üI + RlLdF di

+l¡ :0.'C

Esta es una ecuaeión diferencial cuya solución da la corriente 1 en función de l.Los parámetros Z, R y C caracterizan el circuito.

Ahora bien, esta ecuáción es formalmente idéntica a la ec. (12.51), corres-pondiente a las oscilaciones amortiguadas de una partícuia, si establecemos lassiguientes correspondencias .L e m, R +-r r, l/C<-+k. En consecuencia, todas lasexpresiones dadas allÍ se pueden aplicar en este caso. Las cantidades 1 y <o defi-nidas en las ecs. (15.52) y (12.5$ son ahora, cuando R2 <4LlC,

' r :Rl2L, . :VW-rc¡+ü, (17.30)

y la corriente está dada en función del tiempo por la misma expresión (12.54),que escribimos ahora en la forma

I : Ioe-f, sen (tof { al (17.31)

Fig. 1?-21. Variaciónt iempo; (a) cuanrto R2

de Ia corr iente de descarga de un capacitor en función del< ALIC, (b) cuando I l2 > ALIC.

666 Ca..npos elerlroma¡tnétícos de¡;endienf¡:." del tíernptt {17.1(}

que el estudiantr. puede verif ical Dor sustitucicii: l lr i :ct¡¡ en la ec. (17.29). En

la fig. 17-21(r) se da. la grirf ica de la corriente en f ';:rciÓn del t iempo' Yemcs que

se estrblecc r¡;¡a cori ' ienie cscll i tot' i¡¡ c altcrna ctr3'a arnpiitud decrece con el

tiempo' Cuancio la resisttncia .R es niuy pequeila eil colnl)aración con la induc-

tancia -L, podemos despreciar tanto i' cr¡nro ei Íriiirno termino en la expresión

dc o, con lo que resulta I : fo sen (rof * a), de rnoCo que las oscilaciones eléc-

tricas no son amortiguadas y' tiene:r una frecuencia

^o: l t ¡ tc. (r7.32)

Esta se denomina frccuencia caracterlstíca i ie un circuito LC y es equivalente a la

frecuencia .o : lA'¡* de un oscilador no amortiguado. Obsérvese que el amor-

tiguamienta cir iln circuito eléctrico proviene tle ia disipación de energia en la

resistencia R.Si la resistencia es suficienternente ¿trande como paru qtte RzlALz> 1'lLC ó

P;2 > 4LlC, i:l irercucncia ,r se hac:e imaginaria. En este caso la cOrriente disminuye

Fieuro 1?-22

graduaimente sin osciiar como se muestraen ia {ig. 17-21(b). Las oscilaciones quehemos estudiado, en las cuales no hay unafem externa aplicada, son las oscilacioneslibr¿s del circuito.

(b) Oscilacionu forzadas. Las oscilacioneseléctricas forzadas se producen cuandoagregamos al circuito mostrado en la fig.17-20 una fem alterna de la forma Vs : Vooser <o¡1, como se ilustra en la fig. 17-22" Porlo tanto, la ec. (17.28) tiene ahora la forma

RI : Vt * Vc * Vs6 sen o¡f.

Repitienclo el procedimiento usado para obtener la ec. (17.2g), derivamos respectoal tiempo y ordenamos los tér¡ninos en la forma

" !# * o !i¡" + :,¡vs¿ cos ro¡r. (17.33)

Esta ecuacióu es mu¡r similar a la ec. (12"56) para las oscilaciones forzadas deuna particula, pero con una diferencia importante: la frecuencia t, lt aparece comofactor en el segunrlo miembro de la ec. (17.33). La razón de esto es que, debidoa la relación I : dqidt, la corriente en un circuito eléctrico corresponde a la ve-locidad a : hldt en ei movimiento de una partícula. Podemos ahora aplicarlas fórmulas de la sección 12.i3 con la correspondencia apropiada para ias can-tidades tal cual se rnuestra en la Talila 17-L. 'lenemos entonces que la corienteestá dada nor

I : Io sen (.,:¡f -- a) (17.34)

donde, si usamos la ec. (12.62) para la anpijtuC ao de la velocidad, con la corres-

I/¿ : I/c,o sen oyf

17.10>

pondencia apropiada, la

Oseilaciones elécbícas 667

t -

amplitud de corriente es

vsu (17.35)11rc +-6,r-\.,q'

TABLA 17-l Correrponilencla entre un ogcilailor rmortiguailo y un olroulto elóci¡leo

Oscilador Circuito eléctrico

masa, mamortiguamiento, Iconstante elástica, kdesplazamiento, rvelocidad, u : drldtfuerza aplicada, Fo

inductancia, -Lresistencia, Rinversa de la capacitancia, l lCcarga, gcorriente, I : dqldtfem aplicada, Ves

Usando lasimpedancia de

obtenidas en la seccióneléctrico en la forma

12.14, podemos expresar laexpresronesr un circuito

z:] /Rr+ @ú - rl-ú)'.

I-a reactancia del circuito es

X: o, tL_ l la¡C,

de modo que

z: l /Rr+xz

y la dilerencia de fase a entre la corriente y la fem aplicada se obtiene de

l' ig" 17-28. Relación entre resistencia,reactancia e impedancia.

(17.36)

(r7.37)

(17.38)

a)0 o , rL>L^' @f '

Fig. 1?-24. Vectores rotantes de la co-riiente y de la fem en un circuito decorriente alterna-

tgn:+: <¡tL-r l "ñ. ( rz.B9)RR

l,as cantidades Z, R, X y ¿ están relacionadas como se muestra en la lig, 17-23,

668 Campos electromagnélícos dependienle.s del tiempo (17-10

o)0

Fig. 17-26. Variación de la corriente y de la fem en función del tiempo en uncircuito de CA.

que es una reproducción de la fig. 12.39. Nótese que tanto la reactancia como laimpedancia se ¿xpresan en ohms. Por ejemplo, expresando el término <¡L en fun-ción de ias unidades fundamentales se tiene s-r H : m2 kg s-r g-2. Esta es lamisma expresión obtenida en la sección 16.10 para el ohm. El estudiante puedehacer la misma verificación para el término l/eoC. Si R y X se expresan en ohms,también Z, en vista de su definición (17.38), se debe expresar en ohms.

Se pueden representar la fem V6 y la corriente 1 mediante vectores rotantes,como se ilustra en la fig. 17-24. Las componentes de los vectores según el eje Xdan los valores instantáneos de Ve y de 1. La corriente I sigue o precede a Ia femsegún que c sea positivo o negativo, o que <o¡l sea mayor o menor que 1/<,:¡C.La fig. 17-25 da la gráfica de Ve y de f en función del tiempo. La potencia medianecesaria para mantener la corriente se obtiene de la ec. (12.70) con la corres-pondencia apropiada, es decir,

P : {Vc61e cos * - }R1fi. (17.40)

En este caso, Ia resonancia es equivalente a la resonancía de energla, estudiada

c:0

Flg. 17-9C, Relación entre fem v corr ientc cuando la(resonancia).

t i i ferencia de fase es cero

o uL>J:' qlL

Iv st / - ,1- vL<,

(b)(a)

17.10) Oscilacíones eléclrícas 669

en la sección 12,13. Se obtiene cuando P es máxima, Io cua! ocurre cuando ¿ :0

o cuando a¡L:11.{ , correspondiendo a una frecuencia o¡ : l t C, igual ala ec. (17.32). En la resonanciá, la corrignte tiene amplitud rnáxima y está enfase con la fem, lo cuai significa potencia media rnáxima. Los vectores rotantesVc e / están en fase o superpuestos'y la cor¡iente y la fem varían corno se muestraen la fig. 17.26.

Como en el caso de las oscilaciones forzadas de una particula, la solución ge-

ne¡al de la ec. (17.33) es la suma de la ec. (17.34) y de una corr iente transitoria

dada por la ec, (17"31). Sin embargo, el térrnino correspondiente a la ec. (17.31)

se hace rápidamente despreciable a causa del amortiguamiento y sólo es nece-

sario tener en cuenta la ec. (17.34). No obstante, cuando ocurre una modificaciónen el circuito, tal como una variación en ¿, C o R, el término t¡ansitorio aparecepor un corto i iempo hasta que el circuito se ajusta a las nuevas condiciones.

EJEMPLO 77.7. Un 'circuito tiene una resistencia de 40 O, una autoinductanciade 0,1 H y una capacitancia de 10{ F. La fem apl icada t iene una frecuencia de60 Hz. Encontrar la reactancia, la impedancia, el defasaje de la corr iente y la fre-cuencia de resonancia del circuito.

Soiueión: La frecuencia anguiar es <o¡ : 2nv y como v : 6O llz, tenemos quea¡ : 377 s-1. Por lo tanto, usando la ec. (17.37) obtenemos

X:<ot l - l la¡C:227Cl.

La impedancia es entonces

z : y R+ Xr: 231o.

El defasaje es, conforme a la ec. (17.39),

tga: XIR:-5,67 ó a:-80b.

Por lo tanto la corriente precede a la fem. Para la f¡ecuencia de resonancia encon-tramos, usando la ec. (17.32),

^" : lt llLC : 10s s-l ó v : u l2n: 159 Í Iz.

DJEMPLo 77.8. Estudiar un circuito de corriente alterna usando la técnica de losvectores rotantes.

Fig. 1?-27. Diagrama de vectores rotan-tes para el circuito mostrado en la fi$.7?-22.

670 Campas electromagnétícos dependientes del tíempo (17.11

solueión¡ Los resultados esta-biecidos en Ia sección 17,1G se pueden obtener mu¡lfácilmente por medio de ia técnica de los vectores rotantes. Obsérvese que la ecua-ción del circuito se puede escribir en Ia forma

Veo sen <o¡t : RI - Vt - . - Vc : RI + L + + +.dtc

Del mismo modo que decimos que rQ.f es la difere¡rcia de potencial en la resistencia R,podemos decir que L(dIldt) y c¡lC son las diferencias de potencial (o cafdas de vol-taje) en la inductancia y en la capacitancia respectivamente"

Si suponemos que f : Io sen (:(D¡t- a), el vector rotante de la corriente quedaatrás del de la fem en un ánguio a (fig. 11-27>. Ahora bien, pudemos consideraral vector rotante de la fem como suma de los vectores rotantes correspondientesa los tres términos del segundo miembro de la ecuación anterior. Notemos quedl ldt : <o¡ lo cos ( . ¡ f -c) y que q : I I dt : - (7 la¡) Iscos (o¡f-cr) . Podemosescribir entonces

Caida de potencial en la resistencia:

RI : RIo sen (<¡tl- cr), en fase con f.

Cafda de potencial en la inductancia:

L(d.Ildt): atLIo sen (<.r¡f -a * *¡), delante de .I en {zr.

Cafda de potencial en el capacitor:

qlC : (l/otQ fo sen (.rf - ¿- *rc), detrás de I en |:r.

Los tres vectores rotantes se muestran en la flg. 17-27, donde la llnea de referenciaestá dada por el vector rotante correspondiente a Ve . Sus amplitudes son R.Io, <o¡lfoe Islu¡C. Su resultante debe ser V6o ya que la suma de las tres cafdas de potencialda la fem aplicada. Por lo tanto

vlo : R¡ro' + (.'r -*a)'rt

o seaVe o : [/ R8 * (<¡¡I - Ll<'t¡C)s Is'

Si despejamos .Io de esta ecuación, el resuitado es idéntico a la ec. (17.35). El án-gulo c se puede obtener de la flgura, resultando un valor que concuerda con laec. (17.39). La técnica de los vectores rotantes es muy usada por los ingenierosen el análisis de circuitos de corriente alterna.

1-7.17 Circuútos acoplados

Consideremos dos circuitos tales como el (1) y el (2) de la fig. 17-28. Cuando unacorriente .I, circula por el circuito (1), se establece a su alrededor un campo mag-nético proporcional a Ir, y a través del circüto (2) hay un flujo magnético <D,que también es proporcional a .¡1. Podemos entoqces escribjr

Qr: MIp (t7.4r)

donde M es un coeficiente de proporcionalidad y representa el flujo magnéticoa través del circuito (2) por unidad de coniente en el circuito (l). Análogamente,

17.11\ Círcuítos acoplado:; 671

Fig. l?-28. Inducción mutua.

si una corriente 1, circula por el circuito (2), se produce un campo magnéticoque a su vez produce un flujo magnético ó, a través del circuito (1) el cual esproporcional a 1r. Podemos escribir entonces

Qt: MIz ' (17.42>

Nótese que en la ec, (17 .42) hemos escrito el mismo coeficiente M que en la ec. (17 .41).Esto significa reconocer que el flujo magnético a través del circuito (1) debidoa la unidad de corriente en el circuito (2) es el mismo que antes. Este coeficientecomún se denomina ínductancía mutua de los dos circuitos y se puede demostrarque detre ser Ia misma en ambos casos, como hemos señalado. En otras palabras:la inducción mutua es simétrica. El coeficiente M depende de las formas de loscircuitos y de su orientación relativa. También se mide en henrys, ya que co-rresponde a Wb A-r.

Si la corriente I, es variable, el flujo o, a través del circuito (2) varía y se induceuna fern Y¡a2 en este circuito. Esta fem está dada por

vMz:-M +.dt

Al escribir esta ecuación hemos supuesto que los circuitos son rígidos y que estánlijos en el espacio de modo que /Vl es constante. Análogamente, si la corriente ,Ites variable, se induce en el circuito (1) una fem V¡a, dada por

VMt:-M + (r7.43)

Esta es la razón por la cual M se llama "inductancia mutua", ya que describeel efecto o influencia mutua entre los dos circuitos. Además, si se mueven loscircuitos uno xespecto al otro, lo que origina una variación de /V1, tambiéñ seinducen fem en elios.

{Jsando Ia ley de Ohm podemos obtener las ecuaciones que relacionan la co-rriente en el circuito (1) con los parámetros del sistema. Todo Io que tenemosque hacer es sumar Ia tem V¡1,, dada por la ec. (17.43), a la ec. (17.28). Esto es,

RI l :Vh*Vct*Yvt '

672 Campos eleclromagnétícos dependienles del tiempo (17 .1 I

donde V¡, - - - Lrdlr ldt y Vh:.- Qr iC, Por lo tanto, s i der ivamos Ia ecua-ción anterior respecto al t iempo y tenemos en cuenta que -I, : dqrld!, obtenemos,en vez de la ec. (17,25\,

L. .drl, + R. jll + 1 r. : _ LI -q:r" .

' dtz dt cl ' dtz

Análogamente, obtenemos la siguiente ecuación para el circuito (2)

L,#:*o,+++Iz:-*#

(17.44)

electromag-incluyendoel principioel momen-un sistema

(17.46)

(17.45)

l ,as ecs. (17.44) y (17,a$ forman un sistema de ecuaciones diferenciales simultá-neas sirnilar a Ia ec. (12.36) correspondiente a dos osciladores acoplados. La cons-tante de acoplamiento es .&1. No consideraremos las soluciones generales, perodel estudio de los osciladorcs acopiados que hicimos en la sección 12.10, concluimosque habrá un intercambio de energÍa entre los circuitos. El transformadcr y elgenerador de inducción son aplicaciones prácticas comunes de este proceso. Otraapiicación de Ia inductancia mutua en un sentido ¡nás amplio, es la transmisiónde una señal de un lugar a otro produciendo una corriente variable en un cir-cuito l lamado lrqnsmísor,'a su vez este circuito actúa sobre otro acoplado a é1,l lamado receptor. Este es el caso del telégrafo, la radio, la televisión, el radar, etc.Sin embargo, pora estudiar estos dispositivos se necesita una técnica diferenteque será desarrollada parcialmente en el capítulo 19.

El aspecto más importante y fundamental de la inducción es que se puedeinlercambíar energta enlre dos circuítos por inlermedio del campo eleclromagnético.Podemos decir que el campo elebtromagnético producido por las corrientes quecirculan por los circuitos actúa como portador de energia, transportándola através del espacio de un circuito a otro.

Pero la inducción mutua entre dos circuitos es un fenómeno macroscópico queresulta de las interacciones elementales entre las cargas en movimiento que cons-tituyen sus respectivas corrientes. Podemos co¡rcluir eqtonces del fenómeno deinducción mutua que la interacción electromagnética entre dos partículas car-gadas se puede describir como un intercambio de energía por intermedio del campoelectromagnético mutuo.

Cuando dos partículas cargadas están sujetas a una intcracciónnética, el principio de conservación de la energia se debe reformula¡la energia del campo. l lecordar que también tuvimos que rcformularde conservación del momentum en la ec. (15.68) para tener en cuentatum del campo. En consecuencia debemos escribir la energia total dedc dos particulas cargadas en interacción en la forma

E:Er*Ezj 'E*po,

donde E, ! Ez son las energías tle cada particula, suma de sus energías cinéticay poiencial quc resulta de alguna fuerza qr-ri: actú.r solrre elias, y E"u*oo es laenergia ascciada con su carnpo eiectromagnético común.

!7 . f 1) Circt¡í.los acoplarlos 673

Se puede demostra¡' que en c¡rndiciones esiáticas (o que varian rnuy lentamenteen el t ienrpo), l i"o,npo c0rrespondr exactamente a la energía potencial

Ep : qrqrf 4reur',

dei:ida a la interacción coulombiana entre l¿rs dos cargas.Es Ia surna cie los trcs términos en la ec. (17.46) Ia que permanece constante

durante el movirniento de las dos nartículas si no están suietas a otras fuerzas.

EJnMPLa 17.{j. Una bobina que contiene N vueltas está arrollada en un solenoidetoroidal que tiene n vueltas por unirlad de longitud y una sección transversal denrea S. Calcular la inducta¡rcia mutua del sisterna (fig. 17-29).

Sofrrc i r l r r . .Podenros resolver c l problcma sea calculando el f lu jc magnét ico a t ravésriel solerlri ir ie cr¡ando circula una corriente por la bobina, sea calculando ei f lujornagnético a travós de la bobina cuando circula una corriente por el solenoide. Siga-r¡ic: el segundo procerlimiento, que cs el rnás fácil de los dos. Podemos recordar

l ' igura 17-20 Fig. 17-SO. Corriente a travésde una superf icie cerrada quecontiene una carga g.

t lcl ejernpio 16.19 que en el caso de un solenoide toroidal, el campo magnético estáconf inado a su inter ior y t iene un valor dado por la ec. (16.71), l j : pon/. El f lu jomagnético a través de cualquier sección del solenoide es

OS:, lJ,S.-¡ronSf,

donde S es el área de la sección transversal del solenoide. Este f lujo es el mismoque el que hay a través de cualquier vuelta de la bobina, aunque su sección seamayor. Luego, el f lujo rnagnético a través de la bobina es

Ctbobira:N(Ds:p'nNSI.

Cc:np::rando ésla cr.rn la ec. (17.41), se obtiene para la induetancia mutua del sistema

Jf : ¡ronNS.

Este ariegio se usa mucho enmutua pat-rón.

cl laboratorio cuando se necesita una inductancia

Solenoide

674 Campos eleclromagnélícos depen",lienles de!. {íentpo (17.12

77.72 Principio de conseraaeiót¿ de Ia {-:íirg(l

En la sección 14.2 discutinlos ei hechr: dc que ia cargr eldctrica se conscrva.En otras palabres: en todos los prroiesr'n qu¿ (iúurre!1 en el universo, ia cantidadneta rle ca.rga sietlpre deire i ienn:nt' ir-t cr)n:rlant.rr- l:stc enrtnr:iado se pucdeexpresAr i ' i l ur'a fcrma cu¿r*titatira que cs rn.tr¡l uii i" i lr¡nsiderernos una stlper-ficic cerraiia S (fig. 17.30) v lhnreirr '-- ¡i, ' . l l chrga net"a tlcntro cie ella en un ins-la¡rte dado, Como nuesLio prcblei:ra es'Jinárnico v no estático, las cargas i itrres

{telel ccrrro j " .s eleci i ' r ¡ ¡ i ts i ' .n l r : :neLa!t 's o los iones e! , un t ) la$nra) se mücvena i. lavés riel rneciio, atravt'sdndc la superf;r: ie S. A vrces prredr: iratrcr rnás cargassalieri ies que rltran[es, <lriginarrdo una tl i i ;¡t ir.ucir]n rie la carga neta r¡ encerri lúapoi la suprrficie S. Otr*s ver:cs la srtuación se puc,tic, invert-ir v las c.arg:is quccfitr"all piitt icr'. exccder it las rl l ie sli l ,:n, rJ¿rt¡io lo¡no r'tsultado u¡i aurnenio cie iacarga nrll g. i)or stpuesto que si l.;s i lujcs de r:: irE;a que e¡rtran y salen de la su-

¡rerficie .5 sclr¡ los mismos, !a carga ireÍ.a g per'rnancce constantr,. El principio der:ons:rvarrión rie la carga cxige ciÍri'amentr'. que

pérditla rle carga .-- flujo (ie carga saliente. - flujo decarga entrante : flujo neto de r:arga saliente. (17.47)

Ahora bien, se vio en el ejemplo 16.1 qrre el f lujo neto de carga por unidad detiempo, o corriente, a través de una superficie S es f :fsj.u¡dS, donde j esla densidad de corriente. En el caso presente la superficie es cerrada, de modo que

(17.48)

da la carga neta que sale a través de la superficie por unidad de tiempo, es decir,Ia diferencia entre el flujo de carga saliente por unidad de tiempo y el entrante.Por otra parte, la pérdida de carga por unidad de tiempo dentro de S es - dqldt.Por lo tanto, en tér¡ninos matemáticos \a ec. (17.17) es - dqldt:/ o sea

(17.4e)

ecuación que expresa el principio de conservación de la carga suponiendo quela carga no se crea ni aniquila. Ahora bien, de acuerdo con la ley de Gauss parael campo eléctrico dada por la ec. (16.3), la caiga totai dentro de una superficiecerrada se expresa en funsión del campo eléctrico en la superficie mediante

I : eo f, a .r¡N dS,

por lo que

f .r¡N dS.

Sustituyendo este result¿do en la ec. (17.49), obtenemos

(17.s0)

- +': f' j'"^- as'

t : $" j .u¡ds

#:. ,#$"

I /.1 3't I.eg de Ampére-IlIanuell 675

(r7.52)

para expresar el principio de conservación de la carga de una man€ra que incorpora la ley de Gauss. Cuando ios campos son estáticos, la integral 9s f .ux dS nodepende del tiempo. Luego, su derivad{ respecto al tiempo es cero, porlo que

Ó^ j.u,v dS :0, para campos estáticos.JS'

(r7.51)

Esto significa que para campos estáücos no hay acumulación o pérdida de cargaen ninguna región del espacio por lo que la corriente neta a través de una super-ficie cerrada es cero. (Este es esencialmente el contenido de la primera ley deKirchhoff para el análisis de redes, que se introdujo en el ejemplo 16.17).

77.73 Leg de Arnpére-Nlanwell

La ley de Faraday-Henry, expresada por las ecs. (17.2) o (17.15), establece unarelación entre el campo magnético y el campo eléctrico en la misma región delespacio. La íntima relación que existe entre los campos eléctrico y magnéticosugiere que debiera existir una relación análoga entre la derivada de un campoeléctrico respecto al tiempo y un campo magnético en el mismo lugar. Ahorabien, la ec. (17.2), es deci¡

t,. t¿N dS,

relaciona la circulación del campo eléctrico con la deúvada respecto al tiempodel flujo del campo magnético. Podriamos esperar que una relación similar de-biera relacionar la circulación del campo magnético con la derivada del llujodel campo eléctrico respecto al tiempo. Hasta ahora hemos encontrado que lacirculación del campo magnético está expresada por la Iey de Ampére, ec, (16.68),

{ , ' 'o ' : -*1"

.'B.dt : po ls j. ü¡¿ ds,

pero esta expresión no contiene ninguna derivada del flujo del campo eléctrico

Fig. 17-31. Superf icie l imitada por una curva I, . Cuandohasta convertirse en un punto, la superflcie se cierra.

i { )

la curva L se encoge

676 Cam¡tos electromagnéticos dependientes del líempo (17.1 3

respecto al t iempo. Esto no es sorprendente ytr que se obtuvo en condlcrones

estacionarias. Sin enrbargo potienios sospechar que la iey de Ampére puede nece-

sitar una revisión .oundo se la aplique a cainpos dependientes del t iempo'

Ahorabien, la leydeAnrpére.nlnf" ' - " (17.52)seapl icaaiasuperf ic ieSlimitada por la curva l. Eicepto por esta. limitada por la cutva L, la super-

ficie S es arbitraria. Si la curva L se encoge, el valor de pr, ')-l 'dl disminuye

(fig. 17-31). Iri¡ralmente se anula cuanrio I se convierte en un punto y la super-

ficie s se convierte en una super{icie cerrada. La ley de Ampdre exige, según la

ec. (17.52), que

F

o^* dS : 0.9; ' '?

Esto concuerda con la ec. (17.51) para Ia conservación de la carga, en tanto el

cattpo sca estático. Siu emtargo, iabemos que cuando el canrpo no es estático

sinodependienter le l t iempo, iaec'(17'51)yanoescorrecta 'Lacorrectaeslaec. irz.bO) que inciuye la iey <ie Gauss.

-!,sto confirma nuestra sospecha de que

se ¿.¡. nroitif i .r, la ley cle Ampérc al tratar campos dependientes del t iempo.

La ¡nodificación parecc eviriente; en la cc. (17.52) debenros reempiazar Jsi'ux ¿S

por

j .¿¿N dS + €o f . ?¿N dS,

de confornridad con la ec. (17.50)' Resulta

f

IJS

(17.53)

Rccorclalrdo que Jsj.1r.1 ds es Ia c.rriente I que pasa a través de la superficie s,

también podemos escribir la ec. (17'53) en la forma

+ n.at : Por + (17.54)

$ n.at : p, j^ i ' t r^- r ls * eorro * i "a ' t 'N ds'

J f , 's

*1"

.o*o-1 i t ' r r*as.L1l ' .S

Hay que comparar ésta con la t 'c. (16.t17) para ia ley de Antpére. La ec. (17'54)

," ..dr.. a ta ley de Ampt:re pai'a canlpos csi.áticos, Ya que entonces el últ imo

térnrino es cero; aclemás sc t¡atlsfcrma t'.n la ec" (17.50) cuando la línea L Se

.naog" hasta convcrtirse en un punto, cerrántlose ia superficie s. Por lo tanto'

v€mos que esta ecuación satisface todas las condicioncs fisicas encontradas ante-

riormente.Hasta ahora hemos jugado ¡¡rer¡rne¡ite con la matemátlca tratando de hacer

la ley de Anrpére .o-poiit t" con la ley de conservación de la carga. Lin paso

adicional nece.sario es verif lcar experimentalmente que la ec. (17.53) es colTecta

V que clescribe Ia situación real que sc cncuentra en ja naturaleza' Podemos anti-

l ip", qu., es así. La mejor prrreba es la exist.ellcia cle ondas clectromagnéticas,

tema qttt: se estudiará tln el callí Lulo 19'

I-a p*..n,,a rlue prinrero sugiriC la 'roclif icacióIt

t le la Jcy de Ampere e¡r la form_a

que hern,,s sen:i lacio fur el cienti l ico británico Jamcs Cierk Nlaxwell (1831-1879)

rd{ t .df : eopo* i t - i l ¡ds,u L oI 's

r aumentad @e/dt positiva

(¿/

ftS. 17-32. Campo magnéticotiempo.

e disminuyed {be ldt negativa

(b)

| 7. í3 i Leg de Ampi,rc-Manlúí 6?I

en ia segunda mitad del siglo pasado; por ello !a ec. (17.53) se denomin;¡ lev deArrpért>Maxwell. tr '{axrvell jntrr-rdr¡jo le modificaci(ln más por la necesidatl t lc com-patil-. i l idad matemátic¿¡ que por los resullados experimentales. Los experimentosque c.arrotroraron ias ide¿s de I'Iaxu'ell sób se realiz¡ron algunos años después.

I-a ley de Ampére, ec. (17.52), relaciona una c¡lttiente estacionaria con el campomagnético que produce. La ley de Arnpére-lúaxwell, ec. (17.53), va un paso másadelante e indica que un campo eléctrico € dependiente del tiempo tambiéncontribuye al campo magnético. Por ejemplo, en ausencia de corrientes, tenemos

(17.5s)

que muestra más claramente la relación entrc un campo eléctrico dependientedel t iernpo y su campo magnético asociado. En otras palabras:

un campl eléclríco dependienle del líempo ímplíca Ia eristencíu ileun campo magnético en eI mismo lugar:

Si a ia circulación del campo magnético la llamamos fuerza magnetomotrizaplicada a la curva L y la designamos con As, y designamos con <D5, el flujo eléc-

Jr&F

producido por un campo eléctr ico dependiente del

trico a través de la superficie S limitada por la curva ¿, podemos escribir la ec.(17.55) en la forma

I\s : t dos

,otto dt

,

que el estudiante debe comparar con Ia ec (17.1) para la ley de la inducciónelectromagnética. La orientación relativa de los campos eléctrico y magnéticosi: muestra en la fig. 17-32, correspondiente a un campo eléctrico unlforme de-pcndiente del t iempo. Si el campo eléctrico aumenta (disminuye), la orientaciónde las lÍneas rnagnéticas de fuerza es igual (opuesta) al sentido de rotación de un

67E Campos electromagné{ircs depeie$i¿n&:.r ¿/¿'l liempo {17.14

tornillo tle rosca derecha que avan¡,a er el sentiriil rlel carn¡ro eléctrico. EI estu-diante debe c.omparar este resultatic ccn la {ig. i7.1.

La ley de Ampere-Maxweli, tai co¡:ro la expresa la ec. (17.54), dif iere de la leyde Faraday-Henry, tal como Ia expresa la ec. (17.?,), en varios aspectos. Enprimer lugar, tenemos en ia ec. 117.i,3) un térnrino que coüesponde a una cor¡ienteeléctríca, nientras que en la ec. (17.2) nc hav ningún término que correspondaa una corriente magnética. Esto se debe sirnplemenLe al hecho de que aparente-mente no hay polos nagnéticos l ibres en ia naturaleza. En segundo lugar, laderivada del l lujo eléctrico respecto a) Í ienrpo aparece con signo positivo en laec. (17.53), ¡¡¡ientras que en la ec. (1?"2) ia dei f lu;o magnótica aparece con signonegi:t ivrr. El estudiante tarnbién piretlt verif icar que ei factor reF¡ 8s conrpatiblecon las unidades.

Aunque hemos coregido la lei; t ie Arnpdre usando coino guia ei principio deccnserlaciún tle ia carga, igualrntrtÍc podríamos hal¡er usado cl principic cle¡'eiatividad ¡i encontradr, qüe r)u.a,ndo ios ctnpos eléctrico y magnético estányelacicnadc¡r eri dos siste¡nas inerciaitrs dc referencri¿¡ coll lo en las ecs, (15.58) y(i5.6{}), y la leJ'de Faraday-lieni'; c-s cúrrecta, tsmhitin se dehe satisfacer lai:c. i17.53)" i'i,ste procedimientc es alqo más dificil, pero es en cierto senti.do másiu¡¡da¡nsntal.

77.14 Leg rle Am.pére-IWa,awell en furtna difereneial

Comc la ec. {i7.53) para la ley de Ampr.\re-Maxwell es rnuy similar a Ia ec. (17.2)para la jey de Faraday-Henry, pod':mos apliuar nuevamente la técnica empleadaen ja sec. 17 "7 a fin de obtener la iey clr Ampére-Maxweli en forma diferencial.t,a fig. 17-9 se reemplaza ahora por la {ig. 1?-33. Omitiendo los detalles, obte-nemos análogamente a la ec. (17.10), la circulación del campo rnagnético a lolargo del camino rectangulal POfi,S de lados dr ¡' dy, en la forma

(17.56)

Para establecer la forma diferencial rie la iey de Ampére, ya ubtuvimos en la ec.(16.74) el f lujo de la densidad de cc¡rriente ¡ tr¡vés de ia superficie l imitada porP0ftS, esto es,

| ¡ .u¡¡dS : j , dr ,1g.J pons J

Finalrnente el l lujo del campo eléctricc aPQfiS es, por analogÍa con la ec. (17.57),

| -^¿' u,v ds : (" dr lg,J PORS

y en con-secuencia

.a

C. lr.r' dS , . ';;' iir dy.

fono"o'u': ( t : : : : - #) *o' '

Í J,n^,

(r7.57)

través de la superficie Iimitada por

(17.58)

17 14). Lcy de Ampére-Maru¡eli e¡t forma di{erencíal 6T9

(17.53) y cancelando en

(17.5e)

(17.60)

(17.61)

(17.63)

Sustituyendo las ecs. (12.56), (l7"bZ) y (17.58) en la ec.ambos ;niembros el factor común dc dg resulta

6/30__())3, _ , oó,os au

: iro../z * eou.o -61 '

colocando nuestro rectánguro en los planos yz y ZX, obtenemos otras dos ex_presiones:

6) j . ,6- l3u: ,0( ,Ag

- Ar:voJzt

toh at-

aJJ, 6¡d,A,

--A* : tlo/c-t- rotto-fi

Las expresiones (i7.59), (12.60) y (12.61) constituyen conjuntamente ra rey deAmpére-Maxwell en forma diferencial. Las podemos combinar en una única ecua-

Fls. 17-38. circuito elemental para de- Flgr. 1?-84. La corriente de desplaza_ducir la forma diferencial de la ley de mi,ento de Maxrr-.ell -.r,

ur, capacitor.Ampére-Maxwell.

ción vectorial como ya hicimos para las leyes de Ampére y de Faraday-Henry,escribiendo

rotrB : * , ( j * . r#) , (r7.62)

que expresa la relación entre la corriente eléctrica en un punto del espacio y loscampos eléctrico y magnético en el mismo punto. En ei espacio vacio, dondeno hay corrientes, j :0 y la ec. (17.62) se convierte en

rot ?J - ,roro ff ,

680 Catnpos electronrugnélicos depenriienles del ttempo {17.15

que es el cr¡uiv: i t rente dc la ec. ( l ; - .55) en foi ' ¡ r ia r i i f r l " ¡ ; l ia l . Es s im. i la-r a Ia ec. (17"15)para la le¡'r le i: 'arada¡--i lenry v inuestr¿t clarami.nte la rciación entre el carnpomagnético y la derrivada de! carnpo eleclrico :especto al t iempc, en el mis¡no punto.

Podenros obscrv,:¡r que €lr Ia et. (17.t2) el t:ftcÍ,o de un campo eléctrico depen-diente rJel t iempo es añadir un té¡mino eo?{'it i l a la ,lensidad dc ccrriente. }{ax-well intcrpretó este térrnino corn0 ul)i i 'o¡rientc adiciona! y la l lamó cr¡nienle ded.esplazamíeni¿¡. El razonamiento de líaxwcll fue el siguiente, E,n un circuito querlontien€ un capacitor C (fig. 17-34), éste interrurnpe la corriente 1. Para "cerrar"el circuito debe haber una corriente de u¡ia placa a la otra y esta co¡riente esprecisamente (eotti lAt)$, donde C es el camp() eléctrico en el capacitor y ^S essu superficic. Sin embargo, el términu "corriente de desplazamiento" lieva aconfusiones y la "imagen" de Nlaxwell es innecesaria, va que no hay tai corrir:nteentre las placas del capacitor, expresando la ec. (1 7.63) simplernente una corre-iación entre (', '13 y j en el mismo punto del espacio.

77.15 Ecuat:iones cle Ma.cwell

F{ecapitulemos a esta altura nuestro estudio de! carnpo electromagnético. l lemosvisio que r¡na clase importante Ce interacción entre las partículas fundamentalesqrre componen la materia es la Ilarnada íntuaccíón elettromagnélicq. Está rela-cionada con lrna ¡lropieclad caracteristica dr c¡rr, la particula que se denomina sut'urqa eléclrícc. P:¡ra eiescrihir la interacción ... leclromagnética, hemos introducido!a nociirn tle tatnp,s cleclro¡neqnélico, ca¡ecterizatlo por dos vectrrres, el campoeléctrlro {'y el crmpo r,tagnétícc ?J, t¿les ciu* ia fuerza que se ejerce so}rre unacar¡¡a eléctrica es

F:q(C'+ux |J) . (17.64)

I-r-rs cantpos t-léctrico C' y nagnético lJ cstán a su vez determinados por las posi-ciont',s de las cargas v pr,r sus movimientos (o corrientcs). La scparación del campoclrctromagnético en sus componcntes eléctrica -v magnéticr depende del movimieatorelativo del obser"'ador y de las cargus que producen el r"ampo. Además los cam-pos f y 'ü están tl irectamente correlacionatios por las leyes de Anrpére-l\, lax*'elly de Fraraday-I{enry. Todas estas relaciones se rKprcsan mediante cuatro }eyesr¡ue hcmos ¡r¡ralizado en los capitulos precedentes y que se pueden escribir tantoen forma integral como en forma diferencial como en la tabla 17-2.

La teoría del campo electromagnético está condensada en estas cuatro leyes.Se denominan ecuaciones tle Xlasutell porque fue Maxwell quien, además de for-mula¡ la cuarta ley, se dio cuenta que, junto con la ec. (17.64), constif.uían laestructura básica de la teoria de las interacciones electromagnéticas. La cargaeléctrica q y ia corrienie 1 se denominan las fuentes del campo elcctromagnéticoya que, dadas q e 1, las ecuaciones dc Xax*r i i nos permiten calcular C y ' lJ .

Debc,'nos notar oue ias leyes dc Gauss par:r ios campos eiéctrico y rnagnér:ico,ecs. (16.3i v (16.81), st obtuvieron,- 'n c i c i i ¡ ; i i . l lo 1t j pr i ra campos estát iccs. l . loohstanl-o, ias estamos incor¡roraniit¡ ahore a ur.¡a teoria tlrre lnvolucra campos de-

17.f5) Eeuaciones de MonweII 681

pendientes del tiempo. El estudiante se puede preguntar si no tendremos quüáque ccrregirlas del mismo modo que tuvimos que modificar la ley de Ampérepara hacerla apiicable en la situación de dependencia del tiernpo. La respuestaes negativa. Se ha eneonl.radc gr:e el mencirnado conjunto de leyes está conformea la experiencia, y las consecu.encias deducidas de ellas hasta ahora eoncuerdancon ios resultados experimentales. For io tantc, las dos leyes de Gauss siguensiendo válidas cuando se aplican a campos eléctricos y magnéticos dependientesdel tiempo.

Ley Forma integral Forma diferencial

{" Ley cle Gauss paraei campo eléctrico[(16.3) v {16"5)]

II. Ley de Gauss parael campo magné-t ico [ (16.81) y(16.82)l

iII. Ley de Faraday-Éfenr.v l(77.2) y{t7.r5)l

$ c.",' ds : -g-JS €6

divd: A€9

f ' f . . . , "dS:0,

drdt fs

s,l-", 6 ,8. rr¡ dS : 0 ódt Js

div (B: 0

f" 7B,} .u¡¡ dS rotC:at

IV. Ley de Ampére-Maxwell [(17"54)y (17"62)l

2frot 'D: ¡ ro j * eo¡¡o:

Las ecuaciones de Maxwell forman también un conjunto compatible. Por un Ia-do, ias ecs. (16.3) y (17.54), que involucran una integral de superficie dei campor'léi:tric¡¡, scn compatibles porque éste fue nuestro requisito básico p¿ra corregiri* l;y ,:.r An:rpére" Por otro lado, las ecs. (16.81) y i17.2), que involucran uile in-i*gral dc superficie del campo magnético, tamtrién son compatibles. Por ejem-plo, aplicando la ec. (17.2) a la super{icie de la fig. 17-31, tenemos que cuandotra curva .t se encoge hasta que Ia superficie se cierra, la circulación de C es cero.Iintonces

f"'tr 'n - ds : const,

que coincide csln la ec. (16.81) si anularnos la constante de integración.En el espacio :ib¡.c o vacío, donde no hay ni cargas (p : 0) ni corrientes (-l :0),

Ias ec¡iacicnes de Maxweli son algo más simples, siendo su forma diferencial

divf : ¡ , d ivf f :9,(r7.65)rot C : - +, rot ?J : €opo +,

TABLA l7-2 Ecusolon¿s ile Moxwell pora el osmpo oleeúronagn6tleo

682 Campos electromagnélicos dependienles de{ tíernpo (17.15

las cuales presentan cierta simetria. Sugerimos ql¡e el estudiante las escriba endetalle usando las componentes cartesianas'

El estudiante debe comparar las ecuaciones de l\faxwell, sea en forma integralo diferencial, con las ecuaciones para el campo estático que se muesttan en latabla 16-'1, y notar las principales modificaciones introducidas. En particular,debe observar que las leyes de Faradav-Henry y de Ampére-Maxwell suministranla conexión enire los campos eléctrico y magnético, la cual estaba ausente en lasecuaciones para los campos estáticos.

Según el problema a tesolver, las ecuaciones de Maxwell se usan en formaintegral o diferencial. En el capitulo 19, por ejemplo, i lustraremos cómo se usanpara estudiar ias ondas electromagnéticas. Puede parecer a primera vista querecordar todas estas ecuaciones es una tarea formidable. Sin embargo no es así.En primer lugar tienen una cierta simetria que (una vez reconocida) ayuda aorganizarlas en Ia mente y por aplicación continuada uno se familiariza gradual-mente con ellas. Pero en segundo lugar, comprender su significado iisico es másimportante qr¡e recordarlas en detalle.

Las ecuaciones de Maxrvell son compatibles con el principio de relatividaden el sentido de que son invariantes frente a una transformación de Lorentz.Es decir, su forma no cambia cuando ias coordenadas r, A, z y el t iempo f setransforman confonne a la transformación de Lorentz (6.33) y los campos f y tll

se transforman conforme a las ecs. (15.59) y (15.61). La demostración nratemáticade esto pertenece a un curso más avanzado, por lo que la omitiremos aquí aunqueno €s esencialmente difícil.

La síntesis de las interacciones electromagnéticas que expresan las ecuacionesde Maxwell es uno de los mayores logros de la fisica y es lo que coloia estas inter-acciones en una posición privilegiada. Son las mejor comprendidas de todas lasinteracciones y las únicas que, hasta ahora, se pueden expresar en una fo¡mamatemática cerrada y compatible. Esto es bastante afortunado para Ia huma-nidad, put'sto que gran parte de nuestra civilización ha sido posible gracias anuestra comprensión de las interacciones electromagnéticas, ya que son respon-sables de la mayoria de ios procesos, naturales y dehidos a la mano del hombre,que afectan nuestra vida diaria.

No obstante, debemos dar¡ros cuenta que las ecuaciones de Maxwell, t¿l cualhan sido presentadas, t ienen sus l imitaciones. Funcionan muy bien para tratarinteracciones entre gran número de cargas, corr¡o ias antenas radiantes, los cir-cuitos eléctricos y aún los haces de átomos o de moléculas ionizados. Pero se haencontrado que las interacciones electromagnéticas entre partículas elementales(especialmente a energías altas) se deben tratar en una forma algo diferente yconforme a las leyes de la mecánica cuántica, constituyendo una técnica deno-minada eleclrodinámica cuánlica. Este tema nr.¡ recibirá consideración ulterior eneste l ibro. Aun dando por sentadas esf.as l irnitaciones, los resultados obtenidosde las ecui.rciones de Nfaxwell dadas en este capítulo son una aproximación exce-lente para describir las interacciones electronragnéticas entre particulas elementales.Estc nrétrdo se c!enomint eleclrodintlnl. ica. clusfca. I ls esta técnica aproximadaia rlue se i isará en este l ibro cuancio estudienros las ondas electromagnéticas yla estructura de la materia.

F^-sóie¡nas SSs

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Problemas

17.1 Se coloca una bobina de 200 vuel-tas y de 0,10 m de radio perpendicular-mente a un campo magnético uniformede 0,2 T. Encontrar la fem inducida enla bobina si, en 0,1 s, (a) se duplica elcampo, (b) se reduce el campo a cero,(c) se invierte el sentido del campo,{d) se rota Ia bobina en 90", (e) se rotala bobina en 180'. En cada caso, hacerun diagrama mostrando el sentido dela fem.77.2 Con referencia al problema 16.68,si la corriente varfa según 1 : fo sen <of,determinar la fem inducida en el circuito.17.3 Mostrar que si V5, es una femoscilante aplicada en los terminales ,4.B,Ia fen¡ v6, en los terminales A,B, resul-tante de la inducción mut.ua entre los dosenrollados es V5, : (Nr/N)Vo, (ver f ig.17-35). Este es el funrlamento del trans-formador; la fdrmula es correcta en tantoel f lujo magnético a través de los dos

enrollados sea el mismo y en tanto laresistencia sea despreciable.

17.4 Cuando se expresa el campo mag-nético en gauss y el área en cm2, el flujomagnético se mide en marwells. (a) De-

Figura 17-35

finir el maxwell . (b) Mostrar que unlveber es igual a 108 maxwells. (c) Poneren la ec. (17.1) el factor numérico apro-

684 Campos elerlronagneticos depe.ndirr; l¡¿.t dei l iempo

piado dc Inod{) quc Ve sc mida ttr r ,oi l- i¿s

-"- Oo erl rnaxlvei ls.

17,1 Ei carirpc magn¿tic,-: ) :) pr¡ ic¡ io:,Ios puntr-.s de¡rtro de la cirrtrnlerenc-ia r letrazos <le la f lg. i7-3$ es igual :¡ t) ,¡1 l ' .Está dir igido hai: ia el piano clcl papt. i ) 'dccrec, : a rat , ( :n dc ü.1 ' l 's- t . (a l ¿Cur¡es la irrnra dc las i ineas de f i i t rrz¿ r i l i

FIacer ;r; Éiál ir 'o esquemiit ico de ia femj¡rr jLl t i , r l : . t 'n la esir ir :r en función de r,<l¿sdc .¡ --- - : l í hasta r =. - l- 2I, re¡rre-se¡r i*ndo i racia arr iba la fern en eisen-t ido de las rgujas <iei rcloj y hacia abajola de scnt i r i ¡ opuesto.17.7 Lina espira rectanguiar se muevca lravós t lc una rcgiórr cn !¡. cuai el(ámp¡) maqnól icn está dado por ' ) jv :t1".- i . t , tL -

( .€) - i t) T (ver f ig. 17-38).-dncontrar la fem inducida en la espira¿n f i tnción del t iempo, poniendo I : f )c,.r¿tndo la espira está e¡r la ¡rosi<: ión mos-t¡¿rr la cn la f igrrra, (a) s i u - 2 m s-r ,l l i ) si la espira parte del reposo y t iencrina aceleri¡ción r le ! nr s-s. (c) l lepetir¡;aia cuautlo t ' i rnovirniento es paraicl ir¡ i )Z et: ' l i rgar de 0 ) ' . idl Encontrar lairxt iert i*: si ??es¡ira .-- ' i ohrns.

[ ' igura 1?-38

17.8 SLrponiendo (J l le la espira del pro-blenz ' i7, i rota al¡€de(iur del eie AZ,(:r) ¡cuá1 ¡:s 1a ier¡r Inedia dur¿rnie losprirneros 9t)" clc ¡oiación si cl pc'rír-rdo derctaciór e5 0,2 s? (b) Calcular la fe¡n vl ¡ ¡ i ro;r ic l : lc i l i : : t r ¡ t : ia l teas cn función delt ietn ¡ l t ; ,1; . i i En Ia l ig. 1?-39 sean I : 1,5 m'i i : i . ) ,5 T y u : 4 n¡ s-1. ¿Cuát es la di-

fr-.rencia de potencial entre los extremosdel ccrnductor ? ¿Cuál extremo está apotenciai más al to?

17.1A E1 cubo de la f ig. 17-40, de unmetro de lado, está en un campo mag-nético uniforme dr 0,2 T dir igido segúnel eje Y. I-os alambrcs A, C y D senurelcn en las direccioncs indicadas, to-dos r:on una velocidad de 0,5 nt s-1. ; .Cuáles la di lerenci¿r de potencial entre losextr i :rrros de cada aiantbre?

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I

Figürr, 1?-36

campo eléclr ico inducido dentro d¡: Iaci¡cunferencia de trazos? (b) ¿,Cuálcs soncl rnó<lulo y la dirección de este canlpoen cualquier pun'Lo dcl ari i l lo conductor,y c¡:á! es la fenl cn ei rnisnto? (c) ¿Cuáles la corr lenl e eri el ani l l t -¡ si su resistenciaes 2 ohme? {d) ¿Cuál es ia difcrcncia depotencial clrtre dos ¡runtos cualesquieradcl ani l lo? (e) ¿{ iómo col lc i l ie .sLrs res-puestal a ( i :) y a (d)? Si se cc,rta elani l lo en al, .1útn punto ¡- se separari l i isextremos l igerarnente, ¿cuál será la r i i ie-ren¡: ia r le pltencial entrc lc.rs cxtremfls?

17.t1 Lina espira cuatlrada de ¿i¡rnirre:o *tur:1"e Co:r r, , : locit laai ¿, (tOns.lat l l"e eI i¡ l i r ,- ,ccíó¡r t i l t is\-c! 'qal a r in l : t l i lprJ n'.¡ i l -n¡., i ico rrniforlre conl lnado cu ui la reÍtú¡ir - 'uadrar la ct i l os lar los scn r ie lorrgi t r idr loble cie los ¡ l¡ : la tsplra (ver f ig, '17-3,1').

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I_, 'XXXXXXlí r----l ll l I ' ; x < ^l l . l ¡+l l I x x Y x ^ ll i i l

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[ ' igura 17"87

Flgura 17-39 Flcuro 1?-40

t7. l l Un disco metál ico de radio o rotacon velocidad an€¡ular to en un planodonde hay un campo magnético uni-forme 'IJ paralelo al eje del disco (verf ig. 17-41). Demostrar que la diferenciade potencial entre el centro y el bordees $coa2$.17.72 Un solenoide t iene una longitudde 0,30 m y una sección de 1,2 x 10-3 mr.LIna bobina de 300 vueltas está arrol ladsen su parte central. Dcterminar (a) suinducción mutua, (b) la fem inducida enla bobina si en 0,2 s se invierte el sentidode Ia corriente de 2 A que circula por elsolenoide.

17.73 Las bobinas A y B t ienen 200 y800 vueltas respectivamente. Una co-rriente de 2 A en A produce un flujomagnético de 1,8 x 10-' Wb en cadavuelta de .8. Calcular (a) el coeflcientede inductancia mutua, (b) el f lujo mag-nético a través de A cuando hay unacorriente de 4 A en B, (c) la lem indu-cída e¡r B cuando la corr iente e¡r ávarla dc ll A a. 1 A en 0,3 s.

17"14 Se colocan dos bobinas coaxial-m€nte como s€ muestra en la f ig. 17-42.

Probiemas

Flcur¡ 1?-41

La bobina 1 está conectada a una fuenteexterna V5, de fem. Suponer que la geo-metrfa es tal que un quinto del f lujomagnético producido por la bobina 1pasa por la bobina 2 y viceversa. Lasresisterrcias de las bobinas son R, y R,y la bobina 2 está conectada a una re-sistencia externa como se muestra. Losnúmeros de vueltas de las bobinas sonN. y N¡. El flujo total producido por labobina 1 está dado por <Do : ( l¡ lN1)I1,donde I, es la autoinductancia de la bo-bina 1. (a) Encontrar la fem inducida enla bobina 2 cuando /, aumenta unifor-memente de 0 a .Io en f s. (b) Encontrarla fem inducida en la bobina 2 cuandoIt : Io sen cof, (c) ¿Cuánta energia se re-quiere del circuito 1 como resultado dela inducción en la bobina 2?

71 .15 Se coloca una bobina de N vuel-tas alrededor de un solenoide muy largode sección S que tiene n vueltas por uni-dad de longitud (ver fig. 77-34). Demos-trar que la inductancia mutua del sis-tema es ponNs.

17.16 En el centro de una bobina circu-lar de radio c que tiene N, vueltas, hay

68.5

x-¡_-¡GI

I

i

"lILII

TII

_l_

x

Figurr 17-42 Figura 17-43 Fig'r¡* 1t-n*

(8

686 (lczn¡'as ele': irttntagnetircs CtpenCí;:¡:!r ' ; le! i!em'yt:

una bobina ¡¡1u1' pgqueña de sección ,!que t iene N, vrteltas, como sc muestrr len la l ig. 17.4' l^ L)eniostrar que la induc.-tancia mutua es {¡roNrNrS cos 0/o, dol ide0 es eI ángulo entre ias normales a i .sdos bobi¡ras.

t7.17 l i l f iujo magnótico a través de uncircuito de resistencia ¡ l es (Ds, En untiempo determinado el f lujo varia e¡rA(Ds" Dernostrar que la cantidad de cargaque pasa a través de cualquier seccióndel circuito es 0 : AOo/R, independien-temente de que la variación de f lujo searápida o lenta.17.18 lJna bobina de 1000 vueltas y conuna resistencia de 100 f) está amolladaen un solenoide muy largo que t iene 10{vueltas por metro y una sección Ce2 x 10-3 ¡nt. La coniente que circula porel solenoide es de 10 A, En un t iempocorto dicha corr iente se (a) dupl ica, (b)reduce a cero, (e) invierte. Encontra¡ !acantidad de carga que circula por la bo-bina en cada caso.17.19 Encontrar la autoinductancia deun solenoide toroidal de N vueltas. Su-poner que el radio del bobinado es muypequeño respecto al fadio del toro.

1?. '¿2 :: iL ei probiema 17.21 se desirre-ció la resisten(: ia r. !e las inductancias. Sisus resisie¡rt : ias son I l , y R, el procedi-mie¡to es el siguiente: se equil ibra pri-rnero el puente hasla que no haya co-¡riente entrr¡ I y I) cuando se aplica unafem ¿onslenie. A continuación se equil i -bra el puente como en el problema 17-21,sirr cambiar ia resistencia. Demostrar quese mantiene la misma relación.

tr ' lgura 17-48 -Y {

77.23 Si el circuito rectangular de lafrg. 17-46 se mueve con velocidad u ale-jándose de la corriente rectillnea, encon-trar la fem inducida. Usar dos métodos.lSugerencia: Recordar el problema 16.68y tener en cuenta que ¿t : dr/dl.]17.24 Reflriéndose a la situación estu-diada en las secciones 17.2 y 17.4, calcu-lar el carnpo eléctrico en el sistema dereferencia fijo al conductor móvil y de-terminar la diferencia de potencial entresus puntos terminales.17.25 Aplicar el estudio de la sec-ción 12.10 al análisis de dos circuitosidénticos acoplados.17.26 Se conecta un capacitor C quetiene una carga inicial {o & un resistor R.Si se ciena el interruptor S de la flg.77-47,el capacitor se descarga a través del re-sistor. Demostrar que (a) la corriente enel circuito es f : -dqldt, (b) Ia ecua-ción del circuito es qlc : R/, (c) lacarga del capacitor al tiempo ú esq : qoeal&c, (d) la energia disipada enla resistencia por efecto Joule es iguala la energla inicial del capacitor. [Suge-rencta: Para (c) combinar (a) y (b); para(d) calcular la integral Í7 RI" dt . I17.27 Un capacitor C, t iene una cargainicial go. Cuando se cierra el lnterrup-tor S (fig. 17-48), el capacitor se conecta

I ' iguta l7-4ó

17.2A El f lujo ma.gnético a través de t incircuito por el que circula una corr ientede 2 A es 0,8 Wb. Encontrar su autoin-ductancia, Calcular la fem inducida enel circuito si en 0,2 s la corr iente se (a)duplica, (b) reduce a cero, (c) invierte.

17.21 El puente i lustrado en la f lg.17-45se puede usar para comparar las dos in-ductancias L, y Lr. Se equil ibra el puentede modo que la coniente de B a D seacero en todo momento cuando sc apl icala fem alterna Vs. Mostrar q:ue Lrl L" -=8'/Rn.

g Galvanómetro

+?[--_-l-rr' t ¡r

Ftgure 1?-4?

después de cerrar el interrüptor S, (a) lacorr iente en el circuito es / : +dqldt,donde q es l¿ c¿¡g¿ acumulada en elcapacitor, (b) la ecuación del circuito esVt - qlC : Á/, (c) la carga en funcióndei t ienrpo es q : YsC(1 - el l?c), lacorr iente en función del t iempo esI : { f '¿ i¿l)e-úlsc. Representar g é 1

"nfuncién del t iempo.17.30 Un circuito está compuesto deuna resistencia a la cual se aplica una

tsroblemas 68?

Flgura 17-49

fem alterna Ve : Vo sen of. Demostrarquc la corriente está dada por ¡ : ( yoi R)sen <ol, representar los vectores rotantesde la fem y de la corriente y mostrar queestán en fase. ¿Cuál es la impedancia delcircuito ?17.31 Un circuito está conrpuesto deuna fem alterna de amplitud Vso y fre-cuencia angular co, conectada a un capa-citor C. (a) Encontrar la corriente. (b)Dibujar los.vectores rotantes correspon-dientes a la fem aplicada y a la corriente.(c) Representar la coniente en fu¡rciónde<oydeC.

17.32 Se conecta un capacitor de 1pFa una fuente de CA cuya amplitud <kvoltaje se mantiene constante a 50 V,pero cuya frecuencia se puede variar.Encontrar la amplitud de conientecuando la frecuencia angular ee (a)100 sr, (b) 1000 s-r, (c) 10.000 s-1.(d) Construir un gráflco bilogarftmicode la corriente en función de la frecuencia.

17.33 La amplitud de voltaje de unafuente de CA es 50 V y su frecuenciaangular es 1000 s-r. Encontrar la ampli-tud de corriente si la capacitancia de uncapacitor conectado a la fuente es (a)0,01 ¡.rF, (b) 1,0 pF, (c) 100 ¡,tF. (d) Cons-truir un gráflco bilogarltmico de la,co-rriente en función de la capacitancia.

77.34 Un ci¡cuito está compuesto deuna fem alterna de amplitud V6o y fre-cuencia angular o conectada a una auto-inductancia Z. (a) Encontrar Ia corriente.(b) Dibujar los vectores rotantes corres-pondientes a la fem aplicada, a la caldade potencial en la autoinductancia y ala corriente, (c) Representar la corrienteen función de co y de l.

77.35 A la fuente del Problema 17.32se conecta un inductor de autoinduc-tancia 10 H y resistencia despreciable.

Ftgura 1?-48

en se¡ie con un resistor R y un capacitordescargado Cr. (a) Demostrar que la ecua-ción del c i rcni to es g/C¡ *@o-ülCz:RI.(b) Determinar g e -I en lunción deltiernpo.L7.28 Se coneeta un capacitor C quetiene una earga inicial qo a una autoin-ductancia I de resistencia despreciatrle(fig. 17-49). Si se cierra el interruptor S,el capacitor se descarga a través de lainductancia. Demostra¡ que (a) la co-r¡iente que cireula por el circuito esI : -- dqidt, (b) la ecuación del circuita es qlC-L dlldt:O, (c) la carga en elcapacitor al tiempo f es q : go cos úrl,donde o : 1l]/ LC, de modo que se esta-blecen oscilaciones eléctricas. Este cir-cuito se usa para obtener oscilacionesde alta frecuencia.17.29 Se conecta una baterla de femVs y resistencia interna despreciable enserie con- un resistor R y un capacitordescargado C (flg. 17-50). Demostrar que,

Figura l?-60

r/*_.l.T-->__r-

R

f{epresentar el vector rotante de la fem.Luego, usando los resultados de los pro-blemas 1?.34 y 17.37, dibujar los vr:ctoresrotantes correspondientes a la corrienteen la resisteneia y en Ia inductancra.Su resultante da la corriente total de lacual se obtienen Ia impedancia y la di-ferencia de fase.l

l'"Flguro l7-68

17.45 Repetir el problema precedentepara los tres circuitos i lustrados en laflg. 17-53.17.46 Se conecta una bobina que tieneuna resistencia de 1 O y una inductanciade 10-3 H en paralelo con una segundabobina que tiene una resistencia de 1 O)¡ una autoinductancia de 3 x 10-3 H.Se aplica al sistema una fem alterna conuna amplitud de 10 V y una frecuenciaangular de 120r s-1. Calcular (a) Ia co-rriente que circula por cada bobina,(b) la corriente total, (c) RepresentarIos vectores rotantes de la fem, de lacorriente en eada bobina y de la co-¡riente total. (d) Verificar que el vectorde la corriente total es igual a la sumade los vectores de cada corriente,77.47 Un circuito está compuesto de:¡n inductor y un capacitor en paralelo,conectados en serie con un resistor comose muestra en la fig. 17-54. (a) Dibujar

Problemas 689

v{¡Va

Flgun 1?-64

los vectores rotantes correspondientes aV5, It, Ic, RI, Vz y Vc. (b) Demostrarque Ia impedancia del circuito esÍR' I o2L2l(l - a2LQ2lrrr. ¿Cuál es elvalor de Ia impedancia cuando <o :7ly LC'l (en este caso se dice que hayantirresondncio). (d) É{acer una repre-sentación esquemática de la corriente enfunción de la frecuencia. [Sugercncia:Observar que la suma de los vectoresrotantes de las corrientes qu€ pasan porL y C debe ser igual al de la corrienteque pasa por rR, pero los correspondien-tes a la diferencia de potencial deben seridénticos. También se muestra el dia-grama de vectores rotantes para ayudaral estudiante.l77.48 Una bobina circular de radio a,¡esistencia R y autoinductancia L roLacon velocidad angular constante alrede-dor de un diámetro perpendicular a uncampo magnético uniforme (ver fig.17-55). Encontrar (a) la fem inducidaen la bobina y la corriente que circulapor ella, (b) los valores medios de lascomponentes r e y del campo magnéticoinducido por la bobina en O, (c) el án-gulo que una aguja magnética colocadaen O forma con el eje X.

Fisure 17-65

x

I

I -

Cam¡tos eleúromagnéticos depenriientes de! tíempo

I7.49 Demostrar que si '¡ i -- Cir se sa-tisface la ec. (17.8). ISugerencia-' Calcu-lar ')3 para r arbitrario, introducir elvalor en la ee. (1?.8) y calcular la deri-vada respecto a r.l17.50 Una carga g dc masa m se mueveen una órbita circular de radio p bajo laacción de una fuerza centrlpeta F. Du-ranle cierto intervalo de tienrpo, se esta-blebe un campo magnético uniforme per-penclicular al plano de ia órbita. Usandoia iey de la inducción electrontagnética,demostrar que la variación del niódttlode la velocidad del ion ss i¡i:--qp )l i2my que Ia variación correspondiente del;no¡nento magnético es Arn :-(l '?' l lm))J. Comparar con el e jenrplo 16.21. ISu-ilerencia: Para obtener la aceleraciónlangcncial mient¡as el campo magnéticoestá variando, usar la ec. (17.6) obteltidaal discutir el betatrón.l1'7.51 Refirióndose a la situación des-crita en la sección 17.5 (a) demostrarque en el sistema de referencia en elcual el circuito está en reposo y elcampo magnético rota con velocidadangular - er, A(nlAt x %, (b) Es-cribir la ec. (17.15) con este valor deQV3l7t y, usa¡rdo el resultado del pro-blema 16.64, demostrar que el campoeléctrico observado en este sistema de re-ferencia es d : 11co x )l) *

". (c) De-

mostrar que la fem producida por estecampo eléctrico es la misma que la fernmedida por el observador fi jo al canrpomagnético. fSugerencia: Notar que ]r xdt es el área del triángulo determinadopor ambos l '€ctores Y que A \ R'C --4.8 x f , . 117.52 En una región donde hay uncampo magnético uniforme')I, el móduiodel campo está aumentando con una ra-pirlez constante, es decir, 0l1i?t : o,donde b es un vector constante paraieloa 19, (a) Denrost¡ar que, cotrlorme a la

ec. (17.15)" el campo eléctr ico en cadapunto es ¿ : - lb x t. (b) Coiocandoel eje Z paralelo al campo magnético,obtener las componentes cartesianas def. (e) Representar las llneas de fuerzatle los campos eléctrico y magnético.17.53 Encontrar el f lujo eléctrico a tra-vés de una eslera con centro en unacarga que se mueve a alta veiocidad.lSugerencia: Usar la cxpresión (15.64)dc la ley de Gauss. l1?.54 Escribir la forma diferencial delas ecuaciones de Maxwell (tabla 17-2)usando el operador V.17.ó5 Demost.rar que la forma diferen-tial de la ecuación de continuidad 117.51)xs AplAt : - div j.

17.5ij Demostrar que para que la ecua-ción de continuidad escrita en el pro-blema 1?.55 permanezca invariante bajouna tra¡rsformación de Lorentz paratodos los observadores inerciales, es ne-cesario que la corriente y ia densidad decarga se transformen de acuerdo conla ley

. . i t *ouj', : -::=-:=, i'v : iv,V | - ¡¡21¿z

i 'z: iz ,

Escribir el lfmite no relativista de estasexpresiones y discutir su verosimilitud.[Sugerencíar Recordar que i - pD es ladensidad de corriente para cargas quese mueven con velocidad o.l

77.5i Verif icar por $ustitución directaque la ec. (17.3-t) es solución cie la ec.(17.33) si io y ¿ están dados por lasecs. (17.35) y (17.39), respectivamente.ISugerencia.' Desarrollar primero sen(r¡f -- a) y reemplazar sen .ú y cos cr porlos valores obtenidos de la ec. (17.39).1

, ? - iúlcrtJ_. ' - - r -_-

V 7 - ullcz

688 Campos eleüromnqnélist¡; $.sp¡¡1rl i

Encontrar la anr¡r1i l .ud dc cornerrte ¡: i¡an..do la f recuencia angular es (a) 1ü0 s-r .(b) 1000 s-r, tc) 10.000 s- ' . (d) f lolstruirun gráflco biJogar' Í tmico de la arnpl i l rrdde corr iente en funci/rn de la frecuencia.

17.20 Encontra¡ la arnpl i tud r ie co-rr iente si Ia autninductancia de un in-ductor sln rcsistencia ccneclario a !:¡fuent"e del problerna 17,33 es (a) {1.01 t{,{b) l ,ü t I , (c i 100 H. (r i ) Constnr i r ungráfico bi logarltmico de la ampli lud Cecori iente en función de la ar¡toi¡ ldt¡r:-l¿ncia"L' l .37 [Jn circuíto está compuesto ( ieuna resistencia

-v una autoind¡rct;¡nriae': l s*f!c

-v sc lc apl ica unÉ fem *lt*¡naVt =.. y'so spñ r¡i,¡f. I)*-'rr¡oslrar ilue ]1 ¡¡n-;:edailcia ricl ¡rrrcuilii es jl 1l? t, í¿i,'i,), -,'r ;ue la cor¡ irnie eslá cn airas(. ' rcspect.(:a la íem en un ángulo tg-1 (r¡ i l , r?). ig¡¡-gerencia.: Ditrujar el vector r 'ot.antc.Luego, ut i l i rantio los resultados dci prc-biem¿r 17,34, r j ibujar los vectores rotan-tes t:orresponrlientes a Ia diferencia depotcncial o fcm en la resistencia y en lainductancia" Encontrar su módulo v

Flgura 17.51

comparar con V6o para obtener la impe-dancia. EI ángulo entre el vector rotantetotal de la fern y el vector rotante de lacorriente da la riiferencia de fase.]17.38 Repetir el probiema precedentepara un circuito compuesto de (a) unaresisténcia y una capacitancia, (b) unainductancia y una capacitancia.17.39 Una bobina que tiene 20 vueltasy un área de 0,04 mr rota a 10 rev s-len un campo magnético de 0,02 T. Laresistencia de la bobina es 2 0 y su auto-inductancia es 10-3 H. Encontrar la ex-presión de (a) la fem inducida, (b) tacorriente.17.40 En el circuito de la fig. 1?-51Vc -= l ' . : 'o selr <¡ l es una fenl a l te ina. Dn-

¿¡r,¡, .' ¿Jei Íler,'ipr.

{: ! l i i iar r i alnpi! . | ;r t i }¡ le fase respecto ala f i : : i l r lo ics Ciiercnci¡.s <ie potencial Voy.l ' r". Yea, 1'o., l ' rc. I ,Swgerencia: DibujnrIos correspcnrl icntes vector€s rotantescor'¡o r€ i¡rdicrl en la fig. 17-271.1?.4:, -{e ci.,r¡recta una fem alterna quet ie¡e 1rr valcr máximo de 100 V y unafrecuencia ang;ular de 120r s-r en serieLlolr una resistencia de 1 O, u¡ra autcl in-ductancia de 3 x 10-3 II y una capaci-tancia de 2 x l0-3 F. L-ieterrninar (a' .¡ ja: l rn¡r l i tud ¡-- la fasc de la corr ientc,-(b)le diferencia de potencial en el resistor,en el !nductor y en el capacitor. (c) Hacerr-in diagrama n-lostrando los vectores ro-iái1l.es coÍrespcndrentes a Ia I?nr apl i-,-:¿.'l¿, ¿1 la coiriente ,-{ a ias tres diferen-r lss dc pot€nc¡al. (Lt) Verif icar que lasu¡ira r ic los t.rc; r ;ectores di ierencia dei]4r 'e i¡{ ial es e, l I 'ectcr {cm.1?..1: Si , l*c I lac son las rafces de lasme¡l ias cuadráticas de la coniente y dela lenr en un ciclo, demostrar que1^": Iol ln, c-" : (otV 2y F : r-. i-"cos 0(, donde a es ei ángulo de fase entrela corriente y Ia fem.17.43 Un circuito consiste en una femalterna, de valor máximo 100 V, una re-sisteneia de 2 O, una autoinductanciade 10-3 H y una capacitancia de 10-3 F,todas conectadas en serie. Encontrar elvalor máximo de la corriente para lossiguientes valores de la frecuencia angu-lar de la fem: (a) 0, (b) 10 s-', (c) 102 s-1,(d) resonancia, (e) 10a s-r, (f) 1ff s-1. Re-

I

Fleura 17.62

presentar la corriente en función dellogaritmo de la frecuencia.77.44 Un circuito está compuesto deuna resistencia y una inductancia enparaielo como se muestra en ta fig. 1Z-52.Demcstrar que la impedancia total t lelcircuito está dada por

t iz - . f uR; +t iG,,r ty la fa-se por arctg (Rla¡L). fsugerencía: