Alice AhlertVanessa Paula ReginattoBernadete

adaptado por José Camilo Chaves

ANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIA

A análise combinatória é a parte da matemática que estuda o número de possibilidades de ocorrência de um determinado acontecimento.

Exemplo I

João e Paulo disputam entre si um campeonato de xadrez com as seguintes regras:I - vence a disputa quem ganhar duas partidas seguidas ou três em qualquer ordem.II - em caso de empate, o vencedor será declarado através sorteio.O número de resultados possíveis nesta competição é:

Árvore de possibilidades

1 jogo

V_P

V_A

2 jogo

V_PV_P V_P

V_P

V_AV_AV_A

3 jogo 4 jogo 5 jogo

V_A

Legenda

V_P vitória Paula

V_A vitória Ana

1 jogo 2 jogo

V_A

V_P

3 jogo

V_A

V_P

V_A

V_P

4 jogo 5 jogo

V_A

V_P

ANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIA

Exemplo II

Uma Pessoa quer pintar os 4 cômodos de uma casa, com as cores vermelho e amarelo. Quantas são as possibilidades de pintar esses quatros cômodos.

Desenhando as possibilidades do Exemplo II

1ª possibilidade 2ª possibilidade 3ª possibilidade 4ª possibilidade

5ª possibilidade 6ª possibilidade 7ª possibilidade 8ª possibilidade

9ª possibilidade 10ª possibilidade 11ª possibilidade 12ª possibilidade

13ª possibilidade 14ª possibilidade 15ª possibilidade 16ª possibilidade

ANÁLISE COMBINATÓRIAANÁLISE COMBINATÓRIA

A análise combinatória é a parte da matemática que estuda o número

de possibilidades de ocorrência de um determinado acontecimento.

Dois conceitos são fundamentais para a análise combinatória: Fatorial de um número e o Princípio Fundamental da Contagem.

Princípio fundamental da contagem Princípio fundamental da contagem

.Se um acontecimento A pode ocorrer de “m” maneiras diferentes, um acontecimento B pode ocorrer de “n” maneiras diferentes e um acontecimento C pode ocorrer de “p” maneiras diferentes, o número total de ocorrência desses acontecimento e representado por: m . n. p

O mesmo se aplica a mais de 3 ocorrências

Exemplo 1Exemplo 1 Carlos tem 2 calças diferentes e 3 camisas Carlos tem 2 calças diferentes e 3 camisas

diferentes.De quantas maneiras diferentes diferentes.De quantas maneiras diferentes você pode se vestir usando uma calça e você pode se vestir usando uma calça e uma camisa?uma camisa?

Resolvendo o problema através da árvore das Resolvendo o problema através da árvore das possibilidades(método direto)possibilidades(método direto)

Escolha da calça Escolha da camisa

3 possibilidades

3 possibilidades

Total de possibilidades 6

Resolvendo o problema da escolha das calças Resolvendo o problema da escolha das calças e das camisas através do princípio e das camisas através do princípio multiplicativo ( método indireto)multiplicativo ( método indireto)

Escolha da calça

2 possibilidades

Escolha da camisa

3 possibilidades

Total de possibilidades ( 2 . 3) = 6

Exemplo 2 Exemplo 2 Em uma escola, haverá um torneio de futsal do qual Em uma escola, haverá um torneio de futsal do qual

tomarão partes 3 classes. Apenas as duas primeiras tomarão partes 3 classes. Apenas as duas primeiras colocadas(1º e 2º lugar) participarão dos jogos colocadas(1º e 2º lugar) participarão dos jogos regionais. Determine quantas possibilidades existem regionais. Determine quantas possibilidades existem para essa classificaçãopara essa classificação

Time 1A Time 2B Time 3A

Desenhando as possibilidades do exemplo 2Desenhando as possibilidades do exemplo 2

Time 1A

Time 2B

Time 3A

1º lugar 2º lugar

Time 1A

Time 2B

Time 3A

Time 2B

Time 2B

Time 1A

Time 1A

Time 3A

Time 3A

Utilizando o princípio multiplicativo para Utilizando o princípio multiplicativo para resolver esse problemaresolver esse problema

1º lugar 2º lugar

Time 1A

Time 2B

Time 2B ou Time 3A

Time 3A

3 possibilidades x 2 possibilidades = 6

Time 1A ou Time 3A

Time 2B ou Time 1A

Há 3 linhas de ônibus ligando as cidades A e B , e 2 linhas Há 3 linhas de ônibus ligando as cidades A e B , e 2 linhas ligando as cidades B e C. De quantas maneiras distintas ligando as cidades B e C. De quantas maneiras distintas pode-se ir de A até C, passando por Bpode-se ir de A até C, passando por B

3 possibilidades x 2 possibilidades = 6

Para montar um computador, temos 3 diferentes tipos de monitores, 2 tipos de teclados, e 2 tipos de "CPU". Para saber o numero de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peças utilizamos o princípio multiplicativo:

Teclados Monitores CPU

2 x 3 x 2 = 12

Combinação SimplesCombinação Simples

   Combinação simplesCombinação simples é o tipo de é o tipo de agrupamento em a mudança da ordem agrupamento em a mudança da ordem de um grupo não diferente um grupo de um grupo não diferente um grupo do outro pela ordem ou pela natureza do outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. dos elementos componentes. 

Cn,p = n! / p!.(n-p)!

Exemplo Exemplo Carlos quer presentear sua namorada, Carlos quer presentear sua namorada, com dois presentes entre três que ele com dois presentes entre três que ele comprou. Quantas são as possibilidades comprou. Quantas são as possibilidades da escolha dos presentes para sua da escolha dos presentes para sua namoradanamorada

Observamos que nessa situação proposta, se a namorada de Carlos receber de presente um livro e depois um celular e a mesma situação que ela receber um celular e depois um livro. A ordem de receber o presente não altera o grupo

Escolhendo o 1º Presente Escolhendo o 2º Presente

Livro, Bombom

Livro, Celular

Bombom, Celular

Carlos tem três possibilidades de escolha para presentear sua namorada

FÓRMULA DA COMBINAÇÃO SIMPLES:FÓRMULA DA COMBINAÇÃO SIMPLES:

No exemplo anterior, para descobrirmos o número de combinações, basta Aplicar a fórmula: No exemplo anterior, para descobrirmos o número de combinações, basta Aplicar a fórmula: CCnn,p = ,p = nn! /p!.(! /p!.(nn-p)!-p)!

O número de combinações de O número de combinações de n elementosn elementos de grupos de p elementos é igual ao número de arranjos de grupos de p elementos é igual ao número de arranjos de de n elementosn elementos tomados p a p divididos por p!, isto é: tomados p a p divididos por p!, isto é:

C C nn, p = , p = nn ! ! p! .( n – p)!p! .( n – p)!

C C 33, 2, 2 = 33 ! ! = . 3. 2. 1. 3. 2. 1

2! (3– 2) !2! (3– 2) ! 2! 1!2! 1!

CC 33 2 2 = 6 6 = 3 => = 3 => C3,2 = 3 2.1

n= n= elementos distintos, quantidades de elementos distintos, quantidades de coisas coisas ex: 3 presentes (livro, bombom, celular)ex: 3 presentes (livro, bombom, celular)

p= agrupamentos possíveis dois presentesp= agrupamentos possíveis dois presentesex: duplas ou tomados dois a dois.ex: duplas ou tomados dois a dois.  

Quantas diagonais tem um hexágono Regular (figura de 6 lados)

9 diagonais

Utilizando fórmula da combinação temos:

C C nn, p = , p = nn ! !

p! .( n – p)!p! .( n – p)!

C C 66, 2 = , 2 = 66! !

2! .( 2! .( 66 – 2)! – 2)!

C C 66, 2 =720, 2 =720

2 .242 .24

=15-6 =9

PERMUTAÇÃO SIMPLESPERMUTAÇÃO SIMPLES    

Permutações simples de Permutações simples de nn elementos distintos são os elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os agrupamentos formados com todos os nn elementos e que elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. 

PPn n = n!   = n!   

  

Num consultório estão três pessoas para ser Num consultório estão três pessoas para ser atendidas por ordem de chegada. atendidas por ordem de chegada. Quantas são as possibilidades dessas três Quantas são as possibilidades dessas três pessoas serem atendidaspessoas serem atendidas

Desenhando as possibilidades pela ordem Desenhando as possibilidades pela ordem de chegadade chegada

1° a chegar 2° a chegar 3° a chegar

Utilizando o princípio multiplicativo pela Utilizando o princípio multiplicativo pela ordem de chegadaordem de chegada

1° a chegar 2° a chegar 3° a chegar

3 x 2 x 1 = 6

EXEMPLO 2 EXEMPLO 2

– – Quantos são os anagramas da palavra Quantos são os anagramas da palavra BBOOLLAA??

  BBOOLLA A BBOOAALL BBLLOOA A BBLLAAOO B BAALLO O BBAAOOLL

OOBBAALL OOBBLLA A OOLLBBA A OOLLAABB OOAABBLL OOAALLBB

LLOOBBA A LLOOAABB LLBBAAOO LLBBOOA A LLAABBOO LLAAOOBB

AABBLLOO A ABBOOLL A ALLOOBB A ALLBBOO A AOOLLBB A AOOBBLL

P P 44 = 4! = 24 permutações ou anagramas= 4! = 24 permutações ou anagramas

                                   

ARRANJOS SIMPLESARRANJOS SIMPLES

  

Arranjos simplesArranjos simples é o tipo de é o tipo de agrupamento em que um grupo é agrupamento em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.natureza dos elementos componentes.

An,p = n! /(n-p)!

Um ladrão esquecido pretende arrombar um cofre, mas esqueceu a combinação da senha. Ele sabe que a senha é formada por três números diferentes, entre os números 3,4,7,9 Após quantas tentativas ele poderá abrir o cofre?

1º número 2º número 3º número

4 x 3 x 2 = 24

Utilizando a fórmula do arranjo simples temos

A4,3 = 4! /(4-3)!

An,p = n! /(n-p)!

A4,3 = 24 /1

A4,3 = 24 possibilidades de abrir o cofre

  ..

  

Quantos números de dois algarismos (elementos) distintos Quantos números de dois algarismos (elementos) distintos podem ser forma dos, usando os algarismos (elementos) 2, podem ser forma dos, usando os algarismos (elementos) 2, 3, 4 e 5?3, 4 e 5?

Pode-se observar que os grupos (números ou elementos) obtidos diferem entre si:

  * pela ordem dos elementos (23 e 32, por exemplo)

 

Os grupos assim obtidos são denominados arranjos simples dos 4 elementos tomados 2 a 2 e são indicados A 4, 2 = 4. 3 = 12

Idéia do trabalho:Idéia do trabalho:Alice AhlertAlice AhlertVanessa Paula ReginattoVanessa Paula ReginattoBernadeteBernadete

Estudantes do curso de Estudantes do curso de Ciências ExatasCiências Exatas – – UNIVATESUNIVATES Lajeado - RSLajeado - RSAdaptado por José Camilo Chaves em 01/09/2007Adaptado por José Camilo Chaves em 01/09/2007Prof. de Matemática da E.T.E João Gomes de AraújoProf. de Matemática da E.T.E João Gomes de AraújoPindamonhangaba-SPPindamonhangaba-SP