Algoritmos I

Roberto de Beauclair Seixas

2

Abu Abd-Allah ibnMusa al'Khwarizmiz Seu trabalho mais importante escrito

em 830 nos dá a palavra álgebra.Æ classifica a solução de equações quadráticas

e dá métodos geométricos para completar o quadrado.

z Al'Khwarizmi também escreveu números Hindu-árabe.Æ Este texto de árabe está perdido mas uma tradução latina

“Algoritmi de numero Indorum”, em inglês “Algoritmi denumero Indorum in English Al-Khwarizmi on the Hindu Art ofReckoning”, deu origem a palavra algoritmo que deriva donome dele no título.

z O primeiro uso do zero com lugar posicional na anotaçãobásica provavelmente foi devida a al'Khwarizmi.

3

z Dicionário Webster:“Any special method of solving a certain kind of problem.”

Algoritmo

4

z Dicionário Webster:“Any special method of solving a certain kind of problem.”

( parece coisa do McGuiver! )

Algoritmo

5

z Fundamentals of Computer Algorithms;E.Horowitz, S.Sahni; 1978:

“A precise method useable by a computer for thesolution of a problem.”

Algoritmo

6

z Fundamentals of Computer Algorithms;E.Horowitz, S.Sahni; 1978:

“A precise method useable by a computer for thesolution of a problem.”

Algoritmo

7

Pi com 24 casas

How I want a drink, alcoholic ofcourse, after the heavy lecturesinvolving quantum mechanics. All ofthe geometry, Herr Planck, is fairlyhard ...

3.14159265358979323846264...

8

Fibonacci0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377 ...

z Isto se parece um padrão simples, contudo determina a formada concha de um molusco, o bico de um papagaio ou obrotando de folhas do talo de qualquer planta, foi revelado porLeonardo Pisano (depois Fibonacci) a quase 800 anos atrás.Pisano, o primeiro grande matemático de Europa medieval, descobriu estesnúmeros mágicos analisando a natalidade de coelhos em 1202.

z A relação entre os números de Fibonacci se aproxima de 1,6180. Esta relaçãomágica os gregos chamava de “proporção divina” e seus templos, como porexemplo o Parthenon em Atenas, possuíam comprimento = 1,6180 × largura.

z Antes dos gregos, os egípcios construíram suas pirâmides seguindo as mesmasregras: base = 1,6180 × altura.

z Nos organismos vivos, as garras de um leão, os chifres de um carneiro, osdentes de elefantes, a concha de um caracol e etc., seguem a regra da “espiraldourada” (derivada do “retângulo dourado” ondelargura = 1,6180 × altura)

9

Algoritmos I - Ementa

z Motivação 9Æ Presente, Passado e Futuro(?)

z Modelos de Computação

z Fundamentos Matemáticos *

z Ordenação

z Busca

z Grafos

Presente

Os próximos 7 slides foramadaptados de duas apresentações

da TechMark

11

Engenharia de Software:What the Hell is this?

z Engenheiros Civis fazem Plantas antes deconstruírem prédios;

z Engenheiros Eletrônicos fazem Esquemas antesde montarem aparelhos;

z Engenheiros Mecânicos fazem Desenhos antes deproduzirem máquinas;

z Engenheiros de Software são superdotados pelaMãe Natureza, e não precisam de nada disso!Æ “Se prédios fossem construídos da mesma forma que fazemos

sistemas, o primeiro pica-pau que aparecesse no planeta destruiriaa humanidade” - Weinberg

12

A Engenharia de Software éuma área MUITO NOVA!

z O ser humano faz casas e abrigos hámilhões de anos;

z O ser humano lida com eletricidade hámilhares de anos;

z O ser humano produz máquinas eferramentas há outros milhares de anos;

z O ser humano faz software há 40 anos.Æ Estamos nos primórdios da computação...

13

Conclusão“A formulação de um problema é

freqüentemente mais essencial do que suasolução, a qual pode ser meramente uma

questão de habilidade matemática ouexperimental.”

(LQVWHLQH,QIHOGDXWRUHVGH³$(YROXomRGD)tVLFD´

14

“Tamanho” dos SistemasSistemas grandes (>12 meses) sãomelhor atendidos por metodologiascompletas e rigorosas, com passosformais, revisões estruturadas,documentos intermediários formais eciclo de vida em cascata. Odesenvolvedor deverá estarinteressado em reuso a longo prazo.

Sistemas menores (<6 meses) sãomais adequados a metodologiasleves, sem muito rigor, com passosintermediários informais e ciclo devida iterativo. Documentação não é abase do projeto, mas apenas umaferramenta de consulta. Odesenvolvedor está interessado emreuso imediato.

15

Habilidades Técnicas dosAnalistas e ProgramadoresConstrói-se utilizando-se abordagensconservadoras, organizando-se bem oprocesso de desenvolvimento eutilizando-se de técnicasestruturadas, que capitalizam sobreconhecimentos existentes. Emcompensação, você está maispróximo da obsolescência.

Se a sua equipe é nova, aberta amudanças e propensa a tentar coisasnovas, não hesite. Você tem umaexcelente oportunidade de introduzirtécnicas Orientadas por Objetos emsua organização.Seus sistemas terão uma vida maislonga desta forma.

16

Exigências comRelação à TecnologiasCaso os seus clientes tenham perfilconservador (denota-se através desua arquitetura de hardware e rede)você deve sintonizar-se com alinguagem deles e utilizar algo queuse a mesma terminologia. Deixeclaro o risco da obsolescência.

Caso seus clientes exigem de você a“última palavra” em tecnologia, sortesua. Mantenha o foco, invista emtecnologia OO e vá em frente. Mas,divida e responsabilidade pelosucesso (ou fracasso) com o cliente.

17

Ambiente de Desenvolvimento• COBOL, FORTRAN, “C”, BASIC,Pascal, PL/1, VB3, Natural, e outraslinguagens procedurais: Fique commétodos estruturados e técnicas deEntidade/Relacionamento;• Use DeMarco, Yourdon, Martin,Constantine, Gane/Sarson, PeterChen, etc…;

• VB5, Java, PowerBuilder, C++,SmallTalk, CORBA, Forté, InformixNewEra, Delphi e outras linguagensque suportam conceitos de classes,heranças e agregações: Aprenda OOimediatamente, ou não terá benefícioem utilizá-las;• Use UML, OMT, Shlaer/Mellor,Martin/Odell, Coad/Yourdon, etc

Passado e Futuro(?)

19

Alan M. Turing(1912-1954)

z Computing Machinery and Intelligence.Mind, Vol. LIX. 433-460, 1950Æ Os computadores terão inteligência.

z Debate: Então, e agora ?Æ Será uma relação simbiótica ?

(computador como uma ferramenta)

Æ Os computadores terão “consciência”?

20

Teste de Turingz 1o Teste - Jogo de Imitação:

Æ 3 pessoas: Juiz, homem e mulher;

Æ Toda conversa por e-mail;

Æ Homem finge ser a mulher;

Æ Homem mente;

Æ Mulher tenta ajudar o juiz;

Æ Juiz tem que identificar o homemem 5 minutos.

21

Teste de Turingz 2o Teste - Jogo de Substituição:

Æ Troque o homem ou a mulher por um computador;

Æ O juiz é enganado 30% do tempo.

22

O que Turing disse?“I believe that in about fifty years' time it will be possible, to

program computers, with a storage capacity of about 109 , tomake them play the imitation game so well that an averageinterrogator will not have more than 70 per cent chance ofmaking the right identification after five minutes ofquestioning. The original question, “Can machines think?”I believe to be too meaningless to deserve discussion.Nevertheless I believe that at the end of the century the use ofwords and general educated opinion will have altered so muchthat one will be able to speak of machines thinking withoutexpecting to be contradicted.”

Alan M.Turing, 1950

“Computing Machinery and Intelligence.” Mind, Vol. LIX. 433-460

23

49 anos depoisz Previsão de tecnologia de Turing foi fantástica!

Æ Armazenamento de Gb de memória são comuns.

z Previsão de inteligência foi otimista.Æ Vários locais da Internet oferecem “chatterbots” do teste.

Æ Ninguém passou (ainda)

` http://www.loebner.net/Prizef/loebner-prize.html

z Mas acredita-se que não demoraráÆ menos de 50 anos, mais de 10 anos.

z Os testes de Turing ainda se apresentam como desafios delongo prazo.

24

Mas, houve progresso ...z Computadores solucionaram alguns problemas:

“Mapa de 4 cores”Æ K. Appel and W. Haken, “The solution of the four-color-map problem,”

Scientific American, Oct 1977, 108-121

e uma prova “manual” http://www.math.gatech.edu/~thomas/FC/fourcolor.html(1995)

z Os computadores venceram o campeão mundial de xadrezÆ com alguma ajuda dos programadores, mas … venceu!

z Os computadores estão presentes no dia-a-dia

z Ajudam a projetar e idealizar novas coisas

z Estas são relações simbióticas.

z Aprendizado e formação de conhecimento ainda são ilusórios.

25

Armadilha dos númerosz Os seres humanos possuem 100 Tb de informação (1012) e podem

processar 100 T ops.Æ ROBOT, Hans Moravec, Oxford, 1998, page 58

z Então, um supercomputador “tem” um poder comparável.

z O Genoma humano tem 109 bits:Æ 90% lixo

Æ 90% em comum com os chimpanzés

Æ 90% comum entre os indivíduos

Æ Então, realmente só 106 bytes são relevantes (huh?!)

z Estamos perdendo algo ...Æ Um excelente algoritmo de compressão ?

Æ Uma melhor linguagem de programação ?

Æ Técnicas de aprendizado ?

26

27

Charles Babbage(1791-1871)

z Os objetivo de Babbage foramalcançadosÆ mas ainda precisamos de melhores algoritmos e máquinas mais

rápidas.

z O que acontecerá quando:Æ A capacidade de processamento for infinita ?

Æ A capacidade de armazenamento for infinita ?

z Limites remanescentes:Æ Conteúdo: A capacidade de informação do Cyberspace

Æ Software: Bugs, >100$ por linha de código (!)

Æ Processamento: > 1,000 $/cpu/ano

28

Mais 3 desafiosz Implícitos nos teste de Turing:

Æ Ler e entender tão bem quanto um humano

Æ Escrever e pensar tão bem quanto um humano

z Ouvir tão bem quanto uma pessoa (locutor nativo)– Traduzir “fala” para “texto”

z Falar tão bem quanto uma pessoa (interlocutor nativo)– Traduzir “texto” para “fala”

z Ver tão bem quanto uma pessoa (reconhecer objetos e comportamentos)

z Ilustrar/Mostrar/Desenhar tão bem como uma pessoa (já feito)Æ mas, Realidade Virtual ainda é um grande desafio

Æ criar cenas 3D “reais” em tempo real

z E ainda: Lembrar o que foi (é) visto e ouvido e rapidamente responderquando solicitado.

29

Benefíciosz Hoje os computadores podem:

Æ Ler para os cegos (OCR & Texto → Fala)

Æ Ouvir para os surdos (Fala → Texto)

Æ Escrever para os deficientes (Fala → Texto)

z Logo:Æ Substituir deficiências:

` melhor memória, melhor visão, …

Æ Novas formas de comunicação

` Tradução automática de telefonemas

Æ Revolucionar a interface homem-computador

30

Vannevar Bush(1890-1974)z “As We May Think” The Atlantic Monthly, 1945

http://www.theatlantic.com/unbound/flashbks/computer/bushf.htm

z MemexÆ Todo conhecimento humano

… “a billion books” hyper-linked together ...

Æ Registrando tudo o que se vê

` filmes e fotos

` ... “a machine which types when talked to” ...

Æ Navigate by

` … text search following links associations ...

z Conexões diretas ao sistema nervoso ?

31

Memex IndividualMemex: “Lembrar o que é visto e ouvido e rapidamente

devolver qualquer informação solicitada”

32

Quanto de Informação Existe ?z Logo, tudo poderá ser gravado e

catalogado.

z A maioria da informação nunca serávista.

z Fundamentos tecnológicos:Æ Atenção humana

Æ “Sumarização” automática

Æ Busca automática

http://www.lesk.com/mlesk/ksg97/ksg.html

33

Resumoz Pense seriamente sobre Algoritmos

z Qual o melhor algoritmo para um problema?→ “aderência”

z Oito paradigmas para projetar um bom algoritmo:1. reduzir a um problema conhecido (ex: ordenação);

2. recursão;

3. criar ou expandir uma estrutura de dados;

4. dividir e conquistar;

5. guloso;

6. programação dinâmica;

7. probabilidade;

8. aproximação.

34

Usa Windows ?!?

35

Cuidado com os efeitos colaterais!

Modelos de Computação

37

Problemas & AlgoritmosProblema: Como computar S ? suponha n=8

Æ entrada: lista de salários S1, S2, … , Sn

Æ saída: despesa total com salários: S = S1+S2+…+Sn

Æ recursos: pessoa alfabetizada, papel e lápis

solução 1: solução 2: solução 3:

- estimar o salário típico T

(por exemplo, o 1o da lista)

- calcular S por S = n * T

38

Modelos Computacionaisz Procuram abstrair e simplificar o comportamento

dos computadores.Æ Máquina de Turing

` Utilizado para estabelecer resultados básicos emcomputabilidade e complexidadecomputacional.

Æ Árvore de Decisões Algébricas

` Muito usado para obtenção de resultadosteóricos em computação.

39

Problema Algorítmicoz Problema

E ⇒ conjunto das possíveis entradas

S ⇒ conjunto das saídas desejadas

R(E,S) ⇒ relação entre entradas e saídas desejadas

O ⇒ operações válidas

z SoluçãoA ⇒ algoritmo correto

e sA

∀e ∈ E (e,s) ∈ R(E,S)

40

Solução de Problemasmodelo matemáticoalgoritmo informal

modelo matemáticoalgoritmo informal

tipo abstrato de dadospseudo código

tipo abstrato de dadospseudo código

estrutura de dadosprograma

estrutura de dadosprograma

código de máquinacódigo de máquina

...

41

Algoritmos e Complexidadez Problema, Instância e Algoritmo.

z Dado um problema:Æ Como encontrar um algoritmo eficiente para

solucioná-lo ?

Æ Uma vez encontrado, como compará-lo a outrosalgoritmos que também resolvem o problema ?

Æ Como determinar se o algoritmo está correto ?

Æ Como determinar se o algoritmo é eficiente ?

42

AlgoritmoConjunto finito de instruções, composta de uma ou

mais operações válidas, com o objetivo deresolver um problema específico.

z Operações válidasÆ definidas 5 ÷ 0

Æ efetivas √ π

z Término em tempo finito (procedimento computacional)

z Entrada (opcional)

z Saída (uma ou mais)

43

Alguns Exemplos IniciaisPara qualquer algoritmo, temos que provar que ele sempre

retornará o resultado desejado para todas as instânciaspossíveis do problema.

¼ Correção (Correctness)

¼ Eficiência

44

Critérios de Análisez Eficácia

Æ Correção

z EficiênciaÆ Tempo

Æ Espaço

Æ Simplicidade / Clareza

Æ Otimalidade

z LimitaçõesÆ Computabilidade

Æ Tratabilidade

z Parcialmente CorretoÆ entrada válida → saída desejada

Æ pode ser tempo infinito

z Totalmente CorretoÆ tempo finito

Æ saída desejada

especificação

requisitos

código

verificação NÃOerros

problemaalgoritmo

SIMsolução

45

Correção não é óbvio!¼ Você recebeu a tarefa de programa um braço de robô de

soldagem.

¼ O robô deve soldar (visitar) o primeiro ponto de solda,depois o segundo, terceiro e assim por diante.

¼ Determine um algoritmo para achar o melhor caminho.

46

Vizinho Mais Próximo¼ Inicie em algum ponto p0 e então vá para o ponto mais

próximo p1. Repita o processo a partir de p1, etc. até quetodos os pontos sejam visitados.

Escolha e visite um ponto inicial p0

p = p0; i = 0;

enquanto existirem pontos não visitados

i = i + 1

escolha e visite o ponto pi, mais próximo de pi-1

retorne ao ponto inicial

¼ Este algoritmo é simples de entender, simples de entendere muito eficiente. Está correto ?

47

Vizinho Mais Próximo¼Algoritmo não é correto!

¼Escolher sempre o ponto mais próximo é muitorestritivo, pois pode nos levar a fazer movimentosdesnecessários.

48

Par Mais Próximo¼ Conectar ao par mais próximo de pontos cuja conexão

não irá causar um ciclo ou bifurcações, até se formar umaúnica cadeia de pontos com todos os pontos.

faça n ser o número de pontos do conjunto e d = ∞para i = 1 até n - 1 faça

para cada par de pontos (x,y) de caminhos parciais

if (dist(x,y) <= d) então

xm = x; ym = y; d = dist(x,y);

conecte (xm, ym) por uma aresta

conecte os dois pontos por uma aresta

¼ Este algoritmo está correto para o contra-exemploanterior. Então agora estará correto ?

49

Par Mais Próximo¼Algoritmo não é correto!

¼Existe algoritmo correto ?!

50

Um algoritmo corretoz Podemos tentar todas as ordenações de pontos possíveis e

então selecionar a ordenação que minimiza ocomprimento total.

z Uma vez que todas as possíveis ordenações sãoconsideradas, podemos garantir que teremos o melhorcaminho possível.

z Mas, isso significa testar n! permutações, que éextremamente lento. Tão lento que é inviável quanto setem mais de 10 ou 20 pontos.

z Conclusão: Não existe um algoritmo correto eficiente!

Traveling Salesman Problem

51

Eficiência“Porque (simplesmente) não usar um supercomputador?”

z Supercomputadores são para pessoas muito ricas e muitoestúpidas para escrever algoritmos eficientes! (S.Skiena)

z Um algoritmo rápido rodando em um computador lentoirá sempre ganhar de um supercomputador com umalgoritmo ruim para instâncias suficientemente grandes.

z Normalmente, os problemas não chegam a ficar tãograndes antes do algoritmo rápido ganhar.

52

Correçãoz Método de Solução

Æ Fórmulas / Propriedades

Æ Lemas / Teoremas

z Conjunto de InstruçõesÆ Invariantes & Convergentes

` trecho de código faz exatamente o desejado

` não tem nenhum loop infinito

Æ Prova de Teoremas

` seqüência de instruções usa corretamente as propriedadesteóricas

` garante a integridade das fórmulas

53

M.D.C.Entrada: x, y ∈ Z*

Saída: mdc(x,y)

maxz ∈ Z | ∃ a,b ∈ Z, x=a*z, y=b*z

exemplo 1: mdc(67,12) = 1

exemplo 2: mdc(64,12) = 4

54

Algoritmo Ingênuo - mdcint mdc(int x, int y)

int t;

if (x < y) t = x;

else t = y;

while ((x%t != 0) && (y%t != 0))

t--;

return t;

55

Correção Parcial + Término = Correção Totalz Correção Parcial

Æ pontos de verificação e invariantes

z TérminoÆ 0 < t <= min(x,y)

Æ t = 1 ⇒ não itera

Æ a cada iteração t decresce ⇒ t é o convergente

Conclusão: O algoritmo ingênuo para o problemado M.D.C. é totalmente correto!

Correção Total

56

Algoritmo de Euclides - mdcEntrada: x, y ∈ Z*

Saída: mdc(x,y)

maxz ∈ Z | ∃ a,b ∈ Z, x=a*z, y=b*z

exemplo 1: exemplo 2: 5 1 1 2 2 5 3

67 12 7 5 2 1 64 12 4

7 5 2 1 0 4 0

57

mdc (54180,13125) = ? 4 7 1 4 3

54180 13125 1680 1365 315 105

7 5 2 1 0

Algoritmo Ingênuo: 13020 iterações

Algoritmo Euclides: 5 iterações (2604 x !!!)

Correção:Æ mdc (0, x) = x, pois qualquer número é divisor de zero

Æ mdc (x, y) = mdc (y, x mod y) é o resultado básico usado na solução

Algoritmo de Euclides - mdc

58

Algoritmo de Euclides - mdcCom recursividade: int mdc(int u, int v)

if (v == 0)return (u);

else return (mdc(v,u%v));

int mdc(int u, int v)

int t;

while (v != 0)

t=u%v; u=v; v=t;

return u;

int mdc(int u, int v)

int t;

while (v != 0)

t=u%v; u=v; v=t;

return u;

Convertendo derecursivo paranão-recursivo:

59

Problema: Ponto em Polígono

Dado em polígono plano simples, ou seja, oslados não se cruzam, P e um ponto p doplano, decidir se p é interior ou não aopolígono P.

P•p

60

Complexidade Assintóticaz Existe algum algoritmo que resolve o problema?

Æ Isso requer que o algoritmo pare após um número finito depassos para qualquer instância do problema.

z Dado um certo algoritmo A, quão eficiente é estealgoritmo? Dado dois algoritmos A e B, qual deles ésuperior?

z Dentre todos os algoritmos que resolvem o problema, qualdeles é melhor?

z Medir a complexidade (ou eficiência) de um algoritmopelo tempo necessário à sua execução em função dotamanho da instância. (Complexidade Assintótica O(f (n)))

61

Análise de Algoritmosz Recursos Computacionais

Æ Tempo de execução e quantidade de memória

z Implementação do AlgoritmoÆ Linguagem e arquitetura

z Tamanho da entrada (N)Æ Número de elementos ou número de nós da expressão

z Complexidade (tempo) de Pior CasoÆ T(N): Maior tempo de execução do algoritmo com todos os

problemas possíveis de tamanho N.

Æ T(N) é proporcional ao número total de instruções t (N)executadas para o pior caso de tamanho N ⇒ T(N) = c t (N)

62

Definição 1Um algoritmo A para resolver P tem

complexidade O(f (n)) se existe umaconstante k > 0 e um natural N tais que, paraqualquer instância de P de tamanho n > N, onúmero de passos de A necessários pararesolver esta instância é, no máximo, k f (n).

ex. 1000 n2 “ambiente computacional” “natureza do método”

63

Ordens de Magnitude

x ← x + y

1

for i ← 1 to n

begin

x ← x + y

end

n

for i ← 1 to n

begin

for j ← 1 to n

begin

x ← x + y

end

end

n2

64

Complexidadez Se um algoritmo processa problemas de tamanho

n em tempo cn2 para alguma constante c, entãodizemos que a complexidade (time complexity) doalgoritmo é O(n2), lendo-se “ordem n2”.

algoritmo complexidade 1 s 1 m 1 h

A1 n 1000 6x104 3.6x106

A2 n log n 140 4893 2.0x105

A3 n2 31 244 1897

A4 n3 10 39 153

A5 2n 9 15 21

65

Complexidade

66

Tempo de Execução20 50 100 200 500 1000

1000 n 0.02 s 0.05 s 0.1 s 0.2 s 0.5 s 1 s

1000 n log n 0.09 s 0.3 s 0.6 s 1.5 s 4.5 s 10 s

100 n2 0.04 s 0.25 s 1 s 4 s 25 s 2 m

10 n3 0.02 s 1 s 10 s 1 m 21 n 2.7 h

nlog n 0.4 s 1.1 h 220 d 125 s 5E8 s -

2n 1 s 35 a 3E4 s

TamanhoComplexidade

Obs.: Supondo que 1 operação leva 1 µs.

67

Tamanho Máximo do Problema

1 s 1.7 m 2.7 h 12 d 3 a 3 s

1000 n 1E3 1E5 1E7 1E9 1E11 1E13

1000 n log n 1.4E2 7.7E3 5.2E5 3.9E7 3.1E9 2.6E11

100 n2 1E2 1E3 1E4 1E5 1E6 1E7

10 n3 46 2.1E2 1E3 4.6E3 2.1E4 1E5

nlog n 22 36 54 79 112 156

2n 19 26 33 39 46 53

TempoComplexidade

68

Curiosidadez Explosão Combinatorial

Æ 100! → número com 158 dígitos

Æ 120! → número com 200 dígitos

Æ número de prótons no universo → 126 dígitos

Æ número de µ segundos desde o Big-Bang → 24 dígitos

z Impacto da Evolução Tecnológicaalgoritmo atuais 100 x 1000 x

n N1 100 N1 1000 N1

n2 N2 10 N2 31.6 N2

n3 N3 4.64 N3 10 N3

2n N4 N4 + 6.64 N4 + 9.97

69

z Dada a função f abaixo, calcule o seu valorpara x = 40545 e y = 70226.

f (x,y) = 9 x4 - y4 + 2 y2

dígitos: 3 7 11 15 19 21

1010 -10-13 1.3 107 82152 2

Oops! O valor correto é 1

Outra Curiosidade (sic!)

70

Outra Curiosidade (sic!)z Dada a função f abaixo, calcule o seu valor para:

x = 77617 y = 33096.

f (x,y) = 333.75 y6 + x2 (11 x2 y2 - y6 - 121 y4 - 2) + 5.5 y8 + x/2y

Precisão simples: 1.172603…

Precisão dupla: 1.1726039400531…

Precisão extendida: 1.172603940053178…

Oops! O valor correto é -0.8273960599… ( - 54767 / 66192 )

71

Moral da História

“Computers do not solve problems,

People do!”

E.R.Davidson

72

Algoritmos para Ordenaçãoz Insertion Sort

z Selection Sort

z Bubble Sort

z Shell Sort

z etc.

73

Ordenação por SeleçãoSelectionSort(x,n)

para i = 1 .. n-1m = ipara j = i+1 .. n

se xj < xm então m = jtroque xi com xm

74

Ordenação por Seleção

75

z Para analisar tal algoritmo, a primeira observação é que otamanho de uma instância é dada pelo número n de reais aserem ordenados.

z Na primeira execução do corpo do loop principal, são feitasn-1 comparações e 1 troca, num total de n operações.

z Na segunda execução, n-2 comparações e 1 troca, e assimpor diante. Logo, o número de passos para o algoritmo é:

z Assim, o algoritmo tem complexidade O(n2)

Ordenação por Seleção

( ) ( ) ( ) 22

222

1121 n

nnnnnnn ≈+=+=++−+−+

76

Não entendeu ?!z Porque ?

… soma de seqüências!

z Quanto é a soma de inteiros de 1 até 100 ?Æ Com papel e lápis pode demorar um pouco …

Æ Podemos usar uma calculadora …

Æ Escrever um programa …

z Em 1786, um garoto de 9 anos respondeu emalguns 5 segundos!

z Nome dele ? Gauss.

( )2

1

1

+=∑=

NNi

N

i

77

Demonstração de Gauss

( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )2

1

1112

121

321

3211

+⋅=

++++++=++−+−+=++++=

++++== ∑=

nnnS

nnnnS

nnnnS

nnS

ninSn

i

+

n vezes

78

Ordenação por InserçãoInsertsort(x)

para i = 2 .. Nv = xi

j = ienquanto xj-1 > v

xj = xj-1

j = j - 1xj = v

Este algoritmo descobre a posiçãocorreta para xi no segmentox1..xi-1 ao mesmo tempo que ocoloca lá.

Com isso, obtemos soluçõesparciais e algoritmo deste tiposão chamados de incrementaisou on-line.

Usando árvores balanceadas, épossível implementaralgoritmos incrementais ótimospara ordenação.

79

Ordenação por Inserção

80

Mergesortz Usa o paradigma “dividir-para-conquistar” que obtém a

solução de um problema através da resolução de problemasde tamanho menor.

z Ao invés de ordenar o conjunto de n números, dividimoseste conjunto em dois conjuntos com n/2 elementos cada,ordenamos cada um destes conjuntos e reunimos essesconjuntos já ordenados.

z Para ordenar cada um dos conjuntos com n/2 elementos,aplicamos recursivamente o mesmo algoritmo.

81

MergesortMergesort (x, l, r)

se (r <= l) então retorne; /* caso básico da recursão */

m = (l + r) / 2; /* separação */mergesort(x, l, m); /* recursão */mergesort(x, m+1, r);merge(x, l, m, r) /* combinação */

82

Mergesort

83

Mergesortz Para facilitar, n=2p e seja T(n) a complexidade do

algoritmo, expressa pelo número de passos necessários àsua execução.

z Duas chamadas recursiva do mesmo algoritmo parainstâncias de tamanho n/2, seguidas por uma etapa em que,a partir de dois conjuntos já ordenados, deve-se obter suaunião, também já ordenada. Esta união é obtida em umnúmero de passos que é proporcional a n.

T(n) = 2 T(n/2) + k nonde k é uma constante.

84

MergesortT(n) = 2 T(n/2) + k n

Por sua vez, T(n/2) = 2 T(n/4) + k n/2

o que fornece T(n) = 4 T(n/4) + 2 k n

Continuando o mesmo processo, obtemos sucessivamente:

T(n) = 8 T(n/8) + 3 k n

. . .

T(n) = n T(n/n) + p k n

n = 2p T(n) = 2p T(n/2p) + p k n

p = log2 n T(n) = n T(1) + k (log2 n) n

Daí, concluímos que T(n) = O(n log n)

85

Algoritmo Dividir-para-Conquistar

Separação: decompor a instância doproblema em duas instâncias de tamanhosmenores;

Recursão: aplicar recursivamente o mesmoalgoritmo para cada uma destasinstâncias;

Combinação: combinar os resultados paraobter a solução da instância original.

86

Teorema 1Se um algoritmo recursivo do tipo dividir-para-

conquistar para resolver um problema decompõeuma instância de tamanho n em duas instâncias detamanho n/2 do mesmo problema e, se oprocessamento necessário à execução das etapasde separação e combinação tem, no total,complexidade O(n), então o algoritmo resultantetem complexidade O(n log n).

87

QuickSortz Também utiliza o paradigma de dividir-para-conquistar.

z Toma-se um elemento do conjunto (x1) e a etapa deseparação consiste em dividir o conjunto a ser ordenado emdois subconjuntos: o primeiro é composto por todos oselementos menores que x1 e o segundo por todos os maioresou iguais a x1. Cada um destes conjuntos é ordenadoutilizando recursivamente o mesmo algoritmo.

z A etapa de combinação é trivial, já que a seqüênciaordenada consiste em listar os elementos (já ordenados) quesão menores que x1, seguidos pelos elementos (também jáordenados) que são maiores ou iguais a x1.

88

QuickSortquicksort(r,s) se (s <= r) então retorne /* caso básico */ v = xr ; i = r; j = s + 1; repita /* separação */

repita i = i + 1 até xi >= vrepita j = j + 1 até xj <= vtroque xi com xj

até j <= i troque xi com xj

troque xi com xj

quicksort(r,i - 1) /* recursão */

quicksort(i+1,s)

Observações:

• não há uma chamada explícitade combinação

• o início do algoritmo se dáchamando quicksort(1,n)

Observações:

• não há uma chamada explícitade combinação

• o início do algoritmo se dáchamando quicksort(1,n)

89

QuickSort

90

QuickSortz Como o processamento da separação requer O(n) passos,

uma análise semelhante à desenvolvida para o Mergesortpermite demonstrar que a complexidade média do algoritmoé O(n log n).

z No entanto, a complexidade deste algoritmo no pior caso éO(n2). Para se constatar este fato, basta observar que, caso oconjunto esteja ordenado, o algoritmo descrito vai executarn-1 separações. A primeira exige n-1 comparações, asegunda n-2, e assim por diante, num total de O(n2)comparações.

91

ShellSortz Utiliza o algoritmo de inserção em sub-seqüências periódicas

da entrada para produzir um algoritmo mais rápido.shellsort(a) h = 1; faça (h = 3 * h + 1) até (h > N) faça

h = h div 3para i = h+1 até N faça

v = ai; j = i;enquanto aj-h > v faça

aj = aj-h; j = j - h;se (j <=h) termine enquanto

aj = vaté (h = 1)

92

• Usa uma seqüência decremental de incrementos;• Cada passo torna o próximo mais fácil;• Como saber qual incremento usar ?

• Ex.: 1, 4, 13, 40, 121, 363, ...

ShellSort13

4

1

93

BubbleSortn bubblesort(a)

faça

t = a1

para j = 2 até N faça

se (aj-1 > aj) então t = aj-1; aj-1 = aj; aj = t;

até (t = a1)

o bubblesort(a)

para i = 1 até n-1

para j = n até i+1 passo -1

if (aj < aj-1) troque aj com aj-1

94

BubbleSort

95

Comparaçãoz Selection Sort

Æ comparações: n-1 + n-2 + … + 2 + 1 = n2/2

Æ trocas: n

z Insertion SortÆ comparações: (n-1 + n-2 + … + 2 + 1) / 2 = n2/4

Æ trocas: n2/4

z Bubble SortÆ comparações: n-1 + n-2 + … + 2 + 1 = n2/2

Æ trocas: n2/2

96

Árvore de DecisãoA complexidade de uma árvore de decisão é dada pela sua

profundidade p, isto é, pela profundidade máxima de uma de suasfolhas.

No caso do problema de ordenação, cada uma das folhas da árvorede decisão deverá estar associada a uma possível ordenação dos nelementos. Como há n! ordenações possíveis, a árvore possui nomínimo n! folhas.

Mas o número máximo possível de folhas é obtido quando todas asfolhas ocorrem a profundidade p e cada nó que não é uma folhatem exatamente 2 descendentes.

Assim, o número de folhas é igual ao número de nós à profundidadep que é 2p.

97

Árvore de DecisãoLogo, a profundidade p de uma árvore de decisão que possua pelo

menos n! folhas satisfaz 2p ≥ n , isto é, p ≥ log2 (n!)

Mas a aproximação de Stirling para n! é

ou seja:

Logo, como existe um algoritmo de complexidade O(n log n),concluímos que a complexidade do problema de ordenação éΘ(n log n).

( )nennn Π= 2!

( ) ( ) nknennnnn logloglog2log!log 2222 ≥−+Π=

98

Definição 2Dizemos que a complexidade de um problema P tem

cota inferior dada por Ω(f (n)) se existe umaconstante k tal que todo algoritmo que resolve Prequer pelo menos k f (n) passos para resolveralguma instância de tamanho n. Dizemos que acomplexidade de P é Θ(f (n)) se, além disso,existir um algoritmo de complexidade O(f (n))para P. Neste caso, dizemos que o algoritmo éótimo para P.

99

Análise de Algoritmosz Medidas de Consumo dos Recursos Computacionais

Æ Θ (f) Cota assintótica superior

Æ Ο (f) Ordem

Æ Ω (f) Cota assintótica inferior

z Contabilidade

Æ por pontos de verificação

` em geral entrada de loops

Æ por rateio (usado em grafos)

` centros de custo

100

Exemplo: Régua comumEntrada: número de marcas n

Saída: régua com n marcas

regua(n)

para i = 1 até n faça ⇒ Ο(n)marque(i,”|”)

fim_para

...

101

Exemplo: Régua bináriaEntrada: número de marcas n

Saída: régua com n marcas

n = 2h (h marcas diferentes)

regua_binaria(l,r,k)

m = (l + r) / 2 marque(l,m,k)se (k > 1) então

regua_binaria(l,m,k-1)

regua_binaria(m,r,k-1)

102

Recorrênciaz Vários algoritmos, particularmente os baseados no

paradigma Dividir-para-Conquistar, tem complexidadesque são naturalmente modeladas por relações derecorrência.

z Uma relação de recorrência é uma equação que é definidaem termos dela mesma.

z Várias funções naturais são facilmente expressas comorecorrências:Æ an = an-1 + 1, a1 = 1 → an = n (polinomial)

Æ an = 2 * an-1, a1 = 1 → an = 2n-1 (exponencial)

Æ an = n * an-1, a1 = 1 → an = n! (explosão combinatória)

103

Induçãoz Recursão é uma indução matemática

Æ Temos condições gerais e de fronteira, com a condiçãogeral dividindo em partes cada vez menores o problema.

Æ A condição de fronteira (ou inicial) termina a recursão.

z Nenhum procedimento (geral) é conhecido parase resolver relações de recorrência.

z A indução provê uma ferramenta para resolverrecorrências: Adivinhar a solução e prová-la porindução.

104

Prova por InduçãoTn = 2 * Tn-1 + 1, T0 = 0

n 0 1 2 3 4 5 6 7Tn 0 1 3 7 15 31 63 127

z Qual a solução ? Prove que é Tn = 2n -1 por indução.Æ Mostre a condição básica: T0 = 20 - 1 = 0

Æ Assuma que é verdade para Tn-1

Æ Partindo da afirmação anterior, mostre que

Tn = 2 * Tn-1 + 1 = 2 (2n-1 - 1) + 1 = 2n - 1

105

Exemplo: Régua bináriaEntrada: número de marcas n

Saída: régua com n marcas

n = 2h (h marcas diferentes)

regua_binaria(l,r,k)

m = (l + r) / 2 marque(l,m,k)se (k > 1) então

regua_binaria(l,m,k-1) ⇒ T(n/2) regua_binaria(m,r,k-1) ⇒ T(n/2)

⇒ c

106

Exemplo: Régua bináriaT(n) = 2 T(n/2) + c

= 2 [ 2 T(n/4) + c] + c= c + 2c + 4 T(n/4)= c + 2c + 4c + 8c + … + 2i T(n/2i)

mas, T(2) = c

T(n) = c + 2c + 4c + 8c + … + 2i-1 T(2)= c (1 + 2 + 22 + 23 + … + 2h-1)= c (20 + 21 + 22 + 23 + … + 2h-1)= c (2h - 1) = c (n - 1)

T(n) = c (n - 1) ⇒ T(n) = O(n)

107

Recorrências Usuais em DPCn = ck

z T(n) = a T(n/c) + k nÆ a → fator de crescimento dos sub-problemas

Æ c → fator de divisão (tamanha dos sub-problemas)

Æ a < c T(n) = O(n)

Æ a = c T(n) = O(n log n)

Æ a > c T(n) = O(nlogc a)

z T(n) = T(n/c) + kÆ T(n) = O(logc n) p.ex.: busca binária

Esforço de combinação

108

ExemplosT(n) = 9 T(n/3) + n

` T(n) = O(n2)T(n) = T(2n/3) + 1

` T(n) = (log n)T(n) = 3 T(n/4) + n log n

` T(n) = O(nlog4 3) = O(n0.793)

109

HeapSortz Construindo a heap

110

HeapSortz “Ordenando” a heap

111

Radix Sortz Até agora, foi razoável definir métodos de

ordenação em termos de operações básicas decomparação e troca de dois elementos quaisquer.

z Entretanto, para algumas aplicações é possíveltirar vantagem de que os elementos são númerosdentro de um intervalo.

z Esse métodos são chamados de Radix Sorts.Æ Não somente comparam os elementos.

Æ Processam e comparam pedaços dos elementos.

112

Radix Sort329 720 720 329

457 355 329 355657 436 436 436839 457 839 457436 657 355 657

720 329 457 720355 839 657 839

Qual a complexidade deste algoritmo ?

113

Radix Sort

114

Radix Sort (exchange)radix_sort (l,r,b)

if (r > l) and (b >= 0) theni = l; j = r;repeat while (bits(a[i],b,1)=0) and (i<j) do i=i+1; while (bits(a[j],b,1)=1) and (i<j) do j=j+1; t=a[i]; a[i]=a[j]; a[j]=t;until j=i;if (bits(a[r],b,1)=0) then j = j+1;radix_sort(l,j-1,b-1);radix_sort(j,r,b-1);

115

Radix Sort (straight)

116

Reduçãoz Os resultados obtidos a respeito do

problema de ordenação são úteis paraestabelecer cotas inferiores para váriosproblemas computacionais.

z Para tal, recorreremos a um mecanismo queconsiste em reduzir um problema a outro.

117

Definição 3

Um problema P1 é redutível (em tempolinear) a um problema P2 se dada umainstância de tamanho n de P1 forpossível, em tempo O(n), obter umainstância de I2 de P2 tal que a resposta deP1 para I1 possa ser obtida, em tempoO(n), a partir da resposta de P2 para I2.Neste caso, escrevemos P1∝ P2 .

118

119

Algoritmos de Buscaz Linear Search

z Binary Search

z Binary Search Tree

z B-Tree

z Hashing

z Quadtree

120

Busca Linearz Este método de procurar dados é direto e fácil entender.

Æ Para achar um determinado dado, comece sua procura aocomeço do conjunto de dados e continue ou olhando até vocêachar, ou acabar o espaço de procura.

Æ A complexidade deste tipo de procura é O(n) porque, no piorcaso serão examinados todos os dados no espaço de procura.

z Como nós veremos adiante, existem muitos algoritmosque podem melhorar tempo de procura. Por exemplo, oalgoritmo de busca binária opera muito mais eficazmenteque uma busca linear mas requer que o conjunto de dadosesteja ordenado.

121

Busca Bináriaz Para se determinar se um elemento a está no vetor

A, comparamos a com o elemento b da posiçãomediana do vetor A. Se a=b então “sim”. Senão,repetimos o processo na primeira metade de A sea<b, ou na segunda metade de A se a<b.

z Pela divisão sucessiva do espaço de busca, nuncafaremos mais de log n+1 comparações para achara, ou que a ∉ A.

122

Busca Bináriabusca_bin(a,f,l)

se (f > l) então retorne “não”senão se (a = A[(f+l)/2]) então retorne “sim” senão se (a < A[(f+l)/2]) então busca_bin(a,f,(f+l)/2-1)

senão busca_bin(a,(f+l)/2+1,l)

2 3 6 558 12 20 24 29 32 38 46

7 ?

não

32 ?

sim

123

Árvore de Busca Binária - BSTDefinição: Uma árvore de busca binária é uma árvore binária

onde cada vértice v é identificado por um elementol(v) ∈ S tal que:Æ para cada vértice u na sub-árvore esquerda de v, l(u) < l(v)

Æ para cada vértice u na sub-árvore direita de v, l(u) > l(v)

Æ para cada elemento a ∈ S, existe um único vértice v tal que l(v) = a.

z A operação mais comum realizada em uma BST é a buscapor um elemento armazenado na árvore. No entanto,também se pode realizar mínimo, máximo, sucessor epredecessor.

z Todas essas operações são feitas em tempo O(h) em umaBST de altura h.

124

Árvore de Busca Bináriasearch_BST(13) ⇒ 15 → 6 → 7 → 13.

min_BST() ⇒ 15 → 6 → 3 → 2.

max_BST() ⇒ 15 → 18 → 20.

suc_BST(15) ⇒ min_BST(right[15]) → 17.

pre_BST(15) ⇒ max_BST(left[15]) → 13.

15

6

3 7

13

942

18

17 20

125

BST: Busca, Min e Maxsearch_BST(x,k)

if x = nil or x = key[x]

then return x

if k < key[x]

then return search_BST(left[x],k)

else return search_BST(right[x],k)

min_BST(x) max_BST(x)

while left[x] ≠ nil while right[x] ≠ nildo x ← left[x] do x ← right[x]

return x return x

126

BST: Sucessor e Predecessorsuc_BST(x)

if right[x] ≠ nilthen return min_BST(right[x])

y ← parent[x]

while y ≠ nil and x = right[y]

do x ← y

y ← parent[y]

return y

pre_BST(x)

if left[x] ≠ nilthen return max_BST(left[x])

y ← parent[x]

while y ≠ nil and x = left[y]

do x ← y

y ← parent[y]

return y

127

BST: Inserçãoinsert_BST(T,z)

y ← nil x ← root[T]

while x ≠ nildo y ← x

if key[z] < key[x] then x ← left[x]

else x ← right[x]

parent[z] ← y

if y = nil then root[T] ← z

else if key[z] < key[y] then left[y] ← z

else right[y] ← z

128

BST: Inserção

129

BST: Remoçãodelete_BST(T,z)

if left[z] = nil or right[z] = nil then y ← z

else y ← suc_BST(z)

if left[y] ≠ nil then x ← left[y]

else x ← right[y]

if x ≠ nil then parent[x] ← parent[y]

if parent[y] = nil then root[x] ← x

else if y = left[parent[y]] then left[parent[y]] ← x

else right[parent[y]] ← x

if y ≠ z then key[z] ← key[y]

return y

130

BST: Remoção

Nó não tem filhos.

Nó tem 1 filho.

Nó tem 2 filhos.

131

Balanced Treesz 2-3-4 Tree

z Red-Black Tree

132

2-3-4 Treez Para eliminar o pior caso da BST, precisamos de

alguma flexibilidade na estrutura de dados.

z Para obter esta flexibilidade, permitimos que osnós da árvore possam conter mais de um elemento.Æ Especificamente, permite-se 3-nodes ou 4-nodes, que

podem conter dois ou três elementos respectivamente.

Æ Os nós padrões (BST) 2-nodes possuem um elementoe dois links.

133

2-3-4 TreeE

A

P

E

X

M

L

134

Red-Black Treesz É uma BST com um bit extra por nó: sua cor, que pode ser

“red” ou “black”.

z Por restrição, a forma como os nós são coloridos, por qualquercaminho, da raiz para as folhas assegura que nenhum caminhoé mais do que duas vezes maior que qualquer outro. Assim, éaproximadamente balanceada.

z Propriedades:

Æ Todo nó é red ou black sendo que toda folha (nil) é black.

Æ Se um nó é red, então os filhos são black.

Æ Todo caminho de um nó para um descendente, tem omesmo número de nós black.

135

Red-Black Tree

Uma red-black tree com n nós internos tem no máximo 2 log(n +1).

136

Heap e Heap Treez Heap = garbage-collected storage

z Heap Tree: É uma BSP (a) que possui um vetorassociado (b).

137

Heap Treez A Heap Tree tem as seguintes propriedades:

Æ A[parent(i)] ≥ A[i]Æ parent(i) return (i/2)

Æ left(i) return (2*i) Æ right(i) return (2*i + 1)

A

138

Heapify: Corrigir a Heap

A[2], i = 2 → violou a propriedade da heap

heapify(A,2) → troca A[2] com A[4]

A[4], i = 4 → violou a propriedade da heap

heapify(A,4) → troca A[2] com A[4]

A[9], i = 9 → propriedade da heap ok!

Heapify(A,9) → não precisa fazer nada

139

Heapifyheapify(a,i)

l ← left(i)r ← right(i)if A[l] > A[i] and l ≤ heap_size[A]

then largest ← lelse largest ← i

if A[r] > A[largest] and r ≤ heap_size[A]then largest ← r

if largest ≠ ithen exchange(A[i],A[largest]) heapify(A,largest)

T(n) = T(2n/3) + cT(n) = O(log n)

Obs.: Alternativamente, podemoscaracterizar o tempo de execuçãodo heapify em um nó de altura hcom O(h).

T(n) = T(2n/3) + cT(n) = O(log n)

Obs.: Alternativamente, podemoscaracterizar o tempo de execuçãodo heapify em um nó de altura hcom O(h).

140

Construindo a Heap Treez Podemos usar a heapify para converter um array A em

uma heap.

z Uma vez que os elementos do sub-array A[n/2+1..n] sãotodos folhas da árvore, cada um é um heap para se iniciar.

build_heap(A)

heap_size[A] ← length[A]for i = length[A] / 2 downto 1

do heapify(A,i)

141

Heap

142

Heap Sortz Construir uma Heap Tree (build_heap)

Æ Maior elemento do array que é armazenado na raiz deve sercolocado no seu lugar correto A[n] e então basta chamar aheapify(A,1)

heap_sort(A)build_heap(A)

for i ← length[A] downto 2do exchange(A[1],A[i])

heap_size[A] ← heap_size[A] - 1 heapify(A,1)

Heapsort é O(n log n)pois:build_heap é O(n)heapify é O(log n) * n-1

Heapsort é O(n log n)pois:build_heap é O(n)heapify é O(log n) * n-1

143

build_heap

HeapSort

heapify

144

Inserindo elementos na Heap Tree

heap_insert(A,key)

heap_size[A] ← heap_size[A]+1

i ← heap_size[A]

while i > 1 and A[parent(i)] > key

do A[i] ← A[parent(i)]

i ← parent(i)

A[i] ← key

Insere uma folha

Insere o 15Desce os elementosum nível, desde a novafolha até o local correto

145

B-Treez São balanced search trees projetadas para trabalhar

em memória secundária, tais como discos, fitas ououtro dispositivo de armazenamento secundário deacesso direto.

z Diferem das red-black trees e 2-3-4 trees poispodem ter vários filhos, de unidades a milhares.

z A característica de “branching factor” de umaB-tree é determinada pelo dispositivo dearmazenamento utilizado.

146

Propriedades da B-Treez Todo nó x tem os seguintes dados:

Æ n[x], o número de elementos armazenados no nó x;

Æ os n[x] elementos armazenados de forma ordenada;

Æ leaf[x], indica se é uma folha (true) ou um nó (false).

z Cada folha tem a mesma profundidade, que é a altura h da árvore.

z Existem limites, inferior e superior, que um nó pode conter. Esseslimites podem ser expressos em termos de um inteiro fixo t ≥ 2chamado grau mínimo da B-tree.Æ Exceto o nó raiz, cada nó tem que ter ao menos t-1 elementos e tem pelo

menos t filhos. Se a árvore não for vazia, o nó raiz tem que conter pelo menosum elemento.

Æ Cada nó pode conter no máximo 2t-1 filhos e no máximo 2t filhos. O nóestará cheio quando conter exatos 2t-1 elementos.

147

Busca na B-Treez Alguns detalhes:

Æ A raiz da B-tree esta sempre na memória principal.

Æ Todos os nós utilizados tem que ser previamentelidos para a memória principal.

z Searching a B-TreeÆ É parecida com a BST, exceto que ao invés de uma

escolha binária a cada nó, teremos uma escolhamúltipla dependente do número de filhos.

Æ Mais precisamente, a cada nó teremos n[x]+1escolhas a decidir.

148

Inserindo elementosna B-Tree

Supondo t = 3, cada nópode ter no máximo5 elementos.

149

Retirando elementos da B-Tree

150

Hashingz Uma abordagem completamente diferente da

baseada em comparações é conhecida comohashing: referencia registros em uma tabela atravésde operações aritméticas que convertem o elementoem um endereço da tabela.

z Hash function: converte o elemento de busca emum endereço da tabela.

z Collision-resolution: trata o problema de dois oumais elementos serem convertidos para um mesmoendereço da tabela.

151

Hash Functionz Como as funções serão aritméticas, o primeiro

passo é converter o elemento em números.

z O métodos mais comum é escolher um númeroprimo M que, para qualquer elemento k, calcularhash(k) = k mod M.

z Exemplos:Æ M = 101, elemento “AKEY” = 44217 ⇒ 44217 mod 101 = 80Æ Mas, se o elemento for “BARH”, o resultado também é 80.

152

Tratamento de Colisões

Tratamento da colisão por listas encadeadas.

153

Separate Chaining

M = 11

154

Linear Probingz Se o número de elementos N é previamente

conhecido e se M > N, então existirão espaçosvazios na tabela. Os métodos que se aproveitamdisso são chamados de open-addressing.

z Destes, o método mais simples é conhecido porlinear probing.

ÆQuando existir uma colisão, simplesmenteteste (probe) a(s) posição(ões) seguinte(s).

155

Linear Probing

M = 19

156

Linear Probing

157

Double Hashingz Em linear probing, principalmente quando a tabela

começa a encher, várias posições tem que serexaminadas para se poder inserir um elemento.

z Ainda pior, geralmente ocorre em vários lugares databela um agrupamento, denominado clustering,fazendo com que o desempenho caia muito.

z No entanto, existe um forma fácil de resolver esteproblema, denominada double hashing: em caso decolisão, utilizamos uma outra função de hashing.

158

Double Hashing

M = 19

159

Double Hashing

160

Grafosz Vários problemas são naturalmente modelados

por objetos e conexões entre eles.

z Por exemplo:Æ Caminho mínimo:

` Qual o menor caminho entre a cidade A e a cidade B ?

Æ Conectividade:

` O interruptor A está conectado a lâmpada B ?

Æ Fluxos:

` Para fazer a tarefa A, precisamos antes fazer a B e C.

z Um grafo (graph) é um objeto matemático quemodela precisamente estes problemas.

161

Nomenclatura de GrafosÆ Um grafo é uma coleção de vértices (ou nós) e arestas.

Æ Um caminho (path) entre os vértices a e b é uma lista sucessivade vértices conectados por arestas.

Æ Um grafo é dito conectado se existe um caminho de cada nópara qualquer outro.

Æ Um ciclo é um caminho em que começa e termina no mesmovértice.

162

Nomenclatura de GrafosÆ Um grafo sem ciclos é chamado de árvore.

Æ Um grupo de árvores desconectadas é chamada de floresta.

Æ Uma spanning tree de um grafo é um sub-grafo que contémtodos os vértices mas apenas as arestas necessárias para formaruma árvore.

163

Nomenclatura de Grafosz Além dos tipos anteriores, denominados não dirigidos

(undirected graphs), existem tipos de grafos maiscomplicados, onde algumas informações são atribuídas aosvértices e/ou as arestas.

z Quando associamos a cada aresta uma informação, um custoou uma distancia por exemplo, denomina-se weighted graphs.

z Quando as arestas possuem uma única direção, ou seja, umaaresta conecta o vértice a ao vértice b mas não o inverso, é ditoque temos um grafo dirigido (directed graphs).

z Os grafos que possuem as duas características anteriores, sãochamados directed weighted graph ou de networks.

164

Representação de Grafos

Lista de adjacências MatrizGrafo

165

Busca em Grafosz Problema: Dado um vértice inicial, queremos

percorrer o grafo visitando todos os vérticespossíveis de serem alcançados a partir do vérticeinicial.

z Os dois algoritmos mais usados em árvores, ouseja, grafos sem ciclos, são a busca em largura e abusca em profundidade.

ÆBreadth-First Search

ÆDepth-First Search

166

Depth-First Search - DFSTambém conhecido como backtracking, faz um

caminho partindo do vértice inicial e vai até omais longe possível no grafo.Æ Cada nova aresta percorrida tem que ser uma aresta

ainda não usada pelo algoritmo.

Æ O algoritmo continua até atingir um vértice que nãopossua arestas ou que conduzam a vértices ainda nãovisitados. A partir deste vértice, retornamos aovértice anterior e escolhemos uma nova aresta. Esteprocedimento é feito até que todas as arestas sejampercorridas e todos os vértices visitados.

167

Depth-First Search

?

168

DFS (com matriz)visit(k)

id = id + 1; val[k] = id

para t = 1 até V faça

se a[k,t] então

se val[t]=0 então visit(t);

dfs()

id = 0;

para k = 1 até V faça val[k] = 0;

para k = 1 até V faça

se val[k] = 0 então visit(k);

169

DFS (com listas)visit(k)

id = id + 1; val[k] = id

t = next[k];

enquanto t ≠ nil faça

se val[t]=0 então visit(t);

t = next[t];

dfs()

id = 0;

para k = 1 até V faça val[k] = 0;

para k = 1 até V faça

se val[k] = 0 então visit(k);

170

Breadth-First Search - BFSz DFS “explora” o grafo procurando novos vértices

cada vez mais distante do vértice inicial e sóutiliza vértices mais próximos quando não existenada “mais distante” naquele caminho.

z BFS “explora”, primeiro, todos os vértices maispróximos do vértice inicial, só utilizando vérticesmais distantes depois que todos os vérticespróximos forem visitados.

z É também chamada de busca em amplitude.

171

Breadth-First Search

172

BFS (com listas)visit(k)

queue(k);

faça

k = dequeue();

id = id + 1; val[k] = id;

t = next[k]

enquanto t ≠ nil faça

se val[t] = 0 então

queue(t);

val[t] = -1;

t = next[t];

até queue_empty();

173

DFS x BFS

DFS BFS

1/3 2/3 1/3 2/3

174

Árvore Geradora Mínimaz Minimum Spanning Tree

z Algoritmo de Prim

175

MST = 16

176

Algoritmo de Primz Segue a estratégia do guloso (greedy)

z Existem três tipos de vértices:Æ os vértices que já estão na árvore mínima (S)

Æ os adjacentes aos vértices da árvore (F de fringe)

Æ os vértices ainda não examinados (U de unseen)

V = S ∪ F ∪ U

177

Algoritmo de Prim

178

Algoritmo de Prim1. Inicie com qualquer vértice v

S = V

F = vértices adjacentes

U = vértices restantes

179

Algoritmo de Prim2. Construa a MSTrepita

ache aresta (v,w) de menor peso tal que v∈S e w∈Finclua (v,w) na MSTinclua w a Satualize F

até S = V.

Usa-se uma heap para armazenar os vértices de F. O menor peso fica na raiz da heap.

Usa-se uma heap para armazenar os vértices de F. O menor peso fica na raiz da heap.

180

Algoritmo de Prim:passo-a-passo

181

Algoritmo de Prim:passo-a-passo

182

Caminho Mínimoz Shortest Paths

z Algoritmo de Dijkstraorigem

destino

183

Algoritmo de Dijkstra1. Adicione um vértice de cada vez ao caminho mínimo,

escolhendo o vértice mais próximo a um vértice da árvore.

2. Os vértice são divididos em unseen, fringe e tree.

3. Os vértices vão de unseen para fringe via da operação deinsert.

4. Os vértices vão de fringe para tree via operação deremove_min.

5. Atualiza-se a fringe sempre que um novo vértice forinserido na tree.

184

Algoritmo de Dijkstra

185

Algoritmo de Dijkstra

186

Algoritmo de Dijkstra

187

Algoritmo de Dijkstra

188

Algoritmo de Dijkstra

d(PVD, SFO) = 200+1000+1500+800d(PVD, SFO) = 3500

189

Caminho Mínimo em umaSuperfície 3D

190

Caminho Mínimo em Mapas

191

Caminho Mínimo em Imagens:Detecção de Contorno

192

Redes de Fluxosz Maximum Flow

z The Tao of Flow:Æ “Let your body go with the flow.”

- Madonna, Vogue

Æ “Maximum flow … because you’re worth it.”

- Lóreal

Æ “Use the flow, Luke!”

- Obi-wan Kenobi, Star Wars

193

Redes de Fluxosz Possui dois vértices distintos dos demais:

Æ Fonte s (source) e Tanque t (sink)

z Os pesos (weights) das arestas são chamados de“capacidades”.

194

Fluxo e Capacidadesz Capacidades:

Æ Similares aos pesos dos grafos, mas não podem sernegativos.

z Fluxo:Æ É função da rede de arestas.

Æ 0 ≤ fluxo ≤ capacidade

Æ Em cada vértice: fluxo entrando = fluxo saindo

Æ Valor: combinação dos fluxos no tanque.

195

Fluxo e Capacidades

196

Problema do Fluxo Máximo“Dada uma rede de fluxos N, ache o fluxo f de

valor máximo.”

z Aplicações:Æ Tráfego

Æ Sistemas hidráulicos

Æ Circuitos Elétricos

197

Aumentando o Fluxo

Fluxo da rede = 3 Caminhos aumentados Fluxo da rede = 4

?

198

Caminhos Aumentadosz Arestas para frente

Æ fluxo < capacidade

Æ fluxo pode ser aumentado!

z Arestas para trásÆ fluxo > 0

Æ fluxo pode ser diminuído!

z Teorema do Fluxo Máximo

“Um fluxo tem um valor máximo se e somentese não tiver um caminho aumentado.”

199

Algoritmo de Ford & Fulkersonz inicialize a rede com fluxo igual a zero

z Find_Flow()se existir um caminho aumentado então

ache o caminho aumentadoaumente o fluxoFind_Flow()

200

Achando o Fluxo Máximo

201

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Roberto Beauclair