alocação ótima de bancos de capacitores em sistemas ... · ficha catalográﬁca edgar felix...

Centro de Tecnologia e UrbanismoDepartamento de Engenharia Elétrica

Edgar Felix Iastrenski

Alocação ótima de bancos de capacitores emsistemas radiais de distribuição utilizando um

algoritmo genético especializado

Londrina

2015

Universidade Estadual de Londrina

Centro de Tecnologia e UrbanismoDepartamento de Engenharia Elétrica


Alocação ótima de bancos de capacitores em sistemas radiaisde distribuição utilizando um algoritmo genético

especializado

Trabalho de Conclusão de Curso orientado pelo Prof. Dr. Luis AlfonsoGallego Pareja intitulado “Alocação ótima de bancos de capacitoresem sistemas radiais de distribuição utilizando um algoritmo genéticoespecializado” e apresentado à Universidade Estadual de Londrina, comoparte dos requisitos necessários para a obtenção do Título de Bacharelem Engenharia Elétrica.

Orientador: Prof. Dr. Luis Alfonso Gallego Pareja

Londrina

2015

Ficha Catalográfica

Edgar Felix IastrenskiAlocação ótima de bancos de capacitores em sistemas radiais de distribuição utili-zando um algoritmo genético especializado - Londrina, 2015 - 41 p., 30 cm.Orientador: Prof. Dr. Luis Alfonso Gallego Pareja1. Alocação de capacitores. 2. Algoritmo genético. 3. Otimização. 4. Redução deperdas. 5. Redes de distribuição compensadas.I. Universidade Estadual de Londrina. Curso de Engenharia Elétrica. II. Alocaçãoótima de bancos de capacitores em sistemas radiais de distribuição utilizando umalgoritmo genético especializado.


Alocação ótima de bancos de capacitores emsistemas radiais de distribuição utilizando um

algoritmo genético especializado

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de En-genharia Elétrica da Universidade Estadual de Londrina, comorequisito parcial para a obtenção do título de Bacharel em Enge-nharia Elétrica.

Comissão Examinadora

Prof. Dr. Luis Alfonso Gallego ParejaUniversidade Estadual de Londrina

Orientador

Prof. Dr. Silvia Galvão de Souza CervantesUniversidade Estadual de Londrina

Prof. Me. Juliani Chico PiaiUniversidade Estadual de Londrina

Londrina, 26 de fevereiro de 2016

À minha namorada Rayane e aos meus pais Cláudia e Gerson.

Agradecimentos

Agradeço à minha namorada Rayane Isadora Lenharo pelo amor, companheirismo eincentivo, por sempre me apoiar nas minhas decisões e me aguentar nas horas difíceis.

Agradeço a toda minha família, em especial a meus pais, por sempre acreditarem emmim e não medirem esforços para que eu chegasse até esta etapa da minha vida.

Agradecimentos especiais aos meus amigos de curso Aislan Gabriel Hernandes, DárioGuilherme Toginho, Gabriel Rezende Germanovix, Jefferson dos Santos Ambrosio, Lucas daSilva Dias, Lucas Claudino, Matheus Daniel Faccin, Raul Ambrozio Valente Neto, RicardoTadashi Kobayashi, Ricardo Vertuan Santos e Sérgio Luiz Sambugari Júnior pelos inúmerosmomentos de descontração e de aprendizagem.

Agradeço a todos os professores com quem tive a oportunidade de trabalhar duranteo curso, em especial a meu orientador Luis Alfonso Gallego Pareja e aos professores AndréTsutomu Ota, Décio Luiz Gazzoni Filho, Juliani Chico Piai, Olivio Augusto Weber, Taufik Abrão,Vera Lúcia Lopes Cristóvão e Walter Germanovix, por contribuirem com meu aprendizado eformação pessoal.

Por fim, agradeço a todos que de alguma forma estiveram e estão próximos de mim, pelaamizade e apoio.

"wowvery TCC

much engenharia"

Doge

Edgar Felix Iastrenski. 2015. 41 p. Trabalho de Conclusão de Curso em Engenharia Elétrica -Universidade Estadual de Londrina, Londrina.

ResumoO objetivo deste trabalho foi o de desenvolver um algoritmo genético para solucionar o problemade alocação ótima de capacitores em sistemas de distribuição de energia elétrica. A alocaçãoótima de capacitores é um problema discreto de natureza combinatória, em que o número deopções a serem analisadas cresce exponencialmente com o tamanho do sistema. O algoritmogenético é uma técnica computacional de otimização que irá, através da alocação de bancos decapacitores, minimizar o custo total do sistema, composto pelas perdas de potência ativa e oinvestimento em bancos de capacitores. Foram feitas algumas modificações no procedimentotradicional do algoritmo genético para ser utilizado neste problema, como o critério utilizadopara a incorporação de novos indivíduos e uma modificação na população inicial, retirando-secapacitores em excesso. Os parâmetros do algoritmo genético foram escolhidos de forma ase preservar a diversidade da população e evitar uma convergência lenta do algoritmo. Foramrealizados testes para os sistemas de 9, 69 e 135 barras. Nos sistemas testados, foram comparadosos custos totais, perdas de potência ativa e o perfil de tensão sem a adição de bancos de capacitorese com a alocação proposta pelo algoritmo. Com as comparações feitas, é possível concluir quea alocação de capacitores pode reduzir as perdas e melhorar o perfil de tensão de sistemas dedistribuição.

Palavras-Chave: 1. Alocação de capacitores. 2. Algoritmo genético. 3. Otimização. 4. Reduçãode perdas. 5. Redes de distribuição compensadas.

Optimal capacitor allocation in radial distribution networks using a specialized geneticalgorithm. 2015. 41 p. Monograph in Engenharia Elétrica - Universidade Estadual de Londrina,Londrina.

AbstractThe objective of this study was to develop a genetic algorithm to solve the optimal capacitorallocation problem in power distribution networks. The optimal capacitor allocation is a discreteproblem of combinatorial nature, in which the number of options to be analyzed grows exponen-tially with the network size. The genetic algorithm is a computational optimization technique thatwill, through the allocation of capacitor banks, minimize the total system cost, which consists ofthe real power losses and the investment in capacitor banks. Some modifications were made inthe genetic algorithm traditional procedure to be used in this problem, such as the criteria used forthe incorporation of new individuals and an alteration in the initial population, removing excesscapacitors. The genetic algorithm parameters were chosen in order to preserve the populationdiversity and avoid a slow convergence of the algorithm. Tests were carried out on the 9, 69 and135 bars systems. In the tested systems, total costs, active power losses and voltage profile wewecompared without adding capacitor banks and with the allocation proposed by the algorithm.With the comparisons made, it can be concluded that capacitor allocation can reduce powerlosses and improve the voltage profile in distribution systems.

Key-words: 1. Capacitor allocation. 2. Genetic algorithm. 3. Optimization. 4. Loss reduction. 5.Compensated distribution lines.

Lista de ilustrações

Figura 1 – Curva de duração de carga discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Figura 2 – Sistema radial de distribuição composto por 9 barras . . . . . . . . . . . . . 9Figura 3 – Representação por cromossomos de um indivíduo em um sistema de 9 barras 9Figura 4 – Exemplo de população para um sistema de 9 barras . . . . . . . . . . . . . 10Figura 5 – Exemplo do processo de geração de um filho a partir dos dois pais selecionados 13Figura 6 – Exemplo do processo de mutação, aplicado ao filho gerado da Figura 5 . . . 14Figura 7 – Fluxograma do algoritmo genético desenvolvido . . . . . . . . . . . . . . . 18Figura 8 – Melhor FO a cada iteração realizada, para o sistema de 9 barras . . . . . . . 23Figura 9 – Perfil de tensão do sistema de 9 barras, antes e após a alocação de capacitores

proposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Figura 10 – Sistema radial de distribuição composto por 69 barras . . . . . . . . . . . . 25Figura 11 – Melhor FO a cada iteração realizada, para o sistema de 69 barras . . . . . . 27Figura 12 – Perfil de tensão do sistema de 69 barras, antes e após a alocação de capacitores

proposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Figura 13 – Sistema radial de distribuição composto por 135 barras . . . . . . . . . . . 29Figura 14 – Melhor FO a cada iteração realizada, para o sistema de 135 barras . . . . . . 31Figura 15 – Perfil de tensão do sistema de 135 barras, antes e após a alocação de capaci-

tores proposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Figura 16 – Impacto do tamanho da população no algoritmo genético desenvolvido . . . 35Figura 17 – Impacto da taxa de mutação no algoritmo genético desenvolvido . . . . . . 36Figura 18 – Impacto do número de indivíduos por torneio no algoritmo genético desen-

volvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Lista de tabelas

Tabela 1 – Níveis de carga considerados para o sistema de 9 barras . . . . . . . . . . . 21Tabela 2 – Alocação de capacitores proposta para o sistema de 9 barras, considerando

tempo de 1 ano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Tabela 3 – Detalhes da função objetivo para a alocação proposta no sistema de 9 barras 23Tabela 4 – Redução das perdas de potência ativa no sistema de 9 barras . . . . . . . . . 24Tabela 5 – Níveis de carga considerados para o sistema de 69 barras . . . . . . . . . . 26Tabela 6 – Alocação de capacitores proposta para o sistema de 69 barras, considerando

tempo de 1 ano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Tabela 7 – Detalhes da função objetivo para a alocação proposta no sistema de 69 barras 27Tabela 8 – Redução das perdas de potência ativa no sistema de 69 barras . . . . . . . . 28Tabela 9 – Níveis de carga considerados para o sistema de 135 barras . . . . . . . . . . 30Tabela 10 – Alocação de capacitores proposta para o sistema de 135 barras, considerando

tempo de 1 ano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Tabela 11 – Detalhes da função objetivo para a alocação proposta no sistema de 135 barras 31Tabela 12 – Redução das perdas de potência ativa no sistema de 135 barras . . . . . . . 32Tabela 13 – Níveis de carga considerados para o sistema de 135 barras, com tempo total

de 10 anos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Tabela 14 – Alocação de capacitores proposta para o sistema de 135 barras, considerando

tempo total de 10 anos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Lista de Siglas e Abreviaturas

FO Função ObjetivoPU Por Unidade

Lista de Símbolos e Notações

v Custo total do sistemaKe Preço das perdas de potência ativant Número de níveis de cargapi Perda de potência ativa no nível de carga iTi Duração do nível de carga iSi Nível de carga iΩ Conjunto de todas as barras do sistemauk Potência reativa do banco de capacitores alocado na barra kf(uk) Custo do banco de capacitores alocado na barra kPk Injeção líquida de potência ativa na barra kQk Injeção líquida de potência reativa na barra kΩk Conjunto de todas as barras ligadas à barra kVk Módulo da tensão na barra kθk Ângulo da tensão complexa na barra kθkm Diferença entre os ângulos das tensões nas barras k e mGkm Condutância da linha que liga as barras k e mBkm Susceptância da linha que liga as barras k e mV min Tensão mínima permitida para as barras do sistemaV max Tensão máxima permitida para as barras do sistemaumaxk Máxima potência reativa que pode ser alocada na barra kNB Número de barras do sistemaKc Preço por kVAr do banco de capacitoresKi Preço da infraestrutura por barra com capacitores alocadosNC Número de barras onde foram efetivamente alocados capacitoresM Tamanho da populaçãokT Número de indivíduos selecionados para o torneioσ Taxa de mutaçãoitmax Número máximo de iteraçõesitstop Número de iterações sem alteração na população usado como critério de paradaKp Preço da penalidade sobre as perdas no nível de carga mais elevado

Sumário

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 MODELO MATEMÁTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4 ALGORITMO GENÉTICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.1 Codificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2 Função objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.3 População inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.4 Seleção dos pais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.5 Crossover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.6 Mutação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.7 Incorporação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.8 Diversidade da População . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.9 Critério de parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.10 Fluxograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 AJUSTE DOS PARÂMETROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.1 Tamanho da População . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2 Número de Indivíduos selecionados para o Torneio . . . . . . . . . . . . 195.3 Taxa de mutação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.4 Critério de Parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6 RESULTADOS NUMÉRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.1 Sistema de 9 barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.2 Sistema de 69 barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.3 Sistema de 135 barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286.4 Parâmetros do Algoritmo Genético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

7 CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

8 TRABALHOS FUTUROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1

1 Introdução

Bancos de capacitores são utilizados em sistemas de distribuição para diminuir as perdasde potência ativa nas linhas, melhorar o perfil de tensão nas barras, corrigir o fator de potência,compensar a potência reativa, e aumentar a capacidade do sistema. A eficácia da alocação decapacitores em sistemas de distribuição depende da escolha do local, tamanho, tipo e número decapacitores (LEVITIN et al., 2000).

Deve-se ter em mente o fato de que minimizar as perdas do sistema não significa alcançaro máximo benefício possível, pois o investimento realizado pode ser muito alto (EL-FERGANY;ABDELAZIZ et al., 2014). Gasta-se instalando os bancos de capacitores, enquanto é feita umaeconomia ao se reduzirem as perdas de potência ativa. Portanto, é necessário levar em conta otempo de retorno do investimento. Esse balanço deve ser levado a um ponto ótimo, de formaa reduzir os gastos totais em um determinado período de tempo (tipicamente de 1 a 10 anos)(GUIMARAES; CASTRO; ROMERO, 2010).

Com essas considerações, e respeitando-se as restrições de operação do sistema elétrico(limites mínimos e máximos de tensão e corrente máxima nas linhas, por exemplo), o problemade alocação de capacitores tem por objetivo determinar os tipos, as quantidades e as localizaçõesideais dos bancos de capacitores no sistema de distribuição (BOONE; CHIANG, 1993; CHIANGet al., 1990).

As principais dificuldades em se determinar a alocação ótima de bancos de capacitoressão os fatos de que trata-se de um problema discreto de natureza combinatória e que o número deopções a serem analisadas, bem como o número de mínimos locais, aumentam exponencialmentecom o tamanho do sistema (GALLEGO et al., 2001). O algoritmo pode convergir para ummínimo local, por exemplo, se a configuração de capacitores encontrada como sendo a ótima fora melhor entre várias outras que sejam semelhantes a esta, e o algoritmo não tem a capacidade debuscar soluções diferentes destas. Desta forma, a solução encontrada não será a melhor possível(mínimo global do custo do sistema), e sim um mínimo local.

Diversas técnicas foram propostas para solucionar o problema da alocação ótima decapacitores. Entre os principais algoritmos utilizados, pode-se destacar: cuckoo search (EL-FERGANY; ABDELAZIZ et al., 2014), harmony search (SIRJANI; MOHAMED; SHAREEF,2011), simmulated annealing (CHIANG et al., 1990), tabu search (HUANG; YANG; HUANG,1996; GALLEGO et al., 2001) e particle swarm optimization (PRAKASH; SYDULU, 2007).

Este trabalho propõe a utilização de um algoritmo genético especializado para a determi-nação da solução ótima do problema. Esta técnica foi utilizada por diversos autores (BOONE;CHIANG, 1993; SUNDHARARAJAN; PAHWA, 1994; GALLEGO et al., 2009; LEVITIN et

Capítulo 1. Introdução 2

al., 2000; GUIMARAES; CASTRO; ROMERO, 2010), com resultados satisfatórios.

O algoritmo genético consiste em gerar aleatoriamente várias soluções possíveis para oproblema da alocação de capacitores. Fazendo analogia ao processo evolutivo dos seres vivos,cada uma dessas soluções representa um indivíduo, e o conjunto considerado de diferentessoluções propostas representa a população.

Cada indivíduo tem um valor associado a ele, chamado de função objetivo (FO). A funçãoobjetivo de cada indivíduo indica o custo total do sistema, considerando os gastos com bancosde capacitores e preço das perdas de energia durante um intervalo de tempo definido. O valor daFO permite classificar um indivíduo como melhor ou pior que outros, considerando que quantomenos o valor da FO, melhor o indivíduo, pois este apresenta um custo menor (LEVITIN et al.,2000). O objetivo do algoritmo genético é minimizar o valor da menor FO entre os indivíduosda população, com o melhor indivíduo indicando a alocação de bancos de capacitores propostacomo sendo a solução ótima do sistema.

A população inicial é gerada de forma aleatória, e vai sendo modificada a cada iteração.Para obter novas configurações, são aplicados os operadores genéticos sobre a população exis-tente: seleção de pais, crossover, mutação e incorporação. A seleção de pais consiste em escolherdois indivíduos da população que tenham custo baixo (em relação aos outros indivíduos), ea partir destes formar um novo indivíduo, chamado de filho. O filho é gerado combinando ascaracterísticas dos dois pais, através do processo de crossover. Dessa forma, espera-se que ofilho represente uma alocação de capacitores mais econômica para o sistema, comparado comas alocações já presentes na população. O operador de mutação é aplicado a cada filho gerado,com a intenção de introduzir novas características na população. O filho gerado a cada iteração éentão incorporado na população se seu valor associado de FO for menor do que os indivíduos jáexistentes na população.

Este processo (composto pela seleção de pais, crossover, mutação e incorporação) repete-se até que a população estabilize. Após um certo número de iterações realizadas sem que hajanenhuma alteração na população, o algoritmo genético para e o melhor indivíduo da população éescolhido como a solução ótima para o sistema.

O custo total do sistema elétrico depende do valor das perdas de potência ativa nas linhas.Portanto, é necessário realizar o cálculo do fluxo de potência do sistema para se determinar afunção objetivo de cada indivíduo e cada filho gerado. Para modelar a variação da carga em umsistema elétrico, são considerados diferentes níveis de carga ao longo do tempo total considerado.Uma aproximação razoável é utilizar níveis de carga discretos e constantes (SUNDHARARA-JAN; PAHWA, 1994). Assim, para avaliar a FO de cada configuração, o fluxo de potência precisaser executado uma vez para cada nível de carga.

Foi desenvolvido um algoritmo para calcular o fluxo de potência, utilizando a metodologiaproposta por Cheng e Shirmohammadi (1995). Esta técnica, usada para calcular o fluxo de

Capítulo 1. Introdução 3

potência para sistemas radiais, consiste em percorrer o sistema elétrico em camadas, realizandoiterações até se obter os valores de tensões nas barras e correntes nas linhas. Primeiramente,partindo das barras mais distantes e percorrendo os ramos em direção à subestação (barra slack,com tensão conhecida), as correntes nas linhas são calculadas com base na potência instaladaem cada barra. Em seguida, é feito o caminho inverso, a partir da subestação em direção àsbarras mais distantes desta, calculando as tensões em cada barra utilizando os valores de correnteencontrados na iteração anterior. Este processo é repetido até que as equações que descrevem ofluxo de potência no sistema serem satisfeitas.

Este trabalho é organizado da seguinte forma: na Seção 2 são listados os objetivoscolocados para este estudo. O modelo matemático que descreve o problema da alocação ótima decapacitores é apresentado na Seção 3. O processo completo para a implementação do algoritmogenético desenvolvido é detalhado na Seção 4. Na Seção 5, são discutidos os critérios adotadospara se determinar inicialmente os parâmetros utilizados no algoritmo genético. Na Seção 6são apresentados os resultados obtidos ao se utilizar o algoritmo genético desenvolvido parasolucionar o problema da alocação ótima de capacitores nos sistemas elétricos de 9, 69 e135 barras, bem como a análise detalhada dos dados obtidos. E, por fim, são apresentadas asconclusões na Seção 7 e uma possível continuação do trabalho utilizando a técnica do algoritmogenético na Seção 8.

4

2 Objetivos

• Desenvolver um algoritmo genético para solucionar o problema de alocação ótima decapacitores em sistemas de distribuição de energia elétrica;

• Determinar o valor ótimo dos parâmetros do algoritmo genético;

• Realizar testes nos sistemas de distribuição de 9, 69 e 135 barras;

• Comparar as perdas de potência, custo total e o perfil de tensão do sistema original e coma adição de bancos de capacitores.

5

3 Modelo Matemático

O problema da alocação ótima de capacitores consiste em encontrar o valor mínimo dafunção v que representa o custo do sistema:

min v = Ke

nt−1∑i=0

piTi +∑k∈Ω

f(uk) (3.1)

A função v é composta por duas partes. A primeira delas representa o custo das perdasde potência ativa do sistema e a outra, o custo relacionado à instalação e manutenção dos bancosde capacitores. Em (3.1), temos:

Ke : custo da energia, dado em $/kWh;

nt : número de diferentes níveis de carga considerados;

pi : perda de potência ativa, em kW, no nível de carga dado por i;

Ti : tempo, em horas, em que o sistema permanece no nível de carga i;

Ω : conjunto de todas as barras do sistema;

uk : potência reativa do banco de capacitores alocado na barra k;

f(uk) : função que calcula o valor total gasto com os bancos de capacitores. Essa funçãopode ser calculada de diversas maneiras, dependendo do modelo a ser adotado. Normalmenteleva-se em conta o custo de aquisição, instalação e manutenção dos capacitores por barra.

Variações na carga do sistema ao longo do tempo são levadas em consideração. Estasvariações são aproximadas por níveis de carga discretos e constantes (SUNDHARARAJAN;PAHWA, 1994).

A Figura 1 mostra uma curva de duração de carga. Durante cada intervalo de tempo Ticonsiderado, a carga total de cada barra é multiplicada por Si.

Capítulo 3. Modelo Matemático 6

Figura 1 – Curva de duração de carga discreta

Fonte: o próprio autor

O problema de alocação ótima de capacitores possui um conjunto de restrições, conformedetalhado por Gallego et al. (2001) e Jr, Kuntz e Pebles (1997). O conjunto de restrições édescrito por:

Pk = Vk∑m∈Ωk

Vm(Gkm cos θkm +Bkm sin θkm) (3.2)

Qk = Vk∑m∈Ωk

Vm(Gkm sin θkm −Bkm cos θkm) (3.3)

V min ≤ Vk ≤ V max (3.4)

0 ≤ uk ≤ umaxk (3.5)

onde

Pk : injeção líquida de potência ativa na barra k;

Qk : injeção líquida de potência reativa na barra k;

Vk : tensão na barra k;

Ωk : conjunto de todas as barras ligadas à barra k;

Gkm : condutância da linha entre as barras k e m;

Bkm : susceptância da linha entre as barras k e m;

Capítulo 3. Modelo Matemático 7

θkm = θk−θm, onde θk e θm são os ângulos das tensões nas barras k em, respectivamente;

V min : mínima tensão permitida para uma barra do sistema;

V max : máxima tensão permitida para uma barra do sistema;

umaxk : máxima potência reativa que pode ser alocada na barra k.

As equações (3.2) e (3.3) são utilizadas para se calcular o fluxo de potência do sistema.Dessa forma, após alocados os bancos de capacitores, todas as tensões nas barras e correntes naslinhas serão conhecidas.

A desigualdade (3.4) representa os limites máximo e mínimo para a tensão em cadabarra, e (3.5) representa o valor máximo de potência reativa que pode ser instalada em cada barra,através dos bancos de capacitores.

8

4 Algoritmo Genético

Para solucionar o problema da alocação ótima de capacitores, foi desenvolvido umalgoritmo genético, uma técnica computacional baseada na evolução de populações de seresvivos.

O algoritmo genético utiliza uma representação em cromossomos, onde cada conjunto decromossomos compõe um indivíduo. Cada indivíduo é a codificação de uma possível alocaçãode capacitores em um vetor de tamanho finito (BOONE; CHIANG, 1993).

A população, que é o conjunto dos indivíduos considerados para encontrar a soluçãoótima, tem um número de indivíduos fixo e vai evoluindo à medida que iterações são realizadasno algoritmo, obtendo melhores configurações de alocação.

Inicialmente é gerada uma população aleatoriamente, que se modificará a cada iteraçãorealizada. Novos indivíduos são gerados a partir dos já existentes, numa tentativa de se obter umaconfiguração melhor de capacitores. Neste processo são aplicados os operadores genéticos deseleção de pais, crossover e mutação (FONSECA et al., 2009). Quando uma configuração melhoré encontrada, o indivíduo que a representa é inserido no lugar de outro indivíduo da população.

A seguir é detalhado o processo de como ocorre essa evolução através do algoritmogenético.

4.1 Codificação

Para a implementação do algoritmo genético, cada configuração de bancos de capacitoresconsiderada deve ser codificada em um vetor de tamanho finito de NB posições, onde NB é onúmero de barras do sistema, formando um indivíduo (LEVITIN et al., 2000).

A quantidade de potência reativa adicionada a cada barra, uk, pode assumir apenas algunsvalores discretos, pois é uma função do número de capacitores presentes no banco e da potênciareativa de cada um deles. Por exemplo, se os bancos de capacitores têm 300kVAr cada, em cadabarra podem ser alocados apenas múltiplos desse valor. Valores como 350kVAr ou 800kVAr nãosão permitidos, pois o número de bancos de capacitores em uma barra deve ser um número inteiro.Deve ser observado que há um número máximo de capacitores que podem ser adicionados emcada barra, para que uk não exceda o valor definido em (3.5).

Fixando-se o valor da potência reativa de cada banco de capacitores, o valor uk adicionadoa cada barra k depende somente do número de bancos alocados. Portanto, no vetor que representacada indivíduo é armazenado o número de capacitores alocado em cada barra, que é suficientepara se conhecer o valor da potência reativa adicionado.

Capítulo 4. Algoritmo Genético 9

Cada posição do vetor corresponde a uma barra do sistema, e o número em cada posiçãodo vetor representa o número de bancos de capacitores alocados na barra correspondente. Fazendoanalogia ao DNA dos seres vivos, cada posição deste vetor é chamada de cromossomo, poisarmazena a informação que diferencia este indivíduo dos outros (SUNDHARARAJAN; PAHWA,1994).

Na Figura 2 é ilustrado um exemplo de um indivíduo para um sistema composto por 9barras.

Figura 2 – Sistema radial de distribuição composto por 9 barras


Figura 3 – Representação por cromossomos de um indivíduo em um sistema de 9 barras


No vetor ilustrado na Figura 3, cada posição corresponde a uma barra do sistema daFigura 2, e cada valor armazenado representa o número de bancos de capacitores alocados emcada barra. Desta forma, este vetor caracteriza uma possível configuração para o sistema elétrico,considerando a alocação de capacitores.

Para o algoritmo genético, é necessário ter um grupo de indivíduos, chamado de popu-lação, que representa diferentes alocações de capacitores para o sistema (BOONE; CHIANG,1993). A população é simplesmente um conjunto de M vetores, conforme ilustrado na Figura 4para um sistema de 9 barras com M = 8, por exemplo.


Figura 4 – Exemplo de população para um sistema de 9 barras


4.2 Função objetivo

Para cada indivíduo na população é associado um valor v, chamado de função objetivo(FO). A FO representa o custo total da configuração de bancos de capacitores, incluindo aquisição,custo das perdas de potência ativa, manutenção e custo de operação (GALLEGO et al., 2009).

Diferentes funções objetivos são utilizadas na literatura para o problema da alocação decapacitores. Um exemplo típico, utilizado por Guimaraes, Castro e Romero (2010), é dependentedas perdas totais de potência ativa no sistema, do custo total de bancos de capacitores e do custode instalação por barra, definindo f na equação (3.1) como

f(uk) = Kc

∑Ω

uk +KiNC (4.1)

onde

Kc é o preço por KVAr do banco de capacitores, dado em $/kVAr;

Ki representa o custo da infraestrutura necessária em cada barra onde serão adicionadoscapacitores;

NC é o número total de barras onde foram alocados bancos de capacitores.


Neste caso, com a FO dada em (3.1), e f definida como em (4.1), a função objetivo écomposta por três parcelas:

• O custo total das perdas do sistema, considerando os diferentes níveis de carga;

• O custo da aquisição dos bancos de capacitores, dependente da quantidade de potênciaativa adicionada;

• O custo de infraestrutura, dependente da quantidade de barras onde serão instalados bancosde capacitores.

A função objetivo é o parâmetro que permite classificar um indivíduo como melhor oupior que outro (LEVITIN et al., 2000). Quanto menor o valor da FO de um indivíduo, menoro custo total do sistema ao longo do período de tempo considerado, e portanto esse indivíduorepresenta uma configuração mais atrativa para o sistema.

É com base nesse valor que o algoritmo seleciona as melhores configurações de capacito-res para que a população evolua de forma a preservar os melhores indivíduos.

O objetivo do algoritmo é encontrar o indivíduo com o menor valor v de FO possível, oque representa o menor custo total no sistema ao se investir na adição de bancos de capacitores.

4.3 População inicial

Como ponto de partida para o algoritmo genético, é criada uma população de forma alea-tória. Esta população criada inicialmente, que contém NB indivíduos, é chamada de populaçãoinicial (SUNDHARARAJAN; PAHWA, 1994).

Para se gerar a população inicial, primeiramente todas as posições dos vetores querepresentam os indivíduos são definidos como zero (nenhum capacitor alocado no sistema). Emseguida, para cada indivíduo, cada barra tem uma chance de 10% de ser selecionada para aalocação de capacitores. Em cada barra selecionada dessa maneira, é adicionado um númeroaleatório de capacitores (respeitando o número máximo de bancos dado por (3.5). Se algum dosindivíduos gerados dessa forma for idêntico a algum outro já existente, ele não é incorporado napopulação e é gerado outro vetor, de modo que não existam dois indivíduos iguais na população.

Após a criação da população inicial, foi introduzida mais uma modificação em relação aoalgoritmo genético padrão. Com base nos resultados já encontrados na literatura (GUIMARAES;CASTRO; ROMERO, 2010; GALLEGO et al., 2001), as soluções ótimas do problema dealocação de capacitores têm, tipicamente, poucos bancos instalados. Este fato também foiconfirmado ao se utilizar este algoritmo com diferentes sistemas elétricos.

A alteração feita consiste em percorrer cada posição dos vetores dos indivíduos geradose remover um a um os bancos de capacitores existentes. A cada banco de capacitor removido, é


calculada a FO da nova configuração e este valor é comparado com a FO do indivíduo original.Se o novo valor for menor do que o valor original e o novo indivíduo não existir na população, oindivíduo existente é alterado para esta configuração mais econômica.

4.4 Seleção dos pais

Cada iteração do algoritmo genético começa com a seleção de dois indivíduos, chamadosde pais, que vão gerar um novo indivíduo, o filho.

Na metodologia proposta, será utilizada a seleção de pais por torneio: da populaçãoexistente, são selecionados aleatoriamente kT indivíduos e, entre estes, o melhor (menor funçãoobjetivo) é escolhido como um dos pais. O outro pai é escolhido repetindo-se este processo. Aseleção por torneio foi utilizada e detalhada por Gallego et al. (2009).

Por exemplo, em uma população de 20 indivíduos, deseja-se realizar a seleção de doispais por torneio, com kT = 4.

Primeiramente são selecionados aleatoriamente 4 dentre os 20 indivíduos da população.Entre estes 4 indivíduos, será escolhido como pai o que apresentar a menor FO. Em seguida,outros 4 indivíduos (diferentes dos 4 anteriores) são selecionados aleatoriamente e o melhorentre eles (menor valor de função objetivo) será escolhido como o outro pai.

4.5 Crossover

Uma vez selecionados ambos os pais, é gerado um filho através do processo de crosso-ver. No crossover, os cromossomos dos pais são combinados para gerar um filho que contémcaracterísticas de ambos os pais.

Esse processo ocorre da seguinte maneira: os vetores dos cromossomos de ambos os paissão divididos em dois, em um mesmo ponto. Este ponto é escolhido aleatoriamente.

Para gerar o filho, simplesmente são copiados os valores dos cromossomos de um dospais à esquerda do ponto de divisão, e do outro pai à direita (LEVITIN et al., 2000). A Figura 5exemplifica este procedimento:


Figura 5 – Exemplo do processo de geração de um filho a partir dos dois pais selecionados


4.6 Mutação

Para evitar que o algoritmo convirja para um mínimo local, e para introduzir novassequências de cromossomos na população que não foram geradas na população inicial (já que estaé criada aleatoriamente), cada filho gerado é submetido ao processo de mutação (GUIMARAES;CASTRO; ROMERO, 2010).

Na mutação, há uma chance de que cada cromossomo do filho tenha seu valor alteradode forma aleatória. Para cada posição do vetor que representa o filho gerado, a chance de ocorrera mutação é dada pela taxa de mutação σ (valor entre 1 e 10%, tipicamente), um dos parâmetrosdo algoritmo genético.

Assim, além de preservar as características dos pais, também há a possibilidade de segerar novas características que contribuam para a evolução da população. A mutação deve semprerespeitar o limite máximo de potência reativa adicionada por barra, dado por (3.5). Caso hajamutação em um cromossomo, o valor gerado aleatoriamente não deve exceder o número máximode bancos de capacitores por barra.

Como exemplo, é ilustrada a mutação no filho gerado na seção anterior:


Figura 6 – Exemplo do processo de mutação, aplicado ao filho gerado da Figura 5


Como pode ser observado, um de seus cromossomos foi alterado para um valor diferentedo cromossomo do pai que o originou (mutação indicada com uma seta na Figura 6.

4.7 Incorporação

Após os processos de seleção dos pais, crossover e mutação, é gerado um indivíduo. Nesteponto, foi feita uma alteração em relação ao procedimento do algoritmo genético convencional.No algoritmo genético tradicional, a cada iteração toda a população é substituída por novosindivíduos gerados dessa forma, formando uma nova geração de indivíduos. Isso faz com que osfilhos tenham características dos pais, e introduz algumas novas características com a mutação,mas não necessariamente haverá nas futuras gerações indivíduos com menores valores de FO.Para que melhores soluções sejam encontradas a cada iteração, foi feita a seguinte modificação:a cada iteração, apenas um indivíduo é gerado, e para que este indivíduo passe a fazer parte dapopulação, alguns critérios devem ser satisfeitos.

Em primeiro lugar, não deve haver um indivíduo igual a ele na população já existente.Se já houver um indivíduo idêntico, isto significa que esta é uma configuração de alocação decapacitores já encontrada pelo algoritmo. Portanto, não há a necessidade de se ter dois indivíduosidênticos na população: este filho simplesmente é descartado e é iniciada uma nova iteração.

Sempre que um novo indivíduo é gerado, é executado o cálculo do fluxo de potência paratodos os níveis de carga considerados. Se para algum nível de carga a tensão de alguma barranão estiver dentro dos limites de tensão dados por (3.4), o filho também é descartado, já que nãorespeita as restrições impostas inicialmente.

Finalmente, a função objetivo do filho é calculada. Ele somente é incorporado na popu-lação se o valor da sua FO for menor do que o pior indivíduo existente na população. Se estefor o caso, o filho é adicionado à população e o pior indivíduo é removido, mantendo, assim, o


tamanho da população fixo (GALLEGO et al., 2009).

Caso o valor da FO do filho gerado seja maior do que todos os valores já existentes napopulação, isso significa que todas as alocações propostas na população são mais econômicasdo que a nova solução proposta ao final da última iteração realizada. Nesse caso, o filho geradosimplesmente é descartado e realiza-se uma nova iteração.

Dessa forma, o novo indivíduo vai fazer parte da população apenas se ele for diferentede todos os outros indivíduos, se respeitar os limites de tensão do sistema e se contribuir paraque existam melhores soluções na população.

Os critérios para a incorporação do filho gerado a cada iteração, descritos acima, sãoimportantes para que o algoritmo genético encontre a solução ótima para o problema de alocaçãode capacitores. Em especial, o fato de o filho substituir o pior indivíduo da população faz comque o valor médio das funções objetivos da população diminua, fazendo o algoritmo convergirpara o valor ótimo.

4.8 Diversidade da População

Para que o algoritmo genético encontre a solução ótima, é necessário que os indivíduosexistentes na população, além de não serem idênticos (cromossomos exatamente iguais), tenhamcaracterísticas diferentes entre si. Isso significa ter indivíduos com bancos de capacitores alocadosem diferentes regiões do sistema elétrico, e quantidades diferentes de potência reativa adicionadaàs barras.

Considerando, por exemplo, que dois indivíduos com bancos de capacitores alocados emdiferentes barras têm valores de FO próximos e estão entre os melhores indivíduos da população.Isto significa que essas diferentes barras são fortes candidatas a estarem entre as barras ondeserão alocados bancos de capacitores na solução ótima. Durante o algoritmo genético, estes doisindivíduos podem ser selecionados como pais e gerarem um novo indivíduo que contenha ascaracterísticas de ambos (as diferentes barras onde podem ser alocados capacitores) e há umachance de se introduzir um filho na população com uma função objetivo menor do que as dospais.

Essa diferença entre os indivíduos na população é chamada de diversidade da população.Durante a execução do algoritmo é importante manter a diversidade da população, pois indivíduossemelhantes uns aos outros podem levar o algoritmo a convergir para um mínimo local.

A mutação é importante para preservar a diversidade da população. Através dela novascaracterísticas são introduzidas na população, que podem ser combinadas com características deindivíduos já existentes, ou de indivíduos que também sofreram mutação, para buscar melhoressoluções. No entanto, a taxa de mutação não deve ser muito elevada. Isto faz com que o filho nãotenha características semelhantes às dos pais, e pode reduzir o algoritmo a uma busca aleatória


(BOONE; CHIANG, 1993).

O tamanho da população também influencia na diversidade. Populações pequenas, porexemplo com 10 indivíduos, não têm grande diversidade pois o número de diferentes soluçõespropostas é baixo. Por outro lado, populações muito grandes (por exemplo, com mais de 200indivíduos) podem fazer com que o algoritmo leve mais iterações para convergir (SUNDHA-RARAJAN; PAHWA, 1994). Isto ocorre porque poucos indivíduos são escolhidos como paispela seleção por torneio, o que faz com que em grande parte das iterações realizadas sejamselecionados pais que não têm boas características.

Outro fator que influencia na diversidade da população é o número de indivíduos que sãoescolhidos para o torneio, candidatos a serem pais do filho gerado. Se este número for muito alto,apenas os melhores indivíduos da população serão selecionados como pais, e estes indivíduosserão selecionados diversas vezes (já que no torneio se escolhe o melhor indivíduo entre oscandidatos). Isto pode parecer vantajoso, mas leva à diminuição da diversidade da população, oque pode fazer com que características desejáveis na solução ótima sejam ignoradas (GALLEGOet al., 2009).

4.9 Critério de parada

A cada iteração realizada é gerado um filho, que pode ou não ser incorporado na popula-ção. Este processo se repete diversas vezes, buscando uma configuração mais econômica a cadaiteração.

Como a solução analítica do problema não é conhecida, não é possível saber se a soluçãoótima já foi encontrada pelo algoritmo genético. Portanto, é preciso estabelecer um critério deparada para o algoritmo.

No código desenvolvido, foi estabelecido que o algoritmo irá parar após um certo númerode iterações, itstop, sem que haja mudanças na população. Isto significa que foram realizadasitstop iterações e nenhum dos indivíduos gerados representou uma alocação de capacitores maiseconômica para o sistema. Em outras palavras, nenhum dos filhos gerados teve um valor deFO que fosse menor do que o pior indivíduo da população. Neste ponto, pode-se dizer que apopulação parou de evoluir. O melhor indivíduo da população (aquele com menor FO) é entãoescolhido como sendo a configuração ótima de alocação de bancos de capacitores no sistema.

Além deste critério de parada, há também um número máximo de iterações permitido,itmax. Isto evita que a execução do algoritmo se estenda por muito tempo. Se este número deiterações for atingido, o algoritmo termina e o melhor indivíduo entre os existentes é escolhidocomo sendo a solução ótima.


4.10 Fluxograma

O procedimento básico do algoritmo genético implementado é indicado no fluxogramada Figura 7. O cálculo da FO para os indivíduos está implícito. Quando a população inicial égerada, cada indivíduo tem seu valor de FO associado, e a cada iteração, o valor da FO do filhogerado também é calculada logo após a mutação.


Figura 7 – Fluxograma do algoritmo genético desenvolvido


19

5 Ajuste dos Parâmetros

O algoritmo genético funciona com base em alguns parâmetros para realizar as iterações.Estes parâmetros são o tamanho da população M , o número de indivíduos selecionados parao torneio kT , a taxa de mutação σ e o número de iterações para o critério de parada itstop. Odesempenho do algoritmo genético depende de uma escolha adequada destes valores.

Estes parâmetros foram selecionados de modo a evitar que o algoritmo convirja para ummínimo local da função objetivo e fazendo com que o tempo computacional até se encontrar asolução ótima seja o menor possível.

5.1 Tamanho da População

Como discutido anteriormente, uma população com poucos indivíduos não apresentadiversidade, podendo levar o algoritmo a um mínimo local. Em contrapartida, um alto valor deM faz com que o algoritmo demore mais tempo até encontrar a solução desejada (VENKATESHet al., 2009). Isto ocorre pois há uma menor chance de se selecionar como pai um indivíduocom características desejáveis para a solução ótima, além do fato de que há muitos indivíduoscom alto valor de FO que devem ser substituídos na população. Populações muito grandes têmdiversidade de indivíduos alta, porém o número de iterações realizadas até se encontrar a soluçãoótima é elevado.

Com estas considerações, nos exemplos utilizados neste trabalho foram utilizadas popu-lações com tamanho entre 40 e 80 indivíduos. Este é um bom compromisso entre diversidade dapopulação e tempo computacional do algoritmo.

5.2 Número de Indivíduos selecionados para o Torneio

Este parâmetro determina quantos indivíduos serão selecionados para o torneio a cadaiteração, e o melhor de cada conjunto de kT indivíduos será escolhido como um pai.

Se kT for muito alto, poucos indivíduos terão a chance de ser selecionados como pais,o que diminui a diversidade dos filhos gerados e pode levar o algoritmo a convergir para ummínimo local. No caso limite de kT = M , todos os indivíduos da população são considerados notorneio e sempre serão selecionados os dois indivíduos com menor função objetivo como pais,deteriorando a diversidade da população.

Um valor de kT muito baixo, porém, não seleciona indivíduos com boas característicaspara gerar filhos. No caso limite de kT = 1, por exemplo, pode ser selecionado como um dos

Capítulo 5. Ajuste dos Parâmetros 20

pais o pior indivíduo da população, o que possivelmente não fará com que o filho tenha um valordesejável de função objetivo.

Em todos os sistemas utilizados como teste neste trabalho, foi selecionado kT = 3.

5.3 Taxa de mutação

Valores altos de σ podem reduzir o algoritmo a uma busca aleatória, pois os filhos geradosnão irão preservar as características dos pais. Por outro lado, se a taxa de mutação for muito baixahá o risco de se atingir um mínimo local, pois é através da mutação que são introduzidas novascaracterísticas na população. Considerando que, em geral, não há como garantir que apenaso processo de crossover irá gerar o indivíduo que representa a solução ótima de alocação, amutação desempenha um papel importante no algoritmo.

No algoritmo desenvolvido, a taxa de mutação utilizada em cada exemplo foi escolhidacomo o inverso do número de barras do sistema, σ = 1/NB. Dessa forma, a cada iteraçãorealizada é esperado que em apenas uma barra seja alterado o número de capacitores adicionadosa ela. Por se tratar de uma possibilidade, em algumas iterações não haverá mutação, enquantoem outras haverá mutação em mais do que um cromossomo, o que ajuda o algoritmo a buscardiferentes soluções.

A faixa típica da taxa de mutação em sistemas elétricos, determinada empiricamente, éde 0,1% a 5% (GALLEGO et al., 2009).

No caso de o sistema elétrico ter poucas barras (como o sistema de 9 barras utilizado), ovalor máximo utilizado para σ foi de 5%.

5.4 Critério de Parada

O último parâmetro a ser escolhido é itstop, o número de iterações sem que haja mudançana população para que o algoritmo termine sua execução. Uma mudança na população significaque um filho gerado foi incorporado, por ter um valor de FO menor do que o pior indivíduo napopulação, que é descartado.

Se itstop for baixo, o algoritmo pode parar antes de encontrar a solução ótima. Se estevalor for alto, isto não prejudica a solução encontrada pelo algoritmo, mas o tempo computacionalserá elevado, pois mais iterações serão realizadas depois que a população se estabilizou.

Nos testes realizados, foi escolhido itstop ≥ 20NB.

21

6 Resultados Numéricos

O algoritmo detalhado anteriormente foi implementado em linguagem C/C++, e foramfeitos diversos testes utilizando os dados dos sistemas de redes radiais de distribuição padrões deteste IEEE.

Os testes foram realizados com sistemas de distribuição de 9, 69 e 135 barras. O sistemade 135 barras é parte de um sistema real brasileiro, do qual foram coletados os dados, comotensão nominal, impedância das linhas e carga nas barras.

6.1 Sistema de 9 barras

Este sistema é o mais simples, que foi usado para os primeiros testes com o algoritmo. Osistema tem uma tensão nominal de 23kV, e consiste de 9 barras em um único ramo, conectadasà subestação. Na Figura 2 pode ser observada a disposição das barras neste sistema.

Os dados elétricos desse sistema podem ser encontrados em Grainger e Lee (1982).

Para a execução do algoritmo genético, foi utilizado

M = 40

σ = 5%

kT = 3

itstop = 1000

Foi considerado um intervalo de tempo de 1 ano, com 3 níveis de carga diferentes. Aduração de cada nível de carga é mostrada abaixo.

Tabela 1 – Níveis de carga considerados para o sistema de 9 barras

Nível de carga Duração (horas)Si Ti

1.1 1 0000.6 6 7600.3 1 000Fonte: o próprio autor

Capítulo 6. Resultados Numéricos 22

A função objetivo utilizada foi, conforme (3.1) e (4.1):

v = Ke

2∑i=0

piTi +Kc

∑Ω

uk +KpP0 (6.1)

A primeira parcela representa o custo das perdas e a segunda parcela, o preço dos bancosde capacitores, como em (3.1) e (4.1), respectivamente.

A terceira parcela representa uma penalidade sobre o nível de carga de pico. A constanteKp, dada em $/kW, é multiplicada pelo valor da perda de potência ativa no sistema durante onível mais elevado de carga, P0. Neste caso, o custo de infraestrutura, dado por Ki e NC em(4.1), não foi considerado.

Em (6.1), os valores das constantes utilizadas foram:

Ke = 0.06$/kWh

Kc = 4.9$/kVAr

Kp = 168$/kW

Cada banco de capacitores considerado tem 300kVAr de potência reativa, e o númeromáximo de bancos permitidos por barra é de 5. Neste caso, a restrição sobre o valor das tensõesnas barras, conforme (3.4), não foi imposta.

Sem a adição de capacitores, a função objetivo do sistema é de $ 329 029. Este valorrepresenta o custo das perdas do sistema, já que não há gasto com capacitores neste caso.

Com a adição de bancos de capacitores fixos, o algoritmo propôs a solução indicadana Tabela 2, com a qual a função objetivo cai para $ 308 909. Estes valores de função objetivoforam os mesmos calculados por Gallego et al. (2001).

Tabela 2 – Alocação de capacitores proposta para o sistema de 9 barras, considerando tempo de 1 ano

Barra Número de bancos Q instalado (kVAr)

4 4 1 2005 2 6006 1 3009 1 300


O algoritmo encontrou a solução proposta após 506 iterações, em um tempo inferior a 1segundo de execução.


O valor da função objetivo do melhor indivíduo da população ao final de cada iteraçãopode ser observado na Figura 8.

Figura 8 – Melhor FO a cada iteração realizada, para o sistema de 9 barras


Na Tabela 3 pode-se ver explicitamente o valor das perdas para cada nível de carga, bemcomo o valor da tensão (em pu) na barra com menor tensão em módulo, e o valor de cada umadas parcelas da função objetivo dada por (6.1).

Tabela 3 – Detalhes da função objetivo para a alocação proposta no sistema de 9 barras

Sistema original Solução proposta

P0 981,17kW 880,82kWP1 251,07kW 228,16kWP2 58,35kW 63,04kWVmin 0,838pu 0,864pu

Custo perdas $ 164 205,08 $ 149 172,12Custo capacitores $ 0,00 $ 11 760,00Penalidade de pico $ 164 836,92 $ 147 977,15

Custo total $ 329 042,00 $ 308 909,27Fonte: o próprio autor

De acordo com a Tabela 3, a redução do custo total do sistema foi de 6,2% após aalocação de capacitores. Também pode ser observada a variação das perdas de potência ativa nostrês níveis de carga, conforme detalhado na Tabela 4.


Tabela 4 – Redução das perdas de potência ativa no sistema de 9 barras

Nível de carga Perdas do Perdas do Redução das(Si) sistema original sistema compensado perdas de potência

1,1 981,17kW 880,82kW 10,2%0,6 251,07kW 228,16kW 9,1%0,3 58,35kW 63,04kW -8,0%


Nos níveis de carga mais elevados, houve uma significativa redução nas perdas do sistema.Neste sistema, houve uma exceção quando o nível de carga foi igual a 30%: o valor das perdasaumentou após a alocação de capacitores. Neste caso o aumento das perdas se deve à baixa cargado sistema, fazendo com que a potência reativa dos capacitores alocados aumente a correntenas linhas, o que, consequentemente, aumenta as perdas do sistema. Porém mesmo com esteaumento das perdas no nível de carga mais baixo, nos outros níveis de carga deste sistema, nosquais o valor absoluto das perdas é maior, houve uma redução de aproximadamente 10% dasperdas.

Outro aspecto que pode ser observado antes e após a alocação de capacitores é o perfil detensão do sistema. Na Figura 9 podem ser observadas as tensões nas 9 barras do sistema originale do sistema com a adição dos bancos de capacitores. As tensões nas barras foram calculadaspara um nível de carga igual a 1,0.

Figura 9 – Perfil de tensão do sistema de 9 barras, antes e após a alocação de capacitores proposta



O valor da tensão em todas as as barras do sistema foi maior após a alocação de capacito-res. Comparando-se o valor mínimo de tensão nas barras do sistema, antes e depois da alocaçãodos capacitores, houve um incremento de 0,838 pu para 0,864 pu.


Este é um sistema de testes mais próximo de um sistema real de distribuição. Ele é umsistema de 12,66kV, composto por 69 barras dispostas em ramificações. A Figura 10 mostra aconexão entre as barras para este sistema.


Fonte: El-Fergany, Abdelaziz et al. (2014)

Os dados completos deste sistema elétrico são mostrados em Baran e Wu (1989).

Para a execução do algoritmo genético foi utilizado

M = 40

σ = 1, 4%

kT = 3

itstop = 3500

Os bancos de capacitores são de 300kVAr por unidade, com um máximo de 4 bancos porbarra. As tensões nas barras devem estar entre V min = 0, 9 pu e V max = 1, 05 pu. O intervalode tempo considerado foi novamente de 1 ano, e os níveis de carga foram os seguintes:




1.8 10001.0 6 7600.5 1 000Fonte: o próprio autor

Neste caso, a FO utilizada foi dada por (3.1) e (4.1):

v = Ke

2∑i=0

PiTi +Kc

∑Ω

uk +KiNC (6.2)

com

Ke = 0.06$/kWh

Kc = 900$/300kVAr

Ki = 1000$

A FO original do sistema foi calculada como sendo $ 12 879,30.

A solução proposta pelo algoritmo desenvolvido pode ser vista na Tabela 6. Após aalocação de bancos de capacitores, o custo total do sistema foi reduzido para $ 11 393,30.



62 1 300Fonte: o próprio autor

Foram realizadas 927 iterações até se encontrar a solução ótima, em aproximadamente 4segundos.

Na figura é indicado o valor da melhor configuração proposta ao final de cada iteraçãodo algoritmo, até ser encontrada a solução da Tabela 6.




Comparando o sistema original com o sistema após a alocação de capacitores, temos osseguintes valores:



P0 69,79kW 55,53kWP1 20,68kW 14,65kWP2 5,05kW 3,68kWVmin 0,972pu 0,977pu

Custo perdas $ 12 879,30 $ 9 493,30Custo capacitores $ 0,00 $ 900,00

Custo infraestrutura $ 0,00 $ 1 000,00Custo total $ 12 879,30 $ 11 393,30


Conforme pode ser observado na Tabela 7, a alocação de capacitores proposta causouuma redução de 3,4% no custo total do sistema. O valor das perdas em cada nível de carga esuas respectivas reduções, comparando o sistema original com o compensado, são indicadas naTabela 8.




1,8 69,79kW 55,59kW 20,3%1,0 20,68kW 14,94kW 27,8%0,5 5,05kW 4,10kW 18,8%


Para o sistema de 69 barras, a alocação de bancos de capacitores proposta proporcionouuma grande redução das perdas nas linhas, em torno de 20% do valor original.

O valor da tensão em pu de cada barra foi plotado, para o nível de carga igual a 1,0, e oresultado pode ser visto na Figura 12.



O valor da tensão mínima do sistema foi alterado de 0,972 pu para 0,977 pu, represen-tando uma melhora no perfil de tensão.


Este sistema, composto por 135 barras e com tensão nominal de 13,8kV, é uma parte dosistema de distribuição de Três Lagoas, no Brasil. O diagrama unifilar para o sistema de 135barras utilizado pode ser observado na Figura 13.



Fonte: Mantovani, Casari e Romero (2000)

Os dados deste sistema podem ser encontrados em Mantovani, Casari e Romero (2000).

Para este sistema, os parâmetros do algoritmo genético usados foram

M = 50

σ = 0, 7%

kT = 3

itstop = 8000

As condições de teste foram as mesmas utilizadas em Gallego et al. (2001) e Franco et al.(2011). Os níveis de carga considerados para a execução do algoritmo são indicados na Tabela 9,e o período de tempo levado em conta foi de 1 ano.





A função objetivo utilizada neste caso foi idêntica à utilizada para o sistema de 69 barras,dada por (6.2). Os valores de Ke, Kc e Ki também foram os mesmos do caso anterior:

Ke = 0.06$/kWh

Kc = 900$/300kVAr

Ki = 1000$

Novamente, os bancos de capacitores que podem ser alocados têm 300kVAr cada, atéum máximo de 4 bancos de capacitores por barra. Foi imposta uma restrição sobre as tensões nasbarras do sistema, como em (3.4), com V min = 0, 9 pu e V max = 1, 05 pu.

Sem a adição de capacitores, o custo total do sistema original, dado pela função objetivo,é de $ 201 474,52.

A solução encontrada pelo algoritmo genético é indicada na Tabela 10, com uma FO de$ 192 635,36.



16 2 60032 2 600108 4 1 200


Os valores da FO calculados por Gallego et al. (2001) para este sistema foram $ 201 626e $ 192 339 antes e depois da alocação de capacitores, respectivamente. Este sistema também foiestudado por Guimaraes, Castro e Romero (2010), que obtiveram os valores de $ 201 573,99 e $193 735,59, respectivamente.


A solução indicada na Tabela 10 foi encontrada após 4 459 iterações do algoritmogenético, com um tempo computacional de 53 segundos.

O valor da melhor função objetivo ao longo da execução do algoritmo pode ser observadona Figura 14.



Com a adição de bancos de capacitores proposta na Tabela 10, este sistema de distribuiçãoirá apresentar as seguintes características:



P0 1 116,91kW 1 015,12kWP1 320,12kW 288,52kWP2 76,95kW 75,05kWVmin 0,931pu 0,964pu

Custo perdas $ 201 474,52 $ 182 435,36Custo capacitores $ 0,00 $ 7 200,00

Custo infraestrutura $ 0,00 $ 3 000,00Custo total $ 201 474,52 $ 192 635,36


Conforme os dados apresentados na Tabela 11, houve uma redução de 4,4% no custototal do sistema (ao longo do período de um ano) com a alocação de capacitores proposta pelo


algoritmo genético. O valor das perdas em cada nível de carga é detalhado na Tabela 12, para osistema de 135 barras e intervalo de tempo considerado de um ano.



1,8 1 116,91kW 1 015,12kW 9,1%1,0 320,12kW 288,52kW 9,9%0,5 76,95kW 75,05kW 2,5%


E, novamente, observando-se o gráfico das tensões nas barras do sistema, Figura 15,pode-se observar a melhora no perfil de tensão após a adição dos capacitores (nível de cargaigual a 1,0).



Para este sistema, o aumento da tensão mínima calculada nas barras foi de 0,931 pu para9,964 pu.

Para o sistema de 135 barras, o algoritmo também foi executado considerando umintervalo de tempo de 10 anos. Para isto, a duração de cada nível de carga foi alterada, mantendo-se a mesma proporção já utilizada:


Tabela 13 – Níveis de carga considerados para o sistema de 135 barras, com tempo total de 10 anos



Os demais valores, como a função objetivo utilizada, custos das perdas, bancos e instala-ção e parâmetros do algoritmo genético, foram mantidos os mesmos utilizados anteriormentepara este sistema.

Neste caso, a solução dada na Tabela 14 foi encontrada após 15 320 iterações, com tempocomputacional de 180 segundos.

Tabela 14 – Alocação de capacitores proposta para o sistema de 135 barras, considerando tempo total de10 anos


6 2 60016 2 60023 2 60039 2 60048 3 90060 1 30071 2 60082 2 60088 2 60092 2 600106 4 1 200111 1 300131 2 600134 1 300


A FO, que representa o custo do sistema, sem a adição de capacitores e considerando umaduração de 10 anos, é $ 2 014 745,22. Com a alocação de capacitores proposta pelo algoritmogenético, o custo total do sistema é reduzido para $ 1 709 764,53. Esta redução corresponde a15,1% do valor original.

Para realizar uma comparação entre o algoritmo executado para 1 e 10 anos, foi calculada


a economia por ano para cada caso. Considerando o tempo total como sendo de 1 ano, foicalculado quanto seria gasto com as perdas ao longo de 10 anos e considerado que o gastocom capacitores (com a configuração da Tabela 10) ocorreu uma única vez. Comparando ocusto do sistema compensado com o custo do sistema original (sem alocação de capacitores),a diferença entre os custos foi dividida entre os 10 anos para calcular qual seria a economiapor ano. Para o caso de 10 anos, a diferença entre a FO antes e após a alocação de capacitores(com a configuração da Tabela 14) corresponde à economia ao longo dos 10 anos (este valor foidividodo por 10 para se obter a economia por ano).

Com a alocação de capacitores proposta na Tabela 10 e com base nos dados da Tabela11, ao longo de 10 anos há uma economia de $ 18 019,16 por ano, considerando a economiacom as perdas durante todo o período e que o gasto com capacitores é feito uma única vez. Coma alocação proposta para 10 anos de operação, na Tabela 14, a redução do custo total do sistemaé de $ 30 498,07 por ano.

Como pode ser observado, levando-se em conta um maior tempo de operação do sistema,melhores resultados podem ser obtidos. O tempo total de operação pode ser escolhido com baseem uma estimativa do tempo de vida útil dos capacitores ou do tempo de duração da estrutura dosistema, por exemplo.

6.4 Parâmetros do Algoritmo Genético

Utilizando o sistema de 135 barras, por se tratar do sistema mais complexo e próximo deum sistema real, foram feitos alguns testes para analisar o desempenho do algoritmo genéticocom relação a variações no tamanho da população, taxa de mutação e número de indivíduosselecionados para o torneio. Em cada teste, um dos parâmetros foi variado e os outros doismantidos fixos, de forma a se observar a influência de um único parâmetro por vez. A FO a cadaiteração foi avaliada e comparada, com o objetivo de observar para quais valores o algoritmoencontra soluções mais próximas da ótima em um menor número de iterações.

Por se tratar de um algoritmo que depende de probabilidades, o algoritmo foi executado5 vezes e foi calculada a média aritmética das FOs, de forma a aproximar o resultado de umvalor típico.

Primeiramente, foi verificado o impacto da variação do tamanho da população na eficáciado algoritmo. O algoritmo foi executado diversas vezes, com M = 20, 50, 80 e 120, enquanto σe kT foram mantidos constantes. Com base na discussão da Seção 5, foi utilizado σ = 0, 7% ekT = 3.

A evolução da FO para cada tamanho de população pode ser vista na Figura 16.


Figura 16 – Impacto do tamanho da população no algoritmo genético desenvolvido


Pode-se concluir que populações muito pequenas, como foi o caso com 20 indivíduos,podem convergir prematuramente ou demorar para convergir para a solução ótima. Em contra-partida, quando o tamanho da população foi de 120 indivíduos, são necessárias muitas iteraçõespara se atingir a melhor configuração.

Com populações de 50 e 80 indivíduos, os resultados foram satisfatórios. Valores nessafaixa são adequados para o caso considerado do sistema de 135 barras. Foi selecionado então,como ótimo, M = 50 para os próximos testes.

Em seguida, mantendo M = 50, e k = 3, a taxa de mutação foi variada com os valoresde 5%, 2%, 0,7% e 0,1%.


Figura 17 – Impacto da taxa de mutação no algoritmo genético desenvolvido


Conforme os dados da Figura 17, o valor ótimo para σ, no caso do sistema de 135 barras,é em torno de 0,7%. Valores muito altos ou muito baixos fazem com que o algoritmo demorepara encontrar a melhor configuração de capacitores.

Por fim, kT foi variado de 2 a 5. Foram utilizados os parâmetros encontrados comoótimos anteriormente: M = 50 e σ = 0, 7%.

Figura 18 – Impacto do número de indivíduos por torneio no algoritmo genético desenvolvido



Os valores entre 2 e 4 apresentaram desempenho similar. Já com kT = 5, a convergênciado algoritmo foi mais lenta, provavelmente em um mínimo local (conforme discutido na Seção5). Com base na Figura 18, o valor escolhido como ótimo foi k = 3, por convergir para um valorde FO menor em um reduzido número de iterações.

Com este método utilizado, os parâmetros do algoritmo genético foram escolhidos comoM = 50, σ = 0, 7% e kT = 3 para o sistema de 135 barras, de modo a encontrar a configuraçãoótima para o sistema em um menor tempo.

38

7 Conclusões

Com base nos dados obtidos, pode-se concluir que a alocação de capacitores em sistemasde distribuição traz benefícios ao sistema. Este trabalho propõe a utilização de um algoritmogenético especializado para determinar a alocação ótima de capacitores. As vantagens do algo-ritmo genético aplicado ao problema da alocação de capacitores são a capacidade de encontrar omínimo global da FO, a facilidade de implementação e a capacidade de trabalhar com funçõesobjetivo não diferenciáveis.

O principal benefício é a diminuição do custo do sistema. O investimento na aquisição einstalação de bancos de capacitores faz com que as perdas do sistema sejam menores, diminuindoo prejuízo com a dissipação de potência ativa nas linhas. Ao longo dos anos, a economia prove-niente da redução das perdas do sistema se torna maior que o gasto inicial com os capacitores,obtendo-se retorno do investimento.

A redução das perdas de potência ativa aumenta a eficiência do sistema, transmitindouma maior porcentagem da potência gerada para a carga. Isto reduz o estresse no sistema, pois aadição de capacitores aumenta o fator de potência da rede, fazendo com que as correntes naslinhas diminuam.

Há também a vantagem de se melhorar o perfil de tensão do sistema. Conforme observadonos três casos, a alocação de bancos de capacitores fez com que a menor tensão do sistema fosseelevada. Tensões próximas de 1 pu representam maior qualidade da energia elétrica entregue aosconsumidores.

Foi apresentada uma metodologia para se determinar os valores ótimos dos parâmetrosalgoritmo genético. Os valores obtidos desta forma utilizados nos testes, obtendo configuraçõesótimas de alocação de capacitores em um curto tempo computacional.

39

8 Trabalhos Futuros

Este trabalho descreve a implementação de um algoritmo genético para solucionar oproblema da alocação ótima de bancos de capacitores fixos em sistemas radiais de distribuiçãode energia elétrica. O próximo passo para desenvolver um algoritmo mais completo é a adiçãode bancos de capacitores chaveados no sistema.

Capacitores chaveados, diferentemente dos fixos, não têm a mesma potência reativadurante os três níveis de carga. Um banco de capacitores chaveado pode, por exemplo, injetar300kVAr durante o nível de carga mais baixo, 600kVAr durante o nível de carga médio e1200kVAr durante o pico de carga.

O algoritmo genético deve então definir se em uma determinada barra será alocado umbanco fixo ou chaveado e, no caso de um banco de capacitores chaveado, decidir qual a potênciareativa do banco para cada nível de carga. O vetor que corresponde a cada indivíduo deve sermodificado para incluir o tipo de capacitor de cada barra, bem como a potência reativa dosbancos chaveados em cada nível de carga. Os operadores genéticos de seleção de pais, crossovere mutação neste caso continuam a ser aplicados aos indivíduos para gerar novos filhos e garantira evolução da população.

A função objetivo também deve ser modificada para considerar o gasto com capacitoreschaveados, que podem ter um custo diferente dos capacitores fixos.

40

Referências

BARAN, M. E.; WU, F. F. Optimal capacitor placement on radial distribution systems. PowerDelivery, IEEE Transactions on, IEEE, v. 4, n. 1, p. 725–734, 1989.

BOONE, G.; CHIANG, H.-D. Optimal capacitor placement in distribution systems by geneticalgorithm. International Journal of Electrical Power & Energy Systems, Elsevier, v. 15, n. 3, p.155–161, 1993.

CHENG, C. S.; SHIRMOHAMMADI, D. A three-phase power flow method for real-timedistribution system analysis. Power Systems, IEEE Transactions on, IEEE, v. 10, n. 2, p.671–679, 1995.

CHIANG, H.-D. et al. Optimal capacitor placements in distribution systems. ii: Solutionalgorithms and numerical results. IEEE Transactions on Power Delivery, Institute of Electricaland Electronics Engineers, v. 5, n. 2, p. 643–649, 1990.

EL-FERGANY, A.; ABDELAZIZ, A. Y. et al. Capacitor allocations in radial distributionnetworks using cuckoo search algorithm. Generation, Transmission & Distribution, IET, IET,v. 8, n. 2, p. 223–232, 2014.

FONSECA, W. et al. Genetic algorithms and treatment of multiple objectives in the allocationof capacitor banks in an electric power distribution system. In: IEEE. PowerTech, 2009 IEEEBucharest. [S.l.], 2009. p. 1–8.

FRANCO, J. F. et al. Optimal allocation of capacitors in radial distribution systems withdistributed generation. In: IEEE. Innovative Smart Grid Technologies (ISGT Latin America),2011 IEEE PES Conference on. [S.l.], 2011. p. 1–6.

GALLEGO, L. et al. A specialized genetic algorithm to solve the short term transmissionnetwork expansion planning. In: IEEE. PowerTech, 2009 IEEE Bucharest. [S.l.], 2009. p. 1–7.

GALLEGO, R. et al. Optimal capacitor placement in radial distribution networks. PowerSystems, IEEE Transactions on, IEEE, v. 16, n. 4, p. 630–637, 2001.

GRAINGER, J.; LEE, S. H. Capacity release by shunt capacitor placement on distributionfeeders: a new voltage-dependent model. Power Apparatus and Systems, IEEE Transactions on,IEEE, n. 5, p. 1236–1244, 1982.

GUIMARAES, M.; CASTRO, C.; ROMERO, R. Distribution systems operation optimisationthrough reconfiguration and capacitor allocation by a dedicated genetic algorithm. IETgeneration, transmission & distribution, IET, v. 4, n. 11, p. 1213–1222, 2010.

HUANG, Y.-C.; YANG, H.-T.; HUANG, C.-L. Solving the capacitor placement problem in aradial distribution system using tabu search approach. Power Systems, IEEE Transactions on,IEEE, v. 11, n. 4, p. 1868–1873, 1996.

JR, J. B.; KUNTZ, P.; PEBLES, M. Optimal capacitor allocation using a distribution-analyzer-recorder. Power Delivery, IEEE Transactions on, IEEE, v. 12, n. 1, p. 464–469,1997.

Referências 41

LEVITIN, G. et al. Optimal capacitor allocation in distribution systems using a genetic algorithmand a fast energy loss computation technique. Power Delivery, IEEE Transactions on, IEEE,v. 15, n. 2, p. 623–628, 2000.

MANTOVANI, J. R.; CASARI, F.; ROMERO, R. A. Reconfiguração de sistemas de distribuiçãoradiais utilizando o critério de queda de tensão. Controle and Automacao, p. 150–159, 2000.

PRAKASH, K.; SYDULU, M. Particle swarm optimization based capacitor placement on radialdistribution systems. In: IEEE. Power Engineering Society General Meeting, 2007. IEEE. [S.l.],2007. p. 1–5.

SIRJANI, R.; MOHAMED, A.; SHAREEF, H. An improved harmony search algorithm foroptimal capacitor placement in radial distribution systems. In: IEEE. Power Engineering andOptimization Conference (PEOCO), 2011 5th International. [S.l.], 2011. p. 323–328.

SUNDHARARAJAN, S.; PAHWA, A. Optimal selection of capacitors for radial distributionsystems using a genetic algorithm. Power Systems, IEEE Transactions on, IEEE, v. 9, n. 3, p.1499–1507, 1994.

VENKATESH, B. et al. Optimal reconfiguration of radial distribuion system using artificialintelligence methods. In: IEEE. Science and Technology for Humanity (TIC-STH), 2009 IEEEToronto International Conference. [S.l.], 2009. p. 660–665.

alocação ótima de bancos de capacitores em sistemas ... · ficha catalográﬁca edgar felix...

Documents