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Caminho Mínimo

Algoritmos em Grafos: Caminho Mínimo

Letícia Rodrigues Bueno

UFABC

Caminho Mínimo

Problema 2: Menor caminho entre duas cidades

• Dado um mapa de cidades, contendo as distâncias entrecidades, qual o menor caminho entre quaisquer cidades Ae B?

Caminho Mínimo

Problema 2: Menor caminho entre duas cidades

• Dado um mapa de cidades, contendo as distâncias entrecidades, qual o menor caminho entre quaisquer cidades Ae B?

• Este problema pode ser modelado através de um grafo:• Cidade: vértices;• Estradas entre cidades: arestas ponderadas com peso que

indicam distância entre cidades.

• Esse problema é conhecido como Problema do CaminhoMínimo.

Caminho Mínimo

Abordagem

• Problema do caminho mínimo é semelhante a problemado número de Erdõs;

Caminho Mínimo

Abordagem

• Problema do caminho mínimo é semelhante a problemado número de Erdõs;

• Podemos utilizar uma idéia semelhante ao BFS ;• Levar em consideração:

• O problema tem subestrutura ótima.

Caminho Mínimo

Caminho mínimo de fonte única: algoritmo de Dijkstra

s

t x

zy

10

1

5

2

2 3

9

4 6

7

Caminho Mínimo


0

∞

s

t x

zy

∞

∞ ∞

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1

5

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2 3

9

4 6

7

Caminho Mínimo


0

s

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zy

∞

∞

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2

2 3

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Caminho Mínimo


0

s

t x

zy

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1

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5

8

7

14

Caminho Mínimo


0

s

t x

zy

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2 3

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7

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8

7

13

Caminho Mínimo


0

s

t x

zy

10

1

5

2

2 3

9

4 6

7

5

8

7

9

Caminho Mínimo


1 relaxa(u, v):2 se v.d > u.d + p(u, v) então3 v.d = u.d + p(u, v)4 v.p = u

5

u v2 7

5

u v2 9

Relaxa(u,v)

(a)

5

u v2 6

5

u v2 6

Relaxa(u,v)

(b)

Caminho Mínimo


1 dijkstra(G, s):2 para u em V(G) faça3 u.d = ∞4 u.p = None5 s.d = 06 A = Heap(V(G)) \\ com base em d7 S = [ ]8 enquanto tamanho(A) > 1 faça9 u = retira_min(A)

10 S = S + u11 para v em adj(u) faça12 relaxa(u, v)13 refaz_heap(A)

Caminho Mínimo




Análise da complexidade:

Caminho Mínimo





• Construção do heap(linha 6): O(n)

Caminho Mínimo






• retira_min (linha 9)tem complexidade(log n) e é executadon vezes: O(n log n)

Caminho Mínimo







• refaz_heap (linha 13)tem complexidade(log n) e é executadom vezes: O(m log n)

Caminho Mínimo







• refaz_heap (linha 13)tem complexidade(log n) e é executadom vezes: O(m log n)

• Complexidade total:O((n + m) log n)

Caminho Mínimo

Problemas do Caminho Mínimo

• Caminho mínimo de fonte única;

• Caminho mínimo de destino único;

• Caminho mínimo entre quaisquer vértices u e v ;• Caminho mínimo de todos os vértices para todos os

vértices:• Algoritmo de Floyd-Warshall O(n3).

Caminho Mínimo

Limitações do algoritmo de Dijkstra

• Não funciona para grafos com ciclos com pesos negativos;

Caminho Mínimo

Limitações do algoritmo de Dijkstra

• Não funciona para grafos com ciclos com pesos negativos;

• Alternativa: Algoritmo de Bellman-Ford de complexidadeO(n · m).

Caminho Mínimo

Exercícios

2. Faça a análise da complexidade (tempo e espaço) doalgoritmo de Dijkstra quando a representação do grafo épor matriz de adjacências.

Caminho Mínimo

Exercícios


3. Faça a análise da complexidade do algoritmo de Dijkstraquando a fila de prioridades é uma lista (ordenada enão-ordenada).

Caminho Mínimo

Exercícios


3. Faça a análise da complexidade do algoritmo de Dijkstraquando a fila de prioridades é uma lista (ordenada enão-ordenada).

4. Dê exemplo de um grafo com pesos negativos em que oalgoritmo de Dijkstra não retorna a resposta correta.

Caminho Mínimo

Bibliografia Utilizada

CORMEN, T. H.; LEISERSON, C. E.; RIVEST, R. L. e STEIN, C.Introduction to Algorithms, 3a edição, MIT Press, 2009.

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